11.5一次函数改1
一次函数解决问题步骤总结
一次函数是一种线性函数，其一般形式为y=kx+b（其中k 和 b 为常数，x 为自变量，y 为因变量）。
解决一次函数问题的步骤如下：确定问题中的变量和常量：首先需要确定问题中涉及到哪些变量和常量。
1.建立函数关系式：根据已知条件，建立变量之间的函数关系式，
即一次函数的一般形式y=kx+b。
2.求解函数中的未知量：如果函数关系式中存在未知量，可以通过
已知条件求解未知量。
例如，如果已知函数的截距b，可以通过代入x=0 求解y 值。
3.分析函数的性质：根据函数关系式，可以分析函数的性质，如斜
率k、截距b、函数的单调性、奇偶性等。
4.解决问题：根据函数的性质和已知条件，解决问题。
例如，可以
通过函数的单调性判断函数的增减性，从而解决最值问题；可以通过函数的截距和斜率判断函数的图像与坐标轴的交点，从而解决几何问题。
5.检验答案：最后需要检验答案是否符合实际情况和已知条件。
需要注意的是，在解决一次函数问题时，需要注意函数的定义域和取值范围，以及函数的图像和性质。
同时，需要灵活运用数学方法和技巧，如代入法、消元法、配方法等，以便更好地解决问题。
11.5 一次函数和它的图像
11.5《一次函数和它的图像》导学案备课人 赵春杰一、学习目标1.理解一次函数和正比例函数的概念，会画一次函数的图像。
2.能根据一次函数的图像和函数关系式y=kx+b(k ≠0)理解一次函数的性质。
二、学习过程 /i?ct=503316480&z=0&tn=baiduimagedetail&cl=2&cm=1&sc=0&lm=-1&fr=ala2&pn=1&rn=1&di=162271322400&ln=1929&word=%D2%BB%B4%CE%BA%AF%CA%FD%BA %CD%CB%FC%B5%C4%CD%BC%CF%F11.函数y=x-1,y= -x+2,y=2x-1,y= -3x-1,S=1000+110t.这些函数关系式有什么特点？2、画出下列函数的图像 并观察函数的图像，说明当自变量x 由小变大时，函数值y 有什么变化？ （1）y=x (2)y=x+2 (3)y=x-2 (4)y=-x (5)y=-x+2 (6)y=-x-23、画一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像有什么简单方法吗？题组一1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例额函数？（1）y= -21x (2) y= -x 2 (3)y= -3-5x (4) y= -5x 2 (5) y=6x-212.已知函数y=kx+2,当x=5时，y 值为10，求k 的值。
3.关于x 的函数y=(m-1)x m+n-3（1）m 和n 取何值时是关于x 的一次函数。
（2）m和n取何值时是关于x的正比例函数。
题组二1、函数y=-2x+8与x轴的交点坐标是（，0），与y轴的交点坐标是（0，），y随x的增大而。
2、对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______。
3、函数y=2x－1经过象限，函数y=-2x+3经过象限。
4、下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A . y= —x+3B .y= 0.5x—8 C. y=7x—6 D. y=2x+55、正比例函数y= —0.25x的图像经过第象限，y随x的增大而。
一次函数的应用和移动
一.曲线的移动——一次函数函数图像的移动规律：若把一次函数解析式写成y=k（x+a）+b ，则用下面后的口诀；“左右平移在括号,上下平移在末稍,左加右减须记牢,上正下负错不了”。
二.实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法2.1确定解析式的几种方法：2.1.1根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题；（直表法）2.1.2已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式；（待定系数法）2.1.3利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；（等是变形法）2.2重点题型2.2.1根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想；2.2.2运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题2.3根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题。
例1某实验中学组织学生到距学校6千米的光明科技馆去参观，学生王琳因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准为：3千米以下（含3千米）收费8元，3千米以上，每增加1千米，收费1.8元。
（1）写出出租车行驶的里程数x与费用y之间的解析式。
（2）王彬身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。
例2某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；（2）对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．例3某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。
一次函数知识点总结9篇
一次函数知识点总结9篇第1篇示例：一次函数是初中阶段数学学习的重要内容之一。
它是一种最简单的线性函数，也是数学中最基础的函数之一。
一次函数的定义是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k和b为常数，且k≠0。
一次函数的图象是一条直线，因此也被称为线性函数。
下面将从定义、性质、图象、应用等几个方面，对一次函数进行总结。
一、定义：一次函数y=kx+b是一种形式简单的线性函数，其中k 和b是常数且k≠0。
其中k称为斜率，b称为截距。
斜率代表了函数图象的倾斜程度，正数表示向上倾斜，负数表示向下倾斜；截距表示了函数与y轴的交点位置，即当x=0时，函数值为b。
一次函数的自变量x的最高次数为1。
三、图象：一次函数的图象是一条直线，因此也称为线性函数。
直线的斜率决定了图象的倾斜方向，截距决定了图象与y轴的交点位置。
当斜率为正时，图象右上倾斜；当斜率为负时，图象右下倾斜。
当截距为正时，图象在y轴上方；当截距为负时，图象在y轴下方。
四、应用：一次函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如工资和工作时间的关系，距离和时间的关系等等都可以用一次函数来表示。
在经济学中，一次函数也有着重要的应用，如成本和产量的关系、供求关系等。
一次函数的应用范围十分广泛，在生活中随处可见。
一次函数是数学中最基础的函数之一，了解一次函数的性质和图象能够帮助我们更好地理解和应用各种函数。
在学习数学中，学好一次函数是至关重要的一步，也为后续学习更高阶函数和解决实际问题打下了坚实基础。
希望通过本文的总结，能够对一次函数有更深入的了解和应用。
第2篇示例：一次函数是初中数学中的一个基础知识点，也是数学学习的入门部分。
对于学生来说，掌握一次函数的相关知识，不仅可以帮助他们更好地理解数学知识，更可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
接下来我们就来总结一下一次函数的相关知识点。
一、定义：在数学中，一次函数是指一个函数，其定义域是实数集合，且函数表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为实数，且k不等于零。
一次函数知识点总结
一次函数知识点总结一次函数是数学中非常重要的一个概念，它在解决实际问题和数学理论中都有着广泛的应用。
下面我们就来详细总结一下一次函数的相关知识点。
一、一次函数的定义一般地，形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。
当 b ＝ 0 时，即 y ＝ kx（k 为常数，k ≠ 0），这时称 y 是 x的正比例函数。
这里要注意的是，一次函数的表达式中，x 的次数为 1，且系数 k不能为 0。
如果 x 的次数不是 1 或者 k 为 0，那就不是一次函数。
二、一次函数的图像一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升；当 k ＜ 0 时，直线从左到右下降。
b 的值决定了直线与 y 轴的交点。
当 b ＞ 0 时，直线与 y 轴交于正半轴；当 b ＜ 0 时，直线与 y 轴交于负半轴；当 b ＝ 0 时，直线经过原点。
例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1，k ＝ 2 ＞ 0，直线上升，b ＝ 1 ＞ 0，与 y 轴交于正半轴。
三、一次函数的性质1、当 k ＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，y 随 x 的增大而减小。
2、直线 y ＝ kx ＋ b 与 x 轴的交点坐标为（ b ／ k ，0 ）。
四、一次函数的解析式的确定通常我们可以使用待定系数法来确定一次函数的解析式。
具体步骤如下：1、设出一次函数的解析式 y ＝ kx ＋ b 。
2、根据已知条件列出关于 k、b 的方程组。
3、解方程组，求出 k、b 的值。
例如，已知一次函数经过点（1，3）和（ 1， 1），设解析式为 y ＝ kx ＋ b，将两点坐标代入可得：＼＼begin{cases}k ＋ b ＝ 3 ＼＼k ＋ b ＝ 1＼end{cases}＼解这个方程组，可得 k ＝ 2，b ＝ 1，所以解析式为 y ＝ 2x ＋ 1 。
五、一次函数与方程、不等式的关系1、一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像与 x 轴的交点的横坐标，就是方程kx ＋ b ＝ 0 的解。
初中数学_11.5 一元一次不等式与一次函数(1)教学设计学情分析教材分析课后反思
11.5《一元一次不等式与一次函数（1）》教学设计教学目标：知识与技能：了解一元一次不等式与一次函数的关系，会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。
过程与方法：通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.训练学生能利用数学知识去解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点：通过观察函数图象确定不等式的解集。
教学难点：利用一次函数和不等式之间的关系解决实际问题.教学过程：第一环节：情境引入，明确目标（2分钟，学生做好探究新知的准备）上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？出示学习目标，做到有的放矢。
第二环节：知识准备。
1.什么是一次函数？它的图象是什么？2.一次函数与x轴、y轴的交点坐标是什么？3.函数y=2x-5与x轴的交点是，与y轴的交点是；画出它的图象。
第三环节：活动探究、合作学习（23分钟，教师引导学生新旧知识融合，小组探究、全班交流）导探激励问题一1.作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.（1）x取哪些值时，2x－5=0? （2）x取哪些值时，2x－5＞0? （3）x取哪些值时，2x－5＜0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3?（通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。
）（1）当y =0时，2x －5=0,∴x =25, ∴当x =25时，2x －5=0. （2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件，当y =0时，则有2x －5=0,解得x =25.当x ＞25时，由y =2x －5可知 y ＞0.因此当x ＞25时，2x －5＞0; （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0; （4）要使2x －5＞3,也就是y =2x －5中的y 大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （4，3），则当x ＞4时，有2x －5＞3.2.想一想如果y =－2x －5,那么当x 取何值时，y ＞0?首先要画出函数y=-2x-5的图象，如图：从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0,得x =－2.5,所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0。
一次函数的知识点总结
一次函数的知识点总结一次函数（亦称为一元一次方程）是数学中的一种基础概念，被广泛应用于各个领域。
它是解决实际问题、建立模型的重要工具之一。
通过对一次函数的知识点的总结和理解，我们可以更好地掌握它的应用与运用。
一次函数的一般形式是y = ax + b，其中a和b是常数。
在这个式子中，x是自变量，y是因变量，a是斜率，b是截距。
通过这个式子，我们可以解读出函数的几个重要信息。
首先，斜率a决定了函数图像的倾斜程度。
当a为正数时，函数图像从左下向右上倾斜；当a为负数时，图像则从左上向右下倾斜。
斜率a的绝对值越大，图像的倾斜程度就越大；反之，绝对值越小，则倾斜越缓和。
其次，截距b代表了函数图像与y轴的交点，也是函数图像在x轴上的截距。
当b为正数时，图像在y轴上方与其相交；当b为负数时，则在y轴下方与其相交。
截距b的绝对值越大，函数图像与y轴的交点就越偏离原点。
在了解了一次函数的一般形式后，我们可以进一步深入研究它的性质和运用。
一次函数的性质之一是它的图像总是一条直线。
这是因为在一次函数中，x和y之间的关系是线性的，即y随着x的增加而按同样的比例增加或减少。
另一个重要的性质是一次函数的图像是无限延伸的。
无论我们选择什么样的x值，总能找到一个相应的y值来满足函数关系。
这也与实际问题的建模有关，我们可以根据函数的性质去逼近或预测实际数据。
一次函数在实际问题中的应用十分广泛。
例如，在经济学中，我们可以使用一次函数来建立供需关系模型，通过斜率和截距的分析，得出产品价格和销售数量之间的关系。
在物理学中，一次函数可以描述物体的匀速直线运动，通过斜率可以计算速度大小。
在工程学领域，一次函数可以用来描述材料的线性关系，通过截距可以计算起始值。
在解决实际问题时，我们可以利用一次函数的性质进行分析推理。
例如，如果我们知道函数的图像经过两个点，我们可以利用这两个点的坐标来确定函数的斜率和截距。
这个过程被称为解方程，可以通过代入、消元等方法进行。
人教版八年级下册数学《函数》一次函数说课教学课件复习
(3)当 x = 300时,函数 y 的值为:y=40－0.1×300=10
因此,当汽车行驶300 km时,油箱中还有油10L.
2. 等腰三角形ABC的周长为10, 底边BC长
x 为 y , 腰AB长为 , 求:
（1）表示y与x的函数关系的式子。 (2) 自变量的取值范围;
另一边长为
( 5-x )（m） 1 长方形面积(m2) 4
…
2
2.5 3
…
6
6.25 6
设长方形的面积为s(m2),一边长为x,怎样用含
X的式子表示长方形的面积s？
s=x(5-x)
上述三个问题有什么共同之处？
1. 每个变化的过程中都存在着两个变量.
2.当一个变量确定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与 其对应。
(3) 腰长AB=3时,求底边的长.
1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数?
试写出用自变量表示函数的式子。 （1）改变正方形的边长X，正方形的面积S随之改变。
___x____是自变量，__s___是___x___的函数， 关系式是____S_=__x_2__________。
（2）秀水村的耕地面积是106 m2 ,这个村人均占有耕地面积y随这个 村人数n的变化而变化。
函数
课件
学习目标
1. 函数的概念; 2. 函数的几种表示方法; 3. 体验生活中的函数关系;
复习回顾
1.什么叫变量？ 2.什么叫常量？
思考：1每个问题中各有几个变量？
2同一个问题中的变量之间有什么联系？
问题1 ：行驶里程s（千米）与行驶时间t（小时）
的关系式为：S=60t。请填写下表：
一次函数所有知识点
一次函数所有知识点
一次函数是数学中的一个重要概念，它表示一个函数在某一点附近的变化情况。
一次函数的知识点包括以下几个方面:
1. 一次函数的定义：一次函数是形如 y=ax+b 的函数，其中 a 和 b 是常数，表示函数在某一点附近的变化情况。
2. 一次函数的性质：一次函数具有以下几个性质:
- 对称性：一次函数在 x=a 处取得最大值或最小值，在 y=a 处取得最大值或最小值。
- 平移性：一次函数可以通过平移操作得到其他形式的一次函数。
- 单调性：一次函数在某一区间上单调增加或减少。
3. 一次函数的图像：一次函数的图像通常可以通过以下方法得到:
- 将 y=ax+b 代入 x=0,y=0 中，得到 a=0,b=0，从而得到 y=ax。
- 将 y=ax+b 的图像向上或向下平移 b 个单位，得到 y=ax 的
图像。
- 将 y=ax 的图像向左或向右平移 a 个单位，得到 y=ax+b 的
图像。
4. 一次函数的应用：一次函数在数学中有着广泛的应用，比如
在求解抛物线的焦点坐标、求解抛物线的标准式等方面。
此外，一次函数还可以用于求解运动的加速度、速度等物理量。
拓展:
- 一次函数的系数 a 和 b 可以用图像法或定义法求解，其中图
像法更为简单。
- 一次函数的最高次项是二次项，因此一次函数的图像永远不会是抛物线。
- 一次函数可以通过移项和配方变换成 y=ax^2+bx+c 的形式，其中 a、b、c 是常数。
这种形式可以用于求解抛物线的焦点坐标和标准式。
一次函数考点知识梳理
一次函数考点知识梳理1.一次函数定义：o一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0），其中k是斜率，b 是y轴截距。
o理解并掌握一次函数的图像特征：直线、方向（上升或下降）、位置（与坐标轴的交点）。
2.斜率的理解和应用：o斜率的意义：表示直线的倾斜程度，斜率为正时，直线从左向右上升；斜率为负时，直线从左向右下降。
o计算斜率的方法：两点式斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)。
o判断两条直线平行或垂直的关系：若两直线斜率相等，则两线平行；若一直线斜率为另一直线斜率的相反数且绝对值相等，则两线垂直。
3.一次函数图像平移变换：o水平平移：原函数y=kx+b平移h个单位后变为y=k(x-h)+ b，其中h>0向右平移，h<0向左平移。
o垂直平移：原函数y=kx+b向上平移k个单位后变为y=kx+b +k，向下平移则减去相应的单位。
4.一次函数的实际应用问题：o表示实际生活中的增长、减少、路程与时间关系等问题，理解“速度”即斜率的概念。
o解决与一次函数相关的面积计算、行程问题、利润问题等。
5.一次函数与方程、不等式的联系：o一次函数解析式可以转化为一元一次方程和一元一次不等式，通过求解方程或不等式来确定图像上的点或区域。
6.一次函数与坐标轴的交点坐标：o求解一次函数与x轴和y轴的交点坐标，从而确定函数图形的具体位置。
7.线性关系与一次函数模型：o在实际问题中建立一次函数模型，通过观察数据、分析趋势确定变量之间的线性关系，并用一次函数的形式表示出来。
o学会从表格、图象或具体情境中提取信息，构建并验证一次函数模型。
8.一次函数图像特征与性质：o根据k和b的符号及绝对值大小，判断一次函数图像经过的象限（一、二、三、四象限）以及单调性（增函数还是减函数）。
o了解两点决定一条直线的原理，并能利用两个点坐标画出一次函数图像。
9.一次函数与反比例函数、二次函数的区别与联系：o明确一次函数是一次项系数不为零的多项式函数，而反比例函数是y=k/x形式，二次函数是y=ax²+bx+c形式，理解它们在图形、性质上的差异与共同点。
11.5一元一次不等式与一次函数(1)
11.5 一元一次不等式与一次函数（1）学习目标1、通过作函数图象，观察函数图象，进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一次不等式和一元一次函数的内在联系。
2、感知不等式、函数、方程的不同作用和内在联系. 学习过程：一、知识回顾1．什么叫一次函数？它的图像是什么？2．一次函数与x 、y 轴的交点坐标是什么？二、应用新知1．作出函数x y 23-=的图象，并由图象回答下列问题： （1）x 为何值时，023>-x （2）x 为何值时，023=-x （3）x 为何值时，023<-x2．已知一次函数12+=x y .（1）x 为何值时，0<y （2）x 为何值时，0=y （3）x 为何值时，0>y3．已知：43,3221-=+-=x y x y（1）当x 取何值时，21y y =； （2）当x 取何值时，21y y < （3）当x 取何值时，12y y >三、当堂达标1．已知函数y ＝8x －11，要使y ＞0，那么x 应取( ) A 、x ＞811 B 、x ＜811C 、x ＞0D 、x ＜02．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像，如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ •） A 、y ＞0 B 、y ＜0 C 、－2＜y ＜0 D 、y ＜－23Oy 2=x＋ay 1=kx＋b(第2题) (第4题) (第5题) 3．已知y 1＝x －5，y 2＝2x ＋1．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）． A 、x ＞5 B 、x ＜12C 、x ＜－6D 、x ＞－6 4．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ ） A 、－2＜y ＜0B 、－4＜y ＜0C 、y ＜－2D 、y ＜－45．一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3 时，y 1＜y 2中，正确的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36．当自变量x 时，函数y ＝5x ＋4的值大于0；当x 时，函数y ＝5x ＋4的值小于0.7、已知2x －y ＝0，且x －5＞y ，则x 的取值范围是________． 教(学)后记：回想本节内容，你学到了什么？还有什么疑问？四、课后作业1.已知函数y =2x-5，作出这个函数的图象，观察图象回答下列问题： （1）当x 取何值时，y ＝0？ （2）当x 取何值时，y>0？ (3) 当x 取何值时，y<0？ （4）当x 取何值时，y>3？2－4xy2．已知关于x 的不等式ax ＋1＞0（a ≠0）的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是（ ）A ．（0，1）B ．（－1，0）C ．（0，－1）D ．（1，0）(第1题) (第3题)3．直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为（ ） A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定4．若一次函数y ＝(m －1)x －n ＋4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________.5．如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李的重量只要不超过________千克，就可以免费托运.O 2 2 -2-2xyy ＝3x ＋by ＝ax －3(第5题) (第6题)6．如图，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是_______________。
2021年一次函数图象的变换
一次函数图象的变换——平移欧阳光明（2021.03.07）求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。
知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。
我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m 个单位得到点（0+m，b)，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。
下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。
分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。
平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。
解：设平移后的直线解析式为y=2x+h点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1），将点（1，-1）代入y=2x+h中得：-1=2×1+hh=-3所以平移后直线的解析式为y=2x-3例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。
分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0,2）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1,2）。
设出平移后的解析式为y =kx+h ，根据斜率k=2不变，以及点（1,2）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。
解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.易知点（0，-1）在直线y=2x-1上，则此点按要求平移后的点为：(0,-1)平移后得到的点（1,2）在直线y=2x+h 上则：2=2×1+hh=0所以平移后的直线解析式为y=2x总结：求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式。
一次函数的图像与图像变换教学指导
一次函数的图像与图像变换教学指导一、引言一次函数是高中数学中的基础知识之一，在学习中起到了重要的作用。
理解一次函数的图像及其变换对于学生的数学素养和解题能力的提高具有重要意义。
本文将就如何教学一次函数的图像及其变换进行指导和探讨。
二、一次函数的图像一次函数的图像是由该函数的表达式和定义域确定的。
一次函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数，且a不等于0。
下面将以y=x+1为例，介绍一次函数的图像。
1. 确定坐标系首先，我们需要确定一个坐标系，一般选择笛卡尔坐标系。
x轴表示自变量x，y轴表示因变量y。
2. 确定函数值根据函数的表达式，我们可以计算出不同的x对应的y值。
例如，当x=0时，y=1；当x=1时，y=2，以此类推。
3. 绘制点在坐标系中，以x和y的对应关系为依据，绘制出相应的点。
对于y=x+1，我们可以得到一个点(0, 1)，另一个点(1, 2)，将这两个点用直线连接起来，即可得到一次函数的图像。
4. 图像特征一次函数的图像为一条直线，且直线的斜率为a，即斜率为1。
当a为正数时，直线向上倾斜；当a为负数时，直线向下倾斜。
一次函数关于y轴对称。
三、一次函数的图像变换在教学中，我们除了要让学生掌握一次函数的基本图像之外，还需要让他们了解一次函数的图像变换。
常见的一次函数的图像变换有平移、伸缩、翻折和旋转等。
接下来我们将依次介绍这些图像变换。
1. 平移平移是指将原来的图像沿x轴或y轴方向上下移动。
当我们对一次函数y=x+1进行平移时，可以将函数表达式改为y=x+1+k，其中k为常数。
当k为正数时，图像向上平移，当k为负数时，图像向下平移。
2. 伸缩伸缩是指将原来的图像在x轴或y轴方向上进行拉伸或压缩。
对于一次函数y=x+1，进行纵向伸缩可以将函数表达式改为y=a(x+1)，其中a为正数。
当a大于1时，图像被纵向拉长；当03. 翻折翻折是指对原来的图像进行反转。
对于一次函数y=x+1，进行关于x轴翻折可以将函数表达式改为y=-(x+1)；进行关于y轴翻折可以将函数表达式改为y=(-x)+1。
11.5(1)一次函数导学案
11.5一次函数学习目标：1、理解一次函数和正比例函数的概念；2、会根据具体问题的条件，确定正比例函数及一次函数关系式中的未知系数。
重点、难点：求未知系数。
课前延伸：1、函数32,21,312y y x y x =-+=-=--中，哪是常量，哪是变量，哪是自变量？2、实际问题中如何列函数关系式？课内探究：（一）自主学习：磁悬浮列车自上海浦东机场站出发，运行1000米后，便以110米/秒的速度匀速行驶。
如果从运行1000米后开始计时，请写出该列车离开浦东机场站的距离s （米）与时间t （秒）之间的函数关系式。
你列出的函数关系式及复习回顾中的函数关系式有哪些共同特点？它们的一般形式可以概括为什么？思考：什么是一次函数？什么是正比例函数？（在以上定义中应需注意什么问题？）正比例函数与正比例关系有什么区别和联系？（二）合作探究：例1 据《人民日报》报道，长江三峡工程1号发电机组与2号机组于2003年7月10日实现并网发电。
并网发电后的3天内共输出电量3870万千瓦时。
已知发电量W 是发电时间t 的正比例函数。
（1）求W 与t 之间的函数关系式；（2）截止到2003年7月31日，共输出多少万千瓦时的电量？例2 某种商品每件成本10元，试销阶段每件商品的销售价x （元）与商品的日销售量y （元）之间满足y = -x +b 的函数关系。
右表是销售的有关信息：（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式（写出x 的取值范围）；（2）求销售价定为30元时，每日的销售量。
（三）学以致用：1 下列函数关系是不是一次函数？是不是正比例函数？如果是正比例函数，指出比例系数k 的值。
（1）圆的周长C 与它的半径r 之间的关系；（2）圆的面积S 与它的半径r 之间的关系；（3）正方形的周长l 与它的边长a 之间的关系；（4）梯形上底长为2，高为3，梯形面积S 与下底长b 之间的关系。
2 已知一次函数关系式为y=kx +2，当x =2时y 值为4，求k 的值。
一次函数与代数式的转换
一次函数与代数式的转换。
首先，让我们来回顾一下一次函数的基本概念。
一次函数是指形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是实数常数。
这个函数最基本的形式是直线函数，其中a是斜率，b是y轴截距。
现在让我们来考虑如何将这个一次函数转换成代数式。
我们可以通过对x的系数a和常数项b进行代数运算来得到这个代数式。
例如，我们可以将f(x) = 3x + 4转换为3x + 4 = y，其中y是这个函数的输出值。
另外一种常见的代数式转换方法是将f(x)表示为别的变量的函数。
例如，我们可以将f(x)表示为g(y) = 3y/2 - 2，在这里，y是f(x)的输出值。
注意，在这个例子中，我们使用了y而不是x作为输出变量。
这种情况下，我们通常称这个函数为反函数。
现在，让我们来探究一次函数和代数式之间的相互转换的重要性。
首先，代数式使我们能够更轻松地处理一些函数，它们具有更加复杂的形式。
例如，当我们需要绘制一条曲线时，我们需要使用代数式来描述曲线的形状和位置。
另一个重要的原因是，代数式能够使我们更加精确地进行计算。
有时候，一次函数的表达式可能会变得非常长，甚至开始产生运算错误。
在这种情况下，将其转换为代数式可以大大简化计算。
另一方面，一次函数也有其自身的优点。
因为它们具有较为简单的形式，所以它们更容易被人们理解和处理。
此外，一次函数通常比更复杂的函数更容易被计算机处理，因为它们需要更少的计算量和内存资源。
最后，让我们来看一下2023年，一次函数与代数式之间的转换在这一年的应用。
随着和机器学习技术的发展，代数式和一次函数已经成为了这些领域中不可或缺的工具。
例如，在机器学习中，我们通常使用一次函数来描述输入变量和输出变量之间的关系。
将其转换为代数式可以更加精确地描述这种关系，并且能够使我们更好地理解数据模式。
总之，一次函数和代数式之间的转换是一项非常重要的代数技能。
无论你是一名学生、一名教师还是一名科学家，都需要掌握这种技能，以在日常工作和生活中更加灵活地应用代数知识。
11.5(2)一次函数的图像
0
2.5
… …
5
0
描点、连线 描点、连线:
在画一次函数的图像时， 在画一次函数的图像时， 通常选取图像与坐标轴 的两交点来确定这条直线． 的两交点来确定这条直线．
A
3 2 1 0 1 2 3 B 4
x
一般地，若直线y=kx+b(k≠0)与y轴的交点坐标 轴的交点坐标 一条直线与ｙ 一条直线与ｙ轴的交点的纵坐标 一般地，若直线 叫做这条直线在轴上的截距． 叫做这条直线在轴上的截距． 是（０，ｂ），则直线 ，ｂ），则直线 则直线y=kx+b(k≠0) 的截距是ｂ 的截距是ｂ
小结
1、描点法画函数图像的一般步骤是：列表、 、描点法画函数图像的一般步骤是：列表、 描点、连线。 描点、连线。 2、y=kx+b （ｋ、ｂ是常数，且ｋ≠０）的图 、 （ｋ、ｂ是常数 是常数， ０ 像是一条直线，满足y=kx+b的点（x,y）都在 的点（ ） 像是一条直线，满足 的点 这条直线上。 这条直线上。 y=kx+b的图象上所有的点都满 的图象上所有的点都满 足关系式y=kx+b。一次函数y=kx+b的图象也 y=kx+b的图象也 足关系式 。一次函数y=kx+b 称为直线y=kx+b y=kx+b。 称为直线y=kx+b。 ３、在画一次函数的图像时，通常选取图像与 在画一次函数的图像时， 坐标轴的两交点来确定这条直线． 坐标轴的两交点来确定这条直线．
… …
4 3
2 y = − x+9 3
1 2 3 4
2 y =− x+9 … 3
2 1
0
x
随堂练习 2.分别作出一次函数 分别作出一次函数
11.5《一次函数的图像与性质》课件ppt(共26张PPT)(青岛版七年级下)
创设问题 导入新课
磁悬浮列车自上海 浦东 机场出发，运行 1000米 后，便以 110米∕秒的 速度匀 速行驶。如果从 运行 1000米后开始计 时， 你能写出该列车离 开 浦东机场站的距离s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的函 数 关系式吗？
S=1000+110t
上节提到的函数y=x-1, y=2x-1，y=-3x-1以及本节中
k>0
k>0 k<0 k<0
b的符号
b>0 b<0 b>0 b<0
对一次函数y=x+4，x依次取-3,-2,-1,0,1,2,3 逐渐增大的过程中，y的值是否也在增大？ 对y=-x+4呢？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x+ … 1 2 3 4 5 6 7 … y增
4
7 6 543 2 1
（必做题） 65页A组4、 5题
（选做题） 66页B组1、 2题
28380万千瓦时的电量.
写出下列函数关系式是否为一次函
交流
数?是否为正比例函数?如果是正比例函 数，指出比例系数k的值.
(1)圆的周长C与它的半径r之间的关系；Fra bibliotekC=2πr
C是r的一次函数，也是 正比例函数，k=2π
(2)正方形周长y与边长x之间的函数关系:
y=4x
y是x的一次函数,也是 正比例函数，k=4
画一次函数y=kx+b(k ≠ 0）的图 象有什么简单方法吗？
过（0，b)、(-k／b，0) 两点画直线.
例2.你会画出函数y=2x-1与 y=x+1
的图象吗？
y=2x-1
x
0
一次函数性质修改
1、操作1、学生自己在几何画板上按如下操作作一次函数y=kx+b的函数图象（1）绘图—定义坐标系—绘图—隐藏网格（2）单击点工具—在x轴上任选两个点—选中这两个点及x轴—构造—垂线（3）选定两条垂线—构造—垂线上的点—添加标签A,B—显示—隐藏垂线—构造两点和对应垂足之间的线段（4）选定点A,B—分别度量其纵坐标—分别改标签为k=5.34、b=2.96（其中这里K点和B点的纵坐标的值就代表的是k和b的值）（4）绘图—绘制新函数—单击方程—符号y=—单击k=5.34*x+单击b=2.96—确定（5）文本工具—白色空心手形鼠标在绘图区域中框选—y=单击k的度量值，输入*x+单击b度量值（6）右击y=kx+b—隐藏函数2、操作2：在所作的一次函数图象的基础上研究一次函数的性质（先单独实验，再小组合作反复实验总结函数性质）①性质1：y随x的变化如何变化②性质2：经过象限与坡的平缓③性质3：k相同时，两直线位置关系④性质4：k和b的意义拖动点K和点B，改变k和b的正负值，从以上4方面进行总结一次函数的性质：①性质1：y随x的变化如何变化在图象上任取一点C，度量出C的坐标，然后选定C的坐标，选择数据—制表，选定表格，选择数据—添加表中数据，在对话框中选定“当数值改变时添加10个条目，每过一秒添加一个新条目”，单击“确定”，向斜上方拖动点C，则每间隔1秒便会在表格上添加一组数据，如下图所示。
师：观察并分析这组数据，你发现了什么？当将A点拖到y轴的下半轴时，再次制表，你又发现了什么？生：可得到y随x的增大而增大，当将A点拖到y轴的下半轴时，观察得到y随x的增大而减小。
师：出现结果不一样的原因是什么？生：是k的值正负变化师：因此我们得到当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。
②性质2：经过象限与坡的平缓师：当拖动A点或B点时，大家观察一次函数在经过的象限和坡的平缓如何变化？提示大家，先观察一次函数所经过象限和k和b什么有关系？k和b的值又有几种组合？生：我们在拖动A点或B点时得到对于一次函数y=kx+b（k,b为常数，k≠0）有:在拖动A点时发现，当k值由大变小时，坡度先是越来越缓，变为0时是平的，然后又越来越陡。
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一般形式：y=kx+b(k ≠ 0）
正比例函数：当b=0时，一次函数y=kx叫做正比例函数
一般形式：y=kx (k ≠ 0）
正比例函数与一次函数的关系:
一次函数y=kx+b(k ≠ 0）
b=0时是特殊的一次函数,即为正比例函数;
b≠0是一般的一次函数
作业：
习题11.5A组第1、6题
BYE
BYE ！
(3) y=8x+9
y= 12x + 50
(4) y＝-3x+30
y=8x+9
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8 1
Y=-3x+30
自变量 自变量的系数
t
x
12 1
x
-3 1
110
1
自变量的次数
观察上表，这些函数有哪些共同的特征？交流讨论。
共同点：1、自变量的次数都是1次的整式； 2、函数的形式都是自变量x的常数倍与一个常数的和。
已知函数 y=(m-1)x+(2m-4) ,当m取什么值时， y是x
的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例函
数？ 解：（1）因为y是x的一次函数 所以 m-1 ≠ 0 , m≠1
（2）因为y是x的正比例函数
所以 2m-4=0 , m=2
一次函数：形如y=kx+b(k ≠ 0）的函数叫做x的一次函数
（1）请写出y与x的函数关系式。
（2）若小明买了5千克巧克力需花多少钱？
解：（1） y=28x （2） 当x=5时，y=28×5=140 所以小明买了五千克巧克力需花140元。
1、下列函数中是一次函数的是（ A ） A y= -3x+5 C
1 y= —x
B y= -2x2 D y=3x3
2.下列说法正确的是（ A ）
楼庄中学
崔文洁
情境问题一
磁悬浮列车自上海浦东机场 出发，运行1000米后，便以110 米∕秒的速度匀速行驶。如果从 运行1000米后开始计时，你能 写出该列车离开浦东机场站的距 离s（单位:米）与时间t（单位: 秒)之间的函数关系式吗？
s与t之间的函数关系式S=110t+1000
情境问题二
• 小亮准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他
y=3.5x ,y是x的 一次函数,也是x的正比例函数。
（2）圆的面积y ( 平方厘米 )与它的半径x ( 厘米)之
间的函数关系。y=πx2 , y不是x的正比例 函数，也不是x的一次函数。
（3）一棵树现在高5 0 厘米，每个月长高2 厘米，x
月后这棵树的高度为y 厘米。
y=50+2x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数。
A 正比例函数是一次函数
B一次函数是正比例函数 C 正比例函数不是一次函数 D不是正比例函数就不是一次函数
3、写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：
y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）三中八（3）班唐露同学中午在学校食堂就餐，
每餐用去3.5元。午餐费用y元与就餐次数x之间的函
数关系。
已存有50元，从现在起每个月存12元．试写出
小亮的存款数与从现在开始的月份数之间的函数 关系式． 解：设从现在开始的月份数为x，小亮的存款数 为y元，得到所求的函数关系式为y＝12x +50
观察下列四个函数并填写下表
(1) S=110t+1000 (2) y= 12x + 50
S=110t+1000
形如y=kx+b
(k ≠ 0） 的函数叫做x的一次函数，其
中k、b为常数。 当b=0时，一次函数 y=kx 也叫做正比例函数，k 叫做比例系数。
说明：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定 是正比例函数。
1、判断下列函数那些是一次函数，那些是正比例函数？
（1）y=2x+1 （4）y=x2-1 （2）m=2+3n x （5）y=— 2 （3）y=6-x 2 （6）y=— x
所以，截止到2003年7 月31日，共输出28380万千瓦时的电量.
1、已知函数y=kx+2，当x=2时, y值为4，求y与x的函数关系式
解：因为函数的关系式为：y=kx+2 当x=2时，y=4， 所以4=2k+2，则k=1 所以函数的关系式为y=x+2
2、某种巧克力的单价是每千克28元，小明购买x千克巧克力 时花费y元，
2、下列函数中是正比例函数的是（ D ）
（A）y=3x2 (B) y=3x+1 (C)y=-3x-1 (D)y= 2x
例：据《人民日报》报道，长江三峡工程1号发电机组与2号机组于2003年7 月10日实现并网发电。并网发电后的3天内共输出电量3870万千瓦时。已知 发电量w是发电时间t的正比例函数。
（1）求w与t之间的函数关系式；
（2）截止到2003年7月31日，共输出多少万千瓦时的电量？ 解: （1）因为w是t的正比例函数， 所以W=kt，其中k为比例系数。
把t=3，W=3870代 入 W=kt，得
所以函数关系式为W=1290t(t≥0)
3870=3k，k=1290.
（2） 从7月10日到7 月31日共22天， 当t=22时，W=22×1290=28380.