上海市延安中学2013学年度高二第一学期期末考试(数学)题目
2012-2013学年度高二上学期期末考试数学试题(一)
2012-2013学年度高二上学期期末考试数学试题（一）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题甲:x ＞0；命题乙:0>x ，那么甲是乙的 （ ） A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件。
2、下列命题中正确的是 （ ） ①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题;②“若x=a, 则(x-a)(x-b)=0”的逆命题; ③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题;④“若a,b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题。
A.①②③④ B.②③④ C .①③④ D.①④ 3．已知集合2{|47},{|120}M x x N x x x =-≤≤=-->，则MN 为 （ ）A ．{|43x x -≤<-或47}x <≤B ．{|43x x -<≤-或47}x ≤<C ．{|3x x ≤-或4x >}D ．{|3x x <-或4}x ≥4．不等式022>++bx ax的解集是 {}11|23x x -<<，则b a +的值为( )A ．14B ．-14C ．10D ．-105. 如果 -1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么 （ ） A ．b=3,ac=9; B ．b= -3, ac=9; C ．b=3,ac= -9; D ．b= -3,ac= -96．在ABC △中，若2sinsin sin A B C =⋅且()()3b c a b c a bc +++-=，则该三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形7．在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π8．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A ．221169y x +=B ．2211612y x +=C ．22143y x += D ．22134y x +=9.抛物线281x y -=的准线方程是 （ ） A ．321=x B ．2=y C ． 321=y D ．2-=y10．双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是 （ ） A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．xy 49±= 11．已知双曲线222212(,0)y x e y px e -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为,则p 的值为（ ） A ．－2B ．－4C ．2D ．412．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A ．27万元B ．25万元C ．20万元D ．12万元第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每步题4分，共16分，把答案填写在题中横线上. 13．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是______________________.14．不等式组2510000x y x y -+>⎧⎪<⎨⎪>⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .15. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB= _____________ 。
上海市延安中学高二数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
延安中学高二期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 540的不同正约数共有 个2. 已知向量(1,2,2)a =-，则向量a 的单位向量0a =3. 五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有 种4. 已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向向量(4,,)n m n =-，若l α⊥，则m n +=5. 不等式46n n C C >的解为n =6. 二项式15展开式的常数项是 7. 计算：01220182232019C C C C +++⋅⋅⋅+= 8. 已知一个总体：1，3，4，7，x ，且总体平均数是4，则这个总体的方差是9. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，那么顶点1B 到平面1ACD 的距离为10. 一个总体分为A 、B 两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容 量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 11. 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为12. 在二项式n +的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含x的项为13. 已知集合{1}A =，{2,3}B =，{3,4,5}C =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直 角坐标系中的点的坐标，则确定不同点的坐标个数为14. 设每门高射炮命中飞机的概率为0.06，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一 敌机来犯，则需要 门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它15. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一列，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）二. 选择题16. 若m *∈N ，且27m <，则(27)(28)(34)m m m --⋅⋅⋅-等于（ ）A. 827m P -B. 2734m m P --C. 734m P -D. 834m P -17. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，如果M 、N 分别为1A B 和1BB 中点，那么直线AM 与CN 所成角的大小为（ ）A. arccos 2B.C. 3arccos 5D. 2arccos 518. 若122n n nn n C x C x C x ++⋅⋅⋅+能被7整除，则x ，n 的值可能为（ ） A. 4x =，3n = B. 4x =，4n = C. 5x =，4n = D. 6x =，5n =19. 从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个字母排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），不同的排列方法总数为（ ）A. 36B. 72C. 90D. 14420. 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n =与向量(1,1)b =-的夹角 为θ，则(0,]2πθ∈的概率是（ ） A.512 B. 12 C. 712D. 56 三. 解答题 21. 321(2)n x x-的展开式中若有常数项，求n 的最小值及常数项.22. 4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球.（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球所得总分不少于5分，则有多少种不同取法.23. 在2019中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产A 、B 、C 三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表；（单位：个）现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A 种纪念品有40个.（1）求n 的值；（2）从B 种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分布如下：x ，y ，10，11，9把这5个数据看作一个总体，其均值为10、方差为2，求||x y -的值；（3）用分层抽样的方法在C 种纪念品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率.24. 如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=.（1）证明：PN AM ⊥；（2）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成角θ最大？并求取得最大值时的正切值；（3）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，试确定P 的位置.参考答案一. 填空题1. 242. 122(,,)333-3. 534. 16-5. {6,7,8,9}6. 50057. 20391908. 49. 4310. 40 11.240 12. 358x 13. 33 14. 7515. 432二. 选择题16. D 17. B 18. C 19. A 20. C三. 解答题21.（1）5n =；（2）40-.22.（1）115；（2）195.23.（1）40；（2）4；（3）710.24.（1）略；（2）12；（3）P 在11B A 的延长线上，且11||2A P =.。
上海市延安中学高二数学上学期期末考试试题沪教版
上海市延安中学2013学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题（每题3分，共42分） 1、方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为___________.2、抛物线22x y =的准线方程是___________.3、过点(5,3)P 和点(2,4)Q -的直线的倾斜角为___________.4、执行右边的程序框图，输入8k =，则输出S 的值是___________.5、已知点(4,3)A -和(2,1)B -，点P 满足||||PA PB =，则点P 的轨迹方程是___________.6、已知直线30ax y ++=过点(1,1)--，则行列式13112211a-的值为___________.7、若方程22146x y k k+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是___________. 8、已知直线1:210l x my +-=平行于直线2:(1)10l m x y -++=，则实数m =___________.9、直线3y kx =+与圆226490x y x y +--+=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是___________.10、若曲线24y x =-与直线(2)3y k x =-+有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是___________.11、点P 是抛物线2y x =上的动点，点Q 的坐标为(3,0)，则PQ 的最小值为___________. 12、一条光线从点(3,5)A -射到直线:30l x y --=后，在反射到另一点(2,12)B ，则反射光线所在的直线方程是___________.13、记直线:(1)10n l nx n y ++-=*()n N ∈与坐标轴所围成的直角三角形面积为n S ，则123lim()n n S S S S →∞++++L =___________.14、已知P 为椭圆22:12516x y C +=上的任意一点，2F 为椭圆C 的右焦点，M 点的坐标为(1,3)，则2PM PF +的最小值为___________.二、选择题（每题4分，共16分）15、已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4MA MB -=，则点M 的轨迹方程是（ ）（A ）221(0)45x y x -=<；（B ）221(0)45x y x -=> （C ）221(0)95x y x -=<；（D ）221(0)95x y x -=>. 16、已知直线1:210l ax y +-=与直线2:230l ax y --=，“2a =”是“1l 的方向向量是2l 的法向量”的（ ）（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件；（D ）既非充分又非必要条件.17、直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上的任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r （,a b R ∈，O 为坐标原点），则a 、b 满足的关系是（ ）（A ）12ab =； （B ）14ab =； （C ）2212a b +=； （D ）2214a b +=. 18、如图，函数33y x =+的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（ ） ①渐近线方程是33y x =和0x =； ②对称轴所在的直线方程为3y x =和33y x =-； ③实轴长和虚轴长之比为3:3； ④其共轭双曲线的方程为33y x=-. （A ）1个；（B ）2个；（C ）3 个；（D ）4个.三、简答题（共42分）19、（本题6分）已知双曲线与椭圆221164x y +=焦点相同，且其一条渐近线方程为0x -=，求该双曲线方程.20、（本题7分）已知曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点(1,0)F 的距离减去它到y 轴距离的差都等于1，求曲线C 的方程.21、（本题7分）已知直线1:240l x y +-=，求1l 关于直线:3410l x y +-=的对称的直线2l 的方程.22、（本题10分，第1小题3分，第2小题7分） 如图，抛物线的方程为22(0)y px p =>.（1）当4p =时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F 的距离；（2）已知该抛物线上一点P 的纵坐标为(0)t t >，过P 作两条直线分别交抛物线与11(,)A x y 、22(,)B x y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求证：12y y t+为定值；并用常数p 、t 表示直线AB 的斜率.23、（本题12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，已知椭圆C 的方程为22221(12)12x y b b+=<，且长轴长与焦距之比为3:2，圆O 的圆心在原点O ，且经过椭圆C 的短轴顶点. （1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）是否存在同时满足下列条件的直线l ：①与圆O 相切与点M （M 位于第一象限）；②与椭圆C 相交于A 、B 两点，使得2OA OB ⋅=u u u r u u u r.若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由.上海市延安中学2013学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题（每题3分，共42分） 1、方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______125312-⎛⎫⎪⎝⎭_____.2、抛物线22x y =的准线方程是_____12y =-______. 3、过点(5,3)P 和点(2,4)Q -的直线的倾斜角为__1arctan7π-__. 4、执行右边的程序框图，输入8k =，则输出S 的值是_____70_____. 5、已知点(4,3)A -和(2,1)B -，点P 满足||||PA PB =，则点P 的轨迹方程是______50x y --=_____.6、已知直线30ax y ++=过点(1,1)--，则行列式13112211a-的值为_____0_____.7、若方程22146x y k k+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是___(6,1)--__.8、已知直线1:210l x my +-=平行于直线2:(1)10l m x y -++=，则实数m =_____2____. 9、直线3y kx =+与圆226490x y x y +--+=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是_____3[,0]4-______.10、若曲线24y x =-与直线(2)3y k x =-+有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是_____53[,]124______. 11、点P 是抛物线2y x =上的动点，点Q 的坐标为(3,0)，则PQ 的最小值为____112___.12、一条光线从点(3,5)A -射到直线:30l x y --=后，在反射到另一点(2,12)B ，则反射光线所在的直线方程是______3180x y +-=_____.13、记直线:(1)10n l nx n y ++-=*()n N ∈与坐标轴所围成的直角三角形面积为n S ，则123lim()n n S S S S →∞++++L =______12_____. 14、已知P 为椭圆22:12516x y C +=上的任意一点，2F 为椭圆C 的右焦点，M 点的坐标为(1,3)，则2PM PF +的最小值为______5_____.二、选择题（每题4分，共16分）15、已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4MA MB -=，则点M 的轨迹方程是（ B ）（A ）221(0)45x y x -=<；（B ）221(0)45x y x -=> （C ）221(0)95x y x -=<；（D ）221(0)95x y x -=>. 16、已知直线1:210l ax y +-=与直线2:230l ax y --=，“2a =”是“1l 的方向向量是2l 的法向量”的（ A ）（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件；（D ）既非充分又非必要条件.17、直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上的任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r （,a b R ∈，O 为坐标原点），则a 、b 满足的关系是（ B ）（A ）12ab =； （B ）14ab =； （C ）2212a b +=； （D ）2214a b +=. 18、如图，函数33y x =+的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（ D ） ①渐近线方程是3y x =和0x =； ②对称轴所在的直线方程为3y x =和33y x =-；③实轴长和虚轴长之比为3④其共轭双曲线的方程为y=.（A）1个；（B）2个；（C）3 个；（D）4个.三、简答题（共42分）19、（本题6分）已知双曲线与椭圆221164x y+=焦点相同，且其一条渐近线方程为0x-=，求该双曲线方程.由已知可设双曲线方程为222x yλ-=，由于双曲线与椭圆221164x y+=焦点相同，故0λ>.将其化为标准方程2212x yλλ-=，则有164122λλ+=-=，解得8λ=，故双曲线方程为22184x y-=.20、（本题7分）已知曲线C在y轴右侧，C上每一点到点(1,0)F的距离减去它到y轴距离的差都等于1，求曲线C的方程.设曲线C上任意一点(,)x y1x=，整理得24y x=.又曲线C在y轴右侧，故0x>，从而曲线C的方程为24y x=(0)x>.21、（本题7分）已知直线1:240l x y+-=，求1l关于直线:3410l x y+-=的对称的直线2l的方程.由已知可求得直线1l与直线l的交点为(3,2)-，故设直线2l的方程为(3)(2)0a xb y-++==⇒=22()11aorb=舍从而直线2l的方程为2(3)11(2)0x y-++=，即211160x y++=22、（本题10分，第1小题3分，第2小题7分）如图，抛物线的方程为22(0)y px p=>.（1）当4p =时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F 的距离；（2）已知该抛物线上一点P 的纵坐标为(0)t t >，过P 作两条直线分别交抛物线与11(,)A x y 、22(,)B x y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求证：12y y t+为定值；并用常数p 、t 表示直线AB 的斜率.（1）当4p =时，28y x =，代入2y =，解得12x =. 则由抛物线定义可知：该点到焦点F 的距离即为其到准线2x =-的距离，为52.（2）设2(,)2t P t p(0)t >，由题意0PA PB k k +=， 即122212022y t y tt t x x p p--+=--， 由于A 、B 在抛物线上，故上式可化为122222121211002222y t y t y y t t y t y t p p p p--+=⇒+=++-- 从而有1220y y t ++=，即122y y t+=-为定值. 直线AB 的斜率121222*********AB y y y y p pk y y x x y y t p p--====--+-. 23、（本题12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，已知椭圆C 的方程为22221(12)12x y b b+=<，且长轴长与焦距之比为3:2，圆O 的圆心在原点O ，且经过椭圆C 的短轴顶点. （1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）是否存在同时满足下列条件的直线l ：①与圆O 相切与点M （M 位于第一象限）；②与椭圆C 相交于A 、B 两点，使得2OA OB ⋅=u u u r u u u r.若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由.（1）由已知：222238,42a cbc =⇒==，故椭圆C 的方程为221124x y +=；又圆O 圆心在原点，半径为2b =，圆O 的方程为224x y +=.（2）存在。
上海市延安中学学年高二数学上学期期中试题沪教版
上海市延安中学2013学年度第一学期期中考试（高二数学）（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题（本大题共39分，每小题3分） 1、计算行列式：2132-=___________.2、若(3,1)a =-，(3,2)b =-，则a b ⋅=___________.3、若(2,6)a =，(2,4)b =-，则2a b -=___________.4、22342lim 32n n n n →∞-+-=___________.5、已知矩阵123141A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，110112B ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则AB =___________. 6、已知1232PP PP =，又221P P PP λ=，则实数λ=___________. 7、行列式42354112k---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则实数k =___________.8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的S =___________. 9、设1111()1232f n n n n n=+++++++，则2lim [(1)()]n n f n f n →∞+-=___________.10、设12,e e 为单位向量，且12,e e 的夹角为3π，若123a e e =+，12b e =，则向量a 在b 方向上的投影为___________.11、向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+(,)R λμ∈，则λμ=___________.12、已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0PA PC +=，QA QB QC BC ++=，则四边形BCPQ 的面积为___________.13、设n 阶方阵21352121232541414345612(1)12(1)32(1)521n n n n n n A n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎪+++- ⎪ ⎪=+++- ⎪⎪ ⎪-+-+-+-⎝⎭，任取中n A 的一个元素，记为1x ；划去n A 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1n -阶方阵1n A -，任取1n A -中的一个元素，记为2x ；划去2x 所在的行和列，……；最后剩下一个元素记为n x ，记12n n S x x x =+++，则3lim1nn S n →∞+=___________.二、选择题（本大题共12分，每小题3分）14、已知点(1,2)A ，(4,2)B -，则与AB 平行的单位向量的坐标为（ ） （A ）34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（B ）34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭和34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（D ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭和34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 15、方程组230420x y y x -+=⎧⎨--=⎩的增广矩阵是（ ）（A ）1214-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）1241-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （C ）123412-⎛⎫ ⎪--⎝⎭（D ）123412--⎛⎫⎪-⎝⎭16、无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为（ ） （A ）S（B ）3S（C ）2S（D ）3S17、设a 是已知平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，一定存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c ，一定存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③给定单位向量b 和正数μ，一定存在单位向量c 和实数λ，使得a b c λμ=+； ④给定正数λ和μ，一定存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+； 上述命题中向量在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4三、简答题（本大题共49分） 18、（本题6分）解关于,x y 的方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.19、（本题7分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，对任意的*n N ∈，向量(1,)n a a =-，1(,)n b a q +=（q 是常数，0q >）都满足a b ⊥，求1limnn n S S →∞+.20、（本题9分，第1小题4分，第2小题5分）在ABC ∆中，4AB =，2AC =，D 是BC 边上一点，1233AD AB AC =+. （1）求证：BAD CAD ∠=∠； （2）若6AD =BC 的值.21、（本题13分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题5分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2(1)n n S na n n =--*()n N ∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求出其通项公式； （2）若32140023mS S S S m++++=，求正整数的m 值； （3）是否存在正整数k ，使得11211111lim 2004n k k k k n n a a a a a a →∞++++⎛⎫+++=⎪⎝⎭？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22、（本题14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）在直角坐标平面xOy 上的一列点11(1,)A a ，22(2,)A a ，…，(,)n n A n a ，…，简记为{}n A .若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +<，1,2,n =，其中j 为方向与x 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列.（1）判断1(1,1)A -，21(2,)2A -，31(3,)4A -，…，11(,)2n n A n --，…，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右下方，证明任取其中连续三点k A 、1k A +、2k A +，一定能构成钝角三角形；（3）若{}n A 为T 点列，且对于任意*n N ∈，都有0n b >，那么数列{}n a 是否一定存在极限？若是，请说明理由；若不是，请举例说明.上海市延安中学2013学年度第一学期期中考试（高二数学）（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题（本大题共39分，每小题3分）1、计算行列式：2132-=______7_____.2、若(3,1)a =-，(3,2)b =-，则a b ⋅=______11-_____.3、若(2,6)a =，(2,4)b =-，则2a b -=______10_____.4、22342lim 32n n n n →∞-+-=_____32-______.5、已知矩阵123141A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，110112B ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则AB =_____2501-⎛⎫ ⎪-⎝⎭______. 6、已知1232PP PP =，又22P P P P λ=，则实数λ=_____25-______.7、行列式42354112k---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则实数k =_____14-______.8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的S =_____36______. 9、设1111()1232f n n n n n=+++++++，则2lim [(1)()]n n f n f n →∞+-=______14_____.10、设12,e e 为单位向量，且12,e e 的夹角为3π，若123a e e =+，12b e =，则向量a 在b 方向上的投影为______52_____.11、向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+(,)R λμ∈，则λμ=_____178______.12、已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0PA PC +=，QA QB QC BC ++=，则四边形BCPQ 的面积为_____23______. 13、设n 阶方阵21352121232541414345612(1)12(1)32(1)521n n n n n n A n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎪+++- ⎪ ⎪=+++- ⎪⎪ ⎪-+-+-+-⎝⎭，任取中n A 的一个元素，记为1x ；划去n A 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1n -阶方阵1n A -，任取1n A -中的一个元素，记为2x ；划去2x 所在的行和列，……；最后剩下一个元素记为n x ，记12n n S x x x =+++，则3lim1nn S n →∞+=______1_____.提示：0000135212222135214444135212(1)2(1)2(1)2(1)13521n n nn n n n A n n nn n n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭从而231211(1)22(1)21222nnn n k k n n n S x x x n k k n n ==-=+++=-+-=+=∑∑二、选择题（本大题共12分，每小题3分）14、已知点(1,2)A ，(4,2)B -，则与AB 平行的单位向量的坐标为（ C ） （A ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭（B ）34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭和34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（D ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭和34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 15、方程组230420x y y x -+=⎧⎨--=⎩的增广矩阵是（ D ）（A ）1214-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）1241-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （C ）123412-⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （D ）123412--⎛⎫⎪-⎝⎭16、无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为（ A ） （A ）S（B ）3S（C ）2S（D ）3S17、设a 是已知平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，一定存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c ，一定存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③给定单位向量b 和正数μ，一定存在单位向量c 和实数λ，使得a b c λμ=+； ④给定正数λ和μ，一定存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+； 上述命题中向量在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（ B ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4提示：①②为真命题三、简答题（本大题共49分）18、（本题6分）解关于,x y 的方程组12mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.2111m D m m ==-，11(1)2x m D m m m m +==-，1(21)(1)12y m m D m m m+==+-当1m ≠且1m ≠-，即0D ≠，方程组有唯一解21(,)(,)11m m x y m m +=++； 当1m =，即0D =，0x y D D ==，方程组有无穷多解(,)(,2)x y t t =-，t R ∈；当1m =-，即0D =，2x y D D ==，方程组无解.19、（本题7分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，对任意的*n N ∈，向量(1,)n a a =-，1(,)n b a q +=（q 是常数，0q >）都满足a b ⊥，求1limnn n S S →∞+.a b ⊥10n n a b a a q +∴⋅=-+=，即1n na q a += 当1q =时，111limlim 1(1)n n n n S na S n a →∞→∞+==+；当1q ≠时，1101,1lim l 1,11im1nn n n n n S qq q S q q +→∞→∞+⎧-⎪==⎨>-<<⎪⎩. 20、（本题9分，第1小题4分，第2小题5分）在ABC ∆中，4AB =，2AC =，D 是BC 边上一点，1233AD AB AC =+. （1）求证：BAD CAD ∠=∠； （2）若6AD =BC 的值.（1）设13AE AB =，则由已知得23ED AC =，从而43AE =，24233ED =⋅=，且E D A C ∥，可得BAD EDA CAD ∠=∠=∠（2）由22121446()16433999A D A B A C A B A C ==+=⋅+⋅+⋅112AB AC ⇒⋅=，则22()42169B C A C A B A C A B =-=-⋅+=3BC ⇒= 21、（本题13分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题5分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2(1)n n S na n n =--*()n N ∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求出其通项公式； （2）若32140023mS S S S m++++=，求正整数的m 值；（3）是否存在正整数k ，使得11211111lim 2004n k k k k n n a a a a a a →∞++++⎛⎫+++=⎪⎝⎭？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.（1）[][]112(1)(1)2(1)(2)n n n n n a S S na n n n a n n --=-=-------14n n a a -⇒-=*(2,)n n N ≥∈，从而{}n a 为以1为首项，4为公差的等差数列. *43()n a n n N =-∈ （2）22(1)(43)2(1)2n n S na n n n n n n n n =--=---=-21nS n n⇒=-， 从而2321132140023mS S S S m m m++++=+++-==20m ⇒=（3）1111111111()()(43)(41)443414k k k k a a k k k k a a ++==-=--+-+， 从而11211111111111()()444341k k k k n n k n a a a a a a a a k n ++++++++=-=--+ 从而1121111111lim 4432004n k k k k n n a a a a a a k →∞++++⎛⎫+++=⋅=⎪-⎝⎭126k ⇒=. 22、（本题14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）在直角坐标平面xOy 上的一列点11(1,)A a ，22(2,)A a ，…，(,)n n A n a ，…，简记为{}n A .若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +<，1,2,n =，其中j 为方向与x 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列.（1）判断1(1,1)A -，21(2,)2A -，31(3,)4A -，…，11(,)2n n A n --，…，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右下方，证明任取其中连续三点k A 、1k A +、2k A +，一定能构成钝角三角形；（3）若{}n A 为T 点列，且对于任意*n N ∈，都有0n b >，那么数列{}n a 是否一定存在极限？若是，请说明理由；若不是，请举例说明.由已知11(1,)n n n n A A a a ++=-(0,1)j =，则11n n n n n b A A j a a ++=⋅=-.（1）11111()()222n n n n n n b a a +-=-=---=，则11112n n n n b b b b ++=<⇒<，从而11{(,)}2n n --为T 点列.（2）11(1,)(1,)n n n n n A A a a b ++=-=，又由点2A 在点1A 的右下方，可知1210ba a =-<. 又11112112211(1,)(1,)1(1,)(1,)k k k k k k k k k k k k k k k k A A a a b A A A A b b A A a a b +++++++++++⎧=--=--⎪⇒⋅=--⎨=-=⎪⎩， 由于{}n A 为T 点列，故有110n n b b b +<<<<，从而112110k k k k k k A A A A b b ++++⋅=--<，即12k k k A A A ++∠为钝角，得证. （3）不是. 反例：112n n a n -=-，则112nnb =+，满足{}n A 为T 点列，而显然{}n a 极限不存在.。
上海市延安中学学年度高二第一学期期末考试(数学)试题
上海市延安中学20１3学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间:9０分钟 ﻩ满分:1０0分）班级___＿_____＿___＿姓名＿__＿_＿_＿______学号＿_＿_＿____＿____＿_成绩＿＿___＿_____＿__一、填空题(每题3分,共42分) 1、方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_＿__＿____＿_．2、抛物线22x y =的准线方程是___＿__＿＿_＿_.３、过点(5,3)P 和点(2,4)Q -的直线的倾斜角为________＿＿_. 4、执行右边的程序框图,输入8k =，则输出S 的值是__＿_＿____＿_．5、已知点(4,3)A -和(2,1)B -,点P 满足||||PA PB =，则点P 的轨迹方程是___＿_＿_____．6、已知直线30ax y ++=过点(1,1)--,则行列式13112211a-的值为__＿_＿______.7、若方程22146x y k k+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是_____＿____＿.8、已知直线1:210l x my +-=平行于直线2:(1)10l m x y -++=，则实数m =_______＿_＿_.9、直线3y kx =+与圆226490x y x y +--+=相交于M ,N 两点，若23MN ≥,则k 的取值范围是________＿＿_. 1０、若曲线24y x =-与直线(2)3y k x =-+有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是_________＿＿．11、点P 是抛物线2y x =上的动点,点Q 的坐标为(3,0)，则PQ 的最小值为_______＿___．１2、一条光线从点(3,5)A -射到直线:30l x y --=后，在反射到另一点(2,12)B ,则反射光线所在的直线方程是__＿_＿__＿__＿.13、记直线:(1)10n l nx n y ++-=*()n N ∈与坐标轴所围成的直角三角形面积为n S ，则123lim()n n S S S S →∞++++=＿__＿_______.1４、已知P 为椭圆22:12516x y C +=上的任意一点,2F 为椭圆C 的右焦点,M 点的坐标为(1,3)，则2PM PF +的最小值为_______＿__＿.二、选择题(每题4分，共16分）1５、已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）（Ａ)221(0)45x y x -=<；ﻩﻩ（Ｂ）221(0)45x y x -=> （C ）221(0)95x y x -=<；ﻩ(D ）221(0)95x y x -=>. 1６、已知直线1:210l ax y +-=与直线2:230l ax y --=,“2a =”是“1l 的方向向量是2l 的法向量”的( ) （Ａ)充分非必要条件; ﻩ ﻩ（B ）必要非充分条件；ﻫ（Ｃ）充要条件;ﻩﻩﻩﻩﻩ（D)既非充分又非必要条件.17、直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于A 、B 两点,设P 为双曲线上的任意一点,若OP aOA bOB =+(,a b R ∈，O 为坐标原点)，则a 、b 满足的关系是( )ﻫ(Ａ)12ab =；ﻩ (B ）14ab =; ﻩ (C)2212a b +=;ﻩ (D ）2214a b +=. 18、如图,函数33y x=+的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（ )ﻫ①渐近线方程是33y x =和0x =;ﻫ②对称轴所在的直线方程为3y x =和33y x =-;ﻫ③实轴长和虚轴长之比为3:3；④其共轭双曲线的方程为y =.ﻫ（Ａ）1个;ﻩ ﻩ(B ）２个; ﻩ （C ）3ﻩ个;ﻩ(D ）４个.三、简答题(共４２分）19、(本题6分)已知双曲线与椭圆221164x y +=焦点相同，且其一条渐近线方程为0x -=，求该双曲线方程.20、（本题7分)已知曲线C 在y 轴右侧,C 上每一点到点(1,0)F 的距离减去它到y 轴距离的差都等于1,求曲线C 的方程.21、（本题７分)已知直线1:240l x y +-=，求1l 关于直线:3410l x y +-=的对称的直线2l 的方程.2２、(本题１0分，第1小题3分，第2小题７分）ﻫ如图，抛物线的方程为22(0)y px p =>． （1）当4p =时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F 的距离;（2)已知该抛物线上一点P 的纵坐标为(0)t t >,过P 作两条直线分别交抛物线与11(,)A x y 、22(,)B x y ,当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求证：12y y t+为定值；并用常数p 、t 表示直线AB 的斜率.23、（本题1２分，第1小题４分，第２小题8分)如图,已知椭圆C 的方程为22221(12)12x y b b+=<，且长轴长与焦距之比为3:2，圆O 的圆心在原点O ,且经过椭圆C 的短轴顶点．（1)求椭圆C 和圆O 的方程；ﻫ（2）是否存在同时满足下列条件的直线l ：①与圆O 相切与点M (M 位于第一象限)；②与椭圆C 相交于A 、B 两点,使得2OA OB ⋅=.若存在,求出此直线方程,若不存在，请说明理由.上海市延安中学2013学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间:90分钟ﻩﻩ满分：100分)班级______＿___＿___姓名_____＿＿_______学号_＿__＿＿_____＿＿__＿成绩＿＿＿_______＿___一、填空题（每题３分，共42分） 1、方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______125312-⎛⎫⎪⎝⎭___＿_. 2、抛物线22x y =的准线方程是＿___＿12y =-＿_____. 3、过点(5,3)P 和点(2,4)Q -的直线的倾斜角为_＿1arctan 7π-_＿.4、执行右边的程序框图，输入8k =，则输出S 的值是_____7０_____. ５、已知点(4,3)A -和(2,1)B -，点P 满足||||PA PB =,则点P 的轨迹方程是____＿_50x y --=＿＿＿__.6、已知直线30ax y ++=过点(1,1)--，则行列式13112211a-的值为＿_＿__０____＿．7、若方程22146x y k k+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是＿__(6,1)--__.8、已知直线1:210l x my +-=平行于直线2:(1)10l m x y -++=，则实数m =__＿__２____.9、直线3y kx =+与圆226490x y x y +--+=相交于M ,N 两点，若23MN ≥,则k 的取值范围是＿____3[,0]4-__＿__＿.１0、若曲线24y x =-与直线(2)3y k x =-+有两个不同的公共点,则实数k 的取值范围是__＿__53[,]124_＿＿_＿_． 11、点P 是抛物线2y x =上的动点，点Q 的坐标为(3,0),则PQ 的最小值为_＿__112___. 1２、一条光线从点(3,5)A -射到直线:30l x y --=后，在反射到另一点(2,12)B ，则反射光线所在的直线方程是______3180x y +-=__＿__．１３、记直线:(1)10n l nx n y ++-=*()n N ∈与坐标轴所围成的直角三角形面积为n S ，则123lim()n n S S S S →∞++++=__＿_＿_12_____．１4、已知P 为椭圆22:12516x y C +=上的任意一点，2F 为椭圆C 的右焦点,M 点的坐标为(1,3),则2PM PF +的最小值为_＿____5___＿_.二、选择题（每题4分，共16分）1５、已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ B ）ﻫ(A)221(0)45x y x -=<；（B)221(0)45x y x -=>ﻫ(C)221(0)95x y x -=<;ﻩﻩﻩﻩ(Ｄ)221(0)95x y x -=>. 1６、已知直线1:210l ax y +-=与直线2:230l ax y --=,“2a =”是“1l 的方向向量是2l 的法向量”的( A )ﻫ(A)充分非必要条件；(B ）必要非充分条件；ﻫ(C)充要条件;ﻩﻩﻩﻩ(D)既非充分又非必要条件.１７、直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于A 、B 两点,设P 为双曲线上的任意一点,若OP aOA bOB =+（,a b R ∈，O 为坐标原点)，则a 、b 满足的关系是（ B ） （A ）12ab =；ﻩ ﻩ（Ｂ）14ab =； ﻩ （C ）2212a b +=;ﻩ (Ｄ)2214a b +=. １8、如图,函数33y =+的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（ D ）①渐近线方程是3y x =和0x =;ﻫ②对称轴所在的直线方程为y =和3y x =-;ﻫ③实轴长和虚轴长之比为3ﻫ④其共轭双曲线的方程为y =． (A)１个;ﻩ ﻩ （B ）２个;(C ）3 个;ﻩ（D)４个.三、简答题(共42分）19、(本题6分）已知双曲线与椭圆221164x y +=焦点相同,且其一条渐近线方程为0x =,求该双曲线方程.由已知可设双曲线方程为222x y λ-=,由于双曲线与椭圆221164x y +=焦点相同,故0λ>. 将其化为标准方程2212x y λλ-=，则有164122λλ+=-=,解得8λ=,故双曲线方程为22184x y -=． 20、(本题7分)已知曲线C 在y 轴右侧,C 上每一点到点(1,0)F 的距离减去它到y 轴距离的差都等于1,求曲线C 的方程.设曲线C 上任意一点(,)x y ,1x =，整理得24y x =.又曲线C 在y 轴右侧，故0x >，从而曲线C 的方程为24y x =(0)x >.21、（本题7分）已知直线1:240l x y +-=，求1l 关于直线:3410l x y +-=的对称的直线2l 的方程.由已知可求得直线1l 与直线l 的交点为(3,2)-，故设直线2l 的方程为(3)(2)0a x b y -++==⇒=22()11a or b =舍从而直线2l 的方程为2(3)11(2)0x y -++=，即211160x y ++= ２2、(本题１0分,第1小题3分,第２小题7分） 如图,抛物线的方程为22(0)y px p =>.(１)当4p =时,求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F 的距离;(２）已知该抛物线上一点P 的纵坐标为(0)t t >，过P 作两条直线分别交抛物线与11(,)A x y 、22(,)B x y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求证：12y y t+为定值;并用常数p 、t 表示直线AB 的斜率.（1)当4p =时，28y x =,代入2y =,解得12x =. 则由抛物线定义可知：该点到焦点F 的距离即为其到准线2x =-的距离,为52．(2）设2(,)2t P t p(0)t >,由题意0PA PB k k +=， 即122212022y t y tt t x x p p--+=--， 由于A 、B 在抛物线上，故上式可化为122222121211002222y t y t y y t t y t y t p p p p--+=⇒+=++--从而有1220y y t ++=,即122y y t+=-为定值. ﻫ直线AB 的斜率121222121212222AB y y y y p pk y y x x y y t p p--====--+-. 23、(本题12分，第1小题4分，第2小题8分)如图，已知椭圆C 的方程为22221(12)12x y b b+=<,且长轴长与焦距之比为3:2,圆O 的圆心在原点O ，且经过椭圆C 的短轴顶点.（1）求椭圆C 和圆O 的方程;ﻫ(２）是否存在同时满足下列条件的直线l ：①与圆O 相切与点M (M 位于第一象限)；②与椭圆C 相交于A 、B 两点，使得2OA OB ⋅=.若存在，求出此直线方程,若不存在，请说明理由.(1)由已知:222238,42a c b c =⇒==,故椭圆C 的方程为221124x y +=；又圆O 圆心在原点,半径为2b =，圆O 的方程为224x y +=.（2)存在。
高二上学期数学期末测试题
高二上学期数学期末测试题The document was prepared on January 2, 2021高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题一、选择题：1．不等式212>++x x 的解集为 A.()()+∞-,10,1 B.()()1,01, -∞- C.()()1,00,1 - D.()()+∞-∞-,11, 2．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的 条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分不必要3.若,20πθ≤≤当点()θcos ,1到直线01cos sin =-+θθy x 的距离为41,则这条直线的斜率为 B.－1 C.23 D.－334.已知x 的不等式01232>+-ax ax 的解集是实数集 R ,那么实数a 的取值范围是A.0,916 B.0, 916 C.916,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡38,0 5.过点2,1的直线l 被04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在直线方程为： A. 053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 013=+-y x6.下列三个不等式：①;232x x >+②2,0,≥+≠∈ba ab ab R b a 时、；③当0>ab 时,.b a ba +>+其中恒成立的不等式的序号是 A.①② B.①②③ C.① D.②③7.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8.圆C 切y 轴于点M 且过抛物线452+-=x x y 与x 轴的两个交点,O 为原点,则OM 的长是 A ．4 B ． C ．22 D ．29.与曲线1492422=+y x 共焦点,而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x10.抛物线x y 42-=上有一点P,P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为A ．32B ．2+3C ．3D ．32-11.若椭圆)1(122>=+m y mx与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则21PF F ∆的面积是 A ．4B ．2C ．1D ．12.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点ＡＢ,其中点Ａ坐标为1,2,设抛物线焦点为Ｆ,则|FA |+|FB |= Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4二、填空题13. 设函数,2)(+=ax x f 不等式6|)(|<x f 的解集为-1,2,则不等式()1≤x f x的解集为 14.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的圆周,则ba11+的最小值为______ 15．若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点,则焦点坐标是 . 16.抛物线x y 22-=上的点M 到焦点F 的距离为3,则点M 的坐标为____________. 三、解答题： 18．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ,其离心率为22,设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ已知直线l 与圆3222=+y x 相切,求证：OA ⊥OBO 为坐标原点；Ⅲ以线段OA,OB 为邻边作平行四边形OAPB,若点Q 在椭圆C 上,且满足OP OQ λ=O 为坐标原点,求实数λ的取值范围．19．已知圆C y 轴对称,经过抛物线x y 42=的焦点,且被直线x y =分成两段弧长之比为1：2,求圆C 的方程.20. 平面内动点Px,y 与两定点A-2, 0, B2,0连线的斜率之积等于-1/3,若点P 的轨迹为曲线E,过点Q (1,0)-作斜率不为零的直线CD 交曲线E 于点C D 、．1求曲线E 的方程； 2求证：AC AD ⊥；3求ACD ∆面积的最大值．21．已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ,且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点,求直线l 的方程. 22、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ,上顶点为A ,过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆与x 轴正半轴Q P 、两点,且PQ AP 58=I 求椭圆离心率e ；II 若过A,F,Q 三点的圆恰好与直线033:=++y x l 相切,求椭圆方程答案一、ABDB A CD D A A C A 二、13. {x|x>21或52≤x }; 14. 4 ; 15.0,±3; 16．－5,25±. 三、17．解：由062322<--+-x x x x ,得0)2)(3()2)(1(<+---x x x x 18．Ⅰ椭圆方程为2212x y +=；Ⅱ见解析Ⅲ22λ-<<且0λ≠．解析试题分析：Ⅰ由已知离心率为22,可得等式222b a =；又因为椭圆方程过点(1M 可求得21b =,22a =,进而求得椭圆的方程； Ⅱ由直线l 与圆2223x y +=相切,可得m 与k 的等式关系即222(1)3m k =+,然后联立直线l 与椭圆的方程并由韦达定理可得122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,进而求出=21y y 222212m k k -+,所以由向量的数量积的定义可得→→⋅OB OA 的值为0,即结论得证；Ⅲ由题意可分两种情况讨论：ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称；ⅱ当0m ≠时,点A 、B不原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数λ的取值范围即可.试题解析：Ⅰ222c e a b c a==+离心率,222a b ∴= 222212x y b b ∴+=椭圆方程为,将点(12M ，代入,得21b =,22a =∴所求椭圆方程为2212x y +=．Ⅱ因为直线l 与圆2223x y +=相切,所以=即222(1)3m k =+ 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ,则122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,所以1212()()y y kx m kx m =++=221212()k x x km x x m +++=222212m k k -+,所以1212OA OB x x y y ⋅=+=222212m k -++222212m k k -+=22232212m k k --+=0,故OA OB ⊥, Ⅲ由Ⅱ可得121222()212my y k x x m k +=++=+, 由向量加法平行四边形法则得OA OB OP +=,OP OQ λ=,OA OB OQ λ∴+= ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称,则0λ= 此时不构成平行四边形,不合题意． ⅱ当0m ≠时,点A 、B 不原点对称,则0λ≠,由OA OB OQ λ+=,得12121(),1().Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即224,(12)2.(12)Q Qkm x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩点Q 在椭圆上,∴有222242[]2[]2(12)(12)km mk k λλ-+=++, 化简,得222224(12)(12)m k k λ+=+．2120k +≠,∴有2224(12)m k λ=+． ①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-,∴由0∆>,得2212k m +>． ②将①、②两式,得2224m m λ>0m ≠,24λ∴<,则22λ-<<且0λ≠．综合ⅰ、ⅱ两种情况,得实数λ的取值范围是22λ-<<且0λ≠．19.解：设圆C 的方程为)(2a y x -+22r =, 抛物线x y 42=的焦点()0,1F221r a =+∴ ①又直线x y =分圆的两段弧长之比为1：2,可知圆心到直线x y =的距离等于半径的,21即22r a = ②解①、②得2,12=±=r a 故所求圆的方程为 2)1(22=±+y x20．1223144x y +=(2)x ≠±；2略；31. 解析试题分析：1根据题意可分别求出连线PA ,PB 的斜率PA k ,PB k ,再由条件斜率之积为13列出方程,进行化简整理可得曲线E 的方程,注意点P 不与点,A B 重合.根据斜率的计算公式可求得2PA y k x ,2PB yk x ,所以12223y yx x x ,化简整理可得曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±； 2若要证AB AC ,只要证0AB AC ,再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线BC 的方程为1myx ,1122,,,C x y D x y ,联立直线与椭圆的方程消去x ,可得y 的一元二次方程032)3(22=--+my y m ,由违达定理知33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,则12122623x x m y y m ,()()21212243113m x x my my m -+⋅=--=+,又112,ACx y ,222,AD x y ,所以()()()121212*********AC AD x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++=,从而可以证明AB AC ；3根据题意可知122111223ACDS AQ y y m △=⋅-=⨯=+,=故当0m =时,ACD △的面积最大,最大面积为1.试题解析：1设动点P 坐标为(,)x y ,当2x ≠±时,由条件得：1223y y x x ⋅=--+,化简得223144x y +=, 故曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±. 4分说明：不写2x ≠±的扣1分 2CD 斜率不为0,所以可设CD 方程为1+=x my ,与椭圆联立得：032)3(22=--+my y m 设),(),,(2211y x D y x C , 所以33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,. 6分 01323)1(31)()1(),2(),2(2222212122211=+++++-=++++=+⋅+m m m m y y m y y m y x y x ,所以AC AD ⊥ 8分3ACD ∆面积为2222221)3(334394||21+-+=++=-m m m m y y , 10分 当0=m 时ACD △的面积最大为1. 12分考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.21．解：直线l 与x 轴不平行,设l 的方程为 a my x += 代入双曲线方程 整理得而012≠-m ,于是122--=+=m amy y y B A T 从而 12--=+=m a a my x T T 即 )1,1(22mam am T -- 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴mam a m am 即22+=a m ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=m 或 122+=a m当0=m 时,由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a m 时,由①得 1=a l m ∴±=,3的方程为13+±=y x . 故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x22．解：I ），（）、）（，（），由，（设b A b a c c F x Q 000220-=- 知),(),,(0b x AQ b c FA -==. cb x b cx AQ FA 2020,0,==-∴⊥ .设PQ AP y x P 58),,(11=由,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==+=b b yc b x x 135581,138581581201 因为点P 在椭圆上,所以1)135()138(22222=+bb ac b 整理得ac c a ac b 3232222=-=）（，即 02322=-+⇒e e .21=⇒e II 由I,a c a c a c b ac b 21,21;23,3222====得由得 于是AQF a Q a F ∆-),0,23(),0,21(的外接圆圆心为)0,21(a ,半径.21a FQ r ==因为这个圆与直线033:=++y x l 相切,所以a a =+2|321|,解得a =2, ∴c=1,b=3,所求椭圆方程为13422=+y x。
【高二】上海市延安中学学年度高二第一学期期末考试(数学)试题
【高二】上海市延安中学学年度高二第一学期期末考试(数学)试题试卷说明：上海延安中学学年第一学期期末考试高二评分数学试卷（考试时间：90分钟，满分：100分）课堂__________________________________________________。
方程的增广矩阵是_____2。
_3是抛物线方程。
穿过该点的直线的倾角，该点为___4。
执行右边的程序框图，输入，输出值为___5。
如果已知点和且点满足，则点的轨迹方程为___6。
行列式的值是7。
如果方程式表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值范围为___8。
如果已知直线平行于直线，则实数=___9。
直线和圆在两点相交。
如果是，则值范围为___10。
如果曲线和直线有两个不同的公共点，实数的取值范围为___11。
点是抛物线上的移动点。
如果该点的坐标为，则该点的最小值为___12。
光线从一点射向一条直线并反射到另一点后，反射光线的线性方程为___13。
请注意，由直线和坐标轴包围的直角三角形的面积为，然后=___14。
如果已知它是椭圆上的任意一点，是椭圆的右焦点，且该点的坐标为，则最小值为_____2、多项选择题（每题4分，共16分）15。
已知点和点，且满足运动点，则该点的轨迹方程为（）（a）；（b）（c）；（d）。
16.给定一条直线和一条直线，（）（a）充分和不必要的条件，即“”是“的方向向量”的法向量；（b）必要条件和不足条件；（c）充分必要条件；（d）这既不充分也不必要。
17.如果直线和双曲线的渐近线在两点相交，则它是双曲线上的任意一点。
如果（，是坐标原点），则和满足的关系为（）（a）；（b）（c）；（d）。
18.如图所示，函数的图像是双曲线，下面描述双曲线属性的正确数字是（）① 渐近线方程为和；② 对称轴的线性方程为和；③ 实轴长度与虚轴长度之比为；④ 其共轭双曲线方程为（a）1；（b） 2；（c） 3；（d） 4.3、简短回答问题（共4分）1。
2022-2023学年上海市延安中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市延安中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．已知，两点关于原点对称，则点的坐标为______. ()1,2,3A -B B 【答案】()1,2,3--【分析】两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标、竖坐标全部相反，故得解. 【详解】因为，两点关于原点对称， ()1,2,3A -B 所以点坐标为. B ()1,2,3--故答案为：.()1,2,3--2．两条平行直线和的距离为______. 4350x y -+=4350x y --=【答案】2【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】根据平行线间距离公式可得，d 故答案为：23．已知直线和直线平行，则实数的值为______. 210ax y +-=()1430a x y ++-=a 【答案】.1【分析】利用两直线平行列方程即可求得. 【详解】直线可化为：，直线可化为：210ax y +-=122a y x =-+()1430a x y ++-=. 1344a y x +=-+因为两直线平行，所以，解得：.1241324aa +⎧-=-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩1a =故答案为：.14．直线和直线的夹角的大小为______. 520x y -+=3270x y +-=【答案】 π4【分析】分别求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可求得.【详解】直线的方向向量为，直线的方向向量为，520x y -+=()1,5m = 3270x y +-=31,2m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以直线和直线的夹角的余弦值为：520x y -+=3270x y +-=，cos m =因为两直线的夹角，所以直线和直线的夹角为.π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦520x y -+=3270x y +-=π4故答案为：π45．已知是某双曲线的一个顶点，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的标准方程为()2,0-32______.【答案】22145x y -=【分析】由已知得，，再利用，进而得解. 2a =3c =222b c a =-【详解】由已知得，， 2a =32c a =3c ∴=又，所以双曲线的标准方程为.222945b c a =-=-=22145x y -=故答案为：.22145x y -=6．已知，两点，则满足的动点的轨迹方程为______. ()1,0A -()10B ,2PA PB -=P 【答案】()01y x =≥【分析】根据即可求解.2PA PB AB -==【详解】由于，是两个定点，则满足,()1,0A -()10B ,2PA PB AB -==因此动点的轨迹是的延长线上,且点在轴上点的右侧（包含B ），故其方程为P AB P x ()10B ,，()01y x =≥故答案为：()01y x =≥7．已知，两点关于直线对称，则点的坐标为______. ()5,2A -B 100x y +-=B 【答案】(8,15)【分析】设点，由题意可得，求解即可.(,)B a b 2(1)155210022b a a b -⎧⋅-=-⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩【详解】解：设点，(,)B a b 因为直线的斜率为，100x y +-=1k =-则有，2(1)155210022b a a b -⎧⋅-=-⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：，815a b =⎧⎨=⎩所以点的坐标为. B (8,15)故答案为：(8,15)8．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个单位法向量，且，则向量()3,4,12d =- l n αl α⊥n的坐标为______.【答案】或. 3412(,,131313-3412(,,131313--【分析】根据线面关系确定与共线的关系，再根据单位向量即可求解.d n【详解】根据是直线的一个方向向量，，是平面的一个单位法向量，()3,4,12d =- l l α⊥nα所以与共线，且是单位向量，d n n所以或3412(,,131313dn d -===3412(,,131313d n d =-==--故答案为：或. 3412(,,)131313-3412(,,)131313--9．经过点，可作圆的两条切线，已知其中一条切线的方程为，则另一条切()5,15222x y r +=5x =线的方程为______（用一般式表示） 【答案】43250x y -+=【分析】由题意可知圆的圆心为，半径为5，设另一条切线的方程为222x y r +=()0,0，根据切线的基本性质即可求解.()155y k x -=-【详解】由题意，圆的圆心为，半径为5，即， 222x y r +=()0,0=5r 设另一条切线的方程为，即，()155y k x -=-5150kx y k --+=，解得， 43k =所以另一条切线的方程为，即.42015033x y --+=43250x y -+=故答案为：.43250x y -+=10．已知，，且，则为______. (),2,1AB a b a =- ()2,2,4AC a b =+- AB AC ⊥BC u u u r【分析】根据向量垂直的数量积为0，可求得，再利用向量的减法及模长公式可求解.,a b 【详解】，，且，(),2,1AB a b a =- ()2,2,4AC a b =+- AB AC ⊥，()()2222410AB AC a b b a ∴⋅=++--=即，解得()()2222222110a b a b a b +-++=-++=1,1a b ==-又 ()()()2,1,41,2,01,3,4BC AC AB -=---=-==11．过点分别作斜率为2和3的两条直线，前者交椭圆于，两点，后者交()4,10A 22159x y +=B C 轴于点，则的周长为______.y D BCD △【答案】12【分析】根据直线方程可得与轴的交点，进而可知,为椭圆的焦点,故根据椭圆的y ()0,2D -()0,2E 焦点三角形即可求解周长.【详解】由题意可知：直线方程为：，故直线与轴的交点坐BC ()241022y x y x =-+Þ=+BC y 标为,直线方程为：，故直线与轴的交点坐标为()0,2E AD ()341032y x y x =-+Þ=-AD y,由椭圆方程可知故,为椭圆的焦点,故()0,2D -22159x y +=3,a b ==()0,2D -()0,2E 的周长为，BCD △22412BC CD AD CE CD BE BD a a a ++=+++=+==故答案为：1212．已知为直线上的一个动点，为曲线上的一个动点，P 210x y +-=Q 423242210x x y x x --++=则线段长度的最小值为______.PQ【分析】先把曲线转化为，判断出线段的最小值即为与平行22112122y x x x =-++PQ 1122y x =-+的直线与相切时，两平行线间的距离.利用导数求出切点坐标，利用点到423242210x x y x x --++=直线的距离公式求解.【详解】直线可化为：.210x y +-=1122y x =-+对于曲线. 423242210x x y x x --++=当时，代入不成立，所以.0x =10=0x ≠所以可化为，导数为423242210x x y x x --++=22112122y x x x=-++31142y x x -'=-所以线段的最小值即为与平行的直线与相切时，两平行PQ 1122y x =-+423242210x x y x x --++=线间的距离. 设切点.(),Q m n 由题意可得：，即，解得：或322111422112122m m n m m m ⎧--=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩32214112122m m n mm m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩当Q当Q ⎛ ⎝综上所述：线段PQ二、单选题13．双曲线的焦点坐标为（ ）22154y x -=A ．B ．C ．D ．()1,0±()0,1±()3,0±()0,3±【答案】D【分析】根据双曲线的标准方程确定，从而可以确定焦点坐标. c 【详解】双曲线， 225,4a b ==所以， 222549c a b =+=+=且焦点在轴， y 所以焦点坐标为. ()0,3±故选：D.14．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ）l a αn a n ⊥//l αA ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由，得：，则“”是“”的必要条件，//l αa n ⊥ a n ⊥//l α而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件. a n ⊥ //l αl ⊂αa n ⊥//l α故选：B.15．已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） ()1,1220x y ax a +++=a A ． B ．()1,-+∞()1,0-C ． D ．()()1,04,-⋃+∞()(),04,-∞⋃+∞【答案】C【分析】利用点在圆外，列不等式组，即可解得. 【详解】因为点在圆外，()1,1220x y ax a +++=所以，解得：.222041110a a a a ⎧->⎪⎨⎪++⨯+>⎩()()1,04,a ∈-⋃+∞故选：C16．已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为该双曲线上的任x a =22221x ya b -=M N P 意一点，设为原点，，，为实数，则的值为（ ）O OP mOM nON =+ m n 1mnA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】求出双曲线渐近线方程，得到，点坐标，进而得到，代入双曲线M N (),P ma na mb nb +-方程，即可得出结果.【详解】由已知可得，双曲线的渐近线方程为， by x a=±代入可得，不妨设，.x a =y b =±(),M a b (),N a b -由，OP mOM nON =+()(),,m a b n a b =+-(),ma na mb nb =+-可得.(),P ma na mb nb +-因为，点在双曲线上，有，P ()()22221ma na mb nb ab+--=即，所以，所以. ()()221m n m n +--=41mn =14mn=故选：D.三、解答题17．已知直线和直线.1:0l ax y a +-=2:630l x ay a -+-=(1)求证：对任意实数，直线和各经过一个定点（依次设为和），并求，的坐标； a 1l 2l A B A B (2)设直线和交于点，求证：点的轨迹是一个圆，并求其标准方程. 1l 2l P P 【答案】(1)证明过程见详解；A B (1,0)(3,6)(2)证明过程见详解； 22(2)(3)10x y -+-=【分析】（1）根据参数确定直线所过定点即可求解；（2）根据证明，再根据1AP BP k k ⋅=-AP BP ⊥直径确定圆心和半径即可求解.【详解】（1）可以转化为：， 1:0l ax y a +-=1:(1)0l a x y -+=所以经过定点A ;1l (1,0)可以转化为：，2:630l x ay a -+-=2:(6)30l x y a +--=所以经过定点B .2l (3,6)（2）联立，12:0:630l ax y a l x ay a +-=⎧⎨-+-=⎩解得， 2222631621a a x a a a y a ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以， 22226362(,)11a a a a P a a -+-++所以，222222262620116263111APa a a aa a k a a a a a a ---++===--+-+-++， 2222222622661116326311BPa a a a a k a a a a aa a ----++===-+---++所以， 1AP BP k k ⋅=-所以，AP BP ⊥所以点的轨迹是以为直径的圆， P AB 圆心为：，半径为(2,3)R ==所以圆的标准方程是：.22(2)(3)10x y -+-=18．如图，四面体的各棱长均为2，，分别为棱，的中点，又设，ABCD E F DA BC DA a =，；DB b = DC c =(1)用向量，，的线性组合表示向量，；a b cBE DF (2)求向量，的夹角的大小.BEDF 【答案】(1)1,2BE a b =-1122DF b c=+(2) 2arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解，（2）根据向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）1,2BE DE DB a b =-=-()111222D DF DB C b c=+=+（2）由四面体的各棱长均为2，可知四面体为正四面体，所以，，两两夹角为ABCD ABCD a b c，因此， 601==22222a b c a b a c b c，=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，2211111111==222244222BE a b b c a b c DF a c b b b ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅+⋅+⋅--⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12a =， 1112222cos =1113222DF DF D a b b c BE BE BE a b b cF ，⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⋅-⎝⎭⎝⎭==-+由于，所以 []0πDF BE ，，∈2=arccos 3B D E F ，⎛⎫- ⎪⎝⎭19．已知正方体的棱长为3，，分别为棱，上的点，且1111ABCDA B C D -E F 1AA 1DD 11EA DF ==；如图所示，建立空间直角坐标系；利用所学空间向量知识，求：O xyz -(1)点到平面的距离；A 1EFC(2)平面与平面所成的锐二面角的大小. 1EFC 1111D C B A 【答案】(2)【分析】（1）求出点的坐标，利用点到平面的距离为，即可求解； A 1EFC 1n AC n ⋅ （2）利用空间向量方法求面面夹角.【详解】（1）由已知得，，，()10,0,0C ()3,3,1E ()3,0,2F ()3,3,3A则，， ()13,3,1C E = ()13,0,2C F =()13,3,3AC =--- 设平面的法向量为， 1EFC (),,n x y z =则，令，则 11330320n C E x y z n C F x z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 2x =()2,1,3n -=- 所以点到平面的距离为A 1EFC 1n n AC ⋅====（2）由（1）知，平面的法向量为， 1EFC ()2,1,3n -=-平面的法向量为，1111D C B A ()10,0,3C C =设平面与平面所成的锐二面角为，则1EFC1111DC B A θ1cos cos ,C C θ==θ=所以平面与平面所成的锐二面角为1EFC 1111D C B A 20．如图，双曲线的两条渐近线与圆在轴的上方部分交于，()22210k x y k -=>()2225x y ++=x A 两点.B(1)已知，两点的横坐标和恰为关于的方程的两个根，求，的A B 1x 2x x ()2210k x bx c +++=b c 值；(2)如果线段的长为2，求的值. AB k 【答案】(1)； 4,1b c ==-(2). 2k =【分析】（1）由题意可知双曲线的两条渐近线方程为，与圆联立方程组，消去，得到关于y kx =±y 的方程，再根据，两点的横坐标和为方程的两个根，从而可求出；x A B 1x 2x ,b c（2）由题意得，再根据两点间的距离公式和根与系数的关系可求出的值.1122(,),(,)A x kx B x kx -k 【详解】（1）由题意可知双曲线的两条渐近线方程为，y kx =±由，得， ()2225y kx x y =±⎧⎪⎨++=⎪⎩222(2)5x k x ++=化简得，22(1)410k x x ++-=因为，两点的横坐标和恰为关于的方程的两个根， A B 1x 2x x ()2210k x bx c +++=所以；4,1b c ==-（2）由题意得，1122(,),(,)A x kx B x kx -，2=所以，2221212()()4x x k x x -++=所以，222221122(1)(22)(1)4k x k x x k x ++-++=即，22221212(1)()(22)4k x x k x x +++-=即，221212(1)()44k x x x x ++-=由（1）可知 ， 12122241,11x x x x k k --+==++所以， 2222161(1)44(1)1k k k ++⨯=++化简得，解得或（舍去）.215k +=2k =2k =-21．如图1，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上的一点；过作斜率为的直线，xOy ()0,P a y P 1-交二次函数图象于，两点；如图2，把平面沿轴折起来，成为一个直二面角214y x =Q R xOy y ；如图3，建立空间直角坐标系.Q OP R --O xyz -(1)如图3，上述二次函数在折叠后有一部分图象位于平面上，设是该曲线上的一点；如果xOy S ，试求的最小值，并求此时在空间直角坐标系中的坐标；3a =SQ S O xyz -(2)如图3，如果（的大小用弧度表示），试求的值. πQPPR QPR∠=QPR ∠a 【答案】(1)有最小值为，此时；SQ ()S (2).24a =【分析】（1）根据已知求出点在图1中的坐标，然后转化为在图3的坐标.根据已知设出的坐Q S 标，根据两点之间的距离公式列出关系式，即可求出最小值； （2）联立直线与二次函数的方程可解出的坐标，进而得到， ,QR )1QP =.然后根据坐标关系可得出在空间直角坐标系下的坐标，得到)1PR =,Q R ，在中，根据余弦定理可解出.然后即可得到等量关系，求出结22432RQ a =+PQR 2π3QPR ∠=果.【详解】（1）解：当时，直线方程为.3a =3y x =-+联立直线方程与二次函数的方程可解得，或， 214y x =2143y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩21x y =⎧⎨=⎩69x y =-⎧⎨=⎩由图1知，，.将二次函数折叠成图3时，可知，.()2,1R ()6,9Q -()2,1,0R ()0,9,6Q因为在平面上，设，.S xOy (),0S s 0s >所以， ()()()22220906SQ s =+-+-()221411776868s s s =-+=-+≥当且仅当时，有最小值为，此时.7s =SQ ()S （2）解：直线方程为.y x a =-+联立直线与二次函数的方程 214y x y x a ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩解得，或， 22x y a ⎧=--⎪⎨=++⎪⎩22x y a ⎧=-+⎪⎨=+-⎪⎩则，.(22R a-++-(22Q a --++，)1=，)1=所以有. QPPR =又点在图3中的坐标为，R ()22R a -++-点在图3中的坐标为，Q (0,22Q a +++所以，()(()2222222432RQ a =++=+在中，由余弦定理可得，PQR 222cos 2QP PR RQQPR QP PR+-∠=⋅，=()()1611624321162a a a ++-+==-又，所以，所以， 0πQPR <∠<2π3QPR ∠=ππ32π23QP PR QPR ∠===，所以. 32=5=24a =【点睛】本题考察形式非常新颖，很容易产生畏惧心理.对于新颖的题目，首先要找准题目中的关键点.对于第2问中，出现的条件中的该如何处理，是本题的关键点.若考虑问πQPPR QPR∠=QPR ∠题重点在角和边之间的等量关系，可能会首先想到扇形或圆，这样便会误入歧途.本思考问题首先应考虑回归本质，在角的考察中，三角形与三角函数最为频繁，可以将其与三角形联系，尤其是出现坐标便可以考虑余弦定理或向量，即可找到突破点.。
高二上册期末数学试卷含答案
2012-2013学年高二上册期末数学试卷(含答案)高二数学2013年1月注意事项:1.本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.2.答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3.答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.第I卷（填空题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上.1.命题:＂R,使得＂的否定是▲．2.抛物线的准线方程为▲．3.若圆锥底面半径为1，高为，则其侧面积为▲．4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为▲．5.已知双曲线的右焦点到右准线的距离等于焦距的,则离心率为▲．6．圆与圆的位置关系为▲．7.函数的减区间为▲．8.过点向圆引切线，则切线长为▲．9.圆心在轴上，且与直线相切于点的圆的方程为▲．10.已知为两条不同直线，为两个不同平面.给出下列命题：①若∥,,则∥；②若∥,则；③若且，则∥；④若∥,则∥.其中正确命题的序号为▲（请写出所有你认为正确命题的序号）．11.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为AEEB＝ACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B 且与AB相交于点E，则类比得到的结论是▲．12.若直线与有两个不同的交点，则实数的取值范围为▲.13.设曲线上动点处的切线与轴、轴分别交于两点，则△面积的最大值为▲．14.已知e是自然对数的底，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是▲.第II卷（解答题）二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分)已知,,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.16.（本小题满分14分)（1）若，证明：（2）某高级中学共有2013名学生,他们毕业于10所不同的初级中学,证明:该高级中学至少有202名学生毕业于同一所初级中学.17．（本小题满分14分)棱长为a的正方体中，为面的中心.（1）求证：平面；（2）求四面体的体积；（3）线段上是否存在点(不与点重合)，使得∥面？如果存在，请确定P点位置，如果不存在，请说明理由．18.（本小题满分16分)如果函数在处取得极值，则点称为函数的一个极值点．已知函数(R)的一个极值点恰为坐标系原点,且在处的切线方程为.（1）求函数的解析式;（2）求函数在上的值域.19.（本小题满分16分)如图,有一块半径为R的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰△CDE,其中O为圆心,A,B在圆的直径上，C,D,E 在圆周上.（1）设,征地面积记为,求的表达式;（2）当为何值时,征地面积最大?20．（本小题满分16分)椭圆的焦点在轴上,中心是坐标原点,且与椭圆的离心率相同,长轴长是长轴长的一半.为上一点,交于点,关于轴的对称点为点,过作的两条互相垂直的动弦,分别交于两点,如图.（1）求椭圆的标准方程;（2）求点坐标;（3）求证:三点共线.。
2015-2016年上海市长宁区延安中学高二上学期期末数学试卷与解析
2015-2016学年上海市长宁区延安中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）复数z=3﹣2i的模为．2．（3分）双曲线的实轴长为．3．（3分）椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上不同于长轴端点的一点，则△PF1F2的周长为．4．（3分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，又它的准线方程为y=3，则该抛物线的方程为．5．（3分）某圆圆心在x轴上，半径为，且与直线x+2y=0相切，则此圆的方程为．6．（3分）若复数z同时满足，，则z=．7．（3分）设方程表示双曲线，则实数m的取值范围是．8．（3分）复数2i的平方根．9．（3分）若F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且点P 的横坐标为8，则△F1PF2的面积为．10．（3分）已知点A（5，0）和抛物线y2=4x上的动点P点，点M在线段PA上且满足|PM|=3|MA|，则点M的轨迹方程为．11．（3分）已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为．12．（3分）已知直线经过点P（2，0），且被圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2，则这条直线的方程为．13．（3分）已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且，那么m=．14．（3分）已知定点A（﹣5，0），B（5，4），点P为双曲线右支上任意一点，则|PB|﹣|PA|的最大值为．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分．15．（4分）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．（4分）直线2x﹣y﹣4=0与抛物线y2=6x交于A、B两点，则线段AB的长度为（）A．B．C．D．17．（4分）复数z满足z•+z+=17，则|z+2﹣i|的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．518．（4分）在直角坐标平面内，曲线|x﹣1|+|x+1|+|y|=4围成的图形面积为（）A．12 B．16 C．20 D．24三、解答题（本大题满分42分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（6分）已知复数z满足|z|﹣2z=﹣1+8i，求z．20．（7分）双曲线Γ中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又Γ的实轴长为4，且一条渐近线为y=2x，求双曲线Γ的标准方程．21．（9分）已知关于z的实系数一元二次方程z2+5z+a=0的两个复数根为α、β，试用实数a表示|α|+|β|的值．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．23．（10分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|x1y2﹣x2y1|．（2）设l1与l2的斜率之积为，求面积S的值．2015-2016学年上海市长宁区延安中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）复数z=3﹣2i的模为．【解答】解：复数z=3﹣2i的模为：|3﹣2i|==．故答案为：．2．（3分）双曲线的实轴长为6．【解答】解：双曲线的实半轴长为a=3，所以双曲线的实轴长为：6．故答案为：6．3．（3分）椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上不同于长轴端点的一点，则△PF1F2的周长为8+2．【解答】解：由椭圆，可得a=4，b=3，c==△PF1F2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2×4+2×=8+2．故答案为：8+2．4．（3分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，又它的准线方程为y=3，则该抛物线的方程为x2=12y．【解答】解：∵抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，又它的准线方程为y=3，∴可设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）∵=3，∴2p=12，∴抛物线的方程为x2=12y，故答案为：x2=12y．5．（3分）某圆圆心在x轴上，半径为，且与直线x+2y=0相切，则此圆的方程为（x±5）2+y2=5．【解答】解：圆心在x轴上，是（a，0），r=，圆心到切线x+2y=0距离等于半径所以=，所以|a|=5，所以a=±5圆C的标准方程为：（x±5）2+y2=5．故答案为：（x±5）2+y2=5．6．（3分）若复数z同时满足，，则z=﹣1+i．【解答】解：设z=a+bi（其中a，b∈R），则=a﹣bi．由题意得：，即，解得．∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．7．（3分）设方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（2+m）（2m﹣1）＞0，解得m＜﹣2或m＞．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．8．（3分）复数2i的平方根±（1+i）．【解答】解：由复数i的平方根是：，得复数2i的平方根是：±（1+i）．故答案为：±（1+i）．9．（3分）若F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且点P 的横坐标为8，则△F1PF2的面积为5．【解答】解：F1、F2是双曲线的两个焦点，可得c=，点P在双曲线上，且点P的横坐标为8，则P的纵坐标为：y=．则△F1PF2的面积为：=5．故答案为：5．10．（3分）已知点A（5，0）和抛物线y2=4x上的动点P点，点M在线段PA上且满足|PM|=3|MA|，则点M的轨迹方程为y2=x﹣．【解答】解：设点P的坐标为（m，n），M（x，y），点A（5，0）和抛物线y2=4x 上的动点P点，|PM|=3|MA|，点M在线段PA上，，3（x﹣5，y）=（m ﹣x，n﹣y）可得：，解得：即点P坐标为（4x﹣15，4y）而点P在抛物线y2=4x上，因此有（4y）2=4（4x﹣15），即y2=x﹣．∴动点M的轨迹方程为：y2=x﹣．故答案为：y2=x﹣．11．（3分）已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为．【解答】解：依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA|∴|AP|+|PF|=2根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，a=1，c=，则有b=故点P的轨迹方程为故答案为12．（3分）已知直线经过点P（2，0），且被圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2，则这条直线的方程为x=2和3x﹣4y﹣6=0．【解答】解：圆心（3，2），半径r=2，弦长m=2，设弦心距是d，则由勾股定理r2=d2+（）2得d=1．若l斜率不存在，是x=2．圆心和x=2距离是1，满足题意．y=k（x﹣4），kx﹣y﹣4k=0，则d==1，k2+4k+4=k2+1，k=，所以x=2和3x﹣4y﹣6=0，故答案为：x=2和3x﹣4y﹣6=0．13．（3分）已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且，那么m=．【解答】解：∵抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，∴，解得a=2．∴抛物线C的方程为：y=2x2（a＞0）．∵抛物线C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，∴可设直线AB的方程为y=﹣x+t．联立，消去y得2x2+x﹣t=0，∵直线AB与抛物线相较于不同两点，∴△=1+4t＞0．据根与系数的关系得，，，由已知，∴t=1．于是直线AB的方程为y=﹣x+1，设线段AB的中点为M（x M，y M），则=，∴y M==．把M代入直线y=x+m得，解得m=．故答案为．14．（3分）已知定点A（﹣5，0），B（5，4），点P为双曲线右支上任意一点，则|PB|﹣|PA|的最大值为﹣4．【解答】解：由双曲线，可知A（﹣5，0），是双曲线的左焦点，设双曲线左焦点为F2，则|PB|﹣|PA|=|PB|﹣|PF2|﹣2a，|PB|﹣|PF2|≤|BF2|，当P、F2、B三点共线时有最大值|BF2|=4，而对于这个双曲线，2a=8，所以最大值为4﹣8=﹣4．故答案为﹣4．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分．15．（4分）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选：B．16．（4分）直线2x﹣y﹣4=0与抛物线y2=6x交于A、B两点，则线段AB的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，联立直线2x﹣y﹣4=0与抛物线y2=6x，消去y得：（2x﹣4）2=6x，即2x2﹣11x+8=0，设方程的两根为x1，x2，即A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=4，则|AB|=，=故选：B．17．（4分）复数z满足z•+z+=17，则|z+2﹣i|的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设复数z在复平面上的对应点为Z（x，y），则z•+z+=17，可得x2+y2+2x=17，即：（x+1）2+y2=18，∴点Z的轨迹是以（﹣1，0）为圆心，3为半径的圆．|z+2﹣i|的最小值为半径减去圆心与（﹣2，1）的距离，最小值为：=2．故选：A．18．（4分）在直角坐标平面内，曲线|x﹣1|+|x+1|+|y|=4围成的图形面积为（）A．12 B．16 C．20 D．24【解答】解：①当x≤﹣1，y≤0时，曲线|x﹣1|+|x+1|+|y|=4化为：﹣2x﹣y=4，②当x≤﹣1，y＞0时，曲线|x﹣1|+|x+1|+|y|=4化为：﹣2x+y=4，③当﹣1＜x≤1，y≤0时，曲线|x﹣1|+|x+1|+|y|=4化为：y=﹣1，④当﹣1＜x≤1，y＞0时，曲线|x﹣1|+|x+1|+|y|=4化为：y=2，⑤当x＞1，y≤0时，曲线|x﹣1|+|x+1|+|y|=4化为：2x﹣y=4，⑥当x＞1，y＞0时，曲线|x﹣1|+|x+1|+|y|=4化为：2x﹣y=4，曲线|x﹣1|+|x+1|+|y|=4围成的图形如图：图形转化为：矩形．图形的面积为：3×4=12．故选：A．三、解答题（本大题满分42分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（6分）已知复数z满足|z|﹣2z=﹣1+8i，求z．【解答】解：设z=x+yi，（x，y∈R），∵|z|﹣2z=﹣1+8i，∴﹣2（x+yi）=﹣1+8i，∴﹣2x=﹣1，﹣2y=8，联立解得y=﹣4，x=3或﹣．∴z=3﹣4i或z=﹣﹣4i．20．（7分）双曲线Γ中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又Γ的实轴长为4，且一条渐近线为y=2x，求双曲线Γ的标准方程．【解答】解：双曲线Γ中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又Γ的实轴长为4，且一条渐近线为y=2x，可得双曲线的焦点坐标在x轴时，a=2，b=4，双曲线方程为：；双曲线的焦点坐标在y轴时，a=2，b=，双曲线方程为：；21．（9分）已知关于z的实系数一元二次方程z2+5z+a=0的两个复数根为α、β，试用实数a表示|α|+|β|的值．【解答】解：∵关于z的实系数一元二次方程z2+5z+a=0的两个复数根为α、β，∴αβ=a．∵α与β互为共轭复数，∴|α|=|β|，|α|==．∴|α|+|β|=2|α|=2．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【解答】解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B （x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．∴=3；当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6又∵，∴，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），此时=3，直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．23．（10分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|x1y2﹣x2y1|．（2）设l1与l2的斜率之积为，求面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，由|AB|=2|AO|=2，∴S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，∴S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l 1、l2的斜率分别为、，则=﹣，∴x 1x2=﹣2y1y2，∴x12x22=4y12y22=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（x 12+2y 12）（x 22+2y 22）=x 12x 22+4y 12y 22+2（x 12y 22+x 22y 12）=1 即﹣4x 1x 2y 1y 2+2（x 12y 22+x 22y 12）=1， ∴（x 1y 2﹣x 2y 1）2=，即|x 1y 2﹣x 2y 1|=，∴S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义yxo①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
上海市高二第一学期数学期末考试试卷含答案
上海市高二第一学期数学期末考试试卷注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.2. 本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_ _．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____ __人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ．9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 ．10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采AB 用 .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1.则以上结论中，正确结论是 . （请填写序号）二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ ） A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆锥底面圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1） 求a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥；（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC 与面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最小长度；（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小.【教师版】高二数学练习卷答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 1 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_“实验数据”_．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 0.614 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 36π ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的600名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____68___人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 0.7 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为2 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 3 ． 9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 56． 10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = 45 . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，AB 每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用 “三局两胜制” .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1. 则以上结论中，正确结论是 ① ② ③ . （请填写序号） 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ C ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ B ）A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ D ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ C ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.解 （1）因为11//BB CC ，所以11B BD ∠就是异面直线1BD 与1CC所成的角或其补角. ……………………………………………………………………2分设1BB a =，则112B D a =，13BD a =，所以11tan 2B BD ∠.……………1分所以异面直线1BD 与1CC 所成的角为arc 263arcsinarccos 33=）……1分 （2）连接BD ，交AC 于O ，在1BDD 中，O 、E 分别为BD 、1DD 中点，OE 为1BDD 的中位线，所以1//OE BD .……………………………………………………………2分因为OE 在平面AEC 上，而1BD 不在平面AEC 上，…………………………1分由直线与平面平行的判定定理得，1BD //平面AEC .18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.解 （1）甲摸出的球编号为奇数的概率是12,…………………………………2分乙摸出的球编号为奇数的概率是12,……………………………………………2分 所以两球编号均为奇数的概率是14.………………………………………1分 （2）()3616P m n +==,………………………………………………………1分 ()2716P m n +==,………………………………………………………………1分 ()1816P m n +==………………………………………………………………1分 所以甲赢的概率为32131616168++=，乙赢的概率为58.……………………1分 所以这种游戏规则不公平. ……………………………………………………1分（也可直接写出样本空间，写出答案，酌情给分）19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将锥底面圆直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.解 （1）由题，4,3OB OA ==1分 所以圆锥的体积为221164ππ4433π333V OB OA =⋅⋅=⋅⋅=.……………………2分 圆锥的侧面积为32πS rl π==侧.……………………………………………………2分（2）取BO 中点BH ，在AOB 中，中位线//DH AO ，可得DH ⊥平面BOC ，所以DCH ∠即直线CD 与平面BOC 所成的角. …………………………………2分222315tan 542DH DCH HC ∠===+.……………………………………………2分 所以直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值为155.……………………………1分 20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1） 求a 的值；（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率． 解 （1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，……………………………2分得0.02a =，…………………………………………………………………2分（2） 各区间的中点值为55、65、75、85、95 ……………………………1分对应的频数分别为10、20、45、20、5…………………………………………1分这100名大一新生每天阅读时间的平均数为551065207545852095574.0100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………1分所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟. …………………1分（3）由题意，阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生数分别为10人、20人、20人，因此每组中抽取的人数分别为1人、2人、2人. ………………2分因此，再从中任选2人进行调查，其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为323P=105⨯=.………………………………………………………………………2分21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉与臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC小面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最长度.（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小（1）证明 因为AB BCD ⊥面，所以AB CD ⊥，…………………………………1分又BC CD ⊥，所以CD ABC ⊥面………………………………………………………2分所以AC CD ⊥……………………………………………………………………………1分（2）将面ABC 与面ACD 沿AC 展开成如图所示的平 面图形，由题，3π4BCD ∠=，……………………1分 所以彩带的最小长度为此平面图中BD 长. 又22311211cos π224BD =+-⨯⨯⨯=+…………2分 22+…………………………1分（3） 由题，151153P ==…………………………1分 23162P ==……………………………………………1分 321126P ==……………………………………………1分 所以312P P P <<.………………………………………1分【附加题】单选题1．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,8 【提示】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案；【答案】D【解析】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ， 令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩ ，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ， 即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||22OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立，即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合，故22(0,8]m n +∈，故选：D2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且0OA OB ⋅=，M 为线段AB 中点，其坐标为(),a b 524a b =+-，则OM 的最小值为（ ） A 5 B 25 C ．33D 5【提示】由已知可得以AB 为直径的圆过点O ，对条件变形得到245a b OM +-=圆M 与直线240x y +-=相切，从而得到圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【答案】B【解析】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，即以AB 为直径的圆过点O ，因为M 为线段AB 中点，坐标为(),a b 524a b =+-， 则245a b OM +-=几何意义为圆M 的半径与点M 到直线240x y +-=的距离相等， 即圆M 与直线240x y +-=相切，则圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，125=.故选：B。
2013-2014学年度第一学期期末考试高二数学参考答案
2013—2014 学年度第一学期期末考试高二数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1-12 BCADA DDBAC AB二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 2x-y-3>0； 14.2n-115.362 16.（文）a<3 （理）42a三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。
(17) (10分)已知过点A (－4，0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4①，y 1＋y 2＝8＋p2②， 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 的方程为x 2＝4y . (5分) (2)设l ：y ＝k (x ＋4) (k ≠0)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k （x ＋4），得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2.对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4.∴b ∈(2，＋∞)． （10分）（18）(12分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y，并指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取最小值时x 的值．18．(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2， 故a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y， 当且仅当a 2y x ＝b 2x y ，即a x ＝b y时上式取等号． （6分）(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥（2＋3）22x ＋（1－2x ）＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25. （12分）（19）(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos A cos B ＝ba且sin C ＝cos A .(1)求角A ， B ，C 的大小；(2)设函数f (x )＝sin(2x ＋A )＋cos2x －C2，求函数f (x )的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离．19．解：(1)由cos A cos B ＝b a 结合正弦定理得cos A cos B ＝sin Bsin A，则sin2A ＝sin2B ，则有A ＝B 或A ＋B ＝π2，①当A ＝B 时，由sin C ＝cos A 得cos A ＝sin2A ＝2sin A cos A 得sin A ＝12或cos A ＝0(舍)，∴A ＝B ＝π6，C ＝2π3，②当A ＋B ＝π2时，由sin C ＝cos A 得cos A ＝1(舍)．综上，A ＝B ＝π6，C ＝2π3， （6分）(2)由(1)知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x －π3)＝sin(2x ＋π6)＋cos(－π2＋2x ＋π6)＝2sin(2x ＋π6).由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为(k π－π3，k π＋π6)(k ∈Z )，相邻两对称轴间的距离为π2.（12分）(20) (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求a 的值． 解：(1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)， ∴a 1＝a ， 当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)， S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)， 两式相减得，a n ＝a ·a n －1，即a na n －1＝a .即{a n }是等比数列， a n ＝a ·a n －1＝a n . （6分）(2)由(1)知b n ＝(a n )2＋a （a n －1）a －1a n ， 即b n ＝（2a －1）a 2n －aa na －1.①若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，而b 1＝2a 2，b 2＝a 3(2a ＋1)，b 3＝a 4(2a 2＋a ＋1)． 故[a 3(2a ＋1)]2＝2a 2·a 4(2a 2＋a ＋1)，解得a ＝12.将a ＝12代入①得b n ＝12n 成立． ∴a ＝12. （12分）（21）(12分)设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点，P （1，32）为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．解：(1)依题意，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，设椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，将1，32代入，得c 2＝1，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. （6分）(2)证明：由(1)知A (－2，0)，B (2，0)，设M (x 0，y 0)，则－2＜x 0＜2，y 20＝34(4－x 20)，由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0x 0＋2，BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝2，6y 0x 0＋2，BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)＞0，即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角． （12分）（22）（文）(12分) 己知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x(a <2，e 为自然对数的底数)． (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若存在x ∈[－2，2]，使得f (x )≥3a 2e 2，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2－x ＋1)e x，切点为(1，e)， 于是有f ′(x )＝(x 2＋x )e x，k ＝f ′(1)＝2e ，所以切线方程为y ＝2e x －e. （6分）(2)f ′(x )＝x (x －a ＋2)e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝a －2<0或x ＝0， ①当－2≤a －2<0，即0≤a <2时，x －2 (－2，a －2)a －2(a －2，0)0 (0，2) 2 f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以f (a －2)＝ea －2(4－a )，f (2)＝e 2(4－a )，当0≤a <2时，有f (2)≥f (a －2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以0≤a ≤1.②当a －2<－2，即a <0时， 所以f (－2)＝e －2(4＋3a )，f (2)＝e 2(4－a )，因为e －2(4＋3a )<e 2(4－a )，所x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值以f (2)>f (－2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以－43≤a <0.综上所述，有－43≤a ≤1. （12分）（22）(理) (12分)如图所示,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AB=BC=2AA 1,∠ABC=90°,D 是BC 的中点. (1)求证:A 1B ∥平面ADC 1;(2)求二面角C 1AD C 的余弦值;(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E,使AE 与DC 1成60° 角? 若存在,确定E 点位置,若不存在,说明理由. (1)证明:连接A 1C,交AC 1于点O,连接OD.由ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形,O 为A 1C 的中点. 又D 为BC 的中点,所以OD 为△A 1BC 的中位线, 所以A 1B ∥OD.因为OD ⊂平面ADC 1,A 1B ⊄平面ADC 1,所以A 1B ∥平面ADC 1. （4分） (2)解:由于ABC A 1B 1C 1是直三棱柱,且∠ABC=90°, 故BA 、BC 、BB 1两两垂直.如图所示建立空间直角坐标系.设BA=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C 1(0,2,1),D(0,1,0). 所以=(-2,1,0),=(-2,2,1).设平面ADC 1的法向量为n=(x,y,z),则有 所以取y=1,得n=（,1,-1）.易知平面ADC 的一个法向量为v=(0,0,1). 由于二面角C 1AD C 是锐角且 cos<n,v>==-.所以二面角C 1AD C 的余弦值为. （8分）(3)解:假设存在满足条件的点E.因为E 在线段A 1B 1上,A 1(2,0,1),B 1(0,0,1),故可设E(λ,0,1),其中0≤λ≤2. 所以=(λ-2,0,1),=(0,1,1).因为AE 与DC 1成60°角,所以=. 即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角. （12分）。
上海市高二上学期期末考试数学试卷含答案
上海市高二第一学期期末考试数学时间90分钟，满分100分，(2023年1月)一、选择题:共20题，1－10题每题3分，11－20题每题4分，总计70分。
1、过点P(－5，7)，倾斜角为135°的直线方程为( )A.120x y -+=B.20x y +-=C.120x y +-=D.20x y -+=2、已知曲线经过点P(1，2)，根据该点坐标可以确定标准方程的曲线是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不可能3、已知直线1l ：()310a x y -+-=和2l ：()41030ax a y +-+=，则“2a =”是“直线1l 与直线2l 垂直”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4、已知方程2220x y x my m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是( )A.(2，+∞)B.(－∞，2)C.[2，+∞)D.()(),22,-∞+∞5、若双曲线C ：221824x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.66、如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AD=2，AA 1=3，P 是线段A 1C 1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是( )A.DD 1B.B 1CC.D 1CD.AC 7、已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为( )2 2π 2π 28、方程222143x y λλ+=--表示焦距为25λ的值为( ) A.1 B.－4或1 C.－2或－4或 D.－2或119、已知抛物线C ：212y x =，点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )是经过抛物线C 焦点F 的直线与抛物线的焦点点，且125x x +=，则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在 10、已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1=2，AB=BC=1，E 为BC 的中点，则异面直线A 1E 与D 1A 所成角的正切值为( )A.2B.2147C.172D.17711、当点A 在椭圆2214x y +=上运动时，连接点A 与定点B(2022，0)，则AB 的中点P 的轨迹方程为( ) A.()2220221164x y -+= B.()2220221164x y ++= C.()22101114x y -+= D.()22101141x y -+=12、已知圆的方程为2212160x y x y +--=，该圆过点(3，4)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) 3 3 3 313、已知直线l 经过抛物线232x y =的焦点为F ，交抛物线于M ，N 两点，若在y 轴负半轴上存在一点T(0，t)，使得∠MTN 为钝角，则t 的取值范围为( )A.(－8，0)B.(－∞，－8)C.(－4，0)D.(－∞，－4)14、已知直线l ：2x ty =+和双曲线C ：228y x -=，若l 与C 的上支交于不同的两点，则t 的取值范围是( )A.,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B.2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C.0,2⎛ ⎝⎭ D.12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭15、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆交于M 、N 两点，若2MNF ∆的周长为16，离心率12e =，则△2MNF 面积的最大值为( )A.1216、已知双曲线Γ：2212425x y -=，点P 为曲线Γ在第三象限一个动点，以下两个命题，则( ) ①点P 到双曲线两条渐近线的距离为1d ，2d ，则12d d ⋅为定值。
2013高二上册数学文科期末试卷(含答案)
2013高二上册数学文科期末试卷(含答案)一、选择题：（每题5分，共60分）1.若复数是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A．-3B．3C．-6D．62.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数3.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0”，求证“b2－acA．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)4.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a ＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．35．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①和②6．复数()A．B．C．D．7.函数的单调递增区间是()A.B.(0,3)C.(1,4)D.8.抛物线的焦点坐标是()A．B．C．D．9.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.10.设函数在区间1，3]上是单调函数，则实数a的取值范围是() A．B．C．D．11.为了表示个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用()表示A.B.C.D.12.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．二、填空题：（每题5分，共20分）13．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________.14．曲线在点(1,3)处的切线方程为___________________.15.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是________________.16.设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_______________________________．三、解答题：17.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．18.（本题满分12分）某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，成绩如下表（总分：150分）：甲班成绩频数42015101乙班成绩频数11123132（1）现从甲班成绩位于内的试卷中抽取9份进行试卷分析，请问用什么抽样方法更合理，并写出最后的抽样结果；（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是101.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分；（3）完成下面2×2列联表，你认为在犯错误的概率不超过0.025的前提下，“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由。
延安市数学高二上期末测试题(含答案)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：13326]如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1xy e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）A ．23e - B ．13e - C ．43e- D ．53e- 2．(0分)[ID ：13322]如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．35B ．45C ．1D ．653．(0分)[ID ：13319]气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①4．(0分)[ID ：13309]下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤5．(0分)[ID ：13308]执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（ ）A ．3B ．52C ．12D ．34-6．(0分)[ID ：13304]如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？7．(0分)[ID ：13293]某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③8．(0分)[ID ：13291]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．-29．(0分)[ID ：13284]下列赋值语句正确的是( ) A ．s ＝a ＋1 B ．a ＋1＝s C ．s －1＝a D ．s －a ＝110．(0分)[ID ：13274]执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？11．(0分)[ID ：13263]“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A ．310B ．25C ．12D ．3512．(0分)[ID ：13261]甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（ ） A ．14B ．34C ．916D ．71613．(0分)[ID ：13247]从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．①B ．②④C ．③D ．①③14．(0分)[ID ：13324]如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）A 33B 3C ．13D ．2315．(0分)[ID ：13282]预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变二、填空题16．(0分)[ID ：13419]已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．17．(0分)[ID ：13413]我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是18．(0分)[ID ：13400]某程序框图如图所示，若输入的4t =，则输出的k =______．19．(0分)[ID ：13386]一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____. 20．(0分)[ID ：13378]已知某产品连续4个月的广告费i x （千元）与销售额i y （万元）（1,2,3,4i =）满足4115ii x==∑，4112i i y ==∑，若广告费用x 和销售额y 之间具有线性相关关系，且回归直线方程为^y bx a =+，0.6b =，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为___万元.21．(0分)[ID ：13362]如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是__________．22．(0分)[ID ：13346]在区间[]0,2中随机地取出一个数x ，则sin6x π>的概率是23．(0分)[ID ：13332]某种活性细胞的存活率(%)y 与存放温度()x C ︒之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示： 存放温度()x C ︒ 10 4 -2 -8 存活率(%)y20445680经计算得回归直线的斜率为-3.2.若存放温度为6C ︒，则这种细胞存活率的预报值为__________%．24．(0分)[ID ：13330]在四位八进制数中，能表示的最小十进制数是__________． 25．(0分)[ID ：13366]已知集合{1,U =2，3，⋯，}n ，集合A 、B 是集合U 的子集，若A B ⊆，则称“集合A 紧跟集合B ”，那么任取集合U 的两个子集A 、B ，“集合A 紧跟集合B ”的概率为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13511]冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%.现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求第2组恰好抽到1人的概率；27．(0分)[ID ：13478]用秦九韶算法求()543383f x x x x =+-25126x x ++-,当2x =时的值.28．(0分)[ID ：13477]某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x （万元）与销售收入y （万元）进行了统计，得到相应数据如下表：（1）求销售收入y 关于广告投入x 的线性回归方程y bx a =+． （2）若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少.参考公式： ()()()121niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，ˆˆ•ay b x =- 29．(0分)[ID ：13473]（1）用秦九韶算法求多项式5432()54323f x x x x x x =++++-当2x =时的值；（2）用辗转相除法或更相减损术求81和135的最大公约数.30．(0分)[ID ：13434]甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位：mm ） , 甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38 乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42. 从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．D 3．B 4．B5．C6．B7．B8．B9．A10．C11．D12．D13．C14．D15．A二、填空题16．【解析】由题意可知2次检测结束的概率为3次检测结束的概率为则恰好检测四次停止的概率为17．【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度面积体积等时应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时关键是试验的全部结果构成的区域和事件发18．【解析】【分析】根据题意执行循环结构的程序框图逐次计算即可得到答案【详解】由题意执行程序框图：可得；第一循环不满足条件；第二次循环不满足条件；第三次循环不满足条件；第四次循环不满足条件；第五次循环不19．【解析】【分析】由题求得基本事件的总数15种再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数根据古典概型及其概率的计算公式即可求解【详解】由题意一只口袋中装有形状大小都相同的6只小球其中有3只红球2只黄球和120．75【解析】【分析】计算然后将代入回归直线得从而得回归方程然后令x＝5解得y即为所求【详解】∵∴∵∴∴样本中心点为（3）又回归直线过（3）即3＝06×+解得＝所以回归直线方程为y＝06x+令x＝5时21．7【解析】执行程序框图当输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环结束循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点22．【解析】分析：根据几何概型的概率公式即可得到结论详解：区间的两端点间距离是2在区间内任取一点该点表示的数都大于故在区间中随机地取出一个数这个数大于的概率为故答案为：点睛：本题主要考查概率的计算根据几23．34【解析】分析：由题意求出代入公式求值从而得到回归直线方程代入代入即可得到答案详解：由题意设回归方程由表中数据可得：；代入回归方程可得当时可得故答案为34点睛：该题考查的是有关回归直线的有关问题在24．512【解析】分析：将四位八进制数最小数根据进制进行转换得结果详解：因为四位八进制数最小数为所以点睛：本题考查不同进制数之间转换考查基本求解能力25．【解析】【分析】由题意可知集合U的子集有个然后求出任取集合U的两个子集AB的个数m及时AB的所有个数n根据可求结果【详解】解：集合23的子集有个集合AB是集合U的子集任取集合U的两个子集AB的所有个三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.2．D解析：D 【解析】 【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S S P S ==正,解得65S =.故选:D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.3．B解析：B 【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C 考点：统计初步 4．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意可知该程序运行过程中，95i =时，判断框成立，191i =时，判断框不成立，即可选出答案。
上海市延安中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
(1)求圆 C 的方程；
(2)判断点 P (2,3) 与圆 C 的位置关系，并求经过点 P (2,3) 的圆的切线方程.
19．己知双曲线方程
x2 a2
-
y2 b2
=1（a
>
0 ，b
> 0 ），渐近线方程为
3x ± y = 0 ，并且经
过点(2, 0) .
(1)求双曲线方程；
(2)设 A， B 是双曲线上的两点，线段 AB 的中点为 M (2,9) ，求直线 AB 的方程.
【详解】由 (2, 0)
， (0,3)
得直线的斜率
k
=
0 2
-
3 0
=
-
3 2
所以直线的点斜式方程为
y
-
0
=
-
3 2
(
x
-
2)
，化为一般式方程为
3x
+
2
y
-
6
=
0
故答案为： 3x + 2 y - 6 = 0 .
5．(0, 2)
【分析】根据题意令 x = 0 ，运算求解即可.
【详解】令 x = 0 ，即 y - 2 = 0 ，可得 y = 2 ，
62
1
，即点
Q
æ ççè
6
2
6,
62
2
ö ÷÷ø
，则
( ) QF2 =
æ6ççè 2
6
-
2
ö2 ÷÷ø
+
æ ççè
6 2
-1ö÷÷ø2
=
2
3- 2 = 3- 2.
故答案为： 3 - 2 .
12． (-2, -3)
上海市延安中学2013学年度高二第一学期期中考试数学试题
上海市延安中学2013学年度第一学期期中考试（高二数学）（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题（本大题共39分，每小题3分）1、计算行列式：2132-=___________.2、若(3,1)a =-，(3,2)b =-，则a b ⋅=___________.3、若(2,6)a =，(2,4)b =-，则2a b -=___________.4、22342lim 32n n n n →∞-+-=___________.5、已知矩阵123141A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，110112B ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则AB =___________. 6、已知1232PP PP =，又221PP P P λ=，则实数λ=___________. 7、行列式42354112k---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则实数k =___________.8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的S =___________. 9、设1111()1232f n n n n n=+++++++，则2lim [(1)()]n n f n f n →∞+-=___________.10、设12,e e 为单位向量，且12,e e 的夹角为3π，若123a e e =+，12b e =，则向量a 在b 方向上的投影为___________.11、向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+(,)R λμ∈，则λμ=___________. 12、已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0PA PC +=，QA QB QC BC ++=，则四边形BCPQ 的面积为___________.13、设n 阶方阵21352121232541414345612(1)12(1)32(1)521n n n n n n A n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎪+++- ⎪ ⎪=+++- ⎪⎪ ⎪-+-+-+-⎝⎭，任取中n A 的一个元素，记为1x ；划去n A 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1n -阶方阵1n A -，任取1n A -中的一个元素，记为2x ；划去2x 所在的行和列，……；最后剩下一个元素记为n x ，记12n n S x x x =+++，则3lim1nn S n →∞+=___________.二、选择题（本大题共12分，每小题3分）14、已知点(1,2)A ，(4,2)B -，则与AB 平行的单位向量的坐标为（ ） （A ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭（B ）34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭和34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（D ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭和34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭15、方程组230420x y y x -+=⎧⎨--=⎩的增广矩阵是（ ）（A ）1214-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）1241-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （C ）123412-⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （D ）123412--⎛⎫⎪-⎝⎭16、无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为（ ） （A ）S（B ）3S（C ）2S（D ）3S17、设a 是已知平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，一定存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c ，一定存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③给定单位向量b 和正数μ，一定存在单位向量c 和实数λ，使得a b c λμ=+； ④给定正数λ和μ，一定存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+； 上述命题中向量在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4三、简答题（本大题共49分）18、（本题6分）解关于,x y 的方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.19、（本题7分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，对任意的*n N ∈，向量(1,)n a a =-，1(,)n b a q +=（q 是常数，0q >）都满足a b ⊥，求1limnn n S S →∞+.20、（本题9分，第1小题4分，第2小题5分）在ABC ∆中，4AB =，2AC =，D 是BC 边上一点，1233AD AB AC =+. （1）求证：BAD CAD ∠=∠； （2）若6AD =BC 的值.21、（本题13分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题5分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2(1)n n S na n n =--*()n N ∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求出其通项公式； （2）若32140023mS S S S m++++=，求正整数的m 值； （3）是否存在正整数k ，使得11211111lim 2004n k k k k n n a a a a a a →∞++++⎛⎫+++=⎪⎝⎭？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22、（本题14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）在直角坐标平面xOy 上的一列点11(1,)A a ，22(2,)A a ，…，(,)n n A n a ，…，简记为{}n A .若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +<，1,2,n =，其中j 为方向与x 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列.（1）判断1(1,1)A -，21(2,)2A -，31(3,)4A -，…，11(,)2n n A n --，…，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右下方，证明任取其中连续三点k A 、1k A +、2k A +，一定能构成钝角三角形；（3）若{}n A 为T 点列，且对于任意*n N ∈，都有0n b >，那么数列{}n a 是否一定存在极限？若是，请说明理由；若不是，请举例说明.上海市延安中学2013学年度第一学期期中考试（高二数学）（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题（本大题共39分，每小题3分）1、计算行列式：2132-=______7_____.2、若(3,1)a =-，(3,2)b =-，则a b ⋅=______11-_____.3、若(2,6)a =，(2,4)b =-，则2a b -=______10_____.4、22342lim 32n n n n →∞-+-=_____32-______. 5、已知矩阵123141A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，110112B ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则AB =_____2501-⎛⎫ ⎪-⎝⎭______. 6、已知1232PP PP =，又221PP P P λ=，则实数λ=_____25-______. 7、行列式42354112k---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则实数k =_____14-______.8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的S =_____36______. 9、设1111()1232f n n n n n=+++++++，则2lim [(1)()]n n f n f n →∞+-=______14_____.10、设12,e e 为单位向量，且12,e e 的夹角为3π，若123a e e =+，12b e =，则向量a 在b 方向上的投影为______52_____. 11、向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+(,)R λμ∈，则λμ=_____178______. 12、已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0PA PC +=，QA QB QC BC ++=，则四边形BCPQ 的面积为_____23______. 13、设n 阶方阵21352121232541414345612(1)12(1)32(1)521n n n n n n A n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎪+++- ⎪ ⎪=+++- ⎪⎪ ⎪-+-+-+-⎝⎭，任取中n A 的一个元素，记为1x ；划去n A 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1n -阶方阵1n A -，任取1n A -中的一个元素，记为2x ；划去2x 所在的行和列，……；最后剩下一个元素记为n x ，记12n n S x x x =+++，则3lim1nn S n →∞+=______1_____.提示：0000135212222135214444135212(1)2(1)2(1)2(1)13521n n nn n n n A n n nn n n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭从而231211(1)22(1)21222nnn n k k n n n S x x x n k k n n ==-=+++=-+-=+=∑∑二、选择题（本大题共12分，每小题3分）14、已知点(1,2)A ，(4,2)B -，则与AB 平行的单位向量的坐标为（ C ） （A ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭（B ）34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭和34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（D ）34,55⎛⎫-⎪⎝⎭和34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭15、方程组230420x y y x -+=⎧⎨--=⎩的增广矩阵是（ D ）（A ）1214-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）1241-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （C ）123412-⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （D ）123412--⎛⎫⎪-⎝⎭16、无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为（ A ） （A ）S（B ）3S（C ）2S（D ）3S17、设a 是已知平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，一定存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c ，一定存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③给定单位向量b 和正数μ，一定存在单位向量c 和实数λ，使得a b c λμ=+； ④给定正数λ和μ，一定存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+； 上述命题中向量在同一平面内且两两不平行，则真命题个数是（ B ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4提示：①②为真命题三、简答题（本大题共49分）18、（本题6分）解关于,x y 的方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.2111m D m m==-，11(1)2x m D m m mm+==-，1(21)(1)12y m m D m m m+==+-当1m ≠且1m ≠-，即0D ≠，方程组有唯一解21(,)(,)11m m x y m m +=++； 当1m =，即0D =，0x y D D ==，方程组有无穷多解(,)(,2)x y t t =-，t R ∈； 当1m =-，即0D =，2x y D D ==，方程组无解.19、（本题7分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，对任意的*n N ∈，向量(1,)n a a =-，1(,)n b a q +=（q 是常数，0q >）都满足a b ⊥，求1limnn n S S →∞+.a b ⊥10n n a b a a q +∴⋅=-+=，即1n na q a += 当1q =时，111lim lim 1(1)n n n n S na S n a →∞→∞+==+；当1q ≠时，1101,1lim l 1,11im 1n n n n n n S q q q S q q+→∞→∞+⎧-⎪==⎨>-<<⎪⎩. 20、（本题9分，第1小题4分，第2小题5分）在ABC ∆中，4AB =，2AC =，D 是BC 边上一点，1233AD AB AC =+. （1）求证：BAD CAD ∠=∠； （2）若6AD =BC 的值.（1）设13AE AB =，则由已知得23ED AC =，从而43AE =，24233ED =⋅=，且ED AC ∥，可得BAD EDA CAD ∠=∠=∠（2）由22121446()16433999AD AB AC AB AC ==+=⋅+⋅+⋅112AB AC ⇒⋅=，则22()42169BC AC AB AC AB =-=-⋅+=3BC ⇒=21、（本题13分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题5分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2(1)n n S na n n =--*()n N ∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求出其通项公式； （2）若32140023mS S S S m++++=，求正整数的m 值； （3）是否存在正整数k ，使得11211111lim 2004n k k k k n n a a a a a a →∞++++⎛⎫+++=⎪⎝⎭？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.（1）[][]112(1)(1)2(1)(2)n n n n n a S S na n n n a n n --=-=-------14n n a a -⇒-=*(2,)n n N ≥∈，从而{}n a 为以1为首项，4为公差的等差数列. *43()n a n n N =-∈（2）22(1)(43)2(1)2n n S na n n n n n n n n =--=---=-21nS n n⇒=-， 从而2321132140023mS S S S m m m++++=+++-==20m ⇒=（3）1111111111()()(43)(41)443414k k k k a a k k k k a a ++==-=--+-+， 从而11211111111111()()444341k k k k n n k n a a a a a a a a k n ++++++++=-=--+ 从而1121111111lim 4432004n k k k k n n a a a a a a k →∞++++⎛⎫+++=⋅=⎪-⎝⎭126k ⇒=. 22、（本题14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分）在直角坐标平面xOy 上的一列点11(1,)A a ，22(2,)A a ，…，(,)n n A n a ，…，简记为{}n A .若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +<，1,2,n =，其中j 为方向与x 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列.（1）判断1(1,1)A -，21(2,)2A -，31(3,)4A -，…，11(,)2n n A n --，…，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右下方，证明任取其中连续三点k A 、1k A +、2k A +，一定能构成钝角三角形；（3）若{}n A 为T 点列，且对于任意*n N ∈，都有0n b >，那么数列{}n a 是否一定存在极限？若是，请说明理由；若不是，请举例说明.由已知11(1,)n n n n A A a a ++=-(0,1)j =，则11n n n n n b A A j a a ++=⋅=-.（1）11111()()222n n n n n n b a a +-=-=---=，则11112n n n nb b b b ++=<⇒<，从而11{(,)}2n n --为T 点列. （2）11(1,)(1,)n n n n n A A a a b ++=-=，又由点2A 在点1A 的右下方，可知1210b a a =-<. 又11112112211(1,)(1,)1(1,)(1,)k k k k k k k k k k k k k k k k A A a a b A A A A b b A A a a b +++++++++++⎧=--=--⎪⇒⋅=--⎨=-=⎪⎩， 由于{}n A 为T 点列，故有110n n b b b +<<<<，从而112110k k k k k k A A A A b b ++++⋅=--<，即12k k k A A A ++∠为钝角，得证.（3）不是. 反例：112n n a n -=-，则112n n b =+，满足{}n A 为T 点列，而显然{}n a 极限不存在.。
精品解析：上海市延安中学 2018-2019学年高二上学期期末数学试题(解析版)
根据正方形的几何性质， A 对应的复数乘以 i ，得到 C 对应的复数. 【详解】由于顶点 A 对应复数为1 2i ， OA 顺时针旋转 90 得到 OC ，故 C 对应的复数为
1 2ii 2 i .
故填： 2 i .
【点睛】本小题主要考查复数对应的点，考查复数的几何性质与乘法运算，属于基础题.
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
试题分析：当 z 0 时，满足 z z 0 ，此时 z 为实数；而当 z 为纯虚数时， z z 0 ，所以“ z z 0 ”
是“ z 为纯虚数”的必要不充分条件，故选 B．
考点：1、复数的概念；2、充分条件与必要条件．
x
2
1 2
t
11.直线
y
3t 2
（ t 为参数）被双曲线 x2 y2 1截得的弦长为_________.
【答案】 2 10
【解析】
【分析】
将直线的参数方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，结合弦长公式，求得弦长.
x
2
1 2
t
【详解】将直线
y
3t 2
3a ，设双曲线方程为
x2
a2
y2 3a2
1
P
，代入
6,3
6 得 a2
9 3a2
1，解得 a2
3, b2
9 ，故双曲线方程为
x2 3
y2 9
1
.
当双曲线焦点在 y 轴上时，由渐近线方程 y
3x
可知
a b
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上海市延安中学2013学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题（每题3分，共42分） 1、方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为___________.2、抛物线22x y =的准线方程是___________.3、过点(5,3)P 和点(2,4)Q -的直线的倾斜角为___________.4、执行右边的程序框图，输入8k =，则输出S 的值是___________.5、已知点(4,3)A -和(2,1)B -，点P 满足||||PA PB =，则点P 的轨迹方程是___________.6、已知直线30ax y ++=过点(1,1)--，则行列式13112211a-的值为___________.7、若方程22146x y k k+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是___________.8、已知直线1:210l x my +-=平行于直线2:(1)10l m x y -++=，则实数m =___________. 9、直线3y kx =+与圆226490x y x y +--+=相交于M ，N两点，若MN ≥k 的取值范围是___________.10、若曲线y =与直线(2)3y k x =-+有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是___________.11、点P 是抛物线2y x =上的动点，点Q 的坐标为(3,0)，则PQ 的最小值为___________. 12、一条光线从点(3,5)A -射到直线:30l x y --=后，在反射到另一点(2,12)B ，则反射光线所在的直线方程是___________.13、记直线:(1)10n l nx n y ++-=*()n N ∈与坐标轴所围成的直角三角形面积为n S ，则123lim()n n S S S S →∞++++=___________.14、已知P 为椭圆22:12516x y C +=上的任意一点，2F 为椭圆C 的右焦点，M 点的坐标为(1,3)，则2PM PF +的最小值为___________.二、选择题（每题4分，共16分）15、已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4MA MB -=，则点M 的轨迹方程是（ ）（A ）221(0)45x y x -=<；（B ）221(0)45x y x -=> （C ）221(0)95x y x -=<；（D ）221(0)95x y x -=>. 16、已知直线1:210l ax y +-=与直线2:230l ax y --=，“2a =”是“1l 的方向向量是2l 的法向量”的（ ） （A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件；（D ）既非充分又非必要条件.17、直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上的任意一点，若OP aOA bOB =+（,a b R ∈，O 为坐标原点），则a 、b 满足的关系是（ ） （A ）12ab =； （B ）14ab =； （C ）2212a b +=； （D ）2214a b +=.18、如图，函数y =的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（ ）①渐近线方程是y x =和0x =；②对称轴所在的直线方程为y =和y x =；③实轴长和虚轴长之比为3④其共轭双曲线的方程为y x=-.（A ）1个； （B ）2个； （C ）3 个； （D ）4个.三、简答题（共42分）19、（本题6分）已知双曲线与椭圆221164x y +=焦点相同，且其一条渐近线方程为0x -=，求该双曲线方程.20、（本题7分）已知曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点(1,0)F 的距离减去它到y 轴距离的差都等于1，求曲线C 的方程.21、（本题7分）已知直线1:240l x y +-=，求1l 关于直线:3410l x y +-=的对称的直线2l 的方程.22、（本题10分，第1小题3分，第2小题7分） 如图，抛物线的方程为22(0)y px p =>.（1）当4p =时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F 的距离；（2）已知该抛物线上一点P 的纵坐标为(0)t t >，过P 作两条直线分别交抛物线与11(,)A x y 、22(,)B x y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求证：12y y t+为定值；并用常数p 、t 表示直线AB 的斜率.23、（本题12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，已知椭圆C 的方程为22221(12)12x y b b+=<，，圆O 的圆心在原点O ，且经过椭圆C 的短轴顶点. （1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）是否存在同时满足下列条件的直线l ：①与圆O 相切与点M （M 位于第一象限）；②与椭圆C 相交于A 、B 两点，使得2OA OB ⋅=.若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由.上海市延安中学2013学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：100分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题（每题3分，共42分） 1、方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______125312-⎛⎫⎪⎝⎭_____. 2、抛物线22x y =的准线方程是_____12y =-______. 3、过点(5,3)P 和点(2,4)Q -的直线的倾斜角为__1arctan7π-__. 4、执行右边的程序框图，输入8k =，则输出S 的值是_____70_____. 5、已知点(4,3)A -和(2,1)B -，点P 满足||||PA PB =，则点P 的轨迹方程是______50x y --=_____.6、已知直线30ax y ++=过点(1,1)--，则行列式13112211a-的值为_____0_____.7、若方程22146x y k k+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是___(6,1)--__. 8、已知直线1:210l x my +-=平行于直线2:(1)10l m x y -++=，则实数m =_____2____. 9、直线3y kx =+与圆226490x y x y +--+=相交于M ，N两点，若MN ≥k 的取值范围是_____3[,0]4-______.10、若曲线y =与直线(2)3y k x =-+有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是_____53[,]124______.11、点P 是抛物线2y x =上的动点，点Q 的坐标为(3,0)，则PQ 的最小值为12、一条光线从点(3,5)A -射到直线:30l x y --=后，在反射到另一点(2,12)B ，则反射光线所在的直线方程是______3180x y +-=_____.13、记直线:(1)10n l nx n y ++-=*()n N ∈与坐标轴所围成的直角三角形面积为n S ，则123lim()n n S S S S →∞++++=______12_____.14、已知P 为椭圆22:12516x y C +=上的任意一点，2F 为椭圆C 的右焦点，M 点的坐标为(1,3)，则2PM PF +的最小值为______5_____.二、选择题（每题4分，共16分）15、已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4MA MB -=，则点M 的轨迹方程是（ B ）（A ）221(0)45x y x -=<；（B ）221(0)45x y x -=> （C ）221(0)95x y x -=<；（D ）221(0)95x y x -=>. 16、已知直线1:210l ax y +-=与直线2:230l ax y --=，“2a =”是“1l 的方向向量是2l 的法向量”的（ A ） （A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件；（D ）既非充分又非必要条件.17、直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上的任意一点，若OP aOA bOB =+（,a b R ∈，O 为坐标原点），则a 、b 满足的关系是（ B ） （A ）12ab =； （B ）14ab =； （C ）2212a b +=； （D ）2214a b +=.18、如图，函数y x=的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（ D ）①渐近线方程是3y x =和0x =；②对称轴所在的直线方程为y=和3y x=-；③实轴长和虚轴长之比为3④其共轭双曲线的方程为y=.（A）1个；（B）2个；（C）3 个；（D）4个.三、简答题（共42分）19、（本题6分）已知双曲线与椭圆221164x y+=焦点相同，且其一条渐近线方程为0x-=，求该双曲线方程.由已知可设双曲线方程为222x yλ-=，由于双曲线与椭圆221164x y+=焦点相同，故0λ>. 将其化为标准方程2212x yλλ-=，则有164122λλ+=-=，解得8λ=，故双曲线方程为22184x y-=.20、（本题7分）已知曲线C在y轴右侧，C上每一点到点(1,0)F的距离减去它到y轴距离的差都等于1，求曲线C的方程.设曲线C上任意一点(,)x y1x=，整理得24y x=.又曲线C在y轴右侧，故0x>，从而曲线C的方程为24y x=(0)x>.21、（本题7分）已知直线1:240l x y+-=，求1l关于直线:3410l x y+-=的对称的直线2l的方程.由已知可求得直线1l与直线l的交点为(3,2)-，故设直线2l的方程为(3)(2)0a xb y-++==⇒=22()11aorb=舍从而直线2l的方程为2(3)11(2)0x y-++=，即211160x y++=22、（本题10分，第1小题3分，第2小题7分）如图，抛物线的方程为22(0)y px p=>.（1）当4p =时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F 的距离；（2）已知该抛物线上一点P 的纵坐标为(0)t t >，过P 作两条直线分别交抛物线与11(,)A x y 、22(,)B x y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求证：12y y t+为定值；并用常数p 、t 表示直线AB 的斜率.（1）当4p =时，28y x =，代入2y =，解得12x =. 则由抛物线定义可知：该点到焦点F 的距离即为其到准线2x =-的距离，为52.（2）设2(,)2t P t p(0)t >，由题意0PA PB k k +=， 即122212022y t y tt t x x p p--+=--， 由于A 、B 在抛物线上，故上式可化为122222121211002222y t y t y y t t y t y t p p p p--+=⇒+=++-- 从而有1220y y t ++=，即122y y t+=-为定值. 直线AB 的斜率121222*********AB y y y y p pk y y x x y y t p p--====--+-. 23、（本题12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，已知椭圆C 的方程为22221(12)12x y b b+=<，，圆O 的圆心在原点O ，且经过椭圆C 的短轴顶点. （1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）是否存在同时满足下列条件的直线l ：①与圆O 相切与点M （M 位于第一象限）；②与椭圆C 相交于A 、B 两点，使得2OA OB ⋅=.若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由.（1）由已知：222238,42a c b c =⇒==，故椭圆C 的方程为221124x y +=；又圆O 圆心在原点，半径为2b =，圆O 的方程为224x y +=.（2）存在。