第8章矩阵特征值计算
矩阵的特征值与特征向量总结-全文可读
2•
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解.
齐次线性方程组为 系数矩阵
2•
得基础解系
是对应于
类似可以求得 A的属于特征
值 的全部特征向量分别为
是不为零的常数.
2•
所以
是矩阵f (A)的一个特征值.
2•
3. 特征多项式f )的性质
( 在特征多项式
中有一项是主对角线上元素的连乘积：
f )的展开式的其余各项为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2•
设f ) = 0的根
(
为
，则有
性质1 设 n 阶方阵 A 的 n个特征
值为
则
称为矩阵A的迹，记为
2•
性质2 若A的特征值是 , X是A的对应于 的特征向量,
(1) kA的特征值是 ;(k是任意常数) k
(m是正整数)
(3) 若A可逆,则A -1的特征值
是
且X 仍然是矩
阵
-1 , 的特征值是 分别对应于
的特征向量.
2•
为x的多项式, 则f (A)的特征值
为 证
再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就
得
2•
其它请同学们自己证明.
3•
例6 已知三阶方阵A的特征值为1、2、3, 求矩阵 的A行*+列E式.
解 由性质1（2）知
则矩阵A*的特征值 所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值
是值A, 的属于特征值 λ = 5的特征向
量；
6•
7•
故由定义4.1知， λ = 5也 1、X2、X3 的特征值, 即是对X于 λ = 5的特征向量是不唯一
的.
矩阵特征值求解
矩阵特征值求解的分值算法12组1. 1矩阵计算的基本问题(1) 求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求 一个n 维向量X,使得Ax =b (1.1.1 )(2) 线性最小二乘问题，即给定一个mx n 阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量使得 |A X -b | =min{ |Ay -比严 R n }(3) 矩阵的特征问题，即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特 征值以及对应的特征向量，也就是求解方程Ax = Z xA 的属于特征值A 的特征向量。
在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用，如大型桥梁或建筑物的振动问题： 机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题 ；无线电电子学及光学系统的电磁 振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题 .又如天文、地 震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。
在科学上，计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马 尔可夫链模拟等实际问题，最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问 题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用，因此对矩阵的特征值问题的求解理 论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的 重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。
1.2矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个nxn 阶实(复)矩阵A,它的特征值问题，即求方程(I.1.3)式的非平凡 解,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来 许多计算问题.为了求(1.1.3)式中的A , —个简单的想法就是显式地求解特征方 程det(A —几I) = 0除非对于个别的特殊矩阵，由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由 行列式的计算来求得，既使能精确计算出特征方程的系数，在有限精度下，其特征 多项式f ") =det(A-ZJ)的根可能对多项式的系数非常敏感 能在理论上是有意义的，实际计算中对一般矩阵是不可行的 数较大，则行列式det(A -几I)的计算量将非常大；其次，根据 数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法 ，基于上述原因，人们只能寻求其 它途径.因此,如何有效地！精确地求解矩阵特征值问题，就成为数值线性代数领 域的一个中心问题.目前,求解矩阵特征值问题的方法有两大类：一类称为变换方法，另一类称为 向X,(1.1.2 )(1.1.3 ) 一对解(4 X),其中R(C),x- R n (C n ),即A 为矩阵A 的特征值，X 为矩阵(121 ).因此，这个方法只 .首先,若矩阵A 的阶 Galois 理论,对于次量迭代方法.变换方法是直接对原矩阵进行处理，通过一系列相似变换，使之变换成一个易于求解特征值的形式，如Jacobi算法,Givens算法,QR算法等。
第8章 特征值和特征向量
第8章特征值和特征向量M A T L A B中的命令计算特征值和特征向量很方便，可以得到不同的子结果和分解，这在线性代数教学时很有用。
注意，本章中的命令只能对二维矩阵操作。
8.1 特征值和特征向量的计算假设A是一个m×n的矩阵，A的特征值问题就是找到方程组的解：其中λ是一个标量，x是一个长度为n的列向量。
标量λ是A的特征值，x是相对应的特征向量。
对于实数矩阵A来说，特征值和特征向量可能是复数。
一个n×n的矩阵有n个特征值，表，λ2，. ..，λn。
示为λ1M A T L A B中用命令e i g来确定矩阵A的特征值和特征向量。
特征向量的规格化，就是每个特征向量的欧几里得范数为1；参见7 .6节。
命令e i g自动完成对矩阵A的平衡化。
这就要求M A T L A B找出一个相似变换矩阵Q，满足条件。
求的特征值比求A的特征值条件更好些。
万一A有一个和机器错误大小一样的元素，平衡化对于计算过程是没有好处的。
带有参数n o b a l a n c e的命令e i g可用来计算没有这个变换矩阵的特征值和特征向量。
命令集7 9特征值和特征向量e i g(A)求包含矩阵A的特征值的向量。
[ X,D]=e i g(A)产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。
为了得到有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。
[ X,D]=不经过平衡处理求得矩阵A的特征值和特征向量，也就是e i g(A,’n o b a l a n c e’)不进行平衡相似变换。
b a l a nc e(A)求平衡矩阵。
[ T,B]=b a l a n c e(A)找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得它们满足B=T－1AT。
B是用命令b a l a n c e求得的平衡矩阵。
e i g s(A)返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和命令e i g一样，但是不返回全部的特征值。
第8章-矩阵特征值计算
min P1 P I ,
( A)
p
pp
(1.5)
其中||·||p为矩阵的p范数，p=1,2,.
证明 由于σ(A)时显然成立,故只考虑̄σ(A).这
时D-I非奇异，设x是A+I对应于的特征向量，由
(A+I-I)x=0左乘P-1可得 (D I )(P1 x) (P1IP)(P1 x), P1 x (D I )1 (P1 IP)(P1 x),
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定理7 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，
主特征值1满足 |1|>|2||n|，
则对任何非零向量v0(a10)，(2.4)式和(2.7)式成立.
如果A的主特征值为实的重根, 即1=2==r, 且 |r|>|r+1||n|，
又设A有n个线性无关的特征向量，1对应的r个线性
无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
3 1 5.
A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.
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现在取对角阵
1 0 0
D1 0 1 0 ,
0 0 0.9
做相似变换
4 1 0
A A1 D1 AD 1
0
10 9
.
0.9 0.9 4
矩阵A1的3个圆盘为
E1 : 4 1,
E2 :
19 , 9
矩阵，则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且1, 2,, n为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)的列
向量uj为A的对应于j 的单位特征向量.
矩阵特征值和特征向量的计算方法
例：设
4 1 A 1 0
1 1
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
D1：| z 4 | 1 孤立圆盘
0 1
D2：| z | 2 D3：| z 4 | 2
3 1 5
4 D diag(1,1,109)
A D1AD
D1：| z 4 | 1
D2：| z | 199 D3：| z 4 | 1.8
x0
(3)
n
min R(x) xR n
x0
8
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幂法及反幂法 幂法 主特征值
A (aij ) Rnn，有一组完全旳特征向量组， Axi i xi (i 1,2,, n)
{ x1, x2 ,, xn}线性无关
| 1 || 2 | | n |
9
幂法旳其本思想
设A Rnn，则存在正交矩阵Q使
R11 QT AQ
R12 R1n
R22
R2
n
Rnn
其中对角块Rii (i 1,2,, m)为一阶或二阶方阵，
且每个一阶Rii 是A的实特征值，每个二阶对角
块的两个特征值是A的一对共轭复特征值。
6
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Def
设A Rnn为对称矩阵，x 0，称 R(x) ( Ax, x) (x, x)
A1的特征值为
|
1
1
|
|
1
2
|
|
1
n
； |
对应的特征向量，x1
,
x2 ,,
xn，
对A1应用幂法即可！
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反幂法旳迭代公式
8、矩阵特征值问题计算
对应的特征向量x1, x2 ,, xm线性无关.
定理7(对称矩阵的正交约化 ) 设A R nn为对称矩阵 , 则
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量； (3) 存在正交矩阵P使得
1 2 ， P 1 AP n 且i (i 1,2,, n)为A的特征值, 而P (u1,u2 , ,un )的列 向量u j为对应于 j的特征向量.
k
k
k A v0 max(vk ) max max(Ak 1v ) 0 k k 2 n 1 maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 k 1 k 1 2 n maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 1 (k )
k k 1
lim
vk
a1 x1.
即vk 是1的近似的特征向量. 而主特征值 (vk 1 ) j 1 n (vk 1 ) j 1 , 或1 . (v k ) j n j 1 (v k ) j
定理12 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
并设A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
现在讨论求1及x1的基本方法.
(2.1)
v0 a1 x1 a2 x2 an xn , (设a1 0)
v1 Av0 a11 x1 a22 x2 ann xn ,
k k 2 n k vk Avk 1 1 a1 x1 a2 x2 an xn . 1 1 k 当k很大时，k 1 a1 x1, vk 1 1vk , Avk 1vk， v
矩阵特征值的计算
物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩 阵的特征值和特征向量问题。
� 计算方阵 A 的特征值，就是求特征多项式方程：
| A − λI |= 0 即 λn + p1λn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1λ + pn = 0
的根。求出特征值 λ 后，再求相应的齐次线性方程组：
(13)
为了防止溢出，计算公式为
⎧ Ay k = xk −1
⎪ ⎨
m
k
=
max(
yk )
( k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅)
⎪ ⎩
x
k
=
yk
/ mk
(14)
相应地取
⎧ ⎪
λ
n
⎨
≈
1 mk
⎪⎩ v n ≈ y k ( 或 x k )
(15)
9
(13)式中方程组有相同的系数矩阵 A ，为了节省工作量，可先对
11
11
≤ ≤ ⋅⋅⋅ ≤
<
λ1 λ2
λn −1
λn
对应的特征向量仍然为 v1, v2 ,⋅⋅⋅, vn 。因此，计算矩阵 A 的按模
最小的特征值，就是计算 A−1 的按模最大的特征值。
� 反幂法的基本思想：把幂法用到 A−1 上。
任取一个非零的初始向量 x0 ，由矩阵 A−1 构造向量序列：
xk = A−1xk−1 , k = 1, 2, ⋅⋅⋅
如果 p 是矩阵 A 的特征值 λi 的一个近似值，且
| λi − p |<| λ j − p | , i ≠ j
1 则 λ i − p 是矩阵 ( A − pI )−1 的按模最大的特征值。因此，当给
特征值问题的计算方法
Gi ( A) = { z ∈ C : z − aii ≤ ∑ aij }; i = 1,L , n
j≠i
则 λ ( A) ⊂ G1 ( A) ∪ G2 ( A) ∪ L ∪ Gn ( A)
（ 分解定理） Th8.1.4 谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ n× n n× n 对称矩阵 则存在正交 矩阵， 正交矩阵 设 A ∈ R 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q ∈ R T 使得 Q AQ = Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) 个特征值。 其中 λ1 ,L , λn 是 A 的n个特征值。 个特征值 定理） （极大极小定理 Th8.1.5 极大极小定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A ∈ R n× n 为对称矩阵，且 A的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn
∀u0 , u0
∞
=1
设
yk = Auk −1 µk = yk ∞ yk uk =
For k=1,2,3,…
uk 和 µk均收敛，由算法知 收敛， 算法知 Auk −1 = µk uk
lim Auk −1 = lim µk lim uk
k →∞ k →∞ k →∞
Ax = λ1 x
uk
∞
µk → λ1
其中J (λi ) = diag( J1 (λi ), ,L , J k (λi )) ∈ C ni ×ni ;1 ≤ i ≤ r i
λi J j ( λi ) =
1
λi
且除了 J j (λi ) 的排列 O 次序外 J 唯一的 次序外， 是唯一的。 O 1 λi J 称作 A 的Jordan标准型 标准型
n× n
是可对角化的 存在如下分解： 是可对角化的，即 A 存在如下分解： 对角化
第八章 特征值问题
n
| x p | ¹ 0 ，因此
a p k xk
k 1, k p
k 1, k p
n
| a p k | | xk |
| xp |
从而
n
| a p k | | x p | Rp
| app | Rp
例 5
矩阵
骣 5 0.8 20 琪 A = 琪 10 1 4 琪 琪 琪 2 10i 1 桫
工程计算中，求解特征值问题 的特征对 ( , x ) 时，由于数据往往带有误差， 因此我们计算出的特征对 ( , x ) ，实际上是 扰动后的特征值问题
Ax x
xx A
的解。这里 A A E, E ( i j )
我们希望知道矩阵元素的变化对特征对的影响。 | 或j | ||的某个上界， i E || 由于我们一般只知道 因此有必要研究如何利用这样的上界，尽可能 x 准确地估计 与 、 与 x之间的差距，从 而可确定特征值问题的稳定性。 由于矩阵的特征多项式的系数是矩阵元素的连 续函数，而多项式的根都是其系数的连续函数， 因此矩阵的特征值作为特征多项式的零点都连 续地依赖于矩阵的元素。因此矩阵元素的连续 变化时，必有对应特征值的连续变化。
骣 5 0.4 20 琪 B = D- 1 AD = 琪 10 0.5 4 琪 琪 琪 4 10i 2 桫
三个行Gerschgorin圆分别收缩为：
G1¢( A) = { z ? C | z 20 | G2¢( A) = { z ? C | z 10 | G3¢( A) = { z ? C | z 10i |
i , j 1 i j
n
三、特征值的界
首先，根据矩阵 A 的Cartesian分解，有
矩阵特征值特征向量计算例程
矩阵特征值及特征向量计算例程1.1.1 乘幂法例程该程序是用乘幂法计算实矩阵按模最大实特征值的C语言程序。
运行该程序时可根据提示按行输入（阶数小于等于100的）实矩阵，程序输出矩阵按模最大实特征值及特征向量。
1. 说明：（1）该程序计算阶数小于等于100的实矩阵的按模最大特征值及特征向量。
（2）当矩阵阶数大于100时（如120），则只要修改程序行：double m,lm,mk,e,A[101][101], x[101] ,y[101];中101为121既可。
（3）只有当矩阵的按模最大特征值为实数时，程序有效。
（4）在按模最大特征值为实数的情况下，如果程序失败，则应适当调整误差限或最大迭代次数。
2. 乘幂法例程源代码#include <stdio.h>#include <math.h>void main(){float s,m,lm,mk,e,A[101][101], x[101] ,y[101];int n, i,j,k ,nn;printf("请输入矩阵的阶数（小于等于100）n：\n");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){printf("请输入矩阵的第%d行：\n",i);for(j=1;j<=n;j++)scanf("%f",&A[i][j]);}printf("请输入最大迭代次数nn：\n");scanf("%d",&nn);printf("请输入误差限e：\n");scanf("%f",&e);printf("请输入初始向量x[i]：\n");for(i=1;i<=n;i++)scanf("%f",&x[i]);printf("正在进行计算，请等待\n");k=0; mk=0;do{k=k+1;lm=mk;mk=0;for(i=1;i<=n;i++)if (fabs(x[i]>mk))mk=x[i];for(i=1;i<=n;i++){s=0;for(j=1;j<=n;j++)s=s+A[i][j]*x[j];y[i]=s;}for(i=1;i<=n;i++){s=0;for(j=1;j<=n;j++)s=s+A[i][j]*y[j];x[i]=s/mk;}}while ((fabs(lm-mk)>e)&&(k<nn));if (k>=nn){printf("超出最大迭代次数仍不满足误差要求，计算失败！\n"); return;}else{m=0;lm=0;for(i=1;i<=n;i++){if (fabs(y[i]>m))m=y[i];if (fabs(x[i]>lm))lm=x[i];}s=m/fabs(m)*sqrt(lm);printf("按模最大特征值为:%f\n",s);printf("对应的特征向量为：\n");for(i=1;i<=n;i++){x[i]=(y[i]/(s*s*s)+x[i]/(s*s))/2;printf("%f\n",x[i]);}}}1.1.2 化实对称矩阵为三对角矩阵例程该程序是用Househoulder变换将对称矩阵化为对称三对角矩阵的C语言程序。
数值分析Ch8矩阵特征值的计算
• 注(2)可用 A pI 来加速.
例 用反幂法求矩阵A的最接近 p 13 的特征值和特 征向量.
解
其中:
3 12 3 A 3 1 2 3 2 7 3 1 3 LU A pI 3 14 2 3 2 20 0 0 3 1 1 3 L 3 1 0 U 0 5 11 11 66 1 3 0 0 5 5
取 1 max v7 3.41, X1 u7 (.707,1,.707)
2.加速方法(原点平移法)
• 令 : B A pI ,设 B 的特征值为 i 则: i i p
i i p i 希望 : 1 1 p 1
若设 : 1 2 n1 n
2 p n p 选p使 : max , min 1 p 1 p
n p 2 n 2 p * 当 取p 达最小. 1 p 1 p 2
2 n • 使用幂法,取 p 计算 1 得到加速. 2
i (1 X 1 i Xi ) i 2 1
k 1 n
k
vk Avk 1 X 1 X 2 X n
k 1 1
k 2 2
k n n
i i 1 (1 X 1 i X ) i 1 i 2 1 vk k lim k 1 X 1 vk 11 X 1
取
v0 u0 1,1,1
T
计算公式:
vk Lyk uk 1 , Uvk yk , uk max vk
0 1
k 迭代向量 分
量 max
矩阵特征值计算方法
）。
（1）按照行列指标的自然顺序选取旋转平面；
（2）每次迭代选取矩阵中绝对值最大的元素所在的行列作为旋转平面；
（3）每次迭代选取矩阵中非对角元素绝对值最大者所在的行列作为旋转平面；
（4）选取旋转平面的原则是使每次迭代矩阵的 F − 范数尽可能地减少。
二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）
⎡2 1、设 A = ⎢⎢−1
。
1
⎡6 2 1⎤
四、（14
分）已知矩阵
A
=
⎢ ⎢
2
3
1⎥⎥ ，试用带位移的反幂法计算其最接近 6 的特征值及对
⎢⎣1 1 1⎥⎦
应的特征向量，初始向量取
u0
=
(9 5
1
3 )T ，迭代两步。 2
五、（12 分）（1）设 uT u = 1, H = I − 2uuT ，且 v = Hx, x ∈ Rn , w = x + v ，证明 wT u = 0 ；
2 0
−1 1
1 3
⎟ ⎟⎟⎠
，则区间 [0,
4]
内包含矩阵
A
的
5、计算矩阵特征值的雅可比迭代过程中采用
个特征值。 变换方法产生矩阵序列。
三、（10
分）利用幂法求矩阵 A =
⎡11
⎢ ⎣
1
2⎤ 3⎥⎦
的模最大的特征值以及相应的一个特征向量，迭
[ ] 代至相邻两次特征值的误差不超过 0.5 ，取初始向量 x0 = 1 1 T 。
⎢⎣ 2
−1⎤
2
⎥ ⎥
，求一正交矩阵
P
=
2 ⎥⎦
，使得 PA 为上梯形矩阵。
2、如果 A ∈ Rm×n 的所有特征值都是半单的，则称 A 为____
反幂法求矩阵特征值
一． 问题描述用幂法与反幂法求解矩阵特征值求n 阶方阵A 的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。
对于n 阶矩阵A ，若存在数λ和n 维向量x 满足 Ax=λx （1） 则称λ为矩阵A 的特征值，x 为相应的特征向量。
由线性代数知识可知，特征值是代数方程 |λI-A|=λn+a 1λ1-n +…+a 1-n λ+a n =0 （2）的根。
从表面上看，矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值λ，再解齐次方程组（λI-A ）x=0 （3） 的解，就可得到相应的特征向量。
上述方法对于n 很小时是可以的。
但当n 稍大时，计算工作量将以惊人的速度增大，并且由于计算带有误差，方程（2）未必是精确的特征方程，自然就不必说求解方程（2）与（3）的困难了。
幂法与反幂法是一种计算矩阵主特征值及对应特征向量的迭代方法, 特别是用于大型稀疏矩阵。
这里用幂法与反幂法求解带状稀疏矩阵A[501][501]的特征值。
二． 算法设计1． 幂法（1）取初始向量u )0(（例如取u)0(=(1,1,…1)T）,置精度要求ε，置k=1.（2）计算v)(k =Au)1(-k , m k =max(v)(k ), u)(k = v)(k / m k（3）若| m k -m 1-k |<ε，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值1λ，u )(k 作为相应的特征向量）否则置k=k+1，转（2） 2. 反幂法 （1）取初始向量u)0(（例如取u)0(=(1,1,…1)T）,置精度要求ε，置k=1.（2）对A 作LU 分解，即A=LU （3）解线性方程组 Ly )(k =u)1(-k ,Uv)(k =y)(k（4）计算mk =max(v)(k), u)(k= v)(k/ mk（5）若|mk -m1-k|<ε，则停止计算（1/m k作为绝对值最小特征值nλ，u)(k作为相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）.三．程序框图1.主程序2.子程序(1). 幂法迭代程序框图(2). 反幂法迭代程序框图四． 结果显示计算结果如下：矩阵A 的按模最大特征值为:-1.070011361487e+001 矩阵A 的按模最小特征值为:-5.557910794230e-003 矩阵A 最大的特征值为:9.724634101479e+000 矩阵A 最小的特征值为:-1.070011361487e+001与各k μ(1,2,...,39)k =最接近的ik λ（用[]V k 表示）的值如下：v[ 1]=-1.018293403315e+001 u[ 1]=-1.018949492196e+001 v[ 2]=-9.585707425068e+000 u[ 2]=-9.678876229054e+000 v[ 3]=-9.172672423928e+000 u[ 3]=-9.168257536145e+000v[ 4]=-8.652284007898e+000 u[ 4]=-8.657638843237e+000 v[ 5]=-8.0934********e+000 u[ 5]=-8.147020150328e+000 v[ 6]=-7.659405407692e+000 u[ 6]=-7.636401457419e+000 v[ 7]=-7.119684648691e+000 u[ 7]=-7.125782764510e+000 v[ 8]=-6.611764339397e+000 u[ 8]=-6.615164071601e+000 v[ 9]=-6.0661********e+000 u[ 9]=-6.104545378693e+000 v[10]=-5.585101052628e+000 u[10]=-5.593926685784e+000 v[11]=-5.114083529812e+000 u[11]=-5.0833********e+000 v[12]=-4.578872176865e+000 u[12]=-4.572689299966e+000 v[13]=-4.096470926260e+000 u[13]=-4.062070607058e+000 v[14]=-3.554211215751e+000 u[14]=-3.551451914149e+000 v[15]=-3.0410********e+000 u[15]=-3.040833221240e+000 v[16]=-2.533970311130e+000 u[16]=-2.530214528331e+000 v[17]=-2.003230769563e+000 u[17]=-2.019595835422e+000 v[18]=-1.503557611227e+000 u[18]=-1.508977142514e+000 v[19]=-9.935586060075e-001 u[19]=-9.983584496049e-001 v[20]=-4.870426738850e-001 u[20]=-4.877397566962e-001 v[21]=2.231736249575e-002 u[21]=2.287893621262e-002 v[22]=5.324174742069e-001 u[22]=5.334976291214e-001 v[23]=1.052898962693e+000 u[23]=1.044116322030e+000 v[24]=1.589445881881e+000 u[24]=1.554735014939e+000 v[25]=2.060330460274e+000 u[25]=2.065353707848e+000 v[26]=2.558075597073e+000 u[26]=2.575972400756e+000 v[27]=3.080240509307e+000 u[27]=3.086591093665e+000 v[28]=3.613620867692e+000 u[28]=3.597209786574e+000 v[29]=4.0913********e+000 u[29]=4.107828479483e+000 v[30]=4.603035378279e+000 u[30]=4.618447172392e+000 v[31]=5.132924283898e+000 u[31]=5.129065865300e+000 v[32]=5.594906348083e+000 u[32]=5.639684558209e+000 v[33]=6.080933857027e+000 u[33]=6.150303251118e+000 v[34]=6.680354092112e+000 u[34]=6.660921944027e+000 v[35]=7.293877448127e+000 u[35]=7.171540636935e+000 v[36]=7.717111714236e+000 u[36]=7.682159329844e+000 v[37]=8.225220014050e+000 u[37]=8.192778022753e+000 v[38]=8.648666065193e+000 u[38]=8.703396715662e+000 v[39]=9.254200344575e+000 u[39]=9.214015408571e+000五．程序#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 501void main(){double Q[5][501];double mifa(double A[5][501]);double fanmifa(double A[5][501]);double lm,lmax,lmin,ls,delta,u[39],v[39];int i,j,k;double A[5][501];A[0][0]=A[0][1]=A[1][0]=A[3][500]=A[4][499]=A[4][500]=0.0;//输入*501矩阵for(i=2;i<N;i++)A[0][i]=-0.064;for(i=1;i<N;i++)A[1][i]=0.16;for(i=0;i<N;i++)A[2][i]=(1.64-0.024*(i+1))*sin(0.2*(i+1))-0.64*exp(0.1/(i+1));for(i=0;i<500;i++)A[3][i]=0.16;for(i=0;i<499;i++)A[4][i]=-0.064;for(i=0;i<5;i++)//保存Afor(j=0;j<501;j++)Q[i][j]=A[i][j];lm=mifa(A);//按模最大特征值,函数mifa()不会改变矩阵A的值，不需还原for(i=0;i<N;i++) //平移A{A[2][i]=A[2][i]-lm;}lmax=mifa(A);//平移后A的按模最大特征值lmax=lmax+lm;//最大特征值或最小特征值if(lmax<lm){lmin=lmax;lmax=lm;}elselmin=lm;for(i=0;i<N;i++)//还原Afor(j=0;j<5;j++)A[j][i]=Q[j][i];ls=fanmifa(A);//按模最小特征值for(i=0;i<N;i++)//还原Afor(j=0;j<5;j++)A[j][i]=Q[j][i];for(k=0;k<39;k++)//计算u1-u39u[k]=lmin+(k+1)*((lmax-lmin)/40);for(k=0;k<39;k++){for(j=0;j<N;j++)A[2][j]=A[2][j]-u[k];v[k]=fanmifa(A)+u[k];for(i=0;i<N;i++)//还原Afor(j=0;j<5;j++)A[j][i]=Q[j][i];}printf("矩阵的按模最大特征值为:%.12e",lm);printf("\n");printf("矩阵的按模最小特征值为:%.12e",ls);printf("\n");printf("矩阵最大的特征值为:%.12e",lmax);printf("\n");printf("矩阵最小的特征值为:%.12e",lmin);printf("\n");for(k=0;k<39;k++){printf("v[%2d]=%.12e ",k+1,v[k]);printf("u[%2d]=%.12e",k+1,u[k]);printf("\n");}}double sgn(double a)//符号函数{if(a>0)return 1;else if(a=0)return 0;else return -1;}int max2(int a,int b){return a>b?a:b;}int max3(int a,int b,int c)return max2(a,b)>c?max2(a,b):c;}int min(int a,int b){return a<b?a:b;}void LU(double A[5][501],double u[501],double B[501])//LU分解法{double X[501];int i,j,k,t,l;double m=0,n=0;for(k=1;k<=N;k++)//求L，U{for(j=k;j<=min(N,k+2);j++)//U{m=0;for(t=max3(1,k-2,j-2);t<=k-1;t++){m+=A[k-t+2][t-1]*A[t-j+2][j-1];}A[k-j+2][j-1]=A[k-j+2][j-1]-m;}for(i=k+1;i<=min(N,k+2);i++)//Lif(k<N){n=0;for(l=max3(1,i-2,k-2);l<=k-1;l++){n+=A[i-l+2][l-1]*A[l-k+2][k-1];}A[i-k+2][k-1]=(A[i-k+2][k-1]-n)/A[2][k-1];}}for(i=2;i<=N;i++)//回代过程{m=0;for(t=max2(1,i-2);t<=i-1;t++)m+=A[i-t+2][t-1]*B[t-1];B[i-1]=B[i-1]-m;}X[N-1]=B[N-1]/A[2][N-1];//回代过程for(i=N-1;i>=1;i--){n=0;for(t=i+1;t<=min(N,i+2);t++)n+=A[i-t+2][t-1]*X[t-1];X[i-1]=(B[i-1]-n)/A[2][i-1];}for(i=1;i<=N;i++)//输出方程结果{u[i-1]=X[i-1];}}double mifa(double A[5][501])//幂法{int i,j,l=0;double u[501],t[501];double y[501];double h,b,c;c=0;for(i=0;i<N;i++)//幂法初始向量u[i]=1;while(1){for(i=0;i<N;i++)t[i]=0;h=u[0];for(i=0;i<N;i++)//无穷范数{if(fabs(h)<fabs(u[i])){h=u[i];l=i;}}for(i=0;i<N;i++)y[i]=u[i]/fabs(h);for(i=2;i<499;i++){for(j=i-2;j<=i+2;j++){t[i]=t[i]+A[i-j+2][j]*y[j];}u[i]=t[i];u[0]=A[2][0]*y[0]+A[1][1]*y[1]+A[0][2]*y[2];u[1]=A[3][0]*y[0]+A[2][1]*y[1]+A[1][2]*y[2]+A[0][3]*y[3];u[499]=A[4][497]*y[497]+A[3][498]*y[498]+A[2][499]*y[499]+A[1][N-1]*y[N-1];u[N-1]=A[4][498]*y[498]+A[3][499]*y[499]+A[2][N-1]*y[N-1];b=sgn(h)*u[l];if((fabs(b-c)/fabs(b))<=1e-12){//printf("幂法成功！");//printf("\n");break;}c=b;}return b;}double fanmifa(double A[5][501])//反幂法{double u[501],y[501];double P[5][501],Y[501];//LU分解前用于保存A和y的值double m=0,n=0,b=0,c=0;int i,j;for(i=0;i<N;i++)//反幂法初始向量u[0]=1;while(1){b=0;n=0;for(i=0;i<N;i++)n=n+u[i]*u[i];n=sqrt(n);for(i=0;i<N;i++)y[i]=u[i]/n;for(i=0;i<N;i++)//保存A和y{Y[i]=y[i];for(j=0;j<5;j++){P[j][i]=A[j][i];}}LU(A,u,y);//LU分解法,会改变A，y，u的值（目的只需求出u）for(i=0;i<N;i++)//还原A和yy[i]=Y[i];for(j=0;j<5;j++){A[j][i]=P[j][i];}}for(i=0;i<N;i++)b=b+y[i]*u[i];if((fabs(b-c)/fabs(b))<=1e-12){//printf("反幂法成功！");//printf("\n");break;}c=b;}return 1/b;}。
特征方程的根与特征值的计算方法
特征方程的根与特征值的计算方法特征方程常常在矩阵计算和微分方程中出现。
在这两个重要的数学领域中，特征方程的使用是非常重要的。
对于矩阵问题，特征方程的解决有助于找到矩阵的特征值，而针对微分方程，它可以用来描述一个微分方程的稳定性。
在本篇文章中，我们将会介绍特征方程的根与特征值的计算方法。
一、特征方程的定义特征方程是指一个矩阵减去一个标量矩阵后的行列式，表示为det(A-λI)=0。
其中，A是一个n阶方阵，λ是一个标量，I是一个n 阶单位矩阵。
二、特征值与特征向量在特征方程中，一个标量λ称为矩阵A的特征值，而特征向量则是指矩阵A与它的特征值所对应的非零向量。
特征方程的根与特征值有很大的关联性，因为特征值就是特征方程的根。
三、特征方程的解法要求解特征方程，必须要先计算出它的根，也就是特征值。
一般来说，根据求解特征值的方式，可以将特征方程的计算方式分为以下两种：1. 直接求解根据特征方程的定义，即求出A-λI的行列式，并令其等于0。
这个过程中，λ相当于是一个未知的变量，因此该方程式是一个关于λ的一元多项式，而根据代数基本定理，不存在大于n阶的关于λ的一元多项式。
因此，该方程式的根的个数正好等于它的次数。
举个例子：对于一个2阶矩阵的特征方程det(A-λI)=0，可以列出一个2次的关于λ的一元多项式。
这个方程式的根有可能是实数，但也有可能是复数。
对于一个n阶矩阵来说，这个特征方程是一个n次的关于λ的一元多项式，它也有可能有实数根与复数根。
2. 利用迭代计算法求解以幂迭代法为例来说明。
Step 1：初始化随机生成一个n维向量x0，并将其归一化。
不妨先令i=0，然后执行以下的迭代计算法：Step 2：迭代求解i. 计算矩阵和向量的乘积。
y=Axiii. 求得y中的最大值yi和对应的下标iiii. 创建一个新的向量x，并计算x=1/yi*yiv. 计算向量x与扰动项之和的范数，并判断其是否已经收敛若范数小于一个给定的精度，则停止迭代计算法；反之，则转到Step 2并令i=i+1，继续循环迭代计算。
第八章 T矩阵
第八章 λ—矩阵一 内容概述 1 基本概念 1)λ— 矩阵 设p 是一个数域，λ是一个文字，则称以数域P 上λ的多项式作为元素的矩阵为λ—矩阵，记为 A （λ）,B(λ)等。
2)λ—矩阵的运算：加法，减法，乘法，数乘和转置等，伴随矩阵，行列式，λ—矩阵的秩。
可逆λ—矩阵，λ—矩阵的初等变换，λ—矩阵的等价。
3)行列式因子：设m*n 的 —矩阵A(λ)的秩为r ，对于正整数k,1≤k ≤r 在A(λ)中所有k 级子式的首项系数为1的最大公因式称为 A(λ) 的K 级行列式因子。
记为D K (λ). 4)—矩阵的标准形，不变因子()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0...0...21x r x x d d d r ≥1,d i (λ)(i=1,2….r )是首项系数为1的多项式且d i (λ)|d 1+i (λ)(i=1,2,…r -1)称为A(λ) 的标准形。
d 1(λ),d 2(λ),…d r (λ)称为A(λ) 的不变因子。
5)行列式因子与不变因子的关系：D K (λ)=d 1(λ)…d k (λ)k=1,2,…r. d 1(λ)=D 1(λ)d k (λ)=()()λλ1-K K D D K=2,3…r6)初等因子，设 A 与 n*n 矩阵，把A 的每个次数大于0不变因子分解成互不相同的一次因式之方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）称为A 的初等因子。
A 的初等因子和不变因子相互唯一决定。
7）若当标准形⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S J J J ...21 J i 为若当块 2. 矩阵等价的充分必要条件：设A ()λ与B ()λ都是s ⨯n 的λ--矩阵 则A ()λ≅B ()λ 〈=〉P ()λA ()λQ ()λ=B ()λ其中P ()λ和Q ()λ都是可逆矩阵A ()λ与B ()λ有相同的标准形 〈=〉A ()λ 与B ()λ有相同的行列式因子 〈=〉A ()λ与B ()λ有相同的不变因子3．矩阵相似的充分必要条件： 设A,B 都是n 阶方阵则 〈=〉λE-A ≅λE-B〈=〉A 与B 有相同的初等因子 〈=〉A 与B 有相同的不变因子〈=〉λE-A 与λE-B 有相同的标准形4矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件： （1） 有个线性无关的特征向量 （2） 初等因子全是一次的 （3） 最小多项式无重根5如何求矩阵A 的若当标准形。
第八章矩阵特征值
第八章矩阵特征值8.1特征值的定义在线性代数中，一个n阶方阵A的特征值（Eigenvalue）是指一个标量λ，使得下面的等式成立：Ax=λx其中x是一个非零的n维向量，被称为对应于特征值λ的特征向量（Eigenvector）。
特别地，一些情况下，我们有:AX=λX。
这是一个常见的特殊情况，被称为多重特征值（Multiple Eigenvalues）。
8.2特征值与特征向量的求解我们可以通过以下方式求解矩阵的特征值与特征向量。
1.设A是一个n阶方阵，特征值为λ，特征向量为X，我们有AX=λX。
2.将等式重写为AX–λX=0，再移项得到(A–λI)x=0。
3.构造(A–λI)矩阵，其中I是单位矩阵。
4.解方程组(A–λI)X=0，求解零空间的基础解系（基础特征向量）。
5.基础特征向量的线性组合即为所有特征向量。
8.3特征值的性质矩阵的特征值具有一些性质，包括：1.特征值的个数等于矩阵的阶数。
一个n阶矩阵A最多有n个不同的特征值。
2.特征值的乘积等于矩阵的行列式。
即特征值λ1，λ2，…，λn与矩阵A的特征多项式p(λ)=，A-λI，的系数关系为λ^n+a_{n-1}λ^(n-1)+…+a_1λ+a_0。
3.特征值的和等于矩阵的迹。
即矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn 满足λ1+λ2+…+λn=Tr(A)，其中Tr(A)为矩阵A的迹（对角线上元素之和）。
4.特征值与行列式的关系。
矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn都满足，A-λI，=0，即他们是矩阵A的特征方程的根。
8.4矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，将其转化为对角矩阵的过程。
对角化的主要目的是将矩阵的运算简化为对角矩阵的运算，从而更易于求解。
一个n阶方阵可以对角化的条件是它有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量数量等于A的阶数。
通过对角化，可以将矩阵A表示为：A=P^(-1)DP其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵，P的列向量是A的特征向量。
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D1 : 4 1, D2 : 2, D3 : 4 2.
由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并
集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一 个特征值λ1(为实特征值)，即
3 1 5.
A的其它两个特征值λ2, λ3包含在D2, D3的并集中.
A2m
,
Amm
n
其中每个对角块Aii均为方阵，则 ( A) ( Aii ) .
i 1
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定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵 P使B=P-1AP），则
⑴ A与B有相同的特征值； ⑵ 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量. 定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征 值不变. 定义2 如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ, 且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数< k，则A 称为亏损矩阵.
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定理8 (Gerschgorin圆盘定理) ⑴ 设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属 于下面某个圆盘之中
n
aii r i aij (i 1,2, .n) j 1 ji
或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中. ⑵ 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且
S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个
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定理2 设λi(i=1,2, ,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值，
则有
n
n
⑴ i aii tr( A) 称为A的迹；
i 1
i 1
⑵ A 12 n .
定理3 设A∈Rn×n，则有
( AT ) ( A) .
定理4 设A 为分块上三角矩阵，即
A11 A12
A
A22
A1m
1
1
1
x1 1, x2 0 , x3 2.
1
1
1
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下面叙述有关特征值的一些结论： 定理1 设λ为A∈Rn×n的特征值, 且Ax=λx (x0)， 则有 ⑴ cλ为的cA特征值(c≠0为常数)； ⑵ λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x ； ⑶ λk为Ak的特征值，即Akx=λkx ； ⑷ 设A为非奇异矩阵，那么λ≠0 , 且λ-1为A-1的特 征值，即A-1x=λ-1x .
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定理7(对称矩阵的正交约化) 设A∈Rn×n为对称
矩阵，则
⑴ A的特征值均
⑶ 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且λ1,λ2, ,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,
uj为A的对应于λj 的单位特征向量.
,un) 列向量
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定义1 ⑴ 已知n阶矩阵A=(aij)，则
a11
( ) det(I A) det
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
n (a11 a22 ann )n1 (次数 n 2的项)
称为A的特征多项式.
A的特征方程
( ) det(I A) 0
(1.1)
一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的
特征值. 用λ(A)表示A的所有特征值的集合.
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注：当A为实矩阵时， (λ)=0为实系数n次代数
方程，其复根是共轭成对出现.
⑵ 设λ为A的特征值，相应的齐次方程组
(I A)x 0
(1.2)
的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量.
一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.
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定理6 ⑴ A∈Rn×n可对角化，即存在非奇异矩
阵P使
1
P 1AP
2
,
n
的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
⑵ 如果A∈Rn×n有 m个 (m≤n) 不同的特征值 λ1,λ2, ,λm，则对应的特征向量 x1,x2, , xm 线性无 关.
第8章 矩阵特征问题的计算
• 8.1 引言 • 8.2 幂法及反幂法 • 8.3 豪斯霍尔德方法 • 8.4 QR方法
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8.1 引 言
工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分 析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特 征向量的问题.
下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础 知识.
例1 求A的特征值及特征向量，其中
2 1 0 A 1 3 1
0 1 2
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解 矩阵A的特征方程为
2 1 0
( ) det(I A) 1 3 1
0 1 2
3 72 14 8 ( 1)( 2)( 4) 0.
求得矩阵A的特征值为：
1, 2, 4.
对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：
特征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离
(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.
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证明 只就⑴给出证明. 设λ为A的特征值，即
Ax=λx，其中x=(x1,x2, , xn)T0.
记
xk
max
1 i n
xi
x 0 ，考虑Ax=λx的第k个
方程，即
n
akj x j xk ,
j 1
或
( akk )xk akj x j ,
jk
于是 即
akk xk akj x j xk akj ,
jk
jk
n
akk akj r k.
j 1
jk
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这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘
中，并且相应的特征值λ一定位于第k个圆盘中(其中k
是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标).
利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进
一步的估计，即适当选取非奇异对角阵
1 1
D1
1 2
,
1 n
并可做使相某似 些变 圆换 盘半D1径AD及连 ai通ji j性n发n.适生当变选化取. i (i 1,2, , n)
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例2 估计矩阵A的特征值范围，其中 4 1 0
A 1 0 1. 1 1 4
下面讨论矩阵特征值界的估计. 定义3 设n阶矩阵A=(aij)，令
n
⑴ r i aij (i 1,2, .n) ； j 1 ji
⑵ 集合Di z | z aii ri , z C (i 1,2, , n) 称
为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n 个Gerschgorin圆盘.