高一数学 SX-10-01-011
新教材高一数学北师大版必修第一册课件第1章331不等式的性质
时，a－1aa＋1<0，有
1 a<a.
综上，当 a>1 时，a>a1；
当 a＝1 时，a＝1a；
当 0<a<1 时，a<a1.
1．利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． 注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号” 是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解 法、配方法、有理化法等．
又 a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，两边同乘a－c21b－d2，
得
1
1
0<a－c2<b－d2.
又 e<0，∴a－e c2>b－e d2.
类型 3 不等式的性质的应用
【例 3】 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b，ab的取值范围． [解] ∵15＜b＜36， ∴－36＜－b＜－15. 又 12＜a＜60， ∴12－36＜a－b＜60－15.
2.已知 a＋b>0，b<0，那么 a，b，－a，－b 的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a [答案] C
D．a>b>－a>－b
3.下列命题正确的是( )
A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2
B．a<b⇒ a< b
C．a>b 且 c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒a2>b2 [答案] A
新高一数学第十章知识点
新高一数学第十章知识点高一数学第十章主要介绍了数列与数列的极限。
数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列，而数列的极限则是数列中数值无限接近且不会超出某个特定值的概念。
1. 数列的基本概念数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
通常用a1，a2，a3...an表示。
2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设首项为a1，公差为d，则等差数列的一般项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设首项为a1，公比为q，则等比数列的一般项公式为an = a1 * q^(n-1)。
4. 数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列中的数值逐渐趋近某一个常数或无穷大。
常用极限记号lim表示。
5. 数列极限的性质数列极限的性质有极限唯一性、有界性、保号性和运算性。
其中，极限唯一性指数列只有一个极限值；有界性指数列的极限值必然在某个范围内；保号性指极限值与数列中的数符号一致；运算性指可以对数列进行四则运算。
6. 数列极限的计算方法常用的计算数列极限的方法有夹逼定理、单调有界原则、极限四则运算法则、换元法等。
7. 应用题高一数学第十章还会涉及一些数列极限的应用题。
这些应用题可以通过数列的性质和计算方法来解决。
综上所述，高一数学第十章主要介绍了数列与数列的极限。
了解数列的基本概念、等差数列和等比数列的特点，掌握数列极限的计算方法和性质，以及运用这些知识解决应用题，对于提高数学综合能力和解题能力都具有重要意义。
通过不断练习和巩固这些知识，可以为今后的学习打下坚实的基础。
2022-2023学年陕西省榆林市第十中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年陕西省榆林市第十中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知30α=，则下列四个角中与角α终边相同的是（ ）A ．390B ．210C ．150D ．330【答案】A【分析】根据终边相同的角的表示即可求解.【详解】与30α=终边相同的角的集合为：{}30360,k k Z αα︒=+⋅∈，令1k =，得390α=；故选：A.2．命题“0x ∀≠，2x x+≥的否定是（ ）A ．0x ∀≠，2x x +<B ．0x ∃=，2x x+≥C ．0x ∃≠，2x x+<D ．0x ∃=，2x x+<【答案】C【分析】全称命题的否定是特称命题，按规则否定即可【详解】命题“0x ∀≠，2x x+≥的否定是：0x ∃≠，2x x+< 故选：C3．如果角98πα=，那么下列结论中正确的是（ ） A ．sin cos 0αα<< B ．cos 0sin αα>> C ．sin 0cos αα>> D ．cos sin 0αα<<【答案】D【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】由题知，sin sin sin 088ππαπ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，cos cos cos 088ππαπ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，又cossin88ππ>， ∴cossin88ππ-<-，∴cos sin 0αα<<.故选：D.4．“22log log a b >”是“a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由2log x 的单调性可知22log log a b >即有a b >，而反过来不一定成立，即可判断是否为充要条件【详解】根据对数函数单调性知：22log log a b a b >⇒>，但22log log a b a b >>∴“22log log a b >” 是“a b >”的充分不必要条件 故选：A【点睛】本题考查了充分条件，应用两个结论将其中一个作为条件推导出的结论是否为另一个来判断是否为充分、必要条件5．著名的Dirichlet 函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，则(())D D x 等于（ ）A ．0B ．1C ．10x x ⎧⎨⎩，为无理数，为有理数D ．10x x ⎧⎨⎩，为有理数，为无理数【答案】B【分析】由题意可知()D x 为有理数，从而可求出(())D D x 的值.【详解】解：∵1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，即D (x )∈{0，1}，∴D (x )为有理数， ∴(())D D x ＝1. 故选：B ，【点睛】此题考查分段函数求值问题，对于定义域不同的区间上，函数表达式不同的分段函数，在求值时一定要代入对应的自变量的范围内求解，属于基础题.6．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y （只）与引入时间x （年）的关系为()2log 1y a x =+，若该动物在引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到（ ） A ．300只 B ．400只C ．600只D ．720只【答案】D【分析】根据题意求得()2180log 1y x =+，当15x =时即可求解.【详解】由题知，该动物的繁殖数量y （只）与引入时间x （年）的关系为()2log 1y a x =+， 当1,180x y ==代入()2log 1y a x =+得，()2180log 11a =+，得180a =， 所以()2180log 1y x =+，所以当15x =时，()2180log 1511804720y =+=⋅=， 所以15年后它们发展到720只. 故选：D7．已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后， 得到函数 ()g x 的图象， 若()g x 的图象关于原点对称， 则 ϕ=（ ） A ．3πB ．4π C ．6π D ．12π 【答案】C【分析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，即得.【详解】由题可知2()2cos 22cos 233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于原点对称， 所以2,Z 32k k ππϕπ-=+∈，因为02πϕ<<，所以6πϕ=．故选：C.8．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，若对于0x ≥时，都有()()2f x f x +=-，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20212022f f -+等于（ ）A ．1B ．-1C ．2log 6D ．23log 2【答案】A【分析】由已知确定函数的递推式，利用递推式与奇偶性计算即可． 【详解】当0x ≥时，(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以当0x ≥时，(4)()f x f x +=，所以(2021)(2017)(1)f f f ===又()f x 是偶函数，(2)(0)f f =-，所以()()20212022(2021)(2022)(1)(2)f f f f f f -+=+=+22log (11)(0)1log (01)1f =+-=-+=． 故选：A ．二、多选题9．若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图象一定过（ ）象限． A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四【答案】ABC【分析】根据指数函数的图像与性质，再利用函数图像平移变换即可得解. 【详解】当1a >时，函数x y a =单调递增，过一二象限， 由10b -<<，则函数x y a b =+向下平移b 个单位， 由01b <<所以x y a b =+经过一二三象限， 故选：ABC10．下列命题中错误．．的有（ ） A ．若a b >且0ab ≠，则11a b<B ．若a b >且0ab ≠，则b a a b> C ．若a b >，则()()2222a ab b a b +>+D ．若0a b >>，则11a b a b+>+ 【答案】ABD【分析】利用特殊值法及不等式运算法则即可求解. 【详解】对于A ：取1a =，1b时，11a=，11b =-，此时：11a b <不成立，故错误；对于B ：取1a =，1b时，1b a a b==-，此时：b aa b >不成立，故错误；对于C ：a b >，∴220a b +>∴()()2222a a b b a b +>+，故正确；对于D ：取2a =，12b =时， 1152a b a b +=+=，此时：11a b a b+>+不成立，故错误； 故选：ABD.11．若方程()lg 21x x +=的实根在区间(),1k k +()k ∈Z 上，则k 的值可能为（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．0【答案】AB【分析】依据方程的根与零点的对应关系转化为函数的零点来证明，可构造函数1()lg(2)f x x x=+-，由零点的存在性定理验证．【详解】0x =不是方程()lg 21x x +=的实根,所以方程lg(2)1x x +=即方程1lg(2)x x+=， 分别作出函数lg(2)y x =+和1y x=的图像 ，从图像上可得出：方程1lg(2)x x+=在区间(2,1)--和(1,2)内各有一个实根． 下面证明：方程1lg(2)x x+=在区间(2,1)--和(1,2)内各有一个实根， 即证函数1()lg(2)f x x x =+-在区间(2,1)--和(1,2)内各有一个零点，函数1()lg(2)f x x x=+-在区间(1,2)是增函数，又()lg310f =-<1， ()12lg4lg41002f =-=-，即()()120f f ⋅<，由零点存在性定理知，函数1()lg(2)f x x x=+-在区间(1,2)内仅有一个零点，即方程1lg(2)x x+=在区间(1,2)内有且仅有一个实根，同理得函数1()lg(2)f x x x=+-在区间(2,1)--是增函数，当x 趋近于-2时，()0f x <，(1)0f ->， 则有函数1()lg(2)f x x x=+-在区间(2,1)--内仅有一个零点， 即方程1lg(2)x x+=在区间(2,1)--内有且仅有一个实根.所以方程lg(2)1x x +=在区间(2,1)--和(1,2)内各有一个实根，则k 的值可能为-2或1. 故选：AB ．12．已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列命题中正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的定义域为()ππ|,28k x x R x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．()f x 图象的对称中心为ππ,048k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．()f x 的单调递增区间为πππ3π,2828k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z【答案】ACD【分析】根据正切函数的图象及性质解决即可. 【详解】由题知，函数()πtan 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为ππ2T ω==，故A 正确；()f x 的定义域满足ππ2π42x k -≠+，即()3ππ,82k x k ≠+∈Z 所以()f x 的定义域为()π3π|,28k x x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z ，故B 错误； ()f x 图象的对称中心应满足ππ242k x -=，即ππ48k x =+，k ∈Z 所以()f x 图象的对称中心为ππ,048k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故C 正确；()f x 的单调递增区间应满足ππππ2π242k x k -+<-<+，即πππ3π2828k k x -<<+，k ∈Z ,所以()f x 的单调递增区间为πππ3π,2828k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故D 正确；故选：ACD三、填空题13．计算：232lg42lg5log 88+++=______．【答案】9【分析】由指数、对数运算公式可得结果.【详解】222332223322lg 42lg 5log 88lg 4lg 5log 2(2)lg(45)32lg107279+++=+++=⨯++=+=+=故答案为：9.14．函数()()lg tan 1f x x =-的定义域为______． 【答案】πππ,π42k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k ∈Z【分析】根据对数函数真数大于0，正切函数图象性质解决即可.【详解】由题知，()()lg tan 1f x x =-，所以tan 10ππ2x x k ->⎧⎪⎨≠+⎪⎩，即ππππ42ππ2k x k x k ⎧+<<+⎪⎪⎨⎪≠+⎪⎩，解得πππ,42k x k k π+<<+∈Z ， 所以函数()()lg tan 1f x x =-的定义域为πππ,π42k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k ∈Z故答案为：πππ,π42k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k ∈Z15．已知sin 2sin 1cos2ααα+=-，()0,πα∈，则sin 2α=______．【答案】34##0.75【分析】已知等式用倍角公式化简得1sin cos =2αα-，两边同时平方可求得sin 2α.【详解】已知sin 2sin 1cos2ααα+=-，由倍角公式可得()222sin cos sin 112sin 2sin ααααα+=--=，()0,πα∈，∴sin 0α≠，有2cos 12sin αα+=，即1sin cos =2αα-，两边同时平方得221sin 2sin cos +cos =4αααα-，即11sin 2=4α-，所以3sin 24α=. 故答案为：3416．已知函数()()2cos f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 图象上所有的点向左平移π12个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为______．【答案】2cos y x =【分析】根据图象求得()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有的点向左平移π12个单位长度，得ππ2cos 22cos 2126y x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得2cos y x =，即可解决.【详解】由题知，函数()()2cos f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，所以1πππ43124T =-=，即πT =所以2ω=，所以()()2cos 2f x x ϕ=+， 因为图象经过点π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以ππ2cos 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π02π,6k k ϕ+=+∈Z ， 因为π2ϕ<， 所以π6ϕ=-， 所以()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有的点向左平移π12个单位长度， 得ππ2cos 22cos 2126y x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得2cos y x =，所以所得函数图象的解析式为2cos y x =， 故答案为：2cos y x =四、解答题17．已知全集为R ，集合{}12A x x =≤≤，{B x x m =<或}21,0x m m >+>. (1)当2m =时，求A B ⋂；(2)若RA B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}12x x ≤<(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据2m =，求出集合B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果； （2）先求出R B ，再根据R A B ⊆，可得1221m m ≤⎧⎨≤+⎩，求解不等式即可. 【详解】（1）解：当2m =时，{2B x x =<或}5x >， 又{}12A x x =≤≤，所以{}12A B x x ⋂=≤<；（2）因为{B x x m =<或}21,0x m m >+>，所以{}R 21B x m x m =≤≤+， 又R A B ⊆，所以1221m m ≤⎧⎨≤+⎩，解得112m ≤≤，即1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以实数m 的取值范围1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．已知()()()()()()sin πcos 2πtan tan πsin πf αααααα---=+--．(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且3π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值．【答案】(1)()cos f αα=-(2)()f α=【分析】（1）利用诱导公式直接化简；（2）利用诱导公式化简，利用同角三角函数的关系求值. 【详解】（1）()()()()()()sin πcos 2πtan sin cos tan =cos tan πsin πtan sin f αααααααααααα----⋅⋅==-+--⋅．（2）∵31cos sin 25παα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴1sin 5α=-，又α是第三象限角，∴cos α=，故()cos f αα=-．19．已知函数()g x 是()xf x a =（0a >且1a ≠）的反函数，且()g x 的图象过点32⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)比较()0.3f ，()0.2g ，()1.5g 的大小．【答案】(1)()2xf x =，()2log g x x =(2)()()()0.3 1.50.2f g g >>【分析】（1）利用反函数的定义即可求解； （2）代入数值，与中间变量“1”、“0”作比较即可.【详解】（1）∵函数()g x 是()x f x a =（0a >且1a ≠）的反函数，∴()log a g x x =（0a >且1a ≠）．∵()g x 的图象过点32⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3log 2a =， ∴32a =，解得2a =．∴()2xf x =，()2log g x x =．（2）∵()0.300.3221f =>=，()20.2log 0.20g =<，又()221.5log 1.5log 21g =<=， 且()221.5log 1.5log 10g =>=， ∴()0 1.51g <<，∴()()()0.3 1.50.2f g g >>．20．已知函数()224f x x x m =++(1)若不等式()0f x ≤的解集为空集，求m 的取值范围 (2)若0m >，()0f x <的解集为(),a b ，82a b+的最大值【答案】(1)()2,+∞(2)9-【分析】（1）由不等式()0f x ≤的解集为空集等价于2240x x m ++>恒成立，结合∆<0，即可求解；（2）根据题意转化为,a b 是方程2240x x m ++=的两个实根，得到2a b +=-，0ab >，结合()821821281022a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()224f x x x m =++，不等式()0f x ≤的解集为空集等价于()2240f x x x m =++>恒成立，即1680m ∆=-<，解得2m >，即m 的取值范围为()2,+∞．（2）若0m >，()0f x <的解集为(),a b ，所以()=0f x 有两个不同实根,a b ，即,a b 是方程2240x x m ++=的两个实根，故2a b +=-，02m ab =>， 故,a b 同为负值，则()82182128110109222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=-++=-++-+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≤， 当且仅当28a b b a =时，即43a =-，23b =-时等号成立， 故82a b+的最大值为9-． 21．已知函()223mx f x x n+=+数是奇函数，且f (2)＝53. (1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值．【答案】（1）实数m 和n 的值分别是2和0；（2）max min 45(),()33f x f x =-=-. 【详解】试题分析: 已知函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见考试题，由于函数是奇函数，则()()f x f x -=-，又f(2)=53，列方程组解出m ，n ，求出函数的解析式，有了函数的解析式可以利用定义研究函数的单调性，也可借助对勾函数研究函数的单调性，也可借助导数研究函数的单调性，进而求函数在某区间上的最值.试题解析：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴222222333mx mx mx x n x n x n+++=-=-++-- . 比较得n ＝－n ，n ＝0.又f (2)＝53，∴42563m +=，解得m ＝2. 因此，实数m 和n 的值分别是2和0.(2)由(1)知f (x )＝22222333x x x x+=+ . 任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)1212(1)3x x -=(x 1－x 2)·12121x x x x - . ∵－2≤x 1＜x 2≤－1时，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数， 因此f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53. 【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见问题之一，有直接使用奇偶性定义，利用待定系数法求解析式，还有给出x<0的解析式，求x>0部分的解析式；求函数在某闭区间上的最值问题需要研究函数的单调性，可借助对勾函数研究函数的单调性，也可借助导数研究函数的单调性，进而求函数在某区间上的最值.22．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωφωφπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值3；当712x π=时，()f x 取得最小值-3. （1）求函数()f x 的单调递减区间.（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2()1h x f x m =+-有两个零点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）)1,7⎡⎣ 【分析】（1）根据函数的性质求出函数的解析式()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解不等式即可求解. （2）将函数转化为1sin 236m x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭有两个不同的实数根，即sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与16m y -=的图像有两个不同的交点，数形结合即可求解.【详解】（1）由题意可得3A =，周期7221212T πππω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，2ω∴=由22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，πϕπ-<<，可得3πϕ=， 故函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 故函数的减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()2()1h x f x m =+-有两个零点，， 故1sin 236m x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭有两个不同的实数根， 即函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与16m y -=的图像有两个不同的交点， 作出函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭大致图像，由22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦可知136m ⎡⎫-∈⎪⎢⎪⎣⎭，解得)331,7m ⎡∈⎣. 【点睛】本题考查了求三角函数的解析式、求三角函数的单调区间、根据函数的零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想、数形结合的思想，属于基础题.。
山西大学附中2022-2021学年高一上学期10月模块诊断 数学 Word版含答案
山西高校附中2022~2021学年第一学期高一（10月）月考数学试题（考查时间：80分钟）一、选择题（每小题4分，满分40分） 1．下列命题正确的是 （ ） A ．很小的实数可以构成集合.B ．集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合.C ．自然数集N 中最小的数是1.D ．空集是任何集合的子集.2、集合{}3,2,1的真子集共有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个3、下列给出的几个关系中：①{}{,}a b ∅⊆ ②{(,)}{,}a b a b = ③{,}{,}a b b a ⊆ ④{0}∅⊆，正确的有（ ）个A.0个B.1个C.2个D.3个 4．下列哪组中的两个函数是相等函数（ ）A. ()4444)()(x x g x x f ==， B. 2)(24)(2-=+-=x x g x x x f ， C. ⎩⎨⎧<>==0,10,1)(1)(x x x g x f ， D.33)()(x x g x x f ==，5. 已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+-=≤+≤-=22321,3121x x x B x x A ，则B A 等于( ) A. {}01<≤-x x B. {}10≤<x x C ．{}20≤≤x x D ．{}10≤≤x x 6．已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N M ( )A ．),1[+∞-B ．]2,1[-C ．),2[+∞D ．φ7．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．138．直角梯形OABC 中OC AB //，1=AB ，2==BC OC ，直线t x l =:截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ，则函数)(t f S =的图像大致为（ ）a a 的取值范围（ ） A ．1≥a B ．21≤≤a C ．2≥a D ．21<≤a10.假如集合B A ,，同时满足}1{},1{},1{},4,3,2,1{≠≠=⋂=⋃B A B A B A ,就称有序集对()B A ,为“好集对”。
陕西省石泉县江南高级中学高中数学必修一：1.1集合及其表示1+教案+
元素与集合的关系有两种:
如果a是集A的元素，记作:
如果a不是集A的元素，记作：
例如，用A表示“1~20以内所有的质数”组成的集合，则有3∊A，4∉A，等等。
列举常用数集：
自然数集(非负整数集) N
列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用大括号｛｝括起来表示.
描述法：把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子描述出来并用大括号｛｝括起来表示.
通过实例，引导学生理解集合的基本概念。
引出集合的元素三个特征，并通过例子让学生理解。并提醒学生注意在解决问题的同时，要检验集合中的元素是否符合元素的“三特征”
点集圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合)
线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合),等等.
“请我们班所有的女生起立！”，咱们班所有的女生能不能构成一个集合？
“请我们班身高在1.70米的男生起立！”，他们能不能构成一个集合？
其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等。大家能不能再举一些生活中的实际例子呢？
高一（5）班：刚接触，感觉二班基础比一班差一些，反应慢一些，但是目前学生的学习积极性还算可以。
三维目标
知识与能力：
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
过程与方法：
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识.
陕西省师大附中2010-2011学年高一上学期期末考试数学试题
陕西师大附中2010—2011学年度第一学期期末考试高一年级（数学《必修一、二、五》）试题一． 选择题(本大题共12题,每小题4分,共48分) 1.下列函数中，与函数1y x=有相同定义域的是（ ） A.()||f x x = B.1()f x x =C.()ln f x x =D.()xf x e =2.在等比数列{}n a 中，201120088a a = ，则公比q 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 83.函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 34.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于（ ）A ．6 B ．7 C ．8 D ．95.若0a b >>,则下列不等式中一定成立的是（ ） A.11b b a a +>+ B.11a b b a +>+ C.11a b b a->- D.22a b a a b b +>+ 6.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示:则该几何体的俯视图为（ ）DC BA7.若不等式210kx kx --<的解是全体实数,则实数k 的取值范围是（ ） A. 40k -<< B. 40k -<≤ C. 4k <-或0k > D. 4k <-或0k ≥ 8.下列说法正确的是（ ）①过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线； ④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一 平面内的无数条直线.A. ①和②④B. ②和③④C. ①和③D. ①和④9.数列}{n a 的前n 项和为n S ，若)(23*N n a S n n ∈+=，则这个数列一定是（ ）A ．等差数列B ．等比数列C.从第二项起是等差数列D.从第二项起是等比数列 10.函数2log log (2)x y x x =+的值域是（ ）A.(,1]-∞-B.[3,)+∞C.[1,3]-D.(,1][3,)-∞-+∞11.设不等式组(2)(5)0()0x x x x a --≤⎧⎨-≥⎩与不等式(2)(5)0x x --≤解集相同,则实数a 的取值范围是（ ）A. ()5,+∞B. (),2-∞C. (],5-∞D.(],2-∞ 12.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 成立的x 的取值范围是（ ）A.（13，23）B. ［13，23）C.（12，23）D. ［12，23）二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)13.在b 克糖水溶液中，有a 克糖（0>>a b ），若再添加m 克糖（0m >）,则糖水溶液变的更甜了，根据这一事实可提炼出的一个不等式为 .14.在数列{}n a 中，12a =,11ln(1)n n a a n+=++，则n a = .15.函数213log (3)y x x =-的单调递减区间是 .16.若长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则该长方体对角线的长是 .17.已知整数对的排列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…….则第60个数对为 .三、解答题(本大题共4小题,，共47分)18.（本小题满分11分）如图所示：在三棱锥P ABCD -中，已知ABCD 为正方形, PD ⊥平面ABCD ,PD AB =,E ,F ,G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(Ⅰ)求证：PA EF ⊥；P GFE DC BA(Ⅱ)求证：//FG PAB 平面.19．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n N ∈*．(Ⅰ)证明数列{}n a n -是等比数列；(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S .21．（本小题满分12分）已知函数2()x f x ax b=+（a 、b 为常数），且方程()120f x x -+=有两个实根1x 、2x ,其中13x =，24x =. (Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)设1k >，解关于x 的不等式(1)()2k x kf x x+-<-.陕西师大附中2010-2011学年度第一学期 期末考试高一年级数学试题参考答案一、选择题（每小题4分,共48分）二、填空题（每小题5分，共25分）13．mb ma b a ++<14.2ln n + 15．(3,)+∞ 16．617. （5，7）三、解答题（4小题，共47分）18．（本小题满分11分）如图所示：在三棱锥P ABCD -中，已知ABCD 为正方形, PD ⊥ 平面ABCD ,PD AB =,E ,F ,G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(Ⅰ)求证：PA EF ⊥； (Ⅱ)求证：//FG PAB 平面.解答提示：(Ⅰ)可先证CD PAD ⊥平面进而CD PA ⊥ 可证结论成立. ………5分 (Ⅱ)可先证明//EFG PAB 平面平面进而证明//FG PAB 平面. …………11分19.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n N ∈*．(Ⅰ)证明数列{}n a n -是等比数列； (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S . 解：(Ⅰ)证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n N ∈*．又 111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列；…6分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+.……………12分 20.（本小题满分12分）某种汽车，购车费用为10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费为0.9万元，年维修费用第一年为0.2万元，以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？ 解：设使用x 年的平均费用最少.由于“年维修费用第一年为0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列P GFE DC BA因此，汽车使用x 年的维修费用为0.20.22xx +万元. ………6分 设汽车的年平均费用为y 万元，则有0.20.2100.92xx x y x+++==2100.1x x x ++=10110xx ++1012310x x ≥+•= 当且仅当1010xx =，即10x =时，y 取最小值. 答 汽车使用10年的平均费用最少. ……………12分21.（本小题满分12分）已知函数2()x f x ax b=+（a 、b 为常数），且方程()120f x x -+=有两个实根12,x x ,其中13x =，24x =.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设1k >，解关于x 的不等式(1)()2k x kf x x+-<-.解：（Ⅰ）将2123,4120x x x x ax b==-+=+分别代入方程，得 99,31684.a ba b⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩ 解得，1,2.a b =-⎧⎨=⎩ ∴ 2()(2)2x f x x x=≠-；（Ⅱ）不等式即为22(1)(1),0222x k x k x k x kx x x+--++<<---可化为， 即 (2)(1)()0.x x x k --->。
绍兴新高一数学知识点归纳
绍兴新高一数学知识点归纳一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数是一种映射关系，将自变量的值与因变量的值一一对应。
函数的定义域、值域、图像等是函数的基本属性。
常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
2. 一次函数与二次函数一次函数的图像为直线，方程形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
二次函数的图像为抛物线，方程形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
3. 指数函数与对数函数指数函数的形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
对数函数与指数函数是互逆的关系，对数函数的形式为y = logₐx，其中a为底数，x为真数。
4. 方程的解和方程组的解方程的解是使方程成立的未知数的值。
方程组的解是使所有方程都成立的一组未知数的值。
可以通过代入法、消元法和图像法等方法求解方程和方程组。
二、数列与数列极限1. 等差数列与等差数列的性质等差数列是指相邻两项之差相等的数列，通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差。
常见等差数列的性质有前n 项和公式、通项和求法和求等差中项等。
2. 等比数列与等比数列的性质等比数列是指相邻两项之比相等的数列，通项公式为an = a₁ * r^(n - 1)，其中a₁为首项，r为公比。
常见等比数列的性质有前n 项和公式、通项和求法和求等比中项等。
3. 数列极限的概念与性质数列极限是指数列趋向于一个确定的有限数或无穷大的过程。
数列的极限存在性分为有界数列和单调有界数列，常用的收敛准则有夹逼定理、单调有界数列定理等。
三、几何与三角函数1. 平面几何的基本概念平面几何的基本概念包括点、直线、线段、角、多边形等。
平面几何的相关性质有等角共分线段、平行线性质和相似三角形等。
2. 三角函数与三角恒等式三角函数是以角为自变量的函数，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的性质包括周期性、奇偶性和反函数等。
高一数学 SX-10-01-011
高一数学 SX-10-01-0112．1 平面向量的实际背景及其基本概念导学案编写人：陈鹏跃审核人：邱志波编写时间：2009-11-15【学习目标】1.通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清楚数量与向量的区别。
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平面向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出某一已知向量的相等向量。
【学习重点】掌握并理解向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。
【学习难点】平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系。
【学法指导】通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清楚数量与向量的区别。
【知识链接】向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量【学习过程】一．预习自学1．物理学中我们学习了位移、速度、加速度、力等物理量，回顾这与我们学习过的长度、面积、体积、质量等有什么不同之处？而位移、速度、加速度、力这些量又有什么共同点？2．向量的有关概念：（1）向量：既有，又有的量叫做向量。
（2）向量的模：有向线段AB的长度，表示向量AB的大小，也叫做向量AB的（或），记作。
（3）零向量：长度为的向量叫做零向量，记作。
（4）单位向量：长度等于的向量叫做单位向量。
（5）相等向量：且的向量叫做相等向量。
（6）平行向量（共线向量）：方向的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量，向量a平行于b，记作，规定：零向量与平行。
3．向量的表示方法：（1）用有向线段的几何表示法：○1有向线段：带有的线段叫做有向线段，它包含三要素、、。
○2向量的几何表示法：以A为、B为的有向线段记为AB，如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB。
（2）字母表示：可用字母表示向量，手写时通常写成带箭头的小写字母。
4、通过上上面的学习你知道向量和数量有何不同？向量和有向线段有何关系？二．新知探究例1．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了40海里，这时接到求救信号，在艇正东方向40海里有一艘渔船抛锚需要救助，试求：（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程;（2）选择适当的比例，用向量表示这个人的位移；巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移大小及方向。
苏教版高中数学必修一常州西夏墅函数的概念学案
江苏省常州市西夏墅中学高一数学《函数概念》学案一、学习目标：1理解函数的概念，掌握函数是特殊的数集之间的对应； 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； 二、课前预复习：1．正方形的边长为a ，则正方形的周长为 ，面积为 ．2．在初中，我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系，如何定义函数？常见的函数模型有哪些？如图，A (－2，0)，B (2，0)，点C 在直线y ＝2上移动．则△ABC 的面积S 与点C 的横坐标x 之间的变化关系如何表达？面积S 是C 的横坐标x 的函数么？ 三、问题解决1．复述初中所学函数的概念；2．阅读课本21页的问题（1）、（2）、（3），并分别说出对其理解； 3．举出生活中的实例，进一步说明函数的对应本质． 4．用集合的语言分别阐述21页的问题（1）、（2）、（3）； 问题1 某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示，试根据函数图象回答下列问题：（1）这一变化过程中，有哪几个变量？（2）这几个变量的范围分别是多少？ 问题2 略．问题3 略（详见21页）．2．函数：一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f (x )，x ∈A ．其中，所有输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域．（1）函数作为一种数学模型，主要用于刻画两个变量之间的关系； （2）函数的本质是一种对应；（3）对应法则f 可以是一个数学表达式，也可是一个图形或是一个表格（4）对应是建立在A 、B 两个非空的数集之间．可以是有限集，当然也就可以是单元集，如f (x )＝2x ，(x ＝0)．3．函数y ＝f (x )的定义域：（1）每一个函数都有它的定义域，定义域是函数的生命线；（2）给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的集合，如果没 有指明定义域，那么就认为定义域为一切实数．例1．判断下列对应是否为集合A 到 B 的函数：（1）A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{2，4，6，8，10}，f ：x →2x ； （2）A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{0，2，4，6，8}，f ：x →2x ； （3）A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝N ，f ：x →2x ．例2 求下列函数的定义域：（1）f (x )＝x -1；（2）g(x )＝x ＋1＋1x.例3 下列各组函数中，是否表示同一函数？为什么？ A ．y ＝x 与y ＝(x )2； B ．y ＝x 2与y ＝3x 3；C ．y ＝2x －1(x ∈R)与y ＝2t －1(t ∈R)；D ．y ＝x ＋2·x －2与y ＝x 2－4四、练习反馈：1、判断下列对应是否为函数： （1）x →2x，x ≠0，x ∈R ；（2）x →y ，这里y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R . 2、课本24页练习1～4，6．五、课堂小结六、课后巩固 基础达标：1．根据例1（2）中的图象可知，函数2()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈的值域为 ；2. 直线1x =与抛物线21y x =+的交点有个；直线()x a a R =∈与抛物线21y x =+的交点可能有 个；3. 函数()f x x =与2()x g x x=的图象相同吗？答： ．4. 对于集合{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，有下列从A 到B 的三个对应：①12x y x →=；②13x y x →=；③x y x →=；其中是从A 到B 的函数的对应的序号为 ； 5. 函数3()|1|2f x x =+-的定义域为3. 函数f(x)=x －1（x z ∈且[1,4]x ∈-）的值域为6.判断下列对应是否为函数： （1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中 （2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈；（3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤ （4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤．7.求下列函数的定义域：(1)；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ；（3）1()2f x x=+-8．求函数1()11f x x=+的定义域。
2020-2021学年山西省长治市第十中学高一数学理模拟试题含解析
2020-2021学年山西省长治市第十中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 到直线的距离为2的直线方程是. （）A. B. 或C. D. 或参考答案：B略2. 若集合A={y|0≤y＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩（?R B）=（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|1≤x＜2} C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|0≤x＜1}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵A={y|0≤y＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，全集R，∴?R B={x|x≤﹣1或x≥1}，则A∩（?R B）={x|1≤x＜2}．故选：B．3. 已知函数，正实数a、b、c是公差为正数的等差数列，且满足，若实数d是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中一定不成立的是（）A. ①B. ②③C. ①④D. ④参考答案：D 【分析】先判断出函数的单调性，分两种情况讨论：①；②。
结合零点存在定理进行判断。
【详解】在上单调减，值域为，又。
（1）若，由知，③成立；（2）若，此时，①②③成立。
综上，一定不成立的是④，故选：D。
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，考查自变量大小的比较，解题时要充分考查函数的单调性，对函数值符号不确定的，要进行分类讨论，结合零点存在定理来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题。
4. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】连接AC，BD，则AC⊥BD，证明AC⊥平面BDD1，可得AC⊥BD1，利用EF∥AC，即可得出结论．【解答】解：连接AC，底面是正方形，则AC⊥BD，几何体是正方体，可知∴BD⊥AA1，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面CC1AA1，∵CE?平面CC1AA1，∴BD⊥CE，∴异面直线BD、CE所成角是90°．故选：D．5. 已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣参考答案：B解：∵，∴==﹣2，而﹣2＜0，∴f（﹣2）=3﹣2=．∴=．故选B．6. 直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2B．2C． D．1参考答案：B【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=由直线与圆相交的性质可知，即∴故选B7. 定义某种运算，运算原理如图所示，则式子的值为A．4 B．8 C．11 D．13参考答案：D略8. 若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合Q不可能是（）A．{y|y=x2，x∈R} B．{y|y=2x，x∈R} C．{y|y=lgx，x＞0} D．?参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】根据P∩Q=Q可得Q?P，由已知中集合P={y|y≥0}，分别判断四个答案中的集合是否满足要求，比照后可得答案．【解答】解：∵集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，∴Q?P∵A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，满足要求B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，满足要求C={y|y=lgx，x＞0}=R，不满足要求D=?，满足要求故选C9. 为了使函数y= sinωx（ω>0）在区间[0,1]是至少出现50次最大值，则的最小值是( )(A)98π (B)π(C) π (D) 100π参考答案：B略10. 设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 含有三个实数的集合既可表示为，则=．参考答案：-112. 计算：的值等于参考答案：13. 函数的定义域是_______________.参考答案：略14. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_____________.（从小到大排列）参考答案：1,1,3,3由已知不妨假设，则，又因为标准差等于，所以，且都是正整数，观察分析可知这组数据只可为：1，1，3，3．15. 一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为参考答案：16.给出以下四个结论：①若函数的定义域为[1,2]，则函数的定义域是[4,8]；②函数（其中，且）的图象过定点(1,0)；③当时，幂函数的图象是一条直线；④若，则的取值范围是；⑤若函数在区间(－∞,1]上单调递减，则的取值范围是 [1,+∞).其中所有正确结论的序号是 .参考答案：①④⑤17. 已知函数f （x ）=，则f （f （2π））= ．参考答案：1【考点】函数的值．【分析】先求出f （2π）=0，从而f （f （2π））=f （0），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f（2π）=0，f （f （2π））=f （0）=1．故答案为：1．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
山西省长治市西川底中学高一数学理上学期期末试卷含解析
山西省长治市西川底中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.A． B． C． D．参考答案：C2. 化简（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.【详解】故答案选A【点睛】本题考查了向量的加减法，属于简单题.3. 已知设函数，则的最大值为（）（A）1 (B) 2 (C) (D)4参考答案：C4. 已知平面向量，，与垂直，则A． B． C． D．参考答案：A5. 已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】由函数的最值求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,从而得出结论.【详解】根据函数的图象求出函数的周期,然后可以求出,通过函数经过的最大值点求出值,即可得到函数的解析式.由函数的图象可知:,.当,函数取得最大值1,所以,，故选D.6. 为了得到函数y=4cos2x的图象，只需将函数y=4cos(2x+)的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，可得y=4cos[2（x﹣）+]=4cos2x的图象，故选：D．7. 对于非零向量，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则在上的投影为C. 若，则D．若，则参考答案：C8. 不等式的解集为（）A. (0,2)B. (－2,0)∪(2,4)C. (－4,0)D. (－4,－2) ∪(0,2)参考答案：D1<|x+1|<3?1<|x+1|2<9即即，解得x∈(?4,?2)∪(0,2)本题选择D选项.9. 已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故②错误；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故③错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．10. 设，在同一直角坐标系中，函数与的图象是参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于函数成立的所有常数M 中,我们把M 的最大值叫做的下确界,则对于不全为0,的下确界是参考答案：12. .下列命题中，错误的命题是_____（在横线上填出错误命题的序号）．（1）边长为1的等边三角形ABC 中，；（2）当时，一元二次不等式对一切实数都成立；（3）△ABC 中，满足的三角形一定是直角三角形；（4）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若，则的最小值为．参考答案：（1）（3） 【分析】直接利用向量的数量积计算，一元二次不等式恒成立问题解法，三角函数关系式的变换，余弦定理的应用，基本不等式的应用求出结果．【详解】解：对于选项（1）边长为1的等边三角形中，由于：，所以错误，对于选项（2）当时，一元二次不等式对一切实数都成立， 故：，解得：，当时，恒成立．故：，由于：．故（2）正确．．对于选项（3）中，满足，故：或，所以：或所以：三角形不一定是直角三角形；故（3）错误． 对于选项（4）中，角所对的边为，若， 所以：故：．故（4）正确． 故选（1）（3）．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的应用，平面向量的数量积的应用，余弦定理和基本不等式的应用及一元二次不等式恒成立问题，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 13. 在体积相等的正方体、球、等边圆锥这三个几何体中，表面积最大的是 。
高一数学 SX-10-01-020
高一数学S X–10–01–020《平面》导学案主备:余齐新审核:审批：时间:姓名:_______ 班级:________组别:_______ 组名:________【学习目标】1、正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质；2、熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,熟练点线面关系符号语言的书写，会解决一些简单的几何问题.【重点难点】●重点：平面基本性质的三条公理及其作用●难点：（1）对平面基本性质的三条公理的理解．（2）确定两相交平面的交线．【知识链接】大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.【学习过程】阅读教材40—41页内容，回答问题（平面的基本知识）：<1>怎样理解平面这一基本的几何概念的？<2>平面的画法与表示法是如何的呢？<3>如何描述点与直线、平面的关系？阅读教材第41-42页内容，然后回答问题（三个公理）<4>在实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上任意两点放到桌上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上.由这个经验，你能总结归纳出公理一吗？公理1：文字语言符号语言、图形语言<5>生活中，我们常常可以看到这样的景象：三角架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪，你能由此总结归纳出公理二吗？公理2：文字语言符号语言、图形语言<6>阅读教材42页思考内容：把三角板的一个角立在课桌上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点？为什么？也就是说如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？由此你能总结归纳出公理三吗？公理3：文字语言符号语言、图形语言【基础达标】A1、比较下面两幅图的区别A2、看图填空（1）AC∩BD=（2）平面AB1∩平面A1C1=（3）平面A1C1CA∩平面AC=（4）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=（5）平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=（6）A1B1∩B1B∩B1C1=A3、一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．（作图说明）A4、下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵αα∈∈BA,，∴α∈AB．B．∵βα∈∈aa,，∴a=βα ．C．∵α⊂∈aaA,，∴Aα∈．D．∵α⊂∉aaA,，∴α∉A．其中命题和叙述方法都正确的是（）（作图说明）αβαβA1 CB5、点A 平面BCD，,,,E F G H分别是,,,AB BC CD DA上的点，若EH与FG交于P（这样的四边形ABCD就叫做空间四边形）求证：P在直线BD上C6、证明：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内（提示：先写出已证，求证，并作图）【小结】【当堂检测】用符号表示下列语句，并画出图形1、三个平面αβγ相交于P，且平面α与平面β相交于PA，且平面β与平面γ相交于PC，且平面α与平面γ相交于PB。
北京师大附中10-11学年高一数学上学期期末考试新人教A版
北京师大附中2010—2011学年度第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）说明：1．本试卷分第I 卷（模块卷，100分）和第II 卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟．2．请将答案填写在答题纸上，考试结束后，监考人员只将答题纸收回．一、 选择题（4＇×10＝40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题纸上．1．角α的终边上有一点)2,1(-，则αsin = （ ）A.55-B.552-C.55D.552 2．已知1sin ,tan 03αα= <，则cos α的值是 ( ）(A ) 13-(B )13(C ) 223-(D )2233．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a //b ，则tan α＝ （ ）（A ）43 (B)－43 (C)34 (D) －344．如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是（ ）A. 增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C. 减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5- 5．已知函数)5sin(3π+=x y 的图像为C ，为了得到函数)5sin(3π-=x y 的图像，只需把C 上所有的点（ ）A ．向左平行移动5π个单位； B ．向右平行移动5π个单位 C ．向左平行移动52π个单位 D ．向右平行移动52π个单位6．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 （ ）A.1B.1或4；C.4D.2或4 7．函数sin()(0)62y x x ππ=+≤≤的值域是 ( )A.[1,1]-B. 1[,1]2C. 13[,]2 D.3[,1] 8．如图，□ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b ，则下列结论中正确的是 （ ） （A ）AB ＋BD ＝a －b （B ）BC ＋AC ＝b （C ）BD ＝a ＋b（D ）AD －BA ＝a ＋b9．下列说法：①若0,a b a c a b c ⋅=⋅≠=r r r r r r r r 且则 ②若0,0,0a b a b ⋅===r r rr r r 则或③△ABC 中，若AB BC 0⋅>u u u r u u u r，则△ABC 是锐角三角形④△ABC 中，若AB BC 0⋅=u u u r u u u r，则△ABC 是直角三角形其中正确的个数是 （ ） (A )0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3 10．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π2 二、填空题（4＇×5＝20分）：请将答案填在答题纸上．11．设向量a ρ与b ρ的夹角为θ，且)3,3(=a ρ，)2,1(b ρ，则=θcos ______．12．函数⎩⎨⎧->-≤+=)1(,)1(,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x= ___. 13．已知向量a =(2,0)， b =(1,)x ，且a 、b 的夹角为3π，则x =_______． 14．（1）计算：16cos()3π-=___________________； （2）已知1sin 2α=，]2,0[πα∈，则=α___________ 15．已知52cos()3sin()22tan 2,4sin(2)9cos()x x x x x ππππ--+= =-++则_________．北京师大附中2010——2011学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷（答题纸）班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______二、填空题11．______________________________ 12．______________；________________ 13．______________________________ 14．_______________；_______________ 15．______________________________三、解答题16. 已知向量,满足：||1,||2||a b a b = =r r r r＝，－ （1）求|2|;a b r u u r －（2）若(2)a b ka b +⊥r r r r)（－，求实数k 的值．17. 已知函数m x x f ++=)42sin(2)(π的图象经过点,24π⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求实数的m 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及此时x 的值的集合； （III ）求函数()f x 的单调区间.18. 已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求cos2α．北京师大附中2010——2011学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷第II 卷（综合卷）班级_______ 姓名_______ 学号_______一、填空题（5＇×2＝10分）1．函数]65,3[,3sin 2cos )(2ππ∈++=x x x x f 的最小值是_________．2．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共40分）3．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
山西省长治市第十中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析
山西省长治市第十中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列的前项和为，已知，，则( )A．B．C．D．参考答案：C2. 将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，若用分层抽样方法抽取容量为200的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（）A. 20B. 40C. 60D. 100参考答案：B【分析】求出丙层所占的比例，然后求出丙层中抽取的个体数【详解】因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，所以丙层所占的比例为，所以应从丙层中抽取的个体数为，故本题选B.【点睛】本题考查了分层抽样中某一层抽取的个体数的问题，考查了数学运算能力.3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )参考答案：D略4. 在中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若，则角B为（）A B C 或 D 或参考答案：A略5. （5分）函数的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：D考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的是R上的减函数，且图象经过定点（0，），结合所给的选项，可得结论．解答：由于函数的是R上的减函数，且图象经过定点（0，），结合所给的选项，只有D满足条件，故选：D．点评：本题主要考查利用函数的单调性、以及图象经过定点，判断函数的图象特征，属于基础题．6. 将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度数是A．B．C．D．参考答案：C 7. （5分）函数f（x）=2x+3x﹣7的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：B考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（1）?f（2）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）=2x+3x﹣7的零点所在的区间．解答：∵函数f（x）=2x+3x﹣7，∴f（1）=﹣2＜0，f（2）=3＞0，f（2）?f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得，函数f（x）=2x+3x﹣7的零点所在的区间是（1，2），故选：B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．8. 若平面向量，，且，则（）A. 2或10B. 2或C. 2或D. 或10参考答案：A由，所以，解得x=-1或x=3,当x=-1时，当x=3时，，选A.9. 下列各图中，可表示函数y=(x)的图象的只可能是 ( )参考答案：D10. 函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1、x2、x3，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设则.参考答案：812. 已知向量，若点不能构成三角形，则实数的取值为____________．参考答案：13. 已知当时，函数（且）取得最小值，则时，a的值为__________．参考答案：3【分析】先将函数解析式利用降幂公式化为，再利用辅助角公式化为，其中，由题意可知与的关系，结合诱导公式以及求出的值。
山西省长治市赤石桥乡中学2023年高一数学文联考试题含解析
山西省长治市赤石桥乡中学2023年高一数学文联考试题含解析专业课理论基础部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设A是集合P(A)的一个子集，那么A叫做集合P(A)的一个（）。
A. 元素B. 集合C. 子集D. 超集2.若|A|表示集合A的元素个数，那么|A ∩ B|表示集合A与集合B的（）。
A. 并集元素个数B. 交集元素个数C. 子集元素个数D. 超集元素个数3.函数f(x)的定义域是R，值域是[0，+∞)，则f(x)的单调性是（）。
A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数4.若矩阵A的行列式|A|=0，则A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 是对角矩阵D. 是单位矩阵5.某程序段的流程图是程序的（）。
A. 算法描述B. 逻辑结构C. 物理结构D. 数据结构二、判断题（每题1分，共5分）1.集合P(A)的子集一定包含集合A的所有元素。
（）2.若A={x|x=2n+1,n∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，则A∪B=R。
（）3.函数f(x)=x^3在R上单调递增。
（）4.若矩阵A与矩阵B相似，则|A|=|B|。
（）5.算法的基本结构有顺序结构、选择结构、循环结构三种。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.集合A={x|x=2k,k∈Z}，则A的补集是______。
2.若函数f(x)在[a,b]上连续，则在(a,b)内有______。
（罗尔定理）3.若有矩阵A=|a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|则A的行列式|A|=______。
（三阶行列式的定义）4.设函数f(x)在[a,b]上可导，f(a)=m，f(b)=n，则存在c∈(a,b)，使得f’(c)=______。
（拉格朗日中值定理）5.设线性方程组Ax=b的解集为N，则N的表示方法为______。
（线性方程组的解集）四、简答题（每题2分，共10分）1.简述集合的基本运算。
2.什么是函数？简述函数的性质。
2021-2021学年山西大学附中高一上学期10月(总第一次)模块诊断数学试题 PDF版
B = 山西大学附中2020~2021 学年第一学期高一年级 10 月(总第一次)模块诊断数 学 试 题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 A = {-1,1, 2}, 集合 B ={1,2,3,4} ，则集合 A （）A. {1,2}B. {-1,1, 2}C. {1, 2, 3}D. {-1,1, 2, 3, 4}2. 下列集合表示同一集合的是( ) A. M = {(2, 3)}, N = {(3, 2)}B. M = {2, 3}, N = {3, 2}C. M ={( x , y ) y = x +1}, N = {y y = x +1}D. M = {y = x 2 +1}, N = {y y = x 2 +1}3. 命题“ ∃x ∈ R , x 2 + 2x + 2 ≤ 0 ”的否定是（）A. ∀x ∈ R , x 2 + 2x + 2 > 0B. ∀x ∈ R , x 2 + 2x + 2 ≤ 0C. ∃x ∈ R , x 2 + 2x + 2 > 0D. ∃x ∈ R , x 2 + 2x + 2 ≥ 04. 不等式 x 2 - 7x < 0 的解集是（ ） A. {x x < -7 或 x > 0}C. {x -7 < x < 0}B. {x x < 0 或 x > 7}D. {x 0 < x < 7}5. 如果实数a , b , c 满足： a > b > c ，则下列不等式一定成立的是（ ）A. ac 2 > bc 2B. a 2 > b 2 > c 2C. a + c > 2bD. a - c > b - c6. 设全集U 是实数集 R ，M = {x x 2 > 4}, N = {x 1 < x < 3}, 则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. {x -2 ≤ x < 1} C. {x 1 < x ≤ 2}B. {x -2 ≤ x ≤ 2} D. {x x < 2}7. 设集合 M = {1, 2} ，则满足条件 M N = {1, 2, 6} 的集合 N 的个数是 A.1B.3C.2D.48. 已知不等式ax 2 + bx + 2 > 0 的解集是{x -1 < x < 2}，则a + b 的值为 A.1B.-1C.0D.-29. 设集合 A = {x 1 < x < 2}, B = {x x < a }，若 A B = A ，则a 的取值范围是 A. {a a ≤ 2}B. {a a ≤ 1}C. {a a ≥ 1}D. {a a ≥ 2}10. 命题“ ∀x ∈{x |1 ≤ x ≤ 2}, 2x 2- a ≥ 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. a ≤ 1B. a ≤ 2C. a ≤ 3D. a ≤ 411. 已知 x > 0, y > 0, x + 9 y = 3, 则 1 + 1的最小值为（）x yA.16B. 4C.16 D.20 3312. 已知集合 A = {x | -2 < x < 3}, B = {x | m < x < m + 9}，若 A B ≠∅ ，则实数m 的取值范围是（ ）A.{m | m < 3}B.{m | m ≥ -11}C.{m | -11 ≤ m ≤ 3}D.{m | -11 < m < 3}二、填空题（每题 4 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上）13. 设集合 A ={2, x , x 2}，若1∈ A ，则 x 的值为.14. “不等式 x 2 - x + m > 0 在 R 上恒成立”的充要条件是.15.若 x > 1 ，则4x +1x -1的最小值等于 .2 ⎬16. 已知集合 A = {x x 2 +px +1 = 0}，M = {x x > 0}，若 A M =∅ ，则实数 p 的取值范围是.三、解答题（本大题共 4 小题，共 48 分）17. 已知集合 A = {x 1 < x < 3} ， B = {x 2m < x < 1- m }(1) 当 m = -1时，求 A B ;(2) 若 A ⊆ B ，求实数m 的取值范围18.（本小题 12 分）设集合 M = {x ( x + a )( x -1) ≤ 0}(a > 0) ， N = {x 4x 2 - 4x - 3 < 0}（I ） 若 M（II ） 若(C R M )-2 ≤ x < 3 ⎫ ，求实数 a 的值；⎭N = R ，求实数 a 的取值范围.N = ⎧x ⎨ ⎩19.已知集合A = {x 2 -a ≤x ≤ 2 +a}, B = {x x ≤ 1或x ≥ 4}，（I）当a = 3 时，求A B ；（II）若a > 0 ，且“ x ∈A ”是“ x ∈C R B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20.（本小题12 分）某小区内有如图所示的一矩形花坛，现将这一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，过点C 点。
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高一数学 SX-10-01-011
2．1 平面向量的实际背景及其基本概念导学案
编写人： 陈鹏跃 审核人：邱志波 编写时间：2009-11-15
【学习目标】1.通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以
及确定平面向量的两个要素，搞清楚数量与向量的区别。
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平面向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会
辨认图形中的相等向量或作出某一已知向量的相等向量。
【学习重点】掌握并理解向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。
【学习难点】平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系。
【学法指导】通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及
确定平面向量的两个要素，搞清楚数量与向量的区别。
【知识链接】向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量
【学习过程】
一．预习自学
1．物理学中我们学习了位移、速度、加速度、力等物理量，回顾这与我们学习过的长度、
面积、体积、质量等有什么不同之处？而位移、速度、加速度、力这些量又有什么共同点？
2．向量的有关概念：
（1）向量：既有 ，又有 的量叫做向量。
（2）向量的模：有向线段AB 的长度，表示向量AB 的大小，也叫做向量AB 的 （或 ），记作 。
（3）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 。
（4）单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量。
（5）相等向量： 且 的向量叫做相等向量。
（6）平行向量（共线向量）：方向 的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量，向量a 平
行于b ，记作 ，规定：零向量与 平行。
3．向量的表示方法：
（1）用有向线段的几何表示法：
○
1有向线段：带有 的线段叫做有向线段，它包含三要素 、 、 。
○
2向量的几何表示法： 以A 为 、B 为 的有向线段记为AB ，如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说
向量AB 。
（2）字母表示：可用字母 表示向量，手写时通常写成带箭头的小写字母。
4、通过上上面的学习你知道向量和数量有何不同？向量和有向线段有何关系？
二．新知探究
例1．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了40海里，这时接到求救信号，在艇正东方向40海里有一艘渔船抛锚需要救助，试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程;
（2）选择适当的比例，用向量表示这个人的位移；巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移大小及方向。
;
例2．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA 、OB 、OC 相等的向量。
变式练习：如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形
（1）写出与ED 相等的向量；
（2）若||3AB ，求向量EC 的模。
三.课堂检测
1．判断正误：
（1）向量必须用有向线段表示 （ ）
（2）表示一个向量的有向线段是唯一的 （ ）
（3）若向量a 与b 同向，且||||a b > ，则a b > （ ）
（4）单位向量都相等 （ ）
（5）向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上 （ ）
（6）共线的向量，起点不同，则终点一定不同 （ ）
（7）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB DC = （ ）
2．非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量
相等吗？
四.归纳小结
五.课外作业
1．已知下列命题：○
1a b = ，b c = ，则a c = ；○2若//a b ，//b c ，则//a c ；○3若a b = ，则//a b ；○4若//a b ，则a b = 其中正确命题的序号是 。
2．已知四边形ABCD 是矩形，设点集{},,,M A B C D =,集合{}
|,T PQ P Q M P Q =∈ 、且、不重合，则T = 。
3．把一切单位平面向量共起点，那么这些向量的终点所构成的图形是 。
4．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40
走了200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点。
（1）作出向量AB 、BC 、CD ;
（2）求||AD 。
5．如图所示，四边形ABCD 中AB DC = ，N 、M 是AD 、BC 上的点，且CN MA = 。
求证：DN MB =
平面向量的实际背景及其基本概念参考答案
典型概念:
例1、80海里 海里 东北
例2、OA CB DO == O B D C E O == O C A B E D F O
=== 练习： （1）ED AB DC == （2）||6EC =
课堂检测：
1、错 错 错 错 错 错 对
2、||||AB BA 相等 不相等 课外作业：
1、○1○3
2、{}
,,,,,,,AC CA BD DB AB BA AD DA 3、圆
4、（1）略 （2）200km
5、证明： ,||||//,ABCD ||||,DA//CB,CN MA,|CN ||MA |CN//MA,CNAM |CM ||NA |,|DN ||MB |,MB AB DC AB DC AB CD DA CB DN =∴=∴∴==∴=∴∴=∴= 且四边形是平行四边形，且且四边形是平行四边形，又和方向相同，DN MB ∴= 。