6、随机问题

，则称这两个随机变量不相关，否则称它们是相关的。
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E ( X − m X )(Y − mY ) =0
Lecture Notes 6
2004/9/06
两个随机变量 X、Y 相关的实质是说它们包含了一个共同的随机分量。 令 X = aZ + Z1 ， Y = bZ + Z 2 ，其中 Z , Z1 , Z 2 这三个随机变量两两不相关，则 X、Y 都 包含了 Z 这个随机成分。记 Z , Z1 , Z 2 的期望分别为： m, m1 , m2 ，则
函数的数学期望：
1 lim E f ( x ) = ∫ f ( x ) p ( x ) dx = N →∞ N
∑f x ( k )
k =1
N
2 2 E ( X − mX ) E X E X [ ] 、…… 、方差 、 数值特征：
三 相关与独立
对于两个随机变量 X、Y，两个单独的一维分布不足以描述清楚它们之间的关系，所以需要 二维分布。二维分布描述
P X ,Y = P X P Y
相关一定不独立：若 X、Y 包括一个共同的随机因素 Z，说明致使 Z 发生的原因也对 X、Y 的结果起到了作用； 独立一定不相关：如果 X、Y 的发生原因没有任何联系，它们自然不包含公共的随机成分。 不相关未必不独立： 不包含公共的随机分量， 未必表示这两个随机变量没有共同的发生原因， 例如设 X 是均匀分布在
就是说，如果不相关的话，有可能都包含常数，但肯定不会包含共同的随机分量。把这个常 数因素排除，则相关运算的结果为 0 就是不相关，协方差（covariance）就是在这样做。
) ( ) ( ) 。独立的实质含义是说 X、Y 的发生没有 两个随机变量独立是说： ( 原因上的联系，如果不独立则表明有一个共同的因素对 X、Y 的结果有影响。
2 E [ XY ] = abE Z + bm1m + am2 m + m1m2
E [ X ] E [Y ] = ab {E [ Z ]} + bm1m + am2 m + m1m2
2 2 E XY ] = E [ X ] E [Y ] 意味着 E Z = { E [ Z ]} ， 所以 [ 即 Z 的方差为 0， 即 Z 是非随机的。 2
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2004/9/06
随机ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
随机性表示事物有多种可能性。对于这样的事情，我们是通过可能性（Probability）和期望 （Expectation）来把握的。本章谈论这方面的一些数学工具。
一 概率空间
{Ω, F , P} ： Ω 是所有样本的集合，事件是一些样本的集合，F 是所有可以谈论概率的事件 P : F → [0,1] 是定义在 F 上的函数， 的集合， 概率 此函数满足可加性： 即对于不相交的 A1 、 A2 有 P ( A1 ∪ A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) ，另外 P ( Ω ) = 1 。
二 数学期望
E [ X ] = ∑ xi P ( X = xi ) = lim
n
1 N →∞ N
∑ x (k )
k =1
N
后一个等号表示统计意义下的数学期望。符号 xi 表示 X 的样本空间 Ω 中的第 i 种结果。
x ( k ) 表示第 k 次实验的结果。
对于连续随机变量：
P ( X = xi ) = p ( xi ) dx ，于是 E [ X ] = ∫ xp ( x ) dx
( x, y ) 的各种可能取值的出现情况。
两个随机变量之间的关系体现在相关这种运算中：
E [ XY ] = ∑ xi yi P ( xi , yi )
k
E [ XY ] = ∫ p ( x, y ) xydxdy
如果相关运算的结果
E [ XY ] = E [ X ] E [Y ] ，或者如果协方差
[ 0, 2π ] 上的随机变量， Y1 = sin X 、 Y2 = cos X 这两个随机变量
E [Y1Y2 ] = E [sin X cos X ] = 1 E [sin 2 X ] = 0 2 。
显然不独立，可以验证它们不相关：
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