2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(山东卷.文)

2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（山东文科类）试题精析详解

一.选择题（5分⨯12=60分）

(1){}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 【思路点拨】本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出.

【正确解答】1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =，选C

【解后反思】等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题. （2）下列大小关系正确的是

（A ）30.440.43log 0.3<< （B ）30.440.4log 0.33<< （C ）30.44log 0.30.43<< （D ）0.434log 0.330.4<<

【思路点拨】本题考查指数函数，对数函数的对称性质.实数的大小可用特殊值比较，如0，1等，也可用数形结合的思想作出相应函数的图象，从图象上观察得到. 【正确解答】解法1：4log 0.30<，0.4

31>，300.41<<，

故3

0.4

4log 0.30.43

<<，选C.

解法2：在同一坐标系中分别得出40.4,3,log x x y y y x === 的图象，分别求出当自变量x 取3，0.4，0.3时的函数值， 得到3

0.4

4log 0.30.43

<<.故选C.

【解后反思】掌握特殊与一般的关系构造模型函数，利用图象 的性质较为便捷，要有数形结合的意识. （3）函数1(0)x

y x x

-=

≠的反函数的图象大致是 （A ） （B ） （C ） （D ）

见理2

（4）已知函数sin()cos()12

12

y x x π

π

=-

-

，则下列判断正确的是

（A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)12π （B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π

（C ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)6π

（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)6

π

见理3

（5）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是 （A ）()sin f x x = （B ）()|1|f x x =-+ （C ）1()()2x x f x a a -=+ （D ）2()ln 2x f x x

-=+ 见理4 （6）如果

(3n x 的展开式中各项系数之和为128，在展开式中

3

1

x 的系数是 （A ）7 （B ）－7 （C ）21 （D ）－21 见理5

（7）函数2

1sin(), 10

(), 0

x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(1)()2f f a +=，则a 的所以可能值为

（A ）1 （B ）1，2- （C ）2- （D ）1，2

见理6

（8）已知向量,a b ，且2AB a b =+ ，56BC a b =-+ ，72CD a b =-

，则一定共线的三

点是

（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D 见理7

（9）设地球半径为R ，若甲地位于北纬45︒，东经120︒，乙地位于南纬75︒，东经120︒，则甲、乙两地的距离为

（A （B ）6

R π

（C ）

56

R π （D ）23R π

见理8

（10）10张奖卷中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是 （A ）

310 （B ）112 （C ）12 （D ）11

12

见理9

（11）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B Ø是()U C A B U = 的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不必要也不充分条件 见理10

（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2

2

14

y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为

1

2

的点P 的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 见理12

二、填空题（4分⨯4=16分）

13 某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 . 【思路点拨】本题是考查统计的基础知识，理解分层抽样的基本概念和方法不难解决. 【正确解答】设不到40岁的教师中应抽取的人数为x 人，则

35014070x

x

=-，解得50x =. 【解后反思】抽样是统计学的基础，统计的基本思想是用样本估计总体，因此，要理解常用的三种样本抽样方法：当总体的个数较少时，用随机抽样方法；当总体的个数较多时，用系统抽样方法；当总体中的个体个部分明显差异时，用分层抽样法.随着高考的内容设置的逐步提高，高考试题必然会愈来愈多地设置具有现实意义的应用题，要正确地处理从实际中比

较三种抽样的方法.

14 设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两

点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率e = . 见理14

15 设x 、y 满足约束条件532120304

x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪

⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)

x y 是 . 见理15

16 已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题： ①若//m α，则m 平行于平面α内的任意一条直线 ②若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ③若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ ④若//αβ，m α⊂，则//m β

上面命题中，真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 见理16

三、解答题（84分）

17．已知向量(cos ,sin )m θθ=

和sin ,cos )n θθ=，(,2)θππ∈，

且

||m n +=

cos()28θπ+的值.

见理17

18 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为

1

7

，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即中止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）球袋中原有的白球个数； （2）求取球2次终止的概率；