陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列在生活中的应用拓展资料素材 北师大版必修5
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 统计案例 一道回归分析题的思维拓展与延伸素材 北师大版选修1-2
一道回归分析题的思维拓展与延伸一、回归分析的基本步骤：(1) 画出两个变量的散点图.(2) 求回归直线方程.(3) 用回归直线方程进行预报.下面我们通过案例，进一步学习、拓展与延伸回归分析的基本思想及其应用．二、举例：例1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高和体重数据如表求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重．解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量 x ，体重为因变量 y . 作散点图，如下图从图中可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系．根据公式：a y bx =- （1）121()()()ni ii n ii x x y y b x x ==--=-∑∑ （2）其中1111,n ni i i i x x y y n n ====∑∑，（,x y ）成为样本点的中心. 可以得到ˆˆ0.849,85.712ba ==-. 于是得到回归方程084985.712y x =-.因此，对于身高172 cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重为084917285.71260.316y =⨯-= ( kg ) .ˆ0.849b=是斜率的估计值，说明身高 x 每增加1个单位时，体重y 就增加0.849 位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系．三．思维拓展与延伸1.如何描述它们之间线性相关关系的强弱？在必修 3 中，我们介绍了用相关系数；来衡量两个变量之间线性相关关系的方法．本相关系数的具体计算公式为()()ni ix x y y r --=∑. 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当r 的绝对值大于0. 75 时认为两个变量有很强的线性相关关系．在本例中，可以计算出r =0. 798．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的．2.如何理解y 与y ~间的误差 显然，身高172cm 的女大学生的体重不一定是60. 316 kg ，但一般可以认为她的体重接近于60 . 316 kg .如下图中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点．由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直线的附近，所以身高和体重的关系可用下面的线性回归模型来表示：y bx a e =++这里a 和b 为模型的未知参数，e 是y 与y bx a =+之间的误差．通常e 为随机变量，称为随机误差，它的均值 E(e ）=0，方差D （e ）=2()D e σ=＞0 ．这样线性回归模型的完整表达式为：2,()0,().y bx a e E e D e σ=++⎧⎨==⎩ (3)在线性回归模型（3）中，随机误差e 的方差护越小，通过回归直线y bx a =+预报真实值y 的精度越高．随机误差是引起预报值y 与真实值 y 之间的误差的原因之一，大小取决于随机误差的方差.另一方面，由于公式（1）和（2）中a 和b 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a 和b 之间也存在误差，这种误差是引起预报值y 与真实值y 之间误差的另一个原因．3. 产生随机误差项e 的原因是什么?一个人的体重值除了受身高的影响外，还受许多其他因素的影响．例如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等．事实上，我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么，这里只是利用线性回归方程来近似这种关系．这种近似以及上面提到的影响因素都是产生随机误差 e 的原因．因为随机误差是随机变量，所以可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体特征．均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值为0，因此可以用方差2σ来衡量随机误差的大小．4. 用身高预报体重时，需要注意哪些问题？需要注意下列问题：（1）．回归方程只适用于我们所研究的样本的总体．例如，不能用女大学生的身高和体重之间的回归方程，描述女运动员的身高和体重之间的关系．同样，不能用生长在南方多雨地区的树木的高与直径之间的回归方程，描述北方干旱地区的树木的高与直径之间的关系．（2）．我们所建立的回归方程一般都有时间性．例如，不能用 20 世纪 80 年代的身高体重数据所建立的回归方程，描述现在的身高和体重之间的关系．（3）．样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．例如，我们的回归方程是由女大学生身高和体重数据建立的，那么用它来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系就不恰当（即在回归方程中，解释变量 x 的样本的取值范围为［155cm,170cm〕，而用这个方程计算 x-70cm 时的y值，显然不合适．)（4）．不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 常见的新定义数
常见的新定义数列问题近年高考中，常常出现新定义数列的考题．题目常常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列知识理解彻透，并学会灵活运用这些知识去解决相关问题． 一、等和数列【例1】 （2004·北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为 ，且这个数列的前21项和21S 的值为 ．【分析】 先对等和数列进行一般性的探讨．设{}n a 是等和数列，公和为m ，则由等和数列的定义知，数列{}n a 的各项依次为1111a m a a m a --L ，，，，，即 11n a a m a ⎧=⎨-⎩，， 1122n n a m S mn ⎧-⎛⎫+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎪⎩，， 【解析】 因为12a =，公和为5m =，所以18523a =-=，2121125522S -=+⨯=． 二、等积数列【例2】 （2005·保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列{}n a 是等积数列，且102a =，公积为6，则1592005a a a a ⋅⋅⋅⋅=L （ ） A ．5022B ．5012C ．5023D ．5013【分析】 先对等积数列进行一般性的探讨．设{}n a 是等积数列，公积为m ，则由等积数列的定义知，数列{}n a 的各项依次为 1111m m a a a a L ，，，，，即11n a a m a ⎧⎪=⎨⎪⎩，，【解析】 由()2005114n =+-⋅可得：501n =，又因为102a =，公积为6，所以13a =，50215920053a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，故选C ．三、等方比数列n 为奇数；n 为偶数． n 为奇数； n 为奇数； n 为偶数．【例3】 （2007·湖北）若数列{}n a 满足212n na p a +=，（p 为正常数，*n ∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】 由等比数列的定义数列，若乙：{}n a 是等比数列，公比为q ，即22112n n n na a q q a a ++=⇒=，则甲命题成立；反之，若甲：数列{}n a 是等方比数列，即22112n n n na a q q a a ++=⇒=±，即数列{}n a 公比不一定为q ，则命题乙不成立，故选B ．四、绝对差数列【例4】 （2006·北京）在数列{}n a 中，若12a a ，是正整数，且12n n n a a a --=-，345n =L ，，，，则称{}n a 为“绝对差数列”．⑴举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前10项）；⑵若“绝对差数列”{}n a 中203a =，210a =，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，123n =L ，，，，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；⑶证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．【分析】 关键是读懂题目中“绝对差数列”的含义．【解析】 ⑴13a =，21a =，32a =，41a =，51a =，60a =，71a =，81a =，90a =，101a =．（答案不唯一）；⑵在“绝对差数列”{}n a 中，因为203a =，210a =，所以自第20项开始，203a =，210a =，223a =，240a =，253a =，…，即每个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n →∞时，n a 的极限不存在，而当20n ≥时，126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n x b →∞=．⑶证明 根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项．证明如下：假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-，所以对任意的n ，都有1n a ≥，从而当12n n a a -->时，()12113n n n n a a a a n ---=--≤≥，当12n n a a --<时，()21213nn n n a a a n ---=--≤≥，即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1；令212122212n n n nn n a a a C a a a --->⎧=⎨<⎩，，123n =L ，，，，则()101234n n C C n -<<-=L ，，，由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在0k C <，这与()0123n C n >=L ，，，，矛盾．所以{}n a 必有零项．若第一次出现的零项为第n 项，记()10n a A A -=≠，则自第n 项开始，第三个相邻的项周期地取值0，A ，A ，即30n k a +=，31n k a A ++=，32n k a A ++=，0123k =L ，，，，．所以“绝对差数列”{}n a 中总含有无穷多个为零的项．五、对称数列【例5】 （2007·上海）若有穷数列1a ，2a ，12n a a a L ，，，（n 是正整数），满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =，即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”．⑴已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234b b b b ，，，成等差数列，14211b b ==，，试写出{}n b 的每一项；⑵已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121k k k c c c +-L ，，，构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？⑶对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211222m -L ，，，，成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S ．【解析】 ⑴设{}n b 的公差为d ，则4132311b b d d =+=+=，解得3d =，所以数列{}n b 为25811852，，，，，，． ⑵21121121k k k k k S c c c c c c --+-=+++++++L L ()1212k k k k c c c c +-=+++-L ， ()222141341350k S k -=--+⨯-，所以当13k =时，21k S -取得最大值． 21k S -的最大值为626．⑶所有可能的“对称数列”是：①22122122222221m m m ---L L ，，，，，，，，，，； ②2211221222222221m m m m ----L L ，，，，，，，，，，，； ③122221222212222m m m m ----L L ，，，，，，，，，，； ④1222212222112222m m m m ----L L ，，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，2200720082008122221S =+++++-L ． 当15002007m <≤时，212220092008122222m m m m S ----=+++++++L L12200912200921222221m m m m m m ----=-+-=+--． 对于②，当2008m ≥时，2008200821S =-． 当15002007m <≤时，1220082008221m m S +-=--． 对于③，当2008m ≥时，2008200822m m S -=-． 当15002007m <≤时，20092008223m m S -=+-． 对于④，当2008m ≥时，2008200822m m S -=-． 当15002007m <≤时，20082008222m m S -=+-．六、一阶差分数列【例6】 （2007·青岛质检）对于数列{}n a ，定义{}n a ∆为数列{}n a 的“一阶差分数列”，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N ．⑴若数列{}n a 的通项公式()2*51322n a n n n =-∈N ，求{}n a ∆的通项公式；⑵若数列{}n a 的首项是1，且2n n n a a ∆-=， ①证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； ②求{}n a 的前n 项和n S ．【解析】 ⑴依题意1n n n a a a +∆=-，所以()()2251351311542222n a n n n n n ⎡⎤∆=+-++-=-⎢⎥⎣⎦．⑵①因为2n n n a a ∆-=，所以12n n n n a a a +--=，即122n n n a a +=+， 所以111222n n n na a ++=+，又因为1122a =， 所以2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列； ②由①得：()1112222n n a nn =+-=． 所以1222nn n n a n -=⋅=⋅．所以1232n n S a a a n =++++⋅L ． 错位相减得：()121n n S n =-⋅+．七、周期数列【例7】 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得n T m a a +=对任意正整数m 均成立，那么就称{}n a 为“周期数列”，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知数列{}n x 满足()*112n n n x x x n n +-=-∈N ≥，，如果11x =，2x a =()10a a ≠≤，，当数列{}n x 周期为3时，则该数列的前2008项的和为（ ） A ．668B ．669C ．1338D ．1339【解析】 由题知，3211x x x a =-=-，432111x x x a a x =-=--==，所以11a a -=+或11a a -=-， 因为1a ≤，0a ≠，所以1a =，即得：123456110110x x x x x x ======L ，，，，，，，即数列{}n x 自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值1，1，0． 而200836691=⨯+，所以2008266911339S =⨯+=，选D ．。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列说课课件 北师大版必修5
2 教学目标的确定
根据上述教材结构与内容分析，以及学情的分析, 制定如下教学目标： 1、基础知识目标：形成并掌握数列的概念，理解数列 的通项公式。并通过数列与函数的
比较加深对数列的认识。 2、能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联
想等发现规律的一般方法。 3、情 感 目 标： 让学生在民主、和谐的共同活动中感 受学习的乐趣
五、 教学评价
本节课，采用“探究发现式”教学模式为学生 创设了的探究知识的情景，从而充分调动学生学习 数学知识的积极性，使学生有自主发现知识、创造 性地解决问题的时间、空间.在整个的设计过程中， 始终体现以学生为中心的教育理念。在学生已有的 认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程 ，强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重 视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养 和养成。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层 次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则 。
3 教学重点、难点、关键的确定
教学重点: 数列概念及其通项公式
教学难点:建立数列的通项公式
教学关键:就是教会学生克服难点
二、说教法
数学是一门培养和发展人的思维的重要学科， 因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要 使学生“知其所以然”。为了体现以学生发展为本， 遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的数 学教学原则,进行了这样的教法设计：在教师的引导 下，创设问题情景，通过开放性问题的设置来启发 学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴 涵的数学方法，使之获得内心感受。
设计意图
探 索 研 究 发 现 规 律
师生共同观察 这 还可以用公式: 两个实例得出了课 1, n 2k 1 (k N * ) 本中没有的对数列 an * 通项的更深层的理 (k N )解 , 不但加深了学生 1, n 2k 引导学生得出结论:同一数列通项可 对数列通项概念的 以不唯一 理解，多层次、多 再如实例中(2)题,问学生:年份和这年 角度展开对概念的 得到的金牌总数可以用公式来表示吗? 剖析,更增强了学生 生答:不能用. 探究的好奇心，激 再次引导学生得出结论:有的数列可以 发出潜在的创造力， 逐步形成创新意识。 没有通项, 最后告诉学生: 我们以后要研究的是有通项的数列
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列求和的若干常用方法素材 北师大版必修5
数列求和的若干常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。
除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。
本文就此总结如下，供参考。
一、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311*+∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n 。
解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ，两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，,21=∴+nn a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列. （Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222121322211211+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--=.12222121-+=+--n n n n例2． 已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：.242n a a a +++ 解析：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则： 6223221)21(232)222(322323)1(1224221--⋅=---=-+++=+++∴-⋅=⇒-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n 等。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 统计案例 独立性检验的步骤及应用素材 北师大版选修1-2
独立性检验的步骤及应用一、独立性检验的思想及步骤独立性检验的基本思想类似于数学上的“反证法”。
要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度。
首先假设结论不成立，即“这两个分类变量几乎没有关系”（“几乎独立”）成立，则dc cb a a +≈+，.0≈-bc ad 此时，我们所构造的随机变量应该很小。
如果由观测数据计算得到的k 不是很小，则在一定程度上说明假设不合理。
而且2K 观测值k 越大，说明假设（“几乎无关或独立”）不成立的可能性就越大，即两者有关的可能性越大，这样我们就可以由2K 的观测值k 并结合已往估算经验值表定出我们有多大程度等等把握可以认为“两个分类变量有关系”。
这个经验值表如下（有必要记住）：二、典例分析例1、某校对学生课外活动内容进行调查，结果整理成2×2列联表如下：试分析“喜欢体育还是喜欢文娱”与“性别”之间三多大程度上有关？解：将a ＝21，b ＝23，c ＝6，d ＝29，n ＝79代入))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，得.106.82≈K 即2K 的观察值.106.8≈k假设喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系，则2K 的观察值k 应该很小，且由经验值表知005.0)789.7(2≈≥K P ，即在此假设成立的前提下出现789.72≥K 的可能性只有0.005左右，而不出现789.72≥K 的可能性约为99.5%，但在本调查中却得出2K 的观察值106.8≈k ，超过了7.789，所以我们有99.5％的把握可以认为此假设不成立，即有99.5%的把握可以认为喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关。
例2、调查在2～3级风时的海上航行中男女乘客的晕船情况，共调查了71人，其中女性34人，男性37人。
女性中有10人晕船，另外24人不晕船；男性中有12人晕船，另外25人不晕船。
（1） 根据以上数据建立有关2×2的列联表； （2） 判断晕船是否与性别有关系。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学第一章数列定义在解题中的潜在功能拓展资料素材北师大版必修5
数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种选拔性考试，在重视基础知识考查的同时，更加重视对应用能力的考查作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列一直是高考考查时重点，特别是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关•这里我们感兴趣的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特别是证明通项为a n a1（n 1）d（a n a i q n1）或前n项和S n an2 bn（S n a（1 q n））,首先要证明它是等差（比）数列,必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列例1.设等差数列a n的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）.(A) 130(B) 170(C) 210(D) 260解若等差数列a n 前m项、次m项、又次m项和分别为S，9，S3,贝U S1，S2，S3也成等差数列.事实上，m(a1 a m)m(a2m 1 a3m)m[a1 a2m 1 ) (a n2 a3m)] S1 S3222m(2a m 1 2a2m)2 m(a m 1 a2m)2S2.22所以S，Sa，S3成等差数列因为30，70，S3m- 100成等差数列，所以30+S3m- 100=140,即£^210.故应选（C）.1 21 1例2.设｛a n｝是等差数列，b n（）3n，已知b| b2b3,b1 b2b3，求等差2 8 8数列的通项公式.解•/ ｛a n｝成等差数列，•••｛b n｝成等比数列，••• b；=bb.由bb2b3」,得b2 = -.8 217 1从而有b计b3= , b1b3=.8 417 1•- b1, b3是方程x —x + —8 40两根.解得b2,b3 £ 或b1 8，b3 2.8 8••• a i =— 1, d =2 或 a =3, d =— 2.故 a n =a i +( n — 1) d =2n — 3 或 a n =5— 2n .例3. 一个数列｛ n .a n ｝,当n 为奇数时，a n =5n +1;当n 为偶数时，a n =22,求这个数列的前 2m 项的和.解：••• a1, as ,a5,…，a 2m — 1成等差数列，a 2 ,a 4,比， ,a 2m 成等比数列,•-(a 1 a 3a 2m 1 )(a 2 a 4a2m )m(a 1a 2m 1) 亠m 12ma 2 25m m 2 .2例4.设数列a 1,a 2, , a n ,,前n 项和S 与a n 的关系是S n ka n 1 (其中k 是与n无关的常数，且 k 工1).(1) 试写出由n,k 表示的a n 的表达式；(2)若ii m S 1，求k 的取值范围.nn1解：(1)当 n=1 时，由 a 1 S 1 ka 1 1,得 a 1(k 1);1 k当 n >2 时，由 a n S n S n 1 (ka .1) (ka n 11) ka n ka n 1，得a n ka n 1 k 1若 k =0,则 a n =1( n =1)或 a n =0( n \ 2).1k若kT 则｛列是首项为讥，公比为厂的等比数列，所以an例5.已知数列｛ a n ｝的前n 项和的公式是S n12(2n 2 n).(1)求证: ｛an ｝是等差数列，并求出它的首项和公(2)记b n sin a n sin a n 1 sin a n 2 ,求证：对任意自然数n,都有b n证明：(1)当n =1时，a 1 S i;当n 》2时,4(2)：T im S n1, lim a n nn n nv 1，解得 k v1)n% '盼乜n)悝［2(n仔(n1)］二(4n 1).…a n(4n 1). a n a n 1 12存4n 1)訝 *1) 1］3(2) 只要证明｛ b n ｝是首项为2,公比为一1的等比数列.8•••｛ a n ｝是首项为—，公差为4 的等差数列.3bi sina i sina 2 sina 3.7 . 11 sin sin sin 4 12 12二(丄)(cos 兰cos 土 ) ，和2 2 12 12 8b nsin a n 2 sin(a n 1 ) sin a n 1 b n 1 sin a n 1 sin a n 1 sin a n 1 • ｛b n ｝是首项为丄2，公比为—1的等比数列，• 8b n£1)n1例6.设｛a n ｝是正数组成的数列，其前 n 项和为S, 并且对于所有自然数 n , a n 与2的等差中项等于 S 与2的等比中项 (1)写出数列｛a n ｝的前3项; (2)求数列｛a n ｝的通项公式(写出推证过程)；b n n).解(1 )•2蔦 2 - 2S n , S n (a n 82)-2 8a S 11 2 佝 2),得 a 12(a 1 >0) ； a ?8S 2S1£ ® a)2 2,8解得: a 21b(a 2 > 0) ； a 3S 3 S 2— @382)2 8, 解得：a 310( a 3 > 0)(2)1 2当 n >2时，an & Sn1-(a n 2)28(a n12),1aa(3)令 bn—(_^—)(n N)，求 lim bb ?2a n a n 1n2即 8a n (a n 2)(a . 12)2，即(a n 2)2 (am 2)2 0.(a n a n 1)(a n a n 1 4) 0.a na n 1 > 0, a na n 1 4.{ a n }是首项为 2,公差为4的等差数列,例7.已知数列｛a n ｝满足条件：a 1 1,a 2 r(r >o ),比数列.设 b na 2n 1 a 2n (a 1,2,a i(n 1) d 4n 2.(3)b nbi b 21/4 n 2 4n 21 ( )1 2(—2 4 n 2 4n 2 4n 2 1 1 b n n 2(), lim(b 12 4n 2 nb 2b n ) 1.(1) 求出使不等式 a n a n 1 a n1a n 2 > a n 2a * 3(n N)成立的q 的取值范围;(2) 求b n 和li m n1——，其中SS nb 1 b 2b n(3)219.21,q 1，求数列2log 2 b n 1 的最大项和最小项的值解:(1) n rq1rq> rq n(2)a n 1 a n 2 a n 2a n a n 1a n又b 1 a 1 a 21log 2 b n1,r >0, q >0, b n 1 b nb n 1｛b n ｝是首项为a 2n 2 a 2n 1 a 2nlimn1 S n1 q严(° 1 r0,(q 1)q 1),(3)log 2[(1 r)q n] log 2 b n log 2[(1 r)q n 1]gb n 1 记C nlog 2 b n 1 q 1 < 0「0< q <15a 2n 1q a 2n q a 2n 1a 2n1 + r ，公比为q 的等比数列， b n ，则有 C 20 W C n W C 21.log 2 b n故｛c n ｝的最大项为C 21=2.25，最小项为C 20 = — 4.(1 r)q n 13例8.设A 为数列｛a n ｝前n 项的和， 代(a n 1)(n N).数列｛b n ｝的通项公式为 2b n 4n 3( n N).且｛Sha n —1｝是公比为q (q >0)的等1).(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若d a i，a2，a3，a n bibb， ,b n，，则称d 为数列｛a n｝与｛b n｝的公共项•将数列｛a n｝与｛b n｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列｛d n｝，证明数列｛d n｝的通项是d n 32n1(n N);(3)设数列｛dn｝中的第n项是数列｛b n｝中的第r项，B为数列｛b n｝前r项的和，D n为数列｛d n｝前n 项的和，T n=B —D,求ii m Tn4 .n(a n)3解：(1)当n=l 时，由a1(a11),得a i=3；23 a当n A 2 时，由a n A n A n 1 -(a n a n 1),得亠3(n > 2)2 a n 1••• ｛a n｝是首项为3,公比为3的等比数列，故a n3n(n N).(2)证｛d n｝是等比数列显然d1=a3=27,设a i=3k是数列｛b n｝中的第m项，贝U 3k 4m 3(k, m N).a k 13k 1 3 3k3(4m 3) 4(3m 2) 1;a k 2是数列｛b n｝中的第m+1项.d n2T9n c2n 3 /3 (n N).(3) 由题意,32n14r3, r32n1 33(32n 1).44又B r r(b1b r)3(32n1)(732n1) D27(32n 1) 28D n8T n B r D934n2n15 36 ndm 1 d m 9, • ｛d n｝是首项为27,公比为9的等比数列a k 1不是数列｛b n｝中的项.而a k 2 k 2 k3 9 3 9(4m 3) 4(9m 6) 33k 23kT n故limn。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列的函数特性学案 北师大版必修5
数列的函数特性学习目标：理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。
学习过程：一、课前准备自主学习：数列概念及相关知识，通项公式阅读P6-7通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列的特性。
二、新课导入①递增数列：②递减数列：③常数数列：自主测评1、下列结论中正确的是（）①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点②任何一个数列都有无数次③数的通项公式存在且唯一A、①②B、②③C、①②③D、①2、已知数列1112,,,6323的一个通项公式为（）A、1nB、6nC、3nD、4n3、判断下列数列的增减性（）①11111,,,,2481632K K②-3，-1，1，3，5，7……③-3，2，-4，-5，1，6，-2……④-2，-2，-2，-2……⑤0，1，0，1，0，1……探究：是不是所有的数列都有增减性三、巩固应用例3：判断下列无穷数列的增减性（1）2，1，0，-1，…，3-n,… (2)123,2341n n +K K K K ，，，， 例4：作出数列11111,,,,,()248162n ---K K ，…的图像，并分析数列的增减性。
试一试：1、P 8 T 22、已知数列{}n a 中；123,6,a a ==且21n n n a a a ++=-，则数列的第100项为3、已知数列{}n a 中，223n a n n =-+，则数列n a 是增还是减数列4、已知数列{}n a 中，276n a n n =-+，求数列{}n a 的最小项四、总结提升1、探究结论2、数列与函数有什么关系？五、能力拓展1、已知数列{}n a满足1120090,);n a a n N a 则等于++==?（ ） A 、0 B、- CD 、2 2、数列{}n a 满足13n n a a ++=，若320082,a a =则等于 。
3、已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n ?（1）求数列{}n a 的通项公式（2）证明：数列{}n a是递减数列自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P9 AT5、6。
陕西省吴堡县吴堡中学2014-2015学年高二数学(北师大版必修5)课件第一章《数列在日常经济生活中的应用》2
单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本
金所产生的利息不再计算利息.其公式为 利息=本金×利率×存期 若以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本
金和利息和(简称本利和),则有
S=P(1+nr)
复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算
时每一期的本金,在计算时每一期的数额是不同的.复 利的计算公式是
S=P(1+r)n
例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的储 蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零 存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定 每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税). (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n 个月,试推导出到期整取时本利和的公式.
(3)若每月初存入一定金额,月利率是0.5%,希望 到 第12个月末整取时取得本利和为2000元.那么每月初应 存入的金额是多少?
例2.定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期 存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务, 第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转 存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:
(1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, 连存n年后,再取出本利和.试求出储户年后所得的本利 和的公式;
例2.定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期 存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务, 第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转 存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:
(2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率为1.98%, 那么5年后共得本利和多少万元?
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 神奇的数列拓展资料素材 北师大版必修5
神奇的数列波那契公元1202年，意大利数学家斐波那契（1170—1250）在所著的《算法之书》中，提出了一下又取得问题：有一对刚诞生的幼兔（雌雄各一只）。
经过一个月长成成年兔。
每对成年兔每个月生下一对新幼兔（雌雄各一只）。
假设兔子永远按着上述规律成长、繁殖，并不会死去，问到第12个月时共有多少对兔子？1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……这就是著名的斐波那契数列也叫做兔子数列。
该数列有很多奇妙的属性：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8×8的方格切成四块，拼成一个5×13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
计算机绘制的斐波那契螺旋自然界中的斐波那契数列最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。
蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的。
如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样。
当然受气候或病虫害的影响，真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。
每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。
曾在网上看到下面这样一组图，说的是花瓣数符合斐波那契数列各元素的各种植物，也许仅仅是巧合？另外，晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。
在生活中我们会遇到许多这样的数列。
1、有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?2、开始有三个数为1、1、1，每次操作把其中的一个数换成其他两个数的和。
高中数学 第一章 等比数列典型例题素材 北师大版必修5
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等比数列典型例题素材 北师大版必修5【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a ．【解析】方法1： 811622451612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴131********69110=⨯===q a q a a 方法2： 812162264===a a q，∴13122811624610=⨯==q a a 方法3：{}na 为等比数列∴13122216222261026102===⇒=⋅a a a a a a【例2】等比数列{}n a 中，252a a =-，341a a +=-，求数列{}n a 的通项公式．【解析】方法1：设公比为q ，251231121a q a q a q ⎧=-⎪⎨+=-⎪⎩ 解得 11814122a a q q =-⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=-⎪⎪=-⎩⎩或 则()1124n n a -=- 或1182n n a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭方法2：设公比为q ，知25342a a a a ==-。
343421a a a a =-⎧⎨+=-⎩ 解得3412a a =⎧⎨=-⎩ 或3421a a =-⎧⎨=⎩进而求出1a 和q ．【例3】已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a an -⋅=≥，则当1n ≥时，212221log log log n a a a -+++=（ ）A ． (21)n n -B ． 2(1)n +C ． 2nD ． 2(1)n -【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，0>n a ，则nn a 2=,+⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-， 选C ．【例4】 等比数列同时满足下列三个条件：⑴1611a a += ⑵93243=⋅a a ⑶三个数94 , ,324232+a a a 成等差数列．试求数列{}n a 的通项公式。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列创新题的基本类型及求解策略素材 北师大版必修5
数列创新题的基本类型及求解策略高考创新题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线．这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识，分析和解决数学问题的能力．当然数列创新题是高考创新题重点考查的一种类型．下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略． 一、创新定义型例1．已知数列{}n a 满足1log (2)n n a n +=+（n *∈N ），定义使123k a a a a ⋅⋅⋅⋅ 为整数的数k 叫做企盼数，则区间[1,2005]内所有的企盼数的和M =________．解：∵1log (2)n n a n +=+（n *∈N ），∴1232312......log 3log 4log (2)log (2)k k a a a a k k +=⋅⋅⋅+=+ ．要使2log (2)k +为正整数，可设1()22n k n ++=，即1()22n k n +=-（n *∈N ）． 令11222005n +-≤≤⇒19n ≤≤（n *∈N ）． 则区间[1,2005]内所有企盼数的和9912341011()(22)(22)(22)(22).......(22)n n n M k n +====-=-+-+-++-∑∑29234102(21)(222.......2)2918205621-=+++++⨯=-=-，∴2056M =． 评析：准确理解企盼数的定义是求解关键．解题时应将阅读信息与所学知识结合起来，侧重考查信息加工能力． 二、性质探求型例2．已知数列{}n a 满足31,2,3,4,5,67n n n n a a n +=⎧=⎨-⎩≥，则2005a =______．解：由3n n a a +=-，7n ≥知，63n n n a a a ++=-=．从而当n ≥6时，有6n n a a +=，于是知20053346111a a a ⨯+===． 评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的．其中性质探求是关键． 三、知识关联型例3．设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3,)i P i = ，使123,,,PF PF PF 组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为_______．解析：由椭圆第二定义知e i i iPF PP ='e i i i PF PP '⇒=，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即11FP，最大值为右焦点到左顶点的距离即211PF ，故若公差0d >11(1)n d +-，∴2121n d >+≥，∴1010d <≤．同理，若公差0d <，则可求得1010d -<≤． 评析：本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有一定的难度，可见命题设计者的良苦用心．解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后根据数列的通项公求出公差的取值范围． 四、类比联想型例4．若数列{}()n a n *∈N 是等差数列，则有数列123nn a a a a b n++++=()n *∈N 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{}n c 是等比数列，且0n c >，则有数列n d =_______也是等比数列．解析：由已知“等差数列前n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到n d 评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口． 五、规律发现型例5．将自然数1,2,3,4, 排成数陈（如右图），在2处转第一个弯，在3转第二个弯，在5转第三个弯，…．，则第2005个转弯处的数为____________．21―22 ―23―24―25－26 | | 20 7 ― 8 ―9 ―10 27 | | | 19 6 1 ―2 11 …… | | | | 18 5 ― 4 ―3 12 | | 17―16 ―15―14 ―13解：观察由1起每一个转弯时递增的数字可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4, ”．故在第2005个转弯处的数为：12(1231002)10031006010++++++= ． 评析：本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现．具体解题时需要较强的观察能力及快速探求规律的能力．因此，它在高考中具有较强的选拔功能． 六、图表信息型例6．下表给出一个“等差数阵”：ij ⑴写出45a 的值； ⑵写出ij a 的计算公式；⑶证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是21N +可以分解成两个不是1的正整数之积．解：⑴4549a =（详见第二问一般性结论）． ⑵该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：143(1)j a j =+-； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：275(1)j a j =+-，……， 第i 行是首项为43(1)i +-，公差为21i +的等差数列， 因此43(1)(21)(1)2(21)ij a i i j ij i j i j j =+-++-=++=++；⑶必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数,i j 使得(21)N i j j =++， 从而212(21)21N i j j +=+++ (21)(21)i j =++． 即正整数21N +可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若21N +可以分解成两个不是1的正整数之积，由于21N +是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得21(21)(21)N k l +=++，从而(21)kl N k l l a =++=可见N 在该等差数阵中．综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是21N +可以分解成两个不是1的正整数之积． 评析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式． 七、“杨辉三角”型例7．如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第n 行共有n 个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n ，中间任意一个数都等于第1n -行与之相邻的两个数的和，,1,2,,,.......(1,2,3,)n n n n a a a n = 分别表示第n 行的第一个数，第二个数，……．第n 个数． 求,2(2n a n ≥且)n ∈N 的通项式．122343477451114115............................................解：由图易知2,23,24,25,22,4,7,11,a a a a ==== 从而知,2{}n a 是一阶等差数列，即 3,22,24,23,25,24,2,2(1),22......(1)3......(2)4......(3)...............................1 (1)n n a a a a a a a a n n --=-=-=-=--以上1n -个式相加即可得到：,22,2,2(1)(2)(1)(2)234.......(1)222n n n n n n a a n a +-+--=++++-=⇒=+即2,222n n n a -+=(2n ≥且)n ∈N 评析：“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题．求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶（或二阶）等差数列结合求和方法来求解．有兴趣的同学不妨求出(,ij a i j *∈N 且)i j ≥的通项式． 八、阅读理解型例8．电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：进制中最大的数是 ． 解：通过阅读，不难发现：00101112,20212,31212=⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，0124020212=⨯+⨯+⨯， 0125120212=⨯+⨯+⨯，进而知0127121212=⨯+⨯+⨯，写成二进制为111．于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是111111化成十进制为6012345211212121212126321-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==-．评析：通过阅读，将乍看陌生的问题熟悉化，然后找到解决的方法，即转化成等比数列求解． 总之，求解数列创新题的关键是仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列有关知识来求解．。
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数列在生活中的应用
在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。
如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。
与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
这是对数学与生活关系的精彩描述。
首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题
随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。
众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。
这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。
下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
......
an+1=an(1+p)-a,.........................(*)
将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.
由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。
日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。
（二）有关数列的其他经济应用问题
数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。
一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。
因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。
(三)数列在艺术中的广泛应用
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是[5^(1/2)-1]/2，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“菲波那契数列”，这些数被称为“菲波那契数”。
特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。
菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n)/f(n-1)-→0.618…。
由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
不仅这个由1,1,2,3,5....开始的“菲波那契数”是这样，随便选两个整数，然后按照菲波那契数的规律排下去，两数间比也是会逐渐逼近黄金比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。
五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。
其实有关“黄金分割”，我国也有记载。
虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。
经考证。
欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。
正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。
接下来讲体系黄金律形式美法则的应用。
（黄金律两点重要内容：1、典型的美的比例；
2、由多次分割同一比值造成的重复的节奏。
有比例的重复，这是对艺术形式规律最本质的概况。
）
“根号2矩形”，纸的长宽比例，如果宽边为1，则长边为根号2，这个矩形使得整开纸以任何对开裁法，都能保持同一比例，大大方便了作为文化载体的纸的利用。
相似的还有三合板600乘以900cm的比例，以及相关家具、建筑材料、构件具有的相似的比例。
书法中一笔三转、一波三折等要诀，三横三点、三竖的互相联系——形状、距离、长短、方向角度等的处理。
书法中“二”字一长一短，“十”字竖笔被分为2∶3的两段，“口”、“田”则上宽下窄，“吕”、“炎”、“林”、“羽”则将本身是等大的两半部分分成一大一小，“品”、“森”则将本是等大的三部分写成三种大小，以上规律在行书中更为清晰。
中国书法美学的规律是与黄金比原则一致的。
西文中“S”、“B”等字母及阿拉伯“3”、“8”的上下两半比例适度。
拉丁文26个字母中，下行的是5个，上行8个，中行13个，所以连写数行，参差错落，比例适中，再加上大小写的比例差别，在视觉上也具有书法艺术的整体美感。
油画中的“三色法”，在一个有固定主调的色彩背景中配置三色（或三个笔触），一色是相对暖色，一色相对冷，第三色则是中性色，这个中性色绝不该是绝对值的“中间”色。
中性色稍有偏向，就拉近了或拉大了对两色的色距，对两个色距比例的选择，就是色彩的优选法。
素描的虚实、明暗程度、色块面积、复线排列的交叉穿插角度等，都可发现数的比值规律的运用，不详细讲。
中国画，画面都是“自一至万，自万法以治一”（石涛《画语录》），由“一条线”开始，以后的许多线都是这第一条线的相反相成的铺陈，以至完成全画。
“一笔”中的粗细、曲直、方圆、浓淡、干湿、虚实…… 美的线条：“蛇形曲线或称波状曲线”、“S形线”。