高考2019版二轮复习数学 基础送分专题三 不等式
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基础送分专题三 不等式
[题组练透]
1.(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)设a >b ,a ,b ,c ∈R ,则下列式子正确的是( )
A .ac 2>bc 2 B.a
b >1 C .a -
c >b -c
D .a 2>b 2
解析:选C 若c =0,则ac 2=bc 2,故A 错;若b <0,则a
b <1,故B 错;不论
c 取何值,都有a -c >b -c ,故C 正确;若a ,b 都小于0,则a 2<b 2,故D 错.于是选C.
2.已知关于x 的不等式(ax -1)(x +1)<0的解集是(-∞,-1)∪⎝⎛⎭⎫-1
2,+∞,则a =( )
A .2
B .-2
C .-1
2
D.12
解析:选B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知-1,-1
2是一元二次方程ax 2
+(a -1)x -1=0的两个根,所以-1×⎝⎛⎭⎫-12=-1
a
,所以a =-2. 3.设p :x 2
-x -20>0,q :1-x 2
|x |-2
<0,则p 是q 的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
解析:选A p :由x 2
-x -20>0,解得x >5或x <-4.q :由1-x 2
|x |-2<0⇒(1-x 2)(|x |-2)<0,
当x ≥0时,可化为(x +1)(x -1)(x -2)>0,解得0≤x <1或x >2.
当x <0时,可化为(x -1)(x +1)(x +2)<0,解得-1<x <0或x <-2,故1-x 2
|x |-2<0的解为x <
-2或-1<x <1或x >2,所以由p ⇒q ,但q
p ,故选A.
4.若不等式(a 2-4)x 2+(a +2)x -1≥0的解集是空集,则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫-2,65 B.⎣⎡⎭⎫-2,6
5 C.⎣
⎡⎦⎤-2,65 D.⎣
⎡⎭⎫-2,6
5∪{2}
解析:选B 当a 2-4=0时,解得a =2或a =-2,当a =2时,不等式可化为4x -1≥0,解集不是空集,不符合题意;当a =-2时,不等式可化为-1≥0,此式不成立,解集为空
集.当a 2
-4≠0时,要使不等式的解集为空集,则有⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
-4<0,Δ=(a +2)2+4(a 2
-4)<0,解得 -2<a <6
5
.综上,实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫-2,65,故选B. 5.若不等式x 2+ax -2>0在区间[1,5]上有解,则a 的取值范围是________.
解析:由Δ=a 2+8>0,知方程x 2+ax -2=0恒有两个不等实数根,又知两根之积为负,所以方程x 2+ax -2=0必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0,解得a >-
23
5
,故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-235,+∞. 答案:⎝⎛⎭
⎫-23
5,+∞ [题后悟通]
[题组练透]
1.(2019届高三·重庆调研)若实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x +y -3≥0,2x -y -3≤0,
y -2≤0,则z =2x +y 的
最小值为( )
A .3
B .4
C .5
D .7
解析:选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线2x +y =0并平移该直线,易知当直线经过点A (1,2)时,目标函数z =2x +y 取得最小值,且z min =2×1+2=4,故选B.
2.(2018·广州测试)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x -y +2≥0,2y -1≥0,
x -1≤0,则z =x 2+2x +y 2的最小值
为( )
A.1
2 B.14
C .-12
D .-3
4
解析:选D 画出约束条件对应的平面区域,如图中阴影部分所
示,目标函数z =x 2+2x +y 2=(x +1)2+y 2-1的几何意义是平面区域内的点到定点(-1,0)的距离的平方再减去1,观察图形可得,平面区域内的点到定点(-1,0)的距离的最小值为12,故z min =14-1=-3
4
.
3.(2019届高三·湖北八校联考)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ,x +y ≤2,
2x -y ≥m ,若z =x +2y 的
最大值为4,则实数m 的值为( )
A .-4
B .-2
C .-1
D .1
解析:选B 作出约束条件所对应的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知直线z =x +2y 过A 点时z 取得最大值4,
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x +y =2,
x +2y =4,得A (0,2),所以m =2×0-2=-2.
4.(2018·合肥质检)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A ,B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时,生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时.A ,B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为( )
A .320千元
B .360千元
C .400千元
D .440千元
解析:选B 设生产甲产品x 件,生产乙产品y 件,利润为z 千元,则⎩⎪⎨⎪
⎧
2x +3y ≤480,6x +y ≤960,
x ,y ∈N *,
每月利润z =2x +y ,作出不等
式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x +y =0,平移该直线,当直线经过直线2x +3y =480与直线6x +y =960的交点(150,60)时,z 取得最大值,为360.
5.(2018·全国卷Ⅰ)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x -2y -2≤0,x -y +1≥0,
y ≤0,则z =3x +2y 的最大值为
________.
解析:作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示. 由z =3x +2y ,得y =-3
2x +z 2.
作直线l 0:y =-3
2
x .
平移直线l 0,当直线y =-3
2x +z 2过点(2,0)时,
z 取最大值,z max =3×2+2×0=6. 答案:6
[题后悟通]
[题组练透]
1.已知正数a ,b 的等比中项是2,且m =b +1a ,n =a +1
b ,则m +n 的最小值是( )
A .3
B .4
C .5
D .6
解析:选C 由正数a ,b 的等比中项是2,可得ab =4,又m =b +1a ,n =a +1
b ,所以
m +n =a +b +1a +1b ≥2ab +2
ab =5,当且仅当a =b =2时取“=”,故m +n 的最小值为
5.
2.已知P (a ,b )为圆x 2+y 2=4上任意一点,则当1a 2+4
b 2取最小值时,a 2的值为( )
A.45 B .2 C.43
D .3
解析:选C ∵P (a ,b )为圆x 2+y 2=4上任意一点,∴a 2+b 2=4.又a ≠0,b ≠0,∴1
a
2+
4b 2=14⎝⎛⎭⎫1a 2+4b 2·(a 2+b 2)=14⎝⎛⎭⎫5+b 2a 2+4a 2
b 2≥14⎝
⎛⎭⎫5+2b 2a 2·4a 2b 2=94
,当且仅当b 2=2a 2=8
3时取等号,故a 2=4
3
,选C.
3.设x >0,则函数y =x +22x +1-3
2的最小值为________.
解析:y =x +
22x +1-32=⎝⎛⎭
⎫x +12+1x +12-2≥2-2=0.当且仅当x +12=1x +12
,即x =12时
等号成立.
答案:0
4.(2018·石家庄质检)已知直线l :ax +by -ab =0(a >0,b >0)经过点(2,3),则a +b 的最小值为________.
解析:因为直线l 经过点(2,3), 所以2a +3b -ab =0, 即3a +2
b =1,
所以a +b =(a +b )⎝⎛⎭⎫3a +2b =5+3b a +2a b ≥5+26,当且仅当3b a =2a b ,即a =3+6,b =2+6时等号成立.
答案:5+2 6
5.(2018·洛阳统考)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛),他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a ,b 满足a ,G ,b 成等差数列且x ,G ,y 成等比数列,则1a +4
b
的最小值为________.
解析:由甲班学生成绩的中位数是81,可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数,故x =1.由乙班学生成绩的平均数为86,可得(-10)+(-6)+(-4)+(y -6)+5+7+10=0,解得y =4.由x ,G ,y 成等比数列,可得G 2=xy =4,由正实数a ,b 满足a ,G ,b 成等差数列,可得G =2,a +b =2G =4,所以1a +4b =14⎝⎛⎭⎫
1a +4b ·(a +b )=
14⎝⎛⎭⎫1+b a +4a b +4≥14×(5+4)=94(当且仅当b =2a 时取等号).故1a +4b 的最小值为94
.
答案:9
4
[题后悟通]
[专题过关检测] 一、选择题
1.已知不等式x 2-2x -3<0的解集为A ,不等式x 2+x -6<0的解集为B ,不等式x 2
+ax +b <0的解集为A ∩B ,则a +b =( )
A .1
B .0
C .-1
D .-3
解析:选D 由题意得,不等式x 2-2x -3<0的解集A =(-1,3),不等式x 2+x -6<0的解集B =(-3,2),所以A ∩B =(-1,2),即不等式x 2+ax +b <0的解集为(-1,2),所以a =-1,b =-2,所以a +b =-3.
2.若x >y >0,m >n ,则下列不等式正确的是( ) A .xm >ym B .x -m ≥y -n C.x n >y m
D .x >xy
解析:选D A 不正确,因为同向同正不等式相乘,不等号方向不变,m 可能为0或负数;B 不正确,因为同向不等式相减,不等号方向不确定;C 不正确,因为m ,n 的正负不确定.故选D.
3.已知a ∈R ,不等式x -3
x +a ≥1的解集为p ,且-2∉p ,则a 的取值范围为( )
A .(-3,+∞)
B .(-3,2)
C .(-∞,2)∪(3,+∞)
D .(-∞,-3)∪[2,+∞)
解析:选D ∵-2∉p ,∴-2-3
-2+a
<1或-2+a =0,解得a ≥2或a <-3.
4.(2018·成都一诊)若关于x 的不等式x 2+2ax +1≥0在[0,+∞)上恒成立,则实数a 的取值范围为( )
A .(0,+∞)
B .[-1,+∞)
C .[-1,1]
D .[0,+∞)
解析:选B 法一:当x =0时,不等式为1≥0恒成立;
当x >0时,x 2+2ax +1≥0⇒2ax ≥-(x 2+1)⇒2a ≥-⎝⎛⎭⎫x +1x ,又-⎝⎛⎭⎫x +1
x ≤-2,当且仅当x =1时取等号,所以2a ≥-2⇒a ≥-1,所以实数a 的取值范围为[-1,+∞).
法二:设f (x )=x 2+2ax +1,函数图象的对称轴为直线x =-a .
当-a ≤0,即a ≥0时,f (0)=1>0,所以当x ∈[0,+∞)时,f (x )≥0恒成立; 当-a >0,即a <0时,要使f (x )≥0在[0,+∞)上恒成立,需f (-a )=a 2-2a 2+1=-a 2+1≥0,得-1≤a <0.综上,实数a 的取值范围为[-1,+∞).
5.已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2-ax ,x >0,
2x -1,x ≤0,若不等式f (x )+1≥0在R 上恒成立,则实数a 的
取值范围为( )
A .(-∞,0)
B .[-2,2]
C .(-∞,2]
D .[0,2]
解析:选C 由f (x )≥-1在R 上恒成立,可得当x ≤0时,2x -1≥-1,即2x ≥0,显然成立;又x >0时,x 2
-ax ≥-1,即为a ≤x 2+1x =x +1x ,由x +1
x ≥2
x ·1x =2,当且仅
当x =1时,取得最小值2,可得a ≤2,综上可得实数a 的取值范围为(-∞,2].
6.若1a <1b <0,给出下列不等式:①1a +b <1ab ;②|a |+b >0;③a -1a >b -1
b ;④ln a 2>ln b 2.
其中正确的不等式的序号是( )
A .①④
B .②③
C .①③
D .②④
解析:选C 法一:因为1a <1
b <0,故可取a =-1,b =-2.显然|a |+b =1-2=-1<0,
所以②错误;因为ln a 2=ln(-1)2=0,ln b 2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误,综上所述,可排除A 、B 、D ,故选C.
法二:由1a <1
b <0,可知b <a <0.
①中,因为a +b <0,ab >0,所以1a +b <1
ab
,故①正确;
②中,因为b <a <0,所以-b >-a >0,故-b >|a |,即|a |+b <0,故②错误; ③中,因为b <a <0,又1a <1b <0,则-1a >-1b >0,所以a -1a >b -1
b
,故③正确;
④中,因为b <a <0,根据y =x 2在(-∞,0)上为减函数,可得b 2>a 2>0,而y =ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b 2>ln a 2,故④错误.
由以上分析,知①③正确.
7.(2018·长春质检)已知x >0,y >0,且4x +y =xy ,则x +y 的最小值为( ) A .8 B .9 C .12
D .16
解析:选B 由4x +y =xy ,得4y +1
x =1,则x +y =(x +y )⎝⎛⎭⎫4y +1x =4x y +y x +1+4≥24+5=9,当且仅当4x y =y
x ,即x =3,y =6时取“=”,故选B.
8.如果实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x +y -3≤0,x -2y -3≤0,
x ≥1,目标函数z =kx -y 的最大值为6,
最小值为0,则实数k 的值为( )
A .1
B .2
C .3
D .4
解析:选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示. 则A (1,2),B (1,-1),C (3,0), 因为目标函数z =kx -y 的最小值为0,
所以目标函数z =kx -y 的最小值可能在A 或B 处取得, 所以若在A 处取得,则k -2=0,得k =2,此时,z =2x -y 在C 点有最大值,z =2×3-0=6,成立;
若在B 处取得,则k +1=0,得k =-1,此时,z =-x -y , 在B 点取得最大值,故不成立,故选B.
9.(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )
A .15万元
B .16万元
C .17万元
D .18万元 解析:选D 设生产甲产品x 吨,乙产品y 吨,获利润z 万元,由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧
3x +2y
≤12
,
x +2y ≤8,
x ≥0,
y ≥0,
z =3x +4y ,作出不等式组所
表示的可行域如图中阴影部分所示,直线z =3x +4y 过点M 时取得最大值,
由⎩⎪⎨⎪⎧
3x +2y =12,x +2y =8,得⎩
⎪⎨⎪⎧
x =2,
y =3,∴M (2,3),
故z =3x +4y 的最大值为18,故选D.
10.已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x -y +5≥0,x +y ≥0,
x ≤3,若y ≥kx -3恒成立,则实数k 的取
值范围是( )
A.⎣⎡⎦
⎤-11
5,0 B.⎣
⎡⎦⎤0,11
3 C .(-∞,0]∪⎣⎡⎭
⎫11
5,+∞ D.⎝
⎛⎦⎤-∞,-11
5∪[0,+∞) 解析:选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x -y +5≥0,x +y ≥0,
x ≤3
作出可行域如图中阴影分部所示,
则A ⎝⎛⎭⎫-52,5
2,B (3,-3),C (3,8), 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
-3≥3k -3,52≥-5
2k -3, 解得-11
5
≤k ≤0.
所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-11
5,0. 11.若两个正实数x ,y 满足13x +3
y =1,且不等式x +y 4-n 2-13n 12
<0有解,则实数n 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫-25
12,1 B.⎝⎛⎭⎫-∞,-25
12∪(1,+∞) C .(1,+∞)
D.⎝
⎛⎭⎫-∞,-2512 解析:选B 因为不等式x +y 4-n 2-13n
12<0有解,
所以⎝⎛⎭⎫x +y 4min <n 2+13n
12, 因为x >0,y >0,且
13x +3
y
=1, 所以x +y 4=⎝⎛⎭⎫x +y 4⎝⎛⎭⎫13x +3y =1312+3x y +y 12x ≥1312+2 3x y ·y 12x =
2512,
当且仅当3x y =y 12x ,即x =5
6
,y =5时取等号,
所以⎝⎛⎭⎫x +y 4min =2512
, 故n 2+13n 12-2512>0,解得n <-2512
或n >1, 所以实数n 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫-∞,-2512∪(1,+∞). 12.(2019届高三·福州四校联考)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +y -3≤0,2x -2y -1≤0,
x -a ≥0,
其中a >0,
若x -y x +y
的最大值为2,则a 的值为( ) A.12
B.14
C.38
D.59 解析:选C 设z =x -y x +y ,则y =1-z 1+z x ,当z =2时,y =-13x ,
作出x ,y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +y -3≤0,2x -2y -1≤0,
x -a ≥0所表示的平面区域如
图中阴影部分所示,作出直线y =-13
x ,易知此直线与区域的边界线2x -2y -1=0的交点为⎝⎛⎭⎫38,-18,当直线x =a 过点⎝⎛⎭⎫38,-18时,a =38,又此时直线y =1-z 1+z
x 的斜率1-z 1+z 的最小值为-13,即-1+2z +1
的最小值为-13,即z 的最大值为2,符合题意,所以a 的值为38
,故选C. 二、填空题
13.(2018·岳阳模拟)不等式3x -12-x
≥1的解集为________. 解析:不等式3x -12-x ≥1可转化成3x -12-x -1≥0,即4x -32-x
≥0, 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (4x -3)(x -2)≤0,2-x ≠0,
解得34≤x <2, 故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2. 答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
34≤x <2
14.(2018·全国卷Ⅱ)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x +2y -5≥0,x -2y +3≥0,
x -5≤0,
则z =x +y 的最大值为________.
解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所
示.由图可知当直线x +y =z 过点A 时z 取得最大值.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x =5,x -2y +3=0得点A (5,4),∴z max =5+4=9. 答案:9
15.已知关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为xx <-1或x >12
,则关于x 的不等式c (lg x )2+lg x b +a <0的解集为________.
解析:由题意知-1,12
是方程ax 2+bx +c =0的两根, 所以⎩⎨⎧ -12=-b a ,
-12=c a ,
且a <0, 所以⎩⎨⎧
b =12a ,
c =-12a . 所以不等式c (lg x )2+lg x b +a <0化为
-12
a (lg x )2+
b lg x +a <0, 即-12a (lg x )2+12
a lg x +a <0. 所以(lg x )2-lg x -2<0,
所以-1<lg x <2,所以
110<x <100. 答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |
110<x <100 16.设x >0,y >0,且⎝⎛⎭⎫x -1y 2=16y x ,则当x +1y 取最小值时,x 2+1y 2=________. 解析:∵x >0,y >0,∴当x +1y 取最小值时,⎝⎛⎭⎫x +1y 2取得最小值,∵⎝⎛⎭⎫x +1y 2=x 2+1y 2+2x y ,⎝⎛⎭⎫x -1y 2=16y x ,∴x 2+1y 2=2x y +16y x ,⎝⎛⎭⎫x +1y 2=4x y +16y x ≥2 4x y ·16y x =16,∴x +1y ≥4,
当且仅当4x y =16y x ,即x =2y 时取等号,∴当x +1y 取最小值时,x =2y ,x 2+1y 2+2x y =16,即x 2+1y 2+2×2y y =16,∴x 2+1y 2=16-4=12. 答案:12。