最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线的标准方程》梳理探究
人教版高中数学选修2-1第二章2.4.2抛物线及其标准方程 (1)
导入新课θθαθ椭圆双曲线抛物线ellipse hyperbola parabola观察与分析在生活中存在着各式各样的抛物线，你能说出抛物线存在哪些几何性质吗？下面让我们一起学习和研究抛物线的简单几何性质……教学目标知识与能力：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解抛物线的范围、对称性及顶点、离心率的概念；掌握抛物线的标准方程、会用抛物线的定义解决实际问题.过程与方法：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重培养学生的能力；注重探索能力的培养.情感态度与价值观：在合作、互动的教学氛围中，培养学生科学探索精神，激励学生创新；让学生参与利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣.教学重难点重点：认识生活中的抛物线及其特点. 难点：掌握抛物线的简单几何性质.前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有什么区别吗？分析:经过上面的学习我们知道,抛物线只有一个焦点、一个顶点一条对称轴、一条准线;它没有中心.通常抛物线称为无心圆锥曲线，而椭圆和双曲线称为有心圆锥曲线.一.范围：抛物线y 2=2px (p >0)与椭圆、双曲线一样同样有许多重要的性质,在这里我们一起研究它的几个简单几何性质.因为p >0,由y 2=2px (p >0)可知，对于此抛物线上的点M (x , y ), x ≥0,所以这条抛物线在y 轴的右侧,开口方向与x 轴正向相同;当x 的值增大时,|y |也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.二. 对称性：以-y代y,方程y2=2px(p>0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.三. 顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此抛物线y2=2px(p>0)的坐标的顶点就是坐标的原点.四.离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由定义可知,e=-1.例1：已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M （2，-2 ）,求它的标准方程.2 解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在原点,并且经过点M （2,-2 ）,所以,可以设它的标准方程为 2y 2=2px （p >0）因为点M 在抛物线上，所以（-2 ）2=2p ·2，2即 p =2. 因此,所求的抛物线的标准方程为y 2=4x例2：O F My x 如图,M 是抛物线有y 2=4x 上一点,F 是抛物线的焦点,以Fx 为始边、FM 为终边的角∠xFM =60°,求|FM |.解：因为∠xFM =60°,所以线段FM 所在直线的斜率为k =tan 60°= ,因此，直线FM 的方程为y = （x -1）. 33与抛物线y 2=4x 联立，得 ｛y = （x -1）,① 3y 2=4x . ②把①代入②得 3x 2-10x +3=0， 继续解答 解得 x 1= , x 2=3. 13把x 1= ，x 2=3分别代入①得 13y 1= ，y 2=2 . -2333 由图可知（ ， ）不符合题意，所以M 点的坐标为（3，2 ）.13-233O F M yx 3因此，|FM |= 223-1+23-0（）（）= 4.例3：y x B AO ● F 如图,直线y =x -2与抛物线y 2=2x 相交于A ,B 两点,求证:OA ⊥OB.证明：将y =x -2代入y 2=2x 中，得（x -2）2=2x . 化简得 x 2-6x +4=0，解得 x =3± ，则 y =3± -2=1± . 55继续解答因为kOB= ，k OA= ，1+5 3+51-5 3-5所以kOB ·k OA= × = =-11+53+51-53-51-59-5所以OA⊥OB.解题技巧的小小总结：一. 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x(或y)则x 轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.二. 由已知条件求抛物线标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.课堂小结一.与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质如下：1.抛物线只位于半个坐标平面内，它可以无限延伸,但没有渐近线.2.抛物线只有1条对称轴，无对称中心.3.抛物线只有1个顶点、1个焦点、1条准线.4.抛物线的离心率是确定的，其值为1．二. 简单的定义：1.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的对称轴.2.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.3.抛物线上的动点M到焦点的距离和它到准线的距离比，叫做抛物线的离心率.三. 当抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)时，它具有如下几何性质：1.它的范围为向右上方和右下方无限延伸.2.它关于x轴对称.3.它的顶点就是坐标原点.4.它的离心率e=1.高考链接1.(2008广东文、理) 设b >0,椭圆方程为 ，抛物线方程为x 2=8（y -b ）.如图4所示,过点F (0,b +2)作x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G .已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1.2222x y +=12b b(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.解：解方程组 2y =b +2x =8(y -b),(x >0)⎧⎨⎩得 x =4y =b +2⎧⎨⎩ 所以点G 的坐标为G (4,b +2),由x 2=8（y -b ）,得y = x 2+b ，求导数得18y ˊ= x ， 41 于是,抛物线y = x 2+b 在点G 的切线l 的斜率为 181|414'=⨯=x=4k =y 又椭圆 中 , 即c =b ,所以椭圆的右焦点为F 1（b ,0）由切线l 过点F 1,可知 ，解得b =1. 2222x y +=12b b2222c =2b -b =b 1GF b +2-0k ==14-b继续解答所以满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为和22x y+=1212x=8(y-1)（2）在抛物线上存在点P,使得△ABP为直角三角形.且这样的点有4个.证明：分别过点A、B做y轴的平行线,交抛物线于M,N点,则∠MAB=90°,∠NBA=90°,显然M,N在抛物线上,且使得△ABM,△ABN为直角三角形.若以∠APB为直角,设点P坐标为 ,A、B两点的坐标分别为和 ,.关于x2的二次方程有一大于零的解，21(x,x+1)8(-2,0) (2,0)PA 22242115PB=x-2+(x+1)=x+x-1=08644∴x有两解,即以∠APB为直角Rt△APB的有两个, 综上所述, 满足条件的点共有4个.2. (2008陕西文、理)已知抛物线:y=2x2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行;（Ⅱ）是否存在实数k使 ,若存NA NB=在,求k的值;若不存在,说明理由．继续解答解:（Ⅰ）如图，设A (x 1,2x 12)，B (x 2,2x 22)，把y =kx +2代入y =2x 2得2x 2-kx -2=0， xA y 1 1 2 M NB O 由韦达定理得,x 1+x 2= , x 1x 2=-1,2k ∴ 12+===24N M x x k x x ∴ N 的点坐标为 ， ⎛⎫ ⎪⎝⎭248，k k 将y =2x 2代入上式得， 222-+-=048mk k x mx∵直线l 与抛物线C 相切,2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭∴m =k ,即l //AB .（Ⅱ）假设存在实数k ,则NA ⊥NB , 0NA NB ∙=又∵ M 是AB 的中点, 1∴|MN|=|AB|2由（Ⅰ）知 M 121212111y =(y +y )=(kx +2+kx +2)=[k(x +x )+4]222⎛⎫ ⎪⎝⎭221k k =+4=+2224∵MN ⊥ x 轴,222M N k k k +16\|MN |=|y -y |=+2-=488又 222121212|AB |=1+k |x -x |=1+k (x +x )-4x x ∙∙2222k 1=1+k -4(-1)=k +1k +1622⎛⎫∙∙∙ ⎪⎝⎭222k +161\=k +1k +1684∙,解得 k =±2. 即存在k =±2，使 NA NB =0∙随堂练习1.填空题：（1） 抛物线y 2=4x 的焦点F ,准线l 交x 轴于R ,过抛物线上一点P （4，4）作于PQ ⊥ l 于Q ,则S 梯PQRF =____________. 14（2）若抛物线y 2=2x 上两点 A （x 1，y 1）,B （x 2,y 2）关于直线y =x +m 对称,则 ,则m = ________. 121=-2x x 32（1）抛物线上有A 、B 、C 三点横坐标依次为1, 2 ,3在轴一点D 纵坐标为6,则四边形ABCD 为（ ） A. 正方形 B. 菱形C. 平行四边形D. 任意四边形2.选择题：C（2）已知A 、B 是抛物线y 2=2px （p >0）上两点,O 为原点,若|OA |=|OB |且△OAB 的重心恰为抛物线的焦点,则AB 的直线方程为（ ） A. x =p B. x =3p C. x = p D. x = p 3234D3.解答题：（1）抛物线y 2=4x 上两定点A 、B （A 在轴上方,B 在轴下方）F 为焦点,|AF |=2,|BF |=5,P 为抛物线AOB 这一段上一点,求S △PAB 面积最大值.解：由已知F （1,0）准线x =-1，|AF |=2 ∴x A +1=2 ∴A （1,2）|BF |=5,x B +1=5∴B （4，-4） AB =3 l AB ：2x +y -4=05200(,)4y P y y 0∈（-4，2）继续解答 200+-42(,)=5AB y y d p l 20(+1)-9=25y ∴y 0=-1 d MAX =925∴ ⨯⨯Δ1927=35=2425maxS 1(,-1)4P（2）设抛物线的顶点为O ,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线与B ,C 两点,经过抛物线上的一点P 且垂直于轴的直线与轴交于点Q .求证:|PQ |是|BC |和|OQ |的比例中项.证明：设抛物线方程为y 2=2px ,则点B 的坐标为（ ,p ）,点C 的坐标为（ ,-p ）,设点P 的坐标为（x ,y ）,则点Q 的坐标为（x ,0）.2p 2p 因为|PQ |=|y |= ,|BC |=2p ,|OQ |=x ,所以|PQ |2=|BC ||OQ |,即|PQ |是|BC |和|OQ |的比例中项. 2px（3）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y 2=2px （p >0）的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个等边三角形的边长.解：设等边三角形的另外两个顶点分别是A ,B ,其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为3=-32（）p y x 与y 2=2px 联立,消去x ,得 y 2-2 py -p 2=0. 3解方程,得y 1=( +2)p ，y 2=( -2)p .33继续解答 把y 1=( +2)p 代入 ,得 33=-32（）p y x x 1= 7(+23).2p 把y 2=( -2)p 代入 ,得 33=-32（）p y x x 2= 7(-23).2p 所以，满足条件的点A 有两个：A 1( ,( +2)p ), A 2( ,( -2)p ). 7(+23)2p 37(-23)2p 3 根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个：B 1( ,-( +2)p ), B 2( ,-( -2)p ). 7(+23)2p 37(-23)2p 3 所以，等边三角形的边长是|A 1B 1|=2( +2)p ，或者|A 2B 2|=2(2- )p . 33习题解答 1.（1）y 2= x ; （2）x 2=20y ; 165（3）y 2=-16x ; （4）x 2=-32y . 2.图形右图,x 的系数越大,抛物线的开口越大. y 2=4x y 2=2xy 2=x y 2= x xy 123. 解：过点M (2,0)且斜率为1的直线l 的方程为y =x -2，与抛物线的方程y 2=4x 联立｛ y =x -2,y 2=4x . ｛ 解得 x 1=4+2 ， 3y 1=2+2 ；3｛x 2=4-2 ， 3y 2=2-2 . 3设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 |AB |= 222121-+-（）（）x x y y 22=-43+-43（）（）=464. 解:设直线AB的方程为x=a（a>0）.将x=a代入抛物线方程y2=4x,得y2=4a,即y=±2 .a因为|AB|=2|y|=2×2 =4 =4 ,a a3所以a=3.因此，直线AB的方程为x=3.。
选修2-1第二章《抛物线》
如图所示，建立直角坐标系，设 （ ）,
那么焦点 的坐标为 ，准线 的方程为 ，
设抛物线上的点 ，则有
化简方程得
方程 叫做抛物线的标准方程
（1）它表示的抛物线的焦点在 轴的正半轴上，焦点坐标是 ，
它的准线方程是
3、四种形式的抛物线
(1) ,焦点: ，准线 ：
(2) ,焦点: ，准线 ：
16．(12分)[解析]：设抛物线方程为 ，则焦点F（ ），由题意可得
，解之得 或 ，
故所求的抛物线方程为 ，
17．（12分）[解析]：设M的坐标为（x，y），A（ ， ），又B 得
消去 ，得轨迹方程为 ，即
18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 ，由题意可知，
B（4，-5）在抛物线上，所以 ，得 ，
A．y2=-2xB．y2=-4x
C．y2=2xD．y2=-4x或y2=-36x
7．过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）
A．8B．10C．6D．4
8．把与抛物线y2=4x关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（）
18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)
19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|= ，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线的标准方程》课堂探究
课堂探究1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的________的点的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，________叫做抛物线的准线．抛物线定义中的定点F 不在定直线l 上，否则点的轨迹不是抛物线，而是过点F 与l 垂直的一条直线．2．抛物线的标准方程方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py (p ＞0)叫做抛物线的______方程．(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．(2)抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．(3)抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．(4)抛物线x 2＝－2py (p ＞0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，－p 2，它的准线方程是y ＝p 2，它的开口方向______．抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0)的焦点在一次项字母所对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定，当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；系数为负时，开口向坐标轴的负方向．【做一做】若抛物线的焦点为(1,0)，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．无法确定1．抛物线的图象是双曲线的一支吗？剖析：虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”，但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支．当抛物线上的点趋向于无穷远时，曲线上点的切线接近于和对称轴平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，曲线上的点的切线接近于与渐近线平行；抛物线没有渐近线；从方程上看，抛物线方程与双曲线方程有很大差别．2．如何确定抛物线的标准方程？剖析：确定焦点在哪个坐标轴上或平行于坐标轴的哪条直线上，开口方向，焦参数p . 过焦点作准线的垂线段，垂线段的中点为抛物线的顶点．题型一 抛物线的标准方程【例1】已知抛物线C 过点(2，－4)，求抛物线的标准方程．分析：已知抛物线过一个点，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上来讨论．反思：题目没有明确焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可以不考虑开口方向，设抛物线方程为y 2＝ax 或x 2＝ay ，将点(2，－4)代入求出a .题型二 抛物线定义的应用【例2】过抛物线y ＝4x 2的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝5，求线段AB 的长．分析：先把方程化为标准方程，即x 2＝14y ，再由抛物线的定义得到答案． 反思：过焦点的直线被抛物线截得的线段叫焦点弦，焦点与抛物线上的点的连线叫焦半径．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M (x 0，y 0)，过该点的焦半径为x 0＋p 2. 题型三 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线【例3】已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程：(1)y 2＝8x ；(2)x ＝ay 2(a ≠0)．分析：将方程化为标准形式，求p ，结合图形，从而求得焦点坐标与准线方程． 答案：基础知识·梳理1．距离相等 定点F 定直线l2．标准 (1)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2 向右 (2)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2 向左 (3)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2向上 (4)向下【做一做】C ∵焦点(1,0)在x 轴的正半轴上，∴抛物线的标准方程为y 2＝4x .故选C. 典型例题·领悟【例1】解：当焦点在x 轴上时，设抛物线方程为y 2＝ax ，将(2，－4)代入得a ＝8，故所求方程为y 2＝8x ；同理，当焦点在y 轴上时，求得抛物线方程为x 2＝－y .所以满足条件的抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .【例2】解：将抛物线方程化为x 2＝14y ，设焦点为F ， |AF |＝y 1＋p 2， |BF |＝y 2＋p 2，p ＝18， |AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝y 1＋y 2＋p ＝418. 【例3】解：(1)因为2p ＝8，所以p ＝4，开口向右，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.(2)因为原抛物线的方程可化为y 2＝1ax ， 所以2p ＝⎪⎪⎪⎪1a ，所以p 2＝⎪⎪⎪⎪14a . 当a ＞0时，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a； 当a ＜0时，焦点坐标仍为⎝⎛⎭⎫14a ，0，准线方程仍为x ＝－14a.。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》知识导引
2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程第一课时问题探究【问题】 把一根直尺固定在图板上直线l 的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A 到直角顶点C 的长(即点A 到直线l 的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子,使点A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.请问此曲线上任意一点到定点F 的距离与到直线l 的距离有何关系?此曲线为何曲线?思路分析：由画法知,CP=PF,即曲线上任一点到定点F 的距离等于到直线l 的距离.此曲线看上去像二次曲线(抛物线).自学导引1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 .2.方程y 2=±2px,x 2=±2py(p>0)叫做抛物线的 方程.3.抛物线y 2=2px(p>0)的焦点坐标是 ,它的准线方程是 ,它的开口方向 .4.抛物线y 2=-2px(p>0)的焦点坐标是 ,它的准线方程是_______,它的开口方向_______.5.抛物线x 2=2py(p>0)的焦点坐标是 ,它的准线方程是 ,它的开口方向 .6.抛物线x 2=-2py(p>0)的焦点坐标是 ,它的准线方程是 ,它的开口方向 .7.抛物线的标准方程y 2=2px(p>0)中,p 具有一定的几何意义,它表示____________________.答案: 1.相等 焦点 准线 2.标准 3.(2p ,0) x=-2p 向右 4.(- 2p ,0) x=2p 向左 5.(0, 2p ) y=-2p 向上 6.(0,- 2p ) y=2p 向下 7.抛物线的焦点到准线的距离疑难剖析1.抛物线的定义【例1】 已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x 轴，求抛物线的方程.解析:设M(x,y)为抛物线上的任意一点， 则由抛物线的定义，得|y |)3()3(22=-+-y x .平方整理，得y=61x 2-x+3为所求抛物线的方程.温馨提示:当抛物线的顶点不在原点,对称轴不是坐标轴时,我们只能根据定义求抛物线的方程.【类题演练1】 抛物线y 2=-4px(p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示（ ）A.F 到l 的距离B.F 到y 轴的距离C.F 点的横坐标D.F 到l 的距离的41 2.求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程需要求出p,并且判断焦点所在坐标轴的位置.【例2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）过点（3，-4）；（2）焦点在直线x+3y+15=0上.解析:（1）∵点（3，-4）在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2=2px(p ＞0)或x 2=-2p 1y(p 1＞0).把点（3，-4）的坐标分别代入y 2=2px 和x 2=-2p 1y ，得(-4)2=2p ·3，32=-2p 1·（-4），即2p=316,2p 1=49. ∴所求抛物线的方程为y 2=316x 或x 2=-49y. （2）令x=0,得y=-5；令y=0,得x=-15.∴抛物线的焦点为（0，-5）或（-15，0）.∴所求抛物线的标准方程为y 2=-60x 或x 2=-20y.温馨提示:(1)抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向.(2)抛物线的标准方程只有一个参数p,即焦点到准线的距离,常称为焦参数.【类题演练2】 分别求适合下列条件的抛物线方程.(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A(2,3);(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为25. 3.抛物线标准方程的应用【例3】 平面上动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,求动点P 的轨迹 方程 .解法一:设P 点的坐标为(x,y),则有(x-1)2+y 2=|x|+1,两边平方并化简得y 2=2x+2|x|.∴y 2=⎩⎨⎧<≥0004x x x ，，即点P 的轨迹方程为y 2=4x(x ≥0)或y=0(x<0).解法二:由题意,动点P 到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1,由于点F(1,0)到y 轴的 距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点适合条件;当x ≥0时,原命题等价于点P 到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P 在以F 为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y 2=4x.故所求动点P 的轨迹方程为y 2=4x(x ≥0)或 y=0(x<0).温馨提示:求动点的轨迹方程时,可用定义法列等量关系,化简求解;也可判断后,用类似于公式法的待定系数法求解,但要判断准确,注意挖掘题目中的隐含条件,防止重、漏解.【类题演练3】 若点P 到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,求点P 的轨迹方程.答案:1.解析:在抛物线的标准方程y 2=-2px(p ＞0)中，p 是焦点到准线的距离，2p 是焦点到y 轴的距离或y 轴与准线间的距离，所以在抛物线方程y 2=-4px(p ＞0)中，p 为焦点到y 轴或y轴与准线间的距离.答案: B2.解析:(1)由题意,方程可设为y 2=mx 或x 2=ny,将点A(2,3)的坐标代入,得32=m ·2或22=n ·3,∴m=29或n=34. ∴所求的抛物线方程为y 2=29x 或x 2=34y. (2)由焦点到准线的距离为25,可知p=25, ∴所求抛物线方程为y 2=5x 或y 2=-5x 或x 2=5y 或x 2=-5y.3.解析:∵点F(4,0)在直线x+5=0的右侧,且P 点到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,∴点P 到F(4,0)的距离与到直线x+4=0的距离相等.故点P 的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,p=8.故P 点的轨迹方程为y 2=16x. 拓展迁移【拓展点】 过抛物线y 2=2px 的焦点F 作倾斜角为θ的直线,交抛物线于A 、B 两点,求|AB|的最小值.解析:(1)若θ=2π,此时|AB|=2p. (2)若θ≠2π,因有两交点,所以θ≠0. 直线AB 的方程为y=tan θ(x-2p ), 即x=θtan y +2p . 代入抛物线方程得0p y tan 2p y22=--θ. 于是(y 2-y 1)2=2224p tan 4+θp =θ22csc 4p ⋅, (x 2-x 1)2=θ2212tan )(y y - =θθ222tan csc 4p .故|AB|2=θ22csc 4p ⋅(θ2tan 11+)=θ42csc 4p ⋅. 所以|AB|=2p sin 22>θp . 因为θ≠2π,所以这里不能取“=”. 综合(1)(2),当θ=2π时,|AB| min =2p.。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学一、抛物线1.抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.（1）定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为抛物线；另一方面，抛物线上点有定义中条件的性质.（2）两个定义的综合运用是解决有些抛物线问题的捷径.（3）求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.2.抛物线的方程（1）抛物线的标准方程（a ＞b ＞0）①y 2=2px(p ＞0)；②y 2=-2px(p ＞0)；③x 2=2py(p ＞0)；④x 2=-2py(p ＞0).抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p 等于焦点到抛物线顶点的距离.二次函数y=ax 2(a≠0)方程满足抛物线的定义，所以它的图象是抛物线，它的焦点坐标为（2a ,0），准线方程x=2p . （2）中心在(x 0,y 0)的抛物线方程(a ＞b ＞0)利用平面向量的平移可得到上述标准方程中对应的形式，如顶点在（x 0,y 0）有对称轴为y=y 0,开口向右的抛物线方程为(y-y 0)2=2p(x-x 0)(p ＞0).要点提示 在求抛物线的方程的时候一定要考虑焦点在哪个轴上，开口方向两个方面.此外，因为抛物线有四个标准方程，确定了焦点在哪个轴上和开口方向，这个抛物线的方程大致形状也就确定了.问题·探究问题1 抛物线在现实生活中有哪些应用？探究:抛物线在现实生活中的应用很广泛，我们熟悉的汽车前灯，太阳灶，有的大桥也设计成抛物线形状，抛物线最重要的应用还是在物理学上，根据抛物线的运行轨迹，人们把它运用到了军事上的大炮、导弹.问题2 学习抛物线方程，要注意些什么？探究:抛物线的标准方程有四个，在学习它们的时候一定要注意区分，焦点在x 轴上两个，焦点在y 轴上两个，焦点坐标与准线方程都于一次项的系数有关，抛物线的方程在确定了焦点位置和一次项的系数，抛物线的形状也就确定了下来.典题·热题例1 已知点M （3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点p 在该抛物线上移动，当|PM|+|PF|取最小值时，点P 的坐标为______________________.思路分析：本题若建立目标函数来求|PM|+|PF|的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决.解：如右图所示，由定义知|PF|=|PE|，故|PM|+|PF|=|PF|+|PM|≥|ME|≥|MN|=213.取等号时，M,P,E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为(2,2).方法归纳 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离.要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换. 例2 求过点（-3，2）的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.思路分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=-2px 或x 2=2py （p ＞0），∵过点（-3，2），∴4=-2p （-3）或9=2p·2.∴p=32或p=49. ∴所求的抛物线方程为y 2=x 34-或x 2=y 29.前者的准线方程是x=31，后者的准线方程是y=89-. 误区警示 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.思路分析：可设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0).如右图所示，只须证明2||AB =|MM 1|，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明:作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1.M 为AB 中点，作MM 1⊥l 于M 1，则由抛物线的定义，可知|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|.在直角梯形BB 1A 1A 中：|MM 1|=21（|AA 1|+|BB 1|）=21（|AF|+|BF|）=21|AB|. ∴|MM 1|=21|AB|.故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切. 方法归纳 类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.例4 如右图所示，直线l 1和l 2相交于点1M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.思路分析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围. 解：如图以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段.其中A 、B 分别为曲线段C 的端点. 设曲线段C 的方程为y 2=2px （p>0）（x A ≤x≤x B ，y>0），其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p=|MN|，所以M （2p -，0）、N （2p ，0）. 由|AM|=17，|AN|=3，得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A -2p ）2+2px A =9. ② ①②联立解得x A =p4，代入①式，并由p>0， 解得⎩⎨⎧==1,4A x p 或⎩⎨⎧==.2,2Ax p 因为△AMN 为锐角三角形，所以A x p >2. 故舍去⎩⎨⎧==.2,2A x p 所以⎩⎨⎧==.1,4Ax p 由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN|-2p =4. 综上，曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x≤4，y>0）.。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》示范教案(第1课时)
2．4 抛物线2．4.1 抛物线及其标准方程整体设计教材分析本节在教材中的地位和作用：在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数提供了直观的图象感觉；在高中阶段也有着广泛的应用，它在一元二次不等式的解法、求最大(小)值等方面有着重要的作用．但学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线之后，已具备了探讨这个问题的能力．因此，这一节的教学既是与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美，也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础．我们在教学中采用“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，具体做法如下：(1)通过图片的形象展示及信息技术应用，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了抛物线的定义及其应注意的条件，提高学生的综合分析能力．(2)类比椭圆、双曲线标准方程的求解过程，思考→研究讨论→点拨引导，得到抛物线标准方程．通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．课时分配本节内容分两课时完成. 第一课时讲解抛物线的定义及其标准方程；第二课时讲解运用抛物线的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法．第1课时教学目标知识与技能1．掌握抛物线的定义、几何图形，明确焦点和准线的意义；2．会推导抛物线的标准方程；3．能够利用给定的条件求抛物线的标准方程．过程与方法通过“观察”“思考”“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受坐标法及数形结合的思想．情感、态度与价值观通过提问、讨论、思考解答等教学活动，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，加强学生对抛物线的感性认识，使学生得到美的享受，陶冶了情操．重点难点教学重点：抛物线的定义及其标准方程．教学难点：抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键是坐标系方案的选择)．教学过程复习旧知在初中，我们学习过了二次函数y＝ax2＋bx＋c，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：(1)y＝4x2，(2)y＝－4x2的图象(展示两个函数图象)：并让学生思考抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．讲授新课1．课题引入通过演示课前老师准备的有关图片(PPT), 例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门，它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物；再看一张图片，这是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥——赵州桥，让同学们思考它的拱底是什么曲线？(学生易回答是抛物线)事实上，它并不是抛物线，而是圆的一段劣弧．再思考到底什么样的曲线才可以称作是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容．2．抛物线的定义本节信息技术应用(课堂中用几何画板展示画图过程)先看一个实验：如图：点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？(学生观察画图过程，并讨论)可以发现，点M随着H的运动，始终有|MH|＝|MF|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．(也可以用几何画板度量|MH|，|MF|的值)(定义引入)：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(板书)提出问题：定点F与定直线l是什么关系？为什么定义里要强调点F不在直线l上？如果定点F和定直线l之间的距离越来越小，抛物线有什么变化？活动设计：由教师利用多媒体演示，学生观察、讨论．活动结果：发现当点F和直线l之间的距离越来越小时，抛物线的开口越来越窄．抛物线的形状实质上是取决于焦距．焦距不同，抛物线就不同．提出问题：定点F越来越靠近直线l，并最终落在直线l上时，抛物线有什么变化？活动设计：由教师利用多媒体演示，学生观察、讨论．活动结果：曲线退化为一条过点F且垂直于直线l的直线．3．抛物线的标准方程探究：从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M(x，y)满足到焦点F的距离与到准线l的距离相等．那么动点M(x，y)的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？提出问题：设焦点F到准线l的距离为p(p>0)，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程，才能使所得的方程取较简单的形式呢？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程．活动设计：让学生分组讨论，教师巡视，最后由小组推荐一人上台板演：活动结果：学生得到了3种不同的方案：方案1：以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(如图)．设定点F(p,0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p＝{M||MF|＝|MD|}．由坐标表示得：x－p2＋y2＝|x|.化简后得：y2＝2px－p2 (p＞0)．方案2：以定点F为原点，平行于l的直线为y轴建立直角坐标系(如图)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x＝－p，定点F(0,0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p＝{M||MF|＝|MD|}．由坐标表示得：x2＋y2＝|x＋p|化简得：y2＝2px＋p2 (p＞0)．方案3:取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)．设|KF|＝p ，则定点F 的坐标为(p 2，0)，准线l 的方程为x ＝－p 2，设抛物线上的点M(x ，y)到l 的距离为d ，抛物线是集合p ＝{M||MF|＝d}． ∵|MF|＝x －p 22＋y 2，d ＝|x ＋p 2|， ∴x －p 22＋y 2＝|x ＋p 2|. 化简后得：y 2＝2px (p ＞0)．提出问题：观察以上3个建系方案及其对应的方程，你认为应该选择哪个方程作为抛物线的标准方程呢？学情预测：开始学生的回答可能不全面，但在其他同学的不断补充、纠正下，会趋于完善．如方程的形式较简单、对称轴、焦点 、方程无常数项、顶点在原点等．活动结果：我们把方程y 2＝2px(p>0)叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是(p 2，0)，准线方程是x ＝－p 2. 提出问题：在求椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图(投影展示下列表格的第一列)四种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：活动设计：学生分四组分别计算四种情况，一起填充表格理解新知观察抛物线图形及其标准方程，师生共同总结归纳：(1)所建坐标系的共同特点：①抛物线都过原点；②对称轴为坐标轴；③准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 .(2)p(p>0)表示焦点F 到准线l 的距离；(3)抛物线标准方程中若一次项是x ，则对称轴为x 轴，焦点在x 轴上；若一次项是y ，则对称轴为y 轴，焦点在y 轴上；而且“＋”在正半轴上，“－”在负半轴上．(对称轴看一次项)(4)若标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向为x 轴或y 轴的正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为x 轴或y 轴的负方向．(符号决定开口方向)(5)焦点坐标中横(纵)坐标的值是一次项系数的14，准线方程中的数值是一次项系数的－14. 运用新知例题研讨，变式精析1(1)已知抛物线的标准方程是y 2＝6x ，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0，－2)，求它的标准方程．分析：(1)先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，再利用焦点坐标中横(纵)坐标的值是一次项系数的14，准线方程中的数值是一次项系数的－14，得到焦点坐标和准线方程． (2)先判定出焦点在y 轴上，从而得到一次项为y ，再利用14关系写出方程． 解：(1)因为p ＝3，所以抛物线的焦点坐标为(32，0)，准线方程为x ＝－32. (2)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且p 2＝2，p ＝4， 所以，所求抛物线方程为x 2＝－8y.点评：(1)进一步熟悉由抛物线的标准方程求焦点坐标、准线方程，及由焦点求方程的方法．(2)培养学生运用知识解决问题的能力．2求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2＝20x ；(2)y ＝2x 2；(3)2y 2＋5x ＝0；(4)x 2＋8y ＝0.解：点评：(1)求抛物线的焦点一定要先将方程化成抛物线的标准方程形式．(2)再利用焦点坐标中横(纵)坐标的值是一次项系数的14，准线方程中的数值是一次项系数的－14，得到焦点坐标和准线方程．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知抛物线的标准方程是x 2＝4y ，则你可以得到哪些结论？(把你能得到的结论都写出来)2．已知p ＝1，则你可以得到哪些抛物线的结论？(把你能得到的结论都写出来)3．已知焦点在x 轴上，________________，可以求得抛物线的标准方程为y 2＝4x ，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流．学情预测：1.对称轴x ＝0，焦点(0,1)，准线方程y ＝－1.2．抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝－4y 或y 2＝4x 或y 2＝－4x 等．3．焦点坐标为(1,0)；或准线方程的x ＝－1；或抛物线过点(1,2)等．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．达标检测1．已知抛物线上一点A 到焦点的距离等于6，那么点A 到准线的距离等于__________．2．抛物线y 2＝12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是______________．3．抛物线x 2＝－4y 的焦点到准线的距离等于____________．4．求抛物线y ＝－4x 2的焦点坐标和准线方程．5．已知抛物线的焦点F (－3,0)，求抛物线标准方程．活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流．设计意图：教学中应注意教学效果的及时信息反馈，做到教学有针对性和实效性．1．6 2.(6，±62) 3.2 4.焦点坐标为(0，－116)，准线方程为y ＝1165.y 2＝－12x 课堂小结让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：1．抛物线的定义及其标准方程(注意四种形式的异同)；2．(1)已知焦点或准线方程求抛物线标准方程的基本方法：关键是：定轴向—求p 值—写方程；(2)已知抛物线的标准方程，求抛物线的焦点与准线方程，关键要确定轴向．3．抛物线上点M 到焦点F 距离的求解方法：可以转化成点M 到准线的距离．4．注重数形结合、分类讨论思想．作业布置课本习题2.4 A 组1,2,3.补充练习1．抛物线x 2＝y 的准线方程是____________________．2．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是____________．3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆y 26＋x 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．44．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q(2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(14，－1)B ．(14，1)C ．(1,2)D ．(1，－2)5．过抛物线y ＝4x 2的焦点作直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝5，求线段AB 的长．1．x ＝－14 2.y ＝－15163.D4.A 5．解：由方程x 2＝14y 得，准线方程为y ＝－116，则点A 到准线的距离d 1＝y 1＋116， 点B 到准线的距离d 2＝y 2＋116. 又由抛物线的定义可得：|AF|＝d 1，|BF|＝d 2，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋116＋y 2＋116＝418. 设计说明本节先用现实生活中的实例引出课题，借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到抛物线的轨迹的特征．多媒体创设问题情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新．学生虽然通过二次函数对抛物线图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关．本节课从实例出发，用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动，由此作一些理性的探索和研究．在教材的处理上，大胆创新，在概念的理解上，根据抛物线定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯，类比前面的椭圆、双曲线求轨迹方程的方法．在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，得到三种不同的建系方式，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美．例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，照顾到各个层次的学生，目的是强化基本技能训练和基本知识的灵活运用．备课资料备选例题：1．动圆M 过点P(0,2)且与直线y ＋2＝0相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．思路分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程． 解：这个轨迹是抛物线，定点是焦点F(0,2)，直线是准线y ＝－2，∴设抛物线的方程为：x 2＝2py ，(p>0)．则p ＝4.∴所求抛物线的方程为：x 2＝8y.即动圆圆心M 的轨迹方程为：x 2＝8y.点评：对定义的深刻理解是解决此题的关键．2．求焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线的标准方程．思路分析：先根据题意判断焦点的位置，采用待定系数法求方程．解：当x ＝0时，y ＝－3；当y ＝0时，x ＝4.∴当焦点F 为(0，－3)时，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py(p>0)，则p ＝6, 所以抛物线的标准方程为x 2＝－12y.当焦点F 为(4,0)时，设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，则p ＝8, 所以抛物线的标准方程为y 2＝16x.点评：主要考查p 的意义，同时注意全面讨论．3．已知动圆M 与直线y ＝3相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心C 的轨迹方程．分析：由题意，动圆圆心M到点C与到直线y＝3的距离相等，故点M的轨迹是抛物线解法一：设动圆圆心M(x，y)，点M到直线y＝3的距离为d，则|MC|＝d，从而有x2＋y＋32＝|3－y|，整理得x2＝－12y.解法二：由题意知，动圆圆心M到点C(－3,0)与到直线y＝3的距离相等，故点M的轨迹是以C为焦点，直线y＝3为准线的抛物线，其方程为x2＝－12y.变：(1)已知动圆M与y轴相切，且与定圆C：x2＋y2＝2ax(a>0)外切，求动圆圆心M的轨迹方程．分析：y＝0(x<0)或y2＝4ax(x≥0)．(2)已知动圆M与y轴相切，且与定圆C：x2＋y2＝2ax(a>0)相切，求动圆圆心M的轨迹方程．分析：外切时有y＝0(x<0)或y2＝4ax(x≥0)；内切时y＝0(x≠a)(设计者：姜华)。
人教版【高中数学】选修2-1第二章抛物线-抛物线的几何性质讲义
③抛物线的开口大小：在抛物线 中，对于同一个 值， 越大， 也越大，也就是说抛物线的开口也越大。
④给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、燕点坐标、准线方程、对称轴；反过来，要能根据抛物线的几何性质，求出抛物线的方程。看到抛物线的标准方程，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向。
题型2 抛物线的焦点弦问题
【例2】 如图，过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 、 两点， 点在 轴上方，求 。
解析设直线 的方程，由直线方程和抛物线方程可得到 ， 两点的坐标，然后再根据坐标的意义和平面几何中相似三角形的知识就很容易求出 。
答案 直线 的倾斜角为 ，且过焦点 ，
∴可设直线 。
【例4】 已知定点 ，试在抛物线 上求一点，使得 最小。
解析在抛物线上任取一点 ，然后利用两点间的距离公式表示出 ，这样可得到 关于 的函数，然后对这个函数进行探讨。
答案设抛物线 上任一点为 ，则有 ，
。
(1)当 时， 使 最小，则
；
(2)当 时， 使 最小，则 。
规律总结在含有参数时，要注意对参数不同取值进行讨论。
析，一般需确定 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论。
【变式训练1】已知抛物线 的一个内接三角形的一顶点在原点 ，三
条高线都通过抛物线的焦点，求这个三角形的外接圆的方程。
答案由题意，三条高都通过抛物线的焦点，则此三角形为以原点为顶点的等腰三角形，如图。设 ，则 。
，
，
又 。
。
设 的中点为 ，则 点坐标为 ， 的中垂线方程为： ，当 时， 外接圆圆心坐标为 ，由正弦定理： ， 外接圆方程： 。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》目标导引
2.4抛物线
2.4.1抛物线及其标准方程
一览众山小
三维目标
1.理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程，并能根据条件确定抛物线的标准方程；
2.通过对抛物线定义的学习，加深对离心率的理解，理解椭圆、双曲线和抛物线的统一定义；
3.通过对抛物线的标准方程的学习，培养学生数形结合、分类讨论、对比的思想；
4.通过圆锥曲线的统一定义学习，可以培养运动、变化、对立、统一的辨证唯物主义思想. 学法指导
抛物线的定义很简单但非常重要，在学习时要注意和椭圆、双曲线的第二定义相联系，对深刻体会圆锥曲线的统一定义作好准备.
在学习抛物线标准方程时，注意位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）.注意抛物线顶点、对称轴、开口方向与方程形式的对应关系；当知道抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程时，可以根据二次项、一次项的分布画一个草图，进行初步的“定位”；再根据2p 的数值来“定量”，即求出2
p 的值.然后把两者结合起来即可. 诱学导入
材料：如图，把一根直尺固定在图板上直线l 的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A 到直角顶点C 的长(即点A 到直线l 的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子,使点A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.
问题：请问此曲线上任意点到F 的距离与到l 的距离有何关系?此曲线为何曲线
?
探究：从图中可以看出，这条曲线上的任意一点P 到F 的距离与它到直线l 的距离相等，画出来的曲线也是初中就熟悉的抛物线.抛物线并不陌生，在初中已经接触过了，在物理学上也经常用到抛物线的知识.。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线的简单几何性质》知识导学
2.4.2 抛物线的简单几何性质课标解读掌握抛物线的简单性质,学会利用抛物线方程研究抛物线几何性质的方法.学会思考1.类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为应讨论抛物线的哪些几何性质?y 2=2px 与x 2=2py (p >0)的范围一样吗?2.抛物线与双曲线几何图形有哪些不同点?答案:1.范围、对称性、顶点、离心率、准线,不一样.2.抛物线是一支曲线,双曲线是两支曲线;抛物线没有渐近线,双曲线有渐近线;抛物线的形状逐渐与对称轴平行(但永远不平行),而双曲线与对称轴没有平行的趋势.自学导引1.已知抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值范围是_________.2.抛物线的对称轴叫做_________抛物线和它的_________的交点叫做抛物线的顶点抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的_________，其值为_________.3.在抛物线y 2=2ｐx (ｐ＞０)中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为_________，连结这两点的线段叫做抛物线的_________，它的长为_________.答案:1.x ≥0 2.抛物线的轴 轴 离心率 1 3.(2p , p ),(2p ,-p ) 通径 2p 典例启示知识点1抛物线的性质与标准方程【例1】 已知抛物线关于坐标轴对称,顶点为坐标原点,并且经过点)32,3(-M ,试研究这样的抛物线有几条?并求出其方程.解:∵抛物线关于坐标轴对称,顶点为坐标原点,∴应分两种情况:焦点在x 轴上,可设其方程为y 2=2px (p ≠0),焦点在y 轴上,可设其方程为x 2=2my (m ≠0). 又抛物线经过点)32,3(-M , ∴)3(2)32(2P =-,∴32=p ,或)32(2)3(2-⋅=m ,∴43-=m . 故所求方程为x y 342=或y x 232-=, 这样的抛物线共两条,一条开口向右,一条开口向下.启示:不知抛物线开口方向时,可设参数p ≠0,而不知对称轴为何轴时,研究方程应分两种情形.【例2】 已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线12222=-by a x 的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点)6,23(,求抛物线和双曲线的方程.解:设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),根据点)6,23(在抛物线上可得232)6(2⋅=p . 解之得p=2.故所求抛物线方程为y 2=4x ,抛物线准线方程为x=-1.又双曲线的左焦点在抛物线的准线上, ∴c=1,即a 2+b 2=1.故双曲线方程为112222=--a y a x . 又点)6,23(在双曲线上, ∴1164922=--aa .解得412=a , 同时432=b ,因此所求双曲线的方程为1434122=-y x . 启示:(1)两条曲线的方程受相互条件的制约,交点的坐标满足两条曲线的方程.(2)用待定系数法解决问题是常用的求轨迹方程的方法.(3)当已知双曲线的c 或e 时,设方程应该用一个字母(如a )表示.知识点2抛物线几何性质的综合应用【例3】 给定抛物线y 2=2x ,设A (a ,0)(a ＞０)，P 是抛物线上的一点，且|P A |=d,试求d 的最小值.解:设P (x 0,y 0)(x 0≥0)，则y 02=2x 0. ∴02020202)()(||x a x y a x PA d +-=+-== 12)]1([20-+-+=a a x∵a ＞０,x 0≥0，∴(1)当0＜a ＜1时，1-a ＞0，此时当x 0=0时，a a a d =-+-=12)1(2min(2)当a ≥1时，1-a ≤0，此时当x 0=a -1时，12min -=a d启示:虽然d 的目标函数f (x 0)是根号下关于x 0的二次函数，但由于x 0和a 都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错【例4】 过抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点作倾斜角为θ的直线l ，设l 交抛物线于A 、B 两点.(1)求|AB |;(2)求|AB |的最小值.解:(1)当θ=90°时，直线AB 的方程为2p x =. 由⎪⎩⎪⎨⎧==,2,22p x px y 得),2(),2(p p 、B p p A -.∴|AB |=2p .当θ≠90°时，直线AB 的方程为θtan )2(p x y -=. 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=,2,tan )2(2px y p x y θ得tan 2θ·x 2-(2p +p tan 2θ)x +42p ·tan 2θ=0. 设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，则θθ2221tan tan 2p p x x +=+. ∴θθθ22221sin 2tan tan 222||p p p p p x p x AB =++=+++=. (2)由(1)知当θ=90°时,|AB |最小为2p .启示:求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径利用焦半径公式结合韦达定理来求.过焦点的最短弦(与对称轴垂直)是抛物线的通径.随堂训练1.(2006四川高考) 直线y=x -3与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点,过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P 、Q ,则梯形APQB 的面积为( )A.48B.56C.64D.722.(2006上海春季高考)抛物线y 2=4x 的焦点坐标为( )A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)答案:1.B 2.B3.抛物线x 2=-4y 的通径为AB ，O 为抛物线的顶点，则( )A.通径长为8，△AOB 的面积为4B.通径长为-4，△AOB 的面积为2C.通径长为4，△AOB 的面积为4D.通径长为4，△AOB 的面积为2解析:∵抛物线x 2=-4y ,∴2p =4即通径长为4.△AOB 的面积为214212221=⨯⨯=⨯⨯p p . 答案:D4.已知直线y=kx -k 及抛物线y 2=2px (p ＞0)，则( )A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:∵直线y =kx -k 过点(1,0),点(1,0)在抛物线y 2=2px 的内部,∴当k =0时,直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时,直线与抛物线有两个公共点.答案:C5.若抛物线y 2=2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6,则点M 的横坐标和p 的值分别为( )A.9,2B.1,18C.9,2或1,18D.9,18或1,2解析:∵点M 到对称轴的距离为6,∴设点M 的坐标为(x ,6)〔或(x ,-6)〕.∵点M 到准线的距离为10, ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.102,262p x px ∴⎩⎨⎧==2,9p x 或⎩⎨⎧==.18,1p x ∴点M 的横坐标为9, p 的值为2,或M 的横坐标为1, p 的值为18.答案:C6.过点(0,-2)的直线与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点,若线段AB 中点的横坐标为2,则|AB |等于( ) A.172 B.17 C.152 D.15解析:设直线方程为y =kx -2, A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).由⎩⎨⎧=-=,8,22x y kx y 得k 2x 2-4(k +2)x +4=0.∵直线与抛物线交于A 、B 两点,∴Δ=16(k +2)2-16k 2>0,即k >-1. 又2)2(22221=+=+kk x x , ∴k =2或k =-1(舍). ∴2122122124)(21||1||x x x x x x k AB -+⋅+=-+=152)44(52=-=答案:C。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的标准方程》梳理探究
数学人教B 选修2-1第二章2.3.1 双曲线的标准方程1．理解双曲线的定义．2．掌握双曲线的标准方程的定义．1．双曲线的定义平面内与两个______F 1，F 2的______________等于常数(________________)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__________，两焦点的距离叫做双曲线的__________．在双曲线的定义中，(1)当常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)． (2)当常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．(3)当常数等于零时，动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(4)当定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹就成为双曲线的一支． 【做一做1】已知定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )A ．||PF 1|－|PF 2||＝5B ．||PF 1|－|PF 2||＝6C ．||PF 1|－|PF 2||＝7D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±6(1)由求双曲线的标准方程的过程可知：只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上，且关于原点对称时，才得到双曲线的标准方程．反之亦成立．(2)在双曲线的标准方程中，若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上．【做一做2－1】双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3【做一做2－2】若双曲线的焦点在x 轴上，且经过(2,0)，(4,3)两点，则双曲线的标准方程为__________．1．椭圆与双曲线的区别剖析：(1)待定系数法．即先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数a ，b 的值，即“先定型，再定量”，若两种类型都有可能，则应进行分类讨论．(2)定义法．题型一 双曲线的定义及应用【例1】如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．分析：可利用双曲线的定义来求解．反思：遇到动点到两定点的距离之差的问题时，应联想到能否用双曲线的定义来解，并要注意x 的范围．题型二 求双曲线的标准方程【例2】已知双曲线焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程．分析：可根据已知条件，设出双曲线方程，再把点的坐标代入即可．反思：双曲线的标准方程有两种形式，即x 2a 2－y 2b 2＝1，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，方程x 2m＋y2n＝1表示双曲线的充要条件是m ·n ＜0. 题型三 与双曲线有关的轨迹问题【例3】在△MNG 中，已知NG ＝4，当动点M 满足条件sin G －sin N ＝12sin M 时，求动点M 的轨迹方程．分析：条件给的是角的关系，可用正弦定理，化角的关系为边的关系，再考虑用定义求轨迹方程．反思：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M 的轨迹是双曲线的一支且去掉一个点，这种情况一般在求得方程的后面应给以说明，并把说明的内容加上括号．题型四 易错题型【例4】已知双曲线4x 2－9y 2＋36＝0，求它的焦点坐标．错解：将双曲线方程化为标准方程－x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝13，∴双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0)．错因分析：这种解法是错误的．原因在于：双曲线的焦点在x 轴或y 轴上，不是以分母的大小确定的，而是按二次项系数的符号确定的．反思：判断时，需将原方程化为标准形式，即方程右边是1，方程左边是“x 2”和“y 2”项的差，若“y 2”的系数为正，则焦点在y 轴上；若“x 2”的系数为正，则焦点在x 轴上．1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足||PF 1－||PF 2＝10，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线2．双曲线x 2m 2＋16－y 29－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．10D ．与m 有关3．双曲线x 225－y 2144＝1上一点P 到右焦点的距离是5，则下列结论正确的是( )A ．P 到左焦点的距离是8B ．P 到左焦点的距离是15C ．P 到左焦点的距离不确定D ．这样的点P 不存在4．已知方程x 2k －3＋y 22－k＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是__________．5．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝4，c ＝5，焦点在x 轴上； (2)a ＝b ，经过点(3，－1)． 答案： 基础知识·梳理1．定点 距离的差的绝对值 小于|F 1F 2|且不等于零 焦点 焦距【做一做1】A 因为|F 1F 2|＝6，所以与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值应小于6，故选A.2．x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2＋b 2 c 2＝a 2＋b 2【做一做2－1】D 由已知有c 2＝a 2＋b 2＝12，得c ＝23，故双曲线的焦距为4 3.【做一做2－2】x 24－y 23＝1 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知a＝2，则x 24－y 2b 2＝1，将点(4,3)代入得164－9b 2＝1，解得b 2＝3，故双曲线的标准方程为x 24－y 23＝1.典型例题·领悟【例1】解：∵圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. ∵圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有||MF 1＝R ＋1，||MF 2＝R ＋4，∴||MF 2－||MF 1＝3.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线左支，且a ＝32，c ＝5.∴动圆圆心M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 【例2】解：设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5分别代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.【例3】解：以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵sin G －sin N ＝12sin M ，∴由正弦定理得：||MN －||MG ＝12×4＝2.∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N ，G为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵2c ＝4,2a ＝2，∴c ＝2，a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3.∴动点M 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)．【例4】正解：将双曲线方程化为标准方程y 24－x 29＝1，可知焦点在y 轴上，∴a ＝2，b＝3，∴c 2＝a 2＋b 2＝13，∴c ＝13.∴双曲线的焦点坐标为F 1(0，－13)，F 2(0，13)． 随堂练习·巩固1．D 由双曲线的定义可得，∵F 1，F 2是两定点，||F 1F 2＝10，∴满足条件||PF 1－||PF 2＝10的点P 的轨迹为一条射线．2．C 由题意可知a 2＝m 2＋16，b 2＝9－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋16＋9－m 2＝25，所以c ＝5，所以2c ＝10.3．D 选项A 和选项C 易判断是错误的，对选项B 而言，若||PF 1＝15，||PF 2＝5，则||PF 1＋||PF 2＝20，而||F 1F 2＝26，即有||PF 1＋||PF 2＜||F 1F 2＝26，这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛盾，即这样的点P 不存在．4．k ＜2 因为方程x 2k －3＋y 22－k ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3<0，2－k >0，所以k＜2.5．分析：灵活应用双曲线方程，要注意讨论焦点的位置，不要漏解．解：(1)因为a ＝4，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，又因为焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)当焦点在x 轴上时，可设双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，将点(3，－1)代入得，32－(－1)2＝a 2，所以a 2＝b 2＝8.因此，所求的双曲线的标准方程为x 28－y 28＝1.当焦点在y 轴上时，可设双曲线方程为y 2－x 2＝a 2，将点(3，－1)代入得(－1)2－32＝a 2，则a 2＝－8不符合实际，所以焦点不可能在y 轴上．综上，所求的双曲线的标准方程为x 28－y 28＝1.。
人教版【高中数学】选修2-1第二章抛物线-抛物线的标准方程讲义
案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
(1)定义可归结为”一动三定”：一个动点设为M ；一定点F (即焦点)；一定直线l (即 准线)；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比为1）。
(2)定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。
若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线。
(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
知识点二 抛物线的标准方程抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
如下图所示，分别建立直角坐标系，设出()0>=p p KF ，则抛物线的标准方程如下：（1） （2）（3） （4）（1）()022>=p px y ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p ，准线2:p x l -=； （2）()022>=p py x ，焦集点：⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p ，准线2:p y l -=； （3）()022>-=p px y ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ，准线2:p x l =； （4）()022>-=p py x ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p ，准线2:p y l =。
相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直， 垂足与焦点在对称轴上关于原点对称。
它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p =。
不同点：（1）图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为px 2±，左端为2y ；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x ；（2）开口方向在x 轴（或y 轴）正向时，焦点在x 轴（或y 轴）的正半轴上，方程右端 取正号；开口在x 轴（或y 轴）负向时，焦点在x 轴（或y 轴）负半轴时，方程右端取负号。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》问题导学
2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程问题导学一、根据抛物线方程求焦点坐标、准线方程 活动与探究1已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－6x ； (2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2；(4)y 2＝a 2x (a ≠0)． 迁移与应用1．抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为( )．A ．⎝⎛⎭⎫716，0B ．⎝⎛⎭⎫－74，0 C ．⎝⎛⎭⎫－716，0 D ．⎝⎛⎭⎫0，－74 2．抛物线y ＝－14x 2的准线方程是( )．A ．x ＝116B ．x ＝1C ．y ＝1D ．y ＝2根据抛物线方程求它的焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p 的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．二、求抛物线的标准方程 活动与探究2求分别满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(－3,2)；(2)焦点在x －2y －4＝0上． 迁移与应用1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )． A ．y 2＝－4x B ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y 2．求经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程．抛物线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式．“计算”就是指根据题目中的条件求出方程中参数p 的值，从而得到抛物线的标准方程．三、抛物线定义的应用 活动与探究3已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12． (1)求点M 的轨迹方程．(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．迁移与应用1．抛物线y 2＝12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是______________． 2．已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标．求解两点间距离的和的最小值时，可以利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离，从而简化问题的求解过程．定义具有判定和性质的双重作用，在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．距离相等 焦点 准线预习交流1 提示：动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的一条直线．2．⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2 y 2＝－2px (p ＞0) ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p2x 2＝－2py (p ＞0) 预习交流2 (1)提示：抛物线标准方程中等号的一边是某变量的完全平方，另一边是另一变量的一次项．当对称轴为x 轴时，方程中的一次项就是x 的一次项，且符号指明了抛物线的开口方向：x 的系数为正时开口向右，为负时开口向左；当对称轴为y 轴时，方程中的一次项就是y 的一次项，且符号指明了抛物线的开口方向：y 的系数为正时开口向上，为负时开口向下．(2)提示：p 的值等于抛物线的焦点到准线的距离． 课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先将抛物线的方程化为标准形式，确定其开口方向，求出参数p 的值，然后再求得焦点坐标和准线方程．解：(1)由方程y 2＝－6x 知抛物线开口向左，2p ＝6，p ＝3，p 2＝32，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，0，准线方程为x ＝32．(2)将3x 2＋5y ＝0变形为x 2＝－53y ，可知抛物线开口向下，2p ＝53，p ＝56，p 2＝512，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，－512，准线方程是y ＝512． (3)将y ＝4x 2化为x 2＝14y ，知抛物线开口向上，2p ＝14，p ＝18，p 2＝116，故焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，116，准线方程是y ＝－116．(4)由方程y 2＝a 2x (a ≠0)知抛物线开口向右，2p ＝a 2，p ＝a 22，p 2＝a 24，故焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 24，0，准线方程是x ＝－a 24．迁移与应用 1．C 解析：方程化为y 2＝－74x ，抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－716，0． 2．C 解析：方程可化为x 2＝－4y ，开口向下，2p ＝4，p2＝1，故准线方程为y ＝1．活动与探究2 思路分析：求抛物线标准方程时要先确定焦点位置，能确定焦点位置的可设相应的标准方程，否则要分情况讨论．解：(1)∵(－3,2)在第二象限，∴抛物线开口向左或向上． 设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2p ′y (p ′＞0)，∵抛物线过点(－3,2)，∴4＝－2p ·(－3)或9＝2p ′·2，∴p ＝23或p ′＝94．∴抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ，准线方程分别为x ＝13和y ＝－98．(2)由于抛物线为标准型，故焦点必为x －2y －4＝0与坐标轴的交点，即x ＝0，y ＝－2，F 1(0，－2)或y ＝0，x ＝4，F 2(4,0)．当焦点为(4,0)时，p2＝4，p ＝8，此时抛物线方程为y 2＝16x ，准线为x ＝－4；当焦点为(0，－2)时，p2＝2，p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y ，准线为y ＝2．迁移与应用 1．C 解析：设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2．故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y ．2．解：∵点P 在第四象限，∴设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p ′y (p ′＞0)，把点P (4，－2)的坐标分别代入y 2＝2px (p ＞0)和x 2＝－2p ′y ，得(－2)2＝2p ·4，42＝－2p ′·(－2)，即2p ＝1,2p ′＝8．∴所求抛物线方程为y 2＝x 或x 2＝－8y ．活动与探究3 思路分析：动点M 到F 的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F的距离与它到直线x ＝－12的距离相等，由抛物线定义可求得动点M 的轨迹方程；将|MF |转化为M 到准线的距离后利用三点共线求出点M 的坐标．解：(1)由于动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p ＞0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x ．(2)如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A ，M ，N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．迁移与应用 1．(6,62)或(6，－62) 解析：设所求点的坐标为(x 0，y 0)，易知x 0＋p2＝9，则x 0＝9－p2＝9－3＝6，y 20＝12x 0＝72．∴y 0＝±62． 2．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6． ∵6＞2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2． 故点P 的坐标为(2,2)． 当堂检测1．已知某抛物线的准线方程为x ＝－7，则该抛物线的标准方程为( )． A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y答案：B 解析：抛物线开口向右，方程为y 2＝2px (p ＞0)的形式，又=72p，所以2p ＝28，方程为y 2＝28x ．2．已知抛物线的焦点为(3,0)，则抛物线的标准方程为( )． A ．x 2＝12y B ．x 2＝－12y C ．y 2＝12x D ．y 2＝－12x答案：C 解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，又=32p，p ＝6,2p ＝12，故抛物线方程为y 2＝12x ．3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )．A ．2B ．3C ．115 D ．3716答案：A 解析：如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为|PF |的值，由图可知，距离之和的最小值即F 到直线l 1的距离2d ==．4．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为__________．答案：18-解析：将y ＝ax 2化为21x y a =，由于准线方程为y ＝2，所以抛物线开口向下，1<0a ，且1=24a，所以18a =-．5．若抛物线y 2＝－4x 上一点A 到焦点的距离等于5，则它到坐标原点的距离等于__________．答案：解析：抛物线准线方程为x ＝1，A 到焦点的距离等于5，所以A 到准线的距离也等于5，故A 点横坐标为－4，从而纵坐标为±4，即A (－4，±4)，所以A 到原点的距离为。
人教版数学选修21第二章抛物线抛物线的几何性质讲义
案例(二)——精析精练 课堂 合作 探究重点难点突破知识点 抛物线的几何性质(1)范围:因为0>p ，将方程()022>=p px y 变为py x 22=，知0≥x ，由此可知，抛物线()022>=p px y 上的点在y 轴上或在y 轴的右侧(不可能在y 轴的左侧)，当x 增大时，y 也随之增大，开口向右并且向右上方和右下方无限伸展。
(2)对称性将抛物线()022>=p px y 中的y 用—y 代替，方程不变，说明抛物线()022>=p px y 关于x 轴对称(结合图形也可看出)。
抛物线的对称轴也叫做拋物线的轴。
(3)顶点在方程()022>=p px y 中，令0=y ，得0=x ，(0，0)点是抛物线px y 2=与它的对称轴(即x 轴)的交点，我们把抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
由此可见，抛物线()022>=p px y 的顶点是坐标原点(0，0)。
(4)离心率和开口方向①抛物线的离心率：拋物线上的点到焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，仍用e 表示。
由抛物线的定义易知抛物线的离心率1=e 。
利用1=e 可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，将距离只用点的横坐标(或纵坐标)来表示，使问题得以简化。
②抛物线的开口方向:拋物线()022>=p px y 开口向右；()022>-=p px y 开口向左；()022>=p py x 开口向上；()022>-=p py x 开口向下。
③抛物线的开口大小：在抛物线()022>=p px y 中，对于同一个x 值，p 越大，y 也越大，也就是说抛物线的开口也越大。
④给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、燕点坐标、准线方程、对称轴；反过来，要能根据抛物线的几何性质，求出抛物线的方程。
看到抛物线的标准方程，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向。
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_抛物线的方程与性质_基础
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人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习抛物线的方程与性质【学习目标】1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。
要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-。
高二(新课标)学年教案选修(2--1)第二章---抛物线的定义与标准方程
课 题： 抛物线及其标准方程教学内容： 抛物线的定义及推导抛物线的标准方程。
教学目的： 使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程；根据定义画出抛物线的草图教学重点： 抛物线的定义及标准方程。
教学难点： 抛物线标准方程的不同形式。
教学过程：一、课前复习“抛物线及其标准方程”是教材第八章第五节的内容，也是本章介绍的最后一种圆锥知识 学好本节对于完整地掌握二次曲线，有着不可替代的作用∵抛物线的确定过程中只有一个定点，∴教材从对e 值的讨论来导入新课 ∵抛物线形成中依赖于一点一线而非两点，所以要适当与前面的椭圆、双曲线相关内容进行对比说明抛物线的标准方程有4种形式之多 为此应注意两点：一是要对四种方程形式进行列表对比，对其中的图形特征（如开口方向、顶点、对称轴等）也须作特别说明；二是要指出不能把抛物线当成双曲线的一支 当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线没有渐近线；而双曲线上的点趋于无穷远时，它有渐近线指出：学习抛物线应掌握以下的几个方面：（教学要求）① 已知抛物线的定义，求抛物线的（标准）方程。
② 已知抛物线的方程，讨论抛物线的性质。
③ 求适合各种条件的抛物线的方程。
④ 点与抛物线、直线与抛物线的位置关系。
⑤ 抛物线与二次方程（韦达定理的应用，弦长的计算、二次方程实根的分布）。
⑥ 抛物线中的最值问题。
⑦ 抛物线中的轨迹问题。
⑧ 抛物线中的证明问题。
⑨ 抛物线定义的应用（定义的应用、抛物线中的对称问题等）。
⑩ 抛物线的其它应用（椭圆与三角函数、数列、向量等）二、讲解新课 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个)1,0(内的常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率双曲线的第二定义：一动点到定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比是一个),1(+∞内的常数e ，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e 的点的轨迹，当0<e<1时是椭圆，当e>1时是双曲线。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线的简单几何性质》梳理探究
数学人教A 选修2-1第二章2.4.2 抛物线的简单几何性质1.掌握抛物线的图形和简单几何性质.2.能运用性质解决与抛物线有关的问题.____ __ __ ____ ____ ____________(1)p 的几何意义是焦点到准线的距离，抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线. (2)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线的两个交点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ p 2， p ，⎝⎛⎭⎫ p2，－p ，连接这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p . 【做一做1－1】 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P ，F 为焦点，则以|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系是( )A.相交B.相离C.相切D.不确定【做一做1－2】 抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－12，则a ＝__________.答案:1.x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 F F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 原点(0,0) x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p2e ＝1【做一做1－1】 C ∵|PF |＝x P ＋p 2，∴|PF |2＝x P 2＋p4，即为PF 的中点到y 轴的距离， 故该圆与y 轴相切.【做一做1－2】 12 抛物线标准方程为x 2＝y a ，准线y ＝－14a ＝－12.故a ＝12.1.直线与圆锥曲线的位置关系 剖析：直线与圆锥曲线的位置关系，可通过讨论直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定.通常是先消去方程组中的变量y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，再考虑该一元二次方程的判别式，则有：∆＞0⇔直线与圆锥曲线相交于两点； ∆＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ∆＜0⇔直线与圆锥曲线相离. 2.运用抛物线的定义解决问题剖析：抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线之间的距离，即|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2，使问题简化.1.直线与抛物线相交形成的弦长计算公式：|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝|y 1－y 2|·1＋1k 2.2.过焦点的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p (p ＞0).题型一 抛物线的定义与性质的应用【例题1】 已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程.分析：先确定抛物线方程的形式，再由条件用待定系数法求解.反思：顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)，当m ＞0时，开口向右；当m ＜0时，开口向左.顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程可设为x 2＝my (m ≠0)，当m ＞0时，开口向上；当m ＜0时，开口向下.以上两种设法均可回避讨论抛物线的开口方向，且焦点到准线的距离为⎪⎪⎪⎪m 2.题型二 与抛物线有关的定值问题【例题2】 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F 的一条弦.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0).求证：(1)|AB |＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋p 2； (2)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ； (3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p.分析：(1)利用中点坐标公式x 1＋x 2＝2x 0，而又有|AB |＝x 1＋x 2＋p ，联立即可得证；(2)可设y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2为AB 的方程，则与抛物线方程联立，即可求得x 1＋x 2，又k ＝tan θ，经代入化简即可证得；(3)由(2)得x 1·x 2为定值，再结合y 2＝2px ，可求得21y ·22y 为定值，则y 1y 2＝－p 2得证；(4)由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，则1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2，化简将x 1＋x 2和x 1x 2代入即可证明，注意分析AB ⊥x 轴时的情况.反思：解决与抛物线有关的定值问题，常考虑利用抛物线的定义及一元二次方程根与系数的关系来解决，过焦点的弦长或焦半径问题常结合抛物线的定义来解决.题型三 与抛物线有关的最值问题【例题3】 已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆M 过定点D (0,2)，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A ，B 两点，设|DA |＝l 1，|DB |＝l 2，求l 1l 2＋l 2l 1的最大值.反思：(1)具有定义背景的最值问题，可用定义转化为几何问题处理. (2)一般方法是由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法求解.(3)常见问题类型及处理方法：①题型：一是求抛物线上一点到定直线的最小距离；二是求抛物线上一点到定点的距离的最值问题.②方法一是利用数形结合；方法二是利用两点间距离公式并结合求函数最值的方法求解.(4)此类问题应注意抛物线的几何性质的应用，尤其是范围的应用. 题型四 易错辨析【例题4】 求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 有且只有一个公共点的直线方程.错解：设过点P (0,1)的直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，化简整理得，k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0，由Δ＝(2k －2)2－4k 2＝0，得k ＝12.故所求直线方程为y ＝12x ＋1.反思：一般地，点P 在抛物线内，则过点P 且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有一条；点P 在抛物线上，则过点P 且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有两条；点P 在抛物线外，则过点P 且和抛物线只有一个公共点的直线有且只有三条.因此，在求过点P 且与抛物线只有一个公共点的直线方程时要考虑周全，不要出现漏解的情况.另外，在求直线与抛物线的位置关系时，对消元后的方程不要忘记讨论二次项系数为零的情况.答案:【例题1】 解法一：由已知条件可知抛物线的对称轴为x 轴， ∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0). 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为5，∴p2＝5，∴p ＝10. ∴所求抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x . 解法二：由已知条件可知 抛物线的对称轴为x 轴.∴设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0). 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为5， ∴⎪⎪⎪⎪ m4＝5，∴m ＝±20. ∴所求抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x . 【例题2】 证明：(1)∵x 1＋x 2＝2x 0， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋p 2. (2)设直线AB ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2(k ≠0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0，∴x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫1＋2k 2p . 又k ＝tan θ＝sin θcos θ，代入|AB |＝x 1＋x 2＋p ，得|AB |＝sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ·p ＋p ＝2p sin 2θ. (3)由(2)得x 1x 2＝p 24(定值)，∴2212y y ＝4p 2x 1x 2＝p 4. ∵y 1y 2＜0，∴y 1y 2＝－p 2(定值). (4)由抛物线的定义，知 |AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋pp 24＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2＋p )＝2p (定值)，当AB ⊥x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ，也满足1|AF |＋1|BF |＝2p .【例题3】解：(1)设P (x ，y )，则Q (x ，－1). ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)， 即x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y . (2)设圆M 的圆心坐标为M (a ，b )， 则a 2＝4b .①圆M 的半径为|MD |＝a 2＋(b －2)2，圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝a 2＋(b －2)2. 令y ＝0，则(x －a )2＋b 2＝a 2＋(b －2)2， 整理得，x 2－2ax ＋4b －4＝0.② 由①②，解得x ＝a ±2.不妨设A (a －2,0)，B (a ＋2,0)， ∴l 1＝(a －2)2＋4，l 2＝(a ＋2)2＋4.∴l 1l 2＋l 2l 1＝l 21＋l 22l 1l 2＝2a 2＋16a 4＋64 ＝2(a 2＋8)2a 4＋64＝21＋16a 2a 4＋64，③ 当a ≠0时，由③得， l 1l 2＋l 2l 1＝21＋16a 2＋64a2≤21＋162×8＝2 2. 当且仅当a ＝±22时，等号成立. 当a ＝0时，由③得，l 1l 2＋l 2l 1＝2.故当a ＝±22时，l 1l 2＋l 2l 1的最大值为2 2.【例题4】 错因分析：遗漏两点，一是漏掉直线斜率不存在的情况，二是联立方程得到关系式后未对二次项系数k 2进行讨论，漏掉k ＝0的情况.正解：(1)若直线斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0， y ＝0，即直线x ＝0与抛物线有且只有一个公共点(0,0). (2)若直线斜率存在，则设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1， y 2＝2x ，消去y ，化简整理， 得k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0， 当k ＝0时，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12， y ＝1，即直线y ＝1与抛物线有且只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝(2k －2)2－4k 2＝0，解得k ＝12，即直线y ＝12x ＋1与抛物线有且只有一个公共点. 综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1 如图，已知点Q (0)及抛物线y ＝24x 上的动点P (x ，y )，则y ＋|PQ |的最小值是( )A.2B.3C.4D.2(2012山东青岛一模，理10)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( )A.(x －1)2＋y 2＝6425 B.x 2＋(y －1)2＝6425C.(x －1)2＋y 2＝1D.x 2＋(y －1)2＝13 若抛物线过点(1,2)，则抛物线的标准方程为__________.4 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为__________.5 过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程.答案:1.A 如图所示，过P 作PM 垂直准线于点M ，则由抛物线的定义可知y ＋|PQ |＝|PM |－1＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |－1，当且仅当P ，F ，Q 三点共线时，|PF |＋|PQ |最小，最小值为|QF |＝3.故y ＋|PQ |的最小值为3－1＝2. 2.C3.y 2＝4x 或x 2＝12y 当焦点在x 轴正半轴时，设其方程为y 2＝2p 1x ，则4＝2p 1，p 1＝2， ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x .当焦点在y 轴正半轴时，设其方程为x 2＝2p 2y ， 则1＝4p 2，p 2＝14， ∴抛物线的标准方程为x 2＝12y . 4.72抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1， 由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋2p ＋x 2＋2p＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋p ＝7，所以x 1＋x 2＝5.于是弦AB 的中点M 的横坐标为52， 因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 5.解：显然，直线斜率k 存在，设直线方程为y －2＝k (x ＋3)，由22(3),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩消去x ，整理，得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.① (1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件. (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等的实根， 所以0,0,0,164(812)0,k k k k ≠≠⎧⎧⎨⎨∆=-+=⎩⎩即 解得k ＝13或k ＝－1. 则直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为y＝2或x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.。
高中数学选修2-1课件：2.4.1抛物线及其标准方程
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系， 使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
设抛物线的标准方程是 y2 2 px( p 0) ， y
由已知条件
A
可得，点A的坐标是 (0.5, 2.4) ，
代入方程，得 2.42 2 p0.5
. o
Fx
即 p 5.76
B
所以，所求抛物线的标准方程是 y 2 11.52x ，焦点的坐标
二次函数 是抛物线？
思考：
的图像为什么
当a>0时与当a<0时，结论都为：
新知应用：
例1
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它 的焦点坐标及准线方程
焦点F (
3 2
,0)
准线：x =－
3 2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2）， 求抛物线的标准方程
x 2 =－8 y
例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似 平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点 处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立 适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解法二：以定点F 为原点，过点F 垂直于L的直线为x 轴建
立直角坐标系（如下图所示），则定点F (0, 0) ，L 的方程
为x p
设动点 M (x, y)，由抛物线定义得
x2 y2 x p
y p 2
2
化简得： 2 px ( p 0)
还是不够简捷
二、标准方程的推导
y
解法三：以过F且垂直于 l 的直
二、标准方程的推导
解法一：以 L为 y轴，过点F 垂直于L的直线为 x 轴建
立直角坐标系（如下图所示）,取定点F到定直线L的
人教版数学高二数学选修2-1 2.4抛物线重点知识精析.
抛物线重点知识精析1．深刻理解抛物线的定义⑴抛物线的定义还可以叙述为：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线．⑵定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点．．，设为M ；一个定点．．F ，叫做抛物线的焦点；一条定直线．．．l ，叫做抛物线的准线；一个定值．．，即点M 与点F 的距离和它到直线l 的距离之比等于1．⑶顶点F 不在定直线l 上，这是一个重要的隐含条件，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线，比如，到点F(1，0)和直线l ：x + y －1 = 0的距离相等的点的轨迹方程为x －y －1 = 0，轨迹是一条直线．2．抛物线标准方程的特点在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．由于选取坐标系时，设坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同形式，这四种抛物线标准方程y 2=±2px (p ＞0)或x 2=±2py (p ＞0)的特点在于：等号一边是某变元的完全平方，等号另一边是另一变元的一次项，这个形式与位置特征相对应．若对称轴为x 轴时，方程中的一次项就是x 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向左时，该项取正号；开口向右时，该项取负号．若对称轴为y 轴时，方程中的一次项就是y 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向上时，该项取正号；开口向下时，该项取负号．3．动点、焦点、准线三者互化抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，因此在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常是与抛物线的定义相联系，故它们可以相互转化，这一转化在解题中有着重要的作用．4．圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线和抛物线还有一个相似的地方，就是它们有一个统一的定义：平面上，若一个动点到一个定点的距离与这个动点到一条定直线的距离之比等于常数e ，则这个动点的轨迹叫圆锥曲线．当0＜e ＜1时，轨迹是椭圆；当e = 1时，轨迹是抛物线；当e ＞1时，轨迹是双曲线．二、几个常用结论1．关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2= 2px (p ＞0)焦点的弦，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，直线AB 的倾斜角为θ，则：⑴ x 1· x 2=42p ，y 1· y 2=－p 2； ⑵|AB| =θ2sin 2p ； ⑶以AB 为直径的圆与准线相切；⑷焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°； ⑸||1FA +||1FB =p2． 2．抛物线的焦半径公式设抛物线上有一点M ，F 是抛物线的焦点，那么线段MF 叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义，可以得到：⑴抛物线y2= 2px (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| = x+2p．⑵抛物线y2=－2px (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| =－x+2p．⑶抛物线x2= 2py (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| = y+2p．⑷抛物线x2= 2py (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| =－y+2p．3．直线与抛物线位置关系问题在直线与抛物线的位置关系中，由直线与抛物线方程联立可得一方程组，消元后可得到一个关于x(或y)的方程ax2+ bx + c = 0，此时直线与抛物线交点个数完全由方程组解的组数，即方程ax2+ bx + c = 0的解的个数决定．⑴当a = 0时，方程解唯一，显然直线与抛物线交点唯一，但不是相切，而是直线与抛物线对称轴平行或重合；⑵当a≠0时，∆= 0，此时直线与抛物线相切；∆＜0，直线与抛物线相离；∆＞0，直线与抛物线相交于两点．4．抛物线的焦半径、准线、对称轴及动点到准线距离这四条线围成一个直角梯形，在此经常借助平面几何图形的性质求解．一、抛物线的综合应用常见问题：1．求抛物线的有关特征量，并讨论其性质；①抛物线与直线的位置关系，特别是过焦点的直线；②抛物线与圆、椭圆及双曲线的位置关系；③抛物线中的最值与定值问题；④求轨迹方程及抛物线的实际应用问题．2．求抛物线方程时，若由已知条件可确定曲线是抛物线，此时一般用待定系数法．由于抛物线的标准方程有四种形式，所以先根据题设条件确定所求抛物线是哪种形式，然后列出方程求待定系数p ，就可得到抛物线的标准方程；若已知条件确定曲线的动点规律一般用轨迹法．3．抛物线标准方程中的p 表示焦点到准线的距离，若不做说明，p 一般取正值．求抛物线的标准方程，只需确定参数p ，由于标准方程有四种，所以解这类问题时，可以根据平方项、一次项的分布画一个草图，进行初步的“定位”；再根据2p 的数值来“定量”，即求出2p 的值，然后把二者结合起来即可． 4．对于抛物线y 2= 2px (p ≠0)上的点的坐标可设为(py 220，y 0)，以简化运算． 5．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，要注意利用韦达定理，这样能避免求交点坐标的复杂运算．。
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数学人教B 选修2-1第二章2.4.1 抛物线的标准方程
1．掌握抛物线的定义，理解焦点，准线方程的几何意义．
2．能够根据已知条件写出抛物线的标准方程．
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的________的点的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，________叫做抛物线的准线．
抛物线定义中的定点F 不在定直线l 上，否则点的轨迹不是抛物线，而是过点F 与l 垂直的一条直线．
2．抛物线的标准方程
方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py (p ＞0)叫做抛物线的______方程．
(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．
(2)抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．
(3)抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标是________，它的准线方程是________，它的开口方向______．
(4)抛物线x 2＝－2py (p ＞0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，－p 2，它的准线方程是y ＝p 2
，它的开口方向______．
抛物线y 2
＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0)的焦点在一次项字母所对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定，当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
【做一做】若抛物线的焦点为(1,0)，则抛物线的标准方程为( )
A ．y 2＝x
B ．y 2＝2x
C ．y 2＝4x
D ．无法确定
1．抛物线的图象是双曲线的一支吗？
剖析：虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”，但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支．
当抛物线上的点趋向于无穷远时，曲线上点的切线接近于和对称轴平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，曲线上的点的切线接近于与渐近线平行；抛物线没有渐近线；从方程上看，抛物线方程与双曲线方程有很大差别．
2．如何确定抛物线的标准方程？
剖析：确定焦点在哪个坐标轴上或平行于坐标轴的哪条直线上，开口方向，焦参数p . 过焦点作准线的垂线段，垂线段的中点为抛物线的顶点．
题型一 抛物线的标准方程
【例1】已知抛物线C 过点(2，－4)，求抛物线的标准方程．
分析：已知抛物线过一个点，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上来讨论．
反思：题目没有明确焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可以不考虑开口方向，设抛物线方程为y 2＝ax 或x 2＝ay ，将点(2，－4)代入求出a .
题型二 抛物线定义的应用
【例2】过抛物线y ＝4x 2的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝5，求线段AB 的长．
分析：先把方程化为标准方程，即x 2＝14
y ，再由抛物线的定义得到答案． 反思：过焦点的直线被抛物线截得的线段叫焦点弦，焦点与抛物线上的点的连线叫焦半
径．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M (x 0，y 0)，过该点的焦半径为x 0＋p 2
. 题型三 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线
【例3】已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程：
(1)y 2＝8x ；(2)x ＝ay 2(a ≠0)．
分析：将方程化为标准形式，求p ，结合图形，从而求得焦点坐标与准线方程．
1．抛物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A ．|a |4
B ．|a |2
C ．|a |
D ．－a 2
2．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )
A ．1716
B ．1516
C ．－1516
D ．－1716
3．(2010·福建高考，理2)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为
( )
A ．x 2＋y 2＋2x ＝0
B ．x 2＋y 2＋x ＝0
C ．x 2＋y 2－x ＝0
D ．x 2＋y 2－2x ＝0
4．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点到y 轴的距离是__________．
5．已知点P (1，－2)在抛物线y 2＝2px 上，求点P 到抛物线焦点的距离．
答案：
基础知识·梳理
1．距离相等 定点F 定直线l 2．标准 (1)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2 向右 (2)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2 向左 (3)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2
向上 (4)向下
【做一做】C ∵焦点(1,0)在x 轴的正半轴上，∴抛物线的标准方程为y 2＝4x .故选C. 典型例题·领悟
【例1】解：当焦点在x 轴上时，设抛物线方程为y 2＝ax ，
将(2，－4)代入得a ＝8，故所求方程为y 2＝8x ；
同理，当焦点在y 轴上时，求得抛物线方程为x 2＝－y .
所以满足条件的抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .
【例2】解：将抛物线方程化为x 2＝14
y ，设焦点为F ， |AF |＝y 1＋p 2
， |BF |＝y 2＋p 2，p ＝18
， |AB |＝|AF |＋|BF |
＝y 1＋p 2＋y 2＋p 2
＝y 1＋y 2＋p ＝418
. 【例3】解：(1)因为2p ＝8，所以p ＝4，开口向右，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.
(2)因为原抛物线的方程可化为y 2＝1a
x ， 所以2p ＝⎪⎪⎪⎪1a ，所以p 2＝⎪⎪⎪
⎪14a . 当a ＞0时，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a
； 当a ＜0时，焦点坐标仍为⎝⎛⎭⎫14a ，0，准线方程仍为x ＝－14a
. 随堂练习·巩固
1．B 由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2
. 2．C 准线方程为y ＝116，由定义知116－y M ＝1⇒y M ＝－1516
. 3．D ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴满足题意的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，整理得x 2＋y 2－2x ＝0，故选D.
4．2 由抛物线定义可知，A ，B 到准线x ＝－12
的距离之和是5，从而线段AB 中点到准线距离是52，故AB 中点到y 轴的距离是52－12
＝2. 5．分析：由点P 在抛物线上可求得p 值，再结合定义求得点P 到焦点的距离． 解：∵点P 在抛物线上，
∴(－2)2＝2p ·1.∴p ＝2.
∴点P (1，－2)到抛物线焦点的距离为1＋p 2
＝1＋1＝2.。