总结梯形常用辅助线及对应例题(教师)

帮你总结梯形中的辅助线
常见的梯形辅助线规律口诀为:
梯形问题巧转化，变为△和□;要想尽快解决好,添加辅线最重要;
平移两腰作出高,延长两腰也很好;记着平移对角线,上下和差就出现;
如果出现腰中点,就把中位线相连;上述方法不奏效,倍长中线别忘掉;
灵活添加辅助线,帮你度过梯形关;注意梯形割与补,巧变成为□和△.
基本图形如下:
1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．
1已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.
分析:平移一腰BC 到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.
练习：如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC , E 、F 分别是AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,
求EF ．=4
2.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．
(难）
2 已知，如图，在梯形ABCD
中，AD//BC ，AB=AC ，∠BAC=90°，BD=BC ，BD 交AC
于点0.求证：CO=CD.
证明：过点A 、D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，则四边形AEFD 为矩形，因为AE=DF ，AB=AC ，AE ⊥BC ，∠BAC=90°，
所以AE=BE=CE=21
BC ，∠ACB=45°，所以AE=DF=21
bc ， 又DF ⊥BC ，所以在Rt △DFB 中，∠DBC=30°，
又BD=BC ，所以∠BDC=∠BCD=︒
=∠-︒752
180DBC
，
所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°.所以∠BDC=∠DOC ，所以C0=CD.
方法点拨：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.
3.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．
3 如图，在等腰梯形
ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，DE ⊥BC 于E.求DE 的长.
解：过点D 作DF//AC ，交BC 的延长线于F ，则四边形ACFD 为平行四边形，所以AC=DF ，AD=CF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，所以AC=DB ，BD=FD ，因为DE ⊥BC ，所以
BE=EF=21
BF=21
(BC+CF)=21
(BC+AD)=21
×10=5. 因为AC//DF,BD ⊥AC,所以BD ⊥DF,
因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE 的长为5.
方法点拨:当有对角线垂直时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.
练习：如图,等腰梯形中, , ,且AC⊥BD ,是高,是中位线,求证：
．
分析：由梯形中位线性质得 ,欲证 ,只要证
．过点作 ,交的延长线于 ,就可以把、和移到三角形中,再证明等式成立就简单多了．
4.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．
4.已知：梯形 ABCD中AD∥ BC,E为AB中点,且AD＋BC=DC ,求证：DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD．
证法1：取DC中点F,连结EF,E为AD中点,则EF为梯形的中位线
∴EF∥AD∥BC EF=(AD＋BC) ∴∠1=∠5,∠3=∠6 ∵DC=AD＋BC
∴EF=DC=DF=CF ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠2=∠5,∠4=∠6
∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180° ∴∠1＋∠3=90°∴DE⊥C,DE平分ADC,CE平分∠CD
证法2：延长CE与DA延长线交于一点F,过程略．（倍长中线）
证法3：在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、EF解决. 练习.已知：如图,在梯形中,是的中点,且 .求证：.
证明：取的中点F,连结FE.则
∵ ,∴.∴.
5.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.
5.已知：如图,在梯形ABCD 中,、N分别是BD 、AC 的中点.求证：
. 证明：连结并延长 ,交于E.则
.∴又N是AC的中点,∴ ,
故
6.如图,梯形中, ,为腰的中点,求证：
.
分析：与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它补成如图7的平行四边形,它们之间的关系就清晰了．梯形补成平行四边形,各种关系明显、直观,解题思路清晰．
证明：延长 ,使 ,延长 ,使；则 ,则四边形是平行四边形．为的中点,连结 ,与交于点 .连结、 ,则
. ∵ ,是中点, ∴为中点且是中点．∴四边形是平行四边形,
∴
,∴
课后练习
1、如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=60°，∠C=45°，AB=2，AD=4，求梯形ABCD 的面积．
2、在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC=AD=2， BC=4，求∠B 的度数及AC 的长。

3、如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，求等腰梯形的周长。

A
B C
D
4、 如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，求梯形ABCD 的面积。

A
B
C
D
E
A B
C
D C
D
A B。