2016届湖北省枣阳市第二中学高三上学期期中考试数学(理)试题 word版

枣阳市第二中学高三年级2015-2016学年度上学期期中考试数
学（理科）试题
命题人：
满分150分，考试时间120分钟
★ 祝考试顺利 ★
第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分）
1．已知()23012331n
n n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），设()31n
x -展开式的二项式系数和为n S ，123n n a a a a T =+++⋅⋅⋅+（n *∈N ），n S 与n T 的大小关系是（ ） A ．n n S >T B ．n n S <T
C ．n 为奇数时，n n S <T ，n 为偶数时，n n S >T
D ．n n S =T
2．已知函数()cos f x x x =，()f x '是()f x 的导数，同一坐标系中，()f x 和()f x '的大致图象是（ ）
3．八人分乘三辆小车，每辆小车至少载人最多载4人，不同坐法共有（ ）
A ．770种
B ．1260种
C ．4620种
D ．2940种 4．已知()3
2
692f x x x x =-++，()f x '是()f x 的导数，()f x 和()f x '单调性相同的
区间是（ ）
A ．[][)1,23,+∞
B ．[]1,2和[)3,+∞
C ．(],2-∞
D ．[)2,+∞
5．“A ，B ，C ，D 四点不在同一平面内”是“A ，B ，C ，D 四点中任意三点不在同一直线上”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．某电视台娱乐节目中，需要在编号分别为、2、3、4、5的五个礼品盒中，装四个不同礼品，只有一个礼品盒是空盒．不同的装法有（ ）
A ．5种
B ．20种
C ．24种
D ．120种 7．已知命题:p 若6
π
α=
，则1sin 2α=
；命题:q 若1sin 2α=，则6
π
α=．下面四个结论中正确的是（ ）
A ．p q ∧是真命题
B ．p q ∨是真命题
C ．p ⌝是真命题
D ．q ⌝是假命题
8．已知函数()x
x
f x e e -=-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），()f x 的导数是（ ）
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．增函数
D ．减函数 9．已知随机变量()10,0.04ξB ，随机变量ξ的数学期望()ξ
E =（ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．2 D ．4 10．已知函数2
221y x x =-+的导数为y '，y '=（ ）
A ．22x -
B ．41x +
C ．42x -
D ．21x +
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分．）
11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则
2
1
V V 的值是
．
A 1
12．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆056:2
2=+-+x y x C ，点B A ,在圆C 上，且
32=AB ，则OA OB +
的最大值是 ．
13．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为 ．
14．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A ，B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：
①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ；
④平面PAC ⊥平面PBC ．
其中正确的命题是 （填上所有正确命题的序号）
15．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ．
16．直线y=kx+3与圆（x-1）2
+（y+2）2
=4相交于M,N 两点,若32≥MN ,则实数k 的取
值范围是 ．
17．直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，恒过定点 ．
三、解答题（本大题共5小题，共65分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）
18．（本小题满分13分） 如图，已知点A （1，）是离心率为
的椭圆C ：22
22
1,(0)y x a b a b +=>>的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值． 19．（本小题满分12分）已知三棱柱ABC －C B A '''中，平面B C BC ''⊥底面ABC ，BB′⊥AC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，A A '＝3，E 、F 分别在棱A A '，C C '上，且AE ＝F C '＝2．
（Ⅰ）求证：B B '⊥底面ABC ；
（Ⅱ）在棱B A ''上找一点M ，使得M C '∥平面BEF ，并给出证明． 20．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为,,,,A B C D E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成 绩为A 的人数； （Ⅱ）若等级,,,,A B C D E 分别对应5分,4分,3 分,2分,分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A ．在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率．
21．（本小题满分14分）已知函数27()sin 22sin 1()6f x x x x π⎛⎫
=--+∈ ⎪⎝⎭
R ， （Ⅰ）求函数()f x 的周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知函数()f x 的图象经过
点1,,,,2A b a c ⎛⎫
⎪⎝⎭
成等差数列，且9AB AC ⋅= ，求a 的值． 22．（本小题满分l4分）已知函数1
()(1)ln ,()f x ax a x a R x
=+-+∈． （Ⅰ）当a=0时，求 ()f x 的极值； （Ⅱ）当a<0时，求 ()f x 的单调区间；
（Ⅲ）方程()0f x =的根的个数能否达到3，若能请求出此时a 的范围，若不能，请说明理由，
参考答案
选择：
1-5．CCCBA 6-10DBABC 填空：
11．
91 12．8
13．4
2
a
14．②④
15．()()2
2
211x y -+-= 16．⎥⎦
⎤
⎝⎛-
∞-512,
17．()2-1-，解答题：
18．（Ⅰ）
22
1,
42
y x
+=（Ⅱ）详见解析
试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，只需列出两个独立条件即可：一是离心率，二是点在椭圆上，（Ⅱ）证明直线AB、AD的斜率之和为定值，先从点的坐标出发，将斜率用坐标表示，利用直线与椭圆联立方程组得到坐标之间等量关系：设D（x1，y1）、B
（x2，y2），则x1＋x2＝
－m，x1x2＝
24
4
m-
，而k AD＋k AB
＝+=+
12
1212
2
1
x x
m
x x x x
+-
=
--+
，最后代入化简即可．
试题解析：（Ⅰ）解由题意，可得e
，将（1
）代入
22
22
1
y x
a b
+=，得
22
21
1
a b
+=，又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b
，c
，
所以椭圆C的方程为
22
1,
42
y x
+=
（Ⅱ）证明设直线BD的方程为y
x＋m，又A、B、D三点不重合，所以m≠0．设D（x1，y1）、B（x2，y2），
由
22
24
y m
x y
⎧=+
⎪
⎨
+=
⎪⎩
得，4x2＋
mx＋m2－4＝0，
所以Δ＝－8m2＋64＞0，∴－
m＜
，
x1＋x2
m①，x1x2＝
24
4
m-
②．
设直线AB、AD的斜率分别为k AB、k AD，
则k AD＋k AB
＝+=+
12
1212
2
1
x x
m
x x x x
+-
=
--+（*）．… 11分
将①②式代入（*），
得0
=
所以k AD＋k AB＝0，即直线AB、AD的斜率之和为定值0．
考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系
19．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）M为A′B′的中点．
试题分析：（Ⅰ）先将面面垂直转化为线面垂直：取BC中点O，则AO⊥BC，即由平面BCC′B′⊥底面ABC得AO⊥平面BCC′B′，从而AO⊥BB′，又BB′⊥AC，因此由线面垂直判定定理得BB′⊥底面ABC．（Ⅱ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，关键在于找出线线平行．这时一般利用平几知识进行转化，如利用平行四边形．
试题解析：（Ⅰ）证明取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，又因为平面BCC′B′⊥底面ABC，AO⊂平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，
所以AO⊥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B，所以AO⊥BB′．
又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC．
所以BB′⊥底面ABC．
（Ⅱ）显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，过M作MN ∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥CF，即C′M和FN共面，
所以C′M∥FN，
所以四边形C′MNF为平行四边形，
所以MN＝2，
所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．
考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理
20．（Ⅰ）3（Ⅱ）2．9（Ⅲ）1 6
试题分析：（Ⅰ）先根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数确定参加考试所有人数：100.2540
÷=人，再根据“阅读与表达”科目中成绩为A的频率0．075，因此人数为3人（Ⅱ）根据频率可求平均分：10.220.130.37540.2550.075 2.9
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）先确定至少一科成绩为A的考生的人数：恰有两人的两科成绩等级均为A，2人只有一个科目得分为A，然后利用枚举法列举所有基本事件，共6个，其中两人的两科成绩均为
A的只有一种，最后根据古典概型概率公式求得1 6
试题解析：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有100.2540
÷=人
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753
⨯----=⨯=
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
10.220.130.37540.2550.075 2.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A ，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为
{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁},有6个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B ，所以事件B 中包含
的基本事件有1个，则
1()6P B =
．
21．（Ⅰ）[,]()
3
6
k k k Z π
π
ππ-
+
∈
（Ⅱ）a =
试题分析：（Ⅰ）研究三角函数性质，首先将三角函数解析式化为基本三角函数，这时要用
到两角差正弦公式、二倍角公式及配角公式：
()f x sin(2)
6x π
=+，再从基本三角函数性质出发求周期及单调区间（Ⅱ）先根据条件确定角A 的值,
3π
，再利用数量积确定18bc =，
最后利用余弦定理求边．
试题解析：解：
2711()sin(
2)2sin 1cos 22cos 2cos 22622f x x x x x x x x π=--+=-++=+ sin(2)6
x π
=+
（Ⅰ）最小正周期22T ππ=
=,由222()262
k x k k Z πππ
ππ-≤+≤+∈得()3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
所以()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k Z π
π
ππ-
+
∈ （Ⅱ）由1()sin(2)62f A A π=+=可得2266A k πππ+=+或52()6k k Z π
π+∈所以
,3
A π
=
又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+，而1
cos 9,182
AB AC bc A bc bc ⋅==== ，
因此22222
1()4cos 111,223612
b c a a a a A a bc +--==
-=-=-=
22．（Ⅰ）)(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值； （Ⅱ）当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，
单调递增区间是)1
,1(a
-； 当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；
当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1
,0(a -，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a
- （Ⅲ）不能，理由见解析．
试题分析：第一问将函数解析式确定，利用倒数求得函数的单调区间，从而确定出函数的极值，第二问应用函数的倒数，确定出倒数等于零的点，注意对两个零点的大小进行讨论，从而确定出函数的单调区间，第三问结合函数的单调性，确定出函数的根的个数，从而得出结果，零点不可能有3个．
试题解析：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞． 当0=a 时，x x x f 1ln )(+
= ，22111)(x
x x x x f -=-='． 令0)(='x f ，解得1=x ，
当10<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f ． 所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞； 所以1=x 时， )(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值
（Ⅱ）2222
11(1)1(1)(1)
()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x
----+-'=--==> 令0)(='x f ，得1=x 或a
x 1
-= 当01<<-a 时，a
11-
<，令0)(<'x f ，得10<<x 或a x 1
->，令0)(>'x f ，得
a
x 1
1-<<；
当1-=a 时，0)1()(2
2
≤--='x x x f ． 当1-<a 时，110<-
<a ，令0)(<'x f ，得a
x 1
0-<<或1>x ，令0)(>'x f ，得11
<<-
x a
； 综上所述：
当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，单调递增区间是)1,1(a
-； 当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；
当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1
,0(a -，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a
- （Ⅲ）0≥a 时)0()
1)(1()(2
>-+=
'x x x ax x f
)0(0)(>='∴x x f 仅有1解，方程0)(=x f 至多有两个不同的解．
（注：也可用01)1()(min >+==a f x f 说明．）
由（Ⅱ）知01-<<a 时，极小值01)1(>+=a f ，方程0)(=x f 至多在区间),1
(+∞-a
上有1个解．
-1a =时)(x f 单调，方程0)(=x f 至多有1个解．
1-<a 时，01)1()1(<+=<-a f a
f ，方程0)(=x f 仅在区间)1
,0(a -内有1个解；
故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3．
考点：函数的极值，函数的单调区间，函数的零点，分类讨论思想．。