2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章 计数原理、随机变量及分布列第5课时 独立性及二项分布

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章 计数原理、随机变量及分布列第5课时 独

立性及二项分布

1. (选修23P 59练习2改编)省工商局于2003年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x 饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶x 饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的x 饮料的概率是________．

答案：0.64

解析：记“第一瓶x 饮料合格”为事件A 1，“第二瓶x 饮料合格”为事件A 2，A 1与A 2是相互独立事件，“甲喝2瓶x 饮料都合格就是事件A 1、A 2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得P(A 1·A 2)＝P(A 1)·P(A 2)＝0.8×0.8＝0.64.

2. (选修23P 63练习2改编)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为________．

答案：54

125

解析：本题符合独立重复试验，是二项分布问题，所以此人恰有两次击中目标的概率为C 23(0.6)2

·(1－0.6)＝54125

.

3. 甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为________．

答案：0.036

解析：设甲市下雨为事件A ，乙市下雨为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.2×0.18＝0.036.

4. (选修23P 63练习2改编)某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是________．

答案：49

解析：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34

.由于是任意选择，这些

结果出现的可能性都相等.3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C 2

4·3！(从4个部门

中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C 2

4＝6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法)，记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P(A 1)＝C 2

4·3！34

＝4

9

. 5. 在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是65

81，

则事件A 在一次试验中出现的概率是________．

答案：13

解析：设A 发生概率为P ，1－(1－P)4

＝6581，P ＝13

.

1. 相互独立事件

(1) 对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 相互独立． (2) 若A 与B 相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．

(3) 若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4) 若P(AB)＝P(A)P(B)，则A 、B 相互独立． 2. 二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发

生k 次的概率是P(X ＝k)＝C k n p k q n －k

，其中k ＝0，1，2，3，…，n ，q ＝1－p.于是得到随机变量X 的概率分布如下：

n

n n ＋…＋C k n p q ＋…＋n q 0

中的第k ＋1项(k ＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X 为二项分布，记作X ～B(n ，p)．

3. “互斥”与“相互独立”的区别与联系

题型1 相互独立事件

例1 A 高校自主招生设置了先后三道程序：部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试．在每道程序中，设置三个成绩等级：优、良、中．若考生在某道程序中获得“中”，

则该考生在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序．考生只有全部通过三道程序，自主招生考试才算通过．某中学学生甲参加A 高校自主招生考试，已知该生在每道程序中通过的概率均为34，每道程序中得优、良、中的概率分别为p 1、1

2

、p 2.

(1) 求学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率；

(2) 设ξ为学生甲在三道程序中获优的次数，求ξ的分布列．

解：由题意，得11213,24

1,2p p p ìïï+=ïïíïï+=ïïïî

解得p 1＝p 2＝1

4

.

(1) 设事件A 为学生甲不能通过A 高校自主招生考试，则P(A)＝14＋34×14＋34×34×1

4＝

3764

. 答：学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率为37

64.

(2) 由题意知：ξ＝0，1，2，3.

P(ξ＝0)＝14＋12×14＋12×12×14＋12×12×12＝9

16

，

P(ξ＝2)＝14×14×14＋14×14×12＋14×12×14＋12×14×14＝7

64，

P(ξ＝3)＝14×14×14＝1

64

，

∵i ＝03P (ξ＝i)＝1，∴P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝5

16

. 故ξ的分布列为

变式训练

有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子(各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n ＝1，2，3)关时，需要抛掷n 次骰

子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于n 2

时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．

(1) 求仅闯过第一关的概率；

(2) 记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列．

解：(1) 记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ，则P(A)＝34·616＝9

32

.