高中数学教案：数列极限
高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）
高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）第一篇：高等数学说课稿《数列极限》《数列极限》说课稿袁勋这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。
这部分内容在课本第18页至20页。
下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。
一、关于教学目的的确定：众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。
体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，根据两节。
在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛；‚概念建立阶段‛；‚概念巩固阶段‛。
下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；②使学生形成对数列极限的初步认识；③使学生了解学习数列极限概念的必要性。
2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
数列极限教案
数列极限教案教案标题：数列极限的引入与探究教学目标：1. 理解数列以及数列极限的概念；2. 了解数列极限的性质和特征；3. 能够利用数学思维和分析方法确定数列的极限；4. 运用数列极限的性质解决实际问题。
教学准备：1. 数学课本和课后习题；2. 计算器；3. 幻灯片或黑板；4. 学生练习册。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入数列的概念，简单解释数列是一组按照特定规律排列的数的集合。
- 讨论学生可能听说过的数列，比如等差数列、等比数列等。
2. 引入与讲解（15分钟）- 引入数列极限的概念，解释数列极限表示数列随着项数增加逐渐趋近于某一确定值。
- 通过示例，说明数列极限的计算方法，如通过求前几项的和、平均数等思路确定数列极限。
3. 探究与实践（20分钟）- 提供一个数列，让学生通过计算数列的前几项，并分析得出数列极限的思路和方法。
教师引导学生进行讨论，并指导他们运用找规律、分析数列的增减性等方法确定极限值。
- 给学生一些练习题，让他们自己计算数列极限。
教师鼓励学生之间积极合作，共同解决问题。
4. 总结与归纳（10分钟）- 总结数列极限的定义和性质，强调数列极限与数列前几项的关系。
- 归纳数列极限的计算方法和常见性质。
- 梳理学生在实践中遇到的问题和解决方法。
5. 提升与拓展（15分钟）- 引导学生运用数列极限的概念和性质解决实际问题，如数列极限在物理学、经济学等领域的应用。
- 指导学生在练习册上完成更复杂的数列极限计算题目，提高他们的应用能力。
6. 课堂练习与反馈（15分钟）- 布置一些课后习题，巩固学生对数列极限的理解和计算能力。
- 鼓励学生积极讨论和交流，互相评价和纠正。
- 对学生的练习成果给予及时的反馈和指导。
教学延伸：在数列极限的教学中，可以结合微积分的相关内容，如导数、积分等，对数列极限的计算和应用进行进一步拓展。
同时，可以邀请学生进行小组合作探究，通过引导学生提出自己的问题和解决思路，增加学生对数学的探索性和创造性。
数列极限的教学设计方案
1. 知识与技能：掌握数列极限的定义、性质及运算；能够运用数列极限解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索数列极限的概念；通过实例讲解，帮助学生理解数列极限的运算方法。
3. 情感态度与价值观：培养学生严谨求实的科学态度，提高学生的逻辑思维能力；激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对数学美的感悟。
二、教学重点与难点1. 教学重点：数列极限的定义、性质及运算。
2. 教学难点：数列极限的定义的理解和应用，以及数列极限运算的技巧。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾数列的概念，引导学生思考数列的极限是什么。
（2）通过实例展示数列极限在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲授（1）数列极限的定义：讲解数列极限的定义，结合实例进行说明。
（2）数列极限的性质：介绍数列极限的性质，通过实例讲解，让学生理解这些性质。
（3）数列极限的运算：讲解数列极限的运算方法，包括和、差、积、商的运算。
3. 课堂练习（1）布置一些关于数列极限的定义、性质及运算的练习题，让学生巩固所学知识。
（2）引导学生运用数列极限解决实际问题，提高学生的应用能力。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质及运算。
（2）引导学生思考数列极限在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
5. 作业布置（1）布置一些关于数列极限的定义、性质及运算的作业题，让学生巩固所学知识。
（2）布置一些与实际生活相关的数列极限应用题，提高学生的实际应用能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，了解学生对数列极限的理解程度。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成情况，了解学生对数列极限的掌握程度。
3. 课后反馈：通过课后与学生的交流，了解学生对数列极限的困惑和需求，及时调整教学策略。
五、教学反思1. 教学过程中，注重引导学生自主探索数列极限的概念，培养学生的逻辑思维能力。
2. 结合实例讲解数列极限的运算方法，提高学生的实际应用能力。
高中数学数列极限教案
高中数学数列极限教案
教学内容：数列极限
教学目标：学生能够理解数列极限的概念，掌握求解数列极限的方法，并能够应用数列极限解决实际问题。
教学重点和难点：数列极限的定义和求解方法。
教学步骤：
一、引入问题（10分钟）
1. 介绍数列的概念，引出数列极限的概念。
2. 提出一个简单的数列极限问题，并引导学生讨论。
二、概念解释（15分钟）
1. 讲解数列极限的定义和性质。
2. 举例说明数列极限的计算方法。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 解决几个简单的数列极限计算问题。
2. 练习讨论中出现的疑惑和困惑。
四、拓展应用（15分钟）
1. 提出一些数列极限在实际问题中的应用。
2. 引导学生思考如何将数列极限应用到实际问题的解决中。
五、总结与课堂小结（10分钟）
1. 总结数列极限的概念、性质和求解方法。
2. 完成本节课的课堂小结。
教学方法：讲授结合练习，引导学生主动探究。
课后作业：完成课后练习题，巩固数列极限的计算方法。
教学反思：本节课主要以数列极限的概念和求解方法为主线，通过引入问题、概念解释、练习与讨论、拓展应用等环节，引导学生深入理解数列极限的概念和性质，提高学生的数
学解决问题的能力。
同时，注重引导学生思考和应用，帮助学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生的数学思维能力和创新能力。
高一数学课程教案引入数列与数列的极限
高一数学课程教案引入数列与数列的极限教学目标：通过教学引入，使学生了解数列的概念、性质以及数列的极限概念，并能够运用所学知识解决相关问题。
同时，培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
一、引入数列的概念数列是由一列有序的数按顺序排列而成的。
数列通常用{ }表示，其中每个数称为数列的项，用a1、a2、a3…表示。
1. 自然数数列的引入先给出一个问题：求1到100的数字之和，如何解决？请同学们思考一下。
在同学们积极思考的过程中，我给出提示：我们可以将数字逐一列举出来，然后将这些数字相加。
这个一组按照顺序排列的数就是一个数列。
通过这个引入，我们可以进一步让学生理解数列的概念，以及数列中数的有序性。
2. 等差数列的引入给出一个问题：新生报道时，班级共发放了200本书，每个班级发放的书本数相同，已知第一个班级发放了8本书，最后一个班级（第n 个班级）发放了52本书，请问一共有多少个班级？通过这个问题的引入，我们可以让学生发现数列中的一种特殊形式，即等差数列。
引导学生用数学符号表示这个数列，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、数列的性质和运算1. 数列的通项公式数列中的每一项都有一个通项公式，通过该公式可以计算出数列中任意项的值。
例如对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2. 数列的运算我们可以对数列进行四则运算，例如数列的加法、数列与常数的乘法等。
三、数列的极限概念引入1. 数列的极限定义数列的极限定义为：对于给定的实数A和正数ε，当n趋于无穷大时，如果数列的所有后项都与A的距离都小于ε，那么称A为数列的极限。
通过这个定义，我们向学生解释了数列的极限是指数列中的项随着项数的增加趋向的某个特定的数。
2. 数列极限的性质学生需要了解数列极限的性质，如唯一性、保号性、夹逼定理等。
四、数列极限的计算1. 数列极限的计算方法介绍常用的计算数列极限的方法，如夹逼定理、数列极限和等等。
数列的极限教学设计
课题： 数列的极限一、教学内容分析极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为高等数学中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，所以，极限概念的掌握至关重要. 二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限. 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力. 三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 难点：数列极限的定义的理解. 四、教学流程设计五、教学过程设计（一）、引入1、创设情境，引出课题1. 观察 举例：[A] 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰 日取其半 万世不竭.[B] 三国时的刘徽提出的“割圆求周” 的方法。
他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分······ 这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
（二）、学习新课 2、观察归纳，形成概念实例引入概念 符号数列的极限几何 理解运用与深化(例题解析、巩固练习)课堂小结并布置作业（1）直观认识请同学们考察下列几个数列的变化趋势 A.ΛΛ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n 101可以“无限趋近于”常数0B.ΛΛ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n可以“无限趋近于”常数1C.ΛΛ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn)1(-可以“无限趋近于”常数0概念辨析归纳数列极限的描述性定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．问题拓展给出数列极限的N -ε定义：一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞→lim ，或者∞→n 时a a n →.讲授例题【例1】.已知数列 1146512,,,,,.....,1(1),...2356n n++-1)写出这个数列的各项与1的差的绝对值; 2)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于0.1?都小于0.001? 都小于0.0003? 3)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于任何预先指定的正数ε? 4)1是不是这个数列的极限?【例2】考察下面的数列，写出它们的极限：1) 31111,,,,,827n⋅⋅⋅⋅⋅⋅2) 56.5,6.95,6.995,,7,,10n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅3)1111,,,,,248(2)n--⋅⋅⋅⋅⋅- 【例3】求常数数列-1，-1，-1，···，-1，···的极限．【例4】当a 满足什么条件时，0lim nn a →∞=？试举例验证。
数列的极限教案
数列的极限教案教案标题：数列的极限教案教案目标：1. 理解数列的概念和基本性质。
2. 掌握数列极限的定义和计算方法。
3. 能够应用数列极限解决实际问题。
教学资源：1. 教科书或课件：包含数列的定义、基本性质和极限的计算方法。
2. 习题集：包含不同难度层次的数列极限计算题目。
3. 实际问题：包含数列极限应用的实际问题，如金融、物理等领域。
教学步骤：引入：1. 通过提问或展示实例，引发学生对数列的兴趣，例如：什么是数列？数列的应用有哪些？2. 引导学生思考数列的特点和规律，以激发他们对数列极限的好奇心。
探究：3. 解释数列极限的定义：当数列的项逐渐趋近于某个常数L时，我们说数列的极限是L。
4. 讲解数列极限的计算方法：a. 若数列是等差数列或等比数列，可直接根据公式计算极限。
b. 若数列不是等差数列或等比数列，可通过递推关系或数学归纳法推导极限。
实践：5. 给予学生一些简单的数列极限计算练习题，以巩固他们对极限计算方法的理解和应用能力。
6. 引导学生分析实际问题，并将其转化为数列极限问题，例如：一个投资人每年投资1000元，年利率为5%，求他的总投资额极限是多少？7. 提供一些实际问题的解决方法，帮助学生将数列极限与实际问题相结合。
拓展：8. 提供一些挑战性的数列极限计算题目，以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
9. 鼓励学生自主探究其他数列极限的计算方法，并进行讨论和分享。
总结：10. 总结数列极限的概念和计算方法，强调数列极限在实际问题中的应用意义。
11. 鼓励学生通过课后练习巩固所学知识，并提供必要的辅导和指导。
评估：12. 设计一些评估题目，测试学生对数列极限概念的理解和计算方法的掌握程度。
13. 通过学生的表现和答案，评估教学效果，并根据需要进行针对性的复习和强化训练。
备注：教案的具体内容和教学步骤可根据不同教育阶段的要求进行调整和适应。
在教学过程中，教师应根据学生的实际情况和学习能力，灵活运用不同的教学方法和教学资源，以提高教学效果。
高中数学人教版《数列的极限》教案2023版
高中数学人教版《数列的极限》教案2023版一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1.了解数列的概念并能正确表达；2.掌握数列的极限的概念；3.掌握求解数列极限的方法；4.能在实际问题中应用数列极限的知识。
二、教学重点1.数列的概念和性质；2.数列极限的定义；3.数列极限的求解方法。
三、教学内容1.数列的概念和性质数列是由一系列有序数按照某种规律排列而成的序列。
数列通常用{an}表示，其中an表示第n个数。
2.数列极限的定义设数列{an}是一个实数数列，如果存在实数A，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an - A|<ε成立，就称数列{an}的极限是A，记作lim{an} = A。
3.数列极限的求解方法（1）常数数列的极限：对于一个常数数列{c}，其极限为该常数本身，即lim{c} = c。
（2）等差数列的极限：对于一个等差数列{an} = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，若d≠0，则该等差数列不存在极限。
（3）等比数列的极限：对于一个等比数列{an} = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，若|q|<1，则该等比数列的极限为0，即lim{an} = 0。
四、教学步骤1.引入数列的概念通过举例说明，引导学生理解什么是数列以及数列的基本性质。
2.引入数列极限的概念通过实际例子，引导学生感受数列极限的概念，并进行数学表达。
3.讲解数列极限的定义详细讲解数列极限的定义及其符号表示，帮助学生理解和记忆。
4.介绍求解数列极限的方法逐一介绍常数数列、等差数列和等比数列的极限求解方法，并通过例题进行讲解。
5.综合运用数列极限知识解决实际问题引导学生将数列极限的知识应用到实际问题的解决中，培养学生的问题解决能力。
五、教学示例例题1：设数列{an} = 2n + 1，求lim{an}。
解：由数列的定义可知，lim{an} = lim(2n + 1) = lim 2n + lim 1 = +∞ + 1 = +∞。
数列的极限教案
因为 ,且 当 时,都有 .
取正整数
由此证明 .
注意：若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定是发散的.
如：
四、课堂小结
（1）数列极限的概念
（2）学会利用数列极限的定义去进行简单的证明
（3）收敛数列的性质
三、理解收敛数列的相关性质
并尝试进行证明
四、与教师一起总结
即
对于上述
,
即
取
注意：上述结论的逆不成立，但是有下述结论：
设 且存在自然数N，当
（2）（收敛数列的保号性）如果 ,且 ,那么存在正整数 ,当 时,都有 .
（3）设 则存在自然数N，
4.收敛数列与其子列间的关系
设 是一严格单调递增的无穷数列，则数列 称为数列 的子数列，简称子列，显然一个数列有无穷多个子列.如果数列 收敛于a，则它的任何子列都收敛，且收敛于a.
一、针对于所提出的问题进行分析讨论,并作出回答
1.一根长为一尺的木棒,为什么每天截下一半,这样的过程可以无限制地进行下去？
2.分析以下数列的变化
趋势
教学过程
二、讲授新课,引出数列极限的概念
1.描述性定义
（1）当 无限增大时，如果 无限趋近于某一确定的数值 ，则称 趋近于无穷大时数列 的极限。
例如： 的极限为0。
例如：数列 和 为收敛数列,其极限为 , 和 为发散数列.
（3）注意： 的任意性； 的相应性；几何意义.
3.举例说明数列极限
例1：证明数列 的极限是1.
证明：
为了使 小于任意给定的正数
即 .
二、
1.与教师共同分析描述性定义,并得到数列极限的精确定义
2.能够对定义中所涉及的知识点解决
数列的极限_教学设计
数列的极限_教学设计标题：数列的极限教学目标：1.理解数列的概念和性质。
2.掌握计算数列极限的方法和技巧。
3.能够用数列的极限解决实际问题。
教学准备：1. PowerPoint课件。
2.数列的题目集。
3.学生小组讨论活动准备。
教学过程：Step 1: 引入（15分钟）1.引导学生回顾数列的定义，解释数列的概念和性质。
2.引导学生思考一个问题：“数列的极限是什么，它有什么意义？”鼓励学生展示自己的观点。
Step 2: 数列极限的定义和计算方法（30分钟）1.展示数列的极限的定义和计算方法，用图示和公式两种方式解释。
2.给学生提供一些简单的数列，帮助他们通过计算极限来理解定义的意义。
3.演示一些复杂的数列，引导学生运用计算方法计算极限。
Step 3: 数列极限的性质和应用（30分钟）1.介绍数列极限的性质，如唯一性和保序性。
2.展示数列极限的应用，如在实际问题中求解极限。
3.提供一些实际问题，引导学生运用数列极限来解决这些问题。
Step 4: 小组讨论活动（20分钟）1.将学生分成小组，每个小组讨论一个数列相关的问题。
2.每个小组选一名代表分享讨论结果，并得到其他小组的反馈和讨论。
3.鼓励学生从不同角度思考问题，培养团队合作和表达能力。
Step 5: 总结与评价（15分钟）1.总结数列的极限的概念、性质和计算方法。
2.让学生回答一些问题，检测他们对于数列极限的理解和应用能力。
3.鼓励学生提出自己的疑惑和思考，给予评价和指导。
教学拓展：1.引导学生练习更多的数列极限计算题目，巩固他们的计算能力。
数列的极限教案
证明：若 q 0 ，结论是显然的，现设 0 q 1，对 0 ，（因为 越小越好，不妨设 1），要使得 qn1 0 ，即 q n1 ，只须两
边 放 对 数 后 ， (n 1) ln q ln 成 立 就 行 了 。 因 为 0 q 1 ， 所 以
ln q 0 ，所以 n 1 ln n 1 ln 。
x2 ，…这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数 n 有一个确定的数
xn ，那么，这列有次序的数
就叫做数列。
x1，x2，x3，，xn，
数列中的每一个数叫做数列的项，第 n 项 xn 叫做数列的一般项。例如：
(1) 1 ，2，3， ， n ， ； 2 3 4 n1
(3) 1 ，1 ，1， ，1 ， ； 2 4 8 2n
【例 2】证明 lim n2 a2 1。
n
n
证明：对 0，因为 n 1 1 1 ,因为
n
n
n2 a2 1
a2
a2
n
n( n2 a2 n) n
（此处不妨设 a 0 ，若 a 0 ，显然有 lim n2 a2 1）
n
n
所以要使得 n2 a 2 1 ，只须 a 2 就行了。
从
第
10001
项开始，以后的项
x10001
10002 10001
,
x10002
10003, 都满足不 10002
等式
xn
1 1 ，或说，当 n 10000时，有 10000
n 1 1 1
n
10000
。一
般地，不论给定的正数 多么小，总存在一个正整数 N ，当 n N 时，有
n 1 1 。这就充分体现了当 n 越来越大时， n 1 无限接近 1 这一事
高三数学《数列的极限》基础知识与解题技巧教案
高三数学《数列的极限》基础知识与解题技巧教案引言：数列的极限是高中数学中重要的概念之一，是初步接触数学分析的起点。
本教案将从数列的定义开始，介绍数列的极限的基础知识和解题技巧，帮助学生全面理解和掌握这一概念。
一、数列的定义及基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组实数。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式就是数列的通项公式。
3. 数列的前n项和：数列的前n项和指的是数列的前n个数相加的结果，通常用Sn表示。
二、数列的极限的定义与性质1. 数列的极限定义：当数列中的每一项趋近于一个常数L时，称L 为数列的极限，记作lim(a_n) = L。
2. 数列极限的性质：a) 唯一性：数列的极限如果存在，那么极限是唯一的。
b) 保号性：如果数列中的每一项都大于等于（或小于等于）一个常数A，并且极限L存在，那么L也大于等于（或小于等于）A。
c) 夹逼性：如果数列中的每一项都大于等于（或小于等于）一个数列b_n，并且极限L存在，那么b_n也大于等于（或小于等于）L。
三、数列极限的计算方法1. 利用通项公式计算极限：当数列的通项公式为简单的初等函数表达式时，可以使用代入法或化简法计算极限。
2. 利用数列的性质计算极限：a) 有界性：如果数列有界，并且存在所谓的上（下）确界，那么极限即为上（下）确界。
b) 递推关系：当数列的递推关系表示式演化到极限形式时，可以通过解递推方程求解极限。
四、常见数列的极限及其性质1. 等差数列的极限：当等差数列的公差为零时，数列为常数数列，极限即为常数本身；当公差不为零时，极限不存在。
2. 等比数列的极限：当等比数列的公比绝对值小于1时，数列趋于0；当公比绝对值大于1时，极限不存在。
3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列的极限是黄金比例φ = (1 + √5) / 2。
五、数列极限的解题步骤1. 理解题目要求，确定数列的通项公式。
2. 判断数列的性质和是否有已知极限，选择合适的计算方法。
高中数学教案学习数列的极限
高中数学教案学习数列的极限高中数学教案：学习数列的极限引言：数列是数学中常见的一种数值排列形式，通过研究数列的性质和极限，我们可以深入理解数学中的许多重要概念和方法。
本教案将介绍数列的极限概念、性质以及相关的计算方法，以帮助高中学生更好地理解和掌握数列的极限。
一、数列的极限概念1.1 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数。
通常用{an}表示，其中n为正整数，an表示数列的第n项。
1.2 极限的定义对于数列{an}，当n趋近于无穷大时，如果数列的后项无限地接近某个确定的值L，则称L为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an = L。
二、数列的极限性质2.1 极限唯一性数列的极限如果存在，则是唯一的。
2.2 条件收敛性如果一个数列的极限存在，那么这个数列必定是有界的。
2.3 等价无穷小替换如果数列{an}的极限是L，则an-L就是等价无穷小。
三、数列极限的计算方法3.1 常用数列的极限3.1.1 级数的极限1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 1 (n→∞)3.1.2 几何数列的极限a + ar + ar^2 + ... + ar^n = a/(1-r) (n→∞,|r|<1)3.1.3 斐波那契数列的极限Fn = F(n-1) + F(n-2) (n≥3)当n趋近于无穷大时，Fn/F(n-1)的极限为黄金分割比例φ = (1 + sqrt(5))/23.2 极限的性质运算法则3.2.1 极限的四则运算法则：若lim(n→∞)an = a，lim(n→∞)bn = b，则有：lim(n→∞)(an ± bn) = a ± blim(n→∞)(an × bn) = a × blim(n→∞)(an / bn) = a / b (b ≠ 0)3.2.2 极限的乘法法则：若lim(n→∞)an = a，lim(n→∞)bn = b，则有：lim(n→∞)(an)^k = a^k (k为常数)lim(n→∞)(an)^bn = a^b (特殊情况)3.2.3 极限的夹逼定理：若数列{an}，{bn}，{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an =lim(n→∞)cn = a，则lim(n→∞)bn = a。
数列极限教学设计
数列极限教学设计数列极限是高中数学中的重要内容，是数学分析的基础。
学生在学习数列极限时，可能会遇到一些困难，特别是对于概念理解和数学符号的掌握。
因此，我设计了以下教学方案，帮助学生更好地理解和掌握数列极限。
一、教学目标：1. 了解数列及其极限的概念；2. 掌握常见数列极限的计算方法；3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学内容：1. 数列的定义和性质；2. 数列极限的概念和判定方法；3. 数列极限的计算方法。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）使用一道简单的问题作为引入，如：小明每天跑步训练，第一天跑1km，第二天跑2km，第三天跑3km，以此类推，问小明跑得越久，跑的距离是否会无限增加？2. 概念讲解（15分钟）介绍数列的概念和性质，引导学生理解数列的定义，并讨论数列的有界性和单调性。
3. 数列极限的概念和判定方法（20分钟）解释数列极限的定义，引导学生理解数列无穷接近某一值的概念。
然后，介绍数列极限的判定方法，包括数列的单调有界准则和夹逼定理。
通过一些例题，帮助学生掌握这些判定方法。
4. 数列极限的计算方法（30分钟）分别讲解常见数列的极限计算方法，如等差数列、等比数列和特殊数列。
重点强调数列极限的计算需要运用代数运算和极限运算的性质，教师可辅以具体的计算步骤和示例。
5. 实例练习（20分钟）让学生进行一些实例题的练习，既巩固了知识点，又锻炼了学生的计算能力和分析能力。
可以设计一些难度递增的题目，帮助学生逐步提升解题能力。
6. 讨论和总结（10分钟）与学生一起讨论实例题的解答过程和方法，检查学生的理解程度。
教师可以引导学生总结数列极限的计算方法和判定方法，梳理重点和难点。
四、教学手段和辅助材料：1. 板书：将数列的定义、性质、极限的概念、判定方法和计算方法等内容进行适当的板书。
2. PPT：准备相关的PPT，用于展示数列的定义、概念、判定方法和计算方法等内容。
帮助学生更加直观地理解和掌握相关知识。
高中数学新课极限教案
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 学会运用极限的性质和运算法则进行简单的极限计算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
二、教学内容1. 极限的定义：函数在某一点的极限。
2. 极限的表示方法：语言表示、图形表示、代数表示。
3. 极限的性质：保号性、保序性、保面积性。
4. 极限的运算法则：加减法则、乘除法则、复合函数极限法则。
5. 极限的计算举例。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念、表示方法、性质和运算法则。
2. 难点：极限的性质和运算法则的理解与应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解极限的概念、表示方法、性质和运算法则。
2. 利用图形和实例直观展示极限的性质和运算法则。
3. 引导学生进行课堂练习和思考，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：引入极限的概念，引导学生思考函数在某一点的意义。
2. 讲解极限的定义，解释极限的表示方法。
3. 讲解极限的性质，通过实例演示性质的应用。
4. 讲解极限的运算法则，引导学生理解法则的内涵。
5. 进行极限计算举例，让学生运用所学知识解决问题。
6. 课堂练习：布置相关极限计算题目，巩固所学知识。
8. 作业布置：布置课后习题，巩固极限计算能力。
9. 课后反思：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学质量。
10. 教学评价：通过课后习题和课堂表现，评价学生对极限知识的掌握程度。
六、教学案例分析1. 案例一：函数f(x)在x=0处的极限分析：通过分析函数f(x)在x=0附近的行为，理解极限的概念。
2. 案例二：函数f(x)在x趋向于正无穷时的极限分析：探讨函数在x趋向于正无穷时，极限的存在与不存在情况。
七、极限在实际问题中的应用1. 物理中的极限问题：速度、加速度的极限概念。
2. 实际生活中的极限问题：如物体从高处下落的位移计算。
八、极限的进一步研究1. 无穷小与无穷大：理解无穷小的概念，探讨无穷小与极限的关系。
2. 极限的推广：研究极限在其他数学领域中的应用。
高中数学备课教案数列与数列的极限
高中数学备课教案数列与数列的极限高中数学备课教案：数列与数列的极限引言：数列与数列的极限是高中数学课程中的重要内容，对于学生的数学思维能力和问题解决能力的培养具有重要意义。
本节课的教学目标是让学生通过理论学习和实例探究，掌握数列概念及其性质，并能够运用相应的方法计算数列的极限值。
【知识与技能】：1. 掌握数列的定义和基本性质；2. 了解数列的收敛与发散的概念；3. 理解数列极限的计算方法和应用。
【过程与方法】：通过理论讲解、实例分析和解题训练相结合的方式进行教学，培养学生观察、分析和解决问题的能力。
【教学步骤】：一、数列的定义及基本性质（15分钟）1. 数列的概念及常见表示方法；2. 数列的有界性和单调性；3. 数列极限的定义及其解释；4. 举例说明数列的性质。
二、数列的收敛与发散（15分钟）1. 数列的收敛与发散的概念；2. 收敛数列与发散数列的判断方法；3. 面对实际问题，如何分析数列的收敛性。
三、数列极限的计算方法（20分钟）1. 使用数列的极限基本性质计算极限；2. 利用夹逼定理求解数列极限；3. 利用递推公式计算数列的极限。
四、数列极限的应用（20分钟）1. 利用数列极限解决实际问题；2. 数列极限在几何和物理问题中的应用；3. 通过实例讲解数列极限应用的步骤和方法。
五、综合训练与展示（30分钟）1. 组织学生进行数列极限的解题训练；2. 学生自主发表解题思路和方法；3. 教师进行点评和总结。
【教学重点与难点】：重点：数列的定义和基本性质、数列极限的计算方法和应用。
难点：如何应用数列极限解决实际问题。
【教学反思】：通过本节课的教学，学生对于数列与数列的极限有了更深入的理解。
在教学过程中，我注意引导学生分析问题，培养其独立思考和解决问题的能力。
在练习环节，我注重学生能够独立运用所学知识解答问题，并对学生的答案进行点评和指导，加强他们的思维能力和实际应用能力。
通过课堂讨论和展示，学生之间的互动增加，激发了学生的学习热情和参与度。
高中数学教案数列的极限与等比数列
高中数学教案数列的极限与等比数列高中数学教案：数列的极限与等比数列一、引言数列是高中数学中的重要概念之一，它在我们日常生活和各个学科中都有广泛应用。
本教案将重点介绍数列的极限及等比数列的相关知识，帮助学生全面理解与运用。
二、数列的极限1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式表示。
设数列为{${a_n}$}，通项公式为${a_n}$=$f(n)$。
2. 数列的极限的概念数列的极限是指随着项数无限增加，数列的值逐渐趋近于一个确定的值。
若存在常数$a$，使得对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|{a_n} - a|< \epsilon$成立，则称数列{${a_n}$}的极限为$a$，记作$\lim \limits_{{n \to \infty}}{a_n}=a$。
3. 数列极限的性质- 数列极限的唯一性：若数列的极限存在，则极限是唯一的。
- 有界性：若数列存在极限，则该数列必定有界。
三、等比数列1. 等比数列的定义等比数列是指数列中每一项与前一项的比值都相等的数列。
设数列为{${a_n}$}，通项公式为${a_n}$=$a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。
2. 等比数列的性质- 等比数列的通项公式：${a_n}$=$a_1 \cdot q^{(n-1)}$- 等比数列的前n项和：$S_n$=$a_1 \cdot \frac{{1-q^n}}{1-q}$，其中$S_n$表示前n项的和。
四、等比数列的极限1. 等比数列的极限当公比$|q|< 1$时，等比数列的极限存在，且为0。
即当$|q|< 1$时，$\lim \limits_{{n \to \infty}}{a_n}=0$。
五、教学目标与重点1. 目标：- 了解数列的定义和极限的概念；- 掌握数列极限的性质；- 理解等比数列的定义和性质；- 掌握等比数列的通项公式和前n项和的计算方法；2. 重点：- 数列的极限概念及其性质；- 等比数列的定义、性质和极限的条件。
数列的极限教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义。
（2）学会运用数列极限的定义解决实际问题。
（3）掌握数列极限的性质，能够判断数列的收敛性和发散性。
2. 过程与方法目标：（1）通过观察、分析、归纳等方法，发现数列极限的性质。
（2）通过实例分析，培养学生的逻辑推理能力。
（3）通过小组讨论、合作学习，提高学生的团队协作能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生对数学知识的热爱。
（2）培养学生严谨、求实的科学态度。
（3）培养学生的创新意识和终身学习能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）数列极限的定义。
（2）数列极限的性质。
2. 教学难点：（1）理解数列极限的定义。
（2）运用数列极限的定义解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课通过回顾数列的概念，引导学生思考数列的变化趋势，引出数列极限的定义。
2. 教学内容（1）数列极限的定义通过实例分析，讲解数列极限的定义，让学生理解数列极限的概念。
（2）数列极限的性质通过观察、分析、归纳等方法，发现数列极限的性质，如单调有界准则、夹逼准则等。
（3）数列极限的判断讲解如何判断数列的收敛性和发散性，包括单调有界准则、夹逼准则等。
3. 练习与巩固布置一些练习题，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
4. 小组讨论与合作组织学生进行小组讨论，让学生在合作中学习，共同解决问题。
5. 总结与反思引导学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程。
四、教学评价1. 课堂表现评价观察学生在课堂上的参与程度、回答问题的准确性等。
2. 作业完成情况评价检查学生作业的完成情况，了解学生对知识的掌握程度。
3. 课堂练习评价通过课堂练习，评价学生对数列极限的定义、性质等知识的掌握情况。
五、教学反思1. 教学过程中，注意引导学生理解数列极限的定义，避免死记硬背。
2. 在讲解数列极限的性质时，注重实例分析，帮助学生更好地理解。
高中数学教案极限的计算与性质
高中数学教案极限的计算与性质高中数学教案：极限的计算与性质引言：数学中的极限是一门重要的概念，它在许多数学领域中具有至关重要的作用。
在高中数学中，学生需要学习如何计算极限以及极限的性质。
本教案将介绍极限的计算方法，探讨极限的性质，并通过例题让学生更好地理解和应用这些概念。
一、极限的计算1. 数列极限计算数列是高中数学中常见的一种数学对象。
当n逐渐增大时，数列中的元素逐渐趋近于一个值，这个值称为数列的极限。
计算数列极限的方法主要有以下几种：a. 递推法：通过找到递推关系式，求得数列的通项公式，再求极限。
b. 收敛性判定法：根据数列的性质，判断其是否收敛，若收敛则求得极限。
c. 转化法：将数列转化为已知的数列，利用已知数列的极限性质来求解。
2. 函数极限计算函数是数学中的另一种重要概念。
函数的极限可以理解为自变量无限接近某一值时，函数值的变化趋势。
计算函数极限的方法主要有以下几种：a. 代数化简法：通过对函数进行代数化简，消除零点、无穷大等问题，进而求得极限。
b. 极限换元法：将函数中的自变量进行合理的替换，使得计算极限变得更加简洁明了。
c. 夹逼定理：当自变量逼近某一值时，函数值被夹在两个已知函数值之间，利用夹逼定理求得极限。
二、极限的性质1. 极限的唯一性在一般情况下，数列或者函数的极限是唯一确定的。
也就是说，当自变量逼近某一值时，函数值或者数列元素只有一个极限值，不存在多个极限。
2. 极限与基本四则运算的关系数列或者函数的极限可以通过基本四则运算来求解。
具体而言：a. 两个数列的和（函数的和）的极限等于这两个数列（函数）极限的和。
b. 两个数列的差（函数的差）的极限等于这两个数列（函数）极限的差。
c. 两个数列的乘积（函数的乘积）的极限等于这两个数列（函数）极限的乘积。
d. 两个数列的商（函数的商）的极限等于这两个数列（函数）极限的商（前提是除数极限不为零）。
3. 极限的保序性如果一个数列（函数）在某一点附近单调增加（减少），那么它的极限也大于（小于）或等于该点的极限。
高中数学教学备课教案数列的极限与数列的收敛性
高中数学教学备课教案数列的极限与数列的收敛性高中数学教学备课教案数列的极限与数列的收敛性一、引言数列是数学中非常重要的概念之一，在高中数学课程中也占据着重要的地位。
数列的极限与数列的收敛性是数列理论中的关键概念，对于学生的数学思维培养和数学应用能力的提高具有重要作用。
本教案将从数列的定义开始，通过具体的例子引入数列的极限和数列的收敛性的概念，并讨论其性质和应用。
二、数列的定义与性质1. 数列的定义数列是由按照一定规律排列的数构成的有序集合。
一般表示为：{an} = a1, a2, a3, ...其中an表示数列的第n项，a1为首项，an为第n项。
例如，数列{1, 2, 3, 4, ...}是一个等差数列，其首项a1=1，公差d=1。
2. 数列的性质数列的性质包括有界性、单调性和有限项和的性质，这些性质为研究数列的极限与数列的收敛性提供了基础。
三、数列的极限1. 数列极限的定义给定一个数列{an}，若存在常数A，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε恒成立，那么称数列{an}以A为极限，表示为lim(an)=A。
2. 确定数列的极限确定数列的极限可以通过数列的逐项计算、观察数列的规律或使用极限运算法则等方法来实现。
以下是几个常见的数列极限的确定方法：- 对于等差数列{an}，可以通过计算数列的首项a1和公差d，得到极限为lim(an)=a1。
- 对于等比数列{an}，可以通过计算数列的首项a1和公比r，来确定极限的情况：- 当|r|<1时，数列极限为lim(an)=0；- 当|r|=1时，数列极限不存在；- 当|r|>1时，数列极限不存在。
四、数列的收敛性1. 收敛数列的定义给定一个数列{an}，如果它存在有限的极限lim(an)=A，则称该数列为收敛数列。
即数列中的所有项都无限地接近于极限值A。
2. 收敛数列的性质收敛数列具有以下性质：- 收敛数列是有界数列，即存在常数M，使得|an|≤M。
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数列极限
一、重点难点分析：
1.三个最基本的极限
(1)常数数列的极限就是其本身，即：C=C。
(2)=0。
(3)当|q|<1时，q n=0。
这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。
2.数列极限四则运算法则：
如果a n=A, b n=B, 那么：(a n±b n)=a n±b n=A±B。
(a n²b n)=a n²b n=A²B。
== (b n≠0，B≠0)。
== (a n≥0, A≥0)。
应特别注意理解：
(1)公式成立的条件：公式成立的前提是{a n}与{b n}都存在极限。
(2)公式的实质：是四则运算与取极限这两种运算可以变换顺序。
(3)公式的推广：公式中的两项的和，差，积可以推广到有限个项，但是它们都不能推广到无限个。
3.无穷数列各项的和
(1)无穷递缩等比数列：
当公比|q|<1时无穷等比数列{a n}称为无穷递缩等比数列。
S n==。
则称这个极限叫做无穷递缩等比数列各项的和，用S表示，即S=。
(2)其它无穷数列各项的和：
若无穷数列{b n}不是等比数列，但可求得前n项和 T n，且T n=t。
则无穷数列{b n}的各项和存在，且为：S=T n=t。
4.求数列极限的方法与基本类型：
1)．求数列极限的基本思路是“求和——变形——利用极限的运算法则求解”，而在求解前应先化为三个重要的极限。
2)．常见的几类数列极限的类型和方法有：
①型：分子分母分别求和再化简转化②型：分子分母分别求和再化简转化
③已知极限值定参数：待定系数法
3)．要注意极限运算法则的使用范围，以及特殊极限的使用条件。
4)．实际运用中极限思想应引起注意。
二、应用举例：
例1．求下列极限：
(1)
(2)
(3)
解：(1) ∵
∴原式=。
(2)∵
=
∴原式=。
(3)∵
∴原式。
例2．设数列a1,a2,……a n……的前n项和S n与a n的关系是：，其
中b是与n无关的常数且b≠-1。
①求a n和a n-1的关系式。
②写出用n和b表示a n的表达式。
③写0<b<1时，求极限。
解析：(1)∵
∴
(2)∵, ∴。
∴
由此猜想。
证明（略）
把代入上式得：
(3)
∵ 0<b<1时，，∴。
例3．(1) 已知，求a,b的值。
(2) 已知数列{a n}的前n项和S n=1+ka n (k为不等于1的常数) 且，求k的取值范围。
解析：(1)由条件知该数列极限存在且为0，所以原式可变形为：。
显然，当且仅当a=1时，左边才有极限，而要使其极限为0，则-(a+b)=0，解得b=-1，因此a=1, b=-1。
(2) S n=1+ka n, 当n=1时，a1=S1=1+ka1,
∴，当n≥2时，a n=S n-S n-1=ka n-ka n-1, 即：(k-1)a n=ka n-1，∴
(常数)
∴，由得,
∴，故，∴k2<k2-2k+1，∴。
例4．（2001全国高考）已知等差数列前三项为a,4,3a，前n项和为S n, S k=2550。
(1) 求a及k的值；(2) 求。
解析：(1) 设该数列为{a n}, 则a1=a, a2=4, a3=3a, S k=2550。
由已知a+3a=2³4，∴a1=a=2，公差d=a2-a1=4-2=2。
由得k2+k-2550=0，解得k=50，或k=-51。
∴a=2, k=50。
(2)由得 S n=n(n+1)
∴。
∴。
训练题：
1．求下列极限
(1) (2)
(3)(4)
2．设首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为S n，求。
3．RtΔABC中，AC=a, ∠A=θ, ∠C=90°，排列着无限多个正方形。
（如
图所示），其中面积依次为S1，S2，S3，……。
试将这些正方形的面积之和S用a和θ表示，若S为RtΔABC的面积的，
试确定θ的值。
参考答案：
1. (1) (2) 2 (3) 当|a|>|b|时，原式=，当|a|<|b|时，原式=。
(4)
2. ∵，∴。
①当q=1时，。
②当q≠1时，若0<q<1，，
若q>1，。
故：
3．设第n个正方形的边长为x n,考虑图中三角形的长关系是
，∴，又，
∴，∴ {S n}是首项，公比为的等比数列。
又，∴ S=，而，
∴，∴，∴。