2018年高考数学(理)二轮复习 讲学案：考前专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题(含答案解析)

第3讲 圆锥曲线的综合问题

1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．

2．试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．

热点一 范围、最值问题

圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．

例1 (2017届日照模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，

左、右顶点分别为A ，B .以F 1F 2为直径的圆O 过椭圆E 的上顶点D ，直线DB 与圆O 相交得到的弦长为23

3.设点P ()a ，t ()t ≠0，连接PA 交椭圆于点C ，坐标原点为O .

(1)求椭圆E 的方程；

(2)若△ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求||t 的最小值．

解 (1)因为以F 1F 2为直径的圆O 过点D ，所以b ＝c ，则圆O 的方程为x 2

＋y 2

＝b 2

，又

a 2＝

b 2＋

c 2，

所以a ＝2b ，直线DB 的方程为y ＝－

2

2

x ＋b ， 直线DB 与圆O 相交得到的弦长为23

3

，

则2

b 2

－⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫

b

1＋122＝233，所以b ＝1, a ＝2，

所以椭圆E 的方程为x 2

2

＋y 2

＝1.

(2)由(1)得a ＝2， b ＝1，椭圆方程为x 2

2＋y 2

＝1，

设直线PA 的方程为y ＝

t

22

(x ＋2)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

2＋y 2

＝1，y ＝t

22(x ＋

2)，

整理得()4＋t 2

x 2

＋22t 2

x ＋2t 2

－8＝0，

解得x 1＝－2， x 2＝42－2t 2

4＋t

2

， 则点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫

42－2t 24＋t

2，4t 4＋t 2，

故直线BC 的斜率为k BC ＝－2

t ， 由于直线OP 的斜率为k OP ＝t

2

，

所以k BC ·k OP ＝－1， 所以OP ⊥BC .

所以S OBPC ＝1

2×||OP ×||BC ＝2||t 3

＋2t 4＋t

2， S △ABC ＝12

×22×

4||t 4＋t ＝42||

t 4＋t

， 所以42||t 4＋t 2≤2||

t 3

＋2t 4＋t 2

， 整理得2＋t 2

≥4，||t ≥2，

所以||t min ＝ 2.

思维升华 解决范围问题的常用方法

(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．

跟踪演练1 (2017届福建省宁德市质检)已知抛物线C ：y 2

＝2px (p >0)上的点M ()x 0，y 0到点N ()2，0距离的最小值

为 3.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)若x 0>2，圆E ：()x －12

＋y 2

＝1，过M 作圆E 的两条切线分别交y 轴于A ()0，a ，B ()0，b 两点，求△MAB 面积的

最小值． 解 (1)∵||MN ＝()x 0－22＋()y 0－02，

又∵y 2

0＝2px 0，

∴||MN 2

＝x 2

0－4x 0＋4＋2px 0＝x 2

0－2()2－p x 0＋4

＝[]x 0－()2－p 2

＋4－()2－p 2

.

∵x 0≥0，∴当2－p ≤0，即p ≥2时， ||MN min ＝2，不符合题意，舍去；当2－p >0，即0

＝3， ∴()2－p 2

＝1，∴p ＝1或p ＝3(舍去)，∴y 2

＝2x .

(2)由题意可知， k MA ＝

y 0－a x 0，∴直线MA 的方程为y ＝y 0－a

x 0

x ＋a ，即()y 0－a x －x 0y ＋ax 0＝0， ∴1＝

||

()y 0

－a ＋ax 0

()y 0－a 2

＋x

2

，

∴()y 0－a 2

＋x 2

0＝||y 0－a ＋ax 02

，整理得

a 2()x 0－2＋2ay 0－x 0＝0，同理

b 2()x 0－2＋2by 0－x 0＝0, ∴a ，b 为方程()x 0－2x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根， ∴a ＋b ＝

－

2y 0x 0－2，ab ＝－x 0

x 0－2

， ∴||a －b ＝()a ＋b 2

－4ab ＝

2||

x 0||

x 0－2.

∵x 0>2，

∴S △MAB ＝12||a －b ·||x 0＝x 2

0x 0－2＝x 2

0－4＋4

x 0－2

＝x 0＋2＋4

x 0－2

＝x 0－2＋

4

x 0－2

＋4≥8， 当且仅当x 0＝4时，取最小值8. 热点二 定点、定值问题

1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．

2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．

例2 (2017·长沙市长郡中学模拟)已知抛物线E ：y 2

＝4x 的准线为l ，焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O ，F ，且与l 相切的圆的方程；

(2)过F 的直线交抛物线E 于A ，B 两点，A 关于x 轴的对称点为A ′，求证：直线A ′B 过定点． (1)解 抛物线E ：y 2

＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1， 焦点坐标为F (1,0)，设所求圆的圆心C 为(a ，b )，半径为r, ∵圆C 过O ，F ，∴a ＝1

2，

∵圆C 与直线l ：x ＝－1相切， ∴r ＝12－()－1＝32.

由r ＝||CO ＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫122＋b 2＝32，得b ＝± 2.