一阶逻辑推理理论
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5.3 一阶逻辑的推理理论
例5.12 在自然推理系统 F中，构造下面推理的证明： 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。 因此，有理数都不是无理数。个体域为实数集合。 解： 设 F（x）：x为无理数，G（x）：x为有理数， G H（x）：x能表示成分数。 前提： ┐∃x（F（x）∧H（x）），∀x（G（x）→H（x）） ∧H（ ））， →H（ 结论： ∀x（G（x）→┐F（x）） →┐F（
7
全称量词引入规则（ UG规则，∀+） 全称量词引入规则（简称UG UG ， ） xA（ A（y）⇒∀xA（x） 公式成立的条件是： 1、在A（y）中y自由出现，且y取任何值时A均为真。 A y A 2、取代y的x不在A（y）中出现。 y x A
8
存在量词消去规则（ EI规则，∃-） 存在量词消去规则（简称EI EI ∃ ） xA（ ∃xA（x）⇒ A（c） 公式成立的条件是 1、c是使A为真的特定的个体常项 A 2、c不能已在A（x）中出现过 A 3、∃xA（x）中没有自由出现的个体变项 ∃xA（
9
例 设个体域为实数集合，F(x，y)为x>y。 ， 指出在推理系统 F中，以① ∀x∃y F(x，y)（真命题）为前 ① ∃ ， （ ） 提，推出④ ∀x F(x，c)（假命题）的原因。 ④ ， （ ） ① ∀x∃y F（x，y） 前提引入 ∃ （ ， ） ② ∃y F（z，y） （ ， ） ① UI规则 ③ F（z，c） （ ， ） ② EI规则 ④ ∀x F（x，c） ③ UG规则 （ ， ） 解: 错误出在第③步， ③ 由于∃yF(z,y)有自由出现的z，不满足EI规则的条件3。 ∃ 所以对② ∃yF(z,y)不能使用EI规则。 ②
4
构造证明方法在自然推理系统F中进行。 F 定义（自然推理系统F） F 自然推理系统F由以下三个部分组成： F 1、字母表 2、公式 3、推理规则（15个） （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则
一阶逻辑推理理论
一阶逻辑推理实例
命题逻辑中的推理规则及在一阶逻辑中
的代换实例，在一阶逻辑推理中仍然使 用 量词消去和引入规则
例1: 证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的。 苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的。” 命题符号化：F（x）：x是人（特性谓词）； G（x）：x是要死的； a：苏格拉底 前提：x（F(x)→G(x)），F(a) 结论：G(a) 证明： （1）x（F(x)→G(x)） 前提引入 （2）F(a)→G(a) UI(1) （3）F(a) 前提引入 （4）G(a) (2)(3)假言推理
xA(x) A(y)中， y应为任意的不在A(x)中约束 出现的个体变项。
全称量词引入规则（简称UG规则） A(y) xA(x) ③ 公式成立的条件是 1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真 2.取代y的x不在A(y)中约束出现。
例:设定义域为实数， 取F(x,y)为x>y，A(y)=xF(x,y)=x(x>y)， A对任意给定的y都是真的。 如下推理是否正确 : ①xF(x,y) 前提引入 ②xxF(x,x) ①UG xx(x>x)是假命题，推理出错。 出错的原因是违背了条件2：取代y的x不在A(y) 中约束出现 ②zxF(x,z) ①UG √
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x 是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题. 以下推理 是否正确： (1) xF(x)∧xG(x) 前提引入 (2) xF(x) (1)化简规则 (3) xG(x) (1)化简规则 (4) F(a) (2)EI (5) G(b) (3)EI (6) F(a)∧G(b) (4)(5)合取规则 (7) x(F(x)∧G(x)) (6)EG
前提: x ( F(x) → G(x)) ，x ( F(x) ∧ H(x) ) 结论: x ( G(x) ∧ H(x) )
罗素悖论 一阶逻辑
罗素悖论一阶逻辑
罗素悖论和一阶逻辑是数学和哲学领域中的两个重要概念。
罗素悖论是由英国哲学家和数学家伯特兰·罗素提出的，它是一个经典的逻辑悖论。
罗素悖论涉及到集合的概念，其核心思想是：如果一个集合是由所有不属于自身的元素组成的，那么这个集合是否属于自身？这个问题的答案会导致逻辑上的矛盾。
一阶逻辑是逻辑学中的一种，它研究的是只涉及初等概念和初等关系的推理规律。
在一阶逻辑中，所有的推理都是基于符号语言的，符号语言的元素包括文字、符号、公式等。
一阶逻辑包括一阶命题逻辑和一阶谓词逻辑两种类型，其中一阶命题逻辑研究的是简单命题之间的推理关系，而一阶谓词逻辑研究的是个体和谓词之间的推理关系。
罗素悖论可以通过一阶逻辑来进行形式化的表达和证明。
在一阶逻辑中，罗素悖论可以表述为一个形式化的命题：如果一个集合A是由所有不属于自身的元素组成的，那么A 属于自身当且仅当A不属于自身。
这个命题是自相矛盾的，因为A属于自身和A不属于自身不能同时成立。
第五章 一阶逻辑推理理论
六、量词分配: 对∧, 对∨ 量词分配 设公式A(x),B(x)含自由出现的个体变项 ，则： 的个体变项x， 设公式 含自由出现的个体变项 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) ∧ ∧ x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) ∨ ∨ 但是: 但是 对∨, 对∧不可分配 x(A(x)∨B(x)) ≠xA(x) ∨xB(x) (*) 1≠0 ∨ ≠ ∧xB(x) (**) 0≠1 x(A(x)∧B(x)) ≠xA(x) ∧ ∧ ≠ 要证谓词公式等值要穷尽所有解释, 要证谓词公式等值要穷尽所有解释 不等,只要 只要1个解释 不等 只要 个解释 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 自然数! 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 A(x)解释为 是奇数 解释为x是奇数 解释为x是偶数 解释为 是奇数,B(x)解释为 是偶数 则 解释为 是偶数,则 是所有自然数是奇数， 而xA(x)是所有自然数是奇数，是不对的！为0 是所有自然数是奇数 是不对的！ 是所有自然数是偶数， 是所有自然数是偶数 是不对的！ 而xB(x)是所有自然数是偶数，是不对的！为0 x(A(x)∨B(x))是“任何自然数是奇数或偶数”, ∨ 是 任何自然数是奇数或偶数” 为1
将下面公式化成等值的公式,使其不含有既是 等值的公式 例1 将下面公式化成等值的公式 使其不含有既是 约束出现又是自由出现的个体变项。 约束出现又是自由出现的个体变项。 自由出现的个体变项 →yG(x,y,z) xF(x,y,z)→ → 解：x在前件中是约束变元，在后件是自由变元, 在前件中是约束变元，在后件是自由变元 在前件中是约束变元 y在前件中是自由变元，在后件是约束变元， 在前件中是自由变元， 在前件中是自由变元 在后件是约束变元， 约束变元改名 改名： →sG(x,s,z) 约束变元改名： tF(t,y,z)→ → 自由变元改名 改名： →yG(t,y,z) 对自由变元改名： xF(x,s,z)→ → →yG(x,y,z)) x(F(x,y)→ → 在前件是自由， 解：y在前件是自由，在后件是约束，有歧义！ 在前件是自由 在后件是约束，有歧义！ →sG(x,s,z)) x(F(x,y)→ →
一阶逻辑的推理演算
1一阶逻辑的推理演算这一讲我们学习一阶逻辑的自然推理系统。
其功能是由若干前提12,,,n A A A 推导出一条结论B 。
这相当于证明下列蕴含式是永真的： 12n A A A B ∧∧∧→1. 一阶逻辑的代入定理 将永真命题公式中的各命题变元代换为任何一阶公式后，所得的一阶公式是永真的。
例如，()p q p q →∧→是永真命题公式。
进行一阶公式代入p=F (x )，q=G (x )后得如下永真一阶公式：(()())()()F x G x F x G x →∧→定理1.1（代入定理）任何永真命题公式在代入一阶公式后是永真一阶公式。
证明 略。
证毕2. 永真蕴含式和推理定律永真蕴含式：若A →B 是永真式，则记为A B ⇒，称为永真蕴含式。
将永真命题蕴含式中的变元视为取值为任何一阶公式的变元，则该永真命题蕴含式就变成一条推理定律。
根据代入定理，推理定律表示一批形式相似的永真蕴含式。
因此，推理定律是描述永真蕴含式的模式。
由任何永真蕴含式可以得到对应的推理定律。
例如，由永真蕴含式()p q p q →∧⇒可得一阶逻辑的假言推理定律()A B A B →∧⇒，其中变元A ，B 表示任何一阶公式。
这条推理定律的含义是，对于任何一阶公式A 和B ，若(A →B )为真并且A 为真，则B 为真。
因此，由前提(A →B )与A 可得结论B 。
这是我们思维中最常用的一条推理规则，称为假言推理规则或者分离规则。
因此，推理定律可以当作推理规则使用。
2再如，(())p q q p →∧⌝→是永真蕴含式，由此可得推理定律(())A B B A →∧⌝⇒，称为拒取式。
命题逻辑的自然推理系统P 中的所有9条推理定律都可以当作一阶逻辑推理定律来使用。
3. 量词消去与引入规则与命题逻辑的自然推理系统相比，这是一阶逻辑自然推理系统所特有的推理规则。
见课本第75页。
这是课程中的一个难点，我们可以借助于语义来理解其正确性。
1） 全称量词消去规则（简记为∀-）（1）第一个竖式得出的结论是一个句型。
离散数学 第二章：一阶逻辑
(1) xF(x) yH(x, y);
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
一阶逻辑推理
A(c) xA( x)
使用条件：
（1）c 是特定的个体常元； （2）取代 c 的 x 不能在 A(c) 中出现。 例2.5.2 下列推理过程是错误的： 前提 (1) x P( x, c) (2) xx P( x, x) (1)，EG
例2.5.7 证明：
xH ( x) x( H ( x) M ( x)) xM ( x)
二、推理定律
在一阶逻辑中，称永真蕴含式为推理定律。若一 个推理的形式结构正好是某条推理定律，则这个推 理显然是正确的。 有哪些推理定律呢？
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例。 例如：xF ( x) yG( y) xF ( x)
化简律
xF ( x) xF ( x) yG( y ) 附加律
(3) C x x N x 1 x 100 (4) Ev x y ( y N x 2 y ) (5) Od x y ( y N x 2 y 1)
3、归纳定义法
归纳定义法通常包括以下三个步骤： （1）基本步：S0 非空且 S0 中的任意元素均是 A 的元素； （2）归纳步：给出一组规则，从 A 的元素出发， 依据这些规则所得到的仍是 A 的元素； （3）极小化：若 S 的任意元素均是 A 的元素，并 且 S 满足 (1) 和 (2)，则 S 与A 含有相同的元素。
约定： 用 A(x) 表示 x 是 A 中的自由变元，那么 A(y) 表示用 y 去取代 A(x) 中 x 的所有自由出现所得到 的结果。例如： 对于 A( x) xP( x) Q( x) R( x, y ) 则 A( y ) xP( x) Q( y ) R.5 1. 2.(1) 3.(3) 4.(3)
第二篇 集合论
使用条件：
（1）c 是特定的个体常元； （2）取代 c 的 x 不能在 A(c) 中出现。 例2.5.2 下列推理过程是错误的： 前提 (1) x P( x, c) (2) xx P( x, x) (1)，EG
例2.5.7 证明：
xH ( x) x( H ( x) M ( x)) xM ( x)
二、推理定律
在一阶逻辑中，称永真蕴含式为推理定律。若一 个推理的形式结构正好是某条推理定律，则这个推 理显然是正确的。 有哪些推理定律呢？
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例。 例如：xF ( x) yG( y) xF ( x)
化简律
xF ( x) xF ( x) yG( y ) 附加律
(3) C x x N x 1 x 100 (4) Ev x y ( y N x 2 y ) (5) Od x y ( y N x 2 y 1)
3、归纳定义法
归纳定义法通常包括以下三个步骤： （1）基本步：S0 非空且 S0 中的任意元素均是 A 的元素； （2）归纳步：给出一组规则，从 A 的元素出发， 依据这些规则所得到的仍是 A 的元素； （3）极小化：若 S 的任意元素均是 A 的元素，并 且 S 满足 (1) 和 (2)，则 S 与A 含有相同的元素。
约定： 用 A(x) 表示 x 是 A 中的自由变元，那么 A(y) 表示用 y 去取代 A(x) 中 x 的所有自由出现所得到 的结果。例如： 对于 A( x) xP( x) Q( x) R( x, y ) 则 A( y ) xP( x) Q( y ) R.5 1. 2.(1) 3.(3) 4.(3)
第二篇 集合论
《一阶逻辑》课件
20
元素
1. 集合内的对象称为元素 2. 集合通常用大写英文字母标记。
例如，N代表自然数集合（包括 0），Z代表整数集合，Q代表有 理数集合，R代表实数集合，C 代表复数集合。
21
集合的表示
列举法： A={a,b,c,d} 描述法： B={X∣P(x)} P(x) 是谓词，概括集合中元素属性
B={x∣x∈Z∧3＜X≤6} 即B={4，5，6}
3.1 集合的基本概念 集合、元素、子集、包含、集合相 等、真子集、空集、幂集、全集 3.2 集合的基本运算 并集、交集、相对补集、绝对补集、 对称差、文氏图、算律、 3.3 集合中元素的计数 基数、有(无)穷集、包含排斥原理
18
集合的基本概念和运算
集合的定义
关系 （相等、 包含）
3.2
表示
3.3
假命题
7
EG规则:存在量词引入规则
A(c) x A(x) 成立要求以下条件： ⑴ c是特定的个体常项； ⑵ 取代c的x不能已在A(c)中出现过。
8
实例：违背条件⑵
论域：实数集; 谓词F(x,y)为x>y A(2) = xF(x,2)
真命题 若取x替代2会得到xxF(x,x)，
假命题
9
④⑤假言推理
⑦R(c)
②化简
⑧G(c)
⑥化简
⑨F(c) ∧ G(c)∧H(c)
⑤⑦⑧合取
⑩x(F(x) ∧R(x) ∧G(x)). ⑨EG
14
构成下面推理的证明：
前提: ~x(F(x) ∧H(x)), x(G(x)→H(x)).
结论: x(G(x)→~F(x)).
①~x(F(x) ∧H(x))
前提：x(F(x)→G(x)), F(a)
元素
1. 集合内的对象称为元素 2. 集合通常用大写英文字母标记。
例如，N代表自然数集合（包括 0），Z代表整数集合，Q代表有 理数集合，R代表实数集合，C 代表复数集合。
21
集合的表示
列举法： A={a,b,c,d} 描述法： B={X∣P(x)} P(x) 是谓词，概括集合中元素属性
B={x∣x∈Z∧3＜X≤6} 即B={4，5，6}
3.1 集合的基本概念 集合、元素、子集、包含、集合相 等、真子集、空集、幂集、全集 3.2 集合的基本运算 并集、交集、相对补集、绝对补集、 对称差、文氏图、算律、 3.3 集合中元素的计数 基数、有(无)穷集、包含排斥原理
18
集合的基本概念和运算
集合的定义
关系 （相等、 包含）
3.2
表示
3.3
假命题
7
EG规则:存在量词引入规则
A(c) x A(x) 成立要求以下条件： ⑴ c是特定的个体常项； ⑵ 取代c的x不能已在A(c)中出现过。
8
实例：违背条件⑵
论域：实数集; 谓词F(x,y)为x>y A(2) = xF(x,2)
真命题 若取x替代2会得到xxF(x,x)，
假命题
9
④⑤假言推理
⑦R(c)
②化简
⑧G(c)
⑥化简
⑨F(c) ∧ G(c)∧H(c)
⑤⑦⑧合取
⑩x(F(x) ∧R(x) ∧G(x)). ⑨EG
14
构成下面推理的证明：
前提: ~x(F(x) ∧H(x)), x(G(x)→H(x)).
结论: x(G(x)→~F(x)).
①~x(F(x) ∧H(x))
前提：x(F(x)→G(x)), F(a)
5一阶逻辑等值演算与推理
(1)置换规则 置换规则 是含公式A的命题公式 是用公式B 设φ(A)是含公式 的命题公式, φ(B)是用公式 是含公式 的命题公式, 是用公式 置换了中所有A后得到的命题公式 后得到的命题公式, 置换了中所有 后得到的命题公式,若AB , 则φ(A) φ(B) . 注意:命题公式中的置换规则是本规则的特例. 注意:命题公式中的置换规则是本规则的特例.
14
5.2一阶逻辑前束范式 一阶逻辑前束范式
《定义》一个公式,如果量词均非否定的放在全式 定义》一个公式, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾,则 称此公式叫前束范式. 称此公式叫前束范式. 前束范式) xyz( Q(x,y)∨ R(z)) (前束范式 ∨ 前束范式 定理5.1 任何一个一阶逻辑公式均存在一个与它等 定理 值的前束范式. 值的前束范式. 利用量词否定等值式把深入到原子公式前 深入到原子公式前. ①利用量词否定等值式把 深入到原子公式前. 利用约束变元的换名规则. ②利用约束变元的换名规则. ③利用量词辖域的扩张收缩律把量词移到全式的最 前面. 前面.
19
5.3 一阶逻辑的推理理论
规则). (1)全称消去规则(UI规则). )全称消去规则( 规则 xA(x) A(y) ,xA(x) A(c) , 成立条件是: 成立条件是: 第一式中,取代x的y应为任意的不在 应为任意的不在A(x)中 第一式中,取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变元. 约束出现的个体变元. 在第二式中, 为任意的不在 为任意的不在A(x)中出现过的 在第二式中,c为任意的不在 中出现过的 个体变元. 个体变元. 去取代A(x)中的自由出现的 时,一定 中的自由出现的x时 用y或c去取代 或 去取代 中的自由出现的 要在x自由出现的一切地方进行取代 自由出现的一切地方进行取代. 要在 自由出现的一切地方进行取代.
14
5.2一阶逻辑前束范式 一阶逻辑前束范式
《定义》一个公式,如果量词均非否定的放在全式 定义》一个公式, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾,则 称此公式叫前束范式. 称此公式叫前束范式. 前束范式) xyz( Q(x,y)∨ R(z)) (前束范式 ∨ 前束范式 定理5.1 任何一个一阶逻辑公式均存在一个与它等 定理 值的前束范式. 值的前束范式. 利用量词否定等值式把深入到原子公式前 深入到原子公式前. ①利用量词否定等值式把 深入到原子公式前. 利用约束变元的换名规则. ②利用约束变元的换名规则. ③利用量词辖域的扩张收缩律把量词移到全式的最 前面. 前面.
19
5.3 一阶逻辑的推理理论
规则). (1)全称消去规则(UI规则). )全称消去规则( 规则 xA(x) A(y) ,xA(x) A(c) , 成立条件是: 成立条件是: 第一式中,取代x的y应为任意的不在 应为任意的不在A(x)中 第一式中,取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变元. 约束出现的个体变元. 在第二式中, 为任意的不在 为任意的不在A(x)中出现过的 在第二式中,c为任意的不在 中出现过的 个体变元. 个体变元. 去取代A(x)中的自由出现的 时,一定 中的自由出现的x时 用y或c去取代 或 去取代 中的自由出现的 要在x自由出现的一切地方进行取代 自由出现的一切地方进行取代. 要在 自由出现的一切地方进行取代.
一阶逻辑的解释
一阶逻辑的解释一阶逻辑是数理逻辑中重要的逻辑体系之一，也被称为一阶谓词逻辑或一阶谓词演算。
它的主要功能是描述和推理关于对象和它们之间关系的陈述。
一阶逻辑具有形式化的语言和规则系统，以及对推理的严格要求。
一阶逻辑由符号、语义解释、公式、语法规则和推理规则等多个组成部分构成。
一、符号体系一阶逻辑采用一组符号来表示各种逻辑概念，如命题、谓词、变量、量词等。
其中，命题用P、Q、R等大写字母表示，谓词用P、Q、R等大写字母加小写字母表示，变量用x、y、z等小写字母表示，量词包括全称量词∀和存在量词∃。
二、语义解释一阶逻辑中的符号需要通过语义解释来理解其含义。
语义解释对于谓词逻辑而言是特别重要的，因为它涉及到对命题的真值赋值。
例如，对于某个谓词P(x)来说，当x取某个特定值时，P(x)可能被赋予真值，反之则为假值。
三、公式一阶逻辑的公式是用逻辑符号表示的表达式，可以由基本命题符号、谓词符号、量词符号、逻辑连接词和括号组成。
公式可分为原子公式和复合公式。
原子公式是由谓词和变量组成的简单逻辑表达式，而复合公式由多个公式通过逻辑连接词、量词和括号组合而成。
四、语法规则一阶逻辑具有严格的语法规则，包括公式的构成和推理规则。
公式的构成受到语法规则的限制，必须符合合法的语法结构。
推理规则则用于推导和验证逻辑论证的合法性。
五、推理规则一阶逻辑的推理规则包括等价变形、简化规则、合取规则、析取规则、推理规则等。
这些规则通过逻辑运算的合法性和逻辑关系的等价性，实现对逻辑公式的准确推演和判定。
总之，一阶逻辑是通过符号体系、语义解释、公式、语法规则和推理规则等多个组成部分构成的一种逻辑体系。
它具有形式化的语言和规则系统，可以描述和推理关于对象和它们之间关系的陈述。
一阶逻辑的应用涉及到数学、计算机科学、人工智能等多个领域，并为这些领域提供了严密的推理方法和逻辑基础。
第5章一阶逻辑等值演算与推理
4
一阶逻辑中重要的等值式
第二组
量词消去等值式 设个体域有限集D={a1,a2,…,an}，则有 (1) xA(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) (2) xA(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an) (5.1) 量词否定等值式 设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则 (1) ┐xA(x) x┐A(x) (2) ┐xA(x) x┐A(x) (5.2)
25
推理定律
在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理定律，若一 个推理的形式结构正是某条推理定律，则这个推理 是正确的
推理定律的来源： 命题逻辑推理定律的代换实例 由基本等值式生成的推理定律 已证明的推理定律
26
第一组：命题逻辑推理定律的代换实例
化简律的代换实例 xF(x)∧yG(y) xF(x)
6
一阶逻辑中重要的等值式
量词辖域收缩与扩张等值式
(2) x(A(x)∨B) xA(x)∨B x(A(x)∧B) xA(x)∧B x(A(x)→B) xA(x)→B x(B→A(x)) B→xA(x)
(5.4)
量词分配等值式
设A(x),B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则 (1)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) (2) x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) (5.5) 思考：将（1）（2）中∧ 、 ∨分别换为∨ 、∧是否可以？
24
5.3 一阶逻辑的推理理论
回顾：命题逻辑自然推理系统 (A1∧A2∧…∧Ak) → B (3.2) 做为推理的形式结构，并且用下述形式写出推理的 形式结构： 前提： A1,A2, …,Ak 结论： B 然后论证推理是否正确，即证(3.2)是否为重言式 在一阶逻辑中仍用上述推理形式，但在一阶逻辑中 判(3.2)为永真式比命题逻辑中判蕴涵重言式要困难 的多
05第五章一阶逻辑等值演算与推理
xA( x) 成立条件： （1） 所有的y,A( y)为真 （2） x不能在A( y)中约束出现，
3 存在量词引入规则（EG） A(c)
xA( x) 成立条件： （1）c为特定的个体常项 （2）x不能在A(c)中出现
4 存在量词消去规则（EI） xA( x) A(c)
成立条件： (1) c是使A为真特定的个体常项 (2) c不在A( x)中出现， （3）A( x)中除自由出现的x外，无其他自由出现的 个体变项
xy(F ( x) G( y) L( x, y))
5.2 一阶逻辑前束范式
定义（前束范式） 设A为一个一阶逻辑公式，若具有如下形式
Q1 x1Q2 x2 L Qk xk B 则称A为前束范式，其中Qi (1 i k)为或， B为不含量词的公式
定理（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例 将下面公式化成与之等值的公式，使其 没有既是约束出现的又是自由出现的个体变项 (1) xF ( x, y, z) yG( x, y, z) (2) x(F ( x, y) yG( x, y, z)
例 设个体域D {a, b, c}，将下面公式的量词消去： (1) x(F ( x) G( x)) (2) x(F ( x) yG( y)) (3) xyF ( x, y)
5.3 一阶逻辑的推理理论
推理定律
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例
第二组 由基本等值式生成的推理定律
第三组 重要推理定律 (1) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) (2) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (3) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (4) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (5) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x)
3 存在量词引入规则（EG） A(c)
xA( x) 成立条件： （1）c为特定的个体常项 （2）x不能在A(c)中出现
4 存在量词消去规则（EI） xA( x) A(c)
成立条件： (1) c是使A为真特定的个体常项 (2) c不在A( x)中出现， （3）A( x)中除自由出现的x外，无其他自由出现的 个体变项
xy(F ( x) G( y) L( x, y))
5.2 一阶逻辑前束范式
定义（前束范式） 设A为一个一阶逻辑公式，若具有如下形式
Q1 x1Q2 x2 L Qk xk B 则称A为前束范式，其中Qi (1 i k)为或， B为不含量词的公式
定理（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例 将下面公式化成与之等值的公式，使其 没有既是约束出现的又是自由出现的个体变项 (1) xF ( x, y, z) yG( x, y, z) (2) x(F ( x, y) yG( x, y, z)
例 设个体域D {a, b, c}，将下面公式的量词消去： (1) x(F ( x) G( x)) (2) x(F ( x) yG( y)) (3) xyF ( x, y)
5.3 一阶逻辑的推理理论
推理定律
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例
第二组 由基本等值式生成的推理定律
第三组 重要推理定律 (1) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) (2) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (3) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (4) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (5) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x)
一阶谓词逻辑
06
总结与展望
一阶谓词逻辑重要性总结
基础性
一阶谓词逻辑是数学逻辑和计算机科学逻辑的基础，为形式化推理 提供了基本框架。
表达能力
一阶谓词逻辑能够表达丰富的概念和关系，包括量词、函数、谓词 等，使得逻辑推理更加精确和全面。
可判定性
一阶谓词逻辑具有可判定性，即对于给定的公式和解释，可以判断 其是否有效或可满足，这为自动推理和验证提供了可能。
逻辑符号表示
03
个体变元
谓词符号
量词符号
表示任意个体的符号，常用小写字母表示 ，如 x, y, z 等。
表示谓词的符号，常用大写字母表示，如 P, Q, R 等。谓词符号后通常跟有参数， 表示具体的性质或关系。
表示量词的符号，常用的有全称量词符号 ∀ 和存在量词符号 ∃。全称量词表示“对 所有个体都成立”，存在量词表示“存在 至少一个个体使得成立”。
存在量词引入规则（EI）
如果从某个公式可以推导出含有特定谓词的公式， 则可以引入存在量词。
存在量词消去规则（EG）
如果公式中含有存在量词，则可以消去该量词，得 到特定实例的公式。
存在量词实例化规则（EI*）
在推理过程中，可以将存在量词实例化为特定的个 体或常量。
等式推理规则
等式引入规则（EqI）
如果两个项相等，则可以引入等式。
随着应用领域的拓展和问题的 复杂化，一阶谓词逻辑可能会 面临表达力不足、推理效率低 下等问题。同时，如何处理不 确定性、模糊性等也是未来需 要解决的问题。
THANKS
前提推导出结论。
02
优点
直观、易于理解，符合人类思 维习惯。
03
缺点
需要熟练掌握推理规则，且对 于复杂问题可能效率较低。
一阶逻辑基本概念讲解
与多主体系统的关系
一阶逻辑在处理多主体系统时可能存在挑战，需要借助其他逻辑系 统如交互逻辑或认知逻辑等来扩展其表达能力。
一阶逻辑的未来发展方向与趋势
扩展表达能力
为了克服一阶逻辑的局限性，未来的研究可以探索扩展其表达能力和推理规则，例如通过引入新的量词或扩展模态、 时态等逻辑系统。
融合其他逻辑系统
为了更好地处理复杂问题，未来的研究可以探索一阶逻辑与其他逻辑系统的融合，例如将一阶逻辑与模态、时态、认 知等逻辑系统相结合。
02
CATALOGUE
一阶逻辑的基本概念
命题与量词
命题
表示一个陈述句，具有真假性，是逻 辑推理的基本单位。
量词
表示数量的符号，如“所有”、“存 在”等，用于限定命题的范围。
逻辑联结词
逻辑联结词
表示命题之间关系的符号，如“并且”、“或者”、“如果...那么...”等。
否定词
表示否定关系的符号，用于改变命题的真假性。
推理过程
通过否定某个命题，根据逻辑规则或推理规则，推导出结论。
归结推理
归结推理
将复杂命题逐步简化为简单命题，然后 通过简单命题的推理得出结论的推理方
法。
结论
根据前提条件推导出的结果或结论。
前提条件
已知的前提或命题。
推理过程
将复杂命题逐步简化为简单命题，然 后通过简单命题的直接推理或间接推 理，得出结论。
一阶逻辑的重要性
逻辑基础
一阶逻辑是形式化逻辑的基础， 为数学、计算机科学和哲学等领 域提供了逻辑推理的框架。
精确表达
一阶逻辑能够精确地表达命题之 间的逻辑关系，有助于避免歧义 和误解。
推理工具
一阶逻辑是进行逻辑推理和数学 证明的重要工具，有助于发现和 证明新的数学定理。
一阶逻辑在处理多主体系统时可能存在挑战，需要借助其他逻辑系 统如交互逻辑或认知逻辑等来扩展其表达能力。
一阶逻辑的未来发展方向与趋势
扩展表达能力
为了克服一阶逻辑的局限性，未来的研究可以探索扩展其表达能力和推理规则，例如通过引入新的量词或扩展模态、 时态等逻辑系统。
融合其他逻辑系统
为了更好地处理复杂问题，未来的研究可以探索一阶逻辑与其他逻辑系统的融合，例如将一阶逻辑与模态、时态、认 知等逻辑系统相结合。
02
CATALOGUE
一阶逻辑的基本概念
命题与量词
命题
表示一个陈述句，具有真假性，是逻 辑推理的基本单位。
量词
表示数量的符号，如“所有”、“存 在”等，用于限定命题的范围。
逻辑联结词
逻辑联结词
表示命题之间关系的符号，如“并且”、“或者”、“如果...那么...”等。
否定词
表示否定关系的符号，用于改变命题的真假性。
推理过程
通过否定某个命题，根据逻辑规则或推理规则，推导出结论。
归结推理
归结推理
将复杂命题逐步简化为简单命题，然后 通过简单命题的推理得出结论的推理方
法。
结论
根据前提条件推导出的结果或结论。
前提条件
已知的前提或命题。
推理过程
将复杂命题逐步简化为简单命题，然 后通过简单命题的直接推理或间接推 理，得出结论。
一阶逻辑的重要性
逻辑基础
一阶逻辑是形式化逻辑的基础， 为数学、计算机科学和哲学等领 域提供了逻辑推理的框架。
精确表达
一阶逻辑能够精确地表达命题之 间的逻辑关系，有助于避免歧义 和误解。
推理工具
一阶逻辑是进行逻辑推理和数学 证明的重要工具，有助于发现和 证明新的数学定理。
离散数学---谓词逻辑推理
S(x): x 是理科生； T(x): x 是优等生。 要引入的个体常项是：c : 小张。 前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、x(P(x)T(x))、 Q(c)T(c)
结论：P(c)S(c)，
推理举例(续)
西 华 大 学
前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、 x(P(x)T(x))、Q(c)T(c) 结论：P(c)S(c)， 证明: (1). x(P(x)(Q(x)S(x))) P规则 (2). P(c)(Q(c)S(c)) 全称量词消除规则 (3). P(c) CP规则 (4). Q(c)S(c) (2)(3)I (5). Q(c)T(c) P规则 (6). Q(c) (5)I (7). S(c) (4)和(6) I
在证明的任何步骤上一阶公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换得到证明的公式序列的另一公式证明的公式序列的另公式
第二章 谓词逻辑
西 华 大 学
第3节 一阶逻辑推理理论
推理的定义
西 华 大 学
称蕴涵式(A1A2…Ak)B为推理的形式结构， A1, A2, …, Ak为推理的前提，B为推理的结论。 若(A1A2…Ak)B为永真式，则称从前提A1,
// 前提
(2). P(a)Q(a) // 全称量词消除规则
举例：全称量词消除规则
西 华 B 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). x P(x)Q(x) // 前提 (2). P(y)Q(y) // 全称量词消除规则
量词 x 的辖域为 P(x) ，而非 P(x)Q(x) ，所以不 能直接使用全称量词消除规则。
举例：全称量词消除规则
西 华 A 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). (x)(P(x)Q(x))// 前提 (2). P(a)Q(b) // 全称量词消除规则
结论：P(c)S(c)，
推理举例(续)
西 华 大 学
前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、 x(P(x)T(x))、Q(c)T(c) 结论：P(c)S(c)， 证明: (1). x(P(x)(Q(x)S(x))) P规则 (2). P(c)(Q(c)S(c)) 全称量词消除规则 (3). P(c) CP规则 (4). Q(c)S(c) (2)(3)I (5). Q(c)T(c) P规则 (6). Q(c) (5)I (7). S(c) (4)和(6) I
在证明的任何步骤上一阶公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换得到证明的公式序列的另一公式证明的公式序列的另公式
第二章 谓词逻辑
西 华 大 学
第3节 一阶逻辑推理理论
推理的定义
西 华 大 学
称蕴涵式(A1A2…Ak)B为推理的形式结构， A1, A2, …, Ak为推理的前提，B为推理的结论。 若(A1A2…Ak)B为永真式，则称从前提A1,
// 前提
(2). P(a)Q(a) // 全称量词消除规则
举例：全称量词消除规则
西 华 B 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). x P(x)Q(x) // 前提 (2). P(y)Q(y) // 全称量词消除规则
量词 x 的辖域为 P(x) ，而非 P(x)Q(x) ，所以不 能直接使用全称量词消除规则。
举例：全称量词消除规则
西 华 A 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). (x)(P(x)Q(x))// 前提 (2). P(a)Q(b) // 全称量词消除规则
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2．全称量词引入规则(简记为UG规则或UG) A(y) xA(x) 该式成立的条件是： (1)无论A(y)中自由出现的个体变项y取何值，A(y)应该 均为真。 (2)取代自由出现的 y 的 x 也不能在A(y)中约束出现，否则 也可能产生 A(y) 为真而 xA(x) 为假的情况。(见P54说明)
例2.15 构造下面推理的证明。 (1)前提：x(F(x) G(x))，xF(x) 结论：xG(x) 证明： ①xF(x) 前提引入 ②F(c) ① EI规则 ③x(F(x) G(x)) 前提引入 ④F(c) G(c) ③ UI规则 ⑤ G(c) ② ④假言推理 ⑥ xG(x) ⑤ EG规则 正确推理
在一阶逻辑的推理过程中，还要用到下面的四个推理规则： 1．全称量词消去规则(简记为UI规则或UI ) xA(x) A(y) xA(x) A(c) 两式成立的条件是： (1)在第一式中，取代 x 的 y 应为任意的不在A(x)中约束出 现的个体变项。 例如：xyF(x，y) yF(y，y)是错误的。应该用s、t等公 式中没有出现的字母代替 x 。(见P53的具体说明) (2)在第二式中，c为任意个体常项。 (3)用 y 或 c 去取代A(x)中的自由出现的x时，一定要在 x 自由出现的一切地方进行取代。 在使用UI规则时，用第一式还是第二式要根据具体情况而 定。
3．存在量词引入规则(简称EG规则或EG) A(c) xA(x) 该式成立的条件是： (1) c是特定的个体常项； (2)取代 c 的 x 不能在A(c)中出现过。(见P54说明)
4．存在量词消去规则(简记为EI规则或EI) xA(x) A(c) 该式成立的条件是： (1) c 是使A为真的特定的个体常项； (2) c 不在A(x)中出现； (3) 若A(x)中除自由出现的 x 外，还有其它自由出现的个体变 项，此规则不能使用。 (见P54说明) 最后需要说明，只能对前束范式使用UI，UG，EI，EG规则。 一阶逻辑的推理步骤与命题逻辑推理时的步骤是类似的，分 为前提、结论、证明三步。命题逻辑中的推理规则和 UI，UG， EI，EG规则在证明过程中都可以使用，但是要正确使用 UI， UG，EI，EG规则。
例2.17 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示 成分数。因此，有理数都不是无理数。 F(x)：x为无理数。G(x)：x为有理数。 H(x)：x能表示成分数。 前提：x(F(x) ∧H(x))，x(G(x) H(x)) 结论：x(G(x) F(x)) 证明： ① x(F(x) ∧H(x)) 前提引入 ②x(F(x) ∨H(x)) ①置换 ③x(H(x) F(x)) ②置换 ④H( 前提引人 ⑥G(y) H(y) ⑤ UI规则 ⑦G(y) F(y) ④ ⑥假言三段论 ⑧x(G(x) F(x)) ⑦ UG规则 正确推理
第二组： 由基本等值式生成的推理定律。 例如：由 xF(x) xF(x) 可以生成两个推理定律 xF(x) xF(x) xF(x) xF(x)
由 x F(x) x F(x) 可以生成两个推理定律 x F(x) x F(x) x F(x) x F(x) 第三组： 还有下面各重要推理定律。 例如： (1) x(A(x)∨B (x)) xA(x)∨x B (x) (2) x(A(x) ∧B (x)) xA(x) ∧ x B (x) (3) x(A(x)B (x)) xA(x) x B (x) (4) x(A(x) B (x)) xA(x) x B (x) ……
一阶逻辑的推理理论 在一阶逻辑中，从前提A1，A2，…，Ak出发推结论B的推理 的形式结构，依然采用如下的蕴涵式形式 A1∧A2∧…∧AkB 若此式为永真式，则称推理正确，否则称推理不正确。于 是，在一阶逻辑中判断推理是否正确也归结为此式是否为永真 式了。 在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理定律，若一个推理 的形式结构正是某条推理定律，则这个推理显然是正确的。 推理定律有下面几组来源： 第一组： 命题逻辑推理定律的代换实例。 例如： xF(x) ∧yG(y)xF(x)、 xF(x) xF(x) ∨yG(y) 分别为命题逻辑中化简律和附加律的代换实例。
例2.16 在一阶逻辑中判别苏格拉底三段论是否是正确推理 凡是人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。 M(x)：x 是人。F(x)：x 是要死的。 a ：苏格拉底。 前提：x(M(x)F(x) )，M(a) 结论：F(a) 证明：① x(M(x)F(x) ) 前提引入 ② M(a)F(a) ① UI 规则 ③ M(a) 前提引入 ④ F(a) ②③假言推理 由此得出苏格拉底三段论是正确推理。
(2) 前提：x(F(x)G(x))，x(F(x)∧H(x)) 结论：x(G(x)∧H(x)) 证明： ①x(F(x)∧H(x) ) 前提引入 ②F(c)∧H(c) ① EI规则 ③x(F(x)G(x)) 前提引入 ④F(c)G(c) ③ UI规则 ⑤F(c) ②化简 ⑥G(c) ④⑤假言推理 ⑦H(c) ②化简 ⑧G(c)∧H(c) ⑥⑦合取 ⑨x(G(x)∧H(x)) ⑧ EG规则 正确推理