贝努里概型

ＨＮ０Ｌ０ＧＹ ｌ ＮＦ Ｏ ＲＭＡ ＴＩ ＯＮ
学 术 论 坛
贝努 里 概 型
许 文 琰 （ 苏 州技师学院 江 苏苏州 ２ １ ５ ０ ０ ０ ） 摘 要： 贝努 里概 型是一 种既 简单又非常 重要的概 型， 这种概 型是概率 论 中最早研 究 的模 型之一 ， 也是得 到最 多研 究的模型之 一 。 在概 率 论 中对概 率分布 的学 ＞ － ｊ、 概 率的近似 计算 有着非常重 要的作 用 。 它在现 实生 活生 产中和 在 自然科学试验 中也有 着直接 的应 用， 并在其 中 发挥 着重要 的作 用， 为其 解决 问题提 供 了理论 支持 。 该文 就 贝努里概 型及 其应 用展 开 了解 。 关键词 ： 贝努 里概型 贝努 里试验 中 图分 类 号 ： ０ ２ １ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章编 号 ： １ ６ ７ ２ － ３ ７ ９ １ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ （ ａ ） 一０ １ ９ ６ —０ ２
Ｂ（ ４ ０ ０ ０ ， ０ ． ０ ０ ２ ）， 故所求概率 为 ：
Ｐ （ Ｘ ≥２ ） ＝ １ 一 Ｊ Ｐ （ ＝０ ） 一 Ｐ （ Ｘ ＝１ ）
＝
１ 一 ０ ０ ｘ０ ． ９ ９ ８ 。 ０ ｏ ×０ ． ０ ０ ２ 。 一 ０ ０ ０ ｘ０９９ ８ ” ｘ ００ ０ ２ 。
随 身 带 有 两盒 火 柴 ， 吸 烟 时 从 任 一 盒 中取 至 少有 ２人 发 生 过 敏 反应 的概 率 。 根火柴 ， 经过 若 干 时 间后 ， 发现 一盒 火 柴 解 以 表 示 ４ ０ ０ ０ 人 中 发生 过 敏 反 已经用完 。 如 果 最 初 两 盒 火 柴 中 各 有 ｎ根 应 的 人 数 ，那 么 服 从 二 项 分 布
． ．
＝
０． ９９ ７
如 甲盒 已空 乙 盒 还 剩 ， ． 根 火柴 ， 则 在 此 之 前 已经取过 ２ ｎ 一， ． 次， 其 中恰好有 ， ｚ 次 取
于 甲盒 ， 有 ｎ— 次 取 于 乙 盒 ，２ ｎ—ｒ ４ － １ 次
这 个 概率 很接 近 于 １ 。 这 表 明虽 然 药 品 的过 敏 反应 很 低 ， 但如果 ４ ０ ０ ０人 使用 此 药
一
火柴 ， 求 这 时 另一 盒用一 次火 柴 看作 一次 试验 ， 每 次试 验 的结 果 只 有 两 个 ： 取于 甲盒 （ 记为 ） 和 取 于乙 盒 （ 记 为 ） ， 由于 使 用时 从 任 一 盒 中取 ， 因此 尸（ ＝Ｐ（ ） ＝０ ． ５． 假
品， 则 至 少 ２人 发 生 过 敏 反 应 是 几 乎 可 以 肯定的。 这个事实说明， 一 个 事 件 尽 管 在 一 必 取 于 甲盒 ， 因此这种情况的概率为 ： 次 试 验 中发 生 的 概 率 很 小 ， 但 只 要 试 验 的 １ １ １ 次数很 多， 而 且 试验 是 独 立 进 行 的 ， 那 么这 Ｐ ： ｌ乙 ｎ （ ｛ ） ） … 事件发生 几乎是肯定 的 ， 这 告 诉 人 们 决 假 如 乙 盒 已空 而 甲盒 还 剩 ，根 火 柴 ， 不能轻视小事件 。 贝努 里 概 型还 与概 率 论 中 的 另 一 重 要 同样 的 道 理 可 得 这 种 情 况 的概 率 为 ： １ １ １ 的 溉率 模 型一 一 古典 概 型 有 着 千 丝 万 缕 的 Ｐ ： 亡 （ 一 ， （ 寺 ） （ 寺 ） 一 联系， 它们 好 像 一 对 双 胞 胎 兄 弟 ， 咋 一 看 貌 二 １ 预备知 识 似 长一 样 ， 但 究 其 根 源 却 有 着 本 质的 区别 ， 因 此 一 盒 火 柴 已经 用 完 而 令 一 盒 中还 在 许 多 概 率 问题 中 ， 试 验 中某 事 件 Ａ 下 面 我 们就 来 看 看 贝努 里 概 型 与 古 典 概 型 是 否发 生 受 到 的 关 注较 多 。 例如 ， 在 产 品调 剩 根 的概 率 为 ： 之 间的联系 。 查 中 注 意 的 是 抽 到 次 品还 是 抽 到 正 品 ； 在 １ １ １ １ ． ３ 贝 努里概 型和 古典 概型 掷 硬币时注意 的是出现正面还 是反面等 ， Ｐ ＝ Ｐ ． ４ － Ｐ ＝ ， （ ｛ ） （ ｛ ） …＝ （ 言 ） ． 占典 概 型 是概 率论 中 最 早 被 研 究 的 概 在 这 类 问题 中试 验 产 生 的 结 果 只 有 两 个 ， 我 们 知 道 进 行 贝 努 里 试 验 时 随 机 变 量 率模型 ， 是 一 类 较 简单 的 随 机 试 验 。 即 Ａ 和 。 像 这 样 只有 两 个 可 能 结 果 的试 只 取 有 限 个 ， 所 以 贝 努 里 概 型 就 是 离 散 型 定义 如 果 一个 随机 试 验满 足 下述 两 验 成 为 贝努 里 试 验 ， 投 币试 验 就 是 最 简 单 概 率 分 布 ， 而 贝努 里 概 型 与四 种 重 要 的 离 个条件 ： 的 贝努 里 概 型 。 在 相 同 的 条件 下 ， 将 同 一个 散 概率 分 布 之 一 二 项 分 布 之 间 有 着 重 （ １ ） 有限性。 它 的 基 本 事 件 空 间 只 有 有 试 验 独 立 重 复 进 行 次 ， 这 种 随 机 试 验 称 要 联 系 ， 可以 说 二 项 分 布 是 贝 努 里 概 型 背 限个基本事件 ； 为 重贝努里试验 。 现在我们 来看看 ， ｚ 重贝 后 的影子。 （ ２ ） 等可能性 。 每 个 基 本 事 件 出 现 的 可 努里试验的定 义。 １ ． ２ 贝 努里概 型和 二项 分布 能性相等 ； １． １贝 努里概 型 的定义 在 于 ｚ 重 贝努 里 试 验 中 ， 设 表 示 重 则称这种 随机试 验为 古典随机 试验 ， 关于 ｒ ｌ 重 贝努里概 型的定 义 ， 尽 管 在 贝 努里 试 验 中事 件 Ａ 发生 的 次 数 ， 则 的 即 古典 概 型 。 各种教材 的叙述不尽相 同， 但 都 是 指 满 足 可 能 取 值 为 ０ ， １ ， ． ． ． ， ｎ ， 我们知 ： 贝努里概型、 古典概型各有各的定义 、 下 列 条 件 的 一 系列 实 验 ： 条件 及计算方法 。 但 在 有 些 问 题 的 计 算 上 Ｐ ＝Ｐ （ Ｘ＝ ） ＝ｃ ｐ ｇ 一 （ ｋ＝０ ， １ ， ２ ， ． ． ． ， ） （ １ ） 次试验时独立的 ， 即 每 次 试 验 的 可以 看 作 是 古 典 概 型 也 可 以 视 为 贝 努 里 概 结 果 都 与 其 它 各 次 试 验 的 结 果 无关 ； 而 Ｐ ＝ ｐ ｑ （ ｋ＝０ ， １ ， ２ ， …， ）恰 型 ， 所以在分 析问题的 时候要首先根 据 问 （ ２ ） 每 次 试 验 只 有 两 个 结 果 Ａ 和 ， 且 题 的内容来正 确区别所 属概型 ， 然 后 再 选 好 是 二项 式 ［ Ｐ４ －（ １ 一ｐ ） ］ 的展 开 式 的第 择 不同的方法 计算 ， 这 样 才 能 得 出正 确 的 它 们 出 现 的 概率 Ｐ（ ） ＝Ｐ （ ０ ＜Ｐ＜１ ） ｋ＋１项 ， 称 此 分 布列 为 二 项 分布 ， 记 为 结 论 。 现 结 合 下 面 的例 题 来 阐 明 它 们 之 间 Ｐ （ ） ＝ｑ （ Ｐ＋ ｇ ＝１ ）， 在每次试验中 的联系 。 Ｂ（ ｎ ， ｐ ）。 是 不变的 。 １ 特 别当 ｎ ＝ｌ 时 ， 我 们 称 二 项 分 布 为 例３ 抛一 枚均 匀硬 币 ， 正面 或 反面 则 称 这 种 试 验 为 重 贝 努 里 ０ —１ 分布 或两点分布 ， 它描 述 了一 次 伯 努 （ Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ ） 试验 ， 简 称 贝努 里 试 验 或 贝 努 出现 的概 率都 是 ， 反 复这 样的 投掷 ， 数 列 利 试 验 中事 件 Ａ 发 生 的 次 数 ， “ 抛硬币” 试 里 概型 。 ｛ ｝ 定义如下： 验 等都 可 以用 ０ 一 １分 布 的 随 机 变 量 来 表 在 重 贝 努 里 试 验 中 ， 事 件 Ａ 恰 好 发 １， 第 次 投 掷 出现 正 面 ， 述。 现 结 合 下 面 的 例 题 来 阐 明 它 们 之 间 的 生 七次 的概 率 为 ： 口 ＝ ０ ， 第 次 投掷 出现 反面 ， 关 系。
贝 努 里 家 族 在 数 学 弓科 学 上 的 地 位 正 如 巴 赫 家 族 在 音 乐 领 域 的 地 位 一 样 的 显 赫。 这 个 非 凡 的 瑞 士 家 族 在 三代 时 间 里 产 生 了十余位数学 家和物理学家 ， 其 中 有 八 位数学家 ， 里面 三位 是 杰 出的 ， 他 们 是 雅 可 布、 约翰 、 丹尼尔 。 而 贝努 里 概 型 就 是 雅 可 布． 贝努 里 提 出 来 的 。 贝 努 里 概 型 是 一 种 既 简 单 又 非 常 重 要 的概型 ， 这 种 概 型 是 概 率 论 中最 早 研 究 的 模型之一 ， 也是 得到 最 多 研 究 的 模 型之 一 。 在 概 率 论 中对 概 率 分 布 的 学 习 、 概 率 的 近 似 计 算 有 着 非 常 重要 的 作 用 。 它 在 现 实 生 活 生 产 中和 在 自然 科 学 试 验 中也 有 着 直 接 的应用 ， 并 在其 中发 挥 着 重 要 的 作 用 ， 为 其 解 决 问题 提供 了理 论 支 持 。 而且， 揭示 这 种 简单概 型的规律 ， 对 于 以 后 研 究 更 复 杂 的 概型有 着一定 的指导意义和理 论支撑 。 下 面我们就 贝努里概型及其应用展开 了解。