2020贵阳市中考数学一轮复习课件第4章 解题方法突破篇——全等模型
第一部分 第四章 第3讲 第2课时 特殊的平行四边形-2020中考数学一轮复习课件(共36张PPT)
A.4 cm B.8 cm 答案：B
图 4-3-14 C.12 cm D.4 5 cm
4.如图 4-3-15，在菱形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O.若 ∠BCO＝55°，则∠ADO＝___3_5_°___.
图 4-3-15 5.已知正方形 ABCD 的对角线 AC＝ 2，则正方形 ABCD 的 周长为______4______.
∴△ADF∽△CEF，∴ CAFF＝ACDE＝BCCE＝2， ∴ SS△△CADEFF＝(CAFF)2＝22＝4，S△ADF＝4 S△CEF，③不正确； ∵ AFFC＝2，∴ SS△ △ACDDFF＝2，∴ S△ADF＝2 S△CDF，④正确. 答案：C
【题型过关】
6.(2019 年广东)如图 4-3-29，正方形 ABCD 的边长为 4，延长
∵正方形的面积为1，∴其边长为1，
∴在Rt△BCD 中，由勾股定理得，BD＝ . 2
∵点E，F 分别为BC 和DC 的中点，
∴EF＝12BD＝
2 2.
又∵四边形EFGH 是正方形， ∴正方形EFGH 的周长为4× 22＝2 2. 答案：B
图 4-3-27
例 4 (2017 年广东)如图 4-3-28，已知正方形 ABCD，点 E
小结与反思：(1)菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形 的问题常会在直角三角形中解决；菱形的四条边都相等，因 此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多.菱形的性 质常会用来求线段、角. (2)角平分线定理(拓展)：三角形一个角的平分线与其对边所 成的两条线段与这个角的两边对应成比例.
考点 3 正方形的性质与判定 例 3 (2016 年广东)如图 4-3-26，正方形 ABCD 的面积为 1，
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFC＝∠DCG. ∵AG＝GD，∠AGF＝∠DGC， ∴△AGF≌△DGC(AAS)． ∴AF＝CD. ∴AB＝AF.
2020贵阳市中考数学一轮复习课件第4章 解题方法突破篇——中点四大模型
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第一部分 教材同步复习
AE＝AF， AD＝AD， ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)． ∴∠ADE＝∠ADF. ∵∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠EDB＝∠FDC.
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7
模型 2 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理 如图，已知点 D 为边 AB 的中点，取边 AC 的中点 E，连接 DE，则 DE∥BC，且 DE＝12BC.
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11
针对训练 2．如图，在△ABC 中，BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线， AD⊥BD 于 D，AE⊥CE 于 E.已知 AB＝6，BC＝7，AC＝5，求 DE 的长．
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12
解：如答图，延长 AE 交 BC 于点 F，延长 AD 交 BC 于点 G. ∵BD 是∠ABC 的平分线，AD⊥BD， ∴AB＝BG＝6，点 D 是 AG 的中点． 同理得 CF＝AC＝5，点 E 是 AF 的中点， ∴ED 是△AFG 的中位线，BF＝BC－FC＝7－5＝2， GC＝BC－BG＝7－6＝1， ∴DE＝12FG＝12(BC－BF－GC)＝12×(7－2－1)＝2， 即 DE 的长为 2.
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5
针对训练 1．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，过点 A 作 AE⊥DE，AF⊥DF，且 AE＝AF，求证：∠EDB＝∠FDC.
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(四) 全等三角形之六大模型
得对应边相等
2．(2021·泸州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求
证：BD＝CE. 证明：在△ABE与△ACD中，
∠A＝∠A，
AB＝AM，
在△ABN 和△AMC 中，∠BAN＝∠MAC， AN＝AC，
∴△ABN≌△AMC(SAS)，∴BN＝MC.
6．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE 与 BD 交于点 F.
(1)求证：AE＝BD； 证明：∵AC⊥BC， DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中， AC＝BC，
证明：∵ BF＝EC，
∴EF＝ BC，
在△BCA与△EFD中，
AB＝DE，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∴△BCA≌△FED（SAS）， ∴∠A＝∠D，
模型二：轴对称型 【模型归纳】
有公 模型 共边 展示 有公共
顶点Leabharlann 模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线 特点 折叠，两个三角形能完全重合
5．如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等边三角形 ABM 与等边 三角形 ACN，连接 MC，BN.求证：BN＝MC.
证明：∵△ABM 和△ACN 是等边三角形， ∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠NAC＝60°， 又∵∠BAN＝∠BAC＋∠NAC， ∠CAM＝∠BAC＋∠BAM， ∴∠BAN＝∠MAC，
＝ 43BD2
解题 常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形，或旋转一定的角
2020贵阳市中考数学一轮复习课件第4章 解题方法突破篇——解直角三角形的应用模型
第一部分 教材同步复习
18
例 4 如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为 O)的墙上， 当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当 梯子底端向右滑动 1 m(即 BD＝1 m)到达 CD 位置时，它与 地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据： sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)
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5
解：车门不会碰到墙．理由：如答图，过点 A 作 AC⊥OB，垂足为 C.
在 Rt△ACO 中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2 米， ∴AC＝AO·sin∠AOC≈1.2×0.64＝0.768(米)． ∵汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米， ∴车门不会碰到墙．
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25
【解答】如答图，过点 D 作 DG⊥AB 于 G， 过点 E 作 EH⊥AB 于 H. 在 Rt△ADG 中，∵∠DAG＝45°，DG＝20 米， ∴AG＝20 米． ∵背水面 EF 的坡度为 1∶ 3，EH＝20 米， ∴FH＝20 3米， ∴AF＝FH＋HG－AG＝20 3＋1－20≈15.64(米)． 答：加固后坝底增加的宽度 AF 的长约为 15.64 米．
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14
【解答】如答图，过点 A 作 AD⊥BC 的延长线于点 D. ∵β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC. 设 AD＝DC＝x 米，
则 Rt△ABD 中，tan30°＝x＋x100＝ 33， 解得 x＝50( 3＋1)． 答：河的宽度为 50( 3＋1)米．
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—全等三角形
∴ = ，∠ = ∠，
∵∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠，
∴ ∥ ．
考点一 全等三角形及其性质
题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
【对点训练1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，、相交于点，且△ ≌△ ，在上，在
1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.
考点一 全等三角形及其性质
题型01 利用全等三角形的性质求角度
【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△ ≌△ ，若∠ = 50°, ∠ = 40°，则∠1的度数为
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
【小技巧】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素
（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有
（
）
A．40°
Hale Waihona Puke B．25°C．15°D．无法确定
【对点训练1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ ≌△ ，∠ = 75°，∠ = 30°，则∠的
度数为（
A．105°
）
B．80°
C．75°
D．45°
考点一 全等三角形及其性质
题型02 利用全等三角形的性质求长度
【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ ≅△ ，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若 =
2020贵阳市中考数学一轮复习课件第4章 解题方法突破篇——相似模型
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11
【解答】∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP＋∠APB＝180°－60°＝120°. ∵∠APD＝60°，∴∠APB＋∠DPC＝180°－60°＝120°， ∴∠BAP＝∠DPC.
∴△ABP∽△PCD，∴APCB＝CBDP. ∵BP＝3，CD＝2，∴ABA－B 3＝32，解得 AB＝9， ∴△ABC 的边长为 9.
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5
模型 2 共边共角型
已知：∠1＝∠2.结论：△ACD∽△ABC. 【模型分析】如图，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时 候题目中会给出三角形边的乘积或比例关系，我们要能快速判断题中的 相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC，进而可以得到 AC2＝AD·AB.
对△EAD∽△EBA 进行证明：
∵△BAC，△AGF 为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，∠GAF＝45°，
∴∠EAD＝∠EBA，而∠AED＝∠BEA，
∴△EAD∽△EBA．
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16
针对训练
4．如图，在△ABC 和△AED 中，AB·AD＝AC·AE，∠BAD＝∠CAE. 求证：△ABC∽△AED．
第一部分 教材同步复习
8
针对训练 2．如图，在△ABC 中，∠ABC＝80°，∠A＝40°，AB 的垂直平分 线分别与 AC，AB 相交于点 D，E，连接 BD.求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD. ∵∠A＝40°，∴∠ABD＝40°. ∵∠ABC＝80°，∴∠DBC＝40°， ∴∠DBC＝∠A. ∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.
全等模型知识点总结
全等模型知识点总结在几何学中，全等模型是指两个图形在形状和大小上完全相同，被称为全等图形。
这意味着它们的所有对应边长度相等，对应角度相等，因此它们是相似的。
全等模型是几何学中的重要概念，它在解决问题和证明定理时起着重要的作用。
本文将对全等模型的相关知识点进行总结，包括全等模型的定义、性质、判定条件、应用以及相关定理等内容。
一、全等模型的定义全等模型是指两个图形在形状和大小上完全相同，其定义如下：定义1：如果两个图形A和B，它们之间存在一个一一对应关系，使得A中的每一个点都与B中的一个点对应，并且对应的边和对应的角度相等，则称图形A和图形B是全等的。
符号表示为A≌B。
根据这个定义，全等图形必顋满足以下条件：1. 对应的边相等：即A和B中的每一条边都有对应的边，且这些对应的边的长度相等。
2. 对应的角度相等：A和B中的每一个角度都有对应的角度，且这些对应的角度相等。
3. 所有对应的点都在同一直线上：即A和B中的每一个点都有对应的点，并且这些对应的点在同一条直线上。
二、全等模型的性质全等模型具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 对应边和对应角相等：全等图形的对应边和对应角都相等，即它们所对应的边长度相等，对应的角度也相等。
2. 全等模型是相似的：由全等模型的定义可知，全等图形必须是相似的。
因此，全等模型也满足相似三角形的性质，如正弦定理、余弦定理等。
3. 全等模型的对应边相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应边是两两相等的。
4. 全等模型的对应角相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应角是两两相等的。
5. 全等模型的角平分线相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应角的角平分线也相等。
6. 全等模型的对应中线相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应中线也相等。
7. 全等模型的对应高相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应高也相等。
8. 全等模型的对应中线、高线所成角相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应中线、高线所成角相等。
2020届九年级贵阳中考数学复习课件：第1部分 第4章 解题方法突破篇——角平分线四大模型(共22张PPT)
12
模型 3 角平分线＋垂线构造等腰三角形 如图，P 是∠MON 平分线上的一点，AP⊥OP 于点 P，延长 AP 交 ON 于点 B. 结论：△AOB 是等腰三角形．
10
针对训练 2．如图，在△ABC 中，已知∠A＝2∠B，CD 是∠ACB 的平分线．证 明：BC＝AD＋AC.
11
证明：如答图，在 BC 边上截取 EC＝AC，连接 DE，则 BC＝BE＋ EC＝BE＋AC.
∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠DCE＝∠DCA.
EC＝AC，
在△CDE 和△CDA 中，∠DCE＝∠DCA， CD＝CD，
3
【解答】如答图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵BC＝9 cm，BD＝6 cm， ∴CD＝3 cm.∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3 cm.
4
针对训练 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，CD＝1.5， BD＝2.5，求 AC 的长．
第一部 分教材同步复习
第四章 三角形 解题方法突破篇——角平分线四大模型
模型 1 过角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 平分线上的一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A， PB⊥ON 于点 B. 结论：PB＝PA.
【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距 离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件， 进而可以快速找到解题的突破口．
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也 可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等．这个 模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来．
中考数学一轮复习第4单元第17讲全等三角形课件(共34张)
CD＝ CA ，
证明：在△DEC 和△ABC 中， ∠DCE＝∠ACB
，
CE＝ CB ，
∴△DEC≌△ABC(SAS)，
∴ DE＝AB .
13．(2021·常州)如图，B，F，C，E 是直线 l 上的四点，AB∥DE，AB＝DE，
BF＝CE.
(1)求证：△ABC≌△DEF； 证明：∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝CE＋FC，即 BC＝EF. ∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF.
在△ABE 和△DCF 中，∠ABE＝∠DCF， BE＝CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
6．(2021·新疆)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在 BC 的延 长线上，且 BE＝CF. 求证：(2)四边形 AEFD 是平行四边形． 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC. ∴BC＝EF＝AD. 又 AD∥BC， ∴四边形 AEFD 是平行四边形．
5.(2021·永州)如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上，AD＝BC，AE
＝BF，AE∥BF.
(1)求证：△AEC≌△BFD；
证明：∵AD＝BC， ∴AD＋DC＝BC＋DC，即 AC＝BD. ∵AE∥BF，∴∠A＝∠B.
AC＝BD， 在△AEC 和△BFD 中，∠A＝∠B，
AE＝BF， ∴△AEC≌△BFD(SAS)．
6．(2021·新疆)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在 BC 的延
长线上，且 BE＝CF.
求证：(1)△ABE≌△DCF； 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC. ∴∠ABE＝∠DCF＝90°.
AB＝DC，
2024贵州中考数学一轮知识点复习 微专题 四大常考全等模型(课件)
②AB＋BC＝
2
BD；③S四边形ABCD＝S△BDF＝
1 2
BD2.
二、120°(60°)对角互补 自主探究 模型特点：∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AD＝CD. 解题思路1：过点D分别作BA、BC的垂线DE、DF， 在图③中补全图形： 结论：_△__D__E_A__≌__△__D_F_C__ 补全图形如下：
例3题图
模型分析 模型展示：
模型二 手拉手模型
“等边三角形”手拉手
“等腰直角三角形”手拉手
模型特点：AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE.
解题关键：(1)共顶点：加(减)公共顶点的公共角∠BAE得到一组对应 角相等；(2)利用两组对应边相等或等腰、等边、正方形、菱形等得到 两组对应边相等． 结论：△CAE≌△BAD，CE＝BD，∠BPC＝∠BAC.
部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E.
(1)求证：DE＝AD－BE；
(1)证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°.
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA.
例3题图
在△BCE和△CAD中，
E＝ADC EBC＝DCA, BC＝CA
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE.
例2题图
在△BEC和△CDA中，
BCE＝CAD CEB＝ADC , CB＝AC
∴△BEC≌△CDA(AAS)，
∴BE＝CD，CE＝AD，
∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE.
例2题图
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内
贵州省2020届中考数学大一轮素养突破 教师课件：微专题 六大常考全等模型
6. 如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数
为( C )
A．30° C．40°
B．35° D．50°
第6题图
7. 如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5， NQ＝9，则MH长为____4____．
第7题图
8．如图，四边形ABCD中，E为AD上一点，∠BAE＝∠BCE＝90°，且BC ＝CE，AB＝DE.求证：△ABC≌△DEC.
第9题解图
在△DAE和△GAE中，
AE＝DE ∠DAE＝∠GAE AD＝AG ∴△DAE≌△GAE(SAS)，
∴DE＝EG， 在Rt△ECG中，由勾股定理得EG2＝CE2＋CG2， 即BD2＋CE2＝DE2.
10. 如图，正方形ABCD，由顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，且 ∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF.
第3题解图
模型四 一线三等角型(K型)
模型总结
三个等角的顶点在同一直线上，称一线三等角模型[若为直角也称一线三垂直(见 拓展)]，利用三等角关系找全等三角形所需的角相等条件(如：∠1＝∠2)．一线 三等角的解题理念：有边相等证全等；无边相等证相似．
【拓展】一线三垂直(∠A＝∠B＝∠CPD＝90°)
则点D的坐标为( C ) A. (1，5 ) B. (1，2 ) C. (1，13+) 3
D. (
)
31,1+ 3
第5题图
模型五 旋转模型(手拉手模型)
模型总结 此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的．在旋转过程中， 两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角．
针对演练
2020贵阳市中考数学一轮复习课件第4章 课时14 相交线与平行线
【注意】 对顶角是成对出现的，是具有特殊位置关系的两个角．
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11
2．垂线的性质和垂直平分线 (1)垂线的性质 a．在同一平面内，过一点⑯__有__且__只__有__一__条____直线与已知直线垂直； b．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，⑰___垂__线__段___最短； c．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
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18
夯实基础 9．下列命题中，是真命题的是( B ) A．同位角相等 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．有且只有一条直线与已知直线垂直 10 ． 命 题 “ 相 等 的 两 个 角 是 内 错 角 ” 是 ___假___ 命 题 ( 填 “ 真 ” 或
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13
夯实基础
5．如图，直线 AB，CD 相交于点 O.若∠1＝26°，则∠2＝_____2_6_°___.
6．如图，直线 AB，CD 相交于点 O.若 OE⊥AB，垂足为 O，∠BOC ＝140°，则∠DOE＝______5_0_°__.
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贵州省2020届中考数学大一轮素养突破 教师课件：微专题 三大常考相似模型
解：(1)由题知，当x＝0时，由直线y＝kx＋1得y＝1， ∴C(0，1)， ∵抛物线y＝ax2－(6a－2)x＋b经过点C(0，1)，B(4，3)， 将B、C两点代入抛物线解析式得
b＝1
3＝a×4²－（6a－2）×4＋b，
解得 a＝ b＝13，
4
∴抛物线的解析式为y＝ x2－ x＋1；
35 42
W
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32
90°.若AB＝12，AE＝3，CF＝4，则CG的长为____9 ____．
第4题图
5. 如图，∠AOB＝90°，反比例函数y＝ k 的图象过点B，若点A的坐标为(2，
x
1)，BO＝2 __y____x_8__.
5 ，则点B的坐标为_(_－__2_，__4_)，反比例函数的解析式为
第5题图
针对演练
3. 如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点
G，延长BF交CD的延长线于点H，若 A F DF
＝2，则
HF BG
7
的值为___1_2____．
第3题图
模型三 一线三等角型(K型)
常见类型
针对演练 4. 如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝
微专题 三大常考相似模型
(三州联考2019.10，黔西南州4考，黔东南州3考，黔南州4考)
模型一 A字型
模型分析 有一个公共角，此时常要找另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点， 则需要分类讨论．
重要结论： 1．图④、⑤：AC2＝AD·AB. 2．图⑤：(1)CD2＝AD·BD；(2)BC2＝BD·AB.
针对演练 1. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5， ED⊥AB于点D. (1)求证：△ACB∽△ADE； (2)求AD的长度．
2020中考数学一轮复习万能解题模型(四)全等三角形中常见基本模型 打印版+答案版
2020中考数学一轮复习万能解题模型(四)全等三角形中常见基本模型打印版+答案版基本模型1平移模型如图，可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成的，故对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差证得．1．(2019·南充改编)如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．基本模型2对称模型如图，图形沿着某一条直线折叠，这条直线两边的部分能够完全重合，重合的顶点即为全等三角形的对应点．2．如图，AB＝AC，D，E分别为AC，AB的中点，连接BD，CE相交于点F.求证：∠B＝∠C.基本模型3 旋转模型此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况：(1)无重叠：两三角形有公共顶点，无重叠部分．(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角．3．(2018·黑龙江)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝5，∠DAB ＝∠DCB ＝90°，则四边形ABCD 的面积为(B )A ．15B ．12.5C ．14.5D ．174．(2018·鞍山)如图，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，CE 与BD 相交于点G ，EF ⊥BD 于点F.若EF ＝2，则EG 的长为(B )A.334B.433C.332D ．45．(2018·东营)如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC.给出下列结论：①BD ＝CE ；②∠ABD ＋∠ECB ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2(AD 2＋AB 2)－CD 2.其中正确的是(A )A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④6．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝4，E 是AD 的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E 旋转，三角板的两直角边分别交AB ，BC(或它们的延长线)于点M ，N ，设∠AEM ＝α(0°＜α＜90°)，给出下列四个结论：①AM ＝CN ；②∠AME ＝∠BNE ；③BN －AM ＝2；④S △EMN ＝2cos 2α.上述结论中正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．47．(2018·滨州)已知在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点． (1)如图1，若点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，求证：BE ＝AF ；(2)若点E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，且DE ⊥DF ，则BE ＝AF 吗？请利用图2说明理由．＝12BC 基本模型4 三垂直模型证明过程中多数用到“同(等)角的余角相等”，从而可证得相等的角．8．如图，矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，将一块三角板的直角顶点放在E 点处，并使它的一条直角边过点A ，另一条直角边交CD 于点M.若点M 为CD 中点，BC ＝6，则BE 的长为(A )A ．2 B.73 C.83D ．39．(2018·南京)如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD.若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为(D )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c10．(2019·长沙)如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且DE ＝CF ，AF 与BE 相交于点G.(1)求证：BE ＝AF ；(2)若AB ＝4，DE ＝1，求AG 的长．＝AB 2＋AE 2＝12AB·AE ＝12BE·AG ＝AB·AE BE ＝125.2020中考数学一轮复习万能解题模型 (四)全等三角形中常见基本模型 答案版基本模型1 平移模型如图，可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成的，故对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差证得．1．(2019·南充改编)如图，点O 是线段AB 的中点，OD ∥BC 且OD ＝BC.若∠ADO ＝35°，求∠DOC 的度数．解：∵点O 是线段AB 的中点，∴AO ＝BO. ∵OD ∥BC ，∴∠AOD ＝∠OBC.在△AOD 和△OBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝BO ，∠AOD ＝∠OBC ，OD ＝BC ，∴△AOD ≌△OBC(SAS)． ∴∠ADO ＝∠OCB ＝35°.又∵OD ∥BC ，∴∠DOC ＝∠OCB ＝35°.基本模型2 对称模型如图，图形沿着某一条直线折叠，这条直线两边的部分能够完全重合，重合的顶点即为全等三角形的对应点．2．如图，AB ＝AC ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，连接BD ，CE 相交于点F.求证：∠B ＝∠C.证明：∵AB ＝AC ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点， ∴AE ＝AD.在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴∠B ＝∠C.基本模型3 旋转模型此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况：(1)无重叠：两三角形有公共顶点，无重叠部分．(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角．3．(2018·黑龙江)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝5，∠DAB ＝∠DCB ＝90°，则四边形ABCD 的面积为(B )A ．15B ．12.5C ．14.5D ．174．(2018·鞍山)如图，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，CE 与BD 相交于点G ，EF ⊥BD 于点F.若EF ＝2，则EG 的长为(B )A.334B.433C.332D ．45．(2018·东营)如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC.给出下列结论：①BD ＝CE ；②∠ABD ＋∠ECB ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2(AD 2＋AB 2)－CD 2.其中正确的是(A )A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④6．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝4，E 是AD 的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E 旋转，三角板的两直角边分别交AB ，BC(或它们的延长线)于点M ，N ，设∠AEM ＝α(0°＜α＜90°)，给出下列四个结论：①AM ＝CN ；②∠AME ＝∠BNE ；③BN －AM ＝2；④S △EMN ＝2cos 2α.上述结论中正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．47．(2018·滨州)已知在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点． (1)如图1，若点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，求证：BE ＝AF ；(2)若点E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，且DE ⊥DF ，则BE ＝AF 吗？请利用图2说明理由．解：(1)证明：连接AD. ∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD ＝45°. ∵点D 为BC 的中点，∴AD ＝12BC ＝BD ，∠FAD ＝45°.∵∠BDE ＋∠EDA ＝90°，∠EDA ＋∠ADF ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADF.在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FAD ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF(ASA)．∴BE ＝AF.(2)BE ＝AF ，理由如下：连接AD ，∵∠ABD ＝∠BAD ＝45°， ∴∠EBD ＝∠FAD ＝135°.∵∠EDB ＋∠BDF ＝90°，∠BDF ＋∠FDA ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDA.在△EDB 和△FDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FAD ，BD ＝AD ，∠EDB ＝∠FDA ，∴△EDB ≌△FDA(ASA)．∴BE ＝AF.基本模型4 三垂直模型证明过程中多数用到“同(等)角的余角相等”，从而可证得相等的角．8．如图，矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，将一块三角板的直角顶点放在E 点处，并使它的一条直角边过点A ，另一条直角边交CD 于点M.若点M 为CD 中点，BC ＝6，则BE 的长为(A )A ．2 B.73 C.83D ．39．(2018·南京)如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD.若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为(D )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c10．(2019·长沙)如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且DE ＝CF ，AF 与BE 相交于点G.(1)求证：BE ＝AF ；(2)若AB ＝4，DE ＝1，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAE ＝∠ADF ＝90°，AB ＝AD ＝CD. ∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. 在△BAE 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DA ，∠BAE ＝∠ADF ，AE ＝DF ，∴△BAE ≌△ADF(SAS)．∴BE ＝AF. (2)由(1)得△BAE ≌△ADF ， ∴∠EBA ＝∠FAD.∴∠GAE ＋∠AEG ＝90°.∴∠AGE ＝90°. ∵AB ＝4，DE ＝1，∴AE ＝3.∴在Rt △ABE 中，BE ＝AB 2＋AE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB·AE ＝12BE·AG ，∴AG ＝AB·AE BE ＝125.。
人教版中考数学一轮复习课件第4章 第15讲 全等三角形
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
2.三角形全等的判定定理 (4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；(AAS)
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(HL)
2.(2)如图，点E，F在BC上，且AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，AB＝DC，BF＝CE， 求证：∠A＝∠D. 证明：∵AE⊥BC于点E， DF⊥BC于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. ∵BF＝CE， ∴BF＋EF＝CE＋EF， 即BE＝CF. 在Rt△ABE和Rt△DCF中，
(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA)
2.(1)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，且BF＝CE，∠B＝∠E. 请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使得△ABC≌△DEF.你添加 的条件是__∠__A_＝__∠__D__(答__案__不__唯__一__)__，并证明． 证明：∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF.
A.70°
B.80°
C.90°
D.无法确定
图1
图2
(2)(2022六盘水)如图2，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝
90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝___2___.
2.三角形全等的判定定理 (1)三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)
(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)
OP＝OP，
∴△OPD≌△OPE(AAS)．
2.(2022兰州改编)如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝ AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝35°，求∠D的大小． 解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD， 即∠BAC＝∠EAD. 在△BAC与△EAD中， AB＝AE， ∠BAC＝∠EAD， AC＝AD， ∴△BAC≌△EAD(SAS)． ∴∠D＝∠C＝35°.
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中考新突破 ·数学(贵阳)
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14
【解答】在△AEC 和△BED 中，
AE＝BE，
∠AEC＝∠BED， CE＝DE，
∴△AEC≌△BED(SAS)．
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针对训练 3．如图，在△ABD 和△ACE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2. 求证：△ABD≌△ACE.
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例 4 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 E 在 AC 上，且 AE＝BC， ED⊥AB 于点 D，过点 A 作 AC 的垂线，交 ED 的延长线于点 F.求证： FE＝AB.
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19
【解答】∵ED⊥AB，∴∠ADE＝∠C＝90°， ∴∠DAE＋∠DEA＝∠DAE＋∠B＝90°， 即∠DEA＝∠B. ∵FA⊥AC，∴∠FAE＝∠C＝90°. 在△AFE 和△CAB 中，
BC＝FE， ∠ACB＝∠DEF，
∴△ABC≌△DFE(ASA)．
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模型 2 轴对称全等模型
公共角∠A，∠DOB＝∠EOC
公共边 BD
公共边 AC，∠AOD＝∠COB ∠AOC＝∠BOD
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【模型分析】所给图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全 重合，重合的点就是全等三角形的对应点，解题时要注意其隐含条件， 即公共边或公共角相等．
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模型 3 旋转全等模型
等角∠ACB＝∠DCE
∠1＝∠2⇔∠BAC＝∠DAE
【模型分析】在旋转图形中，若某顶点是旋转中心，则在这个顶点
处根据“等量加(减) 等量，和(差)相等”，可得出两个新的角相等．
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例 3 如图，AB，CD 相交于点 E，且 AE＝BE，CE＝DE.求证： △AEC ≌△BED.
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证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中，
AB＝AC，
∠BAD＝∠CAE， AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
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模型 4 三垂直全等模型
同(等)角的余角相等 【模型分析】在一线三等角的图形中，两个三角形的对应角相等， 只需找出一组对应边相等，就可以得出这两个三角形全等．
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4
针对训练 1．如图，GC＝GE，BE＝FC，∠B＝∠F.求证：△ ABC≌△DFE.
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证明：∵GC＝GE， ∴∠ACB＝∠DEF. ∵BE＝FC，∴BC＝FE. 在△ABC 和△DFE 中，
∠B＝∠F，
∴△ADC≌△CEB(AAS)．
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∠BAE＝∠CAD， AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)．
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针对训练 2．如图，已知 AD＝BC，AC＝BD. 求证：(1)△ADB≌△BCA； (2)△AOD≌△BOC.
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AD＝BC，
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例 2 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AD＝AE，BD＝CE. 求证：△ABE≌△ACD.
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【解答】∵AD＝AE，BD＝CE， ∴AB＝AC.
在△ABE 和△ACD 中，
AB＝AC，
证明：(1)在△ADB 和△BCA 中，BD＝AC， AB＝BA，
∴△ADB≌△BCA(SSS)． (2)∵△ADB≌△BCA，∴∠D＝∠C.
∠D＝∠C，
在△AOD 和△BOC 中，∠DOA＝∠COB， AD＝BC，
∴△AOD≌△BOC(AAS)．
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3
例 1 如图，点 B，E，C，F 在同一直线上，若 AB⊥BF，DE⊥BF， AB＝DE，AC＝DF.求证：△ABC ≌△DEF.
【解答】∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，AABC＝＝DDEF，， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
∠FAE＝∠C，
AE＝CB， ∠FEA＝∠B，
∴△AFE≌△CAB(ASA)，∴FE＝AB.
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针对训练 4．如图，等腰三角形 ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线 l 经 过点 C(点 A，B 都在直线 l 的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为 D，E. 求证：△ADC≌△CEB.
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证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°， ∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠ECB＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB. 在△ADC 和△CEB 中，
∠ADC＝∠CEB，
∠DAC＝∠ECB， AC＝CB，
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第四章 三角形 解题方法突破篇——全等模型
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1
模型 1 平移全等模型
把△ABC 沿着某一条直线 l 平行移动，所得的△DEF 与△ABC 称为 平移型全等三角形．
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2
【模型分析】平移模型中，根据“两直线平行，同位角相等”或“两 直线平行，内错角相等”，可得到两个三角形的两组对应角相等；反之， 若两个三角形全等，可得对应角相等，从而得到两直线平行．