2014年11月2015届高三上学期期中统考(广东版)理数卷(答题卡)
2014-2015学年广东省深圳市宝安区高一(上)期末数学试卷
2014-2015学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）设集合U=R，A={x∈N|x≤3}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）已知m=0.91.1，n=1.10.9，p=log0.91.1，则m、n、p的大小关系（）A．m＜n＜p．B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m3．（5.00分）cos600°=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．（5.00分）下列函数中，是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（）A．y=x﹣2B．y=x4 C．y=D．y=﹣5．（5.00分）在（0，2π）内使sinx＞cosx成立的x的取值范围是（）A．（，）∪（π，）B．（，π）C．（，π）∪（，）D．（，）6．（5.00分）函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）7．（5.00分）将函数的图象上各点的横坐标长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向右平行移动个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．（5.00分）已知3x﹣3﹣y≥5﹣x﹣5y成立，则下列正确的是（）A．x+y≤0 B．x+y≥0 C．x﹣y≥0 D．x﹣y≤0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上．9．（5.00分）计算100（lg9﹣lg2）﹣log98•log4=．10．（5.00分）已知sinα=﹣，cos（α+β）=0，则sin（α+2β）=．11．（5.00分）设函数y=sin（x+），若对任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则|x1﹣x2|的最小值是．12．（5.00分）在平面直角坐标系中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足，．若A、B、C三点构成直角三角形，则实数m的值为．13．（5.00分）如果f（x）=atanx+bsin3x﹣5，并且f（1）=2，那么f（﹣1）=．14．（5.00分）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T﹣T a=（T0﹣T a）•，其中T a称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40℃降温到32℃时，还需要分钟．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．15．（12.00分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，0）．（1）求cosθ和tanθ的值；（2）求的值．16．（12.00分）如图，在△ABC中，∠ACB=120°，D、E为边AB的两个三等分点，=3，=2，||=||=1，试用，表示、，并求||．17．（14.00分）若函数f（x）=﹣x2+2|x|（1）判断函数的奇偶性；（2）在直角坐标系画出函数图象、写出函数的单调区间，求出函数值域．18．（14.00分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），（1）若θ=0，x∈[﹣，]，求f（x）的值域；（2）若f（x）的图象关于原点对称，且θ∈（0，π），求θ的值．19．（14.00分）已知函数f（x）=（1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）解关于x的不等式f（2x﹣1）＜．20．（14.00分）已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数；请解答以下问题（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数f（x）=x+（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．2014-2015学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）设集合U=R，A={x∈N|x≤3}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1}C．{1，2}D．{0，1，2}【解答】解：A={x∈N|x≤3}={0，1，2，3}，故∁U A={x|x≠0且x≠1，且x≠2，且x≠3}；故（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}；故选：B．2．（5.00分）已知m=0.91.1，n=1.10.9，p=log0.91.1，则m、n、p的大小关系（）A．m＜n＜p．B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m【解答】解：∵0＜m=0.91.1＜1，n=1.10.9＞1，p=log0.91.1＜0，∴n＞m＞p．故选：C．3．（5.00分）cos600°=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：cos600°=cos（360°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，故选：B．4．（5.00分）下列函数中，是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（）A．y=x﹣2B．y=x4 C．y=D．y=﹣【解答】解：选项A，（﹣x）﹣2=x﹣2，是偶函数；并且在（0，1）上单调递减；选项B，（﹣x）4=x4，是偶函数，但是在（0，1）上单调递增；选项C，定义域为[0，+∞]是非奇非偶的函数，在（0，1）上单调递增；选项D，是奇函数，在（0，1）上单调递增；所以满足偶函数且在（0，1）上单调递减的是A；故选：A．5．（5.00分）在（0，2π）内使sinx＞cosx成立的x的取值范围是（）A．（，）∪（π，）B．（，π）C．（，π）∪（，）D．（，）【解答】解：∵sinx＞cosx，∴sin（x﹣）＞0，∴2kπ＜x﹣＜2kπ+π （k∈Z），∵在（0，2π）内，∴x∈（，），故选：D．6．（5.00分）函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选：C．7．（5.00分）将函数的图象上各点的横坐标长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向右平行移动个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【解答】解：将函数的图象上各点的横坐标长到原来的3倍，可得函数解析式为y=sin（2x+）（x系数变为原来的），函数的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x令2x=kπ（k∈Z），则x=∴函数的对称中心坐标为（，0）（k∈Z）．当k=1时，函数的一个对称中心坐标为故选：A．8．（5.00分）已知3x﹣3﹣y≥5﹣x﹣5y成立，则下列正确的是（）A．x+y≤0 B．x+y≥0 C．x﹣y≥0 D．x﹣y≤0【解答】解：构造函数f（x）=3x﹣5﹣x，∵y=3x为增函数，y=5﹣x为减函数，由函数单调性的性质“增”﹣“减”=“增”得到函数f（x）=3x﹣5﹣x为增函数又∵3x﹣3﹣y≥5﹣x﹣5y，即3x﹣5﹣x≥3﹣y﹣5y，故x≥﹣y即x+y≥0故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上．9．（5.00分）计算100（lg9﹣lg2）﹣log98•log4=2．【解答】解：100（lg9﹣lg2）﹣log98•log4=10lg9÷10lg4﹣•=﹣•=﹣=2．故答案为：210．（5.00分）已知sinα=﹣，cos（α+β）=0，则sin（α+2β）=﹣．【解答】解：∵sinα=﹣，cos（α+β）=0，∴cos（2α+2β）=2cos2（α+β）﹣1=﹣1，∴sin（2α+2β）=2sin（α+β）cos（α+β）=0，∴sin（α+2β）=sin[（2α+2β）﹣α]=sin（2α+2β）cosα﹣cos（2α+2β）sinα=﹣（﹣1）×（﹣）=﹣故答案为：﹣．11．（5.00分）设函数y=sin（x+），若对任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则|x1﹣x2|的最小值是2．【解答】解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）和f（x2）分别是函数的最大值和最小值，∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期，∵T==4，∴|x1﹣x2|的最小值为2，故答案为：2．12．（5.00分）在平面直角坐标系中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足，．若A、B、C三点构成直角三角形，则实数m的值为﹣2或0．【解答】解：当∠ACB为直角时，即[i+（m﹣1）j]（2i+mj）=2+m（m ﹣1）=0，无解；当∠CAB为直角时，即（i+j）（2i+mj）=2+m=0，解得m=﹣2；当∠CBA为直角时，即（i+j）[i+（m﹣1）j]=1+m﹣1=0，m=0；m可取的值：﹣2或0；故答案为：﹣2或0．13．（5.00分）如果f（x）=atanx+bsin3x﹣5，并且f（1）=2，那么f（﹣1）=﹣12．【解答】解：f（x）=atanx+bsin3x﹣5，f（1）=2，可得：atan1+bsin31﹣5=2，即atan1+bsin31=7f（﹣1）=﹣atan1﹣bsin31﹣5=﹣7﹣5=﹣12．故答案为：﹣12；14．（5.00分）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t后的温度是T，则T﹣T a=（T0﹣T a）•，其中T a称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40℃降温到32℃时，还需要10分钟．【解答】解：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T﹣T a=（T0﹣T a）•，其中T a称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，可得T a=24，T0=88，T=40，可得：40﹣24=（88﹣24），解得h=10，此杯咖啡从40℃降温到32℃时，可得：32﹣24=（40﹣24），解得t=10．故答案为：10．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．15．（12.00分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，0）．（1）求c osθ和tanθ的值；（2）求的值．【解答】解：（1）sinθ=﹣，θ∈（﹣，0）．cosθ==∴；tanθ=﹣2…（5分）（2）…（5分）16．（12.00分）如图，在△ABC中，∠ACB=120°，D、E为边AB的两个三等分点，=3，=2，||=||=1，试用，表示、，并求||．【解答】解：，，===，∴|CD|=．17．（14.00分）若函数f（x）=﹣x2+2|x|（1）判断函数的奇偶性；（2）在直角坐标系画出函数图象、写出函数的单调区间，求出函数值域．【解答】解：（1）因为f（x）=﹣x2+2|x|，所以f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2|﹣x|=﹣x2+2|x|=f（x），所以函数f（x）是偶函数．（2）作出函数f（x）=﹣x2+2|x|=的图象：由图象可知函数的单调增区间：（﹣∞，﹣1]，[0，1]．减区间：[﹣1，0]，[1，+∞）．值域：（﹣∞，1]，18．（14.00分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），（1）若θ=0，x∈[﹣，]，求f（x）的值域；（2）若f（x）的图象关于原点对称，且θ∈（0，π），求θ的值．【解答】解：化简可得=（1）当θ=0时，，∵，∴，∴由正弦函数的单调性知，∴f（x）的值域为[﹣1，2]；（2）若f（x）的图象关于原点对称，则只需将f（x）的图象做适当平移，使得其过原点即可．∴，又θ∈（0，π），则．19．（14.00分）已知函数f（x）=（1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）解关于x的不等式f（2x﹣1）＜．【解答】解：（1）∵f（﹣x）==﹣f（x），∴函数是奇函数；（2）f（x）===1，∵2x+1＞1，∴0＜＜2，0＞﹣＞﹣2，1＞1﹣＞﹣1，即﹣1＜y＜1，该函数的值域（﹣1，1）；（3）f（x）===1，∵y=2x+1为增函数，∴y=为减函数，y=﹣＞为增函数，∴y=1为增函数，∵f（1）=．∴不等式f（2x﹣1）＜等价为f（2x﹣1）＜f（1），∵函数f（x）为增函数，∴不等式等价为2x﹣1＜1．即2x＜2，解得x＜1，故不等式的解集为（﹣∞，1）．20．（14.00分）已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数；请解答以下问题（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数f（x）=x+（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）因为y=﹣x3在R上是减函数，若在区间[a，b]上是“闭函数”，则，且a＜b，解得；所以满足条件的区间为[﹣1，1]；（2）由f（x）=x+（x∈（0，+∞）得，所以f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，不符合“闭函数”定义，所以f（x）=x+在x∈（0，+∞）上不是“闭函数”；（3）设g（x）=k+，则g（x）的定义域为[0，+∞），在[0，+∞）内任取x1＜x2，则=＜0；所以g（x1）＜g（x2），所以g（x）是增函数．设符合条件的区间为[a，b]，则有g（a）=a，g（b）=b，即，所以a、b是方程x﹣﹣k=0的两根；所以问题转化为h（x）=x2﹣x﹣k有两个非负零点，即方程x2﹣x﹣k=0在[0，+∞）内有两个不同实数根；所以，解得﹣＜k≤0，所以，实数k的取值范围是．。
广东省广州增城市2014届高三上学期调研测试数学理试题(含答案)
增城市2014届高中毕业班调研测试理科试题数 学试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．第I 卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II 卷（非选择题）答案写在答卷上。
参考公式：24R S π=球,3114,,(),333V Sh V Sh V S S S S h V R π''===++=柱锥台球 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P =⋅.第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则()U A C B = （A ） {5} （B ） {2,4} （C ）{2,4,5} （D ）{2,4,6} 2.下列函数中与函数f(x )=x 相同的是 （A ）()()2f x x = (B) ()2f x x = (C) ()33f x x = (D) ()2x f x x=3.复平面内复数11i-对应的点在 （A ）第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 4.计算633 1.512⨯⨯=（A ）6 (B) 23 (C) 33 (D) 3 5. 已知两个平面垂直，下列命题中：（1）一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； （2）一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； （3）一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；（4）过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有（A ）. 1 （B ）. 2 （C ）. 3 （D ）. 4 6.与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都相外切的圆的圆心在(A)一个椭圆上 (B) 一支双曲线上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上 7.已知函数()()22log 1f x x ax =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围是(A) （0,2） (B) （-2,2） (C) [-2,2] (D)()()22,-∞-+∞8.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x x x +=-（A ）2875- （B ）2875（C ）21100- （D ）21100第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（9～13题）9.已知()()4,2,6,a b y == ，且a 与b 共线，则y= .10.如图1，是一问题的程序框图，则输出的结果是 . 16．二项式81x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中常数项是 . 17．设函数()21f x x =+，对任意12,x x R ∈，恒有()()1212f x f x M x x -<-，其中M 是常数，则M 的最小值是 .18．要将两种大小不同的钢板截成A,B,C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型 钢板类型 A B C 第一 2 1 1 第二 1 2 3今需要A,B,C 三种规格的成品分别是15,18, 27块，至少需要这两种钢板共是 张.（二）选做题（14、15题）14（几何证明选讲选做题）如图2，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= .15（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为2c o s 23s i n ρθθ=-，则圆的圆心的极坐标是()02θπ≤<.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16（12分）已知函数()()2sin cos sin .f x x x x =-（1）当0x π<<时，求()f x 的最大值及相应的x 值；（2）利用函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.图1i=i+3S=0S=S+ii=1否是i ≤100输出S结束开始图2FAE BCD17（12分）在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品. （1）从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；（2）从盒子里任取3枝，设ξ为取出的3枝里一等品的枝数，求ξ的分布列及数学期望.18（14分）如图3，边长为2的正方形ABCD ，E,F 分别是AB,BC 的中点，将△AED ， △DCF 分别沿DE,DF 折起，使A,C 两点重合于A '。
2015年广东高考理科数学试题及答案(完整版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。
2014年高考理科数学试题(广东卷)及参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学生 3500名初中生4500名 高中生 2000名小学初中30 高中10 年级50 O近视率/%8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
广东省实验中学2015届高三数学第一次阶段考试试题 理(含解析)新人教A版
广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移. 一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】交集及其运算；子集与真子集．A1【答案解析】A 解析：∵集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，∴x 24＋y 216＝1为椭圆和指数函数y ＝3x 图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选A ．【思路点拨】由题意集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，画出A ，B 集合所表示的图象，看图象的交点，判断A∩B 的子集的个数． 【题文】2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（ ）A .-2B .–l C.12D .1 【知识点】对数的运算性质．B7 【答案解析】A 解析：====﹣2．故选A ．【思路点拨】利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：log a （MN ）=log a M+log a N ，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得.【题文】3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】A 解析：∵x，y ∈R ，当1x y +=时，y=1﹣x ，∴xy=x（1﹣x ）=x ﹣x 2=2111424x ，∴充分性成立； 当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；∴“1x y +=”是“14xy ≤”的充分不必要条件．故选：A ． 【思路点拨】由1x y +=，推出14xy ≤，判定充分性成立；由14xy ≤，不能得出1x y +=，判定必要性不成立即可． 【题文】4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】B 解析：∵cos21()sin 2x f x x-==∴函数f （x ）不是轴对称图形，∴A 不正确； ∵函数f （x ）的最小正周期为π，∴C 不正确； ∵函数在区间(0,)π不单调，∴D 不正确； ∵函数f （x ）的对称中心为（）k ∈Z ，∴函数f （x ）的图象关关于点(,0)2π对称正确，故选B ．【思路点拨】分析函数cos21()sin 2x f x x-=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质． 【题文】5．已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D.11lg lg a b > 【知识点】不等式的基本性质．E1【答案解析】D 解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴，可得； ；（lga ）2＞（lgb ）2；lga ＜lgb ＜0，可得．综上可知：只有D 正确．故选：D ．【思路点拨】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出．【题文】6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）A B C D【知识点】函数的图象．B8【答案解析】A 解析：函数f （x ）=x 2+2cosx ，∴f′（x ）=2x ﹣2sinx=2（x ﹣sinx ）， f′（﹣x ）=﹣2x+2sinx=﹣（2x ﹣2sinx ）=﹣f′（x ），导函数是奇函数， ∵x∈（0，），x ＞sinx ＞0，∴B、C 、D 不正确．故选：A ．【思路点拨】由题可得f′（x ）=2x ﹣2sinx ，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．【题文】7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） 111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-【知识点】分段函数的应用．B1【答案解析】B 解析：对于函数f （x ）=，当x≤1时，f （x ）=﹣（x ﹣）2+；当x ＞1时，f （x ）=＜0．则函数f （x ）的最大值为．则要使不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立， 则m 2﹣m 恒成立，即m 或m≥1．故选B ．【思路点拨】求出分段函数的最大值，把不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立转化为m 2﹣m 大于等于f （x ）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m 的取值范围． 【题文】8．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ） A ．2sin 22cosααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos 22sin βββ=-【知识点】余弦函数的图象．C3【答案解析】C 解析：∵cos xk x=，∴|cosx|=kx， ∴要使方程cos xk x=（k ＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx （k ＞0）在（0，+∞）上 有且仅有两个公共点，所以直线y=kx 与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cosβ），此时y=|cosx|=﹣cosx ．∴切线的斜率为sinβ=，∴βsinβ=﹣cosβ，∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ，∴sin 2β=﹣2βsin 2β，故选：C ．【思路点拨】将方程cos xk x=转化为|cosx|=kx ，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
2023-2024学年广东省四校联考高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2014-2015学年度第一学期期中考试七年级数学试题
2014-—2015学年度第一学期期中考试七年级数学试题(全卷三个大题,共26个小题；满分 100分,考试时间90分）一、选择题(每小题3分，共36分) 1．零是（ ）A ．正数B 。
奇数 C.负数 D.偶数2．某地清晨时的气温为-2℃，到中午时气温上升了8℃,再到傍晚时气温又下降了5℃，则该地傍晚气温为( ）A 。
-1℃B 。
1℃ C. 3℃ D. 5℃ 3．－5的绝对值为（ )A ．－5B ．5C ．15-D ．154．下列各对数中，互为相反数的是（ ）A.)3(+-与)3(-+B. )4(--与4- C 。
23-与2)3(- D 。
32-与3)2(- 5．下列计算正确的是（ ）A ．xy y x 532=+B ．532222a a a =+ C ．13422=-a a D ．b a b a ba 2222-=+- 6．计算33--÷31的正确结果是（ ) A. —18 B 。
—12 C. -2 D 。
-47．下列运算正确的是（ )A ．422-=- B ．10)1(10-=- C ．91)31(3-=- D ． 6)2(3-=- 8。
若||a a =-，则a 是（ ）。
A ．正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 9．下列说法正确的是（ )A ．a 2是单项式 B ．cb a 3232-是五次单项式 C ．322+-a ab 是四次三项式 D ．r π2的系数是π2，次数是1次 10．下面四个整式中，不能．．表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．x x 52+ B ．6)3(++x x C ．2)2(3x x ++ D ． x x x 2)2)(3(-++ 11．下面说法中正确是的有（ ）10题图（１）一个数与它的绝对值的和一定不是负数。
（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍(3）零减去一个数一定是负数。
（4)正数减负数一定是负数。
（5）有理数相加减，结果一定还是有理数。
2015高考数学试卷(广东卷)文数(有答案、解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C考点：集合的交集运算．2.已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】D 【解析】试题分析：()221121212i i i i i +=++=+-=，故选D ．考点：复数的乘法运算．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原考点：函数的奇偶性．4.若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ．考点：线性规划．5.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且 b c <，则b =（ ）A ．3B ．2C ．22D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以()22232232232b b =+-⨯⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．6.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列 命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A 【解析】试题分析：若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ． 考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率 为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ． 考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =， 则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10.若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D 【解析】试题分析：当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ． 考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题）11.不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的 均值为 ． 【答案】11考点：均值的性质．13.若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． 【答案】1【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以()()25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15.（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的 切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4A B =，C 23E =，则D A = ．【答案】3【解析】试题分析：连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE+=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3． 考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17．（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的 方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】（2）月平均用电量的众数是2202402302+= 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18．（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直， D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． （1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372． 【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证PE ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P （3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在R t D ∆P E 中，22D D PE =P -E22437=-=，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D 136737212342S h S ∆A ∆P A ⨯⨯⨯⋅PE ===⨯⨯，所以点C 到平面D P A 的距离是372考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =， 且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n n a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34±=k ． 【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x . （3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线. 结合图形，49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 表示的是一段关于X 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在X 轴对称下方的圆弧.设P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ,而当直线L 与轨迹C 相切时，.2314232=+-k k k ，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <结合图形，可得对于X 轴对称下方的圆弧，当0752≤≤-k 或34=k 时，直线L 与X 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知752752≤≤-k 或34±=k . 综上所述：当752752≤≤-k 或34±=k 时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、圆锥曲线与圆的位置关系.21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围；（2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a ≥时，讨论()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）21≤a ；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x+有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点． 【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a综上所述，a 的取值范围是21≤a . （2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x a x x a x x f ,2)12(,12)(22 对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增； 对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减. 综上，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min-==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f 令()4f x x +=0，即xx f 4)(-=（x>0）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f 而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2. (ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图像不难得当2>a ，)(x f y =与x y 4-=有两个交点. 综上，当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.。
(完整版)2014广东高考理科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab acaa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f======解频率分布直方图如下所示(](](]0044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.BCξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝030，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值.:(1):,,,,A,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCDPCD ABCDPCD ABCD CDD ABCD AD CD AD PCDCF PCD CF AD AF PC CF AFAD AF ADF AD AF A CF ADFCF DF EG DF⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A平面A过作于连则022,CD2,30,130,==1,213324,,,=,,,3,222333319322EG.,7,,4231933193193622,()()474747EHG D AF E DPCCDF CF CDDE CFCP EF DC DE DFDP CPDE EFAE AF EFDFAE EFEH HGAF--=∠=∴∠==∴=∴==⋅⋅======⋅⋅∴====-=为二面角的平面角设从而∥即还易求得EF=从而易得故3,476347257cos.47319GHEHGEH∴∠==⋅=12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431(,0),(ADF CP (3,1,0),2222AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DFCF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<--+-+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x x kx x k k kg x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
【初三】A4双面一式5份
广雅2014-2015年期中考试试卷一、选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）1.下列图形中，不是中心对称图形是A. B. C. D.2.若关于x 的方程2m-110x mx +-=（）是一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m ≠1B.m=1C.m ≥1D.m ≠03.下列方程中有相等的实数根的是（）A.210x x +-=B.220x -=C.220x x ++=D.2810x x ++=4.将抛物线212y x =-平移后，得到的抛物线是21(3)22y x =-+-，其方法是（） A.向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移3个单位，再向下平移2个单位C. 向右平移3个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移3个单位，再向下平移2个单位5.下列说法中正确的命题是（）①直径不是弦②三点确定一个圆③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.A. ①B. ②C. ③D. ④6. ☉o 的半径是4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么A 与☉o 的位置关系是（）A.点A 在圆内B.点A 在圆上C.点A 在圆外D.不能确定7.如图，AB 是☉o 的直径，C 、D 是☉o 上的两点，若∠BAC=20°，AD=DC ，则∠DAC 的度数是（）A.30°B.35°C.45°D.70°8.二次函数2y ax bx c =++系数满足a ＜0，b ＞0，c ≤0，它图像一定不经过（）象限A.一B.二C.三D.四9.已知二次函数23(y x x m m =-+为常数）的图像与x 轴的一个交点为（1,0），则关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两实数根是（）A.121,1x x ==-B.121,2x x ==C.121,0x x ==D.121,3x x ==10.如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA ’B ’C ’的位置，若OB=C=120°。
2015年广东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）22点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F（5，0），2可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）411．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8 ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（14分）（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从22）6．（5分）（2015•）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，（14分）18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．。
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
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XXX2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1、已知集合$S=\{x|x+1\geq2\}$，$T=\{-2,-1,0,1,2\}$，则$S\cap T=$（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{1,2\}$。
C。
$\{0,1,2\}$。
D。
$\{-1,0,1,2\}$解题思路】：题目给出了集合$S$和$T$，需要先求出它们的具体表达内容，再求它们的交集。
$S$是一次函数不等式的解，$S=\{x|x\geq1\}$；$S\cap T=\{1,2\}$，故选B。
2、用阴影部分表示集合$C\cup A\cup B$，正确的是（）解题思路】：题目给出了四个图形，需要判断哪个图形表示$C\cup A\cup B$。
利用XXX求解，A中阴影部分表示$C\cup(A\cup B)$，B中阴影部分表示$(C\cup A)\cap B$，C中阴影部分表示$A\cap B$，D中阴影部分表示$C\cup A\cup B$，故选D。
3、函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的定义域是（）A。
$(1,+\infty)$。
B。
$[1,+\infty)$。
C。
$(0,+\infty)$。
D。
$[0,+\infty)$解题思路】：题目给出了函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$，需要求出它的定义域。
由$\log_{\frac{1}{2}}(x-1)>0$得$x-1>0$，即$x>1$，故选A。
4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A。
$y=-|x|$。
B。
$y=x$。
C。
$y=|x|$。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
PA
PQ
(t
)
(2
t)
(1)
(t
1)
t
2
t
1
t
1 2
2
3 4
3 4
．
当 t 1 时， PA PQ 3 ．
2
min 4
5. 在正方体中随机取 3 条棱，它们两两异面的概率为
．
答案： 2 ． 55
化简并整理得，
(m k)(x1 x2 2) 0 ．
假如 m k ，则直线 l 的方程为 y kx k ，即 l 经过点 F1 (1, 0) ，不符合条件．
2
2
f (2) 4 2a b 4 ．
2. 若实数 满足 cos tan ，则 1 cos4 的值为
．
sin
答案：2．
解：由条件知， cos2 sin ，反复利用此结论，并注意到 cos2 sin2 1 ，得
1 cos4 cos2 sin2 sin2
不同的方向．可先取定 AB 方向的棱，这有 4 种取法．不妨设取的棱就是 AB ，则 AD 方向
只能取棱 EH 或棱 FG ，共 2 种可能．当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时， AE 方向取棱分别
只能是 CG 或 DH ． 由上可知，3 条棱两两异面的取法数为 42 8 ，故所求概率为 8 2 ． 220 55
对任一四位数 abcd A1 ，将其对应到四位数 dcba ，注意到 a b, b c, c d 1，故 dcba B ．反之，每个 dcba B 唯一对应于 A1 中的元素 abcd ．这建立了 A1 与 B 之间的一一 对应，因此有
2014年广东高考试卷理科数学(含全部答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A 3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:(1,0,1)(1,1,0)11:,,60,.2210(1)1(1)0B B -⋅-=∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x xx i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130,D .x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220l n l n l n a a a +++= .51011912101112202019151201011:100:,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e =∴==+++=+++∴====答案提示设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 552332:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )444423cos sin 46cos 326cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.(](]12120044472:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2);(3),30,50:10.120.88,130,503:1(0.88)(0.12)1().25n n f f C ======-=-=-解略根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为故至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则0022,CD 2,30,130,==1,213324,,,=,,,3,2222333319322EG .,7,,42231933193193622,()()474747EHG D AF E DPC CDF CF CD DE CF DE CP EF DC DE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅⋅======⋅⋅∴====-=为二面角的平面角设从而∥即还易求得EF=从而易得故3,476347257cos .1947319GH EHG EH ∴∠==⋅=12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),P(23,0,0),,(23,22,0),,,43331(,,0),(,0,0),ADF CP (3,1,0),2222AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,43257(4,0,3),.19||||219n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(5,0)，离心率为53，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.222220022002255:(1)5,,3,954,31.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数2221()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）. .解：（１）可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->，|1|2x k ∴+<--或|1|2x k +>-，12k ∴----<12x k <-+--或12x k <---或12x k >-+-， 所以函数()f x 的定义域D 为(,12)k -∞---(12,k ----12)k -+--(12,)k -+-+∞； （２）232222(2)(22)2(22)'()2(2)2(2)3x x k x x f x x x k x x k +++++=-+++++-23222(21)(22)(2)2(2)3x x k x x x k x x k ++++=-+++++-， 由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(1)(1)(1)0x k x k x +++-+<，1x k ∴<---或11x k -<<-+-，结合定义域知12x k <---或112x k -<<-+--， 所以函数()f x 的单调递增区间为(,12)k -∞---，(1,12)k --+--，同理递减区间为(12,1)k -----，(12,)k -+-+∞；（３）由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(124)(124)(3)(1)0x k x k x x ∴++--+---⋅+-=， 124x k ∴=----或124x k =-+--或3x =-或1x =， 6k <-，1(1,12)k ∴∈--+--，3(12,1)k -∈-----，12412k k ----<---，12412k k -+-->-+-， 结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(124,12)k k -------(12,3)k -----(1,12)k -+--(12,124)k k -+--+--．.。
2014-2015学年度第一学期九年级期末考试数学试卷
2014/2015学年度第一学期九年级期末考试数学试卷（人教版）一、选择题1．下列方程没有实数根的是（ ）A ．x 2+4x = 1B ． x 2+ x −3= 0C ．x 2−2x +2=0D ．0)3)(2(=--x x 2．抛物线5)3(22+--=x y 的顶点坐标是（ ） A. )5,3(B. )5,3(-C. )5,3(-D. )5,2(-3．把抛物线y = −x 2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A ．y = −(x − 1)2 − 3B ．y = −(x + 1)2 + 3C ．y = −(x − 1)2 + 3D ．y = −(x + 1)2 − 34．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a<0，c>0，那么它的图象大致是（ ）5．已知二次函数y = −x 2− 2x + k 的图象经过点A (2，y 1)，B (－2，y 2)，C (−5，y 3)，则下列结论正确的是( )A ．321y y yB ．312y y yC ．213y y yD ．231y y y 6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）A ．点(0，3)B ．点(2，3)C ．点(6，1)D ．点(5，1) 72则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的正根在3与4之间8．如图，抛物线y=x 2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A 1，A 2，A 3…A n ，…．将抛物线y=x 2沿直线L ：y=x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，…M n ，…都在直线L ：y=x 上； ②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3…A n ，…． 则顶点M 2014的坐标为（ ）A.(2013,2013)B.(2014,2014)C.(4027,4027)D.(4028,4028)二、细心填一填（10×3）9．写出一个根为－2的一元二次方程10．2014年南京青奥会某项目6名礼仪小姐的身高如下（单位：cm ）：168，166，168，167， 169，168，则她们身高的极差是 cm ．11．在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率 飞镖落在白色区域的概率．(填“>”“=”“<”) 12．某台钟的时针长为9分米，从上午7时到上午11时该钟时针针尖走过的路程是 分14．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为 ．15．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为3)4(1012+--=x y ，由此可知铅球推出的距离是 m ．16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，如图所示为正视图.已知EF ＝CD ＝16厘米，这个球的半径是 厘米．17．如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，PM=l ，则l 的最大值是 ．（第11题图） （第14题图）18．若抛物线y ＝c bx x ++-22与x 轴只有一个交点，且过点),2(),,4(n m B n m A +-，则n ＝______． 三、用心做一做 19．（本题满分8分）2015年“我要上春晚”进入决赛阶段，最终将有甲、乙、丙、丁4 名选手进行决赛的终极较量，决赛分3期进行，每期比赛淘汰1名选手，最终留下的歌手 即为冠军．假设每位选手被淘汰的可能性都相等． (1) 甲在第1期比赛中被淘汰的概率为 ；(2) 利用树状图或表格求甲在第2期被淘汰的概率；(3) 依据上述经验，甲在第3期被淘汰的概率为 ． 20．（本题满分8分）九（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：甲7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分； （2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是 队． 21．（本题满分8分）某种盆栽花卉每盆的盈利与每盆种植花卉的株数有关：已知每盆种植3株时，平均每株可盈利4元；若每盆多种植1株，则平均每株盈利要减少0.5元．为使每盆的盈利达到15元，则每盆应种植花卉多少株？22．（本题满分8分）如图，已知二次函数121212--=x x y 的图象交x 轴于A 、D 两点． （1）求线段AD 的长；（2）在同一坐标系中画出直线y =x +1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．23.（本题满分10分）如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交C 点，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=（1）求抛物线的解析式；（2）M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求M 点的坐标．24.（本题满分10分）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m.⑴ 在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；⑵ 设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.4mC B AO正常水位20my x25．（本题满分10分）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度x/℃……－4 －2 0 2 4 4.5 ……植物每天高度增长量y/mm ……41 49 49 41 25 19.75 ……由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．26．（本题满分10分）沿海开发公司准备投资开发A、B两种新产品，通过市场调研发现：（1）若单独投资A种产品，则所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：y A=kx；（2）若单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：y B=ax2+bx．（3）根据公司信息部的报告，y A，y B（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值如下表A；B=；（2）若公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W（万元），试写出W与某种产品的投资金额x（万元）之间的函数关系式；（3）请你设计一个在（2）中能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？27．（本题满分12分）问题提出：平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？初步思考：设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．⑴当C、D在线段AB的同侧时，如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB＝∠ADB，理由是；如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB ∠ADB；如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB ∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）；由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：．类比学习：（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．如图④，此时有，如图⑤，此时有，如图⑥，此时有．由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：．拓展延伸：（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？ 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上． 求作：CN ⊥AB ．作法：①连接CA ，CB ； ②在上任取异于B 、C 的一点D ，连接DA ，DB ； ③DA 与CB 相交于E 点，延长AC 、BD ，交于F 点； ④连接F 、E 并延长，交直径AB 于M ；⑤连接D 、M 并延长，交⊙O 于N ．连接CN ． 则CN ⊥AB ． 请按上述作法在图④中作图，并说明CN ⊥AB 的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）28．（本题满分12分）如图，已知抛物线32++=bx ax y 经过点B （－1，0）、C （3，0），交y 轴于点A ，（1）求此抛物线的解析式；（2）抛物线第一象限上有一动点M ，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，请求出ON MN 2+的最大值，及此时点M 坐标；（3）抛物线顶点为K ，KI ⊥x 轴于I 点，一块三角板直角顶点P 在线段KI 上滑动，且一直角边过A 点，另一直角边与x 轴交于Q （m ，0），请求出实数m 的变化范围，并说明理由．BCM N初三数学参考答案第17题命题老师解析：第18题命题老师解析：方法一：将y ＝c bx x ++-22沿x 轴左右平移得22x y -=，由),2(),,4(n m B n m A +-知，平移后，点B 坐标为),3(n ，易得18-=n方法二：由抛物线过点),2(),,4(n m B n m A +-得，抛物线对称轴为直线1-=m x ，抛物线与x 轴只有一个交点，可另设抛物线解析式为2)1(2+--=m x y 把点B 坐标代入可得18-=n20. （1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分）， 则中位数是9.5分；10出现了4次，出现的次数最多， 则乙队成绩的众数是10分；故答案为：9.5，10；…………………… 2分（2）乙队的平均成绩是：（10×4+8×2+7+9×3）=9，…………………… 3分则方差是：[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]=1；…………… 6分（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1， ∴成绩较为整齐的是乙队 故答案为：乙．；…………………… 8分21. 设每盆应种植花卉x 株[]15)3(5.04=--x x ……………………………5分解得51=x ，62=x ………………… 7分 答：每盆应种植花卉5株或6株………………8分（2）图象如图，……………7分当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜4．……………………8分23.解：（1）设抛物线的解析式把A （2，0）C （0，3）代入得：解得：即………………………………………………………4分（2）由y=0得∴x 1=1，x 2=﹣3 ∴B （﹣3，0） ①CM=BM 时 ∵BO=CO=3 即△BOC 是等腰直角三角形 ∴当M 点在原点O 时，△MBC 是等腰三角形 ∴M 点坐标（0，0）…………………………………7分 ②BC=BM 时 在Rt △BOC 中，BO=CO=3， 由勾股定理得∴BC=∴BM=∴M 点坐标（……………………………10分25．（1）选择二次函数，设c bx ax y ++=2，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=4124492449c b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=4921c b a∴y 关于x 的函数关系式是4922+--=x x y ．不选另外两个函数的理由：注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以y 不是x 的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以y 不是x 的一次函数． ……………………4分（2）由（1），得4922+--=x x y ，∴()5012++-=x y ，∵01<-=a ，∴当1-=x 时，y 有最大值为50．即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．……………………8分（3）46<<-x ．…………………………10分27.（1）同弧所对的圆周角相等．∠ACB＜∠ADB，∠ACB＞∠ADB．答案不惟一，如：∠ACB＝∠ADB．……………………（各1分）（2）如图：此时∠ACB＋∠ADB＝180°, 此时∠ACB＋∠ADB＞180°, 此时∠ACB＋∠ADB＜180 若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一个圆上．…………（各1分）（3）作图正确．………………（1分）∵AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°．∴点E是△ABF三条高的交点．∴FM⊥AB．……………………（1分）∴∠EMB＝90°．∠EMB＋∠EDB＝180°，∴点E，M，B，D在同一个圆上．……………………（1分）∴∠EMD＝∠DBE．又∵点N，C，B，D在⊙O上，∴∠DBE＝∠CND，∠EMD＝∠CND．∴FM∥C N．∴∠CPB＝∠EMB＝90°．∴CN⊥AB．……………………（1分）（注：其他正确的说理方法参照给分．）28. （1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点B （－1,0）、C （3,0）,∴a b+3=09a b+3=0⎧⎨⎩-+3，解得，a=1b=2⎧⎨⎩-。
专题6 数列-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第01期)Word版无答案
一．基础题组1.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试理科】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且513S =，1563S =，则20S =（ ）A ．90B ．100C ．110D ．1202.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】已知等差数列{}n a 满足244a a +=， 3510a a +=，则它的前10项和10S = （ ）A.85B.135C.95D.233.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（理）】已知数列{n a ｝是公差为3的等差数列，且124,,a a a 成等比数列，则10a 等于( ) A. 30 B. 27 C.24 D.334.【广东省广州市“十校”2013-2014学年度高三第一次联考理】已知等差数列{}n a 中，25a = ，411a =，则前10项和=10S （ ）A ． 55B ． 155C ． 350D ． 4005.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试理】在正项等比数列{n a }中，1n a +＜n a ，28466,5a a a a ∙=+=,则57a a = （ ） A ．56 B ．65 C ．23 D ．326.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ）(A) 3或 -1 (B) 3或1 (C) 3 (D) 1 7.【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）（A ） 1 （B ） 53（C ） 2 （D ） 38.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =___ ___．9.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】在等差数列{}n a 中，487,15a a ==，则数列{}n a 的前n 项和n S = .10.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（理）】 设等比数列{}n a 的公比2q =，则44S a = ． 11.【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知等差数列{n a },满足381,6a a ==,则此数列的前10项的和10S = .二．能力题组12.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a ( ) A.50 B.35 C.55 D.4613.【吉林省白山市第一中学2014届高三8月摸底考试理】若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题：（1）若数列{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列； （2）数列{}n S 是递增数列的充要条件是数列{}n a 的各项均为正数；（3）若{}n a 是等差数列（公差0d ≠），则120k S S S ⋅= 的充要条件是120.k a a a ⋅=（4）若{}n a 是等比数列，则120(2,)k S S S k k N ⋅=≥∈ 的充要条件是10.n n a a ++= 其中，正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个14.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】设{}n a 是公比为q 的等比数列，令1(1,2,)n n b a n =+= ，若数列{}n b 的连续四项在集合}{53,23,19,37,82--中，则q 等于( )A ．43-B ．32-C ．32-或23-D ．34-或43- 15.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a =，2314(2,)n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =（ ）A ．1n -B ．21n -C ．2n -D ．n16.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】等差数列{}n a 中的40251a a ,是函数16431)(23-+-=x x x x f 的极值点，则=20132log a ( )A ．2B ．3C ．4D ．517.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】已知{}n a 为等差数列，若π8951=++a a a ，则)cos(73a a +的值为（ ）A B ． C ．12D ．12-18.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】已知数列{n a }满足)(11,2*11N n a a a a nnn ∈-+==+，则2014a 的值为 ．19.【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．20.【广东省广州市“十校”2013-2014学年度高三第一次联考理】两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图4中的实心点个数1，5，12，22，…， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，若145n a =，则n = ．21.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2013S = ． 22.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】已知数列{n a }的前n 项和n s 满足*130(2,)n n n a s s n n N -+=≥∈ ，311=a ，则n na 的最小值为 ． 23.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】定义在(0,)+∞错误！未找到引用源。
广东省华南师范大学附属中学2024-2024学年高三上学期综合测试(一)数学试题答案
2025届高三综合测试（一）数 学 参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 B ADDAAC C9 10 11 ABCBCDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 8． 13. 4051． 14. 108．【详解】因为()e (22)()xf x x f x ′=−+，所以2()e e ()()22[]e ex x xx f x f x f x x ′−′−， 从而2()2ex f x x x c =−+，即2()e (2)x f x x x c =−+，其中c 为常数， 又(0)1f c ==，故2()e (21)x f x x x =−+，则2()(1)e x f x x ′=−，当(),1x ∈−∞−时，()0f x ′>，()f x 为增函数；当()1,1x ∈−时，()0f x ′<，()f x 为减函数；当()1,x ∈+∞时，()0f x ′>，()f x 为增函数， 所以当(1)(1)f k f <<−时，即40ek <<时，直线y k =与=()y f x 的图像有三个不同的交点，即方程()=f x k 有三个不同的解．故选：C ．10．【解答】解：因为函数()f x 的定义域为R ，且22()()()()f x y f x yf x f y +⋅−=−， f （1）2=，(1)y f x =+为偶函数，令0x y ==，得(0)0f =，再令0x =，则22()()(0)()f y f yf f y −=−， 显然()f y 不恒为零，所以()()f y f y −=−，即()f x 为奇函数，B 正确；所以(1)(1)(1)f x f x f x +=−+=−−，所以(2)()f x f x +=−，所以(4)(2)()f x f x f x +=−+=，即()f x 的周期为4，则f （3）(1)f f =−=−（1）2=−，A 错误； (02)(0)0f f +=−=，C 正确；由A ，B ，C 可知，f （1）2=，f （2）0=，f （3）2=−，f （4）(0)0f =，且()f x 的周期为4，所以20241()506[k f k f ==×∑（1）f +（2）f +（3）f +（4）]0=，D 正确．故选：BCD ． 11．【解答】解：因为2()f x ln x =，所以2()lnxf x x ′=，所以经过(i x ，())(1i f x i =，2)的切线方程为22()ii i ilnx y x x ln x x =−+，由切线过点(,)P a b 知，22()(1,2)ii i ilnx ba x ln x i x =−+=，令22()2alnxg x ln x lnx b x =+−−，则()g x 恰有两个零点1x ，2x ，且22(1)()()lnx x a g x x −−′=， 当a e =时，()0g x ′ ，则()g x 在(0,)+∞单调递增，不可能有两个零点；当a e ≠时，则若a e >，当0x e <<或x a >时()0g x ′>，当e x a <<时()0g x ′<， 则()g x 在(0,)e 和(,)a +∞上单调递增，在(,)e a 上单调递减，若0a e <<，当0x a <<或x e >时()0g x ′>，当a x e <<时()0g x ′<， 则()g x 在(0,)a 和(,)e +∞上单调递增，在(,)a e 上单调递减， 故g （e ）0=或g （a ）0=时，函数()g x 才可能有两个零点， 又g （a ）20ln a b =−≠，故g （e ）0=，此时显然有两条切线， 所以2()10a g e b e =−−=，即2(1)a e b =+，当12b =时，34a e e =<，故A 错误，B 正确；由上述分析，1{e x ∈，2}x ，当a e >时，1x e a =<，()g x 在(0,)e 和(,)a +∞上单调递增， 在(,)e a 上单调递减，示意图如图． 显然1x a <，且222222222()22(1)0alnx af x b ln x b lnx lnx x x −=−=−=−>， 所以2()f x b >，当0a e <<时，2x e a =>，()g x 在(0,)a 和(,)e +∞上单调递增，在(,)a e 上单调递减，示意图如图．显然212,()()1x a f x f e ln e <===，由2(1)a e b =+，得21a b e =−，所以22111a eb e e=−<−=，即2()f x b >， 综上，12()x af x b <>，故选项C 和D 正确．故选：BCD ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广东省执信中学2013-2014学年高二上学期期中数学理试卷Word版含答案
2013-2014学年度第一学期高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|1}A x x =>，}02|{2<-=x x x B ，则A B ⋂=（ ）A.{|2}x x >B.{|02}x x <<C.{|12}x x <<D.{|01}x x << 2．下列函数中既是偶函数又在),0(+∞上是增函数的是（ ） A.1y x =B.1||+=x yC.ln ()x f x x= D.21y x =-+ 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该三棱锥的体积是（ ） A ．31cm B ．32cm C ．33cmD ．36cm4．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ， 则m 的值为 ( )A ．1B ．-1C ．4D ．-45．在等差数列}{n a 中，若前5项和205=S ，则3a 等于（ ） A ．4 B ．-4 C ．2D ．-26．已知直线b a ,与平面γβα,,，下列条件中能推出βα//的是（ ） A ．ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂ B ．γβγα⊥⊥且 C ．b a b a //,,βα⊂⊂D ．βα⊥⊥a a 且7.在区域000x y x y y ⎧+≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为（ ） A ．2πB ．3πC ．6πD ．4π8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|e 2}xM x y y ==-③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==其中所有“好集合”的序号是( )A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④第二部分非选择题(共 110分)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．5cos4π的值为 ； 10．已知实数,x y 满足不等式组20y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数3z x y =+的最大值是 ； 11．执行如右图所示的程序框图，若输入n 的值为6， 则输出s 的值为 ；12．若22x y +=，则39x y +的最小值是 ； 13．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E,F 分别为线段AA 1、B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为____________；14．在正项等比数列{n a }中，,3,21765=+=a a a 则 满足n n a a a a a a 2121⋅>++的最大正整数n 的值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．16．（本小题满分14分）如图，圆锥SO 中，SO 垂直⊙O 所在的平面．AB 、CD 为底面圆的两条直径，O CD AB = ，且CD AB ⊥，2==OB SO ，P 为SB 的中点．（I ）求证：//SA 平面PCD ； （Ⅱ）求圆锥SO 的表面积；（Ⅲ）求异面直线SA 与PD 所成角的正切值． 17．（本小题满分12分）设数列{a n }满足条件：对于n ∈N *，a n >0，且a 1=1并有关 系式：121+=+n n a a ．（Ⅰ）求证数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }满足b n =)1(log 2+n a ，记nn n b b c 21+=，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．（本小题满分14分）已知圆4:22=+y x O 和点()()0,,1>a a M在圆上，求正实数a 的值，并求出切线方程；（Ⅱ）过点M 的圆的两条弦BD AC ,互相垂直，设21,d d 分别为圆心到弦BD AC ,的距离．①求2221d d +的值；②求两弦长之积||||BD AC ⋅的最大值．•••••••••••••••••O19．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）111C B A ABC -中，a AA AC AB 31===，a BC 2=，D 是BC 的中点，F 是1CC 上一点，且a CF 2=． （Ⅰ）求证：ADF F B 平面⊥1；（Ⅱ）求二面角F —AD —C 的正切值；（Ⅲ）试在1AA 上找一点E ，使得ADF BE 平面//,并说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数kx x x x f ++-=221)(，且定义域为（0，2）. （Ⅰ）求关于x 的方程kx x f =)(+3在（0，2）上的解；（Ⅱ）若)(x f 是定义域(0，2)上的单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围．2013-2014学年度第一学期高二级数学期中考试答卷注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区。
2023-2024学年广东省广州市中山大学附中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市中山大学附中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1．已知a ，b ∈R ，a ﹣2i ＝（b ﹣i ）i ，若z ＝a +bi ，则z 的虚部是（ ） A ．2B ．1C ．﹣2iD ．2i2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cosA =45，B =π3，b =5√3，则a ＝（ ）A ．6B ．√6C ．8D ．2√23．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6+a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．114．函数y =ln|x|x 2+2的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在平行四边形ABCD 中，M 是边CD 的中点，N 是AM 的一个三等分点（|AN |＜|NM |），若存在实数λ和μ，使得BN →=λAB →+μAD →，则λ+μ＝（ ）A ．54B ．12C ．−12D ．−546．已知函数f （x ）满足f （x +3）＝﹣f （x ），当x ∈[﹣3，0）时，f （x ）＝2x +sin πx3，则f （2023）＝（ ）A ．14−√32B ．−14C ．34D ．−14+√327．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π6，且关于点(5π18，0)对称，则φ的值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π38．给定函数f （x ）＝（x +1）e x ﹣a （a ∈R ），若函数f （x ）恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜−1e 2B ．a ≥0C ．−1e 2＜a ＜0 D ．a ＞−1e 2二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（ ） A ．若a →=b →，则3a →＞2b →B ．BC →−BA →−DC →−AD →=0→C ．若向量a →，b →是非零向量，则|a →|+|b →|=|a →+b →|⇔a →与b →方向相同 D ．向量a →与b →(b →≠0→)共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使a →=λb →10．已知向量m →=(2cos 2x ，√3)，n →=(1，sin2x)，设函数f(x)=(m →⋅n →)，则下列关于函数y ＝f （x ）的性质的描述正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于点(5π12，0)对称 C ．f （x ）的图象关于直线x =π6对称D ．f （x ）的图象可以由y ＝2sin2x 的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位得到11．已知数列{a n }满足a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =n ⋅2n+1，则（ ） A ．a n ＝2n +2B ．{a n }的前n 项和为n （n +3）C ．{（﹣1）n a n }的前100项和为﹣100D ．{|a n ﹣10|}的前20项和为28412．已知函数f(x)=x 2+2x−2e x，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）有极小值B ．函数f （x ）在x ＝1处切线的斜率为4C ．当k ∈(−2e 2，6e 2)时，f （x ）＝k 恰有三个实根 D ．若x ∈[0，t ]时，f(x)max =6e 2，则t 的最小值为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{a n }满足a 1＝2，a 2+a 4＝a 6，则公差d ＝ ． 14．已知向量a →与b →的夹角为2π3，且|a →|=10，b →=(3，4)，则a →在b →方向上的投影向量的坐标为 ．15．已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos （2α+2β）＝ ．16．已知函数f （x ）={2−|x|，(x ≤2)(x −2)2，(x ＞2)，函数g （x ）＝b ﹣f （2﹣x ），若函数y ＝f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA =45．（1）求sin 2B+C2+cos2A 的值． （2）若△ABC 的面积S ＝3，且b ＝2，求△ABC 的外接圆半径R ． 18．（12分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1． （1）证明数列{a n +n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足b n =2n−1a n +n，求数列{b n }的前n 项和S n ． 19．（12分）如图，五面体P ﹣ABCD 中，CD ⊥平面P AD ，ABCD 为直角梯形，∠BCD =π2，PD ＝BC ＝CD =12AD ，AP ⊥PD ．（1）若E 为AP 的中点，求证：BE ∥平面PCD ； （2）求二面角P ﹣AB ﹣C 的余弦值．20．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败． （1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣x ，g （x ）＝2x ﹣3． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在[0，2]上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的x 0，使得f （x 0）＝g （x 0）．22．（12分）已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2+x 2b2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，C 1与C 2的公共弦长为2√6． （1）求椭圆C 2的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． （i ）当直线l 绕点F 旋转时，判断△OAB 的形状； （ii ）若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．2023-2024学年广东省广州市中山大学附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1．已知a ，b ∈R ，a ﹣2i ＝（b ﹣i ）i ，若z ＝a +bi ，则z 的虚部是（ ） A ．2B ．1C ．﹣2iD ．2i解：a ﹣2i ＝（b ﹣i ）i ＝1+bi ，则{a =1b =−2，故z ＝1﹣2i ，z =1+2i ，其虚部为2．故选：A ．2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cosA =45，B =π3，b =5√3，则a ＝（ ）A ．6B ．√6C ．8D ．2√2解：由cosA =45得sinA =35．由正弦定理a sinA =b sinB得a =bsinA sinB =5√3×35√32=6．故选：A ．3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6+a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11解：在等比数列{a n }中，由a 5a 6+a 4a 7＝18，得2a 1a 10＝18， ∴a 1a 10＝9，又a 1a m ＝9， ∴a 1a 10＝a 1a m ，则m ＝10． 故选：C ． 4．函数y =ln|x|x 2+2的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：函数y ＝f （x ）=ln|x|x 2+2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f （﹣x ）=ln|−x|(−x)2+2=ln|x|x 2+2=f （x ），故函数是偶函数，故排除选项AC ； 当x ∈（0，1）时，y ＜0，故排除选项D ． 故选：B ．5．如图，在平行四边形ABCD 中，M 是边CD 的中点，N 是AM 的一个三等分点（|AN |＜|NM |），若存在实数λ和μ，使得BN →=λAB →+μAD →，则λ+μ＝（ ）A ．54B ．12C ．−12D ．−54解：根据题意，BN →=AN →−AB →，又N 是AM 的一个三等分点（|AN |＜|NM |），所以AN →=13AM →，则BN →=13AM →−AB →=13（AD →+DM →）−AB →；由于在平行四边形ABCD 中，M 是边CD 的中点，有DM →=12AB →， 所以BN →=13（AD →+12AB →）−AB →=−56AB →+13AD →，所以λ+μ=−56+13=−12．故选：C ．6．已知函数f （x ）满足f （x +3）＝﹣f （x ），当x ∈[﹣3，0）时，f （x ）＝2x +sin πx3，则f （2023）＝（ ）A ．14−√32B ．−14C ．34D ．−14+√32解：由已知，令x ＝﹣2，可得f （1）＝﹣f （﹣2）； 由f （x +3）＝﹣f （x ），可得f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ）， 即函数f （x ）的周期为6；则f （2023）＝f （6×337+1）＝f （1）＝﹣f （﹣2）＝﹣[2﹣2+sin （−2π3）]＝﹣（14−√32）=−14+√32， 故选：D ．7．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π6，且关于点(5π18，0)对称，则φ的值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解：由f （x ）＝2sin （ωx +φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π6，则T =π3，所以ω＝6，f （x ）＝2sin （6x +φ）， 又因为其关于点(5π18，0)对称， f(5π18)=0，即sin(5π3+φ)=0， 则5π3+φ=kπ(k ∈Z)，解得φ=−5π3+kπ，k ∈Z ， 且−π2＜φ＜π2，所以k =2，φ=π3．D 正确．故选：D ．8．给定函数f （x ）＝（x +1）e x ﹣a （a ∈R ），若函数f （x ）恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜−1e 2B ．a ≥0C ．−1e 2＜a ＜0 D ．a ＞−1e 2解：f ′（x ）＝（x +2）e x ，∴x ＜﹣2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；x ＞﹣2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， ∴x ＝﹣2时，f （x ）取最小值−1e 2−a ， ∵x →﹣∞时，f （x ）→﹣a ；x →+∞时，f （x ）→+∞，∴要使f （x ）有两个零点，需满足{−1e 2−a ＜0a ＜0，解得−1e2＜a ＜0．故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（ ） A ．若a →=b →，则3a →＞2b →B ．BC →−BA →−DC →−AD →=0→C ．若向量a →，b →是非零向量，则|a →|+|b →|=|a →+b →|⇔a →与b →方向相同 D ．向量a →与b →(b →≠0→)共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使a →=λb →解：对于A ，因为向量不能比较大，所以由a →=b →，不能得出3a →＞2b →，选项A 错误；对于B ，因为BC →−BA →−DC →−AD →=AC →−DC →−AD →=（AC →−AD →）−DC →=DC →−DC →=0→，所以选项B 正确；对于C ，向量a →，b →是非零向量时，|a →|+|b →|=|a →+b →|⇔a →与b →方向相同，选项C 正确；对于D ，根据向量的共线定理知，a →与b →(b →≠0→)共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使a →=λb →，选项D 正确． 故选：BCD ．10．已知向量m →=(2cos 2x ，√3)，n →=(1，sin2x)，设函数f(x)=(m →⋅n →)，则下列关于函数y ＝f （x ）的性质的描述正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于点(5π12，0)对称 C ．f （x ）的图象关于直线x =π6对称D ．f （x ）的图象可以由y ＝2sin2x 的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位得到解：由于向量m →=(2cos 2x ，√3)，n →=(1，sin2x)，函数f(x)=(m →⋅n →)= 2cos 2x +√3 sin2x ＝cos2x +√3sin2x +1＝2sin （2x +π6）+1，故函数f （x ）的最小正周期为2π2=π，故A 正确．令x =5π12，求得f （x ）＝1，可得f （x ）的图象关于点（5π12，1）对称，故B 错误． 令x =π6，求得f （x ）＝3，为最大值，可得f （x ）的图象关于直线x =π6对称，故C 正确．把y ＝2sin2x 的图象向左平移π6个单位，可得y ＝2sin （2x +π3）的图象，再向上平移1个单位得到y ＝2sin（2x +π3）+1的图象，故D 错误．故选：AC ．11．已知数列{a n }满足a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =n ⋅2n+1，则（ ） A ．a n ＝2n +2B ．{a n }的前n 项和为n （n +3）C ．{（﹣1）n a n }的前100项和为﹣100D ．{|a n ﹣10|}的前20项和为284解：选项A ，因为a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =n ⋅2n+1， 所以当n ＝1时，a 1＝4；所以当n ≥2时，a 1+2a 2+…+2n ﹣2a n ﹣1＝（n ﹣1）•2n ，两式相减得，2n ﹣1a n ＝（n +1）•2n ，所以a n ＝2n +2（n ≥2），当n ＝1时，a 1＝4，满足上式，所以a n ＝2n +2，即选项A 正确；选项B ，因为a n ＝2n +2，所以数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列， 所以{a n }的前n 项和为n(a 1+a n )2=n(4+2n+2)2=n （n +3），即选项B 正确；选项C ，设{（﹣1）n a n }的前100项和为S 100，则S 100＝﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣…﹣a 99+a 100＝﹣4+6﹣8+10﹣…﹣200+202＝2+2+…+2＝2×1002=100，即选项C 错误；选项D ，令a n ﹣10＝2n +2﹣10≥0，则n ≥4，所以数列{a n ﹣10}的前3项为负数，从第4项开始为非负数， 设数列{a n ﹣10}的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n +3）﹣10n ＝n 2﹣7n ，所以数列{|a n ﹣10|}的前20项和为﹣T 3+（T 20﹣T 3）＝T 20﹣2T 3＝（202﹣7•20）﹣2（32﹣7•3）＝284，即选项D 正确． 故选：ABD ． 12．已知函数f(x)=x 2+2x−2e x，则下列结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）有极小值B ．函数f （x ）在x ＝1处切线的斜率为4C ．当k ∈(−2e 2，6e 2)时，f （x ）＝k 恰有三个实根 D ．若x ∈[0，t ]时，f(x)max =6e 2，则t 的最小值为2 解：∵函数f(x)=x 2+2x−2e x， ∴f ′（x ）=−x 2+4e x，f ′（x ）＞0⇒﹣2＜x ＜2， f ′（x ）＜0⇒x ＞2或x ＜﹣2，∴f （x ）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，2）递增，在（2，+∞）递减， ∴函数f （x ）有极小值，故A 正确； 又f ′（0）＝4，∴函数f （x ）在x ＝0处切线的斜率为4，故B 错误； 又f （﹣2）＝﹣2e 2，f （2）=6e 2，且当x ＞2时，f （x ）＞0， 当x →﹣∞时，f （x ）→+∞，当x →+∞时，f （x ）→0， 画出函数y ＝f （x ）的图像，如图示：∴当k ∈(−2e 2，6e 2)时，f （x ）＝k 可能有一个实根、两个实根、三个根，故C 错误； 由图知，若x ∈[0，t ]时，f max (x)=6e 2， 则t ≥2，故t 的最小值是2，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{a n }满足a 1＝2，a 2+a 4＝a 6，则公差d ＝ 2 ． 解：在等差数列{a n }中，由a 1＝2，a 2+a 4＝a 6， 得2a 1+4d ＝a 1+5d ，即4+4d ＝2+5d ，得d ＝2． 故答案为：2．14．已知向量a →与b →的夹角为2π3，且|a →|=10，b →=(3，4)，则a →在b →方向上的投影向量的坐标为 （﹣3，﹣4） ．解：由b →=（3，4），可得|b →|＝5， 由定义，a →在b →方向上的投影向量为： a →⋅b→|b →|⋅b→|b →|=10×5×(−12)5⋅15⋅(3，4)=（﹣3，﹣4）．故答案为：（﹣3，﹣4）．15．已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos （2α+2β）＝ 19 ．解：已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则sinαcosβ−cosαsinβ=13，cos αsin β=16，即sinαcosβ=12，则sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=12+16=23， 则cos （2α+2β）=1−2sin 2(α+β)=1−2×49=19． 故答案为：19．16．已知函数f （x ）={2−|x|，(x ≤2)(x −2)2，(x ＞2)，函数g （x ）＝b ﹣f （2﹣x ），若函数y ＝f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 （74，2） ．解：∵f （x ）={2−|x|，x ≤2(x −2)2，x ＞2，∴f （2﹣x ）={2−|2−x|，x ≥0x 2，x ＜0，∵函数y ＝f （x ）﹣g （x ）恰好有四个零点，∴方程f （x ）﹣g （x ）＝0有四个解，即f （x ）+f （2﹣x ）﹣b ＝0有四个解， 即函数y ＝f （x ）+f （2﹣x ）与y ＝b 的图象有四个交点，y ＝f （x ）+f （2﹣x ）={x 2+x +2，x ＜02，0≤x ≤2x 2−5x +8，x ＞2，作函数y ＝f （x ）+f （2﹣x ）与y ＝b 的图象如下，，f （12）+f （2−12）＝f （52）+f （2−52）=74，结合图象可知，74＜b ＜2，故答案为：（74，2）．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA =45．（1）求sin 2B+C2+cos2A 的值． （2）若△ABC 的面积S ＝3，且b ＝2，求△ABC 的外接圆半径R ． 解：（1）因为cosA =45，所以sin 2B+C 2+cos2A =1−cos(B+C)2+2cos 2A ﹣1=12（1+cos A ）+2cos 2A ﹣1=12（1+45）+2×1625−1=5950； （2）因为b ＝2，cosA =45，所以sin A =√1−cos 2A =35，所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×2×c ×35=3，解得c ＝5，所以由余弦定理可得a =√b 2+c 2−2bccosA =√22+52−2×2×5×45=√13， 所以由正弦定理可得△ABC 的外接圆半径R =a 2sinA =√132×35=5√136． 18．（12分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1． （1）证明数列{a n +n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足b n =2n−1a n +n，求数列{b n }的前n 项和S n ． （1）证明：由题意：a n+1+n+1a n +n=2a n +n−1+n+1a n +n=2a n +2n a n +n=2（常数），且a 1+1＝2≠0，则数列{a n +n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以a n =2×2n−1−n =2n −n ． （2）解：由（1）可得：b n =2n−1a n +n =2n−12n ， 则S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =121+322+523+⋯+2n−12n ， 两边同乘12得：12S n =122+323+524+⋯+2n−32n +2n−12n+1，作差得12S n=121+222+223+⋯+22n−2n−12n+1=12+12(1−12n−1)1−12−2n−12n+1=32−2n+32n+1，所以S n=3−2n+3 2n．19．（12分）如图，五面体P﹣ABCD中，CD⊥平面P AD，ABCD为直角梯形，∠BCD=π2，PD＝BC＝CD=12AD，AP⊥PD．（1）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．（1）证明：取PD的中点F，连接EF，CF，∵E，F分别是P A，PD的中点，∴EF∥AD且EF=12 AD；∵BC=12AD，BC∥AD，∴EF∥BC且EF＝BC；∴BE∥CF．又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD；（2）解：方法一、以P为坐标原点，PD，P A所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC＝1，则P（0，0，0），A（0，√3，0），D（1，0，0），C（1，0，1），B（12，√32，1），PA →=（0，√3，0），AB →=（12，−√32，1），AD →=（1，−√3，0）．设平面P AB 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PA →=√3y =0n →⋅AB →=12x −√32y +z =0，取x ＝2，得n →=（2，0，﹣1）．同理可求平面ABD 的一个法向量为m →=（3，√3，0）． cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=6√5×√12=√155． 平面ABD 和平面ABC 为同一个平面， ∴二面角P ﹣AB ﹣C 的余弦值为√155； 方法二、以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝1，则P （12，√32，0），A （2，0，0），D （0，0，0），C （0，0，1），B （1，0，1），PA →=（32，−√32，0），AB →=（﹣1，0，1），设平面P AB 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PA →=32x −√32y =0n →⋅AB →=−x +z =0，取y =√3，得n →=（1，√3，1）．易知平面ABC 的一个法向量为m →=（0，1，0）． ∴cos ＜n →，m →＞=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√3√5=√155． ∴二面角P ﹣AB ﹣C 的余弦值为√155． 20．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败． （1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．（1）因为频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，所以10（2a+0.020+0.030+0.040）＝1，解得a＝0.005；（2）易知晋级成功的频率为0.20+0.05＝0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25＝25，列联表如下：此时K2=100×(16×41−34×9)225×75×50×50≈2.613＞2.072，所以有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；（3）由（2）知晋级失败的频率为1−0.25=0.75=3 4，将频率视为概率，若从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为3 4，此时X∼B(4，34 )，则P(X=0)=C40(34)0(14)4=1256，P(X=1)=C41(34)1(14)3=364，P(X=2)=C42(34)2(14)2=27128，P(X=3)=C43(34)3(14)1=2764，P(X=4)=C44(34)4(14)0=81256，所以X的分布列为：故E(X)=4×34=3．21．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝2x﹣3．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的x0，使得f（x0）＝g（x0）．解：（Ⅰ）由f（x）＝x3﹣x，得f'（x）＝3x2﹣1，所以f'（1）＝2，又f（1）＝0…（3分）所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣0＝2（x﹣1），即：2x﹣y﹣2＝0．（Ⅱ）令f'（x）＝0，得x=±√33．…f（x）与f'（x）在区间[0，2]的情况如下：…（7分）因为f（0）＝0，f（2）＝6，所以函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为6．（Ⅲ）证明：设h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 3﹣3x +3， 则h '（x ）＝3x 2﹣3＝3（x ﹣1）（x +1）令h '（x ）＝0，得x ＝±1．h （x ）与h '（x ）随x 的变化情况如下：则h （x ）的增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间为（﹣1，1）．又h （1）＝1＞0，h （﹣1）＞h （1）＞0，所以函数h （x ）在（﹣1，+∞）没有零点， 又h （﹣3）＝﹣15＜0，所以函数h （x ）在（﹣∞，﹣1）上有唯一零点x 0．综上，在（﹣∞，+∞）上存在唯一的x 0，使得f （x 0）＝g （x 0）．22．（12分）已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2+x 2b2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，C 1与C 2的公共弦长为2√6． （1）求椭圆C 2的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． （i ）当直线l 绕点F 旋转时，判断△OAB 的形状； （ii ）若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率． 解：（1）依题意，a 2＝b 2+1，①又C 1与C 2的公共弦长为2√6，且C 1与C 2都关于y 轴对称， 所以公共点的横坐标为±√6， 代入x 2＝4y 可得纵坐标为32，所以公共点的坐标为(±√6，32)，则94a 2+6b 2=1，②联立①②得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29+x 28=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），（i ）设直线l 的方程为y ＝kx +1， 联立{y =kx +1x 2=4y，消去y 得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 则Δ＝16（k 2+1）＞0，由根与系数的关系可知，x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4，则OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(k 2+1)x 1x 2+k(x 2+x 2)+1=−3＜0， 所以∠AOB ＞π2，△AOB 为钝角三角形．（ii ）因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |， 所以AC →=BD →，从而x 3﹣x 1＝x 4﹣x 2，即x 1﹣x 2＝x 3﹣x 4， 所以(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(x 3+x 4)2−4x 3x 4， 联立{y =kx +1y 29+x 28=1，消去y 得（8k 2+9）x 2+16kx ﹣64＝0，则Δ＝162k 2+4•64（8k 2+9）＞0， 由根与系数的关系可知，x 3+x 4=−16k 8k 2+9，x 3x 4=−648k 2+9， 所以16(k 2+1)=(−16k 8k 2+9)2−4×−648k 2+9，即k =±√64， 所以直线l 的斜率为±√64．。