华师大版八年级数学上册专题课件：4.等腰三角形中辅助线的作法
13.等腰三角形的判定PPT课件(华师大版)
两角相等 的三角形
互为逆命题
等腰三角形的判定 方法
基本模型
A
B
C
等腰三角形的判定定理是证明 线段相等的一种重要 的方法
等腰三角形性质与判定 的区分
等
腰
变式模型
三 角 形 的 判
A
3
D
21
定
B
C
已知：⊿ABC中，∠B=∠C
求证：A⊿BA=BACC等腰三角形
证明：经过点A作AD⊥BC，垂足为D. A
∴ ∠1= ∠2=90°
练习 在ΔABC中,OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN ∥BC.
A （2）线段BM、CN与MN 的长度有什么关系？
M 3 1
O
6
N
∴MN=BM+CN
5
2
4
B
C
（3） ΔAMN的周长=AB+AC吗？为什么？
∵ ΔAMN的周长= AM+MN+AN
=AM+
+AN
=AB +AC
两边相等 的三角形
∵ AD∥BC
E
）
A1 2
D
∴ ∠1=∠B ( 两直线平行， 同位角相等 )
∠2=∠C ( 两直线平行，内错角相等) B
C
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
即 AD平分∠CAE ( 角平分线的定义 )
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD. 分析：
(1)从求证看： 要证 OC=OD
需证 ∠D=∠C
(2)从已知看：
由OA=OB 得到 ∠B=∠A 由AB∥DC得到∠D= ∠B ∠C= ∠A
所以：∠D=∠C
如图，OA=OB， AB∥DC， 求证：OC=OD.
1等腰三角形(第2课时)PPT课件(华师大版)
(1)求证:△ABE≌△CAF;
(2)求∠BDF的度数.
A
D
解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
E
在△ABE和△CAF中，
= ( 已证 )，
∠ = ∠ ( 已证 )，
= (已知) ，
B
F
C
∴△ABE≌△CAF (SAS).
讲授新课
求证： AB=AC=BC.
A
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
。
1
∴∠B＝∠C＝ (180 －∠A)= 60°.
2
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
动动手
若AB=AC , ∠B= 60°，求证
AB=AC=BC.
B
C
讲授新课
等边三角形性质归纳：
等腰三角形
等边三角形
边
两条边相等
三条边都相等
明你的结论．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
N
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
M
∵AC＝MC，
A
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
F
E
C
B
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形．
想一想：本题你还能得到哪些结论？
当堂检测
1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，
证明：∵△ABC为等边三角形，且
A
AD=BE=CF，
F
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
D
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法以等腰三角形中做辅助线的八种常用方法为标题，写一篇文章。
一、连接底边中点和顶点的直线在等腰三角形中，连接底边中点和顶点的直线是最常见的辅助线之一。
通过连接底边中点和顶点的直线，可以将等腰三角形分为两个等边三角形，从而为解决问题提供了更多可能性。
二、平分底角另一种常见的辅助线是平分底角。
通过连接底边两个顶点与底角的平分线，可以将等腰三角形分成两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加简单明了。
三、平分顶角平分顶角也是一种常用的辅助线方法。
通过连接顶点与底边中点的直线，可以将等腰三角形分为两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加方便。
四、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线通过连接底边两个顶点与三角形顶点的直线，可以形成一个内切等边三角形。
这个内切等边三角形可以为解决问题提供更多线索。
五、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点通过连接底边两个顶点与顶角平分线的交点，可以形成一个四边形。
这个四边形可以为解决问题提供更多线索。
六、连接底边两个顶点与底边中点的连线通过连接底边两个顶点与底边中点的连线，可以形成一个等腰梯形。
这个等腰梯形可以为解决问题提供更多线索。
七、连接底边两个顶点与对边中点的连线通过连接底边两个顶点与对边中点的连线，可以形成一个平行四边形。
这个平行四边形可以为解决问题提供更多线索。
八、连接对边中点的连线通过连接对边中点的连线，可以形成一个等腰三角形的中线。
这个中线可以为解决问题提供更多线索。
在解决等腰三角形相关问题时，可以灵活运用以上八种常用的辅助线方法。
通过合理选择辅助线，可以使问题的解决更加简单明了。
当然，在运用辅助线的过程中，需要注意辅助线与等腰三角形的关系，确保辅助线的引入能够帮助解决问题，而不会导致问题的复杂化。
总结起来，通过连接底边中点和顶点的直线、平分底角、平分顶角、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点、连接底边两个顶点与底边中点的连线、连接底边两个顶点与对边中点的连线以及连接对边中点的连线这八种常用的辅助线方法，我们可以更加灵活地解决等腰三角形相关问题。
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y MA
Ox C
图1 B
(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，PA为腰作等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值.
解:(2)如图2，过点D作DQ⊥OP于Q点， 则DE=OQ,∴OP-DE=OP-OQ=PQ, ∵∠APO+∠QPD=90°， ∠APO+∠OAP=90°， ∴∠QPD=∠OAP, 又∠AOP=∠PQD=90°，AP=PD， ∴△AOP≌△PQD(AAS), ∴PQ=OA=2.即OP-DE=2.
如遇等边三角形，通常以某条线段为边构造一个合适的等边三角形， 同时构造全等三角形.
y AO
Q
E x
D
P 图2
类型三：等腰(边)三角形中截长补短构造全等或等边三角形 如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以
D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN， 求证：MN＝BM＋CN.
A
M N
B
C
D
如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以
类型二：巧ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等腰直角三角形构造全等
如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.
(1)点求C的坐标；
(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶
点，PA为腰作等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值.
y
y
A
AO
Ox
E x
C
D
图1 B
P 图2
如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角
△ABC. (1)点求C的坐标；
解:(1)如图1，过C作CM⊥x轴于M点， ∵∠MAC+∠OAB=90°， ∠OAB+∠OBA=90°， 则∠MAC=∠OBA， 又∠CMA=∠AOB=90°，AC=AB, ∴△MAC≌△OBA(AAS), ∴CM=OA=2，MA=OB=4， ∴OM=OA+AM=2+4=6, ∴点C的坐标为(-6，-2).
证明：在DC上截取DE＝DB
∵AD⊥BC
∴∠ADB＝∠ADE
又∵AD＝AD ∴△ADB≌△ADE(SAS) ∴AB＝AE，∠ABD＝∠AED ∵∠B＝2∠C ∴∠AED＝2∠C
B DE
C
又∵∠AED＝∠C＋∠EAC
∴∠C＝∠EAC
∴AE＝CE
∴AB＋BD＝AE＋DE
＝CE＋DE＝CD.
⑵ 在⑴中如果条件∠B＝2∠C与结论AB＋BD＝CD互换，仍然成立吗？试说
同理∠ACD＝90°
∵∠4＝60°，∠BDC＝120° ∴∠5＋∠3＝60° ∴∠MDE＝∠5＋∠6＝60° ∴∠MDE＝∠4⑤ DM＝DM⑥
∴∠DBE＝∠DCN＝90°③
由④⑤⑥得△MED≌△MND
由①②③得△DCN≌△DBE
∴MN＝ME＝MB＋EB＝MB＋CN
遇等腰直角三角形时，通常结合腰相等和锐角互余来添加辅助线、构 造全等三角形；
明理由.
解：仍然成立，理由如下：
∴AE＋DE＝CD
A
在DC上截取DE＝DB
而CE＋DE＝CD
∵AD⊥BC
∴AE＝CE
B DE
C∴∠ADB＝∠ADE 又∵AD＝AD
∴∠EAC＝∠C 而∠AED＝∠EAC＋∠C
∴△ADB≌△ADE(SAS)
∴∠AED＝2∠C
∴AB＝AE，∠B＝∠AED
∴∠B＝2∠C
∵AB＋BD＝CD
D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN，
求证：MN＝BM＋CN
A
证明：延长MB至点E使BE＝CN① ∴DN＝DE④，∠3＝∠6
M
∵∠BDC＝120°，DB＝DC②
N ∴∠2＝∠3＝30°
1
B 2 5 4 3 C∵△ABC是正三角形
6
ED
∴∠1＝60°,∠ABD＝90°
等腰三角形中辅助线的作法⑴
等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线互相重 合，我们将等腰三角形这一性质称之为“三线合一”，“三线合一” 适用于等腰三角形问题，用其可以解决同一三角形内部的边角问题.
类型一：利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 如图，已知△ABC 中，AB＝AC，CD⊥AD 于 D，CD＝ 1 BC，D 2
在△ABC 外，求证：∠ACD＝∠B. A
D
B
EC
如图，已知△ABC 中，AB＝AC，CD⊥AD 于 D，CD＝ 1 BC，D 2
在△ABC 外，求证：∠ACD＝∠B.
A
证明：过点 A 作 AE⊥BC 于点 E 又∵CD⊥AD，AE⊥BC
∵AB＝AC
∴△ACD和△ABE均为直角三角形
D ∴BE＝ 1 BC
在等腰三角形中，如遇等边或等角，可以考虑作底边上的高线，运 用“三线合一”性质解题；如遇垂直平分，可以考虑构造等腰三角形 解题.
等腰三角形中辅助线的作法⑵
等腰直角三角形和等边三角形是特殊的等腰三角形，它们除具有 等腰三角形的所有性质外，还有自身独特的性质，因而在解题中， 可以充分利用它们独特性质构造全等的三角形，以突破解题的难点.
2
B
EC
而 CD＝ 1 BC
2
∴BE＝CD
在Rt△ACD和Rt△ABE中 BE=CD AB=AC ∴ Rt△ACD≌Rt△ABE(HL) ∴∠ACD＝∠B
二、构造等腰三角形 ⑴ 在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝CD
A
B DE
C
⑴ 在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝CD A