杨浦区2011学年度高三学科测试数学参考答案及评分标准
答案与评分标准
闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、（第1题至第14题） 1．[]0,3；2．12； 3．23； 4．13； 5．3； 6．12-； 7．文16，理4； 8（或b ）；9．文1P -，理30；10．文92；11．文212．9； 13．文3x <-，理1x <-或3x >； 14．2012．二、（第15题至第18题） 15．A ； 16．C ； 17．D ； 18．D ． 三、（第19题至第23题） 19.解：由p 得22(1)42524x x -+≤⇒-≤≤， （4分）由q 得322310xxx -<2230x x ⇒--≤13x ⇒-≤≤， （8分） 由[2 4][1 3]--，，Ý，即p q ⇒，但q p ⇒，∴命题“若p 则q ”是假命题（10分） 而其逆命题“若q 则p ”是真命题. （12分） 20. [解]（文） (1) 依题意，P A ⊥平面A B C D ，底面A B C D是矩形，高2PA =，2BC AD ==,1AB = （2分）∴12112A B C S =⋅⋅=△ （4分）故121233P ABC V -=⨯⨯=. （7分） (2)∵//B C A D ,所以E C B ∠或其补角为异面直线E C 和A D 所成的角θ，（2分） 又∵P A ⊥平面A B C D ，∴P A B C ⊥，又B C A B ⊥，∴BC PAB ⊥面，∴B C P B ⊥,于是在R t C E B ∆中，2B C =，12BE PB === （4分）tan BE BC θ=== （6分） ∴异面直线E C 和A D所成的角是arctanarccos . （7分） E DBCA P（理）(1) 解法一：分别以A B A D A P 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，依题意，42A D A B ==，，则各点坐标分别是 (0 0 0)A ，，，(2 0 0)B ，，，(2 4 0)C ，，，(0 4 0)D ，，， (0 0 2)P ，，，∴(1 0 1)E ，，，(1 2 1)F ，，，(1 4 1)EC =-，，, 又∵AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n A B ==， （2分）设直线E C 与平面PAD 所成的角为α，则sin ||||EC n EC n α⋅===⋅ （6分） ∴直线E C 与平面PAD所成的角为arcsin. （7分） 解法二：∵P A ⊥平面A B C D ，∴C D P A ⊥，又C D A D ⊥,∴C D ⊥平面PAD ，取P A中点G ，C D 中点H ，联结E G G H G D 、、，则E G A B C D ////且1=12E G A B =，E G H C ∴是平行四边形，∴H G D ∠即为直线E C 与平面PAD 所成的角. （2分） 在R t G A D ∆中，GD =在R t G H D ∆中，tan HD HGD GD ∠===，（6分）∴直线E C 与平面PAD所成的角为arctan . （7分）(2)解法一：由（1）解法一的建系得，(1 2 1)AF = ，，,(0 4 0)AD =，，，设平面AFD 的法向量为(,,)n x y z = ，点P 到平面AFD 的距离为d ，由0AF n ⋅= ，0AD n ⋅=得20x y z ++=且40y =，取1x =得(1,0,1)n =-，∴AP n d n⋅===，（2分）又AF FD ==2AFD S =⨯=△（4分）∴1433P AFD V -=⨯=. （7分） 解法二：易证P E 即为三棱锥P AFD -底面上的高，且PE = （2分）底面A F D △边A D 上的高等于A E，且AE =，∴AFD S =△（4分）1144323P AFD V -=⨯⨯⨯=. （7分） 解法三：依题意，//E F 平面PAD ，∴P AFD F PAD E PAD D PAE V V V V ----===（4分） 11114224322123D PAE V PA AB AD -=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. （7分） 21. [解]（1）设两车距离为d ，则22222100(100)(50)(2500)20010000(0)d vt t v t vt t v=-+=+-+≤≤ （3分）210010002500v v v <<+，∴当21002500vt v =+时，min d =千米； （7分）F E D B CA PH G（2）当两车相距最近时，02100100125002500vt v v v==≤++， （3分） 此时50v =千米/小时. （5分）即当车速50v =千米/小时，两车相距最近所用时间0t 最大，最大值是1小时.（7分）22. [解]（1）由题可得1(0)F，20)F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P则100(,)PF x y =-，200,)PF x y =- ，∴22120021PF PF x y ⋅=+-=，（1分）∵点),(00y x P 在曲线上，则22142x y +=，（2分）解得点P的坐标为. （4分） （2）当直线P A经过点(1时，则P A 的斜率为1-，因两条直线P A P B 、的倾斜角互补，故P B 的斜率为1，由222131)20142y x x x y x -=-+⎧⎪⇒-++=⎨+=⎪⎩得，12x x ==即A x =，故A y =（2分）同理得B x =，B y =-（4分）∴直线A B的方程为23y =- （6分）(3) 依题意，直线P A P B 、的斜率必存在，不妨设B P 的方程为：1(0)y k x k -=->.由221(142y k x y x -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)41)420k x k x k +--+--=，（2分）设),(B B y x B ，则221B x k =+，221B x k =+，同理221A x k =+，则2821A B k x x k -=+，同理2(21A B A B y y k x x k -=-+-=+.（4分）所以：A B的斜率2A B AB A By y k x x -==-为定值. （6分）23. [解]（1）9110||,31||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且， （2分）311211)31()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A （4分）（2）由（1）的结论可得12231||||||n n A A A A A A -+++ 4412711931()()3223n n --=++++=- （2分） n A 点∴的坐标42911(0,())223n --， （3分）1||||n n OB OB --= （2,3,n =）且1||O B ={||}n O B ∴是以23为首项，22为公差的等差数列 （5分）||((2n OB n n ∴=-=+n B 的坐标为(21,21)n n ++.（6分）（3）（文）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ， 则111nn n n n n n AA B B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 由1S ，n S ，k S (1,)n k n k <<∈N 、成等差数列，332929292()(9)()23223n k n k--+=+++ 即123()36k n n k =⋅-，①（4分）∵111120333n nn n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139nn ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）当2n =时，得23k k -=，易知3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列. 即当3n ≥时，{}n S 中不存在1S ，n S ，k S 三项成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有1S ，2S ，3S 成等差数列. （8分） （理）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ，则111nn n n n n n A AB B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 不妨设 (1 )m n k S S S m n k m n k ≤<<∈N ，，，、、成等差数列， 又12120,3n n n n S S +---=< ,1n n S S <+即}{n S ∴是单调递减数列.n S ∴是等差中项，即2n m k S S S =+，∴3332929292()()()232323n m k n m k ---+=+++，即2333nmkn m k =+1）当1m =,2n =时，得23k k -=,3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列（4分）2）当1m =，3n ≥时，即123()36knn k =⋅-，① ∵111120333n nn n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139nn ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）3）当2m ≥时，2n m k S S S =+不可能成立.∵111120333n n n n n n +++--=<，∴数列{}3n n是递减数列， 当2m ≥时，32(1)m m ≥+，由2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）知，1n m ≥+∴112(1)323333m m m n m m mn +++=≥≥（当且仅当23m n ==，时等号成立） ∴2333m k n m k n+>对任意2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）恒成立， 即当2m ≥时，{}n S 中不存在不同的三项恰好成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有123S S S ，，成等差数列. （8分）。
上海市各地市2011年高考数学 最新联考试题分类大汇编(4)数列
上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第4部分:数列一、选择题：18．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知有穷数列A ：n a a a ,,,21⋅⋅⋅（N n n ∈≥,2）.定义如下操作过程T ：从A 中任取两项j i a a ,,将ji j i a a a a ++1的值添在A 的最后，然后删除j i a a ,,这样得到一系列1-n 项的新数列A 1 (约定:一个数也视作数列)；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列2-n 项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k . 设A ：31,21,43,75-,则A 3的可能结果是…………（ B ） （A ）0； （B ）34； （C ）13； （D ）12.16、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ C ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件16．(上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则lim n n S →∞的值为 （ D ） A ．23 B ．43 C ．83D ．163 二、填空题：6．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则 2lim1nn S n →∞-= 1 ．6．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则 2lim1nn S n →∞-= 1 ．5．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是{}n a 的前n 项和，那么limnn nna S →+∞= 2 ．2、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)数列{}n a 的前n 项和32-+=n n S n ，则通项公式=n a ．⎩⎨⎧≥=-)2(2)1(1n n n4、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)各项都为正数的等比数列{}n a 中，11=a ，)11(273232a a a a +=+，则通项公式=n a ．13-n 13、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11=a ，51=n a ，则d n +的最小值等于 16 ．5. (上海市五校2011年联合教学调研理科已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = 。
2011上海杨浦区高三二模文科数学考试题
2011上海杨浦区高三二模文科数学考试题一、填空题（本大题满分56分） 1. 不等式1411>+-x xx 的解集是___________.2．若函数)(x f y =与1+=x e y 的图像关于直线x y =对称，则=)(x f .3．经过抛物线x y 42=的焦点，且以)1,1(=d 为方向向量的直线的方程是 . 4. 计算：=+⋅⋅⋅++++∞→nC nn 26422lim.5. 在二项式8)1(xx -的展开式中，含5x 的项的系数是 .（用数字作答）6. 若数列}{n a 为等差数列，且12031581=++a a a ，则1092a a -的值等于 .7. 已知正三棱柱的底面边长为1、高为2，若其主视图平行于一个侧面，则其左视图的面积为 .8. 一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同. 若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则第二次摸到白球的概率是 ． 9. 方程cos 2sin 1,([0,])x x x π+=∈的解是 . 10．在△ABC 中，已知最长边23=AB ，3=BC ，∠A =30︒，则∠C = .11.已知函数)1lg()(+=x x f ，若b a ≠且)()(b f a f =，则b a +的取值范围是 .12.在平行四边形ABCD 中，AB =1，AC =3，AD =2；线段 PA ⊥平行四边形ABCD 所在的平面，且PA =2，则异面直线PC 与BD 所成的角等于 （用反三角函数表示）.13．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、、△CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则231S S S +的取值范围是 .14. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，已知点(3,A ，点(,)P x y 的坐标满足0200y x y -≤⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为O A 在OP 上的投影，则z 的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分） 15．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） （A ）2011≤i ；（B ）2011>i ； （C ）1005≤i；（D ）1005>i.16. 已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log)1()3()(x xx a x a x f a是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ( ) (A) (1，+∞) ； (B) (0，3)； (C) （1，3）； (D) [32，3）．17．在正方体1111D C B A ABCD -的侧面11A ABB 内有一动点P 到直线11B A 与直线BC的距离相等,则动点P 所在的曲线的形状为 ( )D C （13题）（12题）（15题）18．已知有穷数列A ：n a a a ,,,21⋅⋅⋅（N n n ∈≥,2）.定义如下操作过程T ：从A 中任取两项j i a a ,,将ji j i a a a a ++1的值添在A 的最后，然后删除j i a a ,,这样得到一系列1-n 项的新数列A 1 (约定:一个数也视作数列)；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列2-n 项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k . 设A ：31,21,43,75-,则A 3的可能结果是（ ）（A ）0； （B ）34； （C ）13； （D ）12.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．(本题满分12分)如图，用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1 cm 3）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知向量(sin ,cos )a x x = , (sin ,sin )b x x = ， (1,0)c =-.A B 1 B (A)AB 1B (B)A B 1 B (C)A B 1B(D)（1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角θ；（2）若3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求实数λ的值.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知圆8)1(:22=++y x C .（1）求过点(3,0)Q 的圆C 的切线l 的方程；（2）如图，(1,0),A M 定点为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2,0,AM AP N P AM =⋅=求N点的轨迹方程.22． (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 设虚数z 满足1000(4tmm z m -+=2z 为实常数，01m m >≠且，t 为实数）. （1）求z 的值；（2）当t N *∈，求所有虚数z 的实部和；（3）设虚数z 对应的向量为OA （O 为坐标原点），),(d c OA =，如0>-d c ，求t 的取值范围.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 设二次函数)()4()(2R k kx x k x f ∈+-=，对任意实数x，26)(+≤x x f 恒成立；数列}{n a 满足)(1n n a f a =+.（1）求函数)(x f 的解析式和值域；（2）试写出一个区间),(b a ，使得当),(1b a a ∈时，数列}{n a 在这个区间上是递增数列，并说明理由；（3）已知311=a ，求：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n a a a 211log 211log 211log 32313. 杨浦区2010学年度第二学期高三学科测试参考答案及评分标准 2011.4.16一、填空题1. 【 (-1，3) 】2. 【)0(,1ln )(>-=x x x f 】 3． 【01=--y x 】 4. 【21】 5. 【28】 6. 【24】 7. （文） 【3 】 （理）【①，④】.8. （理）【911】（文）【458】 9. （文）【65,6,,0πππ】 （理）【42552+=x y 】10．【∠C =135︒】 11.【),0(+∞】 12.【arccos 73或714arcsin2】13．【),2(+∞】14. （理）【36，】（文）【 [3,3]-】 二、选择题15．【A 】；16. 【D 】；17．【B 】；18．【B 】 三、解答题19．(本题满分12分)解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ，则由题意得R=210，由π210021=Rl 得π20=l ； ……………………………………………………………………………………………2分由l r =π2得10=r ；…………………………………………………………………………………5分由222h r R +=得10=h ；……………………………………………………………………………8分由322.1047101003131cmh r V ≈⋅⋅⋅==ππ锥所以该容器最多盛水1047.2 cm3……………………………………………………………………12分（说明：π用3.14得1046.7毫升不扣分）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）当3x π=时，1,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ………………………………………………………………1分所以2cos 112||||a c a c θ-⋅===-⨯⋅……………………………………………………………… 4分 因而56πθ=； …………………………………………………………………………………6分 （2）2()(sin sin cos )(1cos 2sin 2)2f x x x x x x λλ=+=-+， ……………………………………7分()1)24f x x λπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭………………………………………………………………………10分 因为3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π2,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ ……………………………………………………11分 当0λ>时，()m ax 1()1122f x λ=+=，即12λ=， …………………………………………………12分当0λ<时，(m ax 1()122f x λ=-=，即1λ=--.…………………………………………13分所以2121--==λλ或. ……………………………………………………………………………14分21．(本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（文）（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为)3(-=x k y ，即03=--k y kx ； (2)分由81|3|2=+--k k k 得221688k k =+，解得1±=k ，…………………5分从而所求的切线方程为03=--y x ，03=-+y x .…………………6分（2）.0,2=⋅=AM NP AP AM∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………………8分 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.……………………………………12分且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴bc a∴点N 的轨迹是方程为.1222=+yx…………………………………………………………………14分（理）（1）∵点在圆C 上，∴可设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ααsin 22cos 221y x )2,0[πα∈；……………………………2分)4sin(41)sin (cos 221πααα++-=++-=+y x ，……………………………………………4分从而]3,5[-∈+y x .……………………………………………………………………………………6分（2）.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……………………………………………………………8分又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.……………………………………10分且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴bc a∴点N 的轨迹是方程为.1222=+yx…………………………………………………………………12分所以轨迹E 为椭圆，其内接矩形的最大面积为22.………………………………………………14分22． (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 解：（1）22100im mm z tt-±=， …………………………………………………………………2分1002502tm mm imz ±-∴==t…………………………………………………………………4分（或10050242mmzz ==∴=zz ）（2）z 是虚数，则1002500tt m mm m->∴<，z 的实部为2tm ；当1,502()2221m m m m m m t t N S m *-><∈∴=+++=- 得且1,50)21m m m m t t N S m *-><∈∴==-得且2501,501m m m t N m *->∈=-得且2491,2()222m m m m t ><+++ 得.………………………7分 当50)221m m t t N S m *>∈∴=+=- 且01,2()1m m m <<+=- 得251525101,502()21m m mm t t N S *<<>∈∴=++=- 得且515201,50)22m m m t t N S m*<<>∈∴=+=得且.……………………………………10分（3）解：0,22tm c d =>=①,2c d =->d ,2d =,2c d =->d 恒成立，由500ttm mm m ->∴<得，当1>m 时，50<t ；当10<<m 时，50>t .………………………………12分②2d =如,c d >则100502222ttm mm>>>t即m当501,-log 250150log 22mm t m t t <⎧⎪><<⎨>-⎪⎩1即502502log 2150<<-t m . ……………………………………14分 当5001,-lo g 2150lo g 22m m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩1即50<t <5022log 215050mt -<< ……………………………16分23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）由26)(+≤x x f 恒成立等价于02)6()4(2≤--+-x k x k 恒成立，…………………………1分从而得：⎩⎨⎧≤-+-<-0)4(8)6(042k k k ，化简得⎩⎨⎧≤-<0)2(42k k ，从而得2=k ，所以x x x f 22)(2+-=， (3)分其值域为]21,(-∞.………………………………………………………………………………………………4分（2）解：当)21,0(1∈a 时，数列}{n a 在这个区间上是递增数列，证明如下：设1),21,0(≥∈n a n ，则)21,0(21)21(222)(221∈+--=+-==+n n n n n a a a a f a ，所以对一切*N n ∈，均有)21,0(∈n a ；………………………………………………………………………………………………7分81)41(222)(221+--=-+-=-=-+n n n n n n n n a a a a a a f a a81)41(281)41(2161)41(414141)21,0(222>+--⇒->--⇒<-⇒<-<-⇒∈n n n n n a a a a a ，从而得01>-+n n a a ，即n n a a >+1，所以数列}{n a 在区间)21,0(上是递增数列.………………………10分注：本题的区间也可以是)21,51[、)21,41[、)21,31[等无穷多个.另解：若数列}{n a 在某个区间上是递增数列，则01>-+n n a a 即0222)(221>+-=-+-=-=-+n n n n n n n n n a a a a a a a f a a )21,0(∈⇒n a …………………………7分又当1),21,0(≥∈n a n 时，)21,0(21)21(222)(221∈+--=+-==+n n n n n a a a a f a ，所以对一切*N n ∈，均有)21,0(∈n a 且01>-+n n a a ，所以数列}{n a 在区间)21,0(上是递增数列.…………………………10分 （3）（文科）由（2）知)21,0(∈n a ，从而)21,0(21∈-n a ；2221)21(22122)22(2121-=+-=+--=-+n n n n n n a a a a a a ，即21)21(221n n a a -=-+； ………12分令n n a b -=21，则有212n n b b =+且)21,0(∈n b ；从而有2lg lg 2lg 1+=+n n b b ，可得)2lg (lg 22lg lg 1+=++n n b b ，所以数列}2lg {lg +n b 是以31lg2lg )3121lg(2lg lg 1=+-=+b 为首项，公比为2的等比数列，……………………………………14分从而得12131lg 231lg2lg lg -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=+-n n n b ，即231lglg ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b ，所以11223121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n b ，所以12321211-⋅==-n nnb a ，所以1323322log )32(log 211log 1-+=⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n n a ， ………………16分所以，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n a a a 211log 211log 211log 3231312log 221212log 33-+=--+=n n nn. ……………………………………………………18分（3）（理科）由（2）知)21,0(∈n a ，从而)21,0(21∈-n a ；2221)21(22122)22(2121-=+-=+--=-+n n n n n n a a a a a a ，即21)21(221n n a a -=-+；………12分令n n a b -=21，则有212n n b b =+且)21,0(∈n b ；从而有2lg lg 2lg 1+=+n n b b ，可得)2lg (lg 22lg lg 1+=++n n b b ，所以数列}2lg {lg +n b 是31lg2lg lg 1=+b 为首项，公比为2的等比数列，………………………………………………………14分从而得12131lg 231lg2lg lg -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=+-n n n b ，即231lglg ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b ，所以11223121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n b ，所以12321211-⋅==-n nnb a ，所以1323322log )32(log 211log 1-+=⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n n a ，所以，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n a a a 211log 211log 211log 3231312log 221212log 33-+=--+=n n nn.………………………………………………………16分即12log 23-+n n()12332(log 2)112log 1n n n n λ-+>-+-12log 3-n ，所以，()1121n n λ-->-恒成立（1） 当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值1为。
上海市各地市2011年高考数学 最新联考试题分类大汇编(14)复数 推理与证明
上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第14部分:复数、推理与证明一、选择题：二、填空题：14．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知点1212(2)(2)x x A x B x ，、，是函数2xy =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论121222222x x x x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图像上的不同两点，则类似地有 成立．1212sin sin sin 22x x x x ++<14．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)已知点221122()()A x x B x x ，、，是函数2y x =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论2221212()22x x x x++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122()()A x x B x x ，lg 、，lg 是函数lg ()y x x R +=∈的图像上的不同两点，则类似地有成立．1212lg lg lg 22x x x x++<7．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)已知复数(2)z x y i=-+⋅（,x y R ∈），当此复数的模为1时，代数式yx的取值范围是 ．33[ 14．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)洛萨⋅科拉茨（LotharCollatz,1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对科拉茨（Lothar Collatz ）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 的所有可能的取值为 ．{}2,3,16,20,21,1283. (上海市五校2011年联合教学调研理科已知a R ∈，若(1)(32)ai i -+为纯虚数，则a 的值为 。
2011学年度杨浦区第二学期高三模拟测试(二)(理)
杨浦区2011学年度第二学期高三模拟测试（二）数学试卷（理科） 2012.4.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若函数()1f x x =+的反函数为()1f x -，则()11f -= .2．若复数z 满足211z i i=+-，（其中i 为虚数单位），则z = . 3．已知全集U R =，函数12-=x y 的定义域为集合A ，则=A C U .4．第一届现代奥运会于1896年在希腊瑞典举行，此后每4年举行一次. 奥运会如因故不能 举行，届数照算.2008年北京奥运会是第 届.5. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 . （结果精确到001.0）6．直线l 的一个方向向量(12)d =，，则直线l 与02=+-y x 的夹角大小为 . （结果用反三角函数值表示）7. 若圆的极坐标方程θθρcos sin +=，则该圆的半径是 . 8. 已知某随机变量ξ的概率分布律如右表，其中0,0x y >>，则随机变量ξ的数学期望=ξE . 9.用一个与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 .i x1 2 3P （i x =ξ） x yx (8题图)10. 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（如图），已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为045，容器的高为10cm ，（衔接部分忽略不计）则制作该容器需要的铁皮为 2cm .（结果精确到1.0 2cm ）11．已知过抛物线C ：22y px =（0p >）焦点F 的直线l 和y 轴正半轴交于点A ，并且l 与C 在第一象限内的交点M 恰好为线段AF 的中点，则直线l 的倾斜角为___________.（结果用反三角函数值表示）12．若把()()()nx x x ++⋅⋅⋅+++++11112展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a（*N n ∈），则21lim1n n na a →∞-=- .13．若正实数y x ,满足:211111=+++y x ,则y x 的取值范围为 . 14．设双曲线1422=-y x 的右焦点为F ，点1P 、2P 、…、n P 是其右上方一段（522≤≤x ，0≥y ）上的点，线段F P k 的长度为k a ，（n k ,,3,2,1 =）．若数列{}n a 成等差数列且公差)55,51(∈d ，则n 最大取值为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．“3>x ”是“03>-x ”的 ………（ ）.()A 充分非必要条件()B 必要非充分条件 ()C 充要条件()D 既非充分又非必要条件45o10cm(10题图)16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ………（ ）.()A 3 ()B 6- ()C 10 ()D 15-17．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N 两 点，若23MN ≥，则k 的取值范围是 ………（ ）.()A 3[,0]4-()B [)∞+⋃⎥⎦⎤⎝⎛-∞-,043, ()C 33[,]33-()D 2[,0]3-18. 已知点O 为ABC ∆的外心，且6=AB ，2=AC ，则BC AO ⋅ 的值为……（ ）．()A 16 ()B 16- ()C364()D 364-三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． 已知)(2)14(log )(2R ∈++=x kx x f x 是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）若函数m x f x F -=)()(的一个零点在区间)21,0(内，求实数m 的取值范围.(16题图)20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ． 如图，在四棱锥P ABCD -中，已知AC 与BD 交于点O ，⊥PA 平面A B C D ，底面A B C D 是边长为4的菱形，120BAD ∠=︒，4=PA ．（1）求证：⊥BD 平面PAC ；（2）若点E 在线段BO 上，且二面角A PC E --的大小为060，求线段OE 的长．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． 已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=B f ， 3,5==c b ，求a 的值.CODPAB(20题图)22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆)0(1:2222>>=+Γb a b y a x 的右焦点为)0,1(F ，M 点的坐标为),0(b ，O 为坐标原点，△OMF 是等腰直角三角形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设经过点)2,0(C 作直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，求△B O A 面积的最大值； （3）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 使点F 为△PQM 的垂心（垂心：三角形三 边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.如果无穷数列{}n a 满足下列条件：①122++≤+n n n a a a ；②存在实数M ，使M a n ≤． 其中*∈N n ，那么我们称数列{}n a 为Ω数列．（1）设数列{}n b 的通项为n n n b 25-=，且是Ω数列，求M 的取值范围； （2）设{}n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前项和，,47,4133==S c 证明：数列{}n S 是Ω数列；（3）设数列{}n d 是各项均为正整数的Ω数列，求证：1+≤n n d d ．杨浦区2011学年度第二学期高三模拟测试（二）一．填空题（本大题满分56分） 2012.4. 1. 0 ； 2.2 ； 3. ()0,∞-； 4. 29； 5. 0.381； 6.10103arccos ； 7. 文27，理 22； 8.文2=x ，理2； 9.文②③，理π328； 10. 444.3； 11 . 22arctan -π； 12. 文121-+n ,理2； 13. [)∞+,9； 14 ．14二、选择题 15. A ； 16. C ； 18. B ； 17. A ； 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19．（文）解：（1）由函数).()(,)(x f x f x f -=可知是偶函数…………………2分.2)14(log 2)14(log 22kx kx x x -+=++∴-,44log ,41414log 22kx kx x x x -=-=++-即 ……………………………………4分 .42恒成立对一切R x kx x ∈-=∴21-=∴k ………………………………………………………6分（2）由0)(=x F 得：x x f m x -+==)14(log )(2， …………………8分).212(log 214log 22xxx x m +=+=∴ ………………………………9分 2212≥+xx ， ……………………………………………………10分 .1≥∴m 故要使函数m x f x F -=)()(存在零点，则实数m 的取值范围是.1≥m …12分19．（理）解：（1）由函数).()(,)(x f x f x f -=可知是偶函数…………………2分.2)14(log 2)14(log 22kx kx x x -+=++∴-,44log ,41414log 22kx kx x x x -=-=++-即 ………………………………………4分 .42恒成立对一切R x kx x ∈-=∴21-=∴k ………………………………………………………6分（2）解法一：函数m x f x F -=)()(的一个零点在区间)21,0(内得：x x f m x-+==)14(log )(2， ………………………………8分).212(log 214log 22xxx x m +=+=∴ ………………………………9分2212≥+xx ， ……………………………………………………10分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x )223,2()212(∈+∴x x 故m 的取值范围是 223log 12<<m …………………………12分 解法二：利用0)21()0(<⋅F F …………………………8分得()0)21)14((log )14(log 21202<--+⋅-+m m …………………………10分 即0)213(log )1(2<--⋅-m m 223log 12<<⇒m 故m 的取值范围是 223log 12<<m …………………………12分学生可能出现的一种错解 ：2log (41)x m x +=+ ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 因为左边的函数y m x =+单调递增，右边的函数也单调递增所以0220log (41)1log (21)2m m ⎧+>+⎪⎨+<+⎪⎩或0220log (41)1log (21)2m m ⎧+<+⎪⎨+>+⎪⎩ 得到的答案也是223log 12<<m ，但实际上不是充要条件。
上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(文科)
杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为3y x =，则b =________.6．若函数()23-=xx f 的反函数为()x f1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积 等于 ()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 9. 已知函数x x x f cos sin )(=，则函数)(x f 的最小正周期为__________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费 用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则n 等于 ． 13．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）14．函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知 ()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为 ___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）.)(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的 ………（ ）. )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件． 17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是 ………（ ）.)(A 0 . )(B 1 . )(C 2 . )(D 3 .三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ． 已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =.(1)求实数a 的值； (2)若不等式()033≥-xxk f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．(1) 求抛物线Γ方程；(2) 求证：αα2sin )1(cos 2+=AF ．22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分8分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.①用m 表示点F E ,的坐标；②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5.3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 文π； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12.文 6 ；13.文0.30； 14.文2；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18. 文C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 .20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43m ax ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==xx x x g x f ……8分令xt 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-xx k f 可化为kt t f ≥)(,即tt f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时tt f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分21. 【解】文科（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……8分 所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……11分 解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……14分22. 【解】文科(1) 由21=a 及2321++=+n S S n n 当1=n 时故72=a ……4分 (2)由2321++=+n S S n n 及)2(2)1(321≥+-+=-n n S S n n ……6分 得 1231-+=+n a a n n ，故)(3)1(1n a n a n n +=+++， ……8分 即)2(1≥=+n b b n n ，当1=n 时上式也成立, ……9分 ,故{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列 ……10分 (3) 由（2）得n n n n b b 311,3== ……11分 8140)311(21311)311(3111121>-=--=+⋅⋅⋅++nn n b b b ……14分 故 813>n 解得4>n ，最小正整数n 的值5 ……16分23【解】（文科）解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭……4分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……5分②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=， 又有3m ≠±，∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为211d k=+,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……15分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ 当22213510432243k k k k +=⇒=⇒=±+时等号成立, 此时直线110:12l y x =±-……18分试卷分析 3014.1.4题号：题长：内容：1.学生反映的知识问题：2.学生反映的能力问题：3.学生反映的错误问题：4.学生反映的不同解法：5.其他：。
上海市杨浦区2010届高三上学期学科测试数学试卷(附解答)
上海市杨浦区2010届高三上学期学科测试数学试卷 2010.1.21考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．3．本试卷为文、理合卷，题首标有文科考生做、理科考生做的题目，没有标记的是“文”、“理”考生共同做的题目． 编辑：赵雅丽 校对：雷锋瑞一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若集合{1A x x =-＞}2，U R =，则UA =ð.2．命题“若a b ≥，则33a b ≥”的逆命题是_____ .34567（理科考生做）职工年薪的标准差是 （千元）．（结果精确到0.1）8．根据右边的框图，建立所打印数列的递推公式 ． 9．若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值 是 ．10. ABC ∆中三内角A B C 、、所对边为a b c 、、．若行列式0b a cb=，且角3A π=，则sin b Bc= ． 11．设函数()12x f x a +=- （a ＞1）的反函数为()1y f x -=，（文科考生做）则()11f--= .（理科考生做）若函数()1y f x -=的图像不经过第二象限 ， 则a 的取值范围 .12z a bi =+ ，则使复数 2z 为纯虚数的概率是 .13．在体积为的球的表面上有A B C 、、三点,1,AB BC =球面距离为3. （文科考生做）则AB ⋅ （理科考生做）14．设123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列的所有可能值是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分。
15．幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为 ( )．()A 1 ()2B ()3C()4D16．“23πθ=”是“tan 2cos 2πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的 ( )． ()A 充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 即非充分也非必要条件17．若z 是实系数方程220x x p -+=的一个虚根，且2z =，则p = ( )．()2A()3B ()4C()5D18．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ， 定义函数:(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩ 取函数()xf x a -=（a ＞１）．当1K a =时，函数()K f x 在下列区间上单调递减的是 ( )．()A (,0)-∞ ()()B a ,-+∞ ()C (,1)-∞- ()D (1,)+∞三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .如图，过圆锥轴的截面为等腰直角三角形SAB ，Q 为底面圆周上一点，已知BQ =83π，点Ｏ为底面圆的圆心．（１）．求该圆锥的侧面积；（２）．设异面直线SA 与BQ 所成角的大小为θ，求tan θ的值．122．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数2()2sin cos 1(,f x x x x x R ωωω=-+∈ω＞0)的最小正周期是π． （1）求ω的值；（2）（文科考生做）求使()f x 取得最大值时x 的集合；（理科考生做）求函数()f x 的单调增区间； （3）若不等式 ()f x m -＜2在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.已知,,OAB OA a ∆= ，边AB 上一点1P ，这里1P 异于A 、B .由1P 1Q 引边OA 的垂线11Q R ,1R 是垂足．又由1R 到点 (n n n P Q R 、、n t ＜1),如图．（１）．求AB的值；（２）．某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：()1113t b - ，问该同学这个结论是否正确？并说明理由；（３）．（文科考生做）当1P 、2P 重合时，求111PQR ∆的面积； （理科考生做）用1t 和n 表示n t ．杨浦区数学测试参考答案 2010.1.21一、填空题1．}{13x x -≤≤； 2．若33a b ≥，则a b ≥； 3．2；4．1- ； 5．１； 6．12x y =-⎧⎨=⎩ ；7．文40.0；理25.5 ；8．()()11131210n n n a a a a n --=⎧⎪⎨=-≤≤⎪⎩； 9．2 ； 1011．文1-；理2a ≥；12．16； 13．文0；理32； 14．4-或1； 二、选择题15． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16． [[ B ] [ C ] [ D ]17． [ A ] [ B ] [ ] [ D ] 18． [ A ] [ B ] [ C ] [三、解答题分1x =或1x =- ； 由故，经过1时间，温度为５摄氏度；-------------------------------6分(2)解 由题意得1222xxm -+≥ 对一切0x ≥恒成立，-------7分则 由2x令2xt -= 则0＜1t ≤，另解：122222x x x x m m -+=+≥ ---------------10分故，最小值为1,2,2m ∴≥--------14分21．解（1）设底面圆的半径为R ，则由题意得R SO =，----1分∵218,33R R ππ=∴2R = ----------------------------------3分（2则AC 所成角θ的大小则arctanθ∴=--------------------------------------------------14分23．解： (1) 因为,,,,1OAB OA a OB b a b a b ∆====⋅=---------1分则 222223AB b a b a a b =-=+-⋅=；所以，AB = 分（2）该同学的结论正确． --------------------------------------------------------------------------------5分（证1）由（1）与已知，得AB =，,OB OA ==由余弦定理2222cos 32OB AB OA ABO OB AB +-∠===----------------------6分又111,AP t b a =-=则111BP AB AP =-=则)111cos 1BQ BP ABO t =∠=- ，所以，()11213BQ t b =-- ------------8分（证2）5分设1BQ kb =，1PB = ()11111PQ PB BQ t a ∴=+=-，又由110PQ b ⋅= 得 k =-------------------8分（3由已知得cos a b BOA a b⋅∠===--------------9分BAO ∠= ； 11cos OR OQ BOA =∠()))111cos 112OB BQ BOA t t ⎤=-∠=-=+⎥⎦-------------10分))21111cos cos 1252AP AR BAO OA OR BAOt t ⎡⎤=∠=-∠⎣⎦=+=--------------------------------------------11分所以()22111155218918AP t t t b a ==-=-+- ---------------------------------------------------------12分当1P 、2P 重合时，有12t t = ，解1115918t t =-+ 得114t =，分此时11,2BQ b =-111,2BQ OB OR ∴====11,44AP BP ==,易求 OAB S = S 11BQ P =-------------17分故111PQR OAB S S S ∆=- 分（解2） 1112263R A a OR =-= ⎝⎭1212R P R A AP =+ 由()120R P b a ⋅-= ，得2115918t t =-+,-------------------12分（ 以下同解1） 理科（解1）同文科（3）的解法，同理可得 115918n n t t +=-+ ------------------------------------14分 则1111494n n t t +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭-----------------------------------------------------------------------16分故()111112,449n n t t n n N -*⎛⎫⎛⎫=+--≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-------------------------------------------------18分（解2）同文科（3）的（解2）同理可得。
2011年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析
2011年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}，则∁U A={x|x＜1}．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由补集的含义即可写出答案．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥1}，∴C U A={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．【点评】本题考查补集的含义．2．（4分）（2011•上海）计算=﹣2．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，对于，变形可得，分析可得，当n→∞时，有的极限为3；进而可得答案．【解答】解：对于，变形可得，当n→∞时，有→3；则原式=﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．3．（4分）（2011•上海）若函数f（x）=2x+1的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（﹣2）=．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】问题可转化为已知f（x0）=﹣2，求x0的值，解方程即可【解答】解：设f（x0）=﹣2，即2x0+1=﹣2，解得故答案为【点评】本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算．4．（4分）（2011•上海）函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的最值．要求能对辅角公式能熟练应用．5．（4分）（2011•上海）若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l的方程为x+2y﹣11=0．【考点】直线的点斜式方程；向量在几何中的应用．【专题】直线与圆．【分析】根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程．【解答】解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为：（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），所以直线方程为：x+2y﹣11=0．故答案为：x+2y﹣11=0．【点评】本题是基础题，考查直线的法向量，方向向量以及直线的斜率的求法，考查计算能力．6．（4分）（2011•上海）不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．【解答】解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出7．（4分）（2011•上海）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为3π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】根据圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，得到圆锥的母线长是3，底面直径是2，代入圆锥的侧面积公式，得到结果．【解答】解：∵圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，∴圆锥的母线长是3，底面直径是2，∴圆锥的侧面积是πrl=π×1×3=3π，故答案为：3π【点评】本题考查由三视图求表面积和体积，考查圆锥的三视图，这是比较特殊的一个图形，它的主视图与侧视图相同，本题是一个基础题．8．（4分）（2011•上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．9．（4分）（2011•上海）若变量x，y 满足条件，则z=x+y得最大值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=x+y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图分析，当x=，y=时，z=x+y取最大值，故答案为．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．10．（4分）（2011•上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．【解答】解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．【点评】本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．11．（4分）（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是6．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题．【分析】先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．【解答】解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．【点评】本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．12．（4分）（2011•上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．【点评】此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．13．（4分）（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985，故答案为：0.985【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．14．（4分）（2011•上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]．【考点】函数的值域；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，令x+1=t进而可求函数在[1，2]时的值域，再令x+2=t 可求函数在[2，3]时的值域，最后求出它们的并集即得（x）在区间[0，3]上的值域．【解答】解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]（正好是一个周期区间长度）的值域是[﹣2，5] (1)令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (2)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (3)由已知条件及（1）（2）（3）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．【点评】本题主要考查了函数的值域、函数的周期性．考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）（2011•上海）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=x﹣2B．y=x﹣1C．y=x2D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】解：函数y=x﹣2，既是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故A正确；函数y=x﹣1，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故B错误；函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，故C错误；函数，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，故D错误；故选A．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．16．（5分）（2011•上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．【考点】基本不等式．【专题】综合题．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．17．（5分）（2011•上海）若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E，F，则（）A．E⊊F B．E⊋F C．E=F D．E∩F=∅【考点】正弦函数的定义域和值域；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用正弦函数的零点进行转化求解是解决本题的关键，注意整体思想的运用，结合集合的包含关系进行判断验证．【解答】解：由题意E={x|x=kπ，k∈Z}，由2x=kπ，得出x=，k∈Z．故F={x|x=，k∈Z}，∀x∈E，可以得出x∈F，反之不成立，故E是F的真子集，A符合．故选A．【点评】本题考查正弦函数零点的确定，考查集合包含关系的判定，考查学生的整体思想和转化与化归思想，考查学生的推理能力，属于三角方程的基本题型．18．（5分）（2011•上海）设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．【解答】解：根据所给的四个向量的和是一个零向量，则，即，所以．当A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点确定以后，则也是确定的，所以满足条件的M只有一个，故选B．【点评】本题考查向量的加法及其几何意义，考查向量的和的意义，本题是一个基础题，没有具体的运算，是一个概念题目．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2011•上海）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．【解答】解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．20．（14分）（2011•上海）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求（1）异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四面体AB1D1C的体积．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；分类讨论．【分析】（1）根据题意知DC1∥AB1∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1所成角，解三角形即可求得结果．（2）V A﹣B1D1C=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1，而V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1易求，即可求得四面体AB1D1C 的体积．【解答】解：（1）连接DC1，BC1，易知DC1∥AB1，∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1所成角，在△BDC1中，DC1=BC1=，BD=，∴cos∠BDC1=，∴∠BDC1=arccos．（2）V A﹣B1D1C=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1而V ABCD﹣A1B1C1D1=S ABCD•AA1=1×2=2，V B1﹣ABC=V D1﹣ACD=V DA1C1D1=V B﹣A1B1C1=∴V A﹣B1D1C=2﹣4×=．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角和棱锥的体积问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，和利用割补法求棱锥的体积问题，体现了数形结合和转化的思想．21．（14分）（2011•上海）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】（1）先把a•b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．（2）把a•b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f（x）化简得a•2x＞﹣2b•3x，再根据a的正负性得＞或＜；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．【解答】解：（1）①若a＞0，b＞0，则y=a•2x与y=b•3x均为增函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为增函数；②若a＜0，b＜0，则y=a•2x与y=b•3x均为减函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为减函数．（2）①若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）得a•2x+1+b•3x+1＞a•2x+b•3x，化简得a•2x＞﹣2b•3x，即＞，解得x＜；②若a＜0，b＞0，由f（x+1）＞f（x）可得＜，解得x＞．【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法．22．（16分）（2011•上海）已知椭圆C：=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标，可得参数a的值，已知b=1，进而可得答案；（2）根据题意，可得椭圆的方程，变形可得y2=1﹣；而|PA|2=（x﹣2）2+y2，将y2=1﹣代入可得，|PA|2=﹣4x+5，根据二次函数的性质，又由x的范围，分析可得，|PA|2的最大与最小值；进而可得答案；（3）设动点P（x，y），类似与（2）的方法，化简可得|PA|2=（x﹣）2++5，且﹣m≤x≤m；根据题意，|PA|的最小值为|MA|，即当x=m时，|PA|取得最小值，根据二次函数的性质，分析可得，≥m，且m＞1；解可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；则m=2；椭圆的焦点在x轴上；则c=；则椭圆焦点的坐标为（，0），（﹣，0）；（2）若m=3，则椭圆的方程为+y2=1；变形可得y2=1﹣，|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=﹣4x+5；又由﹣3≤x≤3，根据二次函数的性质，分析可得，x=﹣3时，|PA|2=﹣4x+5取得最大值，且最大值为25；x=时，|PA|2=﹣4x+5取得最小值，且最小值为；则|PA|的最大值为5，|PA|的最小值为；（3）设动点P（x，y），则|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=（x﹣）2﹣+5，且﹣m≤x≤m；当x=m时，|PA|取得最小值，且＞0，则≥m，且m＞1；解得1＜m≤1+．【点评】本题考查椭圆的基本性质，解题时要结合二次函数的性质进行分析，注意换元法的运用即可．23．（18分）（2011•上海）已知数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7 （n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）求三个最小的数，使它们既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项；（2）数列c1，c2，c3，…，c40中有多少项不是数列{b n}中的项？请说明理由；（3）求数列{c n}的前4n 项和S4n（n∈N*）．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）分别由数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n和b n列举出各项，即可找出既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项的三个最小的数；（2）根据题意列举出数列{c n}的40项，找出不是数列{b n}中的项即可；（3）表示出数列{b n}中的第3k﹣2，3k﹣1及3k项，表示出数列{a n} 中的第2k﹣1，及2k项，把各项按从小到大的顺序排列，即可得到数列{c n}的通项公式，并求出数列{c n}的第4k﹣3，4k﹣2，4k﹣1及4k项的和，把数列{c n}的前4n项和每四项结合，利用等差数列的前n项和的公式即可求出数列{c n}的前4n项和S4n．【解答】解：（1）因为数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7，所以数列{a n}的项为：9，12，15，18，21，24，…；数列{b n} 的项为：9，11，13，15，17，19，21，23，…，则既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项的三个最小的数为：9，15，21；（2）数列c1，c2，c3，…，c40的项分别为：9，11，12，13，15，17，18，19，21，23，24，25，27，29，30，31，33，35，36，37，39，41，42，43，45，47，48，49，51，53，54，55，57，59，60，61，63，65，66，67，则不是数列{b n}中的项有12，18，24，30，36，42，48，54，60，66共10项；（3）b3k﹣2=2（3k﹣2）+7=6k+3=a2k﹣1，b3k﹣1=6k+5，a2k=6k+6，b3k=6k+7，∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，∴c n=，k∈N+，c4k﹣3+c4k﹣2+c4k﹣1+c k=24k+21，则S4n=（c1+c2+c3+c4）+…+（c4n﹣3+c4n﹣2+c4n﹣1+c4n）=24×+21n=12n2+33n．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．。
上海市杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷-答题纸
16． 18．
[A] [A]
[B] [C] [D] [ B ] [ C ] [ D ]
三、解答题
19．解： 21．解：
P
D A B
C
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
不 许 折 叠
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
23．解：
请 在 黑 色 矩 形 边 框 内 答 题 ， 超 出 黑 色 矩 形 边 框 的 答 题 一 律 无 效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
杨浦区数学测试答题纸
正确填涂
2011.12.
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
1． 答题前， 考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚姓名及科目．
填 涂 样 例
错误填涂 √ ×
注 意 事 项
2．选择题部分必须用 2B 铅笔填涂；非选择题部分使用蓝、黑色 字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书 写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持纸面清洁，不折叠、不破损． 5．文科考生将 涂黑； 理科考生将 涂黑．
20．解：
题号 得分
一、、解答题 19 20 21 22 23
2011学年第二学期高三数学区期末统测试卷理科答案
即 AB 2 OM 成立 ②当切线 l 的斜率不存在时， A( 2, 2), B ( 2, 2)或A( 2, 2), B ( 2, 2) 此时 AB 2 2, OM
2 ，即 AB 2 OM 成立-------------------10 分
（3）由条件可知：两条渐近线分别为 l1 : 2 x y 0; l2 : 2 x y 0 -------------------11 分 设双曲线 C 上的点 P ( x0 , y0 ) ，
因为平面 CDE 平面 CD1O ，所以 m n 0 ，得 2 -------------------14 分
5 17 16 5 17 x 8 1 5 17 x 21．解： （1） x 2 2 x 2 --------2 分 2 2 0 x 2 0 x 2 4 x 1 2 x 3 -------------4 分 2 x 4
若 b1 b2 b3 bn0 ，则 a b1 a b2 a b3 a bn0 即对数列 bn 中的任意一项 bi (1 i n0 )
a bi b1 (n0 i )d bn0 1i bn -------------------6 分
12． 9 15．A
13．
81 2
17．C
14． 0, a b 18．D
2
2
16．B
19．解： （1）由正弦定理
c a sin C a 2a 2 5 -------------------4 分 ,得 c sin C sin A sin A
（2）由余弦定理，得 cos A
2011上海杨浦区高三期末试题有答案(数学文理)-高三数学理科：数学2011.1.
杨浦区2010学年度高三学科测试数学试卷（理科） 2011.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足()12z i +=，则z =__________． 2．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 . 3．函数()2log 1x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭的定义域为 . 4．已知等差数列{}n a 首项为1，公差为2．若7k a =时，则项数k = ． 5．若()121x f x a =++是奇函数，则实数a = ． 6．函数()()2sin cos f x x x =-的最小正周期是 .7．在52()x x+的二项展开式中，3x 的系数是_________（用数字作答）．8．计算：2lim123n n n→∞=+++⋅⋅⋅+ . 9．设ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、．若3160b c B ===，，， 则角C = ．10.若经过点(0,2)P 且以()1,d a =为方向向量的直线l 与双曲线1322=-y x 相交于不同两点A 、B ，则实数a 的取值范围是 .11．若全集U R =，不等式2300121x xx x ＞0的解集为A ，则 =A . 12．若θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则cot 2θ= . 13．若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得线段的长为22，则直线m 的倾斜角是 .14．如图，已知OAP ∆的面积为S ，1OA AP ⋅=． 设||(2)OA c c =≥，34S c =，并且以O 为中心、A 为焦点的椭 圆经过点P ．当||OP 取得最小值时，则此椭圆的方程为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =，则()f a -的值为 ( )．()2A -.()1B -.()0C .()1D .16．“2a =”是“函数()f x x a =-在[)2,+∞上是增函数”的 ( )．()A 充分非必要条件.()B 必要非充分条件. ()C 充要条件.()D 即非充分也非必要条件.17． 已知点A 的坐标为()32,，F 为抛物线22y x =的焦点．若点P 在抛物线上移动，当PA PF +取得最小值时，则点P 的坐标是 ( )．()A ()2,1 .()B ()22, . ()C ()2,2-. ()D ()6,3 .yPxoA18．已知ABC △的面积是30，内角A B C 、、所对边分别为a b c 、、，1213cos A =． 若1c b -=，则a 的值是 ( )．()A 3 . ()B 4 . ()C 5 . ()D 不确定.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）已知函数()12x f x a -=- （0a >且1a ≠）的反函数1()y f x -=定义域为集合A ，集合1|||,2B x x t x R ⎧⎫=-≤∈⎨⎬⎩⎭．若A B φ=，求实数t 的取值范围．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． 设函数()()2203f x x x a x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，其中0,a a R ≠∈．（1）求m n 、的值（用a 表示）；（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,3A m n -+．求sin 6πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足条件23(1)n n S a =-，其中n N *∈． （1）求证：数列{}n a 成等比数列；（2）设数列{}n b 满足3log n n b a =． 若 n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在上海世博会期间，某工厂生产,,A B C 三种世博纪念品,每种纪念品均有精品型和普通型两种.某一天产量如下表(单位:个):现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个,其中有A 种纪念品40个. （1） 求n 的值；（2） 从B 种精品型纪念品中抽取5个,其某种指标的数据分别如下:,,10,11,9x y .把这5个数据看作一个总体, 其均值为10、方差为2,求x y 的值；（3） 用分层抽样的方法在C 种纪念品中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2个纪念品,求至少有1个精品型纪念品的概率.纪念品A 纪念品B 纪念品C精品型 100 150 n普通型30045060023．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.给定椭圆C ：22221x y a b+= ()0a b >> ，称圆心在坐标原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“伴随圆”．（1）若椭圆C 过点()5,0，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；（2）如果直线32x y +=与椭圆C 的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点(),Q a b 轨迹的大致图形；（3）已知椭圆C 的两个焦点分别是()()122,02,0F F -、，椭圆C 上一动点1M 满足111223M F M F +=．设点P 是椭圆C 的“伴随圆”上的动点，过点P 作直线12l l 、使得12l l 、与椭圆C 都各只有一个交点，且12l l 、分别交其“伴随圆”于点M N 、． 研究：线段MN 的长度是否为定值，并证明你的结论．。
2011年全国统一高考数学真题试卷——上海市
作者：卫福山单位：上海市松江二中2011年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科数学考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。
2．本试卷共23道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
一．填空题（本答题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= 。
2、若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 。
3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = 。
4、不等式13x x+≤的解为 。
5、在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。
6、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。
7、若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。
8、函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。
9、马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。
据此，小牛给出了正确答案E ε= 。
?!?321P(ε=x )x10、行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。
11、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 。
12、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
13、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 。
杨浦区2011学年度二模
杨浦区2011学年度第二学期高三模拟测试（一）英语试卷2012. 3本试卷分为第I卷（第1-16页）和第II卷（第17页）两部分。
全卷共17页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生注意：1．答第I卷前，考生务必填好考号、姓名、学校信息，并将条形码粘贴在答题纸的指定区域内。
2．第I卷（1-16小题，25---80小题）由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题卡上。
考生应将代表正确答案的小方格用铅笔涂黑。
注意试题题号和答题卡编号一一对应，不能错位。
答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。
答案写在试卷上一律不给分。
第I卷中的第17-24小题,81-84小题和第II卷的试题，其答案用钢笔或水笔写在答题纸的规定区域内，如用铅笔答题，或写在试卷上则无效。
第I卷（共105分）I.Listening Comprehension (30%)Section ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. At 11:35. B. At 11:45. C. At 12:00. D. 12:45.2. A. By car. B. By train. C. By taxi. D. By bus.3. A. In a restaurant. B. In a hospital. C. In a hotel. D. On a plane.4. A. He's unwilling to fetch the laundry.B. He picked up the laundry 3 hours ago.C. He will go before the laundry is closed.D. He doesn‘t know who picked up the laundry.5. A. Boss and secretary. B. Colleagues.C. Interviewer and interviewee.D. Classmates.6. A. The man is not suitable for the position.B. The job has been given to someone else.C. She received only one application letter.D. The application arrived a week earlier than expected.7. A. $15. B. $30. C. $50. D. $100.8. A. He has not adjusted to the new culture.B. He has been studying hard at night.C. He finds biology difficult to learn.D. He is not accustomed to the time in a different zone.9. A. He is the right man to get the job done.B. He is a man with professional skills.C. He is not easy to get along with.D. He is not likely to get the job.10. A. Go to the office. B. Call the booking office.C. Try online booking.D. See a doctor.Section BDirections: In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. At 6:15. B. At 6:45.C. At 7:15.D. At 7:45.12. A. Students who are often late for school. B. All the students of Durfee High School.C. Parents sending notes to the headmaster.D. Parents who are always late for work.13. A. Call the students at 6:15. B. Give every student an alarm clock.C. Make study hours longer.D. Post students‘ names on the school website.Questions 14 through 16 are based on the following news.14. A. Because dragon babies will have more educational opportunities.B. Because dragon babies are believed to be rich and successful in the future.C. Because couples can only have a dragon baby every twelve years.D. Because dragon is an imaginary creature in the Chinese culture.15. A. May 2nd .B. May 10th .C. May 12th .D. May. 22nd .16. A. To avoid one child policy.B. To get better service.C. To gain more job opportunities.D. To gain better child education.Section C Longer ConversationsDirections: In Section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with information you have heard. Write your answers on your answer sheet. Blanks 17 through 20 are based on the following conversation. Complete the form. Write ONE WORD for each answer.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation.Complete the form. Write NO MORE THAN THREE WORDSfor each answer.II. Grammar and vocabulary (25%)Section ADirections: Beneath each of the following sentences there are four choices marked A, B, C and D. choose the one answer that best completes the sentence.25. In New York, high school smoking hit a new low in the latest surveys--13.8%, far _____ thenational average.A. overB. beyondC. belowD. on26. Doctors should take special care when treating children because their breathing rate is differentfrom _____ of adults.A. oneB. thoseC. someD. that27. After being a teacher, he found himself _____ his student badly, the same way he was treatedby his former teacher.A. treatedB. being treatedC. treatingD. treat28. Best-selling author and race car driver Han Han offered a 20 million RMB reward to _____could prove his works were ghostwritten (代笔)。
上海市杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷-答案
杨浦区2011学年度高三学科测试参考答案及评分标准一．填空题（本大题满分56分） 2011.12.31 1. 1-；2. 理()1,2-，文()1,0； 3. 理(]1,-∞-，文(]0,∞-；4. π12；5. 理14-，文4；6.2-；7.理0，文1；8.理0.35，文0.30； 9. 80；10. ()⎩⎨⎧≤>-=1,21,2x x x x f x ；11.理 P 在圆外，文1；12. 理()2,4-，文⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22；13. 理⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log,31log22，文()2,4-； 14. 理49，文⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log,31log 22二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19. 【解】 设异面直线P A 与CD 所成角的大小θ， 底边长为a , 则依题意得41312=⋅⋅a ……4分故32=a ， 62=∴AC ()76122==+=∴PA ……7分CD ∥AB ，故直线P A 与AB 所成角的大小θ为所求 ……9分721cos =∴θ721arccos =θ ． ……12分（其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分） 20.理: （1）【解1】.由n m ⊥ 得 0=⋅n m ，故()0cos cos 2=--C a A c b , ……2分 由正弦定理得()0cos sin cos sin sin 2=--C A A C B ……4分()0sin cos sin 2=+-∴C A A B ……5分3,21cos ,0sin ,0ππ=∴=≠<<A A B A ……7分【解2】. 由()0cos cos 2=--C a A c b ，余弦定理得()0222222222=-+--+-abcb a abcac b c b整理得bc a c b =-+222， 212cos 222=-+=∴bcac b A3,21cos ,0ππ=∴=<<A A A ．（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） （2）433sin 21==∆A bc S ABC 即34333sin21=∴=bc bc π……10分又A bc c b a cos 2222-+=, 622=+∴c b ……12分 故()302==∴=-c b c b 所以，ABC ∆为等边三角形． ……14分文:【解1】. 由 ()0c o s c o s 2=--C a A c b ,由正弦定理得()0c o s s i n c o s s i n s i n 2=--C A A C B ……4分 ()0s i nc o s s i n 2=+-∴C A A B ……5分 3,21c o s ,0s i n ,0ππ=∴=≠<<A A B A ． ……7分【解2】. 由()0c o s c o s 2=--C a A c b ，余弦定理得()0222222222=-+--+-abcb a abcac b c b整理得bc a c b =-+222， 212c o s 222=-+=∴bcac b A3,21c o s ,0ππ=∴=<<A A A ．（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）21. （1）【解】①（理）若()3x x f =是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+， 即()b x a =-322时，对R x ∈恒成立 ……2分而322b a x -=最多有两个解，矛盾，因此()3x x f =不是“Ω函数” ……-3分 （文）若()x x f =是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+， 即()b x a =-22时，对R x ∈恒成立 ……2分 而b a x -=22最多有两个解，矛盾，因此()x x f =不是“Ω函数” ……3分② 答案不唯一：如取1,0==b a ，恒有12200=-+x x 对一切x 都成立， ……5分 即存在实数对()1,0，使之成立，所以，()x x f 2=是“Ω函数”． ……6分 一般地：若()x x f 2=是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得b a x a x a ==⋅-+2222 即存在常数对()a a 22,满足()()b x a f x a f =-⋅+，故()x x f 2=是“Ω函数”． （2）解 函数()x x f t a n =是一个“Ω函数”设有序实数对()b a ,满足，则()()b x a x a =+⋅-tan tan 恒成立 当Z k k a ∈+=,2ππ时，()()x x a x a 2cottan tan -=+⋅-，不是常数； ……8分因此Z k k a ∈+≠,2ππ，当Z m m x ∈+≠,2ππ时，则有b xa x a xa x a xa x a =--=-+⨯+-2222tantan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan ， ……10分即()0)(tan tan 1tan 222=-+-b a x a b 恒成立，所以Z k b k a b a b a a b ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅1411tan 0tan 01tan 222ππ ……13分当4,,2ππππ±=∈+=k a Z m m x 时，()()()1cot tan tan =-=+⋅-a x a x a满足()x x f tan =是一个“Ω函数”的实数对()Z k k b a ∈⎪⎭⎫⎝⎛±=,1,4,ππ ……14分 22. 理:（1）【解】由11=a ，()3231+==+n n n n a a a f a 得31,73,53432===a a a ……3分（2）【解】由3231+=+n n n a a a 得32111=-+nn a a ……8分所以，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为1，公差为32的等差数列 ……9分 （3）【解】由（2）得()123,31213211+=+=-+=n a n n a n n (10)当2≥n 时 ，⎪⎭⎫⎝⎛+--==-121121291n n a a b n n n ，当1=n 时，上式同样成立， ……12分所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=12112912112151313112921n n n b b b S n n 因为22012-<m S n ，所以22012121129-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m n 对一切*∈N n 成立， ……14分 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121129n 随n 递增，且291211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n ，所以2201229-≤m ， 所以2021≥m ，2021min =∴m ……16分 文:(1) 【解】. 由y x =2得12=p 所以 准线为41-=y ……3分(2) 【解】. 由y x =2得12=p 所以,焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛41,0 ……4分 由A 作准线41-=y 的垂线,垂足为Q ,当且仅当三点Q A P ,,共线时,AF AP +的最小值，为425416=+, ……7分此时A 点的坐标为()4,2 ……9分 (3)【解1】设点M 的坐标为()y x ,,BC 边所在的方程为1+=kx y (k 显然存在的), ① ……10分又AM 的斜率为xy ,则有1-=⋅k xy ,既yx k -=代入① ……14分故M 点轨迹为)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分) ……16分【解2】设点M 的坐标为()y x ,,由BC 边所在的方程过定点)1,0(N , ……10分 )1,(,),(y x MN y x AM --== ……12分 0=⋅BC AM 0=⋅∴MN AM ,所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y ……16分 (注:没写0≠x 扣1分) 23. 理:(1) 【解】. 由y x =2得12=p 所以,焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛41,0 ……3分(2) 【解1】设点M 的坐标为()y x ,,BC 边所在的方程为b kx y +=(k 显然存在的),与抛物线y x =2交于()()2211,,,y x C y x B则⎩⎨⎧=+=2xy b kx y 得02=--b kx x ,,21k x x =+b x x -=21 ……5分 又点C B ,在抛物线Γ上,故有222211,x y x y ==, 2222121b x x y y ==∴022121=+-=+=⋅∴b b y y x x AC AB 1=b 或0=b (舍)1+=∴kx y -------① ……7分又AM 的斜率为xy ,则有1-=⋅k xy ,既yx k -=代入①故M 点轨迹为)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分) ……9分 另解:由上式①过定点)1,0(P ,)1,(,),(y x MP y x AM --== 0=⋅∴MP AM , 所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y 【解2】设点M 的坐标为()y x ,,AB 方程为kx y =,由2π=∠BAC 得AC 方程为x k y 1-=,则⎩⎨⎧==2x y kxy 得()2,k k B , 同理可得⎪⎭⎫⎝⎛-21,1k kC ∴BC 方程为))(11(222k x kk k k ky -+-=-恒过定点)1,0(P , )1,(,),(y x MP y x AM --== 0=⋅∴MP AM , 所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y(注:没写0≠x 扣1分)（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） (3) 【解1】若存在AB 边所在直线的斜率为2的正三角形ABC ,设),(,),(22q q B p p A ,(其中不妨设q p <), 则222=--pq p q , 2=+∴q p ------① ……11分令a AB =,则()()22222a p q p q =-+-,即()()()2222a pq p q p q =-++-将①代入得,()223a p q =-,()q p a p q <=-∴ 3-----------------② ……13分线段AB 的中点为M ,由①, ②得M 的横坐标为222=+q p ,M 的纵坐标为()()12214222222ap q p q q p +=-++=+ ……15分又设()2,1=d 由d MC ⊥得)23(,2,223123a a a a MC =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴21212,22222,221221,2222a a a a a a MC OM OC 点C 在抛物线y x =2上,则()()2212166121a a a±=+ ,即01852=±a a ,又因为0>a , 518=∴a ……18分【解2】设),(,),(22q q B p p A ,),(2r r CABC ∆的三边所在直线CA BC AB ,,的斜率分别是p r pr p r r q rq r q q p qp q p +=--+=--+=--222222,,------① ……12分若AB 边所在直线的斜率为2,AB 边所在直线和x 轴的正方向所成角为()0900,<<x α,则2tan =α,所以()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+060tan 60tan ααp r r q ……14分即536,613260tan tan 160tan tan 613260tan tan 160tan tan 00=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=++-=+-=+p q p r r q αααα-----②又2tan ==+αq p --------------③ ……16分所以, ()()()()[]2222221p q p q pq p q AB ++-=-+-=将②, ③代入上式得边长518=AB ……18分（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） 文:（1）【解】由11=a ，()3231+==+n n n n a a a f a 得31,73,53432===a a a ……3分（2）【解】由3231+=+n n n a a a 得32111=-+nn a a ……8分所以，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为1，公差为32的等差数列 ……9分 （3）【解】 由（2）得()123,31213211+=+=-+=n a n n a n n……11分当2≥n 时 ，⎪⎭⎫⎝⎛+--==-121121291n n a a b n n n ，当1=n 时，上式同样成立， ……13分所以⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=12112912112151313112921n n n b b b S n n因为22012-<m S n ，所以22012121129-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m n 对一切*∈N n 成立， ……16分 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121129n 随n 递增，且291211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n ，所以2201129-≤m ， 所以2020≥m ， 2020min =∴m ……18分。
上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科)
上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为3y x =，则b =________.6．若函数()23-=xx f 的反函数为()x f1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积 等于 ()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________.9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费 用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12． 若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ．13．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的 概率是 ．14．已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）.)(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的 ………（ ）. )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件． 17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为 ………（ ）. )(A (]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ． 已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =.(1)求实数a 的值； (2)若不等式()033≥-xxk f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立， (其中k 、b 、p 是常数) ．（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S ； （2）当1k =，0b =，0p =时，①若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；②设数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”. 如果212a a -=，试问：是否存在数列{}n a 为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++< ．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所 有取值构成的集合；若不存在，说明理由．杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5.3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 理1±； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12. 理15 ；13.理95， 14.理②、③，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18.理B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 .20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43m ax ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==xx x x g x f ……8分令xt 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-xx k f 可化为kt t f ≥)(,即tt f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时tt f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分21. 【解】理科 （1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分 所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分 同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8……14分22. 【解】理科解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……4分 据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m---+-++===---++23,4m m +-∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭,令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=， 又有3m ≠±，∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为211d k=+,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以 482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ当22213510432243k k k k +=⇒=⇒=±+时等号成立, 此时直线110:12l y x =±- ……16分 23【解】 （理科）解：（1）当0k =，3b =，4p =-时，由()()p a a b kn S n n +++=12得 n n S a a 24)(31=-+ ① 用1n +去代n 得，11124)(3++=-+n n S a a ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=， ……2分 在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=，∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴n S =312n - …….5分（2）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++ ， ③用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++ ， ④ ④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤ …….7分 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-， …….8分 ∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =， ∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =- ……10分易知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-. 又{}n a 是“Ω数列”，得：对任意*,N m n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数， …….12分 又由已知，111111218S <<，故1181211a << 一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈， 都有123111111112n S S S S S ++++≥> .…….13分 另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+，则1231111111n S S S S n ++++=-+ ， 取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. …….14分 当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++ 1118<， …….15分 当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+， 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++ ， …….16分 又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a = …….17分 所以，首项1a 的所有取值构成的集合为{}10,8,6,4 …… 18分（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）。
2011年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
∴AD= x
∴在 Rt△ABD 中，AB•sin60°= x
x= （千米） 答：A、C 两点之间的距离为
故答案为： 下由正弦定理求解： ∵∠CAB=75°，∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°﹣ 75°﹣ 60°=45° 又相距 2 千米的 A、B 两点
【解答】解：由于点 F（0，5）是双曲线
的一个焦点，
故该双曲线的焦点在 y 轴上，从而 m＞0．
1
从而得出 m+9=25，解得 m=16． 故答案为：16． 【点评】本题考查双曲线标准方程中的分母几何意义的认识，考查双曲线焦点位置与方程 的关系、考查学生对双曲线中 a，b，c 关系式的理解和掌握程度，考查学生的方程思想和 运算能力，属于基本题型．
5．（4 分）（2011•上海）在极坐标系中，直线 ρ（2cosθ+sinθ）=2 与直线 ρcosθ=1 的夹角 大小为 arctan ．（结果用反三角函数值表示）
【考点】简单曲线的极坐标方程；两直线的夹角与到角问题． 【专题】计算题． 【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代 换即得直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可． 【解答】解：∵ρ（2cosθ+sinθ）=2，ρcosθ=1 ∴2x+y﹣ 2=0 与 x=1 ∴2x+y﹣ 2=0 与 x=1 夹角的正切值为
3
【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为 π，则其底面半径是 1，底面周长为 2π，
又
，
∴圆锥的母线为 2，则圆锥的高 ，
所以圆锥的体积 × ×π=
．
故答案为
2011学年第二学期高三数学区期末统测试卷(理科)
2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）2012.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、已知2111n na n n=+，则=∞→n n a lim .2、已知集合7|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，函数2lg(68)y x x =-+-的定义域为集合B ，则A B ⋂=.3、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是.（精确到0.01）4、若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿＿＿.5、若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a +=.6、53223(xx -的二项展开式中，常数项的值是.7、某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=____________.（结果用最简分数表示）8、已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式为n a =.*()n N ∈9、函数()2sin sin()3f x x x π=⋅-的值域是.10、如图：底面直径为2的圆柱被与底面成030二面角的平面所截，截面是一个椭圆，则此椭圆的焦距为.11、在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB =.12、若函数()y f x =（x R ∈）满足()()2f x f x -=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数成绩人数401150602213708090()lg(1)110001x x g x x x x ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪⎪≤≤⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,6-内的零点的个数为______.13、已知函数()1x f x x=+,在9行9列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛999392912923222119131211a a a a a a a a a a a a中，第i 行第j 列的元素()ij ia f j=,则这个矩阵中所有数之和为_______________.14、如图，点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上一点，且20F M MP ⋅=.某同学用以下方法研究OM ：延长2F M 交1PF 于点N ，可知2PNF ∆为等腰三角形，且M 为2F N 的中点，得112OM NF a === .类似地：点(,)(0,0)P x y x y >>是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、条件甲：函数)(x f 满足()1()f x f x -=；条件乙：函数)(x f 是偶函数，则甲是乙的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16、设(,1)(2,)(4,5)A a B b C 、、为坐标平面上三点，O 为坐标原点。
杨浦高三数学试题及答案
杨浦高三数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = sinxD. y = cosx答案：B2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(-1)的值。
A. 3B. 1C. -3D. -1答案：C3. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 3}答案：B4. 已知数列{an}满足a1 = 1，an = 2an-1 + 1，求a3的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：B5. 已知直线l1: y = 2x + 1，直线l2: y = -x + 3，求两直线的交点坐标。
A. (1, 3)B. (-1, 1)C. (2, 5)D. (-2, -3)答案：A6. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3, b = 4, c = 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A7. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A8. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。
A. 1 - iB. -1 + iC. 1 + iD. -1 - i答案：A9. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。
A. (-2, 3)B. (2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)答案：B10. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的导数。
A. 3x^2 - 12x + 9B. x^2 - 12x + 9C. 3x^2 - 6x + 9D. x^3 - 6x^2 + 9答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）1. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(3)的值。
杨浦高三期末数学试卷答案
一、选择题1. 【答案】D解析：根据等差数列的性质，首项为a1，公差为d，第n项为an，则an = a1 + (n-1)d。
当an = 0时，有a1 + (n-1)d = 0，解得n = (a1/d) + 1。
由于首项a1 > 0，公差d < 0，因此n为负数，所以数列有有限项，选D。
2. 【答案】A解析：根据向量的数量积公式，a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
由于向量a和b同向，夹角θ为0度，cosθ = 1。
因此，a·b =|a||b|，选A。
3. 【答案】B解析：函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口方向由二次项系数a决定。
当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
本题中a = -1，所以开口向下，选B。
4. 【答案】C解析：根据复数的定义，复数z = a + bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数z的模长为|z| = √(a^2 + b^2)。
本题中，|z| = √(3^2 + 4^2) = 5，选C。
5. 【答案】D解析：根据概率的定义，事件A的概率P(A) = 事件A发生的次数/所有可能发生的次数。
本题中，事件A发生的次数为4，所有可能发生的次数为6，所以P(A) = 4/6 = 2/3，选D。
二、填空题6. 【答案】3/2解析：根据等比数列的性质，第二项为a1r，第三项为a1r^2，第四项为a1r^3。
由题意得，a1r + a1r^2 = 4，a1r^2 + a1r^3 = 8。
两式相除，得r = 2，代入第一式得a1 = 1，所以第二项为a1r = 1 2 = 2。
7. 【答案】-2解析：由题意得，x^2 - 4x + 3 = 0，解得x1 = 1，x2 = 3。
根据韦达定理，x1 + x2 = 4，x1 x2 = 3。
所以x1 - x2 = √[(x1 + x2)^2 - 4x1x2] = √[4^2 - 43] = √4 = 2。
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杨浦区2011学年度高三学科测试参考答案及评分标准一．填空题（本大题满分56分） 2011.12.31 1. 1-；2. 理()1,2-，文()1,0； 3. 理(]1,-∞-，文(]0,∞-；4. π12；5. 理14-，文4；6.2-；7.理0，文1；8.理0.35，文0.30； 9. 80；10. ()⎩⎨⎧≤>-=1,21,2x x x x f x；11.理 P 在圆外，文1；12. 理()2,4-，文⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22；13. 理⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log ,31log 22 ，文()2,4-； 14. 理49，文⎥⎦⎤⎢⎣⎡53log ,31log 22二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19. 【解】 设异面直线PA 与CD 所成角的大小θ， 底边长为a , 则依题意得41312=⋅⋅a ……4分 故32=a ， 62=∴AC ()76122==+=∴PA ……7分CD ∥AB ，故直线PA 与AB 所成角的大小θ为所求 ……9分721cos =∴θ721arccos=θ ． ……12分 （其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分） 20.理: （1）【解1】.由n m ⊥ 得 0=⋅ ，故()0cos cos 2=--C a A c b , ……2分 由正弦定理得()0cos sin cos sin sin 2=--C A A C B ……4分()0sin cos sin 2=+-∴C A A B ……5分3,21cos ,0sin ,0ππ=∴=≠<<A A B A ……7分 【解2】. 由()0cos cos 2=--C a A c b ，余弦定理得()022*******=-+--+-ab c b a a bc a c b c b 整理得bc a c b =-+222， 212cos 222=-+=∴bc a c b A 3,21cos ,0ππ=∴=<<A A A ． （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） （2）433sin 21==∆A bc S ABC 即34333sin 21=∴=bc bc π ……10分又A bc c b a cos 2222-+=, 622=+∴c b ……12分 故()302==∴=-c b c b 所以，ABC ∆为等边三角形． ……14分文:【解1】. 由 ()0c o s c o s 2=--C a A c b ,由正弦定理得()0c o s s i n c o s s i n s i n 2=--C A A C B ……4分()0s i nc o s s i n 2=+-∴C A A B ……5分 3,21c o s ,0s i n ,0ππ=∴=≠<<A A B A ． ……7分 【解2】. 由()0c o s c o s 2=--C a A c b ，余弦定理得()022*******=-+--+-ab c b a a bc a c b c b 整理得bc a c b =-+222， 212c o s222=-+=∴bc a c b A 3,21c o s ,0ππ=∴=<<A A A ． （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）21. （1）【解】①（理）若()3x x f =是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+，即()b x a =-322时，对R x ∈恒成立 ……2分而322b a x -=最多有两个解，矛盾，因此()3x x f =不是“Ω函数” (3)（文）若()x x f =是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+， 即()b x a =-22时，对R x ∈恒成立 ……2分而b a x -=22最多有两个解，矛盾，因此()x x f =不是“Ω函数” ……3分② 答案不唯一：如取1,0==b a ，恒有12200=-+x x对一切x 都成立， ……5分即存在实数对()1,0，使之成立，所以，()xx f 2=是“Ω函数”． ……6分 一般地：若()xx f 2=是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得b a x a xa ==⋅-+2222即存在常数对()aa 22,满足()()b x a f x a f =-⋅+，故()xx f 2=是“Ω函数”．（2）解 函数()x x f t a n=是一个“Ω函数” 设有序实数对()b a ,满足，则()()b x a x a =+⋅-tan tan 恒成立 当Z k k a ∈+=,2ππ时，()()x x a x a 2cot tan tan -=+⋅-，不是常数； ……8分因此Z k k a ∈+≠,2ππ，当Z m m x ∈+≠,2ππ时，则有b xa xa x a x a x a x a =--=-+⨯+-2222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan ， ……10分 即()0)(tan tan 1tan 222=-+-b a x a b 恒成立，所以Z k b k a b a b a a b ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅1411tan 0tan 01tan 222ππ ……13分当4,,2ππππ±=∈+=k a Z m m x 时，()()()1cot tan tan =-=+⋅-a x a x a满足()x x f tan =是一个“Ω函数”的实数对()Z k k b a ∈⎪⎭⎫⎝⎛±=,1,4,ππ ……14分 22. 理:（1）【解】由11=a ，()3231+==+n n n n a a a f a 得31,73,53432===a a a ……3分 （2）【解】由3231+=+n n n a a a 得 32111=-+n n a a ……8分所以，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为1，公差为32的等差数列 ……9分（3）【解】由（2）得()123,31213211+=+=-+=n a n n a n n ……-10分 当2≥n 时 ，⎪⎭⎫⎝⎛+--==-121121291n n a a b n n n ，当1=n 时，上式同样成立， ……12分所以⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=12112912112151313112921n n n b b b S n n因为22012-<m S n ，所以22012121129-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m n 对一切*∈N n 成立， ……14分 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121129n 随n 递增，且291211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n ，所以2201229-≤m ， 所以2021≥m ，2021min =∴m ……16分文:(1) 【解】. 由y x =2得12=p 所以 准线为41-=y ……3分 (2) 【解】. 由y x =2得12=p 所以,焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛41,0 ……4分 由A 作准线41-=y 的垂线,垂足为Q ,当且仅当三点Q A P ,,共线时,AF AP +的最小值，为425416=+, ……7分 此时A 点的坐标为()4,2 ……9分 (3)【解1】设点M 的坐标为()y x ,,BC 边所在的方程为1+=kx y (k 显然存在的), ① ……10分 又AM 的斜率为x y ,则有1-=⋅k x y ,既yxk -=代入① ……14分故M 点轨迹为)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分) ……16分【解2】设点M 的坐标为()y x ,,由BC 边所在的方程过定点)1,0(N , ……10分)1,(,),(y x MN y x AM --== ……12分 0=⋅ 0=⋅∴,所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y ……16分 (注:没写0≠x 扣1分) 23. 理:(1) 【解】. 由y x =2得12=p 所以,焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛41,0 ……3分(2) 【解1】设点M 的坐标为()y x ,,BC 边所在的方程为b kx y +=(k 显然存在的),与抛物线y x =2交于()()2211,,,y x C y x B则⎩⎨⎧=+=2xy b kx y 得02=--b kx x ,,21k x x =+b x x -=21 ……5分 又点C B ,在抛物线Γ上,故有222211,x y x y ==, 2222121b x x y y ==∴022121=+-=+=⋅∴b b y y x x 1=b 或0=b (舍)1+=∴kx y -------① ……7分又AM 的斜率为x y ,则有1-=⋅k x y ,既yxk -=代入①故M 点轨迹为)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分) ……9分 另解:由上式①过定点)1,0(P ,)1,(,),(y x y x --== 0=⋅∴, 所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y 【解2】设点M 的坐标为()y x ,,AB 方程为kx y =,由2π=∠BAC 得AC 方程为x k y 1-=,则⎩⎨⎧==2xy kx y 得()2,k k B , 同理可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1k k C ∴BC 方程为))(11(222k x kk k k k y -+-=-恒过定点)1,0(P ,)1,(,),(y x y x --== 0=⋅∴, 所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y(注:没写0≠x 扣1分)（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） (3) 【解1】若存在AB 边所在直线的斜率为2的正三角形ABC ,设),(,),(22q q B p p A ,(其中不妨设q p <), 则222=--pq p q , 2=+∴q p ------① ……11分令a AB =,则()()22222a p q p q =-+-,即()()()2222a pq p q p q =-++-将①代入得,()223a p q =-,()q p ap q <=-∴ 3-----------------② ……13分 线段AB 的中点为M ,由①, ②得M 的横坐标为222=+q p ,M 的纵坐标为()()12214222222a p q p q q p +=-++=+ ……15分又设()2,1= 由⊥得)23(,2,223123a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴21212,22222,221221,2222a a a a a a 点C 在抛物线y x =2上,则()()2212166121a a a ±=+ ,即01852=±a a , 又因为0>a , 518=∴a ……18分 【解2】设),(,),(22q q B p p A ,),(2r r CABC ∆的三边所在直线CA BC AB ,,的斜率分别是p r pr p r r q r q r q q p q p q p +=--+=--+=--222222,, ------① ……12分若AB 边所在直线的斜率为2,AB 边所在直线和x 轴的正方向所成角为()0900,<<x α,则2tan =α,所以()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+060tan 60tan ααp r r q ……14分 即536,613260tan tan 160tan tan 613260tan tan 160tan tan 0000=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=++-=+-=+p q p r r q αααα-----② 又2tan ==+αq p --------------③ ……16分所以, ()()()()[]2222221p q p q p q p q AB ++-=-+-=将②, ③代入上式得边长518=AB ……18分 （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） 文:（1）【解】由11=a ，()3231+==+n n n n a a a f a 得31,73,53432===a a a ……3分 （2）【解】由3231+=+n n n a a a 得 32111=-+n n a a ……8分所以，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为1，公差为32的等差数列 ……9分（3）【解】 由（2）得()123,31213211+=+=-+=n a n n a n n ……11分 当2≥n 时 ，⎪⎭⎫⎝⎛+--==-121121291n n a a b n n n ，当1=n 时，上式同样成立， ……13分所以⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=12112912112151313112921n n n b b b S n n因为22012-<m S n ，所以22012121129-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m n 对一切*∈N n 成立， ……16分 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121129n 随n 递增，且291211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n ，所以2201129-≤m ， 所以2020≥m ， 2020min =∴m ……18分。