4、功率谱密度与能量谱密度

2.
自相关函数有如下性质： R (τ ) ↔ Es ( f ) 或者 R (τ ) ↔ Ps ( f )
1．自相关函数的傅氏变换是能量（功率）谱密度： 对能量信号，由 Paserval 定理：
R (τ ) = ∫ s * ( t ) s ( t + τ ) dτ = ∫ S ∗ ( f ) S ( f ) e j 2π f τ dτ = ∫ Es ( f ) e j 2π f τ dτ
许瓦兹不等式（Schwartz Inequality） ：
∫
∞
−∞
u ( x ) v ( x ) dx ≤ ∫ u ( x ) dx ∫ v ( x ) dx
2 2 −∞ −∞
2
∞
∞
等号在
u ( x ) = Kv ∗ ( x ) 时成立。 R (τ ) = R∗ ( −τ )
3．自相关函数满足共轭对称
∫ ∫
B
−B ∞ −∞
Ps ( f ) df P ( f ) df
=β
的解，其中 β 是所规定的比例，典型值如 90%、99%等。
(2)3dB 带宽：指从功率谱的峰点下降到一半时的频带范围。若 0 频处功率谱密度最高，则
Ps ( B ) 1 = P 0 2 的解。 ( ) s 带宽 B 是
(3)等效矩形带宽：若信号的功率谱密度的面积和一个同高的矩形相同，此矩形频谱的带宽
2 2 ∞ 2 ∞ ∞
两个信号
Eu = ∫
∞
−∞ ∞
∗ = ∫ s1 ( t ) dt + ∫ s2 ( t ) dt + ∫ s1 ( t ) s2 ( t ) dt + ∫−∞ s2∗ ( t ) s1 ( t ) dt −∞ −∞ −∞ 1 4 2 4 3 1 4 42 44 3 1 4 4 2 4 4 3 1 4 4 2 4 43 E1 E2 E12 E21
( • ) dt →∞ T ∫−T 2 ∫−∞ ( •) dt （求面积）因为对功率信号变得无意义，所以改成了 Tlim （求平均） 。
∞
1
T 2
1 这个改动实际上只是差一个系数 T 。 如果是周期为 Ts 周期信号， 求平均操作可以只在一个 T 2 T 2 1 1 s lim ( • ) dt = ∫−Ts 2 ( • ) dt T →∞ T ∫−T 2 Ts 。 周期内进行，即
−∞ ∞
对能量信号，定义互相关函数为
对功率信号，定义互相关函数为
R12 (τ ) ≅ lim
1 T →∞ T
∫
T 2 ∗ −T 2 1
s ( t ) s2 ( t + τ ) dt
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2.
性质 R12 (τ ) ↔ E12 ( f ) ， R12 (τ ) ↔ P 12 ( f
P 12 ( f ) ≅ lim
1 ∗ S1T ( f ) S 2T ( f ) T →∞ T P21 ( f ) ≅ lim 1 ∗ S 2T ( f ) S1T ( f ) T →∞ T 也是互功率谱密度。
为互功率谱密度，
五 互相关函数
1. 定义 R12 (τ ) ≅ ∫ s1∗ ( t ) s2 ( t + τ ) dt
例：信号
s1 ( t ) = e j 200π t 和 信 号 s2 ( t ) = (1 + j ) e j 200π t 的 功 率 分 别 是
2 ∗
E1 = 1 、
E2 = 1 + j = 2 ，它们之间的互功率是 E12 = 1 + j ， E21 = (1 + j ) = 1 − j ，总的互功 s t + s t = 2 + j ) e j 200π t 的功率是 5。 率是 2，所以 1 ( ) 2 ( ) ( 2. 互能量谱密度、互功率谱密度
∗
( f ) S 2 ( f ) = 0 ，因
六 周期信号
s ( t ) 是功率信号。若其傅氏级数展开式为 s (t ) =
周期为 T 的周期信号
n =−∞
∑ cn e
n
j 2π
n t T
，则
s ( t ) 的自相关函数是 Rs (τ ) =
n =−∞
∑
∞
cn e
2
n j 2π τ T
功率谱密度为
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s1 ( t ) = 2 的功率是
s t = −1
s1 ( t ) + s2 ( t ) = 1 的功率是 1 而不是 5，因为这两个信号之
注 2：两个单频信号相加会发生干涉现象。依据相互的相位关系，干涉可能是建设性的（互 功率为正）或者破坏性的（互功率为负） 。互能量（功率）的概念正是在反映这一点。
)
2
df = ∫ lim
2 1 ST ( f ) df −∞ T →∞ T ，其中 ∞
s (t ) sT ( t ) = 0
t ≤T 2 else 是 s ( t ) 的短截， ST ( t ) 是其傅氏变换。
2 1 ST ( f ) s t T 为功率信号 ( ) 的功率谱密度。
定义
Ps ( f ) ≅ lim
不相关的意思就是互相关函数为 0。 5．若 1 ( ) 和 2 ( ) 的频谱不重叠，即若 量的单频信号是不相关的。
s t
s t
S1 ( f ) S2 ( f ) = 0 ，则它们不相关。不同频率分
∗ S f S f = 0 表明互谱密度 S1 若 ab = 0 则必然 a b = 0 ，因此 1 ( ) 2 ( ) 此互相关为 0。
= E1 + E2 + E12 + E21 E12 和 E21 叫 s1 ( t ) 、 s2 ( t ) 之间的互能量（也可把 E1 、 E2 可叫自能量） 。
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注 1：两信号相加结果的能量（功率）并不是能量（功率）之和。例如 4， 2 ( ) 的功率是 1， 间有-4 的互功率。
∫
就是该信号的等效矩形带宽。若 0 频处功率谱密度最高，则带宽 B 是
∞
−∞
2 Ps ( 0 )
Ps ( f ) df
。
N Ps ( f ) = 0 = 5 × 10 −10 W Hz s t ( ) 2 的功率谱密度是 ，它在 97.4MHz 为中心 例：某实信号
的 B=100KHz 带宽范围内的功率是
为互能量谱密度，
)
∗ E21 ( f ) ≅ S2 ( f ) S1 ( f ) 自然也是互能量谱密度。
对于功率信号，互功率
P 12 = lim ∫
T →∞
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∞ 1 s1∗ ( t ) s2 ( t ) dt = ∫ lim S1∗T ( f ) S 2T ( f ) df −T 2 −∞ T →∞ T ，称 T 2
1． 互相关函数的傅氏变换是互能量 （功率） 谱密度： 由 Parserval 定理可得。
)
2．互相关函数的最大值是 可用许瓦兹不等式证明。
R1 ( 0 ) R2 ( 0 )
，
R12 (τ ) ≤ R1 ( 0) R2 ( 0 )
3．对称性：
∞
∗ R12 (τ ) = R21 ( −τ )
∞ ∞ ∗ ∗ ∗ ∗ s1 ( t ) s2 t + τ ) dt = ∫ s2 x ) s1 ( x − τ ) dx = R21 ( ( ( −τ ) ∫−∞ s1 ( t ) s2 ( t + τ ) dt = ∫ −∞ −∞
∞
∞
∗ ∗ =∫ s ∗ ( t ) s1 ( t + τ ) + s1∗ ( t ) s2 ( t + τ ) + s2 ( t ) s1 ( t + τ ) + s2 ( t ) s2 ( t + τ ) dt −∞ 1 = R1 (τ ) + R12 (τ ) + R21 (τ ) + R2 (τ )
−∞ −∞ −∞
∞
∞
∞
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功率信号的情形类似。 2．自相关函数在 τ = 0 时最大，最大值就是能量（功率） ：
R (τ ) ≤ R ( 0 ) = Es
或者
R (τ ) ≤ R ( 0 ) = Ps
∞
首先：对能量信号有
R ( 0 ) = ∫ s ∗ ( t ) s ( t ) dt = Es
T →∞
信号的功率或能量是分布在具体的频率分量上的，能量（功率）谱密度描述具体某个频率分 量处分布了多少能量（功率） 。
2.
单边谱密度与双边谱密度：
在物理测量的意义下，正负频率是不可分辨的。如果我们测量到某个实信号在某个频率如 105Hz 处每 Hz 带宽内的功率是 2W 时，从数学上看，它应该是在 −105 ± 0.5Hz 和
−∞
，功率信号同理。
其次根据许瓦兹不等式有
R (τ ) =
2
∫
∞
−∞
s ∗ ( t ) s ( t + τ ) dτ ≤ ∫
2
∞
−∞
s ( t ) dτ × ∫
2
∞
−∞
s ( t + τ ) dτ = Es2
2
等号仅当 证。
s ∗ ( t ) = Ks ∗ ( t + τ ) 时成立，由此即可得 R (τ ) ≤ R ( 0 ) 。对于功率信号同理可
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105 ± 0.5Hz 处各分布有 1W 的功率。由此便有了单边谱密度和双边谱密度的说法，单边谱 密度中没有负频率的概念，其数值是双边谱密度的 2 倍。本课中，如果前后文没有表明所提 到的谱密度为单边或双边时，缺省按双边对待。
3. 带宽
带宽是衡量信号频带宽度的一个量， 它表示我们通过测量仪器可以感受到的频率范围， 通常 带宽只按正频率部分计算。我们对带宽有多种定义。 (1)信号主要能量所占带宽：指这个频带范围内集中了信号的绝大部分能量。带宽 B 是
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Ps ( f ) =
n =−∞
∑
n 2 cn δ f − T
n n n t j 2π τ j 2π T ( t +τ ) 1 T 2 j 2π T T cn e × cn e dt = e ∫−T 2 的自相关函数是 T ，功率谱 n − T ，而各个频率分量之间是不相关的。 ∗
任意两个信号叠加时，它们的频率分量各自发生干涉，从而有各自的互功率（互能量） 。互 功率（互能量）在频率上的分布就是互功率（互能量）谱密度。
对能量信号，互能量
E12 = ∫ s1∗ ( t ) s2 ( t ) dt = ∫ S1∗ ( f ) S 2 ( f ) df
−∞ −∞
∞
∞
，称
E12 ( f ) ≅ S1∗ ( f ) S 2 ( f
符号： ( • ) 表示对时间求平均
二 能量谱密度与功率谱密度
1. 定义
∞ ∞
Es = ∫ s * ( t ) s ( t ) dt = ∫
−∞
−∞
S ( f ) dt
2
定义
Es ( f ) ≅ S ( f )
2
为能量信号
s ( t ) 的能量谱密度。
Ps = lim
2 1 T2 1 ∞ sT ( t ) dt = lim ∫ ST ( f ∫ T →∞ T −T 2 T →∞ T −∞
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功率谱密度与能量谱密度
一 功率与能量
Es = ∫
∞
−∞
s ( t ) dt
2
，
Ps = lim
1 T →∞ T
∫
T 2
−T 2
s ( t ) dt
2
一个信号或者是功率信号（功率有限） ，或者是能量信号（能量有限） 。 请注意以后的各种数学处理中，处理能量信号和功率信号的差别只是：能量信号中的操作
这是因为
R (τ ) 的傅氏变换（能量谱密度或者功率谱密度）是实函数。
特别地：实信号的自相关函数是实偶函数。
四 互谱密度
1. 互能量与互功率 s1 ( t ) 、 s2 ( t ) 之和 u ( t ) = s1 ( t ) + s2 ( t ) 的能量是 s1 ( t ) + s2 ( t ) dt
N 0 B = 2 × ( 5 × 10−10 ) × 105 = 10−4 W = 0.1mW
。
三 自相关函数
1. 定义 R (τ ) ≅ ∫ s * ( t ) s ( t + τ ) dτ
−∞ ∞
对能量信号：
对功率信号：
R (τ ) ≅ lim
1 ∞ s ∗ ( t ) s ( t + τ ) dt T →∞ T ∫−∞
∗
∗
4．
s1 ( t ) + s2 ( t )
的自相关函数是 1 和的自相关函数是自相关函数之和
∗
R (τ ) + R2 (τ ) + R12 (τ ) + R21 (τ )
， 当两个信号不相关时，
∫
s ( t ) + s2 ( t ) s1 ( t + τ ) + s2 ( t + τ ) dt −∞ 1