2014-2015高二上期中考试数学文科

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2014-2015年江西省南昌市高二(上)期中数学试卷和答案(文科)(乙卷)

2014-2015学年江西省南昌市高二（上）期中数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）在直角坐标系中，直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．B． C． D．2．（5分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．3．（5分）不等式x﹣2y+6＞0表示的区域在直线x﹣2y+6=0的（）A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方4．（5分）圆x2+y2+2y=1的半径为（）A．1 B．C．2 D．45．（5分）直线3x+y+3=0在y轴上的截距是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣36．（5分）点P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2=25内弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=07．（5分）双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），则实数k的取值范围是（）A．（0，4） B．（1，1） C．（0，2）D．（0，12）8．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2） C．（﹣1，2）D．（0，1+）9．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|PF1|=3，则|PF2|=（）A．2 B．5 C．7 D．810．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0）、B（5，0），△ABC的周长为22，则顶点C的轨迹方程是（）A．B．C．D．12．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8二、填空题（本大题共4个小题．每小题4分．共16分）13．（4分）如果直线ax+2y﹣1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，那么实数a=．14．（4分）直线l：y=x与圆x2+y2﹣2x﹣6y=0相交A、B两点，则|AB|=．15．（4分）双曲线﹣=1渐近线方程为．16．（4分）曲线﹣=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，则n=．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）△ABC的三个顶点为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（1）BC所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边上的垂直平分线DE的方程．18．（12分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3），过点C作CD⊥AB于点D．（1）求CD所在直线的方程；（2）求D点坐标．19．（12分）已知动点M（x，y）到定点F1（﹣1，0）与到定点F2（1，0）的距离之比为3．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程，并指明曲线C的轨迹；（Ⅱ）设直线l：x=x+b，若曲线C上恰有两个点到直线l的距离为1，求实数b 的取值范围．20．（12分）已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．21．（12分）已知定点F（2，0）和定直线l：x=﹣3，动点P到定点F的距离比到定直线l：x=﹣3的距离少1，记动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程．（2）若以M（2，3）为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点，且线段AB是此圆的直径时，求直线AB的方程．22．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ1+λ2=﹣10．2014-2015学年江西省南昌市高二（上）期中数学试卷（文科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）在直角坐标系中，直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．B． C． D．【解答】解：设直线x﹣y﹣3=0的倾斜角为θ．直线x﹣y﹣3=0化为y=x﹣3，∴tanθ=，∵θ∈[0，π），∴．故选：A．2．（5分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，∴，解得m=2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d===．故选：D．3．（5分）不等式x﹣2y+6＞0表示的区域在直线x﹣2y+6=0的（）A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方【解答】解：如下图：作直线x﹣2y+6=0，可知（0，0）满足不等式x﹣2y+6＞0，故选：B．4．（5分）圆x2+y2+2y=1的半径为（）A．1 B．C．2 D．4【解答】解：圆x2+y2+2y=1化为标准方程为x2+（y+1）2=2，故半径等于，故选：B．5．（5分）直线3x+y+3=0在y轴上的截距是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：直线3x+y+3=0，当x=0时，y=﹣3，直线3x+y+3=0在y轴上的截距为：﹣3．故选：D．6．（5分）点P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2=25内弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【解答】解：由圆（x﹣1）2+y2=25，得到圆心C坐标为（1，0），又P（2，1），∴k PC=1，∴弦AB所在的直线方程斜率为﹣1，又P为AB的中点，则直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．故选：C．7．（5分）双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），则实数k的取值范围是（）A．（0，4） B．（1，1） C．（0，2）D．（0，12）【解答】解：∵双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），∴1＜＜2，k＞0，∴0＜k＜12，故选：D．8．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2） C．（﹣1，2）D．（0，1+）【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选：A．9．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|PF1|=3，则|PF2|=（）A．2 B．5 C．7 D．8【解答】解：∵椭圆的方程为，∴a=5，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，∵|PF1|=3，∴|PF2|=7．故选：C．10．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，∴|PF|=2+1=3．故选：B．11．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0）、B（5，0），△ABC的周长为22，则顶点C的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的顶点A（﹣5，0）、B（5，0），△ABC的周长为22，∴CA+CB=12＞AB=10，∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（除去三点共线情形），且a=6，c=5，∴=，∴顶点C的轨迹方程是．故选：C．12．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题．每小题4分．共16分）13．（4分）如果直线ax+2y﹣1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，那么实数a=．【解答】解：∵直线ax+2y﹣1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴，解得a=．故答案为．14．（4分）直线l：y=x与圆x2+y2﹣2x﹣6y=0相交A、B两点，则|AB|=4．【解答】解：因为直线l：y=x与圆x2+y2﹣2x﹣6y=0相交A、B两点，并且圆心为（1，3），半径为，所以弦心距为圆心到直线l的距离为，所以AB=，所以AB=4；故答案为：．15．（4分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．16．（4分）曲线﹣=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，则n=12．【解答】解：由题意，抛物线y2=4mx的焦点坐标为（m，0），曲线﹣=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，则c=m，∵曲线﹣=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，∴a=，∴a2=m=，解得：m=4，又∵c2=a2+b2=4+n=16，n=12故答案为：12．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）△ABC的三个顶点为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（1）BC所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边上的垂直平分线DE的方程．【解答】解：（1）因为直线BC经过B（2，1）和C（﹣2，3）两点，由两点式得BC的方程为y﹣1=（x﹣2），即x+2y﹣4=0．（2）设BC中点D的坐标为（x，y），则x==0，y==2．BC边的中线AD过点A（﹣3，0），D（0，2）两点，由截距式得AD所在直线方程为+=1，即2x﹣3y+6=0．（3）BC的斜率k1=﹣，则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2．18．（12分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3），过点C作CD⊥AB于点D．（1）求CD所在直线的方程；（2）求D点坐标．【解答】解：（1）由题意可得直线OC的斜率为=3，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC，∴CD的斜率为，∴CD的方程为：y﹣3=（x﹣1），化为一般式可得x+3y﹣10=0；（2）由题意可得A（3，0），∵OC∥AB，∴直线AB的斜率与OC的斜率相等，∴AB的方程为：y=3（x﹣3），联立方程，解得，∴D（，）19．（12分）已知动点M（x，y）到定点F1（﹣1，0）与到定点F2（1，0）的距离之比为3．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程，并指明曲线C的轨迹；（Ⅱ）设直线l：x=x+b，若曲线C上恰有两个点到直线l的距离为1，求实数b 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由动点M（x，y）到定点F1（﹣1，0）与到定点F2（1，0）的距离之比为3，得，整理得：，∴曲线C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；（Ⅱ）设圆心到直线l的距离为d，则当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离为1．由l：y=x+b，即l：x﹣y+b=0，∴．由，得＜＜．解＜得，b＜或b＞﹣；解＜得，∴实数b的取值范围是∪．20．（12分）已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，0），依题意，有，…（2分）即a2=a2﹣4a+8，解得a=2，…（4分）所以圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，…（8分）所以直线x=1符合题意．…（9分）设直线l方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0，则，…（11分）解得，…（12分）所以直线l的方程为，即3x+4y﹣11=0．…（13分）综上，直线l的方程为x﹣1=0或3x+4y﹣11=0．21．（12分）已知定点F（2，0）和定直线l：x=﹣3，动点P到定点F的距离比到定直线l：x=﹣3的距离少1，记动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程．（2）若以M（2，3）为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点，且线段AB是此圆的直径时，求直线AB的方程．【解答】解：（1）由题意知，P到F的距离等于P到直线x=﹣2的距离，…（4分）所以P的轨迹C是以F为焦点，直线x=﹣2为准线的抛物线，它的方程为y2=8x…（6分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）则…（7分）∴…（9分）由AB为圆M（2，3）的直径知，y2+y1=6故直线的斜率为…（12分）直线AB的方程为即4x﹣3y+1=0…（13分）22．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ1+λ2=﹣10．【解答】解：（1）解：设椭圆C的方程为（a＞b＞0），抛物线方程化为x2=4y，其焦点为（0，1）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1由，∴a2=5，所以椭圆C的标准方程为（2）证明：易求出椭圆C的右焦点F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入方程并整理，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0∴，又，，，，，而，，即（x1﹣0，y1﹣y0）=λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2﹣0，y2﹣y0）=λ2（2﹣x2，﹣y2）∴，，所以。

河南省新郑市2014-2015学年高二上学期期中学业水平测试文科数学试题

河南省新郑市2014-2015学年高二上学期期中学业水平测试文科数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分)1．若R b a ∈,,且0>ab ，则下列不等式中，恒成立的是（）A .ab b a 2≥+B .abb a 211>+ C .2≥+b a a b .D ab b a 222>+ 2. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（）A ．31B ．32C ．63D ．643.在ABC ∆中，120=A ，1=b ，ABC ∆的面积为3，则=++BA ba sin sin （）.A 21 .B 3392 .C 212 .D 72 4. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（） A ．0d > B ．0d < C ．10a d > D ． 10a d <5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A ．1升B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升 6.在R 上定义运算)1(:y x y x -=⊗⊗.若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立，则（）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 7.不等式0322<--x x 的解集为A ，不等式062<-+x x 的解集为B ，不等式02<++b ax x 的解集是B A ，那么b a +等于（）A ．－3B ．1C ．－1D ．38.若0,0>>b a ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是（）．A ．211>ab B ．111≤+ba C ．2≥ab D ．822≥+b a 9.在等比数列{}n a 中，,11=a 公比为q ,且1≠q ，若54321a a a a a a m =,则m 等于（） A.9 B.10 C.11 D.1210.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A a b CB A cos 203=>>，，则sinA ∶sinB ∶sinC 为（）A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4 11.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,,且10=++c b a ,87cos =C ,则△ABC 面积的最大值为 ( )5.A 15.B 10.C 13.D12.已知正项等比数列}{n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =，则nm 41+的最小值为( ) A.23 B. 35 C. 625 D. 不存在二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.设等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意自然数n 都有3432--=n n T S n n ，则483759b b a b b a +++的值为__________ 14.若实数x,y 满足,122=++xy y x 则y x +的最大值是_________ 15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12323=-S S ,则数列{}n a 的公差是_______16.如图，甲船以每小时230海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的2B 处，此时两船相距210海里，则乙船每小时航行____海里．三、解答题17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）已知数列}{n a 满足()2,34,3,1*1121≥∈-===-+n N n a a a a a n n n , (1)证明数列}{1n n a a -+是等比数列,并求出}{n a 的通项公式 (2)设数列}{n b 的前n 项和为n S ,且对任意*N n ∈,有1222211+=+++n na b a b a b nn 成立,求n S .19. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20. （本小题满分12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos 2a A B A π===+. （Ｉ）求b 的值；（II ）求ABC ∆的面积.21. 某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱可获利润40元，B 种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min).每种糖果的生产过程中，混合的设备至多用机器12 h ，烹调的设备最多只能用机器30 h ，包装的设备最多只能用机器15 h ，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？22. （本小题满分12分）已知数列}{n a ，2,521-=-=a a ，记n a a a n A +++= 21)( ，132)(++++=n a a a n B ，)()(*243N n a a a n C n ∈+++=+ ，若对于任意*N n ∈*，)(),(),(n C n B n A 成等差数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和．2014—2015学年上学期期中学业水平测试高二文科数学试题答案一、选择题二、填空题 13.4119 14.332 15.2 16.230 三、解答题： 17.解：（Ⅰ）由2BA BC ⋅=得cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =………………1分由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+又3b =，所以2292213a c +=+⨯=……………………………2分解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，得2,3a c ==或3,2a c ==………………4分因为a c >，所以3,2a c ==…………………………5分（Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ==………………6分由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=………………7分因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===.........8分于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=-1723393927=⋅+=………………10分 18．解(1)由1134-+-=n n n a a a 可得2),(31211=--=--+a a a a a a n n n n ,}{1n n a a -∴+是以2为首项,3为公比的等比数列112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=∴--- 113131)31(2--=+--=n n …4分 (2)1=n 时,3,3,31111===S b a b …………………5分 2≥n 时,1322,2)12(12-⨯===--+=n n n nnn na b n n na b ……………6分 12323323223-⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+=n n n S1)3333231(21210+⨯++⨯+⨯+⨯=-n n设1213333231-⨯++⨯+⨯+⨯=n n x ----①则n n n n x 33)1(33323131321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- -----②②-①，得 ..................................10分2133)333(32021--⨯=+++-⨯=--n nn n n n n x23321+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 综上,23321+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S ..............12分19.解：（Ⅰ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数又4n S S ≤，故450,0a a ≥≤ 即 1030,1040d d +≥+≤ 解得 10532d -≤≤- 因此3d =-数列{}n a 的通项公式为133n a n =-…………………………………6分（Ⅱ）1111()(133)(103)3103133n b n n n n==⋅-----………………………8分于是12...n n T b b b =+++1111111[()()...()]371047103133n n =-+-++--- 111()310310n =-- 10(103)nn =-……………….12分20. （Ⅰ）在ABC ∆中，由题意知sin A ==.................2分又因为2B A π=+，所以sin sin()cos 2B A A π=+==分由正弦定理可得3sin sin a Bb A===........................6分（Ⅱ）由2B A π=+得cos cos()sin 23B A A π=+=-=-................8分由A B C π++=，得()C A B π=-+ 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(3333=-+ 13=...................................10分因此ABC ∆的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.........12分 21.设生产A 种糖果x 箱，生产B 种糖果y 箱，可获利润z 元，.............1分即求z ＝40x ＋50y 在约束条件下的最大值．............6分作出可行域，如图．............................8分作直线l 0：40x ＋50y ＝0，平移l 0经过点P 时， z ＝40x ＋50y 取最大值，解方程组，得点P 坐标为(120,300)．.................10分∴z max ＝40×120＋50×300＝19 800........................11分所以生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱时，可以获得最大利润19 800元.12分22.解：（Ⅰ）根据题意A （n ），B （n ），C （n ）成等差数列∴A （n ）+C （n ）=2B （n ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）整理得a n+2﹣a n+1=a 2﹣a 1=﹣2+5=3∴数列{a n }是首项为﹣5，公差为3的等差数列﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） ∴a n =﹣5+3（n ﹣1）=3n ﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）记数列{|a n |}的前n 项和为S n ．当n ≤2时，当n ≥3时，综上，⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=.3,1421323,2,2132322n n n n n n S n ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。

湖北省襄阳市四校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

湖北省襄阳市四校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a、b、c是两两不等的实数，点P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线PQ的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（5分）第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则下列说法中正确的是（）A．甲、乙两人单场得分的最高分都是9分B．甲、乙两人单场得分的中位数相同C．甲运动员的得分更集中，发挥更稳定D．乙运动员的得分更集中，发挥更稳定．3．（5分）用“除k取余法”将十进制数259转化为五进制数是（）A．2012（5）B．2013（5）C．2014（5）D．2015（5）4．（5分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（）A．圆M的圆心为（4，﹣3）B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为65．（5分）如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（）A．16 B．34+6C．6D．17+66．（5分）已知变量x与y呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（）A．B．C．D．7．（5分）下列说法中正确的是（）A．若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件8．（5分）如果直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α∥β且α⊥γB．α⊥γ且m⊥n C． m∥β且m⊥n D．α⊥γ且m∥β2，50，2π），过圆C1上任意一点M作圆C2的一条切线MN，切点为N，则|MN|的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点．（1）若直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，求直线l的方程；（2）若直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．19．（13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．（1）学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？（2）根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？20．（13分）图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是．（1）从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的概率；（2）求此长方体的体积．21．（13分）已知平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，AD=AE=BE=2，M、H分别是DE、AB的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD时，左（侧）视图的面积为．（1）求证：MH∥平面BCE；（2）求证：平面ADE⊥平面BCE．22．（14分）已知圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），且圆M上的点到x轴的最大距离为2，过点P（0，﹣1）作直线l．（1）求圆M的标准方程；（2）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（3）当直线l与圆M相交于A、B两点，且满足向量，λ∈0，π），∴α=故选：B．点评：本题给出直角坐标系中两个定点，求它们确定直线的倾斜角．着重考查了直线的斜率公式和斜率与倾斜角的关系等知识，属于基础题．2．（5分）第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则下列说法中正确的是（）A．甲、乙两人单场得分的最高分都是9分B．甲、乙两人单场得分的中位数相同C．甲运动员的得分更集中，发挥更稳定D．乙运动员的得分更集中，发挥更稳定．考点：茎叶图．专题：计算题；概率与统计．分析：甲的中位数是27，乙的中位数是36，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，整体水平也比较高，得到技术水平较好的是乙．解答：解：根据茎叶图所给的数据可以看出甲的中位数是27，乙的中位数是36，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，整体水平也比较高，∴技术水平较好的是乙，故选：D．点评：本题考查茎叶图，考查两组数据的中位数和总体水平，本题解题的关键是看清乙的茎叶图是一个单峰的，整体水平较高．3．（5分）用“除k取余法”将十进制数259转化为五进制数是（）A．2012（5）B．2013（5）C．2014（5）D．2015（5）考点：进位制．专题：计算题．分析：根据所给的十进制的数字，用这个数值除以5，得到商和余数．再用商除以5，得到余数和商，再用商除以5，得到商是0，这样把余数倒序写起来就得到所求的结果．解答：解：∵259÷5=51 (4)51÷5=10…1，10÷5=2…0，2÷5=0…2，∴将十进制，259化为五进制数是2014，故选：C．点评：本题考查算法的多样性，本题解题的关键是理解不同进位制之间的转化原理，不管是什么进位制之间的转化做法都相同，属于基础题．4．（5分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（）A．圆M的圆心为（4，﹣3）B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项即可．解答：解：圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则（x﹣4）2+（y+3）2=25．圆的圆心坐标（4，﹣3），半径为5．显然选项C不正确．故选：C．点评：本题考查圆的方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（）A．16 B．34+6C．6D．17+6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，即可求解．解答：解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的体积为：=16．故选A．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体的直观图，考查平面图形体积的求法，本题是一个基础题．6．（5分）已知变量x与y呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（）A．B．C．D．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：由观测数据得到的样本数据散点图，可得方程的系数均为正，只有B满足．解答：解：由观测数据得到的样本数据散点图，可得方程的系数均为正，只有B满足．故选B．点评：本题考查回归方程，考查学生对图象的认识，比较基础．7．（5分）下列说法中正确的是（）A．若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件考点：互斥事件与对立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：由互斥事件和对立事件的概念可判断结论．解答：解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，故选：D．点评：本题考查事件的概念，考查互斥事件和对立事件，考查不可能事件，不可能事件是指一个事件能不能发生，不是说明两个事件之间的关系，这是一个基础题．8．（5分）如果直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α∥β且α⊥γB．α⊥γ且m⊥n C．m∥β且m⊥n D．α⊥γ且m∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：∵直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，∴平面α与β平行或相交，α，γ一定垂直，m，n一定垂直，m∥β或m⊂β，∴α⊥γ且m⊥n．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．9．（5分）将一个棱长为4cm的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm的小正方体．从涂有红色面的小正方体中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于2cm2的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：大正方体被分割成64个小正方体：3面涂有红色、2面涂有红色、1面涂有红色和没有涂红色的，找出前两类即可．解答：解：∵正方体的棱长等于4cm，∴将正方体分割成棱长为1cm的小正方体，总共有43=64个其中位于大正方体的8个顶点处的小正方体，有3面涂有红色，共8个；位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，总共有2×12=24个；位于大正方体内部，没有任何一个面与外界接触的小正方体总共有2×2×2=8个，还有只有1个面有红色的个数为64﹣8﹣24﹣8=24个，∴涂有红色面的小正方体共8+24+24=56个其中有2面或3面是红色的小正方体（即红色面积不少于2cm2的）个数为8+24=32个，∴所求概率为=故选：A点评：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．10．（5分）已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（）A．B．C．D．（2，5）考点：简单线性规划；二次函数的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由条件可得，，化简得到关于m，n的不等式组，在平面直角坐标系中，作出不等式组表示的区域，再由（m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1，2）到区域内的点的距离的平方，由图象观察，即可得到取值范围．解答：解：由于二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则即有，在平面直角坐标系中，作出不等式组表示的区域，而（m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1，2）到区域内的点的距离的平方，求得点（﹣1，2）到直线m+n+1=0的距离为=，点（﹣1，2）到点（﹣2，0）的距离为，故（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（2，5）．故选D．点评：本题考查二次函数与二次方程的关系，考查二元不等式表示的平面区域，考查两点的距离和点到直线的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知2014-2015学年高一年级有学生450人，2014-2015学年高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从2014-2015学年高二年级抽取的学生人数为15．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义以及概率的公式即可得到结论．解答：解：该校共有学生450+750+600=1800，∵每个学生被抽到的概率为0.02，∴抽取的样本容量n=1800×0.02=36人，则应从2014-2015学年高二年级抽取的学生人数为=15人，故答案为：15点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件求出样本容量是解决本题的关键．12．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点A（4，3，2）和点B（2，5，4）的距离相等，则点M的坐标是（0，4，0）．考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标．解答：解：设M（0，y，0）由题意得42+（3﹣y）2+4=4+（5﹣y）2+42解得得y=4故M（0，4，0）故答案为：（0，4，0）．点评：考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．13．（5分）点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方，则a的取值范围是（﹣2，+∞）．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：因为原点（0，0）在直线x﹣2y+4=0的右下方区域，所以代入直线方程左侧的值大于0，代表所有原点所在区域，点（a，1）和（0，0）在直线的同侧，所以点的坐标代入直线左侧的代数式后大于0．解答：解：点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方区域，则a﹣2+4＞0，解得：a＞﹣2．故答案为：（﹣2，+∞）．点评：本题考查了二元一次不等式（组）与平面区域，平面中的直线把平面分成三个部分，直线上的点代入方程成立，直线同侧的点代入一般式的直线方程左侧得到的值同号，是基础题．14．（5分）某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则|x﹣y|=3．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由已知得，由此能求出|x﹣y|=3．解答：解：∵某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6，这组数据的平均数为8，方差为2，∴，解得x=10，y=7或x=7，y=10，∴|x﹣y|=3．故答案为：3．点评：本题考查两个数的差的绝对值的求法，是基础题，解题时要注意平均数和方差的性质的合理运用．15．（5分）某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为175人，则a的估计值是135．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，求出分数在140～150和130～140的人数是多少，即可得出正确的结论．解答：解：根据频率分布直方图，得；分数在140～150的人数是1000×0.010×10=100，分数在130～140的人数是1000×0.015×10=150，∴分数在135～150的人数是150÷2+100=175；∴当优秀的人数为175人时，a的估计值是135．故答案为：135．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率=的关系进行解答，是基础题．16．（5分）如图所示的算法中，a=e3，b=3π，c=eπ，其中π是圆周率，e=2.71828…是自然对数的底数，则输出的结果是3π．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图可知，程序的功能为计算并输出三数中的最大数，由于e3＜eπ＜3π，故输出a 的值为3π解答：解：∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，从而有ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是，根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得e3＜eπ＜3π，即有a＜c＜b执行程序框图，则a＜b条件满足，有a=3π而此时条件a＜c不成立，故输出a的值为3π故答案为：3π点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小，属于基础题．17．（5分）已知圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x﹣5sinβ）2+（y﹣5cosβ）2=1，α，β∈0，2π），∴圆C1的圆心在以原点为圆心，1为半径的圆上动，圆C2的圆心在以原点为圆心，5为半径的圆上动，∴圆心关于原点对称的时候|MN|取最大值为3，在同一侧的时候|MN|取最小值，故答案为：．点评：本题考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点．（1）若直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，求直线l的方程；（2）若直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：（1）求出两条直线的交点，利用直线的平行关系设出方程，求解即可．（2）利用直线的垂直关系，设出方程，代入交点坐标求解即可．解答：解：（1）由得即直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交于点（3，2），所以直线l经过点（3，2），…（4分）因为直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，可设直线l的方程为3x﹣2y+m=0，则有3×3﹣2×2+m=0得m=﹣5，所以直线l的方程为3x﹣2y﹣5=0．…（8分）（2）因为直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，可设直线l的方程为3x+4y+n=0，则有3×3+4×2+n=0得n=﹣17，所以直线l的方程为3x+4y﹣17=0．…（12分）点评：本题考查直线的垂直与平行关系的应用，基本知识的考查．19．（13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．（1）学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？（2）根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图，求出走读生早上上学所需要的平均时间是多少；（2）根据频率分布直方图，求出距离学校500米以内的走读生的频率以及距离学校1000米以上的走读生的频率即可．解答：解：（1）根据频率分布直方图，得；，∴走读生早上上学所需要的平均时间约为11.52分钟；…（6分）（2）根据频率分布直方图，得；P1=0.02×4+0.08×4=0.40=40%，P2=0.03×4÷2=0.06=6%，…（12分）∴距离学校500米以内的走读生占全校走读生的40%，距离学校1000米以上的走读生占全校走读生的6%．…（13分）点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图进行有关的计算，是基础题．20．（13分）图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是．（1）从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的概率；（2）求此长方体的体积．考点：古典概型及其概率计算公式；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离；概率与统计．分析：（1）利用列举法，确定基本事件的个数，再用古典概型的概率公式进行求解；（2）以面积为测度，结合几何概型的概率公式，即可求此长方体的体积．解答：解：（1）记事件M：从6条线段中任取2条线段，其中一条线段长度是另一条线段长度的倍．从6条线段中任取2条线段，有15种等可能的取法：AB和BC，AB和AC，AB和CD，AB 和AD，AB和BD，BC和CD，BC和BD，BC和AC，BC和AD，CD和AC，CD和AD，CD和BD，AD和AC，AD和BD，AC和BD…（3分）其中事件M包含8种结果：AB和AC，AB和BD，BC和AC，BC和BD，CD和AC，CD和BD，AD和AC，AD和BD…（4分），因此，所求事件的概率为…（6分）（2）记事件N：向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内．设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为2+2h，宽为1+2h，面积为（2+2h）（1+2h）…（9分）长方体的平面展开图的面积为2+4h；…（10分）由几何概型的概率公式知，得h=3，…（12分）所以长方体的体积是V=1×1×3=3．…（13分）点评：本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查几何概型，是中档题．21．（13分）已知平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，AD=AE=BE=2，M、H分别是DE、AB的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD时，左（侧）视图的面积为．（1）求证：MH∥平面BCE；（2）求证：平面ADE⊥平面BCE．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：对于第（1）问，思路1（由线线平行得线面平行）：取CE的中点N，连接BN，只需证MH∥BN即可；思路2（由面面平行得线面平行）：取AE的中点P，连接MP、HP，只需证明平面MPH∥平面BCE即可．对于第（2）问，要证明面面垂直，由面面垂直的判定定理，可先证明平面BCE内的直线BE⊥平面ADE，问题转化为证BE⊥AE，BE⊥AD，根据已知条件及数据，设法探求BE与AE，及BE与AD 的垂直关系即可证明．解答：证明：（1）方法一：取CE的中点N，连接BN，如图1所示．∵△CDE中，M、N分别是DE、CE的中点，∴MN∥CD且MN=CD．在矩形ABCD中，∵H是AB的中点，∴BH∥CD且BH=CD，∴MN∥BH且MN=BH，从而四边形BHMN为平行四边形，∴MH∥BN．又∵MH⊄平面BCE，BN⊂平面BCE，∴MH∥平面BCE．方法二：取AE的中点P，连接MP、HP，在△ABE中，∵P、H分别是AE、AB的中点，∴HP∥BE，∵HP⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴HP∥平面BCE；同理有MP∥平面BCE，又∵MP∩HP=P，∴平面MPH∥平面BCE，∵MH⊂平面MPH，∴MH∥平面BCE．（2）取CD中点F，连接EH、EF、FH，如图2所示，则在矩形ABCD中，FH⊥AB，FH=AD=2．在△ABE中，AE=BE=2，∴EH⊥AB，∵FH∩EH=H，∴AB⊥平面EFH，∵平面ABCD⊥平面ABE，∴∠EHF=90°，∴Rt△EFH的面积等于几何体E﹣ABCD左（侧）视图的面积，得，即，∴在ABE中，有AH2+EH2=BH2+EH2=AE2=DE2=22，得，从而．由AE2+BE2=AB2=8知，AE⊥BE．∵平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，∴AD⊥平面ABE，又∵BE⊂平面ABE，∴AD⊥BE，而AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，∵BE⊂平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．点评：1．本题考查了几何的三视图，线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理等，考查知识点较多，且综合性强，利用已知数据及线、面位置关系进行合理地推理是关键．2．事实上，第（1）问还可以连结FM，要证MH∥平面BCE，只需证平面MFH∥平面BCE，由FH∥BC 及MF∥CE得证；第（2）问也可以利用向量法：以H为坐标原点，射线HE为x轴，射线HB为y 轴，射线HF为z轴建立空间直角坐标系，分别找到平面ADE与平面BCE的法向量，问题转化为证明这两个法向量互相垂直，只需通过计算得出其数量积为零即可．22．（14分）已知圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），且圆M上的点到x轴的最大距离为2，过点P（0，﹣1）作直线l．（1）求圆M的标准方程；（2）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（3）当直线l与圆M相交于A、B两点，且满足向量，λ∈2，+∞），化简得．且|AB|≤2R=4，即．所以|AB|的取值范围是．点评：本题考查直线和圆的位置关系：相切和相交，考查相切的条件：d=r以及联立直线和圆的方程，运用判别式为0，和直线和圆相交的弦长，同时考查平面向量的共线知识，属于中档题．。

湖北省部分重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案

湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高二期中考试数学试卷（文科）命题人：武汉中学戚国勇审题人：武汉四中彭朝军考试时间：11月14日 14:00-16:00 本卷满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1+310y -=的倾斜角是 ( )A ．120ºB ．135ºC ．150ºD ．30º2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 33. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取得2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有1个黑球与都是黑球B ．至少有1个红球与都是黑球C ．至少有1个黑球与至少有1个红球D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球4．对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为83； ②众数为83；③平均数为85； ④极差为12.其中，正确说法的序号是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④5．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（） A ．y ^＝－2x ＋9.5 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－0.3x －4.4 D ．y ^＝0.4x ＋2.3 6. 某三棱锥的三视图如下左图所示，该三棱锥的表面积是 ( )A ．30＋6 5B ．28＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 57.若某程序框图如下右图所示，则输出的p 的值是（）A ．21B ．28C ．30D ．558．设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、A D 两两互相垂直，且5AB =，4=AC ，AD =( )A.π36B.π64C. π100D. π1449．过点（1，2）总可以作两条直线与圆0152222=-++++k y kx y x 相切，则k 的取值范围是( ) A ．3-<k 或2>k B ．3-<k 或3382<<kC ．2>k 或3338-<<-k D ．3338-<<-k 或3382<<k10．设点P是函数2)1(4---=x y 图象上的任意一点，点)3,2(-a a Q (R ∈a )，则||PQ 的最小值为( )A.2 C.2- 2- 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应．．．．．．．．．．．题号的位．．．．置上．．． 11．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为23，则第10组抽出的号码应是 .12. 若数据组128,,,k k k ⋅⋅⋅的平均数为4，方差为2，则12832,32,,32k k k ++⋅⋅⋅+的平均数为________，方差为________．13. 若直线x+my +6=0与直线(m －2)x +3y +2m =0平行，则m 的值为________.14. 设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，此点到坐标原点的距离不小于2的概率是________.15. 用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为__________.16．已知P 是直线34110x y -+=上的动点，PA ，PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是___________. 17．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论中正确的是________．(把你认为正确的结论都填上)①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥平面CB 1D 1；③AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是2；④二面角C —B 1D 1－C 1的正切值是2； ⑤过点A 1与异面直线AD 与CB 1成70°角的直线有2条．三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知向量(,1)a x =-，(2,)b y =，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{2,26}-，，（Ⅰ）求//a b 的概率；（Ⅱ）求a b ⊥的概率． 19．（本小题满分13分）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分20．（本小题满分13分）已知1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，求：（Ⅰ）直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正切值；（Ⅱ）二面角11B AC B --的大小． 21．（本小题满分13分）已知曲线C ：22240x y x y m +--+=，O 为坐标原点（Ⅰ）当m 为何值时，曲线C 表示圆；（Ⅱ）若曲线C 与直线 230x y +-=交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．1D 1C 1B DC1A _aAB22．14分）已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为D 是AB 的中点．（ⅠD 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ， ① 当|PQ |＝3时，求直线l 的方程；② 试问在x 轴上是否存在点E (m,0)，使PE ·QE 恒为定值？若存在，求出E 点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高二期中考试文科数学参考答案一、选择题(每小题5分,共50分)二、填空题(每小题5分,共35分)48 14,18 1m =- 14π-51①②④ 三、解答题（共65分）18．解：则基本事件空间包含的基本事件有：(-1，-2)，(-1，2)，(-1，6)，(1，-2)，(1，2)，(1，6)，(3，-2)，(3，2)，(3，6)，共9种．…………………4分（Ⅰ）设“//a b ”事件为A ，则2xy =-．事件A 包含的基本事件有(-1，2)，(1，-2) 共2种．∴//a b 的概率为()29P A =． …………………8分（Ⅱ）设“a b ⊥” 事件为B ，则2y x =．事件A 包含的基本事件有(-1，-2), (1，2)，(3，6)共3种． ∴a b ⊥的概率为()3193P B ==． …………………12分 19．解：（Ⅰ）由题意得100.01100.02100.03100.035101a +⨯+⨯+⨯+⨯=，所以005.0=a ． …………………3分（Ⅱ）由直方图分数在[50,60]的频率为0.05，[60,70]的频率为0.35, [70,80]的频率为0.30, [80,90]的频率为0.20, [90,100]的频率为0.10, 所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：550.05650.35750.30850.20950.1074.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分（Ⅲ）由直方图，得：第3组人数为301003.0=⨯，第4组人数为201002.0=⨯人，第5组人数为101001.0=⨯人．所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组:306360⨯=人，第4组:206260⨯=人，第5组:106160⨯=人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． …………………9分设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:12(,),A A 13(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 11(,),A C 23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C其中恰有1人的分数不低于90分的情形有：11(,)A C ，21(,)A C ，31(,)A C ，11(,)B C ，21(,)B C ，共5种．…………………13分所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为51153= 20 . 解：（Ⅰ）连结1AB ，∵1111ABCD A B C D -是正方体∴1111B C ABB A ⊥平面，1AB 是1AC 在平面11AA B B 上的射影 ∴11C AB ∠就是1AC 与平面11AA B B 所成的角在11C AB ∆中，11tan C AB ∠== ∴直线1AC 与平面11AA B B…………………6分（Ⅱ）过1B 作11B E BC ⊥于E ，过E 作1EF AC ⊥于F ，连结1B F 下证1B FE ∠是二面角11B AC B --的平面角：由题意11AB BCC B ⊥平面，又111B E BCC B ⊂平面，1AB B E ∴⊥ 又11B E BC ⊥，1AB BC B =，11B E ABC ∴⊥平面，11AC ABC ⊂，11B E AC ∴⊥，又1EF AC ⊥，从而11AC B EF ⊥ 1111,B F B EF AC B F ⊂∴⊥平面,故1B FE ∠是二面角11B AC B --的平面角BA1D D1C 1B C1A FE_a在11Rt BB C ∆中，，11112B E C E BC ===，在1Rt ABC ∆中，1sin BC A ∠=11sin EF C E BC A =⨯∠=∴11tan B EB FE EF∠== ∴160B FE ∠=，即二面角11B AC B --的大小为60…………………13分 21．解：（Ⅰ）由题意可知： 22224(2)(4)42040D E F m m +-=-+--=->5m ∴< …………………3分（Ⅱ ）设11(,y )M x ，22(,y )N x ，由题意OM ⊥ON ，则0OM ON ⋅=，即12120y y x x += (1)联立直线方程和圆的方程：22240203x y x y m x y ⎧+--+=+-=⎨⎩消去x 得到关于y 的一元二次方程：251230y y m -++=直线与圆有两个交点，22412450b ac m ∴∆=-=-⨯⨯>，即36213,55m m +<< 又由（Ⅰ）5m <， 215m ∴< 由韦达定理：1212123,55m y y y y ++== ……………（2）又点11(,y )M x ，22(,y )N x 在直线230x y +-=上，112232,32x y x y ∴=-=- 代入（1）式得：1212(320)(32y )y y y -+=-，12126()950y y y y -++= 将（2）式代入上式得到：1235690m +⨯-+=, 122155m <= 125m ∴=…………………13分 22. 解：（Ⅰ）设D (x ，y )，A (a ，a )，B (b ，－b ), ∵ D 是AB 的中点， ∴x ＝2a b+，y ＝2a b -，∵ |AB |＝(a －b )2＋(a ＋b )2＝12，∴(2y )2＋(2x )2＝12，∴点D 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝3. …………………5分（Ⅱ）①当直线l 与x 轴垂直时，P (1，Q (1，此时|PQ |＝当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由于|PQ |＝3，所以圆心C 到直线l解得k＝.故直线l的方程为y＝(x－1).②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，由消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－3＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝2221kk+，x1x2＝2231kk-+，则PE＝(m－x1，－y1)，QE＝(m－x2，－y2)，∴PE·QE＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝m2－2221mkk+＋2231kk-+＋k2 (2231kk-+－2221kk+＋1)＝2222(21)31m m k mk--+-+要使上式为定值须22213m mm---＝1，解得m＝1，∴PE·QE为定值－2，当直线l的斜率不存在时P(1，Q(1，由E(1，0)可得PE＝(0，QE＝(0，∴PE·QE＝－2，综上所述当E(1，0)时，PE·QE为定值－2 . …………………14分。

福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文科)试题

福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文科）试题时间120分钟满分150分一、选择题(本题共有12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

本题每小题5分，满分60分。

请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1.不等式260x x --<的解集为（）A.（-2,3）B.（-3,2）C.（-6,1）D. （-1,6） 2.复数2(2+iZ i i-=为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人。

为了了解职工的某种情况，决定采用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，则业务人员应抽取（） A. 1人 B.2人 C.7人 D. 8人4. 数据10,7,7,7,9的方差是（）A.8B.58 C. 22 D. 5102 5. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>123400y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个 6.当01x <<，函数(1)y x x =-的最大值为（） A.1 B.12 C. 14 D.187.将一枚质地均匀的硬币连抛三次，则“至少出现一次正面向上”的概率是（） A.13 B.23 C. 18 D.788.一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（） A.11.5和12 B.11.5和11.5 C.11和11.5 D.12和129. 为调查800名学生对“东亚文化之都”的了解情况，打算考虑采用系统抽样从中抽取一个1 7 1 6 4 0 20 9 7容量为40的样本，，现将所有学生随机地编号为000，001，…，799，则第三组第一位学生的编号为（）A ．039B ．040C ．041D ．042 10. 下图给出的是计算1001...81614121+++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A ． 51i <B ．50i <C ．26i >D ． 25<i12. 设(,)M x y 是区域86x y ax y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩内的动点，且不等式214x y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[8，10]B ．[8，9]C ．[6，9]D ．[6，10]二、填空题 (本题共有4小题，每小题4分，满分16分。

2014-2015年湖北省武汉二中高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)

2014-2015学年湖北省武汉二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣32．（5分）直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a为（）A．20 B．14 C．10 D．74．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5π5．（5分）统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2；乙队全年丢失了79个球，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．据此分析：①甲队防守技术较乙队好；②甲队技术发挥不稳定；③乙队几乎场场失球；④乙队防守技术的发挥比较稳定．其中正确判断的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）下列说法正确的个数是（）①平行于同一直线的两条直线平行②平行于同一平面的两个平面平行③两条平行线中的一条和一个平面平行，则另一条也与这个平面平行④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行．A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，则ab的最大值为（）A．B．C．D．28．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）19079661919252719328124585691916 83431257393027556488730113537989．A．B．C．D．非ABC的结果9．（5分）把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”是（）A．不可能事件B．必然事件C．对立事件D．互斥且不对立事件10．（5分）过点P（3，4）在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条？（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）武汉2中近3年来，每年有在校学生2222人，每年有22人考取了北大清华，高分率稳居前“2”，展望未来9年前景美好．把三进制数（22222222）化为九进制数的结果为．312．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为．13．（5分）已知线性相关的两个变量x，y之间的几组数据如下表：其线性回归方程为=bx+a，则a，b满足的关系式为．14．（5分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就把钥匙放在旁边，他第二次才能打开门的概率是．15．（5分）已知x，y∈（0，1），则的最小值为．16．（5分）在正四面体S﹣ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则异面直线EF与AB所成的角是．17．（5分）已知点P（x，y）满足（x﹣cosα）2+（y﹣sinα）2=1，α∈（0，2π]，由P点组成的图形的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（12分）如图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图．根据直方图估计：（1）该公司月收入在1000元到1500元之间的人数；（2）该公司员工的月平均收入；（3）该公司员工收入的众数；（4）该公司员工月收入的中位数．19．（13分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（Ⅰ）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为，求x及乙组同学投篮命中次数的方差；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率．20．（13分）三棱锥P﹣DEF中，顶点P在平面DEF上的射影为O．（1）如果PE=PF=PD，证明O是三角形DEF的外心（外接圆的圆心）（2）如果PE=PF=1，PD=2，EF=，DE=DF=，证明：O是三角形DEF的垂心（三条高的交点）21．（14分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC ∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BMD；（2）求证：A1O⊥平面ABCD；（3）求三棱锥B﹣AMD的体积．22．（13分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．（1）写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；（2）是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB（O 为坐标原点）．若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．2014-2015学年湖北省武汉二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣3【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴=，解得m=2或﹣3，故选：C．2．（5分）直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离【解答】解：由于圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为d==2=r （半径），故直线和圆相切，故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a为（）A．20 B．14 C．10 D．7【解答】解：由程序框图知：第一次循环i=1，a=5；第二次循环i=2，a=14；第三次循环i=3，a=7；第四次循环i=4，a=20；第五次循环i=5，a=10；第六次循环i=6，a=5；…，输出的a值的周期为5，∵跳出循环的i值为2015，∴第2014次循环的a=20．故选：A．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5π【解答】解：由三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体球直径为2，则半径为1，圆锥的底面直径为4，半径为2，高为3则V==故选：A．5．（5分）统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为1.2；乙队全年丢失了79个球，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．据此分析：①甲队防守技术较乙队好；②甲队技术发挥不稳定；③乙队几乎场场失球；④乙队防守技术的发挥比较稳定．其中正确判断的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失，∴甲队技术比乙队好，故①正确，∵甲全年比赛丢失球的个数的标准差为 1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6．∴乙队发挥比甲队稳定，故②正确，乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确，总上可知有4种说法正确，故选：D．6．（5分）下列说法正确的个数是（）①平行于同一直线的两条直线平行②平行于同一平面的两个平面平行③两条平行线中的一条和一个平面平行，则另一条也与这个平面平行④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于命题①关键平行线的传递性得到命题正确；②根据面面平行的性质和判断可得命题正确；③两条平行线中的一条和一个平面平行，另一条有可能在这个平面内，所以命题错误；④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，这条直线也可能在另一平面内，所以命题错误；所以正确命题的个数为2；故选：B．7．（5分）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，则ab的最大值为（）A．B．C．D．2【解答】解：由已知，圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4的圆心为C1（a，﹣2），半径r1=2．圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1的圆心为C2（﹣b，﹣2），半径r2=1．∵圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．由基本不等式，得ab≤=．故选：C．8．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）19079661919252719328124585691916 83431257393027556488730113537989．A．B．C．D．非ABC的结果【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为=0.25．故选：C．9．（5分）把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”是（）A．不可能事件B．必然事件C．对立事件D．互斥且不对立事件【解答】解：黑、红、白3张卡片分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红卡”与“乙分得红卡”不可能同时发生，但事件“甲分得红卡”不发生时，事件“乙分得红卡”有可能发生，有可能不发生，∴事件“甲分得红牌卡”与“乙分得红卡”是互斥但不对立事件．故选：D．10．（5分）过点P（3，4）在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条？（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：当直线经过原点时满足条件，直线方程为：．当直线不经过原点时，设直线方程为，把点P（3，4）代入可得：，满足条件的a，b有（6，8），（4，16），（5，10）（9，6），（15，5），（7，7）．综上可得：满足条件的直线共有7条．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）武汉2中近3年来，每年有在校学生2222人，每年有22人考取了北大清华，高分率稳居前“2”，展望未来9年前景美好．把三进制数（22222222）3化为九进制数的结果为8888（9）．【解答】解：（22222222）3=2×30+2×31+2×32+2×33+2×34+2×35+2×36+2×37=6560，∵6560=8×90+8×91+8×9 2+8×93∴把三进制数（22222222）3化为九进制数的结果是8888（9）故答案为：8888（9）12．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．【解答】解：由圆心在y轴上，设出圆心坐标为（0，b），又半径为1，∴所求圆的方程为x2+（y﹣b）2=1，由所求圆过（1，2），代入圆的方程得：1+（2﹣b）2=1，解得：b=2，则所求圆的方程为：x2+（y﹣2）2=1．故答案为：x2+（y﹣2）2=113．（5分）已知线性相关的两个变量x，y之间的几组数据如下表：其线性回归方程为=bx+a，则a，b满足的关系式为6a+21b=13．【解答】解：由题意，=（1+2+3+4+5+6）=，=（0+2+1+3+3+4）=，代入=bx+a，可得=b+a，即6a+21b=13．故答案为：6a+21b=13．14．（5分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就把钥匙放在旁边，他第二次才能打开门的概率是．【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为．故答案为：15．（5分）已知x，y∈（0，1），则的最小值为2．【解答】解：∵x，y∈（0，1），∴表示：以（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的正方形内部动点（x，y）到四个顶点距离的和，根据两点之间距离线段最短，可得当（x，y）为正方形对角线的交点，即x=y=时，的最小值为2，故答案为：216．（5分）在正四面体S﹣ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则异面直线EF与AB所成的角是60°．．【解答】解：以SF为z轴，以FB为x轴建立空间直角坐标系，设正四面体S﹣ABC的棱长为1，则△ABC的高为，因为F为△ABC的中心，所以根据三角形重心的性质，F到AC的距离为，所以A（，B（），F（0，0，0）在三角形SAF中，SA=1，AF=，所以，所以S，E（），所以，，所以cos所以，所以异面直线EF与AB所成的角是60°．故答案为60°．17．（5分）已知点P（x，y）满足（x﹣cosα）2+（y﹣sinα）2=1，α∈（0，2π]，由P点组成的图形的面积为4π．【解答】解：∵点P（x，y）满足（x﹣cosα）2+（y﹣sinα）2=1，α∈（0，2π]，∴动点构成的图形是一个以原点为圆心半径为1的一个圆，那么P表示的含义其实就是距离圆上的点距离为1的一群点，就可以看做是以原点为圆心半径为1+1=2的一个圆点，∴由P点组成的图形的面积为：π×（1+1）2=4π．故答案为：4π．三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（12分）如图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图．根据直方图估计：（1）该公司月收入在1000元到1500元之间的人数；（2）该公司员工的月平均收入；（3）该公司员工收入的众数；（4）该公司员工月收入的中位数．【解答】解：（1）[1﹣（0.0004+0.0005+0.0005+0.0003+0.0001）×500]×1000=100人，（2）0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元（3）众数为2500和2750元；（4）中位数为2400元（面积分为相等的两部分）；19．（13分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（Ⅰ）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为，求x及乙组同学投篮命中次数的方差；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：，解得x=8，方差+（9﹣）2+（10﹣）2]=．（Ⅱ）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A1，A2，他们的命中次数分别为9，7．乙组投篮命中次数低于10次的同学为B1，B2，B3，他们的命中次数分别为8，8，9．依题意，不同的选取方法有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共6种．设“这两名同学的投篮命中次数之和为17”为事件C，则C中恰含有（A1，B1），（A1，B2）共2种．∴P（C）=．20．（13分）三棱锥P﹣DEF中，顶点P在平面DEF上的射影为O．（1）如果PE=PF=PD，证明O是三角形DEF的外心（外接圆的圆心）（2）如果PE=PF=1，PD=2，EF=，DE=DF=，证明：O是三角形DEF的垂心（三条高的交点）【解答】证明：（1）过P作PO垂直于平面DEF，O为垂足，连接OD、OE、OF，∵PD=PE=PF∴Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO，∴OD=OE=OF，故O为三角形DEF的外心．（4分）（2）过P作PO垂直于平面DEF，O为垂足，∵PE=PF=1，，，PD=2，∴△PEF、PDF、PED都是直角三角形．…（1分）…（3分）…（1分）又，∵PE∩PO=P，PE，PO⊂平面PEO，∴DF⊥平面PEO，又∵EO⊂平面PEO，∴DF⊥EO，同理可得：EF⊥DO，DE⊥FO，即O是三角形DEF的垂心．21．（14分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC ∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BMD；（2）求证：A1O⊥平面ABCD；（3）求三棱锥B﹣AMD的体积．【解答】证明：（1）连结MO，则⇒MO∥AC，∵MO⊂平面BMD，A1C⊄平面BMD，∴A1C∥平面BMD．（2）∵BD⊥AA1，BD⊥AC，∴BD⊥平面A1AC，于是BD⊥A1O，AC∩BD=O，∵底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，∴AO=，AA1=，cos∠A1AC=60°，∴A1O⊥AC，∵A1O⊥BD，∴A1O⊥平面ABCD；（3）体积转换法：∵A1O⊥平面ABCD，M为A1O的中点，∴M到平面ABCD的距离为，三角形ABD的面积为，．22．（13分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．（1）写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；（2）是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB（O 为坐标原点）．若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，圆心坐标（1，﹣2），半径为3…（3分）（2）假设直线m：y=x+b，代入圆的方程得：2x2+2（b+1）x+b2+4b﹣4=0，因为直线与圆相交，所以﹣b2﹣6b+9＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，…（4分）由OA，OB垂直，得：，∴（x1+b）（x2+b）+x1x2=0，∴，∴b2+3b﹣4=0，解得b=﹣4，或b=1，均满足b2+6b﹣11＜0，所求直线存在y=x﹣4或y=x+1．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2014-2015上期高二文科数学试题(解析版)

2014—2015学年上学期期中考试高二数学（文）试卷考试时间：120分钟命题人：耿耀辉一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式221x x -≤的解集为（）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,2.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积( ) A ．9 B ．39 C ．18 D ．3183.已知数列,则）项.A. 19B. 20C. 21D. 22 4.等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（） A ．13 B ．12 C ．11 D ．105.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若693=+a a ，则=11S （） A ．12 B ．33 C ．66 D ．996.已知等比数列{n a }满足：9273π=⋅a a ，则5cos a =（）A ．21-B ．21C ．±21D ．±237.若实数y x ,满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数y x z +=2的最大值是（）A.-3B.23C.2D.38.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形9.若不等式a b >与11a b>同时成立，则必有（）A. 0a b >>B. 110a b >>C. 0a b >>D. 110a b>>10.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件11.已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+,若数列中存在两项,m n a a 14a =，则14m n+的最小值为（） A. 9 B. 43 C. 53 D. 3212.已知1,1x y >>,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy ( )A ．有最大值eB ．有最小值e D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13.当1->x 时,不等式a x x ≥-++111恒成立，则实数a 的最大值是14.在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若2220a b c +-=，则角C 的大小为．15.等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且67S S <，78S S >，则： ①此数列的公差0d <； ②9S 一定小于6S ；③7a 是各项中最大的一项； ④7S 一定是n S 中的最大值．其中正确的是____________________（填入你认为正确的所有序号）． 16.已知正实数,x y 满足221x y xy ++=，则+x y 的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，满分70分）17.（本题10分）数列{}n a 的通项公式是672+-=n n a n ．（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3）该数列从第几项开始各项都是正数？18.（本题12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a . （1）若4=b ，求A sin 的值；（2）若△ABC 的面积4=∆ABC S ，求c b ,的值.19. （本题12分）已知()|||1|f x x x =-+. (1)求不等式()0f x ≤的解集A;(2)若不等式10mx m +->对任何x A ∈恒成立,求m 的取值范围.20. （本题12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C B C B cos cos 41)cos(2=+-（1）求角A 的大小；（2）若72=a ，△ABC 的面积为32，求c b +．21. （本题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+．（1）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T22. （本题12分）如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．郑州二中2014—2015学年上学期期中考试高二数学（文）答案一、选择题1.A2.B3.C4.C5.B6.B7.D8.C9.C 10.A 11.D 12.C 二、填空题 13.0 14.34π15. ①②④16.3三、解答题17.【解析】（1）当4=n 时，6647424-=+⨯-=a ． 3分（2）令150=n a ，即150672=+-n n ，解得16=n 或9-=n （舍去），即150是这个数列的第16项．6分（3）令0672>+-=n n a n ，解得6>n 或1<n （舍）．所以从第7项起各项都是正数． 1018.【解析】(1)∵053cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 54cos 1sin 2=-=B B .由正弦定理得BbA a sin sin =， ∴524542sin sin =⨯==b B a A . 6分 (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC∴454221=⨯⨯⨯c . ∴ 5=c .由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=， ∴ 175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b 12分 19.【解析】(1)22|||1|(1)x x x x ≤+⇔≤+12x ⇔≥-∴1[,)2A =-+∞ 6分(2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立11m x ⇔>+对12x ≥-恒成立. 12分max 1()21m x ⇔>=+∴m 取值范围是(2,)+∞20.【解析】（1）∵C B C B cos cos 41)cos(2=+-，∴C B C B C B cos cos 41)sin sin cos (cos 2=++可得1)cos(2=+C B ，∴21)cos(=+C B ． 4分 ∵π<+<C B 0，可得3π=+C B ．∴32π=A ． 6分（2）由（1）得32π=A ．∵S △ABC =32 ∴3232sin21=πbc ，解得bc=8．① 8分由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得2822=++bc c b ， 10分即28)(2=-+bc c b ．② 将①代入②，可得6=+c b ． 12分 21.【解析】（1）由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列又因为13a = 所以21n a n =+当1n =时，114b S ==；当2n ≥时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩ 5分（2）1n =时，1121120T b b ==2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++ 所以1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式综上，116120101520(23)n nn T n n --=+=++ 12分 22.【解析】解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，sin 60MN ︒＝()sin 120AMθ︒-．因为MN ＝2,所以AM ＝3sin(120°－θ）． 2分在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). 4分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ²MP ²cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2³2³sin(120°θ）cos(60°＋θ） 6分＝163sin 2(θ＋60°)－3sin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值答：设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ. 2分在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴sin 60MN ︒＝sin AMθ,AM ＝3sin θ,∴AD ＝3sin θ＋2cos θ,(θ≥2π时,结论也正确). 4分AP 2＝AD 2＋PD 2＝θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θsin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分＝163²12cos 22θ-sin2θ＋4sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－6π),θ∈(0,23π). 10分当且仅当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分。

2014-2015年湖北省襄阳市四校高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2014-2015学年湖北省襄阳市四校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a、b、c是两两不等的实数，点P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线PQ的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（5分）第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则下列说法中正确的是（）A．甲、乙两人单场得分的最高分都是9分B．甲、乙两人单场得分的中位数相同C．甲运动员的得分更集中，发挥更稳定D．乙运动员的得分更集中，发挥更稳定．3．（5分）用“除k取余法”将十进制数259转化为五进制数是（）A．2012（5） B．2013（5） C．2014（5）D．2015（5）4．（5分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（）A．圆M的圆心为（4，﹣3）B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为65．（5分）如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（）A．16 B．34+6C．6 D．17+66．（5分）已知变量x与y呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（）A．B．C．D．7．（5分）下列说法中正确的是（）A．若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件8．（5分）如果直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α∥β且α⊥γB．α⊥γ且m⊥n C．m∥β且m⊥n D．α⊥γ且m∥β9．（5分）将一个棱长为4cm的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm的小正方体．从涂有红色面的小正方体中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于2cm2的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（）A．B．C．[2，5]D．（2，5）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为．12．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点A（4，3，2）和点B（2，5，4）的距离相等，则点M的坐标是．13．（5分）点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方，则a的取值范围是．14．（5分）某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则|x﹣y|=．15．（5分）某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为175人，则a的估计值是．16．（5分）如图所示的算法中，a=e3，b=3π，c=eπ，其中π是圆周率，e=2.71828…是自然对数的底数，则输出的结果是．17．（5分）已知圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x﹣5sinβ）2+（y﹣5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），过圆C上任意一点M作圆C2的一条切线MN，切点为N，1则|MN|的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点．（1）若直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，求直线l的方程；（2）若直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．19．（13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．（1）学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？（2）根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？20．（13分）图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是．（1）从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的概率；（2）求此长方体的体积．21．（13分）已知平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，AD=AE=BE=2，M、H分别是DE、AB的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD时，左（侧）视图的面积为．（1）求证：MH∥平面BCE；（2）求证：平面ADE⊥平面BCE．22．（14分）已知圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），且圆M上的点到x轴的最大距离为2，过点P（0，﹣1）作直线l．（1）求圆M的标准方程；（2）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（3）当直线l与圆M相交于A、B两点，且满足向量，λ∈[2，+∞）时，求|AB|的取值范围．2014-2015学年湖北省襄阳市四校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a、b、c是两两不等的实数，点P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线PQ的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：∵点P（b，b+c），点Q（a，c+a），∴直线PQ的斜率为k==1设直线的倾斜角为α，则tanα=1∵α∈[0，π），∴α=故选：B．2．（5分）第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则下列说法中正确的是（）A．甲、乙两人单场得分的最高分都是9分B．甲、乙两人单场得分的中位数相同C．甲运动员的得分更集中，发挥更稳定D．乙运动员的得分更集中，发挥更稳定．【解答】解：根据茎叶图所给的数据可以看出甲的中位数是27，乙的中位数是36，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，整体水平也比较高，∴技术水平较好的是乙，故选：D．3．（5分）用“除k取余法”将十进制数259转化为五进制数是（）A．2012（5） B．2013（5） C．2014（5）D．2015（5）【解答】解：∵259÷5=51 (4)51÷5=10…1，10÷5=2…0，2÷5=0…2，∴将十进制，259化为五进制数是2014，故选：C．4．（5分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（）A．圆M的圆心为（4，﹣3）B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6【解答】解：圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则（x﹣4）2+（y+3）2=25．圆的圆心坐标（4，﹣3），半径为5．显然选项C不正确．故选：C．5．（5分）如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（）A．16 B．34+6C．6 D．17+6【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的体积为：=16．故选：A．6．（5分）已知变量x与y呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由观测数据得到的样本数据散点图，可得方程的系数均为正，只有B满足．故选：B．7．（5分）下列说法中正确的是（）A．若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件【解答】解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，故选：D．8．（5分）如果直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α∥β且α⊥γB．α⊥γ且m⊥n C．m∥β且m⊥n D．α⊥γ且m∥β【解答】解：∵直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，∴平面α与β平行或相交，α，γ一定垂直，m，n一定垂直，m∥β或m⊂β，∴α⊥γ且m⊥n．故选：B．9．（5分）将一个棱长为4cm的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm的小正方体．从涂有红色面的小正方体中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于2cm2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵正方体的棱长等于4cm，∴将正方体分割成棱长为1cm的小正方体，总共有43=64个其中位于大正方体的8个顶点处的小正方体，有3面涂有红色，共8个；位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，总共有2×12=24个；位于大正方体内部，没有任何一个面与外界接触的小正方体总共有2×2×2=8个，还有只有1个面有红色的个数为64﹣8﹣24﹣8=24个，∴涂有红色面的小正方体共8+24+24=56个其中有2面或3面是红色的小正方体（即红色面积不少于2cm2的）个数为8+24=32个，∴所求概率为=故选：A．10．（5分）已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（）A．B．C．[2，5]D．（2，5）【解答】解：由于二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则即有，在平面直角坐标系中，作出不等式组表示的区域，而（m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1，2）到区域内的点的距离的平方，求得点（﹣1，2）到直线m+n+1=0的距离为=，点（﹣1，2）到点（﹣2，0）的距离为，故（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（2，5）．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为15．【解答】解：该校共有学生450+750+600=1800，∵每个学生被抽到的概率为0.02，∴抽取的样本容量n=1800×0.02=36人，则应从高二年级抽取的学生人数为=15人，故答案为：1512．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点A（4，3，2）和点B（2，5，4）的距离相等，则点M的坐标是（0，4，0）．【解答】解：设M（0，y，0）由题意得42+（3﹣y）2+4=4+（5﹣y）2+42解得得y=4故M（0，4，0）故答案为：（0，4，0）．13．（5分）点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方，则a的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方区域，则a﹣2+4＞0，解得：a＞﹣2．故答案为：（﹣2，+∞）．14．（5分）某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则|x﹣y|=3．【解答】解：∵某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6，这组数据的平均数为8，方差为2，∴，解得x=10，y=7或x=7，y=10，∴|x﹣y|=3．故答案为：3．15．（5分）某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为175人，则a的估计值是135．【解答】解：根据频率分布直方图，得；分数在140～150的人数是1000×0.010×10=100，分数在130～140的人数是1000×0.015×10=150，∴分数在135～150的人数是150÷2+100=175；∴当优秀的人数为175人时，a的估计值是135．故答案为：135．16．（5分）如图所示的算法中，a=e3，b=3π，c=eπ，其中π是圆周率，e=2.71828…是自然对数的底数，则输出的结果是3π．【解答】解：∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，从而有ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是，根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得e3＜eπ＜3π，即有a＜c＜b执行程序框图，则a＜b条件满足，有a=3π而此时条件a＜c不成立，故输出a的值为3π故答案为：3π17．（5分）已知圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x﹣5sinβ）2+（y﹣5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），过圆C上任意一点M作圆C2的一条切线MN，切点为N，1则|MN|的取值范围是．【解答】解：∵圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x﹣5sinβ）2+（y﹣5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），∴圆C1的圆心在以原点为圆心，1为半径的圆上动，圆C2的圆心在以原点为圆心，5为半径的圆上动，∴圆心关于原点对称的时候|MN|取最大值为3，在同一侧的时候|MN|取最小值，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点．（1）若直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，求直线l的方程；（2）若直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．【解答】解：（1）由得即直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交于点（3，2），所以直线l经过点（3，2），…（4分）因为直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，可设直线l的方程为3x﹣2y+m=0，则有3×3﹣2×2+m=0得m=﹣5，所以直线l的方程为3x﹣2y﹣5=0．…（8分）（2）因为直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，可设直线l的方程为3x+4y+n=0，则有3×3+4×2+n=0得n=﹣17，所以直线l的方程为3x+4y﹣17=0．…（12分）19．（13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．（1）学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？（2）根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；，∴走读生早上上学所需要的平均时间约为11.52分钟；…（6分）（2）根据频率分布直方图，得；P1=0.02×4+0.08×4=0.40=40%，P2=0.03×4÷2=0.06=6%，…（12分）∴距离学校500米以内的走读生占全校走读生的40%，距离学校1000米以上的走读生占全校走读生的6%．…（13分）20．（13分）图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是．（1）从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的概率；（2）求此长方体的体积．【解答】解：（1）记事件M：从6条线段中任取2条线段，其中一条线段长度是另一条线段长度的倍．从6条线段中任取2条线段，有15种等可能的取法：AB和BC，AB和AC，AB和CD，AB和AD，AB和BD，BC和CD，BC和BD，BC 和AC，BC和AD，CD和AC，CD和AD，CD和BD，AD和AC，AD和BD，AC和BD…（3分）其中事件M包含8种结果：AB和AC，AB和BD，BC和AC，BC和BD，CD和AC，CD和BD，AD和AC，AD和BD…（4分），因此，所求事件的概率为…（6分）（2）记事件N：向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内．设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为2+2h，宽为1+2h，面积为（2+2h）（1+2h）…（9分）长方体的平面展开图的面积为2+4h；…（10分）由几何概型的概率公式知，得h=3，…（12分）所以长方体的体积是V=1×1×3=3．…（13分）21．（13分）已知平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，AD=AE=BE=2，M、H分别是DE、AB的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD时，左（侧）视图的面积为．（1）求证：MH∥平面BCE；（2）求证：平面ADE⊥平面BCE．【解答】证明：（1）方法一：取CE的中点N，连接BN，如图1所示．∵△CDE中，M、N分别是DE、CE的中点，∴MN∥CD且MN=CD．在矩形ABCD中，∵H是AB的中点，∴BH∥CD且BH=CD，∴MN∥BH且MN=BH，从而四边形BHMN为平行四边形，∴MH∥BN．又∵MH⊄平面BCE，BN⊂平面BCE，∴MH∥平面BCE．方法二：取AE的中点P，连接MP、HP，在△ABE中，∵P、H分别是AE、AB的中点，∴HP∥BE，∵HP⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴HP∥平面BCE；同理有MP∥平面BCE，又∵MP∩HP=P，∴平面MPH∥平面BCE，∵MH⊂平面MPH，∴MH∥平面BCE．（2）取CD中点F，连接EH、EF、FH，如图2所示，则在矩形ABCD中，FH⊥AB，FH=AD=2．在△ABE中，AE=BE=2，∴EH⊥AB，∵FH∩EH=H，∴AB⊥平面EFH，∵平面ABCD⊥平面ABE，∴∠EHF=90°，∴Rt△EFH的面积等于几何体E﹣ABCD左（侧）视图的面积，得，即，∴在ABE中，有AH2+EH2=BH2+EH2=AE2=DE2=22，得，从而．由AE2+BE2=AB2=8知，AE⊥BE．∵平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，∴AD⊥平面ABE，又∵BE⊂平面ABE，∴AD⊥BE，而AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，∵BE⊂平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．22．（14分）已知圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），且圆M上的点到x轴的最大距离为2，过点P（0，﹣1）作直线l．（1）求圆M的标准方程；（2）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（3）当直线l与圆M相交于A、B两点，且满足向量，λ∈[2，+∞）时，求|AB|的取值范围．【解答】解：（1）因为圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），得知圆M的圆心在x的正半轴上；由圆M上的点到x轴的最大距离为2，得知圆M的圆心为（2，0），半径为2．所以圆M的标准方程为（x﹣2）2+y2=4．（2）若直线l的斜率存在，设l的斜率为k，则直线l的方程为kx﹣y﹣1=0，因为直线l与圆M相切，所以圆心M到直线l的距离等于半径得，解得，直线l的方程：3x+4y+4=0；若直线l的斜率不存在，由直线l与圆M相切得直线l的方程：x=0，所以，直线l的方程为x=0或3x+4y+4=0．（3）由直线l与圆M相交于A、B两点知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，点A（x1，y1）、B（x2，y2），则直线l的方程为kx﹣y﹣1=0，由得（k2+1）x2﹣（2k+4）x+1=0，△=16k+12＞0，即，，，由向量，得x1=λx2，由，，x1=λx2消去x1、x2得，即，λ∈[2，+∞），化简得．且|AB|≤2R=4，即．所以|AB|的取值范围是．。

2014-2015年陕西省榆林市神木中学高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2014-2015学年陕西省榆林市神木中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对于算法的三种基本逻辑结构，下面说法正确的是（）A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合2．（5分）下列说法错误的是（）A．在统计里，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动性越大3．（5分）如图是2013年某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，44．（5分）直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定5．（5分）不论m取任何实数，直线l：（m﹣1）x﹣y+2m+1=0恒过一定点，则该定点的坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，0）D．6．（5分）光线从点A（﹣3，5）射到x轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线从A到B的距离为（）A．B．C．D．7．（5分）直线3x﹣4y﹣9=0与圆x2+y2=4的位置关系是（）A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心C．相切D．相离8．（5分）运行如图所示的程序，如果输出结果为sum=1320，那么判断框中应填（）A．i≥9 B．i≥10 C．i≤9 D．i≤109．（5分）方程|x﹣1|=表示的曲线是（）A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆10．（5分）已知点P（﹣1，1），Q（2，2），直线l：y﹣kx+1=0与线段PQ相交，则实数k的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知点A（1，2），若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标．12．（5分）经过点（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是．13．（5分）某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为80的样本，已知广告部被抽取了4个员工，则广告部的员工人数是．14．（5分）如图，程序运行后输出的结果为、．15．（5分）圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的公切线有条．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）（1）已知l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，求直线l1的方程；（2）求经过两条直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P且与直线l3：3x﹣4y+5=0垂直的直线l的方程．17．（14分）（1）若直线3x﹣4y+12=0与两坐标交点为A，B，求以AB为直径的圆的方程；（2）已知圆过两点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上，求此圆的方程．18．（15分）已知算法如下表所示：（这里S1，S2，…分别代表第一步，第二步，…）（1）指出其功能（用数学式子表达）；（2）画出该算法的算法框图．19．（15分）为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：（1）求出表中m，n，M，N所表示的数；（2）画出频率分布直方图．20．（17分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，且OP ⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．2014-2015学年陕西省榆林市神木中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对于算法的三种基本逻辑结构，下面说法正确的是（）A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合【解答】解：一个算法最多可以包含三种逻辑结构的任意组合，故A，B，C不正确；一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合，故D正确．故选：D．2．（5分）下列说法错误的是（）A．在统计里，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动性越大【解答】解：在统计里，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量，选项A正确；一组数据的平均数不可能大于这组数据中的每个数据，选项B错误；平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，选项C正确；一组数据的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好，一组数据的方差越大，说明这组数据的波动性越大，选项D正确，3．（5分）如图是2013年某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4【解答】解：去掉最高分93，去掉最低分79，剩下5个数据：84，84，84，86，87，所以平均数为，方差等于．故选：C．4．（5分）直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定【解答】解：由方程组可得3x+4m﹣n=0，由于3x+4m﹣n=0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交．再由两直线的斜率分别为﹣2和﹣，斜率之积不等于﹣1，故两直线不垂直．故选：C．5．（5分）不论m取任何实数，直线l：（m﹣1）x﹣y+2m+1=0恒过一定点，则该定点的坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，0）D．【解答】解：直线l：（m﹣1）x﹣y+2m+1=0可变形为：m（x+2）+（﹣x﹣y+1）=0∵m∈R∴∴不论m取任何实数，直线l：（m﹣1）x﹣y+2m+1=0恒过一定点（﹣2，3）故选：B．6．（5分）光线从点A（﹣3，5）射到x轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线从A到B的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得A（﹣3，5）关于x轴的对称点为A′（﹣3，﹣5），由对称性可知光线从A到B的距离即为A′到B的距离，由距离公式可得|A′B|==5故选：C．7．（5分）直线3x﹣4y﹣9=0与圆x2+y2=4的位置关系是（）A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心C．相切D．相离【解答】解：由于圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离d==＜2（半径r），再根据d＞0，可得直线和圆相交但不过圆心，故选：A．8．（5分）运行如图所示的程序，如果输出结果为sum=1320，那么判断框中应填（）A．i≥9 B．i≥10 C．i≤9 D．i≤10【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序输出的结果是计算sum=12×11×10×…×（i﹣1）；输出结果sum=1320时，sum=12×11×10，∴判断框中应填i≤9．故选：C．9．（5分）方程|x﹣1|=表示的曲线是（）A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆【解答】解：两边平方，可变为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示的曲线为以（1，1）为圆心，1为半径的圆；故选：A．10．（5分）已知点P（﹣1，1），Q（2，2），直线l：y﹣kx+1=0与线段PQ相交，则实数k的取值范围（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l：y﹣kx+1=0过定点M（0，﹣1），如图，∵，，∴实数k的取值范围是（﹣∞，2]∪[）．故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知点A（1，2），若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标（3，0）或（0，3）．【解答】解：∵直线PA的倾斜角为135°，∴直线PA的斜率为tan135°=﹣1，∴直线PA的方程为y﹣2=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣3=0．取y=0，得x=3；取x=0，得y=3．∴点P的坐标是（3，0）或（0，3）．故答案为：（3，0）或（0，3）．12．（5分）经过点（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x﹣4y=0或x+y﹣5=0．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=x，即x﹣4y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点A（4，1）代入直线的方程可得k=5，故直线方程是x+y﹣5=0．综上，所求的直线方程为x﹣4y=0，或x+y﹣5=0，故答案为：x﹣4y=0，或x+y﹣5=0．13．（5分）某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为80的样本，已知广告部被抽取了4个员工，则广告部的员工人数是500．【解答】解：设广告部的员工人数为x，则，解得x=500，故答案为：50014．（5分）如图，程序运行后输出的结果为22、﹣22．【解答】解：程序第三行运行情况如下：∵x=5，不满足x＜0，则运行y=﹣20+3=﹣17最后x=5，y=﹣17，输出x﹣y=22，y﹣x=﹣22．故答案为：22；﹣22．15．（5分）圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的公切线有3条．【解答】解：配方可得圆C1：（x+1）2+（y+2）2=4，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9，∴圆心C1（﹣1，﹣2），半径r1=2，圆心C2（2，2），半径r2=3，由距离公式可得|C1C2|==5=r1+r2，∴两圆的位置关系为外切，故公切线有3条故答案为：3三、解答题：本大题共5个小题，共75分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）（1）已知l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，求直线l1的方程；（2）求经过两条直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P且与直线l3：3x﹣4y+5=0垂直的直线l的方程．【解答】解：（1）当l1，l2间的距离最大时，两直线与AB垂直，∵，则，∴直线l1的方程为y﹣1=（x﹣1），即x+2y﹣3=0；（2）联立，解得．∴两条直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P（0，2），∵直线l3：3x﹣4y+5=0的斜率为，∴所求直线的斜率为．∴所求直线方程为y=﹣．17．（14分）（1）若直线3x﹣4y+12=0与两坐标交点为A，B，求以AB为直径的圆的方程；（2）已知圆过两点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上，求此圆的方程．【解答】解：（1）由x=0得y=3，由y=0得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，3），∴以AB为直径的圆的圆心是（﹣2，），半径r==，以AB为直径的圆的方程是（x+2）2+（x﹣）2=，即x2+y2+4x﹣3y=0．（2）由题意知：圆心即为线段AB的中垂线和直线3x﹣y﹣2=0交点．∵A、B的中点M（1，2），kAB==﹣，∴线段AB的中垂线为：y﹣2=2（x﹣1），即y=2x由，解得，即圆心O（2，4），γ=|OA|==，∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．18．（15分）已知算法如下表所示：（这里S1，S2，…分别代表第一步，第二步，…）（1）指出其功能（用数学式子表达）；（2）画出该算法的算法框图．【解答】解：由算法可知，算法的功能是求y=的值，算法框图如下：19．（15分）为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：（1）求出表中m，n，M，N所表示的数；（2）画出频率分布直方图．【解答】解：（1）由[145.5，149.5）组内频数是1，频率是0.02，则M==50，各组频数之和等于M，所以m=50﹣（1+4+20+15+8）=2，n==0.04，各组频率之和N=1（2）根据样本的频率分布表，计算出每组的纵坐标=，画出频率分布直方图．20．（17分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，且OP ⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．【解答】解：将x=3﹣2y代入方程x2+y2+x﹣6y+m=0，得5y2﹣20y+12+m=0．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件y1+y2=4，y1y2=．∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0．而x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，∴x1x2=9﹣6（y1+y2）+4y1y2．9﹣6×4+5×=0∴m=3，此时△＞0，圆心坐标为（﹣，3），半径r=．。

湖北省武汉第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试文科数学试卷(解析版)

湖北省武汉第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试文科数学试卷（解析版）一、选择题1．直线04)1(2=+++y m x 与直线023=-+y mx 平行, 则=m （） A.2- B.3- C.2或3- D.2-或3- 【答案】Ｃ【解析】试题分析：因为直线04)1(2=+++y m x 与直线023=-+y mx 平行，所以213mm --=+，解得2m =或-3，故正确答案为选项C. 考点：两直线平行的性质.2．直线043:=-+y x l 与圆4:22=+y x C 的位置关系是（） A.相交且过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离【答案】Ｃ【解析】试题分析：由题意知圆的圆心坐标为(0,0)，半径2r =，所以圆心到直线的距离2d ==等于半径，所以直线和圆相切.故正确答案为选项C.考点：①直线和圆的位置关系；②点到直线的距离公式. 3．下图是一个程序框图, 则输出的结果为（）A.20B.14C.10D.7 【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1,5i a ==；第二次循环2,14i a ==；第三次循环3,7i a ==；第四次循环4,20i a ==；第五次循环5,10i a ==；第六次循环6,5i a ==；...输出的a 值周期为5，因为跳出循环的i 值为2015，所以第2014次循环的20a =.故正确答案为选项A. 考点：程序框图4．某几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积为（）A.163π B.203π C.403πD.5π 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体，球的直径为2，半径为1.圆锥底面圆的直径为4，半径为2，高为3，则该几何体的体积2411623333V πππ=+⨯⨯=故正确答案为选项A.考点：几何体的三视图.5．统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下：甲队平均每场比赛丢失5.1个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1; 乙队平均每场比赛丢失2.2个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为6.0.据此分析： ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定;③乙队几乎场场失球;④乙队防守技术的发挥比较稳定.其中正确判断的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】试题分析：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队平均每场比赛丢失2.2个球，所以甲队技术比乙队好，故①正确，甲队全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1，乙队全年比赛丢失球的个数的方差为6.0，所以乙队发挥比甲稳定，故②④正确，乙队几乎场场失球，故③正确，所以正确答案为选项D.考点：平均数、方差与标准差.6．下列说法正确的个数是（） ①平行于同一直线的两条直线平行 ②平行于同一平面的两个平面平行③两条平行线中的一条和一个平面平行, 则另一条也与这个平面平行④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行, 则这条直线与另一平面也平行 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】试题分析：对于命题①的关键是平行线的传递性，所以命题正确； ②根据面面平行的性质和判定可得命题正确；③两条平行线中的一条和一个平面平行，另一条有可能在这个平面内，所以命题错误； ④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，这条直线也可能在另一个平面内，所以命题错误；故正确答案为选项B.考点：空间线面关系和面面关系. 7．已知圆221:()(2)4C x a y -++=与圆222:()(2)1C x b y +++=相外切, 则ab 的最大值为（）A.2B.32C.94 D.【答案】C【解析】试题分析：根据已知，圆1C 的圆心为1(a,2)C -，半径为12r =，圆2C 的圆心为2(b,2)C --，半径为11r =，因为两圆外切，所以1212||r C C r =+，即3a b +=，由基本不等式得2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，故正确答案为选项C.考点：①圆与圆的位置关系；②基本不等式等.8．天气预报说, 在今后的三天中, 每三天下雨的情况不完全相间．．．．．．．．．．．．．, 每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1, 2, 3, 4表示下雨, 用5, 6, 7, 8, 9, 0表示不下雨; 从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据.据此估计, 这三天．．中恰有两天．．．．下雨的概率近似为（） 19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 2 A.236 B.216C.41D.非ABC 的结果【答案】C【解析】试题分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下36组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：192、193、281、245、393、125、302、011、353，共9组随机数，所以所求概率为91364=，故正确答案为选项C. 考点：模拟方法估计概率.9．把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人1张, 事件A ：“甲得红卡”与事件B ：“乙得红卡”是（） A.不可能事件 B.必然事件C.对立事件D.互斥且不对立事件【答案】D 【解析】试题分析：把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人1张, 事件A ：“甲得红卡”与事件B ：“乙得红卡”不可能同时发生，但事件A ：“甲得红卡”不发生时，事件B ：“乙得红卡”有可能发生，有可能不发生；所以事件A ：“甲得红卡”与事件B ：“乙得红卡”是互斥但不对立事件. 故正确答案为选项D.考点：对立事件、必然事件、不可能事件、互斥事件10．过点)4,3(P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条？（） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】D 【解析】试题分析：当直线经过原点时满足条件，直线方程为：43y x =；当直线不过原点时，设直线方程为1x y a b +=，把点)4,3(P 代入可得：341a b+=；满足条件的,a b 有(6,8)，(4,16)，(5,10)，(9,6)，(15,5)，(7,7)；综上可得：满足条件的直线共有7条.故正确答案为选项D.考点：直线的截距式方程.二、填空题 11．武汉2中近3年, 每年有在校学生2222人, 每年有22人考取了北大清华, 高分率稳居前“2”, 展望未9年前景美好.把三进制数3)22222222(化为九进制数的结果为9)(.【答案】8888 【解析】试题分析：一般数制间的转换，十进制是桥梁，故先将3)22222222(转化为十进制，即3)22222222(=6560323232323232323201234567=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，然后用除９取余倒排序的方法，将十进制转化成９进制，如下图所示：∴()39(22222222)8888=.考点：数制间的转换12．圆心在y 轴上, 半径为1, 且过点（1,2）的圆的标准方程是 .【答案】()2221x y +-=【解析】试题分析：由圆心在y 轴上，设出圆心坐标为()0,b ，又半径为1，∴所求圆的方程可设为为()221x y b +-=，所求圆过()1,2，将之代入圆的方程得：()2121b +-=，解之得：2b =，故所求圆的方程为：()2221x y +-=．考点：圆的定义和标准方程.13．已知线性相关的两个变量y x ,之间的几组数据如下表：其线性回归方程为a bx y +=∧, 则b a ,满足的关系式为 . 【答案】13216=+b a 【解析】试题分析：因为线性回归方程恒过样本中心点(),x y ，由表中所给数据得：1234562166x +++++==，021*******y +++++==，将之代入线性回归方程并化简得13216=+b a .考点：①线性回归方程；②样本中心点.14．某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 . 【答案】13【解析】试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为221433⨯=，（若从排列组合的思维角度即1122114341123c c c c ==）.考点：随机事件的概率. 15．已知)1,0(,∈y x , 则++-+-+++222222)1()1(y x y x y x 22)1()1(-+-y x 的最小值为 .【答案】【解析】的几何意义为点(),x y 到原点()0,0的距离，(),x y 到点()0,1的距离，(),x y 到点()1,0的距离，22)1()1(-+-y x 的几何意义为点(),x y 到点()1,1的距离，所以求++-+-+++222222)1()1(y x y x y x 22)1()1(-+-y x 的最小值，即求(),x y 到上述四点的距离的和的最小值.如图，根据两点间距离最短可知，只有点(),x y 位于正方形对角线的交点时，才能分别与两组对角顶点都共线，此时点(),x y 到四个顶点的距离的和最小，易求得最小值为考点：①两点间距离公式；②数形结合思想.16．正四面体S —ABC 中, E 为SA 的中点, F 为∆ABC 的中心, 则异面直线EF 与AB 所成的角是 .【答案】60FEG ∠=︒ 【解析】试题分析：如下图，设正四面体S ABC -的棱长为2a ，取SB 的中点为G ,联结EG ,则结合已知得EG 为SAB ∆的中位线，即//EG AB ，且12EG AB a ==；分别联结EF GF SF 、、,则FEG ∠即为所求，因为F 为正四面体底面中心，所以SF ABC ⊥平面,,AF ABC BF ABC ⊂⊂平面平面,∴,SF AF SF BF ⊥⊥,即SFA SFB ∆∆、均为Rt ∆，又E G 、分别SA SB 、的中点，即FE FG 、分别为Rt SFA SFB ∆∆、Rt 的中线，由直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）知11,22FE SA a FG SB a ====, ∴FEG ∆为等边三角形，∴60FEG ∠=︒，即为所求.考点：异面角的计算17．已知点),(y x P 满足1)sin ()cos (22=-+-ααy x , ]2,0(πα∈, 由P 点组成的图形的面积为 . 【答案】4π 【解析】试题分析：如下图所示，根据同角三角函数的平方关系得22sin cos 1αα+=，]2,0(πα∈，从几何的角度可将其轨迹视为原点为圆心，半径为1的圆，即点()sin ,cos αα在单位圆上运动；由已知看出点),(y x P 与()sin ,cos αα的距离的平方为1，即两点间的距离为1，点),(y x P 随动点()s i n,c o s αα运动而运动，所以点P 构成的集合为：{}(,)|2P x y 原点为圆心，半径为的圆上的点或原点，所以由点P 围成的图形的面积为以原点为圆心，半径为2的圆，由圆的面积公式可得224s ππ=⨯=.考点：①同角三角函数的基本关系；②圆的定义和方程；③数形结合的思想.三、解答题 18．（本小题满分12分）下图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图.根据直方图估计：（Ⅰ）该公司月收入在1000元到1500元之间的人数; （Ⅱ）该公司员工的月平均收入; （Ⅲ）该公司员工收入的众数;（Ⅳ）该公司员工月收入的中位数;【答案】（Ⅰ）100人；（Ⅱ）2400元；（Ⅲ）2500元；（Ⅳ）2400元. 【解析】试题分析：（Ⅰ）直方图类的题，核心是要抓住频率之和为1，图中仅有欲求频率未知，所以用1减去其余各组频率之和即可，然后乘于总人数可得所求；（Ⅱ）由直方图求平均数只需用频率分布直方图各个小矩形的面积（即频率）乘底边中点的横坐标，然后求和可得；（Ⅲ）众数在频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标；（Ⅳ）直方图中，中位数左边和右边的面积相等，都是0.5，据此易得所求.试题解析：（Ⅰ）根据频率分布直方图知，满足条件的频率为：()15000.00010.00030.00040.0005210.90.1-+++⨯=-=，所以满足条件的人数为：10000.1100⨯=人；（Ⅱ）据题意该公司员工的平均收入为：5000.000212505000.000417505000.000522505000.000527505000.000332505000.000137502400⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=元（Ⅲ）根据频率分布直方图知，最高矩形（由两个频率相同的矩形构成）的底边中点的横坐标为2500，即公司员工收入的众数为2500元；（Ⅳ）根据频率分布直方图知，中位数介于2000元至2500元之间，故可设中位数为x ，则由()0.00025000.00045000.000520000.52400x x ⨯+⨯+⨯-=⇒=，即公司员工收入的中位数为2400元.考点：①频率的定义和性质；②平均数、众数、中位数与频率直方图的关系. 19．（本小题满分13分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以x 表示.（Ⅰ）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354, 求x 及乙组同学投篮命中次数的方差; （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名, 记事件A ：“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）8x =，21116s =；（Ⅱ）13. 【解析】试题分析：（Ⅰ）已知平均数，根据平均数计算公式，x 可求，将相关数据代入方差公式即得所求；（Ⅱ）将甲乙两组满足条件的投蓝数依次两两组合，不重不漏，可得基本事件总数，然后将和为17的基本事件筛选出，可得目标基本事件数，最后用后者除以前者，可得所求.试题解析：（Ⅰ）据题意得89103544x x +++==,解之得8x =，方差2222135353511[2(8)(9)(10)]444416s =⨯-+-+-=；（Ⅱ）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为12,A A ，他们的命中次数分别为9、7；记乙组投篮命中次数低于10次的同学为123,,B B B ，他们的命中次数分别为8、8、9；则从中任取两数，不同的选取方法有111213(,),(,),(,)A B A B A B ,212223(,),(,),(,)A B A B A B 共6种.，设“这两名同学的投篮命中次数之和为17”为事件C ，则C 中恰含有1112(,),(,)A B A B 共2种，21()63P C ∴==. 考点：①平均数和方差；②古典概型. 20．（本小题满分13分）三棱锥P －DEF 中, 顶点P 在平面DEF 上的射影为O.（Ⅰ）如果PE ＝PF ＝PD, 证明O 是三角形DEF 的外心（外接圆的圆心）（Ⅱ）如果1==PF PE , 2=PD , 2=EF , 5==DF DE ,证明 O 是三角形DEF 的垂心（三条高的交点）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ））详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证点O 为DEF ∆的外心，即证点O 到DEF ∆三个顶点的距离相等，据题意易证POD POE POF ∆∆∆、、是三个全等的三角形，所以OD OE OF ==，即点O 为外心；（Ⅱ）欲证点O 为垂心，只需证,,DO EF EO DF FO DE ⊥⊥⊥，根据已知结合勾股定理易证PDE PEF PDF ∆∆∆、、均为,直角三角形，加之PO DEF ⊥平面，运用相关线面垂直和线线垂直的相关判定和定理，不难得出结论.试题解析：（Ⅰ）如图（一）所示，过点P 作PO DEF O ⊥平面于，分别连结DO EO FO 、、，则由线面垂直的定义可得,,PO DO PO EO PO FO ⊥⊥⊥，PD PE PF ==，∴根据HL 公理得Rt POD Rt POE Rt POF ∆≅∆≅∆∴OD OE OF ==,所以点O 为DEF ∆的外心.（Ⅱ）如图（二）所示，过点P 作PO DEF O ⊥平面于，分别联结DO EO FO ==，并分别延长使交EF DF DE 、、于点G H I 、、，则根据已知2,1,PD PE DE ===有2222222222155PD PE PD PE DE DE ⎧+=+=⎪⇒+=⎨==⎪⎩,即：DPE ∆为t R ∆（勾股定理逆定理），同理可证：EPF DPF ∆∆、均为t R ∆，∴EP PD EP PF PD PDF EP PDF PF PDF PD PF P⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⇒⊥⎨⎪⊂⎪⎪=⎩平面平面平面,DF PDF ⊂平面,∴EP DF ⊥，又PO DEFPO DF DF DEF ⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩平面平面,∴由DF EP DF PO EP POE DF POE PO POE EP PO P⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⇒⊥⎨⎪⊂⎪⎪=⎩平面平面平面EH POE ⊂平面,∴DF EH ⊥,同理可证：,EF DG DE FI ⊥⊥，∴DG EH FI 、、分别是DEF ∆三边上的高，即：点O 为DEF ∆的垂心.考点：线面垂直和线线垂直的相关判定和定理考点：①三角形外心和垂心的定义；②线面垂直的定义、性质和判定；③勾股定理和三角形全等判定.21．（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形, AC∩BD=O, AA 1=23, BD ⊥A 1A, ∠BAD=∠A 1AC=60°, 点M 是棱AA 1的中点.（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面BMD;（Ⅱ）求证：A 1O ⊥平面ABCD;（Ⅲ）求三棱锥AMD B -的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）B AMD V -=. 【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证线面平行，通常从线线平行入手，M 是中点，加之ABCD 四边形是菱形，O 也为AC 中点，所以MO 为1AAC ∆的中位线，问题得于解决；（Ⅱ）根据已知边角关系易证1AOA ∆为直角三角形，即1AO AC ⊥，又根据菱形性质BD AC ⊥，给合已知1BD AA ⊥，可得1BD AAC ⊥平面，即1B D A O ⊥，所以自然可得1AO ABCD ⊥平面；（Ⅲ）本题要解决三棱锥的体积，核心是解决高的问题，据题意，过M 点作1AO 的平行线使交AC 于N ，则MN 即为三棱锥的高，又M 是1AA 的中点，所以112MN A O =，结合已知可得所求. 试题解析：（Ⅰ）如图，联结MO ，则由ABCD 四边形是棱形知O 为AC 中点，又M 是1AA 的中点，∴MO 为1AAC ∆的中位线，故1//MO AC ，而1,A C MO MD MD ⊂⊄平面B 平面B ，所以1A C//MD 平面B ；（Ⅱ）ABCD 四边形是菱形，∴其对角线AC BD 、互相垂直平分且平分对角，又60BAD ∠=︒，∴ 30BAO ∠=︒，∴在Rt BAO 中，2,BO 1AB ==（30︒角所对直角边等于斜边的一半），则AO = ∴1AOA中，1AA =1160A AO AOC ∠=∠=︒,则由余弦定理得22211cos603AO AO +-︒=⇒= (2223+=，故由勾股定理知1AOA Rt ∆∆是，即11AO AO AO AC ⊥⇒⊥，又由111111BD AC BD A A AC A AC BD A AC A A A AC AC A A A⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⇒⊥⎨⎪⊂⎪⎪=⎩平面平面平面11AO A AC ⊂平面，∴1BD AO ⊥， ∴由111AO AC AO BD AC ABCD AO ABCD BD ABCD AC BD O⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⇒⊥⎨⎪⊂⎪⎪=⎩平面平面平面；（Ⅲ）如图，过点M 作1//MN AO 交AC 于N ，则MN 为三棱锥M ABD -的高且11322MN AO ==，又122sin 6022ABD S ∆=⨯⨯⨯︒==，∴1332B AMD M ABD V V --===. 考点：①线面平行的判定；②线面垂直的判定；③勾股定理和余弦定理；④等积法.22．（本小题满分13分）已知圆0442:22=-+-+y x y x C ．（Ⅰ）写出圆C 的标准方程, 并指出圆心坐标和半径大小;（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线m, 使m 被圆C 截得的弦为AB, 且OB OA ⊥（O 为坐标原点）．若存在, 求出直线m 的方程; 若不存在,说明理由．【答案】（Ⅰ）()()22129x y -++=，()1,2-，3；（Ⅱ）4-=x y 或1+=x y . 【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的一般方程()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->得其圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，从而可得圆C 的标准方程，此题也可以通过配方法直接得到圆C 的标准方程，然后再写出其圆心坐标和半径；（Ⅱ）首先根据题意设出m 的方程，然后与圆的方程联立消y 得关于x 的一元二次方程，运用韦达定理得到两根的和及积的关系，然后再根据OA OB ⊥不难得出关于两根和及积的方程，从而可求直线m 的方程. 试题解析：（Ⅰ）根据圆的一般方程结合已知得：2,E 4,F 4D =-==-，则241,22222D E --=-=-=-=-，3==，即圆心C 的坐标为()1,2-，半径为3，所以圆C 的标准方程为：()()22129x y -++=；（Ⅱ）根据题意可设直线b x y m +=:, 代入圆的方程得：044)1(2222=-++++b b x b x ，因为直线与圆相交, 所以01162<-+b b 244,122121-+=--=+b b x x b x x ，设),(,),(2211y x B y x A , 则1122,y x b y x b =+=+，由OA OB ⊥得1212121212120011()()000y y y y x b x b x x x x x x --⋅=-⇒=-⇒+++=--， 0430)(2222121=-+⇒=+++b b b x x b x x , 得4-=b 或1=b ，均满足01162<-+b b ,故所求直线m 存在，且方程为4-=x y 或1+=x y .考点：①圆的一般方程和标准方程；②直线方程；③两直线垂直的斜率关系；④韦达定理；⑤数形结合思想和方程思想.。

河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(文)试题

高二文科数学参考答案与评分标准1 选择题13．2 14. 1)15.16. 417.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ．因为3660a a =-=，，所以112650.a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得1102a d =-=，．所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-． .........................................5分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为21231248b a a a b =++=-=-，，所以824q -=-，即．所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q -==--． (10)分18.（1）2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以220x bx c ++<的解集是()0,5，所以是方程220x bx c ++=的两个根，由韦达定理知，5,0,10,0,22b cb c -==∴=-=2()210f x x x=-.厖..................................................5分（2）()2f x t +≤ 恒成立等价于021022≤-+-t x x 恒成立,所以22102x x t -+-的最大值小于或等于0.设021022≤-+-t x x ，则由二次函数的图象可知2102)(2-+-=t x x x g 在区间]1,1[-为减函数，所以tg x g +=-=10)1()(max ，所以10t ≤-. ..........................................12分19. （本题满分12分）（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin cos C A A C ，因为sin 0A ≠，解得tan C =3C π=． 4分（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．若cos 0A =，则2A π=，tan3c b π=，b =， ABC ∆的面积12S bc ==．................................................8分若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==．综上，ABC ∆的面积为或．...........................................12分20.解：由题意得，1300v x =，250v y =∵204,1003021≤≤≤≤v v ∴525310,22x y ≤≤≤≤由题设中的限制条件得149≤+≤y x于是得约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤22525103149y x y x 目标函数yx y x p 23131)8(2)5(3100--=-+-+= ………６分做出可行域（如图），当223,23zx y y x z +-=+=即平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p 最小.所以当4,10==y x ，即5.12,3021==v v 时，93min =p 元 ……１２分（没有图扣２分） 21．（本题满分12分）解（1）证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴B=600， --------------------------2分又∆ABC 的面积为3，∴360sin ac 210=，∴ac=4 -----------------------5分 ∴a 、2、c 成等比数列 -----------------------------6分（2）在∆ABC 中，根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2accos600=a 2+c 2-ac ≥2ac-ac=ac=4，∴b ≥2, 当且仅当a=c 时，等号成立 ------------------9分 ∴∆ABC 的周长L=a+b+c ≥b ac 2+=.当且仅当a=c 时，等号成立∴426L ≥+=, 当且仅当a=c 时，等号成立 ∴∆ABC 周长的最小值为6，因为a=c ，B=600，此时∆ABC 为等边三角形. -----------------12分 22. （Ⅰ）11133133n n nn n n n a a a a ++--=∴-=所以数列13n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以3为首项，以1为公差的等差数列， 112(2)33n n nn a n a n --∴=+=+得 ........................................3分（Ⅱ）2123314353(2)33334353(2)3n n nn s n s n -=⨯+⨯+⨯+++⨯=⨯+⨯+⨯+++⨯21231333(2)333(2)32n nn n ns n n -∴-=⨯++++-+⨯+=-+⨯(23)334nn n s +-=..........................................................7分（Ⅲ）()()21623(2)3n n n n n n a n λλ---=+-≤=+13()3n n h n λ--≥=12327(1)()333n n n n n n h n h n ----++-=-=当1,2,3n =时(1)()0(4)(3)(2)(1)h n h n h h h h +->>>>得当4n ≥时(1)()0(4)(5)(6)h n h n h h h +-<>>>得max 1()(4)27h n h ==112727λλ⎡⎫∴≥+∞⎪⎢⎣⎭即的取值范围是， ....................12分。

2014-2015学年吉林省延边二中高二上学期期中数学试卷与解析(文科)

2014-2015学年吉林省延边二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1．（4分）若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定形式是真命题，则（）A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假2．（4分）已知△ABC满足：，，则BC的长是（）A．2 B．1 C．1或2 D．33．（4分）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形4．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．5．（4分）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+1（n∈N），则f（n）等于（）A．B．C．D．6．（4分）目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（）A．z max=12，z min=3 B．z max=12，z无最小值C．z min=3，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值7．（4分）若不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，0）∪（，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）8．（4分）已知2a+3b=4，则4a+8b的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．（4分）设命题甲：|x﹣1|＞2，命题乙：x＞3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（4分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为a米和b米，测得灯塔A在观察站C西偏北60°，灯塔B在观察站C北偏东60°，则两灯塔A、B间的距离为（）A．米B．米C．米D．米11．（4分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣1012．（4分）如果数列{a n}满足a1=1，当n为奇数时，a n+1=2a n；当n为偶数时，a n+1=a n+2，则下列结论成立的是（）A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列C．该数列的奇数项各项分别加4后构成等比数列D．该数列的偶数项各项分别加4后构成等比数列二、填空题（每小题4分，共16分．将最简答案填在答题纸相应位置）13．（4分）已知命题p：不等式x2+x+1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1＜x≤2}，则命题“p∨q”“p∧q”“¬p”“¬q”中真命题的个数有个．14．（4分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．15．（4分）数列{a n}前n项和S n=n2+n+1，则a n=．16．（4分）△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，S△ABC=，那么b=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）. 17．（10分）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．18．（10分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．19．（12分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n；且向量=（n，S n），=（4，n+3）共线．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）求数列的前n项和T n．21．（12分）已知a∈R，解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．四、解答题（共1小题，满分20分）22．（20分）设数列{b n}满足b n+2=﹣b n+1﹣b n（n∈N*），b2=2b1．（1）若b3=3，求b1的值；（2）求证数列{b n b n+1b n+2+n}是等差数列；（3）设数列{T n}满足：T n=T n b n+1（n∈N*），且T1=b1=﹣，若存在实数p，q，+1对任意n∈N*都有p≤T1+T2+T3+…+T n＜q成立，试求q﹣p的最小值．2014-2015学年吉林省延边二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1．（4分）若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定形式是真命题，则（）A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假【解答】解：∵“p或q”的否定形式是真命题∴“p或q”为假命题，故p假q假故选：D．2．（4分）已知△ABC满足：，，则BC的长是（）A．2 B．1 C．1或2 D．3【解答】解：由余弦定理可知cosB==，整理得BC2﹣3BC+2=0，求得BC=1或2，故选：C．3．（4分）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解答】解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴，又由正弦定理可得，∴，sinAcosB﹣cosAsinB=0，sin（A﹣B）=0．由﹣π＜A﹣B＜π 得，A﹣B=0，故△ABC为等腰三角形，故选：D．4．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．5．（4分）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+1（n∈N），则f（n）等于（）A．B．C．D．【解答】解：f（n）=2+24+27+210+…+23n+1==．故选：C．6．（4分）目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（）A．z max=12，z min=3 B．z max=12，z无最小值C．z min=3，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得A（5，2），由得B（1，1）．当直线z=2x+y过点A（5，2）时，z最大是12，当直线z=2x+y过点B（1，1）时，z最小是3，但可行域不包括A点，故取不到最大值．故选：C．7．（4分）若不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，0）∪（，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）【解答】解：因为不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），所以1+2=a，1×2=b，即a=3，b=2，所以不等式＜为，整理得，解得x＜0或者x＞，所以不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（，+∞）．故选：B．8．（4分）已知2a+3b=4，则4a+8b的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵2a+3b=4，∴4a+8b=22a+23b≥2=×2=8当且仅当22a=23b即2a=3b=2，则a=1，b=时取等号∵4a+8b的最小值为8故选：C．9．（4分）设命题甲：|x﹣1|＞2，命题乙：x＞3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：对于甲：|x﹣1|＞2解得x＞3或x＜﹣1．又命题乙：x＞3，∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．10．（4分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为a米和b米，测得灯塔A在观察站C西偏北60°，灯塔B在观察站C北偏东60°，则两灯塔A、B间的距离为（）A．米B．米C．米D．米【解答】解：依题意，作图如下：∵∠ACB=30°+60°=90°，|AC|=a，|CB|=b，∴由余弦定理得：|AB|==，故选：A．11．（4分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．12．（4分）如果数列{a n}满足a1=1，当n为奇数时，a n+1=2a n；当n为偶数时，a n+1=a n+2，则下列结论成立的是（）A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列C．该数列的奇数项各项分别加4后构成等比数列D．该数列的偶数项各项分别加4后构成等比数列【解答】解：按照题意可得数列为1 2 4 8 10 20 22 44 46 30所以该数列的偶数项各项分别加4后为6，12，24，48，构成等比数列，故选：D．二、填空题（每小题4分，共16分．将最简答案填在答题纸相应位置）13．（4分）已知命题p：不等式x2+x+1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1＜x≤2}，则命题“p∨q”“p∧q”“¬p”“¬q”中真命题的个数有2个．【解答】解：对于不等式x2+x+1≤0，△=1﹣4＜0，∴该不等式的解集为∅，所以命题p为假命题；解即得命题q为真命题；∴p∨q，￢p为真命题；∴真命题的个数是2．故答案为：2．14．（4分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ==﹣．故答案为：﹣15．（4分）数列{a n}前n项和S n=n2+n+1，则a n=．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+1+1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n．∴a n=．故答案为：．16．（4分）△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，S△ABC=，那么b=．【解答】解：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，∴4b2=a2+c2+2ac，①=，∵S△ABC∴ac=6②∵b2=a2+c2﹣2accosB③由①②③得，∴．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）. 17．（10分）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA∴sinB=sinA，=（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°18．（10分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．19．（12分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴|x﹣4|≤6，即﹣2≤x≤10，∵x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），∴[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，若￢p是￢q的必要非充分条件，即q是p的必要非充分条件，即，即，解得m≥9．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n；且向量=（n，S n），=（4，n+3）共线．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）∵共线，∴n（n+3）﹣4S n=0，∴∴满足此式，∴a n=；（2）=2（﹣），∴T n=2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）=．21．（12分）已知a∈R，解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．【解答】解：当a=0时，不等式的解为{x|x＞1}；当a≠0时，分解因式a（x﹣）（x﹣1）＜0当a＜0时，原不等式整理得：x2﹣x+＞0，即（x﹣）（x﹣1）＞0，不等式的解为{x|x＞1或x＜}；当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为{x|1＜x＜}；当a＞1时，＜1，不等式的解为{x|＜x＜1}；当a=1时，不等式的解为∅．四、解答题（共1小题，满分20分）22．（20分）设数列{b n}满足b n+2=﹣b n+1﹣b n（n∈N*），b2=2b1．（1）若b3=3，求b1的值；（2）求证数列{b n b n+1b n+2+n}是等差数列；=T n b n+1（n∈N*），且T1=b1=﹣，若存在实数p，q，（3）设数列{T n}满足：T n+1对任意n∈N*都有p≤T 1+T2+T3+…+T n＜q成立，试求q﹣p的最小值．=﹣b n+1﹣b n，【解答】（1）解：∵b n+2∴b3=﹣b2﹣b1=﹣3b1=3，∴b1=﹣1；=﹣b n+1﹣b n ①，（2）证明：∵b n+2=﹣b n+2﹣b n+1 ②，∴b n+3=b n，②﹣①得b n+3b n+2b n+3+n+1）﹣（b n b n+1b n+2+n）=b n+1b n+2（b n+3﹣b n）+1=1为常数，∴（b n+1∴数列{b n b n+1b n+2+n}是等差数列；（3）解：∵T n=T n•b n+1=T n﹣1b n b n+1=T n﹣2b n﹣1b n b n+1=…=b1b2b3…b n+1，+1当n≥2时，T n=b1b2b2…b n（*），当n=1时，T1=b1适合（*）式∴T n=b1b2b3…b n（n∈N*）．∵b1=﹣，b2=2b1=﹣1，b3=﹣3b1=，b n+3=b n，∴T1=b1=﹣，T2=T1b2=，T3=T2b3=，T4=T3b4=T3b1=T1，T5=T4b5=T2b3b4b5=T2b1b2b3=T2，T6=T5b6=T3b4b5b6=T3b1b2b3=T3，…T3n+1+T3n+2+T3n+3=T3n﹣2b3n﹣1b3n b3n+1+T3n﹣1b3n b3n+1b3n+2+T3n b3n+1b3n+2b3n+3 =T3n﹣2b1b2b3+T3n﹣1b1b2b3+T3n b1b2b3=（T3n﹣2+T3n﹣1+T3n），∴数列{T3n﹣2+T3n﹣1+T3n）（n∈N*）是等比数列，首项T1+T2+T3=且公比q=，记S n=T1+T2+T3+…+T n，①当n=3k（k∈N*）时，S n=（T1+T2+T3）+（T4+T5+T6）…+（T3k﹣2+T3k﹣1+T3k）=．∴≤S n＜3；②当n=3k﹣1（k∈N*）时，S n=（T1+T2+T3）+（T4+T5+T6）+…+（T3k﹣2+T3k﹣1+T3k）﹣T3k=．∴0≤S n＜3；③当n=3k﹣2（k∈N*）时，S n=（T1+T2+T3）+（T4+T5+T6）+…+（T3k﹣2+T3k﹣1+T3k）﹣T3k﹣1﹣T3k===．∴．综上得：．则p且q≥3．∴q﹣p的最小值为．。

河南省郑州四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

河南省郑州四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题2．（5分）在△ABC中，A=45°，B=60°，a=2，则b等于（）A．B．C．D．3．（5分）若等差数列{a n}的前5项和S5=30，且a2=7，则a7=（）A．0B．1C．2D．34．（5分）已知a＞b，则下列各式中正确的是（）A．a2＞b2B．a3＞b3C．D．5．（5分）（文）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣2，a+2，a+8，则a n=（）A．B．C．D．6．（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1 B．1C．D．27．（5分）已知“命题p：∃x∈R，使得ax2+2x+1＜0成立”为真命题，则实数a满足（）A．0，1）B．（﹣∞，1）C．1，+∞）D．（﹣∞，1，，考点：特称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：q为真命题，通过对二次项系数的讨论求出a的范围化简命题．解答：解：由题意，p为真命题．（1）当a=0时成立；（2）a＜0时恒成立；（3）a＞0时，有，解得0＜a＜1综上，a＜1，故选B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，解决二次函数注意对二次项系数的讨论、复合命题的真假与构成其简单命题的真假关系．8．（5分）有下面四个判断，其中正确的个数是（）①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”A．0B．1C．2D．3考点：命题的真假判断与应用；特称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：写出①的逆否命题，判断逆否命题的真假，即可判断①的正误．通过复合命题的真假判断②的正误；利用全称命题的否定，写出其特称命题判断即可．解答：解：①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”是一个真命题，所以①是真命题；②若“p或q”为真命题，一真即真，所以p、q均为真命题说法不正确；③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”不满足全称命题的否定是特称命题，所以不正确；正确命题的个数是1个．故选B．点评：本题考查命题的否定，四种命题的逆否关系，复合命题真假的判断，基本知识的应用．9．（5分）已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）A．2B．8C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先根据正弦定理求得sinC=代入三角形面积公式根据abc的值求得答案．解答：解：∵=2R=8，∴sinC=，∴S△ABC=absinC=abc=×16=．故选C点评：本题主要考查了正弦定理的应用．考查了考生运用正弦定理及其变形公式解决问题的能力．10．（5分）在数列{a n}中，a1=14，3a n=3a n+1+2，则使a n a n+2＜0成立的n值是（）A．19 B．20 C．21 D．22考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件得到数列{a n}是首项a1=14，公差为a n﹣a n+1=﹣的等差数列，从而推导出a n=（44﹣2n），从而a n•a n+2=（44﹣2n）（40﹣2n），由此能求出使a n a n+2＜0成立的n值．解答：解：由已知3a n=3a n+1+2，得a n+1﹣a n=d=﹣，a n=14+（n﹣1）（﹣）=（44﹣2n），a n•a n+2=（44﹣2n）（40﹣2n）＜0，整理，得（n﹣20）（n﹣22）＜0，解得20＜n＜22，因为n∈N*，所以n=21．故选：C．点评：本题考查使a n a n+2＜0成立的n值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．4考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题．分析：将目标函数z=x+my化成斜截式方程后得：y=﹣x+z，若m＞0时，目标函数值Z与直线族：y=﹣x+z截距同号，当直线族y=﹣x+z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个；若m＜0时，目标函数值Z与直线族：y=﹣x+z截距异号，当直线族y=﹣x+z的斜率与直线BC的斜率相等时，目标函数z=x+my取得最小值的最优解有无数多个，但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个，不满足条件．解答：解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：令z=0，可得直线x+my=0的斜率为﹣，结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，而直线AC的斜率为=﹣1，所以﹣=﹣1，解得m=1，故选C．增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：依题意，1+3m=5+2m＜3+m，或1+3m=3+m＜5+2m，或3+m=5+2m＜1+3m解得m∈空集，或m=1，或m∈空集，所以m=1，选C．评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式；②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反；③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．12．（5分）设等差数列{a n}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1取值范围是（）A．（，）B．（，）C．D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．解答：解：由=1，得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，∴sin（3d）=﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴3d∈（﹣3，0），则3d=，d=﹣．由=．对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴，解得：．∴首项a1的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接答在答题卷上）13．（5分）已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，A、B两船的距离为3km，则B到C的距离为km．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先确定|AC|、|AB|和∠ACB的值，然后在△ABC中应用余弦定理可求得|BC|的值．解答：解：由题意可知|AC|=2，|AB|=3，∠ACB=120°在△ABC中由余弦定理可得|AB|2=|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|cos∠ACB∴9=4+∴|BC|=﹣1﹣（舍）或|BC|=故答案为．点评：本题主要考查余弦定理的应用，考查根据解三角形的有关定理来解决实际问题的能力．14．（5分）△ABC中，若b=2a，B=A+60°，则A=30°．考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理将边的关系转化为正弦的关系，再将B=A+60°去代换消去B，得到A的关系，最后根据两角和与差的正弦公式可求出角A的正弦值，进而得到答案．解答：解：利用正弦定理，∵b=2a∴sinB=2sinA∴sin（A+60°）﹣2sinA=0∴cosA﹣3sinA=0∴sin（30°﹣A）=0∴30°﹣A=0°（或180°）∴A=30°．故答案为：30°点评：本题主要考查正弦定理和两角和与差的正弦公式，三角函数公式比较多不容易记，要给予重视，强化记忆．15．（5分）若线性目标函数z=x+y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是a≤2．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出何时目标函数z=x+y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，从而得到实数a的取值范围即可．解答：解析：作出可行域如图：由图可知直线y=﹣x与y=﹣x+3平行，若最大值只有一个，则直线y=a必须在直线y=2x与y=﹣x+3的交点（1，2）的下方，故故答案为：a≤2．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．16．（5分）已知{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（﹣3，+∞）．考点：数列与函数的综合．专题：计算题．分析：由对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，知a n+1﹣a n=（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn=2n+1+λ，由{a n}是递增数列，知a n+1﹣a n＞a2﹣a1=3+λ＞0，由此能求出实数λ的取值范围．解答：解：∵对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，a n+1﹣a n=（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn=2n+1+λ，∵{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，又a n+1﹣a n=（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn=2n+1+λ∴当n=1时，a n+1﹣a n最小，∴a n+1﹣a n＞a2﹣a1=3+λ＞0，∴λ＞﹣3．故答案为：（﹣3，+∞）．点评：本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到数列的性质，解题时要认真审题，注意函数思想的灵活运用，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每小题10分，共70分.把答案直接答在答题卷上）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．考点：数列与三角函数的综合．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．解答：解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，∴cosB=；…6分（Ⅱ）（解法一）由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，又cosB=，∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分（解法二）由已知b2=ac及cosB=，根据余弦定理cosB=解得a=c，∴B=A=C=60°，∴sinAsinC=…12分点评：本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析转化与运算能力，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，已知，∠BAC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）设M是△AB内一点，，设f（M）=（m，n），其中m，n分别是△MCA，△MAB 的面积，求的最小值．考点：基本不等式；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）通过向量的数量积，求出三角形两边的乘积，最后代入三角形面积公式求出结果即可．（2）利用向量的数量积的运算求得b、c的值，利用三角形的面积公式求得m+n的值，进而把转化成2（）×（m+n），利用基本不等式求得的最小值．解答：解：（1）由题意可知：可得，因此，文科：（2）由于S△ABC=S△MBC+S△MCA+S△MAB，且，则，即，故=，即当且仅当，即，时取等号．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．19．（12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：设缉私船追上走私船需t小时，进而可表示出CD和BD，进而在△ABC中利用余弦定理求得BC，进而在△BCD中，根据正弦定理可求得sin∠BCD的值，进而求得∠BDC=∠BCD=30°进而求得BD，进而利用BD=10t求得t．解答：解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，则有CD=，BD=10t．在△ABC中，∵AB=﹣1，AC=2，∠BAC=45°+75°=120°．根据余弦定理可求得BC=．∠CBD=90°+30°=120°．在△BCD中，根据正弦定理可得sin∠BCD=，∵∠CBD=120°，∴∠BCD=30°，∠BDC=30°，∴BD=BC=，则有10t=，t==0.245（小时）=14.7（分钟）．所以缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用三角函数的基础知识解决实际的问题．20．（12分）已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R．（1）当k=1时，求不等式的解集；（2）当k变化时，试求不等式的解集A．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把k=1代入不等式化简后，直接求出不等式的解集即可；（2）先对k的取值分类讨论：当k=0时直接求出解集A，当k≠0时把不等式化为：，再分k＜0和k＞0分两种情况，当k＞0时需要利用基本不等式，判断出两个根的大小关系，此时还对k进行分类讨论，再分别求出解集A．解答：解：（1）当k=1时，不等式为（x﹣5）•（x﹣4）＞0，解得x＞5或x＜4，即解集是（﹣∞，4）∪（5，+∞）（4分）（2）当k变化时，可对k的取值分类讨论：①当k=0时，不等式为：﹣4（x﹣4）＞0，解得x＜4，即A=（﹣∞，4）（6分）当k≠0时，不等式可化为：②当k＜0时，不等式为，且，解得：，即（8分）③当k＞0时，不等式为，又，当且仅当，即k=2时取等号，所以当k=2时，不等式为（x﹣4）2＞0，解得x≠4，则A=（﹣∞，4）∪（4，+∞）（10分）当k＞0且k≠2时，，则A═（﹣∞，4）∪（，+∞）（12分）点评：本题考查一元二不等式的解法，基本不等式，以及分类条论思想的应用，注意分类讨论的标准，属于中档题．21．（12分）在数列{a n}中，a1+a2+a3+…+a n=n﹣a n（n∈N*）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（3）设b n=（2﹣n）（a n﹣1）（n∈N*），如果对任意n∈N*，都有，求正整数t的最小值．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）在递推公式中依次令n=1，2，3计算求解．（2）由已知可得，S n=n﹣a n，当n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）﹣a n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1=1﹣a n+a n﹣1，继而a n ﹣1=（a n﹣1﹣1），所以数列{b n}是等比数列，（3）由（2）得（n∈N*），故，用作差比较法判断{b n}的单调性，得出其最大值，令最大值小于，求正整数t的最小值．解答：（1）解：由题意可知：当n=1时，a1=1﹣a1，解得：同理可得：当n=2时，a1+a2=2﹣a2，解得：当n=3时，a1+a2+a3=3﹣a3，解得：（2）证明：由已知可得，S n=n﹣a n，当n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）﹣a n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1=1﹣a n+a n﹣1a n﹣1=（a n﹣1﹣1），即当n≥2时，b n=b n﹣1，b1=a1﹣1=≠0所以数列{b n}是等比数列，其首项为﹣，公比为．（3）由（2）可知{a n﹣1}为等比数列，则解得：（n∈N*），故显然，b2=0，当n≥3时，b n＞0则当n≥3时，由此可得：当n≥4时，数列{b n}为单调递减数列，则b3=b4=max{b n}因此∀n∈N*，都有，则解得：，即正整数t的最小值为1．点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，考查等比数列的判定、通项公式求解，数列的函数性质，考查变形构造、转化、计算能力．22．（12分）已知y=f（x），，对任意实数x，y满足：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣3 （Ⅰ）当n∈N*时求f（n）的表达式；（Ⅱ）若b1=1，b n+1=，求b n；（Ⅲ）记，试证c1+c2+…+c2014＜89．考点：数列的求和；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（I）令x=y=，则f（1）=2﹣3=5．可得f（n+1）﹣f（n）=2．利用等差数列的通项公式即可得出．（II）由b n+1=，取倒数可得=2n+1．利用“累加求和”即可得出．（III）c n==．可得=，放缩利用“累加求和”即可得出．解答：（I）解：令x=y=，则f（1）=2﹣3=2×4﹣3=5．∴f（n+1）﹣f（n）=5﹣3=2．∴f（n）=f（1）+2（n﹣1）=2n+3．（II）解：∵b n+1=，∴=2n+1．∴=+++…+=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．∴（n∈N*）．（III）证明：c n==．∵=，∴c1+c2+…+c2014＜1++2+…+=﹣1＜2×45﹣1=89．点评：本题考查了抽象函数的性质、等差数列的通项公式、“累加求和”，考查了放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

湖北省孝感高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

湖北省孝感高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若经过点（3，a）、（﹣2，0）的直线与斜率为的直线垂直，则a的值为（）A．B．C．10 D．﹣102．（5分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（）A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人D．30人，50人，10人3．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.64．（5分）已知点A（1，﹣1），B（﹣1，1），则以线段AB为直径的圆的方程是（）A．x2+y2=2 B．C．x2+y2=1 D．x2+y2=45．（5分）过点（3，﹣4）且在坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y+1=0 B．4x﹣3y=0C．x+y+1=0或4x﹣3y=0 D．4x+3y=0或x+y+1=06．（5分）如图是根据某校10位2014-2015学年高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是（）A．161cm B．162cm C．163cm D．164cm7．（5分）某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（）A．10 B．11 C．12 D．168．（5分）若直线2x﹣y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1有公共点，则实数a的取值为（）A．﹣2﹣＜a＜﹣2+B．﹣2﹣≤a≤﹣2+C．﹣≤a≤D．﹣＜a＜9．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知双曲线的方程为﹣=1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（）A．2a+2m B．a+m C．4a+2m D．2a+4m（x1﹣）2+…+（x n﹣）2=s2=3.6．故选D点评：本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．4．（5分）已知点A（1，﹣1），B（﹣1，1），则以线段AB为直径的圆的方程是（）A．x2+y2=2 B．C．x2+y2=1 D．x2+y2=4考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由线段的中点坐标公式和两点间的距离公式，分别算出圆的圆心和半径，即可得出所求圆的方程．解答：解：∵点A（1，﹣1），B（﹣1，1），∴以线段AB为直径的圆，圆心为AB中点（0，0）半径r=|AB|=×=因此，所求圆的方程为x2+y2=2故选：A点评：本题给出A、B的坐标，求以AB为直径的圆方程．着重考查了线段中点坐标公式、两点间的距离公式和圆的方程等知识，属于基础题．5．（5分）过点（3，﹣4）且在坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y+1=0 B．4x﹣3y=0C．x+y+1=0或4x﹣3y=0 D．4x+3y=0或x+y+1=0考点：直线的截距式方程．专题：计算题．分析：当直线过原点时，根据斜截式求得直线的方程，当直线不过原点时，设方程为x+y=a，把点（3，﹣4）代入可得a 的值，从而求得直线的方程．解答：解：当直线过原点时，方程为y=x，即4x+3y=0．当直线不过原点时，设方程为x+y=a，把点（3，﹣4）代入可得a=﹣1，故直线的方程为x+y+1=0．故选D．点评：本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑直线过原点的情况，这是解题的易错点．6．（5分）如图是根据某校10位2014-2015学年高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是（）A．161cm B．162cm C．163cm D．164cm考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图可知10位学生身高数据，将它们一一从小到大排列，即可求出中位数．解答：解：由茎叶图可知10位学生身高数据：155，155，157，158，161，163，163，165，171，172．中间两个数的平均数是162．∴这10位同学身高的中位数是162cm．故选B．点评：本题考查读茎叶图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．7．（5分）某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（）A．10 B．11 C．12 D．16考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的方法和特点，样本的编号成等差数列，由条件可得此等差数列的公差为13，从而求得另一个同学的编号解答：解：根据系统抽样的方法和特点，样本的编号成等差数列，一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，故此等差数列的公差为13，故还有一个同学的学号是16，故选D．点评：本题主要考查系统抽样的定义和方法，注意样本的编号成等差数列，属于基础题．8．（5分）若直线2x﹣y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1有公共点，则实数a的取值为（）A．﹣2﹣＜a＜﹣2+B．﹣2﹣≤a≤﹣2+C．﹣≤a≤D．﹣＜a＜考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d小于等于半径r，利用点到直线的距离公式根据题意列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．解答：解：由圆的方程可得圆心坐标（1，0），半径r=1，依题意得，圆心（1，0）到直线2x﹣y+a=0的距离d=≤r=1，化简得|2+a|≤解得：﹣2﹣≤a≤﹣2+，故选B点评：此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．9．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；四种命题．专题：计算题．分析：根据所给的两个命题，解不等式解出两个命题的x的值，从x的值的范围大小上判断出两个命题之间的关系，从而看出两个非命题之间的关系．解答：解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q⇒p，∴﹣p⇒﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查两个条件之间的关系，是一个基础题，这种题目经常出现在高考卷中，注意利用变量的范围判断条件之间的关系．10．（5分）已知双曲线的方程为﹣=1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（）A．2a+2m B．a+m C．4a+2m D．2a+4m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，进而得到其周长．解答：解：∵|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，又|AF2|+|BF2|=|AB|=m，∴|AF1|+|BF1|=4a+m，∴△ABF1的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m．故选C．点评：熟练掌握双曲线的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是4．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的s，i的值，当i=4时不满足条件i≤n，输出s的值为4．解答：解：执行程序框图，有n=3，i=1，s=1满足条件i≤n，有s=1，i=2满足条件i≤n，有s=2，i=3满足条件i≤n，有s=4，i=4不满足条件i≤n，输出s的值为4．故答案为：4．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．12．（5分）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质；抛物线的应用．专题：计算题．分析：先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．解答：解：依题意可知双曲线渐近线方程为y=±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x+1=0∵渐近线与抛物线有一个交点∴△=﹣4=0，求得b2=4a2，∴c== a∴e==故答案为：点评：本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．13．（5分）在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．分析：由题意知本题是一个古典概型，．试验发生包含的基本事件有C52种结果，其中至少有一个红球的事件包括有两个红球或有一个红球和一白球两种结果，根据古典概型公式得到概率．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件有C52=10种结果，其中至少有一个红球的事件包括C22+C21C31=7个基本事件，根据古典概型公式得到P=，故答案为：．点评：本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P=1﹣P（A）求解．14．（5分）有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；作图题．分析：本题是几何概型问题，欲求镖落在三角形内的概率，先出内接正三角形面积，再根据几何概型概率公式结合圆的面积即可求解．解答：解：本题是几何概型问题，设圆的半径为：2，区域三角形的面积为：S1=，∴“镖落在三角形内的概率”事件对应的区域面积为9，则镖落在三角形内的概率是．故答案为：．点评：本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、平面图形的面积、圆的内接多边形等基础知识，考查计算能力、化归思想．属于基础题．15．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为y=±2x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．解答：解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x．点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣14=0的最大距离是8．考点：点到直线的距离公式．专题：综合题．分析：把圆的方程化为标准方程后找出圆心A的坐标，求出已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的关系求出过A与已知直线垂直的直线的斜率，写出此直线的方程与圆的方程联立求出直线与圆的交点坐标，利用点到直线的距离公式找出最大距离即可．解答：解：把圆的方程化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，所以圆心A坐标为（2，2），而直线x+y ﹣14=0的斜率为﹣1，则过A与直线x+y﹣14=0垂直的直线斜率为1，直线方程为：y﹣2=x﹣2即y=x，与圆方程联立得：解得或，则（5，5）到直线的距离==2，所以（﹣1，﹣1）到直线的距离最大，最大距离d==8故答案为：8点评：考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握圆的一些基本性质，会求直线与圆的交点坐标．17．（5分）已知抛物线C：y2=2Px（P＞0），过焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B 两点，若=3，则k=．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，作出抛物线与直线AB的图象，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB的倾斜角，从而可得答案．解答：解：过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，作BC⊥AM，垂足为C，设||=m，||=3m，则由抛物线的定义得|AM|=3m，|BN|=m，∴||=4m，||=2m，∴∠BAC=60°，于是直线l的倾斜角为60°，斜率k=故答案为．点评：本题考查抛物线的概念，突出考查抛物线定义的灵活运用，体现转化思想的妙用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．18．（12分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；综合题．分析：先对两个命题进行化简，转化出等价条件，根据P与Q中有且仅有一个为真命题，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数a的取值范围为．点评：本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0面错，解题时要注意特殊情况的验证．是中档题．19．（12分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．考点：直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．专题：计算题；综合题．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．（1）若直线l与圆C相切，则有．解得．（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=﹣，x1x2=则AB===2两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．20．（13分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．考点：互斥事件的概率加法公式；互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．解答：解：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，∴取出的球的编号之和不大于4的概率P=（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有（m，n）有4×4=16种，而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果，∴P=1﹣=．点评：本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．21．（14分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作位代表）；（2）求这500件产品质量指标值的样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作位代表）；（3）若该企业已经生产一批此产品10000件，根据直方图给出的数据做出估计，问这一批产品中测量结果在195﹣215之间的产品共有多少件？考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）用同一组的数据的中点值作为代表求出样本的平均数；（2）用同一组中的数据的中点值作为代表求出样本的方差s2；（3）求出样本数据在195﹣215之间频率，计算对应的产品数即可．解答：解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200；…（4分）（2）抽取产品的质量指标值的样本方差为s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150；…（8分）（3）根据直方图给出的数据做出估计，这一批产品中测量结果在195﹣215之间的产品的概率为0.33+0.24=0.57，∴该企业已经生产的这一批产品中测量结果在195﹣215之间的产品共有10000×0. 57=5700件．…（14分）点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用直方图进行简单的计算，是基础题．22．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由已知条件推导出b=1，，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入方程，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出λ1+λ2的值．解答：（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为（a＞b＞0），抛物线方程化为x2=4y，其焦点为（0，1），…（2分）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1，由e=，解得a2=5，∴椭圆C的标准方程为．…（5分）（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为，∴椭圆C的右焦点F（2，0），…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入方程，并整理，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，…（7分）∴，，…（8分）又，，，，而，，即（x1﹣0，y1﹣y0）=λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2﹣0，y2﹣y0）=λ2（2﹣x2，﹣y2），∴，，…（10分）∴λ1+λ2===﹣10．…（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．。

河南省郑州市五校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

河南省郑州市五校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）数列0，0，0，…，0，…（）A．既是等差数列又是等比数列B．是等差数列不是等比数列C．不是等差数列是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列2．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形3．（5分）由不等式组表示的平面区域（图中阴影部分）为（）A．B．C．D．4．（5分）已知a，b，c是实数，下列命题是真命题的有（）个①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分条件；④“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件．A．0B．1C．2D．35．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（）A．B．C．D．6．（5分）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=1，b=2，∠A=100°C．a=1，b=，∠A=30°D．b=c=1，∠B=45°7．（5分）已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，则的值是（）A．B．C．或D．8．（5分）如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列，若a3+a4+a8=9，则S9=（）A．24 B．27 C．15 D．5410．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．C．或D．或11．（5分）在△ABC，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若内角A、B、C依次成等差数列，且不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，则b等于（）A．B．2C．3D．412．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．4B．3C．1D．2二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是．14．（5分）不等式的解为．15．（5分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，若=，则=．16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）若x+1＞0，求x+的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n=n2+；（1）求a1，a2；（2）求数列的通项公式a n．19．（12分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．20．（12分）如图：港口A北偏东30°方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31n mile，该轮船从B处沿正西方向航行20n mile后到D处，测得CD为21n mile．（1）求cos∠BDC；（2）问此时轮船离港口A还有多远？21．（12分）解关于x的不等式ax2﹣（a+2）x+2＞0．22．（12分）数列的前n项和．（1）求证：数列是等比数列，并求{b n}的通项公式；（2）如果{b n}对任意恒成立，求实数k的取值范围．河南省郑州市五校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）数列0，0，0，…，0，…（）A．既是等差数列又是等比数列B．是等差数列不是等比数列C．不是等差数列是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列考点：等差数列；等比数列．专题：等差数列与等比数列．分析：根据数列和等差、等比数列的定义判断即可．解答：解：因为数列是0，0，0，…，0，…由等差数列的定义得，此数列首项、公差为0的等差数列，又数列的项为0，则此数列不是等比数列，故选：B．点评：本题考查了利用等差、等比数列的定义判断数列的特征，注意等比数列的项不为0．2．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形考点：正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．解答：解：已知：acosA=bcosB利用正弦定理：解得：sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B所以：2A=2B或2A=180°﹣2B解得：A=B或A+B=90°所以：△ABC的形状一定是等腰或直角三角形故选：D点评：本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于基础题型．3．（5分）由不等式组表示的平面区域（图中阴影部分）为（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：根据不等式组和平面区域的关系即可得到结论．解答：解：由不等式组可知，平面区域位于直线x=0的右侧，y=0的上方，直线x+y﹣1=0的下方，故对应的平面区域为D，故选：D．点评：本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，比较基础．4．（5分）已知a，b，c是实数，下列命题是真命题的有（）个①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分条件；④“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件．A．0B．1C．2D．3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可得到结论．解答：解：①若a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2＞b2，不成立，故①错误；②若a=﹣2，b=﹣1，满足a2＞b2，但a＞b不成立，故②错误；③当c=0时，若a＞b，则ac2＞bc2，不成立，故③错误；④若a=1，b=﹣1，则a＞b，但|a|＞|b|，不成立，故④错误．故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．5．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（）A．B．C．D．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（d＞0）；则由五个人的面包和为100，得a的值；由较大的三份之和的是较小的两份之和，得d的值；从而得最小的1分a﹣2d的值．解答：解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）；则，（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，∴a=20；由（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=55/6；所以，最小的1分为a﹣2d=20﹣=．故选A．点评：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．6．（5分）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=1，b=2，∠A=100°C．a=1，b=，∠A=30°D．b=c=1，∠B=45°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理及三角形的三边关系判断即可．解答：解：A、1+2=3，不能构成三角形，无解；B、由a＜b，得到A＜B，A为钝角，无解；C、∵a=1，b=，∠A=30°，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=45°或135°，有两解；D、∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∠A=90°，a=，有一解，故选：D．点评：此题考查了正弦定理，以及三角形三边关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（5分）已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，则的值是（）A．B．C．或D．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的通项公式可得﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1的值，由等比数列的通项公式可得﹣4=﹣1q4，求得q2的值，即得b2的值，从而求得的值．解答：解：∵数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，由﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1==﹣1．∵﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，由﹣4=﹣1q4，求得q2=2，∴b2=﹣1q2=﹣2．则==，故选A．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，求出公差d=a2﹣a1及b2的值，是解题的关键．8．（5分）如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：设AB=x，在直角三角形ABC中表示出BC，进而求得BD，同时在Rt△ABD中，可用x 和α表示出BD，二者相等求得x，即AB．解答：解：设AB=x，则在Rt△ABC中，CB=∴BD=a+∵在Rt△ABD中，BD=∴a+=，求得x=故选A点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．9．（5分）已知{a n}为等差数列，若a3+a4+a8=9，则S9=（）A．24 B．27 C．15 D．54考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质易得a5=3，再由求和公式和性质可得S9=9a5，代值计算可得．解答：解：由a3+a4+a8=9，得a5=3，∴a1+a9=6，∴S9=（a1+a9）=27，故选B．点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．C．或D．或考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．解答：解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D点评：本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点11．（5分）在△ABC，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若内角A、B、C依次成等差数列，且不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，则b等于（）A．B．2C．3D．4考点：等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：利用等差数列的性质，可得B，由不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，求出a，c，再利用余弦定理，可得结论．解答：解：∵内角A、B、C依次成等差数列，∴B=60°，∵不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，∴a=2，c=4，∴b2=a2+c2﹣2accos60°=4+16﹣2•2•4•=12，∴b=2．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，考查解不等式、余弦定理，考查学生的计算能力，比较综合．12．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．4B．3C．1D．2考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在A（4，6）上取得最大值，即4a+6b=12，+=，利用基本不等式求解．解答：解：由题意作出其平面区域，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在A（4，6）上取得最大值，即4a+6b=12，+=，∵≤=3（当且仅当2a=3b=6时，等号成立），∴ab≤，∴≥4．故选A．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是．．考点：全称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题得：命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是：．故答案为：．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．14．（5分）不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．解答：解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}点评：本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出15．（5分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，若=，则=．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用==，即可得出结论．解答：解：设等差数列{a n}、{b n}的公比分别为d，d′，则===．故答案为：．点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，解题的关键是寻求公式的内在联系，灵活转化．16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．解答：解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2故答案为：2点评：本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）若x+1＞0，求x+的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x+1＞0，∴x+=x+1+﹣1﹣1=1，当且仅当x=0时取等号．∴x+的最小值是1．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n=n2+；（1）求a1，a2；（2）求数列的通项公式a n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据数列{a n}的前n项和是S n=n2+；分别取n=1，2，即可得出．（2）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出．解答：解：（1）∵数列{a n}的前n项和是S n=n2+；∴分别取n=1，2，可得a1=S1=1+，a1+a2=S2=，解得a1=，a2=．（2）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=2n﹣，当n=1时也满足上式．∴a n=2n﹣．点评：本题考查了“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求数列的通项公式的方法，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；综合题．分析：先对两个命题进行化简，转化出等价条件，根据P与Q中有且仅有一个为真命题，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数a的取值范围为．点评：本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0面错，解题时要注意特殊情况的验证．是中档题．20．（12分）如图：港口A北偏东30°方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31n mile，该轮船从B处沿正西方向航行20n mile后到D处，测得CD为21n mile．（1）求cos∠BDC；（2）问此时轮船离港口A还有多远？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（1）在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB；（2）求sin∠CDB，由三角形的内角和定理可得sin∠ACD=sin（∠BDC﹣60°），再在△ACD中，由正弦定理知，，可求AD．解答：解：（1）由条件知∠A=60°，BC=31，BD=20，CD=21，在△BCD中，由余弦定理，得：=﹣；（2）由（1）知sin∠BDC=，∴sin∠ACD=sin（∠BDC﹣60°）=sin∠BDCcos60°﹣cos∠BDCsin60°==．在△△ACD中，由正弦定理得：，∴AD==15 n mile．答：此时轮船离港口还有15 n mile．点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式及三角形的内角和定理在实际中的应用，解决实际的问题的关键是要把题目中所提供的数据转化成数学图形中的长度（角度），然后根据相应的公式来解决问题．21．（12分）解关于x的不等式ax2﹣（a+2）x+2＞0．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：将原不等式化为（ax﹣2）（x﹣1）＞0分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论．a=0、a＜0易解不等式；当a＞0时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可．解答：解：将原不等式化为（ax﹣2）（x﹣1）＞0，（1）当a=0时，有x＜1；（2）当a＞0时，有a（x﹣）（x﹣1）＞0，∴（x﹣）（x﹣1）＞0，∵，当a＞2时，∴x＜或x＞1；当a=2时，=1，∴x∈R，且x≠1；当0＜a＜2时，有，∴x＜1或x＞；（3）当a＜0时，（x﹣）（x﹣1）＜0，∴．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x＜1}；0＜a＜2时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞}；当a=2时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a＞2时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；当a＜0时，不等式的解集为{x|}．点评：该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏．22．（12分）数列的前n项和．（1）求证：数列是等比数列，并求{b n}的通项公式；（2）如果{b n}对任意恒成立，求实数k的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列递推式．专题：综合题．分析：（1）对数列递推式进行变形，即可证明数列是等比数列，从而可求其通项，进而可求{b n}的通项公式；（2）先求出数列的和，再利用分离参数法，证明数列的单调性，即可求得实数k的取值范围．解答：（1）证明：对任意n∈N*，都有，所以…（1分）则数列成等比数列，首项为，公比为…（2分）所以，∴…（4分）（2）解：因为所以…（6分）因为不等式，化简得对任意n∈N*恒成立…（7分）设，则…（9分）当n≥5，c n+1≤c n，{c n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c n+1＞c n，{c n}为单调递增数列∵，，∴c4＜c5，∴n=5时，c n取得最大值…（11分）所以，要使对任意n∈N*恒成立，…（12分）点评：本题考查数列的递推式，考查构造法证明等比数列，考查恒成立问题，解题的关键是分离常数，确定数列的最值．。

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青岛二中2014—2015学年第一学段模块考试
高二数学（文科）试题
(时间：120分钟满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线
19
162
2=-y x 的渐近线方程为( ) A ．x y 9
16
±
= B ．x y 3
4±
=
C ．x y 16
9
±
= D ．x y 4
3±
= 2．已知命题p ：1x ∃>，2
10x ->，那么p ⌝是（） A ．1x ∀>，2
10x -> B ．1≤∀x ，2
10x -≤
C ．1>∀x ，210x -≤
D ．1x ∃≤，2
10x -≤
3．右图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间
20[，)30内的概率为（）
A ．2.0
B ．4.0
C ．5.0
D ．6.0
4．已知命题p ：若y x >，则y x -<-；命题q ：若y x <，则2
2y x >．
在命题：①q p ∧；②q p ∨；③)(q p ⌝∧；④q p ∨⌝)(中，真命题是（） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
5．双曲线13
62
2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r =( ) A ．3 B ．2 C ．3 D ．6
6．“21≠≠b a 或”是“3≠+b a ”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．若双曲线0122=--y tx 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则该双曲线的离心率为（） A ．5
B ．
2
5
C ．
2
3 D ．3
8．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样
C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 9．已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为
60y bx =+，其中b 的值没有写上．当x 等于5-时，预测y 的值( )
A ．50
B ．60
C ．75
D ．70
10．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两
点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（）
A ．
22
14536x y += B ．
22
13627x y += C ．
22
12718x y += D ．
22
1189
x y +=
1 2 3 8 9
0 2 3 7 9 0 1 3
第Ⅱ卷 (非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．过)3,1(的圆42
2=+y x 的切线方程是__________． 12．从等腰直角ABC ∆的底边BC 上任取一点D ，则ABD ∆为锐角三角形的概率为 . 13．执行右图所示的程序框图，则输出的结果是 __________．
14．设P 为双曲线2
2
112
y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为．
15．设椭圆122
22=+b y a x 与双曲线22221(0)x y a b a b
-=>>其中的离心率分别为1e ，2e ，有下
列结论：①121<e e ；②22
22
1=+e e ；③121>e e ；④121=e e ；⑤221<+e e ．其中正确的是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分) 已知命题p ：方程
22
1211
x y k k +=--表示椭圆；命题q ：方程 22
143
x y k k +=--表示双曲线．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数k 的取值范围． 17．(本小题满分12分) 袋中有大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次．
（Ⅰ）写出所有基本事件；
（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率；（Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．
18. (本小题满分12分) 已知椭圆方程为120
452
2=+y x ，左右焦点分别为1F ，2F .
（Ⅰ）若点P 在椭圆上且满足21PF PF ⊥，求点P 的坐标；
（Ⅱ）若点Q 在椭圆上且 6021=∠QF F ，求21QF F ∆的面积.
19．(本小题满分12分) 某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n 份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在50[，)60的学生人数为6．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70≥”的概率．
20．(本小题满分13分)已知点2(-P ，
)3-，圆C ：9)2()4(2
2
=-+-y x ，C 为圆心，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ．（Ⅰ）求过P 、A 、C 三点的圆的方程；
（Ⅱ）求直线AB 的方程．
21．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于1
2
，短半轴长为32．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 2(，)3， Q 2(，)3-在椭圆上，
A 、
B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．
①若直线AB 的斜率为
1
2
，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A 、B 运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．附加题：本题满分10分．
已知)0,()0,(21c A c A -，是平面内两个定点()0>c ，若动点M 与21A A 、连线的斜率之积等于常数)0(≠m m ，求点M 的轨迹方程，并讨论轨迹形状与m 值的关系．
x。