集合与简易逻辑1
高中数学核心知识点及基本思想方法总结1----集合与简易逻辑
高中数学核心知识点及基本思想方法总结第一章 集合与简易逻辑¤第一部分·集合与集合运算¤◆内容概述◆集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。
“疯人数学家”康托尔(Cantor,G.F.P,1845-1918年，德国人)是集合论的创始者。
目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域。
集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程和不等式、立体几何、解析几何等中都被广泛的使用。
要求理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。
了解空集和全集的意义。
了解属于、包含、相等关系的意义。
掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。
◆知识点拨◆※< 1 >※ 集合与元素。
一般地，某些指定的对象．．．．．集在一起就成为一个集合（确定性）。
集合中每个对象叫做这个集合的元素。
【注意】①集合的确定性如何体现？（例如很高的山，一条快乐的鱼能成为一个集合么） ②元素与集合的关系。
（属于∈、不属于∉）【例题】设集合},12|{},,2|{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==，若B b A a ∈∈,，试判断a+b 与A 、B 的关系。
〖分析〗两个集合中的k 不可以理解成是同一个变量，即解作：Z k k b a k b B b k a A a ∈+=+∴+=∴∈=∴∈,14,12,,2,，此法失去任意性。
〖解答〗.,,.1)(2,,12,,,2,21212211A b a B b a Z k k k k b a Z k k b B b Z k k a A a ∉+∈+∴∈+++=+∴∈+=∴∈∈=∴∈ ③集合中元素的三个特征。
（确定性、互异性、无序性） 【例题】已知}1,12,3{2+--=a a a A ，其中R a ∈。
（1）若A ∈-3，求实数a 的值；（2）当a 为何值时，集合A 的表示不正确？〖解答〗.2,,,11213123:,,3,)2(;10,12333,13)1(222-=∴∈+=-+=--=--==-=--=-∴+≠-a R a A a a a a a a A a a a a a 的表示不正确时或或即表示不正确集合个元素有重复情况时当由集合中元素的互异性或解得或显然④集合的表示方法有哪些？（列举法、描述法、图示法、区间法）【思考】各表示方法的特点，比如描述法注意限制决定条件、条件决定元素、元素决定集合。
集合与简易逻辑
如：应把集合{1，2，2}改写成 {1，2}
(3) 无序性： 集合中的元素是平等的，没有先后顺序， 因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否 一样，不需考查排列顺序是否一样．
如：集合{1，2，3}和{1，3，2}表示同一集合。
二、元素与集合之间的关系： 若a是集合A的元素， 就说 a 属于集合 A ， 记作 a∈A ； 若a不是集合A的元素， 则 a 不属于集合 A ， 记作 aA。 例如:A={1，2，3，4，5}
Q 有理数集记作______;
R 实数集记作_______;
四、集合的常用表示方法:
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示 为: {太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}.
方法一：列举法——把集合中的元素一一 列举出来写在大(花)括号{ }内表示集合的 方法。
例1：用列举法表示下列集合：
{ 2, 3, 5, 7 } (1)小于10的所有质数组成的集合__________; (2)由大于3小于10的整数组成的集合 { 4, 5, 6, 7 ,8 ,9 } ___________________; { -4, 4} (3)方程x2-16=0的实数解组成的集合_________;
3 则3∈A ， A 2
集合常用大写字母A，B，C，D，……标记， 元素常用小写字母a，b，c，d，……标记。
三、常用数集及其记法：
数的集合简称数集。 一些常用数集及其记法：
N 非负整数集（即自然数集） 记作_______;
N*或 N+ 正整数集记作_____________;
Z 整数集记作_______;
例2：用描述法表示下列集合：
高中数学竞赛标准教材1人教版 集合与简易逻辑【讲义】
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉．例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示．集合分有限集和无限集两种．集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法．例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集．定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆．规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等．如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集．定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集．定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且．定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成．（1）若)(C B A x ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x ∈或)(C A x ∈，即)()(C A B A x ∈；反之，)()(C A B A x ∈，则)(B A x ∈或)(C A x ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x ∈，即).(C B A x ∈（3）若B C A C x 11 ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x ∈，即)(111B A C B C A C ⊆，反之也有.)(111B C A C B A C ⊆定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法．定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法．二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合．例1 设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈ [证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --=22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()(（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）．2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B ．例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）． 【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ；再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈．所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =3．分类讨论思想的应用．例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，求.,m a【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3． 因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m ．4．计数原理的应用．例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A , 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个．5．配对方法． 例5 给定集合},,3,2,1{n I =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值．【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12-n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设∅=1A A ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12-≥n k ．综上，12-=n k ． 6．竞赛常用方法与例问题． 定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑∑∑∑=≠≤<<≤=+-=n i k j i j i n k j i j i i n i i A A A A A A A111 .)1(11 n i i n A =--+-定义8 集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分．定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素．例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤== ，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I 个．例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素．例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21 满足：}.2)1(,,2,1{}1}{-=≤<≤-n n n j i a a j i 【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时， 1,5,2,04321====a a a a ．下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21 满足条件． 令n a a a <<<= 210，则.2)1(-=n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或21a a a n n -=-，即12=a ，所以1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a 或2)1(-=n n a n ，12=a ． （ⅰ）若1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a ，考虑2-n a ，有22-=-n n a a 或22a a a n n -=-，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a 考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾，所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．（ⅱ）若1,2)1(2=-=a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a ．考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾．因此32-=-n n a a ，所以12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n ．故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i 求n 的最小值．【解】 .16min =n设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k ．若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合．i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k 20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n ．当16=n 时，如下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}． 例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i =则1+2+…+∑==n i i zn 1,43所以∑==+n i i z n n 142)13(3．当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5．三、基础训练题1．给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________．2．若集合},,012{2R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________．3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个．4．已知集合}01{},023{2=+==+-=ax x N x x x M ，若M N ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =___________．5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，则常数a 的取值范围是___________．6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个．7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________．8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________．9．集合}01{},06{2=-==-+=mx x M x x x P ，且P M ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为___________． 10．集合},9{},,12{2R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则=B A ___________．11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ∉）若S a ∈，则S a∈-11．如果∅≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由．12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围． 四、高考水平训练题1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________．2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________．3．已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，实数m 的取值范围是___________．4．若实数a 为常数，且=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∈a x ax x A a 则,1112___________． 5．集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，则=m ___________．6．集合},27{},,35{++∈+==∈+==N y y b b B N x x a a A ，则B A 中的最小元素是___________．7．集合}0,,{},,,{2222y x y x B xy y x y x A -+=+-=，且A =B ，则=+y x ___________．8．已知集合}04{},021{<+=<-+=px x B xx x A ，且A B ⊆，则p 的取值范围是___________．9．设集合},05224),{(},01),{(22=+-+==--=y x x y x B x y y x A }),{(b kx y y x C +==，问：是否存在N b k ∈,，使得∅=C B A )(，并证明你的结论．10．集合A 和B 各含有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）B A C ⊆且C 中含有3个元素；2）∅≠A C ．11．判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，}),{(222r y x y x C r ≤+=，若对任何0≥r ，都有B C A C r r ⊆，则必有B A ⊆，证明你的结论．五、联赛一试水平训练题1．已知集合A B B x mx x m z z B x x A ⊆∅≠>+-==<=且,},2,11{},0{2，则实数m 的取值范围是___________．2．集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ∉+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________．3．已知集合}2,,{},,,{2d a d a a Q aq aq a P ++==，其中0≠a ，且R a ∈，若P =Q ，则实数=q ___________． 4．已知集合}1),{(},0,),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+=，若B A 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则=a ___________．5．集合},,,4812{Z n l m l n m u u M ∈++==，集合},,,121620{Z r q p r q p u u N ∈++==，则集合M 与N 的关系是___________．6．设集合}1995,,3,2,1{ =M ，集合A 满足：M A ⊆，且当A x ∈时，A x ∉15，则A 中元素最多有___________个．7．非空集合}223{},5312{≤≤=-≤≤+=x x B a x a x A ，≤则使B A A ⊆成立的所有a 的集合是___________．8．已知集合A ，B ，aC （不必相异）的并集},,2,1{n C B A =, 则满足条件的有序三元组（A ，B ，C ）个数是___________．9．已知集合}1),{(},1),{(},1),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A ，问：当a 取何值时，C B A )(为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10．求集合B 和C ，使得}10,,2,1{ =C B ，并且C 的元素乘积等于B 的元素和．11．S 是Q 的子集且满足：若Q r ∈，则0,,=∈-∈r S r S r 恰有一个成立，并且若S b S a ∈∈,，则S b a S ab ∈+∈,，试确定集合S ．12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1．321,,S S S 是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，如果i S x ∈，j S y ∈，则i S y x ∈-．求证：321,,S S S 中必有两个相等．2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集)117,,2,1( =i A i ，使得（1）每个i A 恰有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和相同．3．某人写了n 封信，同时写了n 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4．设2021,,,a a a 是20个两两不同的整数，且整合{120}i j a a i j +≤≤≤中有201个不同的元素，求集合{120}i j a a i j -<≤≤中不同元素个数的最小可能值．5．设S 是由n 2个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．6．对于整数4≥n ，求出最小的整数)(n f ，使得对于任何正整数m ，集合}1,,1,{-++n m m m 的任一个)(n f 元子集中，均有至少3个两两互质的元素．7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数k ，使S 的任意一个s 元子集中都存在两个不同的数a 和b ，满足ab b a )(+．8．集合+∈=N k k X },6,,2,1{ ，试作出X 的三元子集族&，满足： （1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2））k 的元素个数表示&&(6&2=． 9．设集合}21{，m ，，A =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1421,,,A A A ，一定存在某个集合)141(≤≤i A i ，在i A 中有两个元素a 和b 满足43b a b <≤．。
高中数学必修1同步优化训练第一章 集合与简易逻辑1 A卷(附答案)
第一章 集合与简易逻辑(一)●知识网络集合集合的有关概念集合与元素补集解含绝对值的不等式并集解简单分式不等式集合与集合交集解一元二次不等式集合的运算集合的应用●范题精讲【例1】 已知集合A 、B 是全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，A ∩B ={2},(U A )∩(U B )={1,9},(U A )∩B ={4,6,8},求A 、B.UAB 4,6,83,5, 721,9分析:作出文氏图，利用数形结合法求解本题.解:由图可得A ={2，3，5，7},B ={2，4，6，8}.【例2】 已知A ={x |x 2-ax +a 2-19=0},B ={x |x 2-5x +8=2},C ={x |x 2+2x -8=0}.若∅A ∩B ,且 A ∩C =∅,求a 的值.解:∵B ={x |(x -3)(x -2)=0}={3,2}, C ={x |(x +4)(x -2)=0}={-4,2}, 又∵∅A ∩B , ∴A ∩B ≠∅. 又∵A ∩C =∅,∴可知-4∉A ,2∉A ,3∈A. ∴由9-3a +a 2-19=0， 解得a =5或a =-2.①当a =5时，A ={2,3}，此时A ∩C ={2}≠∅,矛盾， ∴a ≠5；②当a =-2时，A ={-5,3}，此时A ∩C =∅, A ∩B ={3}≠∅,符合条件. 综上①②知a =-2.评注:求出a 值后要注意代回题中检验，否则可能会出现错误的结果.【例3】 解关于x 的不等式x 2-(a +a1)x +1＜0(a ≠0). 分析:解含字母参数的不等式，要注意对字母参数进行合理的分类讨论，既不能遗漏，也不能重复.解:原不等式化为(x -a )(x -a1)＜0, ∴相应方程的根为a 、a1. 当a ＞a 1，即-1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a 1＜x ＜a }. 当a =a 1，即a =±1时，解集为∅.当a ＜a 1，即0＜a ＜1或a ＜-1时，解集为{x |a ＜x ＜a1 }.综上，当-1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a1＜x ＜a };当a =±1时，解集为∅；当0＜a ＜1或a ＜-1时，解集是{x |a1＜x ＜a }.评注:解含字母参数的不等式时，要弄清为何要分类讨论、分类讨论的标准是什么、如何分类讨论三个问题.【例4】 已知A ={x ||x -a |≤1},B ={x |3302x--x-x ≥0},且A ∩B =∅，求a 的取值范围.分析:先利用解含绝对值不等式的方法及积的符号法则解不等式，求出A 和B ，再利用数轴表示出A 和B (如下图所示)，得到A ∩B =∅时应满足的条件，从而求出a 的取值范围.解:A ={x ||x -a |≤1}={x |a -1≤x ≤a +1}.不等式3302x--x-x ≥0,即()()356x-x x +-≥0, 其解集是⎩⎨⎧≥+>05)6)(-(0,3-x x x 与⎩⎨⎧≤+-<-0)5)(6(,03x x x 的解集的并集.解得不等式3302x--x-x ≥0的解集是{x |x ≥6}∪{x |-5≤x ＜3}={x |x ≥6或-5≤x ＜3}.所以B ={x |-5≤x ＜3或x ≥6}. 要使A ∩B =∅，必须满足a +1＜-5或⎩⎨⎧<+≥-,61,31a a即a ＜-6或4≤a ＜5.所以，满足条件的a 的取值范围是a ＜-6或4≤a ＜5.评注:将集合A 、B 都标在数轴上，借助于图形直观性找到需满足的条件，再转化为与之等价的关于a 的不等式组.这种数形结合的数学思想很重要.●试题详解高中同步测控优化训练(一) 第一章 集合与简易逻辑(一)(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知A ={x |x ≤32,x ∈R },a =5,b =23,则A.a ∈A 且b ∉AB.a ∉A 且b ∈AC.a ∈A 且b ∈AD.a ∉A 且b ∉A 答案:C2.设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,5},则A ∩(U B )等于A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3} 解析:∵U ={1,2,3,4,5},B ={2,5}, ∴U B ={1,3,4}.∴A ∩(U B )={1,3}.答案:D3.已知集合S={a ,b ,c }中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:由于集合中的元素是互异的,所以a 、b 、c 互不相等,即△ABC 一定不是等腰三角形. 答案:D4.集合A ={x ∈R |x (x -1)(x -2)=0}，则集合A 的非空子集的个数为A.4B.8C.7D.6解析:集合A ={0，1，2}，共有23=8个子集，其中非空子集有7个，故选C.这里特别注意{0}≠∅.答案:C5.已知集合A ={x ||2x +1|>3},B ={x |x 2+x -6≤0},则A ∩B 等于A.(-3,-2］∪(1,+∞)B.(-3,-2］∪［1,2)C.［-3,-2)∪(1,2］D.(-∞,-3］∪(1,2］ 解析:A ={x ||2x +1|>3}={x |2x +1>3或2x +1<-3}={x |x >1或x <-2}, B ={x |x 2+x -6≤0}={x |-3≤x ≤2}(如下图).答案:C6.已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1},若Q ⊆P ，那么a 的值是A.1B.-1C.1或-1D.0，1或-1解析:因为由x 2=1得x =±1，所以P ={-1,1}.又因为Q ⊆P ，所以分Q =∅和Q ≠∅两种情况讨论.(1)若Q =∅，则a =0；(2)若Q ≠∅，则a ≠0，Q ={x |x =a1}，所以a =-1或1.综合(1)(2)可知，a 的值为0，1或-1. 答案:D7.设U 为全集，P 、Q 为非空集合，且P Q U .下面结论中不正确的是A.(U P )∪Q =UB.( U P )∩Q =∅ C.P ∪Q =Q D.P ∩(U Q )=∅UPQ解析:由文氏图知(U P )∩Q ≠∅.答案:B8.不等式组⎩⎨⎧>+>03,42a x x 的解集是{x |x ＞2}，则实数a 的取值范围是A.a ≤-6B.a ≥-6C.a ≤6D.a ≥6答案:B9.若|x +a |≤b 的解集为{x |-1≤x ≤5},那么a 、b 的值分别为A.2，-3B.-2，3C.3，2D.-3，2 答案:B10.设全集U =R ，集合E ={x |x 2+x -6≥0}，F ={x |x 2-4x -5＜0}，则集合{x |-1＜x ＜2}是A.E ∩FB.( U E )∩FC.(U E )∪(U F )D. U (E ∪F )解析:E ={x |x 2+x -6≥0}={x |x ≤-3或x ≥2}, F ={x |x 2-4x -5＜0}={x |-1＜x ＜5}. 借助数轴知{x |-1＜x ＜2}=(U E )∩F .答案:B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.设T ={(x ,y )|ax +y -3=0},S ={(x ,y )|x -y -b =0}.若S ∩T ={(2,1)},则a =_______,b =_______.解析:由S ∩T ={(2,1)},可知⎩⎨⎧==1,2y x 为方程组⎩⎨⎧=--=-+0,03b y x y ax 的解，解得⎩⎨⎧==.1,1b a答案:1 112.已知集合M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },则集合M ∩N =_______. 解析:∵M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },∴N ={0,2,4}.∴M ∩N ={0,2}. 答案:{0,2}13.不等式1-x ax＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a 的值为________. 解析:由1-x ax＜1得［(a -1)x +1］(x -1)＜0，由不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞2}知，1、2为方程［(a -1)x +1］(x -1)=0的两根，∴(a -1)×2+1=0.∴a = 21. 答案: 2114.不等式3)2(-+x x x <0的解集为_______. 解析:原不等式x (x +2)(x -3)<0.如下图,由数轴穿根法可知原不等式的解集为{x |0<x <3或x <-2}.答案:{x |0<x <3或x <-2}三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ac ,ac 2}.若A =B ，求实数c 的值.解:若⎩⎨⎧=+=+22acb a ac b a ⇒a +ac 2-2ac =0, 所以a (c -1)2=0,即a =0或c =1.当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当c =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若⎩⎨⎧=+=+acb a ac b a 22⇒2ac 2-ac -a =0. 因为a ≠0，所以2c 2-c -1=0, 即(c -1)(2c +1)=0. 又c ≠1，所以只有c =-21. 经检验，此时A =B 成立.综上所述c =-21. 16.(本小题满分10分)设集合A ={x ||x -a |<2},B ={x |212+-x x <1},若A ⊆B ,求实数a 的取值范围.解:A ={x |-2<x -a <2}={x |a -2<x <a +2},∵212+-x x <123+-x x <0(x +2)(x -3)<0-2<x <3,∴B ={x |-2<x <3}. 如下图,∵A ⊆B ,∴⎩⎨⎧≤+-≥-.32,22a a解得0≤a ≤1.17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2-ax +3a -5=0}.若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围.解:A ={x |x 2-3x +2=0}={1,2},由x 2-ax +3a -5=0，知Δ=a 2-4(3a -5)=a 2-12a +20=(a -2)(a -10). (1)当2＜a ＜10时，Δ＜0,B =∅⊆A ;(2)当a ≤2或a ≥10时，Δ≥0，则B ≠∅. 若x =1，则1-a +3a -5=0,得a =2, 此时B ={x |x 2-2x +1=0}={1}⊆A ;若x =2，则4-2a +3a -5=0，得a =1, 此时B ={2,-1} A.综上所述，当2≤a ＜10时，均有A ∩B =B .18.(本小题满分12分)解不等式：(1)1＜|x -2|≤3;(2)|x -5|-|2x +3|＜1.分析:解含绝对值的不等式应根据绝对值的概念去掉绝对值符号，(2)中可采用零点分区间法去绝对值符号.(1)解法一:原不等式即⎪⎩⎪⎨⎧≤->-.32,12x x由①得x ＜1或x ＞3.由②得-1≤x ≤5(如图).所以原不等式的解集为{x |-1≤x ＜1或3＜x ≤5}.解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集.⎩⎨⎧≤-<≥-321,02x x 或⎩⎨⎧≤--<<-,3)2(1,02x x 即1＜x -2≤3或-3≤x -2＜-1,解得3＜x ≤5或-1≤x ＜1.所以原不等式组的解集为{x |-1≤x ＜1或3＜x ≤5}. (2)解:①当x ≥5时，原不等式可化为 (x -5)-(2x +3)＜1, 解得x ≥5.②当-32≤x ＜5时，原不等式可化为-(x -5)-(2x +3)＜1, 解得31＜x ＜5.① ②③当x ＜-32时，原不等式可化为 -(x -5)+(2x +3)＜1,解得x ＜-7. 综上可知，原不等式的解集为{x |x ＞31或x ＜-7}. 19.(本小题满分12分)已知U ={x |x 2-3x +2≥0},A ={x ||x -2|＞1},B ={x |21--x x ≥0},求A ∩B , A ∪B ,(U A )∪B ,A ∩(U B ).解:∵U ={x |x 2-3x +2≥0}={x |(x -2)(x -1)≥0}={x |x ≥2或x ≤1}, A ={x ||x -2|＞1}={x |x -2＞1或x -2＜-1}={x |x ＞3或x ＜1},B ={x |⎩⎨⎧≠-≥--020)2)(1(x x x }={x |x ＞2或x ≤1}.由图(1)可知,A ∩B ={x |x ＞3或x ＜1},A ∪B ={x |x ＞2或x ≤1}.图(1)由图(2)可知U A ={x |2≤x ≤3或x =1},易知U B ={x |x =2}.图(2)由图(3)可知,(U A )∪B ={x |x ≥2或x ≤1}=U .图(3)由图(4)可知,A ∩(U B )=∅.图(4)。
高考数学强基计划专题1集合与简易逻辑
2022年高考数学尖子生强基计划专题1集合与简易逻辑 一、真题特点分析：1. 突出对思维能力的考查。
例1.【2020年武汉大学9】设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（ ） A. 32B. 56C. 72D. 84答案：B 进行分类讨论例2.【2020 年清华大学】已知集合{},,1,2,3,,2020A B C ⊆，且A B C ⊆⊆，则有序集合组(),,A B C 的个数是（ ）．A ．20202B ．20203C ．20204D ．20205答案：C例3.【北大】已知()01,2,...,i x i n >=11.n i i x ==∏求证：))11.nni i x =≥∏【解析】不等式；柯西不等式或AM GM -平均不等式. 法一：AM GM -不等式.调和平均值n n ni n H G =≤=⎛⎫∑≤n i n ⎛⎫∑ni ≤∑ni ⎛⎫≤∑1nn i i n n +⎛⎫≤+=∑∑，即)1≤，即))1n ni ix ≤∏法二：由11.ni ix ==∏及要证的结论分析，由柯西不等式得))211i i x x ⎫≥⎪⎭，从而可设1i i y x =，且1111.n ni i i iy x ====∏∏从而本题也即证))11.n ni i y =≥∏从而))211nni ii x x ⎫+≥⎪⎭∏，即))21nnii ix y ≥∏，假设原式不成立，即))11,nni i x =<∏则))11.nni i y =<∏从而))21nnii ix y <∏，矛盾.得证.2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。
例4.【北大】10、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根. 【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d x b e x c f b e a d c f -+-+-=∆=----=由()()30f x g x +=可得()()()()()()223330,34330.a d x b e x c f b e a d c f +++++=∆=+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df ∴-<()g x ∴没有实根.二、应试和准备策略1. 注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。
高一数学集合
第一章集合与简易逻辑本章概述1.教学要求[1] 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.[2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法；熟练掌握一元二次不等式的解法.[3]理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件.重点：有关集合的基本概念；一元二次不等式的解法及简单应用；逻辑联结词“或”、“且”、“非” 与充要条件.难点：有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系；“四个二次”之间的关系；对一些代数命题真假的判断.3.教学设想利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念；突出一种数学方法——元素分析法；渗透两种数学思想——数形结合思想与分类讨论思想；掌握三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的转译.1.1 集合目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。
教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合教学过程：集合与元素：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。
二、集合的表示：用大括号表示集合{ … }如：{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}用拉丁字母表示集合如：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}常用数集及其记法：1.非负整数集（即自然数集）记作：N2.正整数集N*或 N+3.整数集 Z4.有理数集Q5.实数集R集合的三要素： 1。
元素的确定性； 2。
元素的互异性； 3。
元素的无序性三、关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作a∈A ，相反，a不属于集A 记作 a∉A （或a∈A）例：见P4—5中例五、集合的表示方法：列举法与描述法1．列举法：把集合中的元素一一列举出来。
数学高考基础知识、常见结论详解(一)
数学高考基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性互异性：例如：，，若A=B求；（A={-1，1，0}）（2）集合与元素的关系用符号表示。
（、）（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。
（4）集合的表示法：、、。
（列举法，描述法，韦恩图示法）注意：区分集合中元素的形式：例如：；；；；；（5）空集是指不含任何元素的集合。
（、和的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
如：，如果，求的取值。
（）二、集合间的关系及其运算（1）符号是表示元素与集合之间关系的，立体几何中则体现；（；点与直线（面）的关系）符号是表示集合与集合之间关系的，立体几何中则体现。
（；直线与面的关系）（2）；；（3）对于任意集合，则：①；；；（=；=；）②；；；；（）③；；（）（4）①若为偶数，则；若为奇数，则；②若被3除余0，则；若被3除余1，则；若被3除余2，则；三、集合中元素的个数的计算：若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是。
（）四、若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；（真假值）注意：“若，则”在解题中的运用，如：“”是“”的条件。
（充分非必要）六、反证法：当证“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
（不等于；小于或等于；大于或等于；不是；不都是；至少有两个；一个也没有；存在一个）二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。
1-1集合与简易逻辑总复习1
第一章几何与简易逻辑第1课时集合的概念与运算1一、选择题1．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()A. A⊆C B．C⊆A C．A≠C D．A＝∅解析：A⊆A∪B＝B∩C⊆C，则A⊆C.答案：A2．设D是正三角形P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心．若集合S ＝{P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i＝1,2,3}，则集合S表示的平面区域是()A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域解析：∵|PP0|≤|PP i|，∴点P在P0P i的垂直平分线将平面分成的靠近P0的区域内，即点P在如图六边形ABCDEF内(包括边界)，故选D.答案：D3．设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝()A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞) C．[0,1] D．[0,2]解析：由2x－x2≥0解得0≤x≤2，则A＝[0,2]，B＝{y|y＝2x，x＞0}＝(1，＋∞)．A×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：A4．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M为{2,3}，{1,2,3}，共两个．答案：B二、填空题5．设全集U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5,6}，则上图中阴影部分表示的集合是________．解析：图中阴影部分表示的集合是B ∩(∁Z A )＝{2,4,6}．答案：{2,4,6}6．(原创题)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2＋y 241}，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )等于________．解析：A ＝{x |－1≤x ≤1}＝[－1,1]，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }＝[0，2]，(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由容斥原理知共有(26＋15＋13)－36＝18名同学同时参加两个小组，没有人参加三个小组，于是同时参加数学和化学小组的有18－(6＋4)＝8(人)．答案：8三、解答题8．设A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求x 、y的值．解答：∵A ∩B ＝C ＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B ，－1∈B .即有x 2－x ＋1＝7⇒x ＝－2或x ＝3.①当x ＝－2时，x ＋4＝2，又2∈A ，∴2∈A ∩B ，但2∉C ，∴不满足A ∩B ＝C ， ∴x ＝－2不符合题意．②当x ＝3时，x ＋4＝7，∴2y ＝－1⇒y ＝－12.因此，x ＝3，y ＝－12. 9．已知集合A ＝{x |y ＝15－2x －x 2}, B ＝{y |y ＝a －2x －x 2}，若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． 解答：由15－2x －x 2≥0，即(x ＋5)(x －3)≤0得－5≤x ≤3，∴A ＝[－5,3]．又y ＝a －2x －x 2＝a ＋1－(x ＋1)2≤a ＋1，∴B ＝(－∞，a ＋1]，A ∩B ＝A 即A ⊆B . ∴a ＋1≥3.即a ≥2.因此实数a 的取值范围是[2，＋∞)．10．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解答：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，因此A 的子集分别为∅，{0}，{－4}，{0，－4}． 又B ⊆A ，若B ＝∅，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝4(2a ＋2)<0，解得a <－1；若B ＝{0}，⎩⎪⎨⎪⎧ －2(a ＋1)＝0，a 2－1＝0，解得a ＝－1； 若B ＝{－4}，⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－8，a 2－1＝16，无解；若B ＝{0，－4}，⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1； 综上所述，实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.1．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －2|，x ≥0}，B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋b }，A ∩B ≠∅.(1)b 的取值范围是________；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是______．解析：(1)如图所示，A ∩B 为图中阴影部分，若A ∩B ≠∅，则b ≥2；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，x ＋2y 在(0，b )处取得最大值，∴2b ＝9，b ＝92.答案：(1)b ≥2 (2)922．(2009·北京)已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a j a i两数中至少有一个属于A . (1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；(2)证明：a 1＝1，且a 1＋a 2＋…＋a n a －11＋a －12＋…＋a －1na n ； (3)证明：当n ＝5时，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列．解答：(1)由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，所以该数集不具有性质P . 由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，所以该数集具有性质P .(2)证明：因为A ＝{a 1，a 2，…，a n }具有性质P ，所以a n a n 与a n a n中至少有一个属于A . 由于1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，所以a n a n ＞a n ，故a n a n ∉A .从而1＝a n a n∈A ，因为1＝a 1＜a 2＜…＜a n ，所以a k a n ＞a n ，故a k a n ∉A (k ＝2,3，…，n )． 由A 具有性质P 可知a n a k ∈A (k ＝1,2,3，…，n )．又因为a n a n ＜a n a n －1＜…＜a n a 2＜a n a 1， 所以a n a n ＝a 1，a n a n －1＝a 2，…，a n a 2＝a n －1，a n a 1＝a n .从而a n a n ＋a n a n －1＋…＋a n a 2＋a n a 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n .故a 1＋a 2＋…＋a n a －11＋a －12＋…＋a －1n＝a n . (3)证明：由(2)知，当n ＝5时，有a 5a 4＝a 2，a 5a 3＝a 3，即a 5＝a 2a 4＝a 23. 因为1＝a 1＜a 2＜…＜a 5，所以a 3a 4＞a 2a 4＝a 5，故a 3a 4∉A .由A 具有性质P 可知a 4a 3∈A . 由a 2a 4＝a 23得a 3a 2＝a 4a 3∈A ，且1＜a 3a 2＜a 3，所以a 4a 3＝a 3a 2＝a 2.故a 5a 4＝a 4a 3＝a 3a 2＝a 2a 1＝a 2. 即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是首项为1，公比为a 2的等比数列．。
第一章集合与简易逻辑
CUA=｛x|x∈U，且xA｝， 集合U表示全集. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能
地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、
形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；
例3设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中
。（）
7含绝对值不等式的类型
（1）|ax+b|<c-c<ax+b<c, |ax+b|>cax+b<-c或ax+b<c
例：不等式|2-x|<3的解集为：______ 不等式|2x-3|>5的解集为：
__________
(2) 公式法:,
例：（1）不等式|2x-3|>x的解集为：______（2）不等式：|4x-3|>2x+1的
取值范围 11.不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后 求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式 的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。 12.解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇 到下述情况则一般需要讨论： 13。
注：⑴当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。 ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例:.(填,) 例:条件甲:;条件乙:, 则乙是甲的_____条件. 例 已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
Ⅰ、：⑴若，则 ；⑵若，则 ；
Ⅱ、：⑴若，则 ；⑵若，则 ；
集合全章讲义
第一章：集合与简易逻辑讲义第一节：集合的概念Part One ：基础知识（记住有以下6点） 1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. ②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , } ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5.集合的表示方法：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} ②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．2.设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？题型二：集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三：集合的分类的考查1、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集第二节：子集 全集 补集（集合与集合的关系） Part One ：基础知识（记住有以下8点）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合） 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}Φ={0}，Φ∈{0} 7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：对子集等基本概念的考查1. 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.（1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？ （3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 题型二：利用集合的关系来求解具体问题（重点！）1．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三：全集与补集有关问题1.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A2. 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系Part Three ：练习1、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是 （A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤92、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a2－a ＋2｝如果CUA ＝｛－1｝，那么a 的值为3、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝CUA ，求CUB ，CU φ，CUU4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.5、已知U=R ，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求CUA.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=CUN ，N=CUP ，则M 与P 的关系是（ ） M=CUP ，（B ）M=P ，（C ）M ⊇P ，（D ）M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ＝｛a ，b ｝，A ⊆S ，则A 与CSA 的所有组对共有的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （D ）10..设全集U （U ≠φ），已知集合M 、N 、P ，且M ＝CUN ，N ＝CUP ，则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛（x ，y ）︱x ∈﹛1，2﹜，y ∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x ，y ）︱x-y=0﹜，求UA12..设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB= .14.. 已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B= 15.. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x ∈U}，求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One ：基础知识（记住有以下6点）1．交集的定义 一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}． 2．并集的定义 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 3..交集、并集的性质 用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含 则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B 联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．4. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解)． 结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：基础的交集与并集的计算：注意数集的交集和并集运算的图像法 例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B. 例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集，Z 为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A ∩B={3}，求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．Part Three ：练习1．P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．2..已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (CUB)=｛3,7｝, (CUA) B=｛5,9｝.则A B=____．3 已知A ＝{x| x2－ax ＋a2－19=0}, B={x| x2－5x ＋8=2}, C={x| x2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x, y)| mx －y2＋n=0},B={(x, y)| x2－my －n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )(集合中段测试 一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（ ）MN P第9题（A ）与1非常接近的全体实数 （B ）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生 （C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x≥5} （C ）{x|x≤1或x≥5} （D ）{x| x 〈0或x≥5 }6．设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个.7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A ＝（ ） （A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ）(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二．填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是 15．已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围； 2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练 参考答案C ；2．B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.C ；7.D ；8.B ；9.C ；10.D ；11.C ；12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*．CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩（CUB ）=φ （CUA ）∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*． a=－1或2≤a≤3.。
集合与简易逻辑知识归纳 (1)
命题：可以判断真假的语句； 逻辑联结词：或、且、非； 简单命题：不含逻辑联结词的命题； 概念 绝对值不等式 命题 运算 一元二次不等式 充要条件集合知识网络不等式知识网络集 合定 义特 征一组对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 表示法分 类 列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} 有限集、无限集数 集 关 系 自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *、空集φ属于∈、不属于∉、包含于⊆、真包含于⊂、集合相等运 算 性 质 交集 A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}； 并集 A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B}；补集 A C U ＝{x|x ∉A 且x ∈U}，U 为全集A ⊆A ； φ⊆A ； 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ；A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；A ∩C U A ＝φ； A ∪C U A ＝I ；C U ( C U A)＝A ；C U (A ⋃B)＝C U A ∩C U B方 法 韦恩示意图 数轴分析 注意：① 区别∈与⊂、⊂与⊆、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ 不等式绝对值不等式一元二次不等式 |x|>a (a>0) ⇔ x>a 或x<－a ； 形式：ax 2＋bx ＋c>0或ax 2＋bx ＋c<0 （a ≠0）； 注意：含参数的不等式ax 2＋bx ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是R ；集合 集合的应用 简易逻辑 集合与简易逻辑知识精要复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
三种形式：p或q、p且q、非p真假判断：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若⌝p则⌝q；逆否命题：若⌝q则⌝p；互为逆否的两个命题是等价的。
成人高考高起专数学复习题库与答案(必过)
第一章 集合与简易逻辑
（一）集合
1．
（2006 年）设集合 M= 1,0,1,2 ， N= 0,1,2,3 ，则 M N (
)
(B) 0,1,2 (C) 1,0,1 (D) 1,0,1,2,3
(A) 0,1
2.（2008 年）设集合 A= 2,4,6 ， B= 1,2,3，则集合 A B (
（A）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
（B）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
1
）
)
（D）甲是乙的充分必要条件
11. （2007 年）若 x, y 为实数，设甲： x y 0 ；乙： x 0 且 y 0 ，则（
2
2
）
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
（D）甲是乙的充分必要条件
16.（2013 年）设甲： x 1；乙： x 2 1，则 （
）
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
（B）甲是乙的充分必要条件
（C）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
（D）甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
17.
（2014 年）
如 a,b,c 为实数，
（C）{x|x 1 或 x 5 } （D） x 1 x 5
5.（2011 年)不等式│x-2│<3 的解集包含的整数共有 (
（A）8 个 （B）7 个
（A）甲是乙的充分必要条件
2
）
）
（B）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
（C）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
高中数学重点手册1——集合、简易逻辑
1．集合、简易逻辑「集合」把某些指定的对象集中在一起就成为一个集合，简称集。
集合中每个对象叫做这个集合的元素。
集合通常用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示集合，用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示集合的元素。
「集合的特征」集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。
「集合的类型」① 有限集：含有有限个元素的集合叫有限集。
② 无限集：含有无限个元素的集合叫无限集。
③ 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。
「集合的表示方法」①列举法 把一个集合的元素逐个列举出来，写在大括号内，这一表示法叫做列举法。
②特征性质描述法 用该集合所含元素的共有特征性质来描述，这一表示法叫做特征性质描述法，具体作法是：在大括号内先写上表示该集合元素的一般符号及其取值范围，再画一条竖线（或一个冒号或分号），再写出这一集合中的元素所具有的一个特征性质。
特征性质必须绝对明确，必须是集合中所有元素共有的特征性质。
「元素与集合的从属关系」如果元素a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；如果元素a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉或A a ∈或a ∈.A 。
「集合与集合的容量关系」对于两个集合,,B A 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ØB 或B ÙＡ。
当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，记作A B ⊂或 .B A ⊃显然，空集是任何集合A 的子集，即A ∅⊆，空集是任何非空集合B 的真子集，即∅ ØB若,,A B B C ⊆⊆则;A C ⊆若,,A B B A ⊆⊆则.A B =「常用数集的符号」 N 非负整数集；自然数集*N 或+N 正整数集Z 整数集-+Z Z 整数集Z 内排除0的集Q 有理数集。
河北单招数学总复习数学总复习第一章集合与简易逻辑
知识清单
知识点二
集合间的关系
2.真子集
如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则集合A
是集合B的真子集（A包含于B但不等于B）,记作A⫋B或B⫌A，读作“A真包含于B”
（或“B真包含A”）.
性质：空集是任何非空集合的真子集；对于集合A，B，C，若A⫋B，B⫋C，则
A⫋C.
1.充要条件的定义
(1)对于两个命题p，q，如果有p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.
注意：p是q的充分条件，是指只要具备了条件p，那么q就一定成立，即命题中的条件是充分
的；q是p的必要条件，是指如果不具备条件q，则p就不能成立，即q是p成立的必不可少的条件.
(2)如果p⇒q且q⇒p，即p=q，则p是q的充分且必要条件，简称充要条件.
第一章
集合与简易逻辑
复习指南
1.了解集合的意义及其表示方法，了解空集、全集、
子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，了解
集合与集合、元素与集合的关系符号，并能运用这些
符号表示集合与集合、元素与集合的关系.
2.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念.
命题探究
本章是每年考试的必考内容，也是比较容易拿
(2)A∪A=A.
(3)A∪∅=A.
(4)A ⊆ A∪B,B ⊆ A∪B.
(5)若A ⊆ B，则A∪B=B.
知识清单
知识点二
集合的并集
3.图示两个集合的交集、并集
（1）用Venn图表示两个集合的交集、并集（如图1-1所示）.
（2）借助数轴表示数集的交集、并集（如图1-2所示）.
知识清单
知识点三
集合的补集
分的知识点.集合在近几年考试中主要从三个方面考
高中数学知识点总结(新高考地区)
∀x∈M， p(x)
形式
[方法技巧]
1.区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B⇏A)，与 A 的充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A⇏B)
两者的不同.
2.A 是 B 的充分不必要条件⇔ B 是 A 的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
2
二：函数基本知识（1）
或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
7、全称命题和存在性命题(命题 p 的否定记为 p，读作“非 p”)
名称
全称命题
存在性命题
结构
对 M 中的所有 x，有 p(x)成立
存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M， p()
f(x)
则函数 f(x)为周期函数，且 T＝2a 是它的一个周期.
推论 4：在函数 f(x)中，若 x 取定义域内的每一个值都有 f(x＋a)＝f(x＋b) (a≠
b)则函数 f(x)为周期函数，且 T＝|a－b|是它的一个周期.
1＋f(x)
推论 5：在函数 f(x)中，若 x 取定义域内的每一个值都有 f(x＋a)＝
y
sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ (x≠0).
x
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦
线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α
的正弦线、余弦线和正切线.
[提醒]
π
（1）若 α∈0，2，则 tan α>α>sin α.
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课本回归导学案一：集合与简易逻辑
集合（课本必修一、第一章）：
考纲要求：
知识要点：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合的定义P3
（2）集合与元素的关系、符号表示P3
（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集。
p4.练习1 （4）集合的表示。
p4 ，例1、例2. P5练习2
{φ的区别；0与三者间的关系）P5，练习3
（5）空集的意义、性质。
（}0{、φ和}
完成P6习题1-1A组、B组。
重点是B组题
二、集合间的关系（子集、真子集）P78例题2，习题1-2；集合的基本运算
（交集、并集、补集）P11-13，例题2、3、4，习题1-3A组、B组。
重点是A组3、6.B组1、2.
完成P19复习题一。
重点是A组6、7，B组、C组。
本模块中的易错易混考点：
1，进行集合的交、并、补运算时，不要忘记借助数轴和韦恩图进行求解。
2，在应用条件时，不要忽略空集这一特殊情况。
3，会用“补集”的思想解决有关问题。
4，注意描述法表示集合时的代表元素。
如
}12|{2++==x x y x A ； }12|{2++==x x y y B }
12|),{(2++==x x y y x C }
12|{2++==x x x x D ；
},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；
}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x
y
z x x y z G =++==
常用逻辑用语（选修2-1第一章）： 命题与充要条件： 考纲要求：
知识要点：
一、四种命题的概念及关系。
P3-4，P5练习、习题1-1 二、充分条件、必要条件、充要条件的意义。
p6-10
逻辑联结词：
知识要点：
一、全称量词、存在量词、全称命题、特称命题P12-13；命题的否定。
p13-14，重点例题P14例2.P15练习
二、逻辑联结词“且”“或”“非”P16-18，习题1-4 完成复习题一。
5， 注意区别“否命题”和“命题的否定形式”。
6， 注意充分、必要条件的条件和结论。
知识框图：。