恒成立问题
恒成立问题
恒成立问题恒成立问题是历年高考卷中必考的一个重要考点，常见有两种类型：○1存在性恒成立；○2任意性恒成立。
恒成立问题处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解。
存在性恒成立：存在实数x ，使不等式成立，求a 的取值范围？有时候也称为有解问题： ○1 a>f(x)成立，则a> [f(x)]min 。
；○2方程a=f(x)成立，则a ∈f(x)的值域； ○3 a<f(x) 成立，则a<［f(x)］max,。
注意[f(x)]的最值能否取到，决定a 有无等号。
任意性恒成立：任意实数x ，不等式恒成立。
○1方程a=f(x)成立，则a ∈f(x)的值域；○2a>f(x)成立，则a>［f(x)］max,；○3 a<f(x) 成立，则a<[f(x)]min ；注意[f(x)]的最值能否取到，决定a 有无等号。
基础训练：1．若方程1cos sin 322cos +=-k x x x 有解，则k 的取值范围2．函数862++-=k x kx y 的定义域为R ，则k 的取值范围是____________3.已知函数b ax x x f ++=2)(.若对任意的实数x ，都有a x x f +≥2)(，则b 的取值范围______4.已知25()2x f x x -=，2(32sin )32f m m θ+<+-对一切R θ∈恒成立， 则实数m 的取值范围为典型例题： 若不等式2222tt a t t +≤≤+，在上恒成立，则a 的取值范围____________]2,0(∈t设0a >，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为 .12. 设()f x 是定义在(]2-∞，上的减函数，且22(sin 1)(cos )f a x f a x --+≤对一切x ∈R 都 成立，则a 的取值范围是 .检测与反馈：1．设πβππα2,0<<<<，关于x 的等式++)cos(αx 0cos 2)sin(=++x x β，若对任意的R x ∈恒成立，则_____________,==βα2.设函数（x ∈R ），若对于任意[]1,1x ∈-，都有()f x ≥0 成立，则 实数a =___ ___3.若不等式0lg ])1[(<--a a n a 对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是4．已知R x x f x ∈=,2)(，可以表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，若不等式ag(x)+h(2x)≥0对x ∈[1,2]恒成立，则实数a 的取值范围是____________5．已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，()331f x ax x =-+求实数a 的取值范围；（2）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。
第10讲 恒成立能成立3种常见题型(解析版)
第10讲恒成立能成立3种常见题型【考点分析】考点一：恒成立问题若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>；不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥；不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<；不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；考点二：存在性问题若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<；不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤；不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>；不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；考点三：双变量问题①对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤；②对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥；③若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤；④若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥；⑤对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；⑥对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；⑦若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤⑧若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥．【题型目录】题型一：利用导数研究恒成立问题题型二：利用导数研究存在性问题题型三：利用导数处理恒成立与有解问题【典型例题】题型一：利用导数研究恒成立问题【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数x ，不等式ln 1x x a -+>恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．2a <C ．1a >D ．2a >【答案】B【详解】令()ln 1f x x x =-+，其中0x >，则()min a f x <，()111x f x x x-'=-=，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，所以，()()min 12f x f ==，2a ∴<.故选：B.【例2】【2022年全国甲卷】已知函数()a x x xe xf x-+-=ln ．(1)若≥0，求a 的取值范围；【答案】(1)(−∞,+1]【解析】(1)op 的定义域为(0,+∞)，'(p =(1−12)e −1+1=1(1−1)e +(1−1)=K1(e+1)令op =0,得=1当∈(0,1),'(p <0,op 单调递减，当∈(1,+∞),'(p >0,op 单调递增o )≥o1)=e +1−，若op ≥0,则e +1−≥0,即≤e +1，所以的取值范围为(−∞,+1]【例3】已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R ．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤.【解析】【分析】（1）求()'f x ，分别讨论a 不同范围下()'f x 的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合()10f =，分别求出a 的范围再求并集即可.【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x-++=-=当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a +>，即1a >-时，x =或x =，所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；当1a >-1≤，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述：0a ≤.【例4】已知函数()ln f x x ax =-（a 是正常数）.（1）当2a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）若0x ∀>，()0f x <，求a 的取值范围；【答案】（1）()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 的极大值是ln 21--，无极小值；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；（2）依题意可得maxln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，设()ln x g x x =，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：（1）当2a =时，()ln 2f x x x =-，定义域为()0,∞+，()1122x f x x x-'=-=，令()0f x '>，解得102x <<，令()0f x '<，解得12x >，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极大值是1ln 212f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，无极小值.（2）因为0x ∀>，()0f x <，即ln 0x ax -<恒成立，即maxln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.设()ln x g x x =，可得()21ln xg x x -'=，当0x e <<时()0g x '>，当x e >时()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()max 1e e g x g ==，所以1a e >，即1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.【例5】已知函数()xf x xe=（1）求()f x 的极值点；（2）若()2f x ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1x =-是()f x 的极小值点，无极大值点；（2）a e ≤.【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的极值点.（2）由题设知：xe a x≤在0x >上恒成立，构造()x e g x x =并应用导数研究单调性求最小值，即可求a 的范围．【详解】（1）由题设，()(1)xf x e x '=+，∴1x <-时，()0<'x f ，()f x 单调递减；1x >-时，()0>'x f ，()f x 单调递增减；∴1x =-是()f x 的极小值点，无极大值点.（2）由题设，()2xx f x xe a =≥对0x ∀>恒成立，即x ea x≤在0x >上恒成立，令()xe g x x =，则2(1)()xe x g x x'-=，∴01x <<时，()0g x '<，()g x 递减；1x >时，()0g x '>，()g x 递增；∴()(1)e g x g ≥=，故a e ≤.【题型专练】1.（2022·四川广安·模拟预测（文））不等式ln 0x kx -≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．[)0,eB ．(],e -∞C ．10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】由题可得ln xk x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，然后求函数()()ln 0x f x x x=>的最大值即得.【详解】由题可得ln xk x≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()()ln 0x f x x x =>，则()()21ln 0xf x x x-'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；所以()()max 1e ef x f ==，所以1ek ≥.故选：D.2.（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数()ln 2f x x x ax =++．(1)当0a =时，求()f x 的极值；(2)若对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)极小值是11+2e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.(2)222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由题设可得()ln 1f x x '=+，根据()f x '的符号研究()f x 的单调性，进而确定极值.（2）()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，转化为：2ln 2ln x x a x x x+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令()2ln g x x x=+，通过求导求()g x 的单调性进而求得()g x 的最大值，即可求出实数a 的取值范围.(1)当0a =时，()ln 2f x x x =+，()f x 的定义域为()0+∞，，()ln 1=0f x x '=+，则1ex =.令()0f x '>，则1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()0f x '<，则10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1e x =时，()f x 取得极小值且为1111ln 2+2e e ee f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，无极大值.(2)()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，则2ln 2ln x x a x x x+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令()2ln g x x x=+，()222120x g x x x x -+'=-+==，所以2x =，则()g x 在[)1,2上单调递减，在(22,e ⎤⎦上单调递增，所以()12g =，()222e 2e g =+，所以()()22max 2e 2e g x g ==+，则222e a -≥+，则222ea ≤--.实数a 的取值范围为：222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭.3.（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a R =-+-∈.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(2)(],4-∞【解析】【分析】（1）求函数()f x 的单调递增区间，即解不等式()0f x '>；（2）参变分离得32ln a x x x≤++，即求()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞的最小值.(1)()ln f x x x =定义域为(0,)+∞，()ln +1f x x '=()0f x '>即ln +10x >解得1e x >，所以()f x 在1,)e∞+（单调递增(2)对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，即()21ln 32x x x ax ≥-+-恒成立，分离参数得32ln a x x x≤++.令()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞，则()()()231x x h x x +-'=．。
函数中的恒成立问题(六个类型)
3.使f(x)在[-1,1]上的最大值在[-1,1]上的最大值小于g(x)在[-1,1]上的最大值;
5.使f(x)在[-1,1]上的值域是g(x)在[-1,1]上值域的子集.
6.使f(x)在[-1,1]上的值域与g(x)在[-1,1]上值域有交集.
4.不等式 有解，则实数 的取值范围是．
5.不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
6.不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
答案1. 2. 3. 4. 5. 6.
4.若对任意x1∈[-1,1],存在x2∈[-1,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围;
5.若对任意x1∈[-1,1],存在x2∈[-1,1],使得f(x1)=g(x2),求a的取值范围.
6.若存在x1.x2∈[-1,1] ,使得f(x1)=g(x2),求a的取值范围.
思路点拨:
1.使h(x)=f(x)-g(x)的最大值小于0;
结论已知 为参数, 的值域是 .
(1)若 恒成立,则 .
(2)若 恒成立,则 .
(3)若 的解集是 ,则 .
(4)若 的解集是 ,则 .
(5)若 有解,则 .
（6）若 有解,则
根据这一结论，请回答下列问题：
1.不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是．
2.不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是．
3.不等式 有解，则实数 的取值范围是．
为便于对比，特将一些常见问题以题组形式给出，仅供参考：
已知f(x)= ,g(x)=2x-a,
1.若对任意x∈[-1,1],恒有f(x)<g(x),求a的取值范围;
2.若存在x∈[-1,1],使得f(x)<g(x),求a的取值范围;
恒成立问题的方法
恒成立问题的方法
恒成立问题的解决方法取决于具体问题的性质和条件。
在解决恒成立问题时，以下是一些常见的方法：
1. 代入法：将问题中给定的条件代入待证明的恒等式中，以验证等式是否在所有可能的情况下都成立。
2. 推导法：通过逻辑推理和数学推导来证明等式的恒成立。
这可能涉及使用已知的数学定理、性质和规则，以及逻辑推理的方法（例如，归谬法、数学归纳法等）。
3. 反证法：假设待证明的等式不成立，然后通过逻辑推理和数学推导，推导出矛盾的结论。
这证明了原始的假设是错误的，从而证明了恒成立。
4. 直接证明法：对待证明的等式进行等式变换和运算，将其化简为其他已知的等式或恒等式。
通过逐步展示所有步骤的正确性，从而证明恒成立。
5. 归纳法：适用于需要对自然数（或其他递归结构）进行证明的问题。
通过首先证明基本情况，然后假设恒等式在某个特定情况下成立，最后证明在下一个情况下也成立，从而归纳论证恒成立。
6. 构造法：通过构造一个满足条件的例子或特殊情况，来证明待证明的等式的恒成立。
这些方法可以单独使用，或者在解决问题时结合使用。
同时，不同的问题可能需要使用不同的方法和技巧，因此在解决恒成立问题时，灵活、创造性和逻辑性是非常重要的。
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
恒成立问题
恒成立问题1.不等式的恒成立问题（1）一般不等式：a x f >)(恒成立⇔a x f >min )]([ a x f <)(恒成立⇔ a x f >)(解集非空⇔a x f >max )]([ a x f <)(解集非空⇔ a x f >)(无解⇔a x f ≤max )]([ a x f <)(无解⇔ a x f ≥)(恒成立⇔a x f ≥min )]([ a x f ≤)(恒成立⇔ a x f ≥)(解集非空⇔a x f ≥max )]([ a x f ≤)(解集非空⇔ a x f ≥)(无解⇔a x f <max )]([ a x f ≤)(无解⇔(2)二次不等式（设R c b a c bx ax x f ∈++=,,,)(2）(a)0)(>x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 ； (b)0)(≥x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 ; (c)0)(<x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 . （注：若二次项系数含有参数，须分“0=a ”、“0≠a ”讨论）补充说明：a x f >)(恒成立⇔a x f >)(的解集为R ⇔ a x f ≤)(无解a x f <)(恒成立⇔a x f <)(的解集为R ⇔a x f ≥)(无解恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型； ②二次函数型； ③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图象。
现在我们一起来探讨其中一些典型的问题。
一、一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f例1、对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>a+2x 恒成立的x 的取值范围。
恒成立问题题型大全（详解详析）
不等式中恒成立问题在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：2f(x) 0在x Rf(x) ax bx c(a 0)类型1：设，（1）且 0f(x) 0在x R；上恒成立 a 0且 0 a 0（2）上恒成立。
2f(x) ax bx c(a 0)类型2：设f(x) 0在x *,+a 0（1）当时，上恒成立或或bbb2a2a2a，() 0 f() 0 f() 0 0ff(x) 0在x *,+ 上恒成立f() 0 f() 0 f(x) 0在x *,+a 0 （2）当时，上恒成立f() 0 bbbf(x) 0在x *,+ 或或2a2a2a 上恒成立类型3：f() 0 0f() 0f(x) 对一切x I恒成立 f(x) min f(x) 对一切x I恒成立 f(x) 。
max类型4： f(x) g(x)对一切x I恒成立 f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x) g(x)minmax(x I) 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质f(x) kx b,x *m,n+ 对于一次函数有：恒成立 ,f(x) 0恒成立 f(m) 0f(m) 0 f(x) 0f(n) 0f(n) 0 12m2 m 22x1 m(x1)例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：222 m 2m(x1)(2x1) 0f(m) m(x1)(2x 1)，；令，则时，恒成2 f(2) 02(x1)(2x1) 0 f(m) 0立，所以只需即，所以x的范围 f(2) 02 2(x1)(2x1) 01713x (,)是。
22二、利用一元二次函数的判别式2f(x) ax bx c 0(a 0,x R) 对于一元二在x R（1）上恒次函数有： a 0且 0f(x) 0成立； a 0且 0f(x) 0在x R（2）上恒成立2(m1)x(m1)x2 0例2：若不等式的解集是R，求m的范围。
恒成立问题
2
y loga x
三、数形结合法
2 1 【例5】若不等式 3x loga x 0 在 x 0, 内恒成立，求实数a的取值范围。
3
1 分析与解： 由题意知 ： 3x 2 loga x 0 在 x 0, 内恒成立。 3
在同一坐标系内分别作出
1 2
例3.不等式 ＜1对一切实数x恒成立，求实数m的 取值范围。 解：由4x2+6x+3=(2x+ )2+
＞0,对一切实数x恒成立，从而，原 不等式等价于 2x2+2mx+m＜4x2+6x+3, (x∈R) 即：2x2+(6-2m)x+(3-m)＞0对一切实 数x恒成立。 则 △=（6-2m）2-8(3-m)＜0 解得：1＜m＜3 故实数m的取值范围是（1，3）。
2.不等式x2-3>ax-a对一切3≤x≤4恒成立,则实数a的取值范围
是
.
【解析】因为x2-3>ax-a对一切3≤x≤4恒成立,
x2 3 所以a< 在x∈[3,4]恒成立, x 1
令g(x)=
x2 3 而g(x)= 在x∈[3,4] x 1 2 2 2 单调递增x , 3 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1
故k的取值范围是（-∞，-2）∪（3，+∞）。
1 已知函数f x 3 sin x , 若f x 2 sin x a 2 a sin x 对任意x 0, 都成立，则实数 a的取值范围是 2
1 解 : 因为f x sin x sin x , 令g x sin x 1 sin x , 又因为x 0, , 所以g x sin x sin x 2 1 2 2, 所以只需2 a a成立，解该 sin x 不等式 - 1 a 2
恒成立问题知识点总结
恒成立问题知识点总结一、恒成立问题的概念和特点1.恒成立问题的定义恒成立问题是指在特定条件下，经过一定的时间和空间范围内，某一现象或规律不受外部条件的干扰而保持不变的问题。
即在一定范围和条件下，特定的现象或规律永久不变，这种现象或规律即为恒成立。
2.恒成立问题的特点恒成立问题具有以下几个特点：（1）客观性：恒成立问题是客观存在的，不受主观意识的影响，其规律性是客观存在的真实性；（2）普适性：恒成立问题的特性在适用的条件下一般是普遍适用的；（3）稳定性：恒成立问题在一定条件下保持不变，不受外部干扰而稳定存在。
二、恒成立问题的分类和研究领域1.恒成立问题的分类根据研究对象和范畴的不同，恒成立问题可以分为自然界的恒成立问题和社会领域的恒成立问题。
（1）自然界的恒成立问题：自然界的恒成立问题是指自然界某一现象或规律在一定条件下恒定存在不变的问题。
例如，牛顿力学的三大定律就是自然界的典型恒成立问题。
（2）社会领域的恒成立问题：社会领域的恒成立问题是指社会现象或规律在一定条件下保持不变的问题。
例如，人的基本需要和欲望是社会领域的恒成立问题。
2.恒成立问题的研究领域恒成立问题的研究领域主要包括物理学、化学、生物学、地理学、社会学、经济学、政治学等各个学科领域。
不同学科对恒成立问题的研究主要集中在各自领域的特定现象和规律上。
三、恒成立问题的典型案例和研究方法1.典型案例（1）牛顿力学的三大定律：牛顿力学的三大定律是物理学领域的典型恒成立问题，它们描述了物体在外力作用下的运动规律，对物理学和工程学具有重要的指导意义。
（2）化学反应速率恒定：在一定条件下，化学反应速率恒定的现象是化学领域的恒成立问题，对于合成反应、分解反应等化学过程具有重要的意义。
（3）社会需求恒定：在一定条件下，人类的基本需要和欲望是社会领域的恒成立问题，对社会学、经济学等领域的研究具有重要的意义。
2.研究方法恒成立问题的研究方法主要包括实验方法、观察记录法、比较研究法、统计分析法、建模模拟法等。
高考数学恒成立问题
恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a x x x x a x a x x x x -<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要()3max ln a x x x >-．令()3ln g x x x x =-，()'21ln 3g x x x =+-，()'12g =-，()2''11660x g x x x x -=-=<， ()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减， ()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图像，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一步可得只需π4x =时，log sin 2a x x >， 即πππlog sin 21444aa >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．【答案】e 1a ≥-【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+， ∴只需()min 0g x >即可，()10g =，()'1a a x g x x x -=-=，令()'00a x g x x a x->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性） 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取）若1e a <<，单调性如表所示()()10e 1e 0g a g ⎧≥⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩，e 1e a ∴-≤<．（1）可以比较()1g ，()e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x =，e x =处取得，所以让它们均大于0即可．（2）由于1x =，e x =并不在()1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若e a ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意， 综上所述：e 1a ≥-．。
恒成立问题及处理
恒成立问题及处理一、知识归纳1、恒成立问题是高中数学的一种重要问题类型，其涉及面广融合知识点多，一直是试题命制的宠儿。
其分类有：方程（等式）恒成立、不等式恒成立。
2、方程恒成立（1）几种常见叙述：对于任意的x 来说，方程f(x)=0都（恒、始终）成立。
关于x 的方程f(x)=0其解集为R 。
（2）处理方程恒成立问题的基本方法：比较系数法（据条件列整等式，令系数相等得所需）、赋值法（据条件恰当赋值得所需，赋值又分赋数值与赋变量值）。
（3）整式方程恒成立的结论：如关于x 的方程ax+b=0其解集为R ⇔a=b=0。
关于x 的方程ax 2+bx+c=0其解集为R ⇔a=b=c=0。
（4）掌握解决方程恒成立问题的基本方法：赋值法、比较系数法；能根据成题特点，合理选择最优解题策略；在解决方程（等式）恒成立问题的过程中，充分体会特殊与一般，函数与方程的数学思想方法。
3、不等式恒成立（1）几种常见叙述：对于任意的x 来说，不等式f(x)>0都（恒、始终）成立。
关于x 的不等式f(x)>0其解集为R 。
（2）处理不等式恒成立问题的基本方法：结论法（有时要注意讨论）、图象法、最值分析法（注意分离法的应用）。
（3）一元一次、二次不等式的恒成立结论：关于x 的不等式ax+b>0⇔a=0且b>0。
关于x 的不等式ax 2+bx+c>0⇔a>0且△<0。
（4）掌握解决不等式恒成立问题的基本方法：结论法、图象法、最值分析法；能根据题目的构成特征，合理选择解题最优策略；在解决不等式恒成立问题的过程中，充分体会数形结合，函数与方程，分类讨论的数学思想方法。
二、典例解析例1、已知f(x)是一次函数，且f(f(f(x)))=8x+7，求f(x) .例2、无论k 取何值，二次函数k k kx x k y --++=222)1(的图像总过一定点，求出这个定点。
例3、已知()x f 是定义域在R 上不恒为0的函数，且对任意的R b a ∈,都满足： ()()()a bf b af ab f +=（1）求()0f ，()1f 的值；（2）判断()x f 的奇偶性，并证明你的结论。
恒成立问题常见类型及解法
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
范围是______．
【解题提示】将恒成立问题转化为最值问题.
【解析】因为x＞0 ，所以 x 1 2（当且仅当x=1时取等
x
号），所以有
x2
x 3x
1
x
1 1
3
2
1
3
1 5
，即
x x2 3x 1
的最大值为 1，故a≥1 .
x
5
5
【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法 1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等 式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解： c≥f(x)恒成立 c≥f(x)max; c≤f(x)恒成立 c≤f(x)min. 2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法 解决.
x
恒成立， 2k ， 4k k Z ，所以 k 不可能为 6。
2
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等
号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
典例5
若不等式
loga
x
sin
2x
(a
0且a
1)
对于任意
x
∈
(0,
高中数学恒成立问题主要类型
高中数学恒成立问题主要类型
一、函数恒成立问题
函数恒成立问题主要涉及函数的基本性质和导数等相关知识。
在解决这类问题时，学生需要理解函数的单调性、最值、奇偶性等性质，并能够运用导数进行求解。
二、不等式恒成立问题
不等式恒成立问题涉及到不等式的基本性质和解题技巧。
这类问题要求学生能够分析不等式的结构，灵活运用基本不等式和放缩法等技巧，判断不等式是否恒成立。
三、数列恒成立问题
数列恒成立问题主要考查学生对数列的基本性质和递推公式的掌握。
这类问题要求学生能够判断数列的性质，如等差数列、等比数列等，并能够运用数列的递推公式进行求解。
四、三角函数恒成立问题
三角函数恒成立问题涉及到三角函数的性质和图像。
学生需要理解三角函数的周期性、奇偶性等性质，掌握同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，运用这些知识解决三角函数恒成立的问题。
五、导数恒成立问题
导数恒成立问题主要涉及导数的计算和应用。
学生需要掌握导数的定义和计算方法，理解导数的几何意义，掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值等知识，解决导数恒成立的问题。
六、方程恒成立问题
方程恒成立问题主要考查学生对一元二次方程的解法和判别式的掌握。
学生需要理解一元二次方程的解法，掌握判别式的应用，运用这些知识解决方程恒成立的问题。
七、集合恒成立问题
集合恒成立问题主要考查学生对集合的基本概念和运算的掌握。
学生需要理解集合的表示法、集合之间的关系和运算等知识，运用这些知识解决集合恒成立的问题。
有关恒成立的几个问题
陕西 省榆 林市 苏 州 中学 高艳 芳 李万 全
在 不等 式中 ，经 常会 遇到 恒成立 的问题 ，下面 我们 就来 看 几个 有关恒 成 立问题 的解 法 ： １ ．在 一元 二次不 等式 中 ，设 ｆ （ ｘ ） ＝ ａ ｘ 。 ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ （ ａ ＞０ ） ，我们从 它 的图 象可 以观察 到 ，当△ ＜０时 ，图象与Ｘ 轴没 有交点 ，所 有 的图 象 都 在 Ｘ 轴 的上 方 ，由此 可得 ａ ｘ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ＞０恒 成立 ；同 样 ，若 ａ ＜ ０，而 △ ＜０时 ， 所 有 的图 象都 在 Ｘ 轴 的下方 ，由此 可得 ａ ｘ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ＜０ 恒 成立 ；具体 习题 中 ，我 们就要 根 据 函数 的 图象来具体 解题 ，如下边 的一 道例题 ： 例 １：若关 于 ｘ 的不 等式 （ ｍ ＋ １ ） ｘ 一 （ ２ ｍ ＋ ２ ） ｘ ＋ ３ （ ｍ一 １ ） ＜０对 切 实数恒 成 立，求 ｍ 的取值 范围． 分 析 ：不等 式 在 ｍ ＝ 一 １ 时不 是二 次 不等 式 ，所 以要 进行 分 情况 讨论 ； 解： 若ｍ ＝ 一 １ ，不等 式为 一 ６ ＜０，恒 成立 ； 若 ｍ ≠一 １ ，要 使不等 式恒成 立 ，
ｌ Ｉ ｆ（ ０ ） ＞０
② ｉ ， ｃ 。 解 得 。 ≤ ｋ ｃ ２ ；
③５ ≥ ， ｌ 解 集 为 中 ｝ Ｉ ｆ（ １ ） ＞０
综 合 以上三种 情况可 得 ：ｋ ＜２ ３ ．其 它的恒 成立 问题 ： 般而 言 ， ａ ＜ ｆ （ ｘ ） 恒成 立 ，可 等价 为 ａ ＜ ｘ ） … ； ａ ＞ ｆ （ ｘ ） 恒成 立 ，可 等价 为 ａ ＝ ＞ ｆ （ ｘ ） …； 例 ３：对 于任 意实数 Ｘ 不 等式 ｘ ＋ １ ｉ — 一 ２＞ ａ 恒成 立 ，求 ａ 的 取 值范 围． 解 ：设 ｘ ） ＝ｘ ＋ ｒ — 一 ２ ，则 由绝 对值不 等 式的 几何 意义 可
恒成立问题
2.已知关于 x的不等式 x （1 - a) x 2 0
2
在（ 1, 2）上恒成立，则实数 a的取值 范围是
解：不等式 x （1 - a ) x 2 0在 （ 1, 2）
2
x 2 2 上恒成立，所以 a 1 x 1 x x 2 在（ 1, 2） 上 恒 成 立 ， 令 f ( x ) x 1, x 2 则f ( x ) x 1 2 2 1， 当 且 仅 当 x
等价条件3：f(x)min≥g(x)
一般地，若f(x),g(x)的最值能容易地求解时，用等价条件1； 若其中有一个函数的最值不易求解，则用等价条件2或3中的
一个来求解。
高考题展示
已知关于 x的不等式 x ax 2a 0
2
在R上恒成立，则实数 a的取值范围
类型1：限定定义域的恒成立
已知关于 x的不等式 x ax 2a 0
由于不等式的右边与变量无关，所以本题的本 质就是求不等式左边所对应的函数的最小值， 注意到左边为分式型，故采用基本不等式来求 它的最小值。
类型3：分式型的恒成立
2
类型4：二次函数型的恒成立
1.已知 关于 x的不 等式 ax x 2 0
2
在（ 1,2）上Байду номын сангаас 成立，则实 数 a的取 值 范围 是
恒成立问题
技法攻略
一、求解含参数的恒成立问题，常见方法：
1、分离参数法
2、主参换位法
3、数形结合法 4、构造函数法
二、含参数的恒成立问题，常用等价条件：
1、对于含参的一元二次不等式的恒成立问题，ax2+bx+c>0(a≠0） 在R上恒成立的充要条件是
恒成立问题
含参不等式恒成立问题
恒成立问题的 实质是最值问题
（1）一次恒成立
例1：20x a +>在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围？ 例2：20ax +>在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围？ 总结：一次恒成立的方法是
（2）二次恒成立
例3：不等式2210x mx ++>在x R ∈时恒成立，求m 的取值范围？例4：不等式2(1)10mx m x --+>在x R ∈时恒成立，求m 的取值范围？
例5：不等式223221x x m x x ++≥++对于任意的实数x 都成立，求自然数m 的值？
总结:处理二次的在x R ∈上恒成立问题的方法:
例6
[]22101,2x ax ++>∈在x 恒成立，求a 的取值范围？
变式1：[]2201,2x x a x ++>∈在恒成立，求a 的取值范围？
变式2：[]22012x ax a ++>∈在a ，恒成立，求x 的取值范围？
总结：处理二次的在()x D D R ∈≠上恒成立问题的方法
例4：1log 2,0,2a x x x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭
恒成立，求a 的取值范围？
3．22cos 32sin 2m x x m +<+- 对于x R ∈恒成立，求m 的取值范围？
4．(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围？
5．()3cos()26f x x ππ=+对于x R ∈恒有12()()()f x f x f x ≤≤，求12x x -的最小值？。
第三讲 恒成立问题
第三讲 恒成立问题例题精讲分离参数例1、已知函数()[)22,1,x x a f x x x++=∈+∞，若对任意[)()1,,0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围。
答案：()3,-+∞数形结合例2、对于所有实数x ，不等式224x x a +-≥恒成立，则实数a 的最大值是 答案：3变式：方程()94340x x a ++⋅+=恒有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围。
答案：(),8-∞-例3、设,x y R +∈≤恒成立，求实数a 的取值范围。
答案：)+∞变式：设()2f x ax bx c =++，若()712f =，问是否存在,,a b c R ∈，使得不等式()22132222x f x x x +≤≤++对一切实数x 恒成立？证明你的结论。
答案：32a =，1b =，1c =转换主元例4、对于11a -≤≤，不等式2211122x ax x a ++-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则x 的取值范围是 。
答案：()(),02,-∞+∞U变式：设函数()()2f x g x mx m ==-，若对满足1m <的一切m ，都有()()f x g x >，求实数x 的取值范围。
答案：30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦构造函数 例5、 设函数()()121lg x x x n n a f x n+++-+⋅=L ，其中a R ∈，n 是任意给定的自然数，且2n ≥，当1x ≤时，要使()f x 有意义，求a 的取值范围。
答案：1,2n -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭变式1：已知()()2111111,23n n n S n N f n S S n+++=++++∈=-L 。
（1） 证明：()()1f n f n +>；（2） 试确定实数m 的取值范围，使得对一切大于1的自然数n ，不等式()()()22111log 1log 20m m f n m m -⎡⎤>--⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立。
恒成立问题
恒成立问题1. 解决恒成立的问题一定要搞清楚谁是自变量，谁是参数。
一般地，知道谁的范围谁就是变量，求谁的范围谁就是参数。
2. 恒成立问题通常两种解决方案：①二次不等式在实数集R 上的恒成立就用△判别式法②其他的恒成立都可以转变为求函数的最值问题（分离常数或构造一次函数或数形结合分类讨论）例1. 已知不等式mx 2-2x-m+1＜0,若对所有的实数x 都成立，求m 的取值范围。
例2. 若x ∈[-1,+∞）时，x 2-2ax+2≥a 恒成立，试求a 的取值范围。
例3. 设不等式mx 2-2x-m+1＜0对于满足︱m ︱≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围。
例4. 已知函数 f(x)=-x 2+ax+b 2-b+1 (A ∈R,b ∈R),对于任意的实数x 都有f(1-x)=f(1+x)成立，若当x ∈[-1,1]时，f(x)＞ 0恒成立，则b 的取值范围是：（ ）A -1＜b ＜0B b ＞2C b ＜-1或b ＞2D 不能确定 例5.(2004全国卷) f(x)=31x 3－21ax 2+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，求实数a 的取值范围。
例6.（2004福建） 已知f(x)=222+-x a x （x ∈R ）在区间【-1，1】上是增函数 （1） 求实数a 的值所组成的集合A（2） 设关于x 的方程f(x)=x 1的两根为21,x x .试问：是否存在实数m 使得不等式2121x x tm m -≥++对任意a ∈A 及t ∈【-1，1】恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
例7设函数f(x)=542--x x ，当k ＞2时，求证：在区间【-1，5】上，y=kx+3k 的图像位于函数f(x)的图像的上方。
例8.已知f(x)=x x22-，g(x)=mx+2,对任意1x ∈【-1，2】，都存在0x ∈【-1，2】，使得)()(01x f x g =，求m 的取值范围。
恒成立与存在性问题
若本题（2）条件改为：对任意x (0,), 使得任意的x [0,1] ∴a≥ex在(-∞，0］上恒成立.
(2)已知f(x)=lnx: (2)方法一：由题意知ex-a≤0在(-∞，0］上恒成立.
1
2
都有f ( x ) g ( x )求a的取值范围 方法二：由题意知，x=0为f(x)的极小值点.
(1)若a≤0，f′(x)=e1x-a≥0恒成立，即2 f(x)在R上递增.
若对任意的x1 (0,)，均存在x2 0,1，
使得f (x1) gx2 ，求a的范围。
转化为f
xmax
g
x
的问题 max
例4、已知两个函数f (x) 1 x3 e2 x2 mx 1, g(x) ln x ,
3
x
若对任意的x1, x2 (0,),都有g(x1) f (x2 )成立，求m
而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数，
故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到：
0 3m
3m 0
4
m
2
或
0 3m 3m＜0
4
m
2
,
解得0≤m≤1或-1≤m＜0，
所以m的取值范围是[-1，1].
练习
1.已知函数f (x) ax ln xa R
(1)求f ( x)的单调区间； ∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
的范围。
转化为g ( x)max f ( x)min的问题
两个变量
• 相等问题
x1, x2 D, 使得f (x1) g(x2 ) 两值域有交集 对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
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函数中恒成立问题解题策略函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.一、用函数思想作指导,解不等式的恒成立问题的基本操作程序是这样的:若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A , 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B . （一）、基础训练：（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（答：)1,+∞）；（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____（答：1a <）；（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（答：（712-,312+））；（4）若不等式na n n 1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（答：3[2,)2-）；（5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：12m >-）二、恒成立问题在解题过程中还有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型.策略一、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得. 【例1】．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：(4,3,2,1) → ( )A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0，则 a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又 a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4 =0 ，故选D【例2】．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π- 对称，那么a=（ ）.A .1B .-1C .2D . -2. 略解：取x=0及x=4π-，则f(0)=f(4π-),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.练习：(07安徽理科3)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1策略二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m ff(x)<0⎧<0)(mf【例3】．对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2()2(ff即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-13422xxx解得：⎩⎨⎧-<><>1113xxxx或或∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>a；f(x)<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<a.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【例4】．若函数12)1()1()(22++-+-=axaxaxf的定义域为R，求实数a的取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-axaxa在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当时，Rx∈12)1()1(22≥++-+-axaxa恒成立，所以，①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-aaaa时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-aaxaxa②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a 有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a综上所述，f(x)的定义域为R 时，]9,1[∈a【例5】.已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 分析：()y f x =的函数图像都在X 轴及其上方，如右图所示： 略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤ 变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.分析：要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a .⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥ 73a ∴≤ 又4a > a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥ 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤42a ∴-≤≤ ⑶当22a->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥ 7a ∴≥- 又4a <- 74a ∴-≤<-综上所述，72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立. ⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a .解法二：（运用根的分布）⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥ ()54,3a ∴≤∉+∞ a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥，222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a⑶当22a->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥， 5a ∴≥- 54a ∴-≤<-综上所述2225-≤≤-a .此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题策略四、变量分离型——分离变量，巧妙求解【例6】.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.略解：由①②得2<x<3,要使同时满足①②的所有x 的值满足③,即不等式0922<+-m x x 在)3,2(∈x 上恒成立， 即)3,2(922∈+-<x x x m 在上恒成立， 又，上大于在9)3,2(922∈+-x x x 所以 9≤m【例7】. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .解：据奇函数关于原点对称，,1)1(=f 又1)1()(]1,1[)(max ==-f x f x f 上单调递增在12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立.因此，只需122+-at t 大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最大值1，0211222≥-⇒≥+-∴at t at t都成立对所有又]1,1[-∈a ，即关于a 的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立，2020202{22-≤=≥⇒≥+≥-∴t t t t t t t 或或即：),2[}0{]2,(+∞--∞∈ t利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题.练习：关于x 的不等式２·３２x －3x ＋a 2－a －3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为 .解：设t ＝3x ，则t ∈［１，３］，原不等式可化为a 2－a －3＞－2t 2＋t ，t ∈［１，３］.等价于a 2－a －3大于f (t )＝－2t 2＋t 在［１，３］上的最大值. 答案：(－∞，－１)∪(２，＋∞).策略五、数形结合——直观求解【例8】. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数a x x x >--+21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-=--+=2321121321x x x x x x y在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使a x x x >--+21，不等式对任意实数恒成只需3-<a .故实数.3），的取值范围是（-∞-a 本题中若将a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21，改为①a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数<--+21，同样由图象可得a>3;②a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>-++21,构造函数，画出图象，得a<3. 利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决. 只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力.练习：(06江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52Ｄ. －３解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加. 思路分析：１. 分离变量，有a ≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f (0)≥0，且f (12)≥0可求得a 的范围.3. 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f (x )＝x 2＋1，g (x )＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f (12)≥g (12)，即a ≥－52.5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ. 答案：Ｃ（二）、高考回顾：【例1】（06江西）已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值(Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。