函数图像变换公式大全(最新整理)
函数的图像及其变换
函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x-例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞U U .试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-r平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-r平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.8 4.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x=+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+.（1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32xy=；②2-=xy；③21xy=；④1-=xy；⑤31xy=；⑥23xy=；⑦34xy=；⑧21-=xy；⑨35xy=.函数代号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号H I常规函数图像有：指数函数：逆时针旋转，底数越来越大.对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
函数移动规律公式
在数学中，函数的移动规律通常涉及到函数图像的平移。
函数图像的移动遵循以下几个基本的规律：1. 水平移动（左移和右移）：如果函数\( f(x) \) 的图像向左移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x + a) \)；如果图像向右移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x a) \)。
2. 垂直移动（上移和下移）：如果函数\( f(x) \) 的图像向上移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x) + a \)；如果图像向下移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x) a \)。
3. 斜率变化（拉伸和压缩）：如果函数\( f(x) \) 的图像在\( x \) 方向上被拉伸或压缩，可以通过乘以一个非零常数\( a \) 来完成。
如果\( a > 1 \)，图像会被拉伸；如果\( 0 < a < 1 \)，图像会被压缩。
新的函数表达式为\( a \cdot f(x) \)。
4. 对称变换：关于y 轴对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于y 轴对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
关于x 轴对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于x 轴对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
关于原点对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于原点对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
5. 周期变换：如果函数\( f(x) \) 的图像具有周期性，可以通过乘以一个非零常数\( a \) 来改变周期。
新的函数表达式为\( f(x \cdot a) \)。
这些规律可以帮助我们理解和预测函数图像在各种变换下的移动和变化。
在实际应用中，这些规律对于解决函数图像相关的问题非常有用。
函数图像的移动数学公式记忆口诀
函数图像的移动数学公式记忆口诀函数图像的移动规律:假设把一次函数解析式写成y=k(*+0)+b、二次函数的解析式写成y=a(*+h)2+k的形式，那么用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。
k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。
图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永久与轴不沾边。
我为大家带来的是函数图像的移动规律，相信同学们都已经轻松掌控了吧，接下来会为大家继续带来更全更精的公式大全集锦，盼望同学们关注了。
中学数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，盼望同学们很好的掌控下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且相互垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
盼望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌控，相信同学们会取得很好的成果的哦。
中学数学平行四边形定理公式同学们仔细学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线相互平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线相互平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的.讲解学习，同学们都能很好的掌控了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
中学数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，盼望给同学们的学习很好的援助。
直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方〔勾股定理〕；④直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形；②假如三角形的三边长a、b 、c有下面关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形〔勾股定理的逆定理〕。
函数图像变换与旋转
函数图像变换与旋转一.平移变换：1.y=f（x）→y=f(x±a)(a>0) 原图像横向平移a个单位（左+右-）2.y=f（x）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b个单位（上+下-）3.若将函数y=f（x）的图像右移a，上移b个单位，得到函数y=f（x-a）+b二．对称变换：1.y=f（x）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y轴对称；对比：若f=（-x）=f（x）则函数自身的图像关于y轴对称；2.y=f（x）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x轴对称；3.y=f（x）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f（-x）=-f（x）则函数自身的图像关于原点对称；4.y=f（x）→y=f-1（x）原图像与新图像关于直线y=x对称；5.y=f（x）→y=f-1（-x）原图像与新图像关于直线y=-x对称；6.y=f（x）→y=f（2a-x）原图像与新图像关于直线x=a对称；7.y=f（x）→y=2b-f（x）原图像与新图像关于直线y=b对称；8.y=f（x）→y=2b-f（2a-x）原图像与新图像关于点（a，b）对称；三．翻折变换：1. y=f（x）→y=f(|x|)的图像在y轴右侧（x>0）的部分与y=f（x）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y轴对称；2.y=f（x）→y=|f(x)|的图像在x轴上方部分与y=f（x）的图像相同，其他部分图像为y=f（x）图像下方部分关于x轴的对称图像；3. y=f（x）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a右边图像，后去掉直线x=a左边图像并作关于直线x=a对称图像y=f（x）→y=f(x+a)→y=f(|x+a|)法2:先保留y轴右边图像，去掉y轴左边图像，并作关于y轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f（x）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：1.y=f（x）→y=af(x)（a>0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变；2.y=f（x）→y=f(ax)（a>0）原图像上所有的横坐标变为原来的，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f（x）=f（2a-x）（或f（a+x）=f（a-x）或f（-x）=f（2a+x））则函数自身关于直线x=a对称；（2）.若y=f（x）的图像关于直线对称等价于f（a+mx）=f（b-mx）等价于 f（a+b-mx）=f（mx）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f（mx+a）=-f（b-mx），则函数自身关于点（，0）对称；（2）.若f（mx+a）+f（b-mx）=c，则函数自身关于点（，）对称；（3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b（或f（x）+f(2a-x)=2b或f（-x）+f(2a+x)=2b 则函数自身关于点（a,b）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f（a+x），y=f（b-x）的图像关于直线对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称；特例：函数y=f（a+x），y=f（a-x）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f（a+x），y=-f（b-x）的图像关于点（，0）对称；特例：函数y=f（a+x）与y=-f（a-x）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个时式子成立切等价： f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；1.f（x+a）=f（x）周期：|a|2.f（x+a）=-f（x）周期：2|a|3.f（x+a）=（或周期：2|a|4.f（x+a）=f（x-a）周期：2|a|5.f（x+a）=-f（x-a）周期：4|a|6.f（x+a）=（或）周期：4|a|7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-) 周期：七．对称性与周期性：1.若y=f（x）的图像关于直线x=a，x=b对称（a不等于b），则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；特例：若y=f（x）是偶函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=2|a|；2.若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f（x）的图像关于直线x=a，对称中心（b，0）对称（a不等于b）则f（x）为周期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f（x）是奇函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
函数图像变换公式大全(可编辑修改word版)
蕾博士函数图像变换公式大全一、点的变换.设 P (x 0 , y 0 ) ，则它（1） 关于 x 轴对称的点为(x 0 ,- y 0 ) ；（2） 关于 y 轴对称的点为(-x 0 , y 0 ) ；（3） 关于原点对称的点为(-x 0 ,- y 0 ) ；（4） 关于直线 y = x 对称的点为( y 0 , x 0 ) ；（5） 关于直线 y = -x 对称的点为(- y 0 ,-x 0 ) ；（6） 关于直线 y = b 对称的点为(x 0 ,2b - y 0 ) ；（7） 关于直线 x = a 对称的点为(2a - x 0 , y 0 ) ；（8） 关于直线 y = x + a 对称的点为( y 0 - a , x 0 + a ) ;（9） 关于直线 y = -x + a 对称的点为(- y 0 + a , a - x 0 ) ;（10） 关于点(a , b ) 对称的点为(2a - x 0 ,2b - y 0 ) ；（11）按向量(a , b ) 平移得到的点为(x 0 + a , y 0 + b ) .二、曲线的变换.曲线 F (x , y ) = 0 按下列变换后所得的方程：(1) 按向量(a , b ) 平移，得到 F (x - a , y - b ) = 0 ；(2) 关于 x 轴对称，得到 F (x ,- y ) = 0 ；(3) 关于 y 轴对称，得到 F (-x , y ) = 0 ；(4) 关于原点对称，得到 F (-x ,- y ) = 0 ；(5) 关于直线 x = a 对称，得到 F (2a - x , y ) = 0 ；(6) 关于直线 y = b 对称，得到 F (x ,2b - y ) = 0 ；(7) 关于点(a , b ) 对称，得到 F (2a - x ,2b - y ) = 0 ；(8) 关于直线 y = x 对称，得到 F ( y , x ) = 0 ；(9) 关于直线 y = x + a 对称，得到 F ( y - a , x + a ) = 0 ；(10) 关于直线 y = -x + a 对称，得到 F (-x + a , a - y ) = 0 ； (11) 纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍，得到方程 F ( x, y ) = 0 ；a(12) 横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍，得到方程 F (x , y) = 0b三、两个函数的图象对称性1:左右平移: y = f (x ± a ) （ a > 0 ）的图像可由 y = f (x ) 的图像向左（+）或向右（—）平移a 个单位而得到； y = f (mx ± a ) （ m > 0, a > 0 ）的图像可由 y = f (mx ) 的图像向左（+）或向右（—）平移 a个单位而得到;m2. 上下平移： y = f (x ) ± b （b > 0）的图像可由 y = f (x ) 的图像向上（+）或向下（—）平移b 个单位而得到；3. y = f (-x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于 y 轴对称；换句话说： y = f (x ) 与y = g (x ) 若满足 f (x ) = g (-x ) ，即它们关于 x = 0 对称。
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
函数图象变换
y = 2|x|
0
x
例5.
先作出函数 y = 2|x| 的图象， 解： 2 x ••• x 0) x ( 2 •• x 0) ( | x| y 2 x 1 x 2 ( x 0) ( ) ( x 0) 2 又 y = 2|x| 是偶函数，
（1，-1）
x
例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y
y=2x
y=|2x-2|
y=2x-2
1
O
y=|2x-2|
1
23xFra bibliotek-1例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
f(-x)的解析式及其定义域并分别作出它们的图象。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
对 称 变 换
图象关于 x轴对称
图象关于
图象关于
原点对称
y轴对称
例7.指数函数 y = 2x 的图象与函数 y = 2-x ，y=-2x ，y = -2-x 的图象的关系：
针 对 自 变 量 针 对 因 变 量
沿y轴向上平移k个单位 y y-k ( k > 0 )
沿y轴向下平移k个单位
(2)翻折变换：分为左折与上折
y=f(x)
去掉y轴左边图象，保留y轴右边 图象，再作其关于y轴对称图象
(整理版)第四讲函数图象的对称性与变换
第四讲：函数图象的对称性与变换一、 两个函数的图象的对称性：1、y=f 〔x 〕与y=-f 〔x 〕关于x 轴对称。
2、y=f 〔x 〕与y=f 〔－x 〕关于y 轴对称。
3、 y=f 〔x 〕与y=－f 〔－x 〕关于原点对称。
4、y=f 〔x 〕与y=f 1-〔x 〕关于直线y=x 对称,〔或y=f 〔x 〕与x=f 〔y 〕关于直线y=x 对称〕。
5、y=f 〔x 〕与y=f 〔2a －x 〕｛注：y=f 〔a+x 〕与y=f 〔a －x 〕关于直线x=0对称｝关于直线x=a 对称。
6、y=f 〔x 〕与y=－f 〔2a －x 〕+2b 关于点〔a,b 〕对称.二、 一个函数的图象的对称性：1、关于直线x=a 对称时，f 〔x 〕=f 〔2a －x 〕或f 〔a －x 〕=f 〔a+x 〕,特例：a=0时，关于y 轴对称，此时 f 〔x 〕=f 〔－x 〕为偶函数。
2、y=f 〔x 〕关于〔a,b 〕对称时,f 〔x 〕=2b －f 〔2a －x 〕，特别a=b=0时， f 〔x 〕=－f 〔－x 〕，即f 〔x 〕关于原点对称，f 〔x 〕为奇函数。
3、y=f 〔x 〕关于直线y=x+b 对称时,由上面知y=f 〔x 〕关于直线y=x+b 对称的函数的解析式是y=f 1-〔x+b 〕+b 。
它与y=f 〔x 〕应是同一函数，所以：f 〔x 〕＝f1-〔x+b 〕+b 。
特别当b ＝0时，f 〔x 〕＝f 1-〔x 〕，即一个函数关于直线y=x 对称时，它的反函数就是它本身。
4、类似4有y=f 〔x 〕关于直线y=－x+b 对称时, f 〔x 〕＝b －f 1-〔b －x 〕。
特别当b ＝0时，f 〔x 〕＝－f 1-〔－x 〕, f 〔x 〕关于直线y=－x 对称.5、假设f(a+x)=f(b-x)，那么f(x)的图像关于直线2b a x +=对称， 三：图象平移与伸缩变换、翻折变换。
1、平移变换〔向量平移法那么〕：y=f 〔x 〕按a ＝〔h,k 〕平移得y=f 〔x －h 〕+k,即F 〔x,y 〕=0按a ＝〔h,k 〕平移得F 〔x －h,y －k 〕=0,当m>0时,向右平移，m<0时,向左平移。
函数图象变换的四种方式
函数图象变换的四种方式一，平移变换。
（1）水平平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。
（简记：左加右减，这里的a>0。
）（2）上下平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。
（简记：上加下减，这里的a>0）二，对称变换。
（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。
所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。
(简记：左右翻折)（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。
所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。
(简记：上下翻折)（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。
所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。
(简记：旋转180度)三，翻折变换。
（1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形（简记：右不动，左对称）（2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。
（简记：上不动，下上翻）四，伸缩变换。
(1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。
（2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。
高中数学知识点：初等函数图象变换
高中数学知识点：初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．
如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x ==
（1）平移变换
y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移
（2）对称变换
y =f (x ) →y =f (－x ), 图象关于y 轴对称
y =f (x ) →y =－f (x ) , 图象关于x 轴对称
y =f (x ) →y =－f (－x ) 图象关于原点对称
y =f (x )→1()y f x -=
图象关于直线y =x 对称
（3）翻折变换： y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分
关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）
y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象
关于x 轴对称
要点诠释：
（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
高一数学 函数的图像及其变换
【知识要点归纳】一．初等函数图像二．函数图像的四种变换规律1.平移变换：利用平移变换，可以由函数y=f(x)的图象演变出以下三种函数图象：)(a x f y ±=,b x f y ±=)(,b a x f y ±±=)(的图象。
平移变换是位置变换，这三种图象与y=f(x)图象的位置关系列表如下:函数解析式 与f(x)图象位置关系口诀)(a x f y ±=b x f y ±=)(b a x f y ±±=)(2.翻折变换：利用翻折变换，可以由函数y=f(x)的图象变换出以下2种函数图象，y=f(|x|)和y=|f(x)|的图象。
这2种函数图象与图象y=f(x)的关系如下：解析式与)(x f y =图象的关系口诀|)(|x f y =|)(|x f y =综合专题５函数的图像及其变换3.对称变换：利用对称变换，可以由函数y=f(x)的图象变换出以下3种函数图象y=-f(x),y=f(-x),y=-f(-x)的图象。
这3种函数图象与图象y=f(x)的对称关系列表如下：解析式与)(x f y =图象的关系对称点坐标)(x f y −= )(x f y −= )(x f y −−=4.伸缩变换：利用伸缩变换，由y=f(x)图象可演变出以下三种函数图象：y=f(kx)、y=af(x)、y=af(kx)（a 、k 为正常数）。
函数解析式 与f(x)图象点的坐标关系y=f(kx)y=af(x)y=af(kx)【经典例题】例1：画出132−+=x x y 的图象；例2：求函数)1lg(2+=x y 沿向量)2,1(−=a G平移后的解析式例3：为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度例3：设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x ≥0），则(){}20x f x −>= （ ） （A ）{}24x x x <−>或（B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或（D ）{}22 x x x <−>或例4：在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们的关系. ⑴f (x )=x 2-2x -1 ； ⑵g (x )= x 2+2x -1 ； ⑶h (x )=-x 2+2x +1； ⑷s (x )= -x 2-2x +1；例5：函数22log 2xy x−=+的图像 （A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =−对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称例6：函数()412x xf x +=的图象A. 关于原点对称B. 关于直线y=x 对称C. 关于x 轴对称D.关于y 轴对称例7：作出函数图像：（1）1||22−−=x x y （2）|12|2−−=x x y例8：作出下列函数的图象并写出其单调区间： （1）3||22++−=x x y（2）|65|2−−=x x y（3）y=1-|1-x|（4）xy ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21例9：直线1y =与曲线2y x x a =−+有四个交点，则a 的取值范围是 .例10：已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞例11：定义域和值域均为[]a a ,−（常数0>a ）的函数()x f y =和()x g y =的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程()[]0=x g f 有且仅有三个解； （2）方程()[]0=x f g 有且仅有三个解； （3）方程()[]0=x f f 有且仅有九个解； （4）方程()[]0=x g g 有且仅有一个解。
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
函数图像的变换及应用
函数图像的变换及应用函数图像的变换指的是通过对函数图像进行一系列的操作，使得原函数图像在坐标系中发生平移、伸缩、翻折等变化，从而得到新的函数图像。
这些变换可以通过改变函数的参数或者利用一些特定的变换公式来实现。
函数图像的变换有很多种，下面列举几种常见的变换及其应用：1. 平移变换：平移变换是将函数图像在坐标系上沿着横轴或者纵轴方向进行移动。
对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)+b，其中a表示横向平移的距离，b表示纵向平移的距离。
平移变换的应用场景有很多，例如对于温度变化的曲线图，可以通过平移变换来调整图像在时间轴上的位置，实现对曲线的观察和比较。
2. 伸缩变换：伸缩变换是改变函数图像的尺度，使得函数图像的宽度或者高度发生变化。
对于函数y=f(x)，伸缩变换可以表示为y=a*f(bx)，其中a控制纵向的伸缩比例，b控制横向的伸缩比例。
伸缩变换可以用来调整图像的大小，使得函数曲线更加清晰或者适应特定的分析需求。
3. 翻折变换：翻折变换是将函数图像沿着坐标轴进行翻转。
对于函数y=f(x)，翻折变换可以表示为y=-f(x)（沿着x轴翻折）或者y=f(-x)（沿着y轴翻折）。
翻折变换可以用来分析函数的对称性质，例如判断函数是否关于x轴或者y轴对称。
4. 拉伸变换：拉伸变换是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
拉伸变换可以是横向拉伸或者纵向拉伸。
对于函数y=f(x)，横向拉伸可以表示为y=f(cx)，纵向拉伸可以表示为y=c*f(x)，其中c是大于1的常数。
拉伸变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
5. 压缩变换：压缩变换与拉伸变换相反，是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
压缩变换可以是横向压缩或者纵向压缩。
对于函数y=f(x)，横向压缩可以表示为y=f(x/c)，纵向压缩可以表示为y=(1/c)*f(x)，其中c是大于1的常数。
压缩变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
常见函数放缩公式
常见函数放缩公式函数的放缩（或者称为函数的伸缩）指的是通过对函数的自变量或因变量进行一系列的变换，来改变函数图像的形状、位置或大小。
常见的函数放缩公式包括平移、压缩和反转等操作。
1.平移：平移是指通过添加或减去一个常数来改变函数图像在横轴或纵轴上的位置。
设原函数为f(x)，平移后的函数为f(x-a)或f(x)+a。
其中a为平移距离，负数表示向右平移，正数表示向左平移。
2.垂直放缩：垂直放缩是指改变函数图像在纵轴方向的大小。
设原函数为f(x)，垂直放缩后的函数为c*f(x)或f(cx)。
其中c为放缩因子，当0<c<1时，函数图像被压缩；当c>1时，函数图像被拉伸。
3.水平放缩：水平放缩是指改变函数图像在横轴方向的大小。
设原函数为f(x)，水平放缩后的函数为f(kx)。
其中k为放缩因子，当0<k<1时，函数图像被压缩；当k>1时，函数图像被拉伸。
4.对称与反转：对称与反转是指改变函数图像在横轴或纵轴上的对称性。
设原函数为f(x)，对称后的函数为f(-x)。
函数在横轴上对称是指当(x,y)在函数图像上时，(-x,y)也在函数图像上；函数在纵轴上对称是指当(x,y)在函数图像上时，(x,-y)也在函数图像上。
5.垂直翻转：垂直翻转是指将函数图像沿纵轴翻转。
设原函数为f(x)，垂直翻转后的函数为-f(x)。
翻转后，函数图像的上方变为下方，下方变为上方。
6.水平翻转：水平翻转是指将函数图像沿横轴翻转。
设原函数为f(x)，水平翻转后的函数为f(-x)。
翻转后，函数图像的左侧变为右侧，右侧变为左侧。
这些常见的函数放缩公式是数学中很重要且实用的概念。
通过对函数进行放缩，我们可以在图像上更方便地观察函数图像的特征，并且可以根据需要调整函数的位置、大小和形状，以满足不同的需求。
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蕾博士函数图像变换公式大全一、点的变换.设，则它),(00y x P （1）关于轴对称的点为；x ),(00y x -（2）关于轴对称的点为；y ),(00y x -（3）关于原点对称的点为；),(00y x --（4）关于直线对称的点为；x y =),(00x y （5）关于直线对称的点为；x y -=),(00x y --（6）关于直线对称的点为；b y =)2,(00y b x -（7）关于直线对称的点为；a x =),2(00y x a -（8）关于直线对称的点为;a x y +=),(00a x a y +-（9）关于直线对称的点为;a x y +-=),(00x a a y -+-（10）关于点对称的点为；),(b a )2,2(00y b x a --（11）按向量平移得到的点为.),(b a ),(00b y a x ++二、曲线的变换.曲线按下列变换后所得的方程：0),(=y x F (1)按向量平移，得到；),(b a 0),(=--b y a x F (2)关于轴对称，得到；x 0),(=-y x F (3)关于轴对称，得到；y 0),(=-y x F (4)关于原点对称，得到；0),(=--y x F (5)关于直线对称，得到；a x =0),2(=-y x a F (6)关于直线对称，得到；b y =0)2,(=-y b x F (7)关于点对称，得到；),(b a 0)2,2(=--y b x a F (8)关于直线对称，得到；x y =0),(=x y F (9)关于直线对称，得到；a x y +=0),(=+-a x a y F(10)关于直线对称，得到；a x y +-=0),(=-+-y a a x F (11)纵坐标不变横坐标变为原来的倍，得到方程；a 0),(=y ax F (12)横坐标不变纵坐标变为原来的倍，得到方程b 0),(=by x F 三、两个函数的图象对称性1:左右平移:（）的图像可由的图像向左（+）或向右)(a x f y ±=0>a )(x f y =（—）平移个单位而得到；（）的图像可由a )(a mx f y ±=0,0>>a m )(mx f y =的图像向左（+）或向右（—）平移个单位而得到;ma 2.上下平移：的图像可由的图像向上（+）或向下）（0)(>±=b b x f y )(x f y =（—）平移个单位而得到；b 3. 的图像与的图像关于轴对称；换句话说：与)(x f y -=)(x f y =y )(x f y =若满足，即它们关于对称。
)(x g y =)()(x g x f -=0=x 4. 的图像与的图像关于轴对称；换句话说：与)(x f y -=)(x f y =x )(x f y =若满足，即它们关于对称。
)(x g y =)()(x g x f -=0=y 5. 的图像与的图像关于原点对称；)(x f y --=)(x f y =6. 的图像可如此得到：的图像在轴下方的部分以轴为对|)(|x f y =)(x f y =x x 称轴翻折到轴的上方，其余不变；x 7. 的图像：保留的图像在轴右侧的部分，并沿轴翻折到)||(x f y =)(x f y =y y 轴左边部分代替原轴左边部分；y y 8.与关于直线对称(在函数上任取一)(a x f y +=)(x b f y -=2a b x -=()y f a x =+点，则，点关于直线对称点（，y 1）。
11(,)x y 11()y f a x =+11(,)x y 2b a x -=1b a x --由于,故点（，y 1）在函数1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=1b a x --上。
由点是函数图象上任一点因此与()y f b x =-11(,)x y ()y f a x =+()y f a x =+关于直线对称。
)；换句话说,与关于()y f b x =-2b a x -=)(x a f y -=)(b x f y -=直线对称; 换句话说, 与关于直线对称.2b a x +=)(x f y -=)(b x f y -=2b x =9. 与关于直线对称。
换种说法：与)(x f y =)(2x f a y -=a y =)(x f y =)(x g y =若满足，即它们关于对称；a x g x f 2)()(=+a y =10. 关于点对称。
换种说法：与)2(2)(x a fb y x f y --==与(,)a b )(x f y =若满足，即它们关于点对称。
)(x g y =b x a g x f 2)2()(=-+(,)a b 特别提醒①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.()y f x =()y f x =-0x =y ②函数与函数的图象关于直线对称.()y f mx a =-()y f b mx =-2a b x m+=特殊地: 与函数的图象关于直线对称()y f x a =-()y f a x =-x a =③函数的图象关于直线对称的解析式为()y f x =x a =(2)y f a x =-④函数的图象关于点对称的解析式为()y f x =(,0)a (2)y f a x =--⑤函数与的图像关于直线成轴对称。
()y f x =()a x f a y -=-x y a +=11.伸缩变换:的图像，可将的图像上每一个点的横坐标)0)((>=A x Af y )(x f y =不变，纵坐标变为原来的倍而得到；A 12. 的图像，可将的图像上每一个点的纵坐标不变，横)0)((>=k kx f y )(x f y =坐标变为原来的倍而得到；k113.与关于直线对称；)(1x f y -=)(x f y =x y =14. 的图像与的图像关于直线对称；)(1x f y --=-)(x f y =x y -=15. 函数的图像与的图象关于直线对称。
)(mx a f y +=)(mx b f y -=ma b x 2-=四.单个函数的图象1.若对任意，则的图像关于直线=对称；反,x )()(x b f a x f -=+)(x f y =x 2b a +之亦然;若对任意，，则的图像关于直线=对称，x )()(xc f x f -=)(x f y =x 2c 反之亦然；若是偶函数，则关于对称。
（在上)(a x f +)(x f y =a x =()y f x =任取一点，则，点关于直线的对称点11(,)x y 11()y f x =11(,)x y 2a b x +=，当时11(,)a b x y +-1x a b x =+-，故点也在函11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==11(,)a b x y +-数图象上。
由于点是图象上任意一点，因此，函数的图象关于()y f x =11(,)x y 直线对称（特别地，时，该函数为偶函数））.2a b x +=0==b a 2.对任意，（或的充分必要条件是x )()(x a f a x f -=+-)2()(x a f x f --=的图像关于点对称；)(x f y =)0,(a 3.若有两条对称轴和(证明：∵得)(x f a x =)(b a b x <=()()f a x f a x +=-,得()(2)f x f a x =-()()f b x f b x +=-()(2)f x f b x =-∴, ∴(2)(2)f a x f b x -=-()(22)f x f b a x =-+∴函数是周期函数，且是一个周期。
),或有两个对称点和()y f x =22b a -)0,(a （）,则是的一个周期；)0,(b b a <)(2a b -)(x f 4.若以为对称轴，且以为对称中心，则是的一个周)(x f a x =)0,(b )(4a b -)(x f 期；5.的图像关于点对称的充分必要条件是对任意)(x f y =),(b a ,x 成立（更一般地，若，则的b x a f x a f 2)()(=-++c x b f x a f =-++)()()(x f y =图像关于点(,)对称(在函数上任取一点，则，点2b a +2c ()y f x =11(,)x y 11()y f x =关于点（，）的对称点（，c －y 1），当时，11(,)x y 2a b +2c 1a b x +-1x a b x =+-,即点（，c －y 1）在函数1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-1a b x +-的图象上。
()y f x =由于点为函数图象上的任意一点可知函数的图象关于点（11(,)x y ()y f x =()y f x =，）对称。
（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。
）2a b +2c 特别提醒：①函数的图象关于点对称。
()y f x =(,0)a ()(2)f x f a x ⇔=--②函数的图象关于原点对称（奇函数）。
()y f x =)()(x f x f -=-⇔③函数是奇函数关于点 对称。
)(a x f y +=)(x f ⇔()0,a 6.若，则是周期函数，是它的一个周期)()(b x f a x f +=+)(x f a b -7. 对于非零常数，若函数满足，则函数必有A ()y f x =(A)()f x f x +=-()y f x =一个周期为。
2A 8.对于非零常数，函数满足，则函数的一个周A ()y f x =1(A)()f x f x +=()y f x =期为。
2A 9.对于非零常数，函数满足，则函数的一个周A ()y f x =1()()f x A f x +=-()y f x =期为。
2A 10. 已知函数对任意实数,都有，则是以 ()x f y =x ()()b x f x a f =++()x f y =为周期的函数2a 11. 若函数对定义域中的任意的值，都满足 ， )(x f y =x )()(mx b f mx a f -=+则函数的图象关于直线对称.)(x f y =2b a x +=12. 对于非零常数，函数满足或A ()y f x =1()()21()A f x f x f x ++=-1()(21()A f x f x f x -+=+则函数的一个周期为。
()y f x =2A 13.若函数对任意实数,都有，则是以 ()x f y =x ()()b x f x a f =++()x f y =为周期的函数（，2a ()()f a x b f x +=-；或者:(2)(())()(())()f x a f x a a b f x a b b f x f x +=++=-+=--=）)()2()()()()()()(x f a x f a x f a x f bx f a x f b a x f x f =+⇒-=+⇒⎩⎨⎧=+-=++。