2017-2018学年北师大版必修五 正、余弦定理的综合应用 课件(43张)
数学北师大版必修5检测：习题课2 正弦定理、余弦定理的综合应用
习题课 正弦定理、余弦定理的综合应用课后篇巩固探究1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin 2A+sin 2C-sin 2B=√3sin A sin C ,则角B 为( ) A.π6B.π3C.π2D.π4解析:由正弦定理可得a 2+c 2-b 2=√3ac ,所以cos B=a 2+c 2-b22ac=√3ac 2ac =√32,所以B=π6.答案:A2.在△ABC 中,若sin 2A+sin 2B>sin 2C ,则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不能确定 解析:由正弦定理及sin 2A+sin 2B>sin 2C可得a 2+b 2>c 2.由cos C=a 2+b 2-c 22ab 可知cos C>0,又因为0<C<π,所以C 为锐角,但不能说明△ABC 为锐角三角形. 答案:D3.已知在△ABC 中,A=30°,AB=√3,BC=1,则△ABC 的面积等于( ) A.√32B.√34C.√32或√3D.√32或√34解析:由正弦定理得√3sinC =1sin30°,所以sin C=√32,所以C=60°或C=120°.所以B=90°或B=30°,所以S △ABC =12AB ·BC ·sin B=√32sin B=√32或√34.故选D . 答案:D4.已知在锐角三角形ABC 中,BC=1,B=2A ,则AC 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[0,2] C.(0,2] D.(√2,√3) 解析:由题意得{0<π-3A <π,0<2A <π2⇒π6<A<π4,由正弦定理ACsinB =BCsinA 得AC=2cos A. 因为A ∈(π,π),所以AC ∈(√2,√3). 答案:D 5.如图,在四边形ABCD 中,已知AD ⊥CD ,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC 的长为( ) A.8√2 B.9√2 C.14√2 D.8√3解析:在△ABD 中,设BD=x ,则BA 2=BD 2+AD 2-2BD ·AD ·cos ∠BDA ,即142=x 2+102-2·10x ·cos 60°,整理得x 2-10x-96=0,解得x 1=16,x 2=-6(舍去).由正弦定理得BC sin∠CDB =BD sin∠BCD ,所以BC=16sin135°·sin 30°=8√2. 答案:A6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若b 2+c 2=a 2+bc ,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,则△ABC 的面积等于( ) A.4√3B.2√33C.√3D.2√3解析:由b 2+c 2=a 2+bc ,得b 2+c 2-a 2=bc ,则cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,因为0<A<π,所以A=60°. 又bc=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗cosA=8, 所以S △ABC =12bc sin A=12×8×√32=2√3.故选D . 答案:D 7.导学号33194047如图,为了测量A ,C 两点间的距离,选取同一平面上的B ,D 两点,测出四边形ABCD 各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B 与∠D 互补,则AC 的长为( ) A.7 kmB.8 kmC.9 kmD.6 km解析:在△ABC 中,由余弦定理,得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B ,即AC 2=25+64-2×5×8cos B=89-80cos B.在△ADC 中,由余弦定理,得AC 2=AD 2+DC 2-2AD ·DC cos D ,即AC 2=25+9-2×5×3cos D=34-30cos D.因为∠B 与∠D 互补,所以cos B=-cos D ,所以-34-AC 230=89-AC 280,解得AC=7(负值舍去),故选A . 答案:A8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边的长分别为a ,b ,c ,若a=√7,b=3,c=2,则A= ,△ABC 的面积为 . 解析:由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=9+4-72×3×2=12,因为A ∈(0,π),所以A=π3.所以△ABC 的面积为12bc sinA=12×3×2×√32=3√32. 答案:π3 3√329.如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使得C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ,测得∠BDC=45°,则塔AB 的高度为 米.解析:设塔AB 的高度为x 米,根据题意可知在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x 米.从而BC=√33x 米,在△BCD 中,CD=10米,∠BCD=90°+15°=105°,∠BDC=45°,则∠CBD=30°. 由正弦定理可得,BC=CD ·sin∠BDCsin∠CBD =10sin45°sin30°=10√2(米). 所以√33x=10√2,所以x=10√6, 故塔AB 的高度为10√6米. 答案:10√6 10.导学号33194048在△ABC 中,若B=60°,AC=√3,则AB+2BC 的最大值为 .解析:A+C=120°⇒C=120°-A,A∈(0°,120°).BC sinA =ACsinB=2⇒BC=2sin A,AB sinC =ACsinB=2⇒AB=2sin C=2sin (120°-A)=√3cos A+sin A,所以AB+2BC=√3cos A+5sin A=√28sin (A+φ)=2√7sin (A+φ),其中tan φ=√35,故最大值是2√7.答案:2√711.已知正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别在边AB,BC,CA上,D为AB的中点,DE⊥DF,且DF=√3DE,则∠BDE=.解析:如图,设∠BDE=θ.在△BDE中,由正弦定理知ED sin60°=BDsin(120°-θ),所以DE=√3,同理,在△ADF中,DF=√3.所以DF=sin(120°-θ)=√3,整理得tan θ=√3,因为0°<θ<180°,所以θ=60°.答案:60°12.导学号33194049在△ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,且2a sin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.解(1)因为2a sin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,所以根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,所以cos A=b 2+c 2-a 2=-1,又0<A<π,所以A=2π3.(2)由(1)知a 2=b 2+c 2+bc ,根据正弦定理得sin 2A=sin 2B+sin 2C+sin B ·sin C , 即sin 2B+sin 2C+sin B ·sin C=34①, 又已知sin B+sin C=1②, 联立①②解得sin B=sin C=12, 又已知B+C=π-A=π3,所以0<B<π3,0<C<π3,所以B=C=π6. 故△ABC 的形状是等腰三角形. 13.导学号33194050(2017天津高考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a sin A=4b sin B ,ac=√5(a 2-b 2-c 2). (1)求cos A 的值; (2)求sin(2B-A )的值.解(1)由a sin A=4b sin B ,及a sinA =bsinB ,得a=2b.由ac=√5(a 2-b 2-c 2),及余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 2=-√55ac =-√5.(2)由(1),可得sin A=2√55,代入a sin A=4b sin B ,得sin B=asinA 4b =√55. 由(1)知,A 为钝角,所以cos B=√1-sin 2B =2√55. 于是sin 2B=2sin B cos B=45, cos 2B=1-2sin 2B=35,故sin(2B-A )=sin 2B cos A-cos 2B sin A=45×(-√55)−35×2√55=-2√55.14.已知甲船正在大海上航行.当它位于A 处时获悉,在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C 处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达. (1)试问乙船航行速度的大小.(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,结果精确到1°).解(1)设C 与B 的距离为x 海里,所用时间为2010=2(小时),则x 2=AC 2+AB 2-2AB ·AC cos120°=102+202+2×20×10×12=700,所以x=10√7,v 乙=10√72=5√7(海里/小时),所以乙船航行速度为5√7海里/小时.(2)设∠ACB=θ,则x =20√732=20,则sin θ=√217≈0.655,得θ≈41°,所以乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B 处救援.由Ruize收集整理。
高中数学 第二章 正、余弦定理在实际生活中的应用典型例题素材 北师大版必修5
第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
2018年高中数学北师大版必修5课件：1.1.3 正弦、余弦定理的综合应用
题型 1
正弦、余弦定理的综合应用
【例 1】 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，且 b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a＝ 3，b＝1，求角 B 的大小．
解：(1)由题知： b2＋c2－a2 bc 1 cosA＝ 2bc ＝2bc＝2， π 又∵∠A 是△ABC 的内角，∴∠A＝3. a b (2)由正弦定理：sinA＝sinB， 3 1× 2 b· sinA 1 ∴sinB＝ a ＝ ＝2. 3 又∵b<a，∴∠B<∠A.又∠B 是△ABC 的内角， π ∴∠B＝6.
D．等腰或直角三角形
3 【例 4】 在△ABC 中，AB＝ 2，BC＝1，cosC＝4. →· → 的值． (1)求 sinA 的值；(2)求BC CA
→ 与CA → 的夹角． 易错分析：易把角 C 看成是BC
3 7 解：(1)在△ABC 中，由 cosC＝4，得 sinC＝ 4 . 14 AB BC 又由正弦定理sinC＝sinA，得 sinA＝ 8 .
1．1.3 正弦、余弦定理的综合应用
【学习目标】
1．熟练掌握正弦定理、余弦定理及其公式的变形公式，并 能解决一些简单的三角形度量问题． 2．能够利用已知的数量关系判定三角形的形状．
1．三角形中边与角之间的关系 (1)在△ABC 中，若最大角 C 为锐角，则 cosC____0，△ABC > 锐角 三角形． 为________ (2)若最大角 C 为直角，则 cosC______0，△ ABC 为________ ＝ 三角形． (3)若最大角 C 为钝角，则 cosC______0，△< ABC 为________ 三角形． 钝角 直角
北师大版高中数学必修五第二章解三角形2.1.2.2正弦定理与余弦定理的综合应用课件
∵a<c,∴A<60°,∴A=30°.
答案:30°
sin ������
sin ������
2
-5-
第2课时 正弦定理与余弦定理的综合应用
题型一 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 应用正、余弦定理解三角形 【例 1】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=3,c= 3 3, ������ = 30° , 解此三角形. 分析:由余弦定理列出以边长a为元的方程,求出边长a,再利用正 弦定理及三角形内角和定理求A,C. 解 :由余弦定理 ,得 b2=a2+c2-2accos B , 即 32=a2+(3 3)2 − 2 × 3 3������ × cos 30° , 化简得 a2-9a+18=0,解得 a=6 或 a=3.
-7-
第2课时 正弦定理与余弦定理的综合应用
题型一 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练 1】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a= 3 + 1, ������ = 2, ������ = 75° , 求������, ������和������的值.
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
正弦定理与余弦定理 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,外接圆半径为R,
高中数学必修五北师大版 正、余弦定理的综合应用 课件(43张)
＜ 0 ，即
x2－2x－3＜0，解得－1＜x＜3， 综上可得：1＜x＜3.
归纳升华 (1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论 求出相应角的余弦值，若值为正，则角为锐角；若值为负， 则角为钝角．思路清晰，结果唯一． (2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的 关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
正、余弦定理的综合应用
[学习目标] 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题． 2.能够利用已知的数量和 关系判断三角形的形状．
[知识提炼· 梳理] 1．三角形内的角的函数关系 在△ABC 中，边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C， 则有：
sin C ，cos (A＋B)＝_______ －cos C， (1)sin (A＋B)＝_______
C A＋B cosC A＋B sin 2 ． 2 ，cos (2)sin ＝______ ＝______ 2 2
2．正弦定理及其变形 a b c 2R． (1) ＝ ＝ ＝___ sin A sin B sin C
2Rsin B ，c＝_________ 2Rsin A，b＝_________ 2Rsin C ． (2)a＝_________
解析：A：已知两角及类边三角形完全确定，故仅有 一组解；B：已知两边及夹角，三角形也完全确定故仅有 一组解；
a C ：已知两边及一边的对角，由正弦定理： ＝ sin A b 14 16 8 2 4 2 ， ＝ ，sin B＝ ＝ ，则 B 可以为锐角 sin B 2 sin B 14 7 2 或钝角(因为 a＞8 2且 a＜16)；D：因角 A＝120° ，与大 边对大角矛盾，故无解． 答案：C
高中数学(北师大版)必修五教案：2.1 知识归纳：正余弦定理在解决三角形问题中的应用
- 1 - / 2正余弦定理在解决三角形问题中的应用知识点归纳：1．正弦定理： 形式一：R 2Csin c B sin b A sin a ===； 形式二：R 2a A sin ＝；R 2b B sin ＝；R 2c C sin ＝；（角到边的转换） 形式三：A sin R 2a ⋅=，B sin R 2b ⋅=，C sin R 2c ⋅=；（边到角的转换） 形式四：B sin ac 21A sin bc 21C sin ab 21S ===；（求三角形的面积） 解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
若给出A ,b a ，那么解的个数为：无解（A sin b a <）；一解（A sin b a A sin b a ≥=或者）；两解（b a A sin b <<）；2．余弦定理：形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3、角平分线定理：DCAD BC AB = ；其中BD 为角B 的角平分线。
规律方法总结：1、要正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解。
2、两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式。
3、记住一些结论：1,,,sin 2A B C A B C S ab C π++==均为正角；等。
4、余弦定理的数量积表示式：cos ||||BA CA A BA CA ⋅=。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 解三角形
[学习目标] 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．知识点一 正弦定理及其变形 1.a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . 2．a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ．(化角为边) 3．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(化边为角)知识点二 余弦定理及其推论1．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(边角互化)2．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 知识点三 解三角形的几类问题和解法在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有 (1)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ， tan(A ＋B )＝－tan_C ，(2)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值例1 如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC＝17. (1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长． 解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，∠ADC ∈(0，π2)，所以sin ∠ADC ＝437，所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC ·cos B －cos ∠ADC ·sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437 ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.反思与感悟 应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理．当题目中出现多个三角形时，应注意弄清每一个三角形中的边角关系，并分析这几个三角形中的边角之间的联系．跟踪训练1 如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________． 答案3解析 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝18＋9－2·32·3·223＝3.∴BD ＝ 3.题型二 判断三角形的形状例2 在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状． 解 由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B ，得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ，所以c 2＋b 2＝a 2，所以△ABC 是以A 为直角的直角三角形． 又因为b ＝a sin C ，所以b ＝a ·ca ，所以b ＝c ，所以△ABC 也是等腰三角形． 综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．反思与感悟 (1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化．但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定． (2)常用的几种转化形式：①若cos A ＝0，则A ＝90°，△ABC 为直角三角形； ②若cos A <0，则△ABC 为钝角三角形；③若cos A >0且 cos B >0且cos C >0，则△ABC 为锐角三角形； ④若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则C ＝90°，△ABC 为直角三角形； ⑤若sin A ＝sin B 或sin(A －B )＝0，则A ＝B ，△ABC 为等腰三角形；⑥若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝90°，△ABC 为等腰三角形或直角三角形．跟踪训练2 在△ABC 中，cos A ＝45，且(a －2)∶b ∶(c ＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状．解 由已知设a －2＝x ，则b ＝2x ，c ＋2＝3x ， 所以a ＝2＋x ，c ＝3x －2，由余弦定理得cos A ＝4x 2＋(3x －2)2－(x ＋2)24x (3x －2)＝45.解得x ＝4，所以a ＝6，b ＝8，c ＝10， 所以a 2＋b 2＝c 2，所以三角形为直角三角形． 题型三 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求A 的度数．(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．解 (1)由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72及A ＋B ＋C ＝180°，得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2 A ＋1＝72，4(1＋cos A )－4cos 2 A ＝5，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0， ∴(2cos A －1)2＝0， 解得cos A ＝12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .∵cos A ＝12，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12，化简并整理，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，所以32－(3)2＝3bc ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3，bc ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.反思与感悟 本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A ＋B ＋C ＝180°，求出A ，并利用余弦定理列出关于b 、c 的方程组．跟踪训练3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝65ac .求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值．解 由已知a 2＋c 2－b 22ac ＝35，所以cos B ＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B ＝1＋35＋2×35×45＝6425.题型四 有关创新型问题例4 已知x >0，y >0，且x 2－xy ＋y 2＝1，求x 2－y 2的最大值与最小值． 解 构造△ABC ，使AB ＝1，BC ＝x ，AC ＝y ，C ＝60°， 由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ， ∴1＝x 2＋y 2－xy ，即x ，y 满足已知条件， 由正弦定理得x sin A ＝y sin B ＝1sin 60°＝233.∴x ＝233sin A ，y ＝233sin B ，x 2－y 2＝43(sin 2A －sin 2B )＝23(1－cos 2A －1＋cos 2B ) ＝23(cos 2B －cos 2A ) ＝23[cos(240°－2A )－cos 2A ] ＝23(－32cos 2A －32sin 2A ) ＝－233sin(2A ＋60°)．∵0°<A <120°，∴60°<2A ＋60°<300°， 当2A ＋60°＝90°时，x 2－y 2有最小值－233.当2A ＋60°＝270°时，x 2－y 2有最大值233.反思与感悟 解答此类题目，我们可以根据条件，构造三角形，利用正弦、余弦定理将问题予以转化．如本题中将x 2－y 2转化为三角恒等变换及y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域的问题． 跟踪训练4 已知x 、y 均为正实数，且x 2＋y 2－3＝xy ，求x ＋y 的最大值．解 构造△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为x ，y ，3，C ＝60°，由余弦定理知x 2＋y 2－3＝xy ，即x 、y 满足已知条件． ∵x sin A ＝y sin B ＝3sin 60°＝2， ∴x ＝2sin A ，y ＝2sin B ， ∴x ＋y ＝2(sin A ＋sin B ) ＝2[sin A ＋sin(120°－A )] ＝2(sin A ＋32cos A ＋12sin A ) ＝23(32sin A ＋12cos A ) ＝23sin(A ＋30°)．∵0°<A <120°，∴当A ＝60°时，x ＋y 有最大值2 3.约分忽略因式为0的情况致误例5 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋b a ＝cos B ＋cos Acos B ，试判断三角形的形状．错解 由已知得1＋b a ＝1＋cos Acos B ，即a cos A ＝b cos B .由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)， ∴c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为直角三角形．错因分析 利用余弦定理把角转化成边之间的关系，其思路是正确的，但在结果的判断上出现了严重的失误，由(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0得a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，而不是a ＝b 且a 2＋b 2＝c 2. 正解 由已知得1＋b a ＝1＋cos Acos B ，即a cos A ＝b cos B .由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．误区警示 在转化的过程中，一定要注意转化的合理性与等价性．跟踪训练5 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C 得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.(2)由(1)得a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由正弦定理得 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . ∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，又sin B ＋sin C ＝1，∴sin B ＝sin C ＝12，∵B 、C ∈(0°，90°)，∴B ＝C ＝30°， ∴△ABC 为等腰三角形．1．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1＜c ＜3 B ．2＜c ＜3 C.5＜c ＜3 D ．22＜c ＜3答案 C解析 在钝角△ABC 中，由于最大边为c ，所以角C 为钝角．所以c 2＞a 2＋b 2＝1＋4＝5，即c ＞5，又因c ＜a ＋b ＝1＋2＝3，所以5＜c ＜3.2．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得 2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， 又∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形．3．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 答案 D解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B ) ＝7×5×(－1935)＝－19，故选D.4．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )， 又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.5．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形．答案 等边解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴sin A cos B －sin B cos A ＝0， ∴sin(A －B )＝0，∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形．1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．2．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解．。
最新-高中数学 217正、余弦定理的应用举例复习学案 北师大版必修5 精品
2.2.2正、余弦定理的应用举例知识梳理1.实际问题数学模型推演理算实际问题的解数学模型的解抽象概括还原说明−→−−−−−−←−−−−−2. 解斜三角形的应用问题，通常需根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解，其中建立数学模型的方法是我们的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的。
3. 解题应根据已知合理选择正余弦定理，要求算法简洁、算式工整、计算准确。
典例剖析题型一 正、余弦定理在几何中的应用例1如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值解：设∠POB ＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得：PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ ∴ｙ＝Ｓ△OPC ＋Ｓ△PCD ＝θsin 2121⨯⨯＋43(5－4cos θ) ＝2sin(θ－3π)＋435 ∴当θ－3π＝2π即θ＝65π时，ｙmax ＝2＋435评述：本题中余弦定理为表示△PCD 的面积，从而为表示四边形OPDC 面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式 sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β的构造及逆用，应予以重视题型二 正、余弦定理在函数中的应用例2 如图，有两条相交成60 角的直线XX '、YY '，交点是O ，甲、乙分别在OX 、OY 上，起初甲离O 点3千米，乙离O 点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿XX ' 方向，乙沿Y Y '方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？ 解：（1）设甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则2222cos 60AB OA OB OA OB =+-⋅ X X 'Y Y '∙B QP O A ∙∙ ∙2213123172=+-⨯⨯⨯=，．（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P Q 、， 则4AP t =，4BQ t =，当304t ≤≤时，2222(34)(14)2(34)(14)cos 6048247PQ t t t t t t =-++--+=-+ ；当34t >时，2222(43)(14)2(43)(14)cos12048247PQ t t t t t t =-++--+=-+ ，所以，PQ =（3）22214824748()44PQ t t t =-+=-+，∴当14t =时，即在第15分钟末，PQ 最短。
高中数学 第二章 正、余弦定理在实际生活中的应用典型例题素材 北师大版必修5
正、余弦定理在实际生活中的应用正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.1.测量中正、余弦定理的应用例1 某观测站C 在目标A 南偏西25︒方向，从A 出发有一条南偏东35︒走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ∆，求角B .再解ABC ∆，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）.解：由图知，60CAD ∠=︒. 22222231202123cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===⋅⨯⨯，sin 31B =. 在ABC ∆中，sin 24sin BC B AC A ⋅==. 由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅.即2223124224cos60AB AB =+-⋅⋅⋅︒.整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）.故15AD AB BD =-=（千米）.答：此人所在D 处距A 还有15千米.评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.2.航海中正、余弦定理的应用例2 在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30︒方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？ A CD 31 21 20 35︒ 25︒ 东 北分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求CD 的方位角及由C 到D所需的航行时间.解：设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，则有CD =，10BD t =.在ABC △中，∵1AB =，2AC =，4575120BAC ∠=︒+︒=︒，根据余弦定理可得BC ==.根据正弦定理可得2sin120sin AC ABC BC ︒∠===. ∴45ABC ∠=︒，易知CB 方向与正北方向垂直，从而9030120CBD ∠=︒+︒=︒. 在BCD △中，根据正弦定理可得：sin 1sin 2BD CBD BCD CD ∠∠===， ∴30BCD =︒△，30BDC ∠=︒，∴BD BC ==则有10t =0.245t ==小时14.7=分钟. 所以缉私船沿北偏东060方向，需14.7分钟才能追上走私船.评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.3.航测中正、余弦定理的应用例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为180km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为'1830︒，经过120秒后又看到山顶的俯角为81︒，求山顶的海拔高度（精确到1m ）.分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在ABM ∆和Rt BMD ∆中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.解：设飞行员的两次观测点依次为A 和B ，山顶为M ，山顶到直线的距离为MD .如图，在ABM △中，由已知，得 A B D M45︒75︒30︒A C D B1830'A ∠=︒，99ABM ∠=︒，6230'AMB ∠=︒. 又12018066060AB =⨯=⨯（km ）, 根据正弦定理，可得6sin1830'sin 6230'BM ︒=︒， 进而求得6sin1830'sin81sin 6230'MD ︒︒=︒，∴2120MD ≈（m ）, 可得山顶的海拔高度为20250212018130-=（m ）.评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.4.炮兵观测中正、余弦定理的应用例4 我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知6000CD =米，45ACD ∠=︒，75ADC ∠=︒，目标出现于地面点B 处时，测得30BCD ∠=︒，15BDC ∠=︒（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点A 、B 、C 、D 可构成四个三角形.要求AB 的长，由于751590ADB ∠=︒+︒=︒，只需知道AD 和BD 的长，这样可选择在ACD ∆和BCD ∆中应用定理求解.解：在ACD △中，18060CAD ACD ADC ∠=︒-∠-∠=︒，6000CD =，45ACD ∠=︒，根据正弦定理有sin 45sin 60CD AD ︒==︒， 同理，在BCD △中，180135CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒，6000CD =，30BCD ∠=︒，根据正弦定理有sin 30sin135CD BD ︒==︒. 又在ABD ∆中，90ADB ADC BDC ∠=∠+∠=︒，根据勾股定理有：6AB ====所以炮兵阵地到目标的距离为米.评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解. 30︒45︒75︒A C D 15︒5.下料中正余弦定理的应用例5 已知扇形铁板的半径为R ，圆心角为60︒，要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的内接矩形，如图所示.解：在图（1）中,在AB 上取一点P ，过P 作PN OA ⊥于N ，过P 作PQ PN ⊥交OB 于Q ，再过Q 作QM OA ⊥于M .设AOP x ∠=，sin PN R x =.在POQ △中，由正弦定理，得sin(18060)sin(60)OP PQ x =︒-︒︒-.∴sin(60)PQ x =︒-.于是[]22sin sin(60)cos(260)cos6033S PN PQ R x x R x =⋅=⋅︒-=-︒-︒221(1)326R R ≤-=. 当cos(260)1x -︒=即30x =︒时，S2R . 在图（2）中，取AB 中点C ，连结OC ，在AB 上取一点P ，过P 作//PQ OC 交OB 于Q ，过P 作PN PQ ⊥交AB 于N ，过Q 作QM PQ ⊥交CA 于M ，连结MN 得矩形MNPQ ，设POC x ∠=，则sin PD R x =.在POQ △中，由正弦定理得：sin(18030)sin(30)R R x =︒-︒︒-， ∴2sin(30)PQ R x =︒-.∴[]2224sin sin(30)2cos(230)cos30S PD PQ R x x R x =⋅=⋅︒-=-︒-︒ A B Q P O x （1） A B Q P O x N E D （2）222(1cos30)(2R R ≤-︒=（当15x =︒时取“=”）.∴当15x =︒时，S 取得最大值2(2R .∵22(26R R >， ∴作30AOP ∠=︒，按图（1）划线所截得的矩形面积最大.评注：此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力.综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
数学2.1.5正、余弦定理的综合应用复习学案(北师大版必修5)
2.1.5正、余弦定理的综合应用知识梳理 1.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC ∆外接圆的半径。
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理： (1)余弦定理：2222cos a b c bc A =+-； 2222cos b a c ac B =+-； 2222cos c a b ab C =+-.在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. （2）余弦定理的推论：222cos A 2b c a bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-=； 222cos 2a b c C ab+-=. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3.三角形面积公式：1sin 2ABC S ab C ∆==1sin 2ac B =1sin 2bc A 4.三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B Cπ+=- ⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sincos 22A B C+= ②.在ABC ∆中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔ A ＞B③.若ABC ∆为锐角∆，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b5.(1)若给出A ,b a ，那么解的个数为：(A 为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数． 已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A 为锐角BAA BCa=bsin A bsin A<a<b a b ≥一解 两解 一解 若A sin b a <，则无解； （2）当A ≥90若a>b,则一解 若a ≤b ，则无解典例剖析题型一 三角形多解情况的判断例1.根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数． （1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）a =，b =45A =︒，求B ；（4）a =b =，45A =︒，求B ；（5）4a =，b =，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．（4）由于A 为锐角，而>>=sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A 为锐角，又4sin 605<︒=，即sin a b A <， ∴B 无解．评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。
北师大版高中数学必修五正余弦定理的应用教案
正弦定理、余弦定理的应用（二）
教学目标：进一步巩固正弦定理余弦定理的应用，并渗透数学文化教育，培养学生基本数学
素质。
教学重点：正弦定理与余弦定理的综合应用
教学难点：
教学过程：
一．复习回顾：
1．正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc
a c
b A 2cos 2
22-+= ,cos 22
22B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 2
22-+= C ab b a c cos 22
22-+=，⇔ab c b a C 2cos 2
22-+= 二．数学应用
例1在任一△ABC 中求证：
0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a
例2 在△ABC 中，已知3=
a ，2=
b ，B=45 o 求A C 、及c
例3 在△ABC 2sin b A =，求B ∠
例4在锐角△ABC 中，边长1,2,a b ==求边长c 的取值范围。
例5在△ABC 中，若面积222
S =，求C ∠
例6在△ABC 中， BC=a, AC=b, a, b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且 2cos(A+B)=1
求（1）角C 的度数 （2）AB 的长度 （3）△ABC 的面积
三．小结
通过本节学习，要求大家在了解正弦余弦定理知识有关数学史，提高爱国热情与数学兴趣。
四．教后感。
北师大版数学高二-必修5素材 2.2应用正、余弦定理解决实际问题
应用正、余弦定理解决实际问题 正、余弦定理在实际生活中有着极其广泛的应用，对经过抽象、概括最终转化为三角形中的边、角问题的实际应用题的求解十分有效，下面略举几例，以飨读者.一“航海”问题例1某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,∠ACB=︒75+︒45=︒120∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos ︒120∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23,或x=-169(舍去) 所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为sin ∠BAC =AB BC ︒120sin =2115⨯23=1435 ∴∠BAC =3831'︒,或∠BAC =14174'︒（钝角不合题意，舍去），∴3831'︒+︒45=8331'︒答：巡逻艇应该沿北偏东8331'︒方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 二：“距离测量”问题例2某观测站C 在目标A 的南偏西025方向，从A 出发有一条南偏东035走向的公路，在C 处测得与C 相距km 31的公路上有一个人正沿着此公路向A 走去，走km 20到达D ，此时测得CD 距离为km 21，求此人在D 处距A 处还有多远？分析:解此类问题的关键是合理构造出三角形，将所求的距离看成是某个三角形的边，通过解斜三角形，问题得到解决详解：由已知得060=∠CAD 3123203122120312cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=BD BC CD BD BC B ，那么 31312sin =B ，于是在ABC ∆中，sin 24sin BC B AC CAD⋅==∠ 在ABC ∆中，022260cos 2AB AC AB AC BC ⋅-+=，即AB AB 242431222-+=解得35=AB 或11-=AB （舍去），因此，152035=-=-=BD AB AD 故此人在D 处距A 处还有km 15.评注：测量两点间的距离，利用解斜三角形是一个重要的方法，解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算.三 “物理”问题例3平面内三个力F 1、F 2、F 3作用于同一点且处于平衡状态，已知F 1＝1N ，F N 2622=+，F 1、F 2的夹角为45°，求F 3的大小及F 1与F 3的夹角. 【分析】F 3的大小等于F 1与F 2合力的大小，但方向相反，因此只要求出F 1与F 2的合力F 的大小和方向，就可以得出F 3的大小和方向.【详解】力是向量，在平面上取点O ，作OA F OB F OC F OA OB OC →=→=→=→+→=-→123，，， 作平行四边形，则OADB OD OA OB→=→+→ 在△OAD 中，由余弦定理，得：OD OA AD OA AD OD 222242331=++⨯=+=+，由正弦定理，得：∠sin AOD =12∴∠AOD ＝30° OC OD →→与为相反向量()∴的大小为，与的夹角为∠∠F N F F AOC AOD o o33131180150+=-=.评注：物理中的力是向量，向量的加减法运算是定义在平面图形三角形和平行四边形上的，把力的关系表示在平行四边形或三角形上，通过解三角形来解力的问题.。
2017_2018版高中数学第二章解三角形3解三角形的实际应用举例学案北师大版必修5
BD＝
＝
≈177.4(m)．
CD＝BD－BC≈177.4－27.3≈150(m)．
答 山的高度约为150 m.
跟踪训练2 30
解析 设两条船所在位置别离为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，
在△ABC中，
由题意可知AC＝ ＝30 (m)，
BC＝ ＝30(m)，C＝30°，
AB2＝(30 )2＋302－2×30 ×30×cos 30°＝900，
△ABC中，由余弦定理得
AB2＝( )2＋ 2－2 × ×cos 75°
＝3＋2＋ － ＝5，
∴AB＝ (km)．
∴A、B之间的距离为 km.
例2 解 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.
依照正弦定理， ＝ ，
因此AB＝ ＝ .
解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝ .
例1 解 依照正弦定理得 ＝ ，
AB＝ ＝ ＝
＝ ≈65.7(m)．
答A、B两点间的距离为65.7 m.
跟踪训练1
解析
如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝ (km)．
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝ ＝ (km)．
3 解三角形的实际应用举例
学习目标 1.会用正弦、余弦定明白得决生产实践中有关不可抵达点距离的测量问题.2.培育提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．
知识点一 经常使用角
试探 试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示用意．
梳理 在解决实际问题时常会碰到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：
北师大版高中数学必修五课件第二章《解三角形》正、余弦定理的综合运用(一)
证明：sin2B=sinA•sinC.
证明：由得 a b c 2R
sin A sin B sin C
A
c
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
b
2
将此式代入b=a•c得
2
B
a C （2RsinB）=（2RsinA）（2RsinC）
即sin2 B=sinA•sinC
8
变式2： 在ABC中，已知
2ab
2ca
a2 b2 c2 c2 a2 b2
2a
2a
2a2 a 左边
c B
A b
D a
2a
C
11
变式2：根据所给的条件，判断ABC的形状。
（1）a cosB bcos A （2）a cos A bcosB
解
：（1）
a
a cosB
(a2 c2
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
北师大版高中数学必修5第 二章《解三角形》
2
知识目标：1、三角形形状的判断依据；2、 利用正弦、余弦定理进行边角互换。
能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理；2、边 角互化；3、判断三角形的形状；4、证明三
角形中的三角恒等式。
教学重点：利用正弦、余弦定理进行边角互 换。
A B
12
（2）a cos A bcosB
解：（2）a cos A bcosB
a
b2 (
c2
a2
)
b
a2 (
c2
b2
)
2bc
2ac
a2c2 a4 b2c2 b4 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)因为 ac＝35，a＝7，所以 c＝5. 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B＝32. c b 所以 b＝4 2.由正弦定理： ＝ ， sin C sin B c 5 4 2 所以 sin C＝ sin B＝ × ＝ . b 4 2 5 2 因为 c＜b 且 B 为锐角，所以 C 一定是锐角． 所以 C＝45° .
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1 1 1 (1)S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B．( 2 2 2 a 2 sin A 2 (2) ＝ ，则 ＝ .( b＋c 3 sin B＋sin C 3 a2 5 sin2 A 5 (3) b ＝ ，则 ＝ .( 3 sin B 3
→ ·BC → ＝－21， 解：(1)因为AB
→ → → → → → 所以BA·BC＝21.所以BA·BC＝BA·BC ·
cos B＝accos B＝21. 3 4 所以 ac＝35，因为 cos B＝ ，所以 sin B＝ . 5 5 1 1 4 所以 S△ABC＝ acsin B＝ ×35× ＝14. 2 2 5
3．余弦定理及其推论
b2＋c2－a2 2bc ． b2＋c2－2bccos A ，cos A＝_________ (1)a2＝__________________
直角 ，c2＞a2＋b2 (2)在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为_____ 锐角 ． ⇔C 为钝角；c2＜a2＋b2⇔C 为_____
归纳升华 (1)“典例 3”是一道向量与正、余弦定理的综合题，解 题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系． (2)向量数量积注意向量的方向． (3)利用余弦定理、正弦定理分别列方程，要有列方程组、 解方程组的意识．
[变式训练] △ABC 的三角内角 A，B，C 所对边长 分别是 a，b，c，设向量 m＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c， sin B－sin A)，若 m∥n，则角 B 的大小为________．
4 2 2 2 x －y ＝ (sin A－sin B)＝ (1－cos 2A－1＋cos 2B) 3 3
2 2
2 2 2 ＝ (cos 2B － cos 2A) ＝ [cos(240 °－ 2A) － cos 2A] ＝ 3 3 3
3 －2cos 2A－ 2 3 3 sin 2A＝－ 3 sin(2A＋60°)． 2
2 2 2
)
)
) )
π (4)a ＋b ＋ab＝c ，则 C＝ .( 3
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解 的是( )
A．b＝20，A＝45° ，C＝80° B．a＝30，c＝28，B＝60° C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝12，c＝15，A＝120°
4 6 [变式训练] 在△ABC 中，已知 AB＝ ，cos B＝ 3 6 ，AC 边上的中线 BD＝ 5，求 sin A. 6
解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE∥AB.且 DE＝ 1 2 6 AB＝ ，设 BE＝x. 2 3 在△BDE 中，利用余弦定理可得： BD2＝BE2＋ED2－2BE· EDcos∠BED，
类型 3 正、余弦定理与平面向量的综合应用 [典例 3] 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， 3 → ·BC → ＝－21. cos B＝ ，且AB 5 (1)求△ABC 的面积；
1 (2)若 a＝7， 求角 C.(注： 三角形面积公式 S＝ absin C 2 1 1 ＝ bcsin A＝ acsin B) 2 2
[规范解答] (1)由正弦定理得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C(其中 R 为△ABC 外接圆半径)， cos A－2cos C 2c－a 2sin C－sin A 所以 ＝ b ＝ ，(2 分) cos B sin B 点评： 此处实现了边角关系的统一， 是解此题的关键．
解析： 因为 m∥n， 所以(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( 3 a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c( 3a＋c)，即 a2 3 ＋c －b ＝－ 3ac，再由余弦定理，得 cos B＝－ ，因 2
2 2
为 B∈(0° ，180°)，所以 B＝150° .
答案：150°
2 2 2 2
点评：在解答过程中，若没想到利用余弦定理列出此 处的方程， 就无法求出 a， 那么此题的第(2)问只能得 4 分． 解得 a＝1，a＝5(舍去)，(11 分) 所以 b＝5－3×1＝2.(12 分)
归纳升华 在解答应用正、余弦定理的综合性题目时，统一为 “角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行 变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解 等代数变换方法进行变形．
c cos C 4．已知△ABC 中， ＝ ，则此三角形为( b cos B A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 a2＋b2－c2 2ab c cos C c 解析：由b＝ 知b＝ 2 2 2，化简得 b＝c. cos B a ＋c － b 2ac 答案：C
)
解析：A：已知两角及类边三角形完全确定，故仅有 一组解；B：已知两边及夹角，三角形也完全确定故仅有 一组解；
a C ：已知两边及一边的对角，由正弦定理： ＝ sin A b 14 16 8 2 4 2 ， ＝ ，sin B＝ ＝ ，则 B 可以为锐角 sin B 2 sin B 14 7 2 或钝角(因为 a＞8 2且 a＜1所以 sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin Acos B，sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B， 所以 sin (A＋B)＝2sin (B＋C)，又 A＋B＋C＝π， 所以 sin C＝2sin A， sin C 所以 ＝2.(4 分) sin A
因为 0°<A<120°， 所以 60°<2A＋60°<300°， 2 3 当 2A＋60°＝90°时，x －y 有最小值－ . 3
2 2
2 3 当 2A＋60°＝270°时，x －y 有最大值 . 3
2 2
归纳升华 (1)由题设条件 x2－xy＋y2＝1，联想余弦定理，三角 形的边长分别为 1，x，y. (2)再利用正弦定理找出边长分别为 1，x，y 的三角 形 ABC 的边角要素．
正、余弦定理的综合应用
[学习目标] 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题． 2.能够利用已知的数量和 关系判断三角形的形状．
[知识提炼· 梳理] 1．三角形内的角的函数关系 在△ABC 中，边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C， 则有：
sin C ，cos (A＋B)＝_______ －cos C， (1)sin (A＋B)＝_______
3．在钝角△ABC 中，a＝1，b＝2，则最大边 c 的取 值范围是( A．1<c<3 C. 5<c<3 ) B．2<c<3 D．2 2<c<3
解析：在钝角△ABC 中，由于最大边为 c，所以角 C 为钝角．所以 c2>a2＋b2＝1＋4＝5，即 c> 5，又因 c<a ＋b＝1＋2＝3，所以 5<c<3. 答案：C
[变式训练] △ABC 中，若(sin A＋sin B＋sin C)(sin A＋sin B－sin C)＝sin Asin B，则 C＝________． 解析：由(sin A＋sin B＋sin C)· (sin A＋sin B－sin C) ＝sin Asin B⇒ (sin A＋sin B)2－sin2 C＝sin Asin B⇒ sin2 A＋sin2 B－sin2 C＝－sin Asin B.
由余弦定理得：
x2＋（x＋1）2－（x＋2）2 2x（x＋1）
＜ 0 ，即
x2－2x－3＜0，解得－1＜x＜3， 综上可得：1＜x＜3.
归纳升华 (1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论 求出相应角的余弦值，若值为正，则角为锐角；若值为负， 则角为钝角．思路清晰，结果唯一． (2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的 关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
点评：在解答过程中，若无法正确运用两角和的正弦 公式及诱导公式，则无法推出 sin A 与 sin C 的关系，那 么此题第(1)问最多得 2 分．
sin C c sin C (2)由(1)知 ＝2，由正弦定理得 ＝ ＝2， a sin A sin A 即 c＝2a.(6 分) 点评： 此处实现了边角关系的统一， 是解此题的关键． 又因为△ABC 的周长为 5，所以 b＝5－3a.(8 分) 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B. 1 即(5－3a) ＝a ＋(2a) －4a × ，(10 分) 4
C A＋B cosC A＋B sin 2 ． 2 ，cos (2)sin ＝______ ＝______ 2 2
2．正弦定理及其变形 a b c 2R． (1) ＝ ＝ ＝___ sin A sin B sin C
2Rsin B ，c＝_________ 2Rsin A，b＝_________ 2Rsin C ． (2)a＝_________
类型四 创新型题型 [典例 4] 已知 x>0，y>0，且 x2－xy＋y2＝1，求 x2 －y2 的最大值与最小值． 解：构造△ABC，使 AB＝1，BC＝x，AC＝y，C＝ 60°， 由余弦定理知 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BCcos C，
所以 1＝x2＋y2－xy，即 x，y 满足已知条件， 由正弦定理得 x y 1 2 3 ＝ ＝ ＝ . sin A sin B sin 60° 3 2 3 2 3 所以 x＝ sin A，y＝ sin B， 3 3