类型1 反比例函数与一次函数综合
2020年中考数学必考考点专练：一次函数、反比例函数综合题(解析版)
|类型1| 比较函数值的大小，求自变量取值范围1．[2019·泸州]如图，一次函数y 1=ax+b 和反比例函数y 2=kx 的图象相交于A ，B 两点，则使y 1>y 2成立的x 的取值范围是 ( )A .．-2<x<0或0<x<4B ．x<-2或0<x<4C ．x<-2或x>4D ．-2<x<0或x>4【答案】B【解析】观察函数图象，发现:当x<-2或0<x<4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y 1>y 2时，x 的取值范围是x<-2或0<x<4.2．如图，一次函数y 1=k 1x+b 1与反比例函数y 2=k2x (x>0)的图象交于A (1，3)，B (3，1)两点，若y 1<y 2，则x 的取值范围是 ( )A .．x<1B ．x<3C ．0<x<3D ．x>3或0<x<1【答案】【解析】观察函数图象，发现:当．x>3或0<x<1时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y 1<y 2，时，x 的取值范围是x>3或0<x<13．[2019·扬州]若反比例函数y=-2x 的图象上有两个不同的点关于y 轴的对称点都在一次函数y=-x+m 的图象上，则m 的取值范围是 ( ) A ．m>2√2B ．m<-2√2C ．m>2√2或m<-2√2D ．-2√2<m<2√2【答案】C一次函数、反比例函数综合题[解析]∵反比例函数y=-2x图象上的点关于y 轴对称的点都在反比例函数y=2x的图象上，∴反比例函数y=2x的图象与一次函数y=-x+m 的图象有两个不同的交点，两个函数联立得方程组{y =2x ，y =-x +m ，化简得x 2-mx+2=0．∵有两个不同的交点，∴x 2-mx+2=0有两个不等的实根．∴Δ=m 2-8>0， ∴m>2√2或m<-2√2．4．[2019·玉林]如图，一次函数y 1=(k -5)x+b 的图象在第一象限与反比例函数y 2=kx 的图象相交于A ，B 两点，当y 1>y 2时，x 的取值范围是1<x<4，则k= 4 ．[解析]观察图象可知{k -5+b =k ，4(k -5)+b =k4，解得{k =4，b =5．5．已知一次函数y=ax+b ，反比例函数y=kx (a ，b ，k 是常数，且ak ≠0)，若其中一部分x ，y 的对应值如下表，则不等式-8<ax+b<kx 的解集是 -6<x<-2或0<x<4 ．x-4-2 -1 1 2 4 y=ax+b -6 -4 -3 -1 0 2 y=kx-2-4-8842[解析]根据表格可得:当x=-2和x=4时，两个函数值相等，因此直线y=ax+b 与双曲线y=kx 的交点为(-2，-4)，(4，2)，由表即可得出当x=-6时，一次函数值y=-8，∴不等式-8<ax+b<kx的解集为-6<x<-2或0<x<4．6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx+2k (k>0)与x 轴交于点P ，与双曲线y=3kx (x>0)交于点Q ，若直线y=4kx -2与直线PQ 交于点R (点R 在点Q 右侧)，当RQ ≤PQ 时，k 的取值范围是 k ≥15 ．[解析]如图，作QM ⊥x 轴于M ，RN ⊥x 轴于N ， ∴QM ∥RN ，∴PQQR =PM MN，∵RQ ≤PQ ，∴MN ≤PM ，∵直线y=kx+2k (k>0)与x 轴交于点P ， ∴P (-2，0)，∴OP=2， 解kx+2k=3kx 得，x 1=-3，x 2=1，∴Q 点的横坐标为1，∴M (1，0)，∴OM=1， ∴PM=2+1=3，解kx+2k=4kx -2得，x=2k+23k，∴R 点的横坐标为2k+23k，∴N （2k+23k，0），∴ON=2k+23k，∴MN=2k+23k-1，∴2k+23k-1≤3，解得k ≥15，故答案为k ≥15．7．[2019·巴中]如图，一次函数y 1=k 1x+b (k 1，b 为常数，k 1≠0)的图象与反比例函数y 2=k2x (k 2≠0，x>0)的图象交于点A (m ，8)与点B (4，2)． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象说明，当x 为何值时，k 1x+b -k2x <0．解:(1)∵点B (4，2)在反比例函数y 2=k2x (k 2≠0，x>0)的图象上，∴2=k24，解得k 2=8，∴反比例函数解析式为y 2=8x(x>0)．当y 2=8时，8=8m，∴m=1，∴点A 坐标为(1，8)，将A (1，8)，B (4，2)的坐标代入y 1=k 1x+b ， 可得{8=k 1+b ，2=4k 1+b ，∴{k 1=-2，b =10，∴一次函数解析式为y 1=-2x+10．(2)由图象可知x 的取值范围为0<x<1或x>4．8．[2019·攀枝花]如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=mx 的图象在第二象限交于点B ，与x 轴交于点C ，点A 在y 轴上，满足条件:CA ⊥CB ，且CA=CB ，点C 的坐标为(-3，0)，cos ∠ACO=√55． (1)求反比例函数的表达式；(2)直接写出当x<0时，kx+b<mx 的解集．解:(1)如图，作BH ⊥x 轴于点H ，则∠BHC=∠BCA=∠COA=90°， ∴∠BCH=∠CAO ． ∵点C 的坐标为(-3，0)， ∴OC=3． ∵cos ∠ACO=√55， ∴AC=3√5，AO=6． 在△BHC 和△COA 中，{∠BHC =∠COA =90°，∠BCH =∠CAO ，BC =AC ，∴△BHC ≌△COA ． ∴BH=CO=3，CH=AO=6． ∴OH=9，即B (-9，3)． ∴m=-9×3=-27，∴反比例函数的表达式为y=-27x ．(2)∵在第二象限中，B 点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方，∴当x<0时，kx+b<mx 的解集为-9<x<0．|类型2| 求几何图形面积9．[2019·凉山州]如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y=4x 的图象相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C[解析]设A 点的坐标为(m ，4m )，则C 点的坐标为(-m ，-4m )，∴S △ABC =S △OAB +S △OBC =12m ×4m +12m ×|-4m |=4，故选C ．10．[2019·滁州定远一模]如图，已知反比例函数y=mx 与一次函数y=kx+b 的图象相交于A (4，1)，B (a ，2)两点，一次函数的图象与y 轴交于点C ，点D 在x 轴上，其坐标为(1，0)，则△ACD 的面积为( )A ．12B ．9C ．6D ．5【答案】D[解析]∵点A (4，1)在反比例函数y=mx 图象上，∴m=xy=4×1=4，∴y=4x ． 把B (a ，2)代入y=4x得2=4a，∴a=2，∴B (2，2)．把A (4，1)，B (2，2)代入y=kx+b ， 得{1=4k +b ，2=2k +b ，解得{k =-12，b =3，∴一次函数的解析式为y=-12x+3．∵点C 在直线y=-12x+3上， ∴当x=0时，y=3，∴C (0，3)． 如图，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ．∴S △ACD =S 梯形AEOC -S △COD -S △DEA =(1+3)×42-12×1×3-12×1×3=5．11．如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴的负半轴上，顶点D (a ，b )在反比例函数y=kx 的图象上，直线AC 交y 轴点E ，且S △BCE =6，则k 的值为( )A ．-12B ．-6C ．-2D ．-3【答案】A[解析]∵矩形ABCD ，D (a ，b )，∴CO=-a ，CD=AB=b ，∵D (a ，b )在反比例函数y=kx 的图象上，∴k=ab ，∵S △BCE =6，∴12BC ·OE=6，即BC ·OE=12， ∵AB ∥OE ，∴BC OC =AB EO ，即BC ·EO=AB ·CO ，∴12=b ·(-a )，即ab=-12，∴k=-12，故选A ．12．[2019·乐山]如图，点P 是双曲线C :y=4x (x>0)上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB :y=12x -2于点Q ，连接OP ，OQ ．当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是 ．【答案】3[解析]∵点P 是双曲线C :y=4x(x>0)上的一点，∴可设点P 坐标为(m ，4m)，∵PQ ⊥x 轴，Q 在y=12x -2图象上，∴Q 坐标为(m ，12m -2)，PQ=4m-(12m -2)，∴△POQ 的面积=12m ×[4m -(12m -2)]=-14(m -2)2+3，∴当m=2时，△POQ 面积最大，最大值为3．13．[2019·宁波]如图，过原点的直线与反比例函数y=kx (k>0)的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点C 在x 轴正半轴上，连接AC ，交反比例函数图象于点D ．AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连接DE ，若AC=3DC ，△ADE 的面积为8，则k 的值为 6 ．[解析]连接OE ，OD ，在Rt △ABE 中，点O 是AB 的中点，∴OE=12AB=OA ，∴∠OAE=∠OEA ，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠OAE=∠DAE ， ∴∠OEA=∠DAE ，∴AD ∥OE ，∴S △ADE =S △ADO ，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N ，易得S 梯形AMND =S △ADO =8， ∵△CAM ∽△CDN ，CD ∶CA=1∶3，∴S △CAM =9，延长CA 交y 轴于点P ，易得△CAM ∽△CPO ，可知DC=AP ，∴CM ∶MO=CA ∶AP=3∶1，∴S △CAM ∶S △AMO =3∶1，∴S △AMO =3，∵反比例函数图象在第一、三象限，∴k=6．14．[2019·盐城]如图，一次函数y=x+1的图象交y 轴于点A ，与反比例函数y=kx (x>0)的图象交于点B (m ，2)． (1)求反比例函数的表达式； (2)求△AOB 的面积．解:(1)∵一次函数y=x+1的图象经过点B (m ，2)， ∴2=m+1，解得m=1，则点B 的坐标为(1，2)， ∵点B 在反比例函数y=kx (x>0)的图象上， ∴k=2，∴反比例函数的表达式为y=2x (x>0)．(2)易得点A (0，1)，∴OA=1， 过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为点C ，则BC 就是△AOB 的高，BC=1， ∴S △AOB =12OA ×BC=12×1×1=12．15．[2019·遂宁]如图，一次函数y=x -3的图象与反比例函数y=kx (k ≠0)的图象交于点A 与点B (a ，-4)．(1)求反比例函数的表达式；(2)若动点P 是第一象限内双曲线上的点(不与点A 重合)，连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，连接OC ，若△POC 的面积为3，求出点P 的坐标．解:(1)∵点B (a ，-4)在一次函数y=x -3的图象上，∴a=-1，∴B (-1，-4)， ∵B (-1，-4)在反比例函数图象上， ∴k=(-1)×(-4)=4，∴反比例函数的表达式为y=4x ．(2)如图，设PC 交x 轴于点H ，设P (m ，4m )(m>0)，则C (m ，m -3)，由{y =4x ，y =x -3，得x 2-3x -4=0，解得x 1=-1，x 2=4，∴A (4，1)．∵PC=|4m +3-m |，OH=m ，∴△POC 的面积为3，∴12|4m +3-m |·m=3，∴m 1=2，m 2=1，m 3=5，m 4=-2．∵m>0，点P 与点A 不重合，且A (4，1)， ∴m 4=-2不合题意，舍去，∴P 点坐标为(1，4)，(2，2)，(5，45)．。
反比例函数与一次函数的综合
一、反比例函数的定义函数ky x=(k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.二、反比例函数的图象反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图像关于x 轴对称，也关于y 轴对称.三、反比例函数图象的性质反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像是双曲线； 当0k >时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.注意：⑴反比例函数ky x=(0k ≠)的取值范围是0x ≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k >时，双曲线ky x=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．一、反比例函数与一次函数综合【例1】 如图，是一次函数y kx b =+与反比例函数2y x =的图像，则关于x 的方程2kx b x+=的解为（ ）A ．1212x x ==，B ．1221x x =-=-，C ．1212x x ==-，D ．1221x x ==-，反比例函数与一次函数综合【巩固】若一次函数3y x b =+和反比例函数3b y x-=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6.【例2】 直线y kx =(0k >)与双曲线4y x=交于A ()11x y ，，B ()22x y ，两点，求122127x y x y -的值.【巩固】直线()0y ax a =>与双曲线3y x=交于()()1122A x y B x y ，、，两点，则122143x y x y -= ．【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()2A a ，，则k 的值等于 ．【巩固】在平面直角坐标系Oxy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90︒得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图像的一个交点为()3A a ，，试确定反比例函数的解析式．【例4】 如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A B P ，，为AB 上一点且PC 为AOB ∆的中位线，PC 的延长线交反比例函数()0ky k x =>的图象于Q ，32OQC S ∆=，则k 的值和Q 点的坐标分别为______________.【巩固】如图，直线43y x =与双曲线()0k y x x =>交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线()0k y x x =>交于点B ，与x 轴交于点C ，若2AO BC=，则k =_________．【例5】 已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)，．（1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．【巩固】已知一次函数y x m =+与反比例函数1m y x+=(1m ≠-)的图象在第一象限内的交点为P (0x ，3) （1）0x 的值．（2）一次函数和反比例函数的解析式.【例6】 已知一次函数y kx b =+(0k ≠)的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且与反比例函数my x=(0m ≠)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D .若1OA OB OD ===，（1）点A 、B 、D 的坐标；（2）求一此函数与反比例函数的解析式.【巩固】已知反比例函数ky x=(0k <)的图像经过点A(m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且AOB ∆（1）求k 和m 的值．（2）若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求:AO AC 的值．【例7】 如图，反比例函数ky x=的图像与一次函数y mx b =+的图像交于()13A ，，()1B n -，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【巩固】如图，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数2ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()13A ，． （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．【例8】 如图，已知()()424A B n --，，，是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数的图象的两个交点. （1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．【巩固】如图，已知：一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像交于A 、B 两点. （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 取值范围．A【例9】 如图，已知()()424A n B --，，，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积；（3）求方程0mkx b x +-=的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkx b x+-=的解集（请直接写出答案）.【巩固】利用图象解一元二次方程230x x +-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2y x =和直线3y x =-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）填空：利用图象解一元二次方程230x x +-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y = 和直线y x =-，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数6y x =-的图象（如图9所示），利用图象求方程630x x-+=的近似解（结果保留两个有效数字）．（图9）（图9）。
一次函数与反比例函数综合题型
一次函数与反比例函数综合题型：专题1 1、．（2010 济宁）如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数k y x =(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.2．(2011 聊城)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42(0)my x x-=>的图象于点A 、B ，交x 轴于点C ．(1)求m 的取值范围；(2)若点A 的坐标是(2，－4)，且BC AB ＝ 13，求m 的值和一次函数的解析式．xA(第1题)3、．(2010年枣庄市)如图，一次函数y ＝a x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ kx的图象交于A 、B 两点，与x轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA ＝10，点B 的坐标为(m ，－2)，t a n ∠AOC ＝ 13．(1)求反比例函数的解析式； (2)求一次函数的解析式；(3)在y 轴上存在一点P ，使△PDC 与△CDO 相似，求P 点的坐标．4、（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b ＞的解集； （3）过点B 作BC⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．5、（2011•泰安）如图，一次函数y=k 1x+b 的图象经过A （0，﹣2），B （1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM⊥MP？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．7． (德州市2010年)●探究 (1) 在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为E ，F ． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E 点坐标为__________； ②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F 点坐标为__________；(2)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A (a ，b ) ，B (c ，d )， 求出图中AB 中点D 的坐标（用含a ，b ，c ，d 的 代数式表示），并给出求解过程． ●归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A (a ，b )，B (c ，d )， AB 中点为D (x ，y ) 时， x =_________，y =___________．（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数2-=x y 与反比例函数xy 3=的图象交点为A ，B ． y y =x3 B①求出交点A，B的坐标；②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．一次函数与反比例函数综合题型：专题1答案：1、（2010 济宁．）解：（1）设A点的坐标为（a，b），则kba=.∴ab k=.∵112ab=,∴112k=.∴2k=.∴反比例函数的解析式为2yx=. ··································································3分(2) 由212yxy x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2,1.xy=⎧⎨=⎩∴A为（2，1）. ·················································4分设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，1-）.令直线BC 的解析式为y mx n =+.∵B 为（1，2）∴2,12.m n m n =+⎧⎨-=+⎩∴3,5.m n =-⎧⎨=⎩∴BC 的解析式为35y x =-+. ········································································ 6分 当0y =时，53x =.∴P 点为（53，0）. ····················································· 7分2、（2011 聊城24.） 解：(1)因为反比例函数42(0)my x x-=>的图象在第四象限， 所以420m -<，解得2m >． (2)因为点A(2，4-)在函数42my x-=图象上， 所以4242m--=，解得6m =． 过点A 、B 分别作AM ⊥OC 于点M ，BN ⊥OC 于点N ， 所以∠BNC=∠AMC=90°． 又因为∠BCN=∠ACM ，所以△BCN ∽△ACM ，所以BN BCAM AC=． 因为14BC AB =，所-以14BC AC =，即14BN AM =． 因为AM=4，所以BN=1所以点B 的纵坐标是1-因为点B 在反比例函数y 1y =-时，8x =． 所以点B 的坐标是(8．1-因为一次函数y kx b =+B(8，1-)．∴2481k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得125k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以一次函数的解析式是152y x =--． 3、（2010年枣庄市）(1)过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E .221tan 3310101 3.AOE OE AE OA OE AE AE OE ∠=∴==+=∴==，.，， ∴点A 的坐标为(3，1)．………………………２分A 点在双曲线上，13k∴=，3k =．∴双曲线的解析式为3y x=． ………………………………………………………３分 (2)点(2)B m -，在双曲线3y x=上，3322m m ∴-==-，．∴点B 的坐标为322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ………………………………………………………４分231332 1.2a b a a b b +=⎧⎧=⎪⎪∴∴⎨⎨-+=-⎪⎪=-⎩⎩，，∴一次函数的解析式为213y x =-． …………………………………………………７分(3)C D ，两点在直线213y x =-上，C D ∴，的坐标分别是30(01)2C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． ∴312OC OD ==，，DC =过点C 作CP AB ⊥，垂足为点C ．PDC CDO △∽△，2PD DC DC PD DC OD OD ∴===，又1314OP DP OD =-=-=P ∴点坐标为904⎛⎫⎪⎝⎭，． 分4、（2011•临沂）考点分析：（1）由一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B 点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据图象，观察即可求得答案；（3）因为以BC 为底，则BC 边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案． 解答：解：（1）∵点A （2，3）在y=的图象上， ∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，∴S△ABC=×2×5=5．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键5、考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
一次函数与反比例函数综合应用教案
一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。
2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。
二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。
2. 反比例函数的基本概念和性质。
3. 一次函数和反比例函数的综合应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。
2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。
3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。
2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。
4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。
5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。
引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。
2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。
通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。
3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。
通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。
七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。
通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。
反比例函数与一次函数综合问题
学案
一图一课之
反比例函数与一次函数的综合问题一、基本图形，问题提出
问题1：如图1，已知反比例函数y1=k
x
（k≠0）与一次
函数y2＝mx+n（m≠0)的图像交于点A（1,4）,B（4,t）. 观察此图像，你能提出哪些问题或者能得到什么结论？
小结：
二、问题拓展
问题2：如图2，连接OA、OB，观察此图像，则你又能提出哪些问题？与同伴交流并尝试解决.
小结：
x
图1
图2
三、深化探究
问题3：如图3，双曲线y = k
x （k ≠0） 经过Rt △ODC 斜
边OD 的中点A,与另一直角边交于点B,则你能提出哪些问题？先想一想，然后与同伴交流.
小结：
四、课后延伸（微课视频）
问题4：如图4，双曲线y = k
x （k ≠0） 经过Rt △ODC 斜边
OD 上的点A ，与另一直角边交于点B,若OA OD
=t ,则：
（1）求CB
CD
的值；（2）求S △AOB 的面积.
小结：
五、总结梳理
问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获与体会？（请用思维导图加以说明）
x
x
图4
图3。
53模拟试卷初中数学九年级下册01专项素养综合全练(一)
专项素养综合全练(一)反比例函数与一次函数的综合运用类型一图象共存问题1.(2023福建泉州安溪期中)已知k≠0,函数y=kx-1与y=在同一个平面直角坐标系中的图象可能是(M9226003)()2.(2023山东泰安中考)一次函数y=ax+b与反比例函数y=(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是()类型二图象交点问题3.(2023福建泉州丰泽期中)点A(a,b)为函数y=与y=x+4的图象的交点,则的值为()A.1B.4C.-1D.-44.【数形结合思想】(2022云南红河个旧二模)如图,反比例函数y=(x<0)与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点,A、B两点的横坐标分别为-3、-1,则关于x的不等式<x+4(x<0)的解集在数轴上表示正确的是(M9226003)()5.(2023陕西西安碑林模拟)正比例函数y=kx和反比例函数y=的图象相交于A、B两点,若点A的横坐标为1,点B的纵坐标为3,则k=.6.【新考向·开放型试题】(2022江苏南京二模)若函数y1=-x+6与y2=(k为常数,且k≠0)的图象没有交点,则k的值可以为(写出一个满足条件的值即可).类型三与线段长度或图形面积有关的综合题7.(2022广东揭阳惠来二模)如图,正比例函数y=x与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A,过点A作AB⊥y轴于点B,OB=4,点C在线段AB上,且AC=OC.(1)求k的值;(2)求线段BC的长.8.(2022四川广元苍溪模拟)如图,一次函数y=x-6的图象与反比例函数y=(m为常数,且m≠0)的图象交于点M(a,-5),点N.(M9226002)(1)求反比例函数的解析式及N点的坐标;(2)求线段MN的长度.9.(2023湖北恩施州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线y=x+2交y轴于点A,交x轴于点B,与双曲线y=(k≠0)在第一、三象限分别交于C、D两点,且AB=BC,连接CO、DO.(1)求k的值;(2)求△CDO的面积.10.【和差法求面积】(2022四川南充中考)如图,直线AB与双曲线交于A(1,6),B(m,-2)两点,直线BO与双曲线在第一象限交于点C,连接AC.(M9226002)(1)求直线AB与双曲线的解析式;(2)求△ABC的面积.答案全解全析1.D ∵函数y=kx-1的图象必经过点(0,-1),∴排除A、B选项;选项C,由一次函数的图象可知k>0,由反比例函数的图象可知k<0,两结论矛盾,排除C选项;选项D,由一次函数的图象可知k<0,由反比例函数的图象可知k<0,成立.故选D.2.D 选项A,一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,则a>0,b>0,∴ab>0;反比例函数y=的图象位于第二、四象限,∴ab<0,矛盾.选项B,一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则a<0,b>0,∴ab<0;反比例函数y=的图象位于第一、三象限,∴ab>0,矛盾.选项C,一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,则a>0,b<0,∴ab<0;反比例函数y=的图象位于第一、三象限,∴ab>0,矛盾.选项D,一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则a<0,b>0,∴ab<0;反比例函数y=的图象位于第二、四象限,∴ab<0,成立.故选D.3.A ∵点A(a,b)是反比例函数y=与一次函数y=x+4的图象的交点,∴b==1.故选A.4.C 由题图可知当-3<x<-1时,一次函数的图象在反比例函数的图象的上方,∴C选项正确.故选C.5.-3解析∵正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象相交于A、B两点,∴A、B关于原点对称,又∵点A的横坐标为1,点B的纵坐标为3,∴点A的纵坐标是-3,点B的横坐标是-1.∴A(1,-3),B(-1,3).∵反比例函数y=的图象过点A,∴k=1×(-3)=-3.6.10(答案不唯一,k>9即可)解析∵函数y1=-x+6的图象经过第一、二、四象限,函数y1=-x+6与y2=(k为常数,且k≠0)的图象没有交点,∴反比例函数的图象在第一、三象限,∴k>0,令-x+6=,整理得x2-6x+k=0,两图象无交点,则Δ<0,即(-6)2-4k<0,∴k>9,∴k的值只要是大于9的实数都可以,例如10. 7.解析(1)∵AB⊥y轴,OB=4,∴点B的坐标为(0,4),点A的纵坐标是4,∵点A在正比例函数y=x的图象上,∴将y=4代入y=x,得x=8,∴A(8,4).∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴k=4×8=32.(2)设C(c,4),则OC=,AC=AB-BC=8-c,∵OC=AC,∴=8-c,解得c=3,∴BC=3.8.解析(1)∵一次函数y=x-6的图象经过点M(a,-5),∴-5=a-6,解得a=1,∴M(1,-5).∵反比例函数y=的图象过点M(1,-5),∴m=1×(-5)=-5,∴反比例函数的解析式为y=-.联立∴点N的坐标为(5,-1).(2)如图,过点M作直线平行于y轴,过点N作直线平行于x轴,设两直线交于点P.∵M(1,-5),N(5,-1),∴PM=4,PN=4.在Rt△PMN中,MN=.9.解析(1)在y=x+2中,令x=0,得y=2,令y=0,得x=-2,∴A(0,2),B(-2,0). ∵AB=BC,∴A为BC的中点,∴C(2,4).把C(2,4)代入y=,得4=,解得k=8.∴k的值为8.(2)解方程组∴D(-4,-2),∴S△DOC=S△DOB+S△COB=×2×4=2+4=6,∴△CDO的面积是6.10.解析(1)设双曲线的解析式为y=,∵点A(1,6)在该双曲线上,∴6=,解得k=6,∴双曲线的解析式为y=.∵B(m,-2)在双曲线y=上,∴-2=,解得m=-3,∴点B的坐标为(-3,-2).设直线AB的解析式为y=ax+b,则∴直线AB的解析式为y=2x+4.(2)如图,BE∥y轴∥FG,BG∥x轴∥EF,且EF过点A,FG过点C.设直线BO的解析式为y=a1x,∵点B(-3,-2),∴-2=-3a1,解得a1=,∴直线BO的解析式为y=x,联立∴点C的坐标为(3,2),∵A(1,6),B(-3,-2),C(3,2),∴EB=8,BG=6,CG=4,CF=4,AF=2,AE=4,∴S△ABC=S矩形EBGF-S△AEB-S△BGC-S△AFC=8×6-=48-16-12-4=16.。
反比例函数与一次函数综合三类型(解析版)九年级数学下册常考点微专题提分精练(人教版)
专题03 反比例函数与一次函数综合三类型类型一反比例函数与一次函数图像综合判断1．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数2kyx=的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．（1）求k的值；（2）求COD的面积；（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点C （6，m ）．(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)连接OC ，在x 轴上找一点P ，使S △POC ＝2S △AOC ，请求出点P 的坐标．3．如图，一次函数15y k x =+（1k 为常数，且10k ≠）的图象与反比例函数2y x=（2k 为常数，且20k ≠）的图象相交于()2,4A -，(),1B n 两点．(1)求n 的值；(2)若一次函数1y k x m =+的图象与反比例函数2k y x=的图象有且只有一个公共点，求m 的值．【答案】(1)8n =- (2)4m =或4-【分析】（1）由待定系数法求出反比例函数的解析式，再由B 点坐标计算求值即可； （2）根据函数图象交点的意义，利用一次函数和反比例函数构建一元二次方程，令0∆=，4．一次函数y ＝﹣12x +3的图象与反比例函数y ＝x的图象交于点A (4，1)．(1)画出反比例函数y ＝m x 的图象，并写出﹣12x +3＞m x的x 取值范围； (2)将y ＝﹣12x +3沿y 轴平移n 个单位后得到直线l ，当l 与反比例函数的图象只有一个交点时，求n 的值．1m则()26=--解得12n =-当l 与反比例函数的图像只有一个交点时，则【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的综合．解题的关键在于了解不等式的意义，一次函数平移后解析式的表达，将交点转化为二次方程根的个数．易错点在于求解集时落解．5．如图：一次函数的图象与反比例函数y x=的图象交于()2,6A -和点()4,B n ．（1）求点B 的坐标；（2）根据图象回答，当x 在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值． ）一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象6．如图，已知双曲线y ＝kx与直线y ＝mx +5都经过点A （1，4）．（1）求双曲线和直线的表达式；（2）将直线y ＝mx +5沿y 轴向下平移n 个单位长度，使平移后的图象与双曲线y ＝kx有且只有一个交点，求n 的值．47．如图所示，平面直角坐标系中，直线1y kx b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与曲线2my x=分别交于点C ，D ，作CE x ⊥轴于点E ，已知OA =4，OE =OB =2．(1)求反比例函数2y 的表达式； (2)在y 轴上存在一点P ，使ABPCEOS S=，请求出P 的坐标．12ABPCEOSSCE ==243a ⨯-⨯=，解出S=CEOS=3ABPP(0，BP=S=ABPa-22解得：a=交于A，B两点，其中A的坐标为8．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线yx（1，a），P是以点C（- 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.(1)求双曲线的解析式：(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与∵C相切，求m的值(3)求线段OQ长度的最大值.（3）【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的x图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且∵OCB与∵OAB的面积比为1：2．(1)求k和b的值；(2)将∵OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝kx（k＜0）的图象上，并说明理由．y x=-+y∴=时，(5,0)B∴OCB∆与C∴为AB(1,6)A-(2,3)C∴．如图，过点将OBC∆C'在第二象限，(3,2)C∴'-∴点C'是落在函数【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等10．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=x（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）（1）求b、k、m的值；（2）根据图象直接写出-x+b< kx（x> 0）的解集；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD∵x轴于点D，连接OP，若∵POD的面积为S，求S的最大值和最小值．）一次函数）一次函数14n≤≤S12 =-1 2a=-11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P ，(2,2)Q -，函数y x=．(1)当函数my x=的图象经过点Q 时，求m 的值并画出直线y =－x －m ． (2)若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组m y x y x m ⎧>⎪⎨⎪<--⎩（m <0），求m 的取值范围．（2）12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（﹣2，xn）两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．A，(1,2)∴△的ACPACP的面积是13．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（∵）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10∵时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？20x小时，蔬菜才能避免受到伤害．本题考查一次函数和反比例函数的应用，．病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间x （小时）成正比例，2小时后y 与x 成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题． (1)求当02x ≤≤时，y 与x 的函数关系式； (2)求当2x >时，y 与x 的函数关系式；(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？【答案】(1)2y x =8k ， 与x 的函数关系式为第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y 与x 成反比例函数关系．（1）=a ；（2）当5100x 时，y 与x 之间的函数关系式为 ；当100x >时，y 与x 之间的函数关系式为 ；（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？5100x 时，设经过点(5,0)，(100,19)019b =+= 0.21k b =⎧⎨=-⎩解析式为0.2y x =经过点堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段，当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点A 对应的指标值．(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？【答案】(1)见解析（2）温y （∵）与开机时间x （分）满足一次函数关系，当加热到100∵时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （∵）与开机时间x （分）成反比例关系，当水温降至20∵时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：(1)当010x ≤≤时，求水温y （∵）与开机时间x （分）的函数关系式；(2)求图中t 的值；(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少∵？x时，20小丽散步70【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、数值，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．。
一次函数与反比例函数综合题
一次函数与反比例函数综合题类型一 反比例函数与一次函数综合1. (2017湘潭)已知反比例函数y ＝kx 的图象过点A (3，1)． (1)求反比例函数的解析式；(2) 若一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．2. (2017武汉)如图，直线y ＝2x ＋4与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A (－3，a )和B 两点． (1)求k 的值；(2)直线y ＝m (m >0)与直线AB 相交于点M ，与反比例函数y ＝kx 的图象相交于点N .若MN ＝4，求m 的值．第2题图3. (2017泸州二诊)如图，已知A (－4，n )，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出方程kx ＋b －mx ＝0的解．第3题图4. (2017资阳模拟)如图，已知直线y ＝kx 与双曲线y ＝4x (x >0)相交于点A (2，m )，将直线y ＝kx 向下平移2个单位长度后与y 轴相交于点B ，与双曲线交于点C ，连接AB 、AC .第4题图(1)求直线BC 的函数表达式； (2)求△ABC 的面积．类型二 反比例函数与几何图形综合5. 如图，已知，A (0，4)，B (－3，0)，C (2，0)，D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数y ＝kx 的图象经过D 点． (1)证明四边形ABCD 为菱形； (2)求此反比例函数的解析式；(3)已知在y ＝kx 的图象(x >0)上有一点N ，y 轴正半轴上有一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标．第5题图6. (2017泰安)如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的斜边OA 在x轴的正半轴上，∠OBA ＝90°，且tan ∠AOB ＝12，OB ＝25，反比例函数y ＝kx 的图象经过点B . (1)求反比例函数的表达式；(2)若△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，一次函数y ＝mx ＋n 的图象过点M 、A ，求一次函数的表达式．第6题图类型三 反比例函数与一次函数、几何图形综合7. 如图，双曲线y ＝kx (x >0)经过△OAB 的顶点A 和OB 的中点C ，AB ∥x 轴，点A 的坐标为(4，6)，连接AC 交x 轴于D ，连接BD . (1)确定k 的值； (2)求直线AC 的解析式；(3)判断四边形OABD 的形状，并说明理由；(4)求△OAC 的面积．第7题图8. (2017绵阳模拟)如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A (1，4)，B 两点，延长AO 交反比例函数图象于点C ，连接OB .(1)求k 和b 的值；(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围； (3)在y 轴上是否存在一点P ，使S △PAC ＝25S △AOB ？若存在，请求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．第8题图答案1. 解：(1)将点A (3，1)代入反比例函数解析式中， 得1＝k 3， ∴k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x ； (2)对于一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)，联立两解析式得⎩⎨⎧y ＝3x y ＝ax ＋6，消去y 得3x ＝ax ＋6，去分母得ax 2＋6x －3＝0 ①，∵一次函数与反比例函数图象只有一个交点， ∴①式中Δ＝62－4a ×(－3)＝0， 解得a ＝－3≠0，∴一次函数解析式为y ＝－3x ＋6.2. 解：(1) ∵直线y ＝2x ＋4与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A (－3，a )，∴a ＝2×(－3)＋4＝－2， ∴点A 坐标为(－3，－2)， k ＝xy ＝(－3)×(－2)＝6； (2) ∵M 在直线y ＝2x ＋4上， ∴设M (m －42，m )，∵N 在反比例函数y ＝6x 上， ∴设N (6m ，m )，∴MN ＝x M －x N ＝m －42－6m ＝4或MN ＝x N －x M ＝6m －m －42＝4， ∵m ＞0，∴解得m ＝6＋43或m ＝2.3. 解：(1)∵点B (2，－4)在函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝－8，∴反比例函数的解析式为y ＝－8x ； 又∵点A (－4，n )在函数y ＝－8x 的图象上， ∴n ＝2， ∴A (－4，2)，∵y ＝kx ＋b 经过A (－4，2)，B (2，－4)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝22k ＋b ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2； (2)如解图，设直线AB 与x 轴交于点C ，第3题解图当y ＝0时，x ＝－2， ∴点C (－2，0)，即OC ＝2，∴S △AOB ＝S △ACO ＋S △BCO ＝12×2×2＋12×2×4＝6； (3)方程kx ＋b －mx ＝0的解为x 1＝－4，x 2＝2. 4. 解：(1)∵点A (2，m )在y ＝4x 的图象上， ∴m ＝2，A 点坐标为(2，2)， ∵点A 在y ＝kx 上， ∴k ＝1，∴直线BC 的解析式为y ＝x －2；(2)如解图，过点A 作AD ∥y 轴交BC 于点D ，第4题解图把x ＝2代入y ＝x －2中得，y ＝0， ∴D (2，0)， ∴AD ＝2，∵点C 为直线BC 与反比例函数的交点，∴⎩⎨⎧y ＝4x y ＝x －2， 解得x ＝1±5， ∴C (1＋5，5－1)，∴S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ＝12×2×2＋12×2×(1＋5－2)＝1＋ 5. 5. (1)证明：∵A (0，4)，B (－3，0)，C (2，0)， ∴OA ＝4，OB ＝3，OC ＝2， ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5，BC ＝5， ∴AB ＝BC ，∵D 为B 点关于AC 的对称点， ∴AB ＝AD ，CB ＝CD ， ∴AB ＝AD ＝CD ＝CB ， ∴四边形ABCD 为菱形； (2)解：∵四边形ABCD 为菱形， ∴D 点的坐标为(5，4)，∵反比例函数y ＝kx 的图象经过D 点， ∴4＝k 5， ∴k ＝20，∴反比例函数的解析式为y ＝20x ； (3)解：∵四边形ABMN 是平行四边形， ∴AN ∥BM ，AN ＝BM ，∴AN 是BM 经过平移得到的， ∴首先BM 向右平移了3个单位长度， ∴N 点的横坐标为3， 代入y ＝20x ，得y ＝203， ∴M 点的纵坐标为203－4＝83， ∴M 点的坐标为(0，83)．6. 解：(1)如解图，过点B 作BD ⊥OA ，垂足为点D ，设BD ＝a ， ∵tan ∠AOB ＝BD OD ＝12， ∴OD ＝2BD ＝2a ，∵∠ODB ＝90°，OB ＝25， ∴a 2＋(2a )2＝(25)2， 解得a ＝±2(－2舍去)， ∴a ＝2，∴BD ＝2，OD ＝4， ∴B (4，2)，∵反比例函数y ＝kx 的图象经过点B ， ∴k ＝4×2＝8，∴反比例函数表达式为y ＝8x ；第6题解图(2)∵tan ∠AOB ＝12，∴AB ＝12OB ＝5，∴OA ＝OB 2＋AB 2＝（25）2＋（5）2＝5，∴点A 的坐标为(5，0)，又∵OM ＝2OB ，B (4，2)，∴M(8，4)，把点M 、A 的坐标代入y ＝mx ＋n 中得：⎩⎪⎨⎪⎧0＝5m ＋n 4＝8m ＋n， 解得m ＝43，n ＝－203， ∴一次函数的表达式为y ＝43x －203.7. 解：(1)将A (4，6)代入解析式y ＝k x 得：k ＝24；(2)∵AB ∥x 轴，B 的纵坐标是6，C 为OB 中点，∴把y ＝3代入反比例函数解析式y ＝24x 得x ＝8，即C 点坐标为(8，3)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (4，6)，C (8，3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝68k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－34b ＝9，∴直线AC 的解析式为y ＝－34x ＋9；(3)四边形OABD 为平行四边形．理由如下：∵点C 的坐标为(8，3)，点A 的坐标为(4，6)，∴点B 的坐标为(16，6)，∴AB ＝16－4＝12，把y ＝0代入y ＝－34x ＋9中得：x ＝12，即D (12，0)，∴OD ＝12，∴AB ＝OD ，又∵AB ∥OD ，∴四边形OABD 为平行四边形；(4)S ▱OABD ＝12×6＝72，根据平行四边形的性质可知，S △OAC ＝14S ▱OABD ＝18.8. 解：(1)将A (1，4)分别代入y ＝－x ＋b 和y ＝k x 得：4＝－1＋b ，4＝k 1，解得：b ＝5，k ＝4；(2)x >4或x <0<1；【解法提示】联立两解析式⎩⎨⎧y ＝－x ＋5y ＝4x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y 2＝1， ∴B 点坐标为(4，1)，∴一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为x ＞4或0＜x ＜1；第8题解图(3)存在．理由如下：如解图，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 由(2)知，B 点坐标为(4，1)，∴S △AOB ＝S 四边形ANMB ＝12(AN ＋BM )×MN ＝12×(4＋1)×3＝152，∵S △P AC ＝25S △AOB ，∴S △P AC ＝25×152＝3，如解图，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设P (0，t )，∴S△PAC＝12OP·CD＋12OP·AE＝12OP·(CD＋AE)＝12|t|×2＝|t|＝3，解得：t＝3或－3，∴P(0，3)或(0，－3)．。
综合题：一次函数二次函数反比例函数中考综合题复习
第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。
☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
2， 直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。
直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为： ；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（ ）。
反比例函数与一次函数的综合应用(含答案)
①k1<k2；②当 x<－1 时，y1<y2；③当 y1>y2 时，x>1；④当 x<0 时，y2 随 x 的增大而减
小．其中正确的有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
-1-
4．已知函数 y1＝x(x≥0)，y2＝4x(x>0)的图象如图所示，则以下结论： ①两函数图象的交点 A 的坐标为(2，2)； ②当 x>2 时，y1>y2； ③当 x＝1 时，BC＝2； ④两函数图象构成的图形是轴对称图形； ⑤当 x 逐渐增大时，y1 随着 x 的增大而增大，y2 随着 x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是____________．
反比例函数与一次函数的有关计算 类型1 利用点的坐标求面积 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝2x＋n 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B， 与双曲线 y＝4x在第一象限内交于点 C(1，m)． (1)求 m 和 n 的值； (2)过 x 轴上的点 D(3，0)作平行于 y 轴的直线 l，分别与直线 AB 和双曲线 y＝4x交于点 P， Q，求△ APQ 的面积．
2．一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝kx(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如 图所示，则 k，b 的取值范围是( )
A．k>0，b>0
B．k<0，b>0
C．k<0，b<0
D．k>0，b<0
(第 2 题)
(第 3 题)
(第 4 题)
反比例函数与一次函数的图象与性质
3．(中考·仙桃】如图，正比例函数 y1＝k1x 和反比例函数 y2＝kx2的图象交于 A(1，2)，B 两点，给出下列结论：
反比例函数与一次函数综合
反比例函数与一次函数综合1．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出0-≥+xm b kx 时x 的取值范围．2．如图，直线y ＝kx +b 与双曲线y ＝相交于A （1，2），B 两点，与x 轴相交于点 C （4，0）．（1）分别求直线AC 和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞的解集．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于A （2，3）、B （﹣3，n ）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式＞kx +b 的解集；（3）若P 是y 轴上一点，且满足△P AB 的面积是5，求点P 的坐标．4．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．5．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当ax+b＜时，直接写出x的取值范围．（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？6.如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．7．如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．9．柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？10、在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．。
反比例函数与一次函数的综合-完整版课件
下节课预习提示和作业布置
预习提示
下节课将学习反比例函数与二次函数的综合应用，请学生提前预习相关内容，了 解基本概念和性质
作业布置
布置与反比例函数与一次函数综合应用相关的练习题和思考题，要求学生认真完 成并提交作业
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
行程问题
结合反比例函数和一次函 数，可以解决与行程相关 的问题，如根据速度和时 间的关系计算路程等。
经济问题
反比例函数和一次函数也 可以应用于经济领域，如 分析成本、收益和利润之 间的关系等。
两者结合的综合题型分析
函数图像分析 通过观察和分析反比例函数和一 次函数的图像，可以判断它们的 增减性、对称性等性质，进而解 决相关问题。
反比例函数的图像关于原点对称，即 满足奇函数的性质 $f(-x) = -f(x)$。
反比例函数在其定义域内具有单调性 ：在第一、三象限内单调递减，在第 二、四象限内单调递增。
反比例函数在其定义域内没有极值点 ，也没有拐点。
CHAPTER 03
一次函数基本概念与性质
一次函数定义及表达式
一次函数定义
反比例函数与一次函 数的综合-完整版课件
汇报人：XXX 2024-01-22
contents
目录
• 引言 • 反比例函数基本概念与性质 • 一次函数基本概念与性质 • 反比例函数与一次函数综合应用 • 典型例题解析与讨论 • 课堂小结与作业布置
CHAPTER 01
引言
目的和背景
帮助学生理解反比例 函数和一次函数的基 本概念、性质和应用 。
学生2
对于例题2，我首先根据点 M、N 的坐标和距离关系列出方程组，然后利用待 定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式。最后通过解方程组求出两个函 数的交点坐标。
中考数学回归教材重难点08 反比例函数与一次函数综合问题(解析版)
回归教材重难点08 反比例函数与一次函数综合问题反比例函数与一次函数综合问题是初中《反比例函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把反比例函数与一次函数结合起来，以不等式、方程组等为核心。
在中考数学中，主要是以解答题形式出现。
通过熟练运用的方程、不等式与函数三者之间的关系，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。
1.反比例函数中的有关面积问题如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错2.待定系数法求反比例函数解析式反比例函数y =kx （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．反比例函数y =kx （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点,2A a 在反比例函数4y x=的图象上，//AB x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数ky x=于点B，已知2AC BC =． yx DC FEOB A（1）求直线OA 的解析式； （2）求反比例函数ky x=的解析式； （3）点D 为反比例函数ky x=上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求OAD △的面积． 【答案】（1）y x =；（2）2y x=-；（3）3.【分析】（1）先求解A 的坐标，再把A 的坐标代入正比例函数y mx =，解方程即可得到答案； （2）利用2,AC BC = 先求解B 的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；（3）设2,,D n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 而()2,2,A E 为AD 的中点，利用中点坐标公式求解,D E 的坐标，再利用()12OAD ODE OAE A D S S S OE x x =+=+，计算即可得到答案.【详解】解：（1） 点,2A a 在反比例函数4y x=的图象上，24,2,a a ∴== 则()2,2,A 2,AC ∴= 设直线AO 为：,y mx = 22,m ∴= 则1,m = 所以直线AO 为：,y x =（2） //AB x 轴， 2=2AC BC =．1,BC ∴= ()1,2,B ∴- 122,k xy ∴==-⨯=-所以反比例函数为：2.y x=-（3）设2,,D n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 而()2,2,A E 为AD 的中点，()120,2E x n ∴=+=2,n ∴=-()32,1,0,,2D E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭()12OADODE OAEA D SSSOE x x ∴=+=+ ()1322 3.22=⨯⨯+= 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.2．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数2k y x =的图象在第二象限交于C ，(6,2)D -两点，//DE OC 交x 轴于点E ，若13AD AC =． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求四边形OCDE 的面积．【答案】（1）8y x +＝，12y x＝-；（2）643【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C 点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A 点和E 点坐标，然后用AOC △的面积减去AED 的面积求解．【详解】解：（1）将(62)D -，代入2k y x=中，26212k ⨯＝-＝-， ∴反比例函数的解析式为12y x＝-； 过点D 作DM x ⊥轴，过点C 作CN x ⊥轴，//DE OC ，ADE ACO ∴∽，13AD AE DM AC AO CN ∴===，36CN DM ∴＝＝， 将6y ＝代入12y x＝-中，126x =-，解得：2x ＝-，∴C 点坐标为()2,6-，将()2,6C -，()6,2D -代入1y k x b +＝中，可得112662k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为8y x +＝； （2）设直线OC 的解析式为y mx ＝，将()2,6C -代入，得：26m -＝，解得：3m ＝-，∴直线OC 的解析式为3y x ＝-，由//DE OC ，设直线DE 的解析式为3y x n +＝-， 将()6,2D -代入可得：()362n ⨯+--＝，解得：16n ＝-，∴直线DE 的解析式为316y x -＝-，当0y ＝时，3160x --＝，解得：163x =-，∴E 点坐标为16,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，163OE ∴＝，在8y x +＝中，当0y ＝时，80x +＝，解得：8x ＝-，∴A 点坐标为()8,0-，8OA ∴＝，168833AE ∴-＝＝， AOCAEDOCDE S SS四边形＝﹣1122OA CN AE DM =⋅-⋅118862223=⨯⨯-⨯⨯8243=-643=．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．3．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=相交于()()2,3,,2A B m --两点．（1）求12,y y 对应的函数表达式；（2）过点B 作//BP x 轴交y 轴于点P ，求ABP △的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于x 的不等式21k k x b x+<的解集． 【答案】（1）11y x =-+，26y x=-；（2）152ABPS=；（3）20x -<<或3x > 【分析】（1）由题意先求出2y ，然后得到点B 的坐标，进而问题可求解；（2）由（1）可得ABP △以PB 为底，点A 到PB 的距离为高，即为点A 、B 之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；（3）根据函数图象可直接进行求解．【详解】（1）把点()2,3A -代入反比例函数解析式得：6k =-，∴26y x=-，∴点B 在反比例函数图象上，∴26m -=-，解得：3m =，∴()3,2B -，把点A 、B 作代入直线解析式得：112332k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：111k b =-⎧⎨=⎩，∴11y x =-+；（2）由（1）可得：()2,3A -，()3,2B -，∴//BP x 轴，∴3BP =，∴点A 到PB 的距离为()325--=，∴1153522ABPS =⨯⨯=； （3）由（1）及图象可得：当21k k x b x+<时，x 的取值范围为20x -<<或3x >． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．4．（2021·山东济宁·中考真题）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点()2,0C ，点()0,4B ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数，图象上的点()1,n ，求m ，n 的值． 【答案】（1）12y x =；（2）12n =，353m =【分析】（1）作AD x ⊥轴，可知BOC CDA △≌△，得出A 点坐标，待定系数法求出解析式即可， （2）将点()1,n 代入（1）中解析式和直线OA 的解析式中，分别求出m ，n 的值即可． 【详解】（1）如图，作AD x ⊥轴，则90ADC ∠=︒90ACB ∠=︒，AC BC =，90BCO ACD ∴∠+∠=︒90BCO CBO ∠+∠=︒ACD CBO ∴∠=∠∴()BOC CDA AAS △≌△点()2,0C ，点()0,4B 2,4OC OB ∴==4,2CD OB AD OC ∴====，∴OD =OC +CD =6，(6,2)A ∴ 代入k y x=中，2612k =⨯=12y x ∴=．（2）()1,n 在12y x=上，12n ∴= (6,2)(0,0)A O ，设直线OA 解析式为1y k x =12=6k ∴，113k =13y x ∴=直线OA 向上平移m 个单位后的解析式为：13y x m =+ 图象经过（1，12），11213m ∴=⨯+，解得：353m =，12n ∴=，353m =．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 5．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点P 为函数112y x =+与函数(0)m y x x=>图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B ．（1）求m 的值； （2）点M 是函数(0)m y x x =>图象上一动点，过点M 作MD BP ⊥于点D ，若1tan 2PMD ∠=，求点M 的坐标．【答案】（1）24；（2）M 点的坐标为(8,3)【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P 的横坐标，利用k =xy 计算m 即可； （2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可. 【详解】（1）∴点P 纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，(6,4)P ∴∴4=6m ，∴24m =．（2）∴1tan 2PMD ∠=，∴12PD PM =， 设(0)PD t t =>，则2DM t =，当M 点在P 点右侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t +-，∴（6+2t ）（4-t ）=24，解得：11t =，20t =（舍去），当11t =时，(8,3)M ，∴M 点的坐标为(8,3)，当M 点在P 点的左侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t -+，∴（6-2t ）（4+t ）=24， 解得：10t =，21t =-，均舍去． 综上，M 点的坐标为(8,3)．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．6．（2022·重庆·模拟预测）如图，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数ky x=的图像相交于点A （3，1），B （﹣1，n ）两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像，直接写出满足1+≥kk x b x的x 的取值范围； (3)连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求ABC ∆的面积．【答案】(1)反比例函数的解析式是3y x=，一次函数的解析式是2y x =-；(2)10x -≤<或3x ≥；(3)8 【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再把点B 的坐标代入反比例函数的解析式可求出B 的坐标，把点A 、B 的坐标代入一次函数1y k x b =+即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图像和A 、B 的坐标即可得出答案；（3）过C 点作CD y ∥轴，交直线AB 于D ，求出D 的坐标，即可求得CD ，然后根据ABC ACD BCD S S S =+△△△即可求出答案．【详解】(1)解：∴点A （3，1），B （﹣1，n ）两点在反比例函数图像上 ∴把A （3，1）代入k y x=得：313k =⨯=，∴反比例函数的解析式是3y x =，又∴B （﹣1，n ）代入反比例函数3y x=得：3n =-，∴B 的坐标是（﹣1，﹣3），把A 、B 的坐标代入一次函数1y k x b =+得：11313k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k =，2b =-，∴一次函数的解析式是2y x =-． (2)解：从图像可知：1+≥kk x b x的x 的取值范围是当10x -≤<或3x ≥． (3)解：过C 点作CD y ∥轴，交直线AB 于D ，∴B （﹣1，﹣3），B 、C 关于原点对称，∴C （1，3）， 把1x =代入2y x =-得，1y =-，∴D （1，﹣1），∴4CD =，∴()142282△△△=+=⨯⨯+=ABC ACD BCD S S S ．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．数形结合思想的运用是解题的关键． 7．（2021·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数在图象与反比例函数y kx=（k ＜0）的图象在第二象限交于点A （﹣3，m ），B（n ，2）两点．(1)当m ＝1时，求一次函数的解析式．(2)若点E 在x 轴上，满足∴AEB ＝90°，且AE ＝2﹣m ，分别连接OA ，OB ，求∴OAB 的面积． 【答案】(1)y 23=x +3；(2)289108【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式中求出k ，进而得出点B 坐标，最后用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）先判断出BF ＝AE ，进而得出∴AEG ∴Rt∴BFG （AAS ），得出AG ＝BG ，EG ＝FG ，即BE ＝BG +EG ＝AG +FG ＝AF ，再求出m 23=-n ，进而得出BF ＝223+n ，MN ＝n +3，即BE ＝AF ＝n +3，再判断出∴AME ∴∴ENB ，根据相似三角形的性质得出ME 23=BN ，最后用勾股定理求出m ，根据梯形的面积公式即可得出结论． 【详解】(1)解：当m ＝1时，点A （﹣3，1）， ∴点A 在反比例函数y kx=的图象上，∴k ＝﹣3×1＝﹣3， ∴反比例函数的解析式为y 3x=-； ∴点B （n ，2）在反比例函数y 3x=-图象上，∴2n ＝﹣3，∴n 32=-，设直线AB 的解析式为y ＝ax +b ，则31322b a b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴233a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为y 23=x +3； (2)如图，过点A 作AM ∴x 轴于M ，过点B 作BN ∴x 轴于N ，过点A 作AF ∴BN 于F ，交BE 于G ， 则四边形AMNF 是矩形，∴FN ＝AM ，AF ＝MN ， ∴A （﹣3，m ），B （n ，2），∴BF ＝2﹣m ， ∴AE ＝2﹣m ，∴BF ＝AE ，在∴AEG 和∴BFG 中，90AGE BGFAEG BFG AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴∴AEG ∴∴BFG （AAS ），∴AG ＝BG ，EG ＝FG ，∴BE ＝BG +EG ＝AG +FG ＝AF ，∴点A （﹣3，m ），B （n ，2）在反比例函数y kx=的图象上，∴k ＝﹣3m ＝2n ，∴m 23=-n ，∴BF ＝BN ﹣FN ＝BN ﹣AM ＝2﹣m ＝223+n ，MN ＝n ﹣（﹣3）＝n +3，∴BE ＝AF ＝n +3，∴∴AEM +∴MAE ＝90°，∴AEM +∴BEN ＝90°，∴∴MAE ＝∴NEB ，∴∴AME ＝∴ENB ＝90°，∴∴AME ∴∴ENB ，∴22223333nME AE m BN BE n n +-====++，∴ME 23=BN 43=，在Rt∴AME 中，AM ＝m ，AE ＝2﹣m ，根据勾股定理得，AM 2+ME 2＝AE 2，∴m 2+（43）2＝（2﹣m ）2， ∴m 59=，∴k ＝﹣3m 53=-，∴2n 53=-，∴n 56=-，∴A （﹣3，59），B （56-，2），∴AM 59=，OM ＝3，BN ＝2，ON 56=，∴MN 136=， ∴∴OAB 的面积＝S 四边形AMNB +S △BNO ﹣S △AOM ＝S 四边形AMNB 12=（AM +BN ）•MN 12=⨯（59+2）132896108⨯=．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用,解决问题的关键是利用好交点的坐标．8．（2022·江西南昌·一模）如图，反比例函数y 1＝kx（x ＞0）与直线y 2＝ax +b 的图象相交于A ，B 两点，其中点B （3，3），且AB ＝2BC ．(1)求反比例函数解析式．(2)求直线AB 解析式．(3)请根据图象，直接写出当y 1＜y 2时，x 的取值范围． 【答案】(1)19y x=；(2)2312y x =-+；(3)13x << 【分析】（1）将B 点坐标代入反比例函数解析式，求出k 的值即可；（2）过点A 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．由此即易证ADC BEC △△，得出BE BCAD AB=．再根据2AB BC =，即得出13BE AD =．结合B 点坐标，即可求出A 点纵坐标，将A 点纵坐标代入反比例函数解析式，即求出A 点横坐标．最后结合A 、B 两点坐标利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式； （3）根据当12y y <时，反比例函数图象在一次函数图象下方，结合图象即可写出x 的取值范围． 【详解】(1)将B 点坐标代入反比例函数解析式得：33k=，解得：9k =． 故反比例函数解析式为：19y x=；(2)如图，过点A 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．根据作图易证ADC BEC △△，∴BE BC AD AB =． ∴2AB BC =，∴13BC AC =，即13BE AD =． ∴3B BE y ==，∴39A y AD BE ===，将9A y =代入19y x=，即得出99x =，解得：1x =，即A (1，9)． 将A (1，9)和B (3，3)代入2y ax b =+，得：933a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得：312a b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为2312y x =-+； (3)当12y y <时，即反比例函数图象在一次函数图象下方即可，由图象可知当13x <<时反比例函数图象在一次函数图象下方，∴当13x <<时，12y y <．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．9．（2021·山东青岛·一模）如图，直线y 1＝k 1x +b 与双曲线y 2＝2k x在第一象限内交于A 、B 两点，已知A （1，m ），B （2，1）．(1)分别求出直线和双曲线的解析式；(2)设点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD ∴x 轴于点D ，E 是y 轴上一点，当∴PED 的面积最大时，请直接写出此时P 点的坐标为 ． 【答案】(1)y 1＝﹣x +3，22y x =；(2)33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m 和2k 的值，再根据待定系数法即可得出直线AB 的解析式；（2）设点P (x ，﹣x+3），用含x 的代数式表示出△PED 的面积，即可求解．【详解】(1)解：∴点B (2，1)在双曲线上，∴2k ＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为22y x=， ∴A （1，m ）在双曲线22y x =，∴m ＝2，∴A (1，2）． ∴直线AB ：y 1＝k 1x +b 过A （1，2）、B （2，1）两点，则11221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得113k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3；(2)解：设点P (x ，﹣x +3），且1≤x ≤2，∴PED 的面积＝12PD •OD ＝12x (﹣x +3)＝﹣12(x ﹣32)2+98， 当x ＝32时，∴PED 的面积取得最大值，此时点P 的坐标为(32，32）， 故答案为：(32，32）． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，二次函数的最值以及三角形的面积公式，求出直线AB 的解析式是解题的关键.10．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象上，CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝2．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．【答案】(1)点A 在反比例函数图象上，理由见解析；(2)Q 317+【分析】（1）过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，可得BP ＝2，G 是CD 的中点，所以P （23； （2）易求D （3，0），E （43，待定系数法求出DE 的解析式为y 3﹣3次函数即可求点Q ．【详解】(1)解：点A 在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，∴P 是正六边形ABCDEF 的对称中心，CD ＝2，∴BP ＝2，G 是CD 的中点，∴PG=BO=BC 3sin 602︒=3∴P （23， ∴P 在反比例函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图象上，∴k ＝3∴y 23 由正六边形的性质，A （1，3，∴点A 在反比例函数图象上；(2)解：由（1）得D （3，0），E （43，设DE 的解析式为y ＝mx +b ，∴3043m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴333m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴y 3﹣3 由方程23333y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x 317+，∴Q 317+ ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．11．（2021·广东清远·二模）如图，一次函数y 1＝k 1x +4与反比例函数22k y x =的图象交于点A (2,m )和B (-6,-2)，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点A 作AD ∴x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC :S △ODE ＝4:1时，求点P 的坐标；(3)点M 是y 轴上的一个动点，当∴MBC 为直角三角形时，直接写出点M 的坐标．【答案】(1)y =x +4，12y x =；(2)41515⎝；(3)(0,−2)或(0,−8) 【分析】(1)根据点B 的坐标，利用待定系数法即可求出k 1、k 2的值；(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、C 的坐标，根据梯形的面积公式求出S 四边形ODAC 的值，进而即可得出S △ODE 的值，结合三角形的面积公式即可得出点E 的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP 的解析式，再联立直线OP 与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P 的坐标；(3)分∴CMB =90°或∴CBM =90°两种情况考虑，当∴CMB =90°时，根据点B 的坐标即可找出点M 的坐标；当∴CBM =90°时，由直线AB 的解析式可得出∴BCM 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A 、B 的坐标即可得出点M 的坐标，综上即可得出结论．【详解】(1)解：将点B (−6,−2)代入y 1=k 1x +4，−2=−6k 1+4，解得：k 1=1，故一次函数的解析式为；y =x +4 将点B (−6,−2)代入22k y x =①，226k -=-，解得：k 2=12， 故反比例函数的解析式为12y x=； (2)解：依照题意，画出图形，如图2所示．当x =2时，m =2+4=6，∴点A 的坐标为(2,6)；当x =0时，y 1=x +4=4，∴点C 的坐标为(0,4)，∴()114621022()ODAC S OC AD OD =+⋅=⨯+⨯=四边形，S 四边形ODAC :S △ODE ＝4:1， ∴111210224ODE S OD DE DE =⋅=⨯=⨯，∴DE =2.5，即点EE 的坐标为(2,2.5)， 设直线OP 的解析式为y =kx ，将点E (2,2.5)代入y =kx ，得2.5=2k ，解得：54k =，∴直线OP 的解析式为54y x =， 1254y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：1141515x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩2241515x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴点P 在第一象限，∴点P 的坐标为41515⎝； (3)解：依照题意画出图形，如图3所示．当∴CMB =90°时，BM x ∥轴，∴点M 的坐标为(0,−2)；当90CBM ∠'=︒时，∴B (-6,-2)，C (0,4)，6BM CM ∴==，∴∴BCM =45°，∴∴BCM 为等腰直角三角形，BC=BM ，∴=6M M CM '=，∴点M 的坐标为(0,−8)，综上所述：当∴MBC 为直角三角形时，点M 的坐标为(0,−2)或(0,−8)．【点睛】本题考查了待定系数法求出一次及反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形(三角形)的面积公式，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线． 12．（2021·四川眉山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与反比例函数y m x=（m ≠0）的图象相交于A ，B 两点，过点A 作AD ∴x 轴于点D ，AO ＝5，OD ：AD ＝3：4，B 点的坐标为（﹣6，n ）(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求∴AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且∴AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【答案】(1)y23=x+2，y12x=；；(2)∴AOB的面积S9=；(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=12x，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）∴AOB的面积S=12×OM×（xA-xB）=12×2×（3+6）=9；（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．【详解】(1) AO＝5，OD：AD＝3：4，设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，故点A（3，4），则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y12x=，故B（﹣6，﹣2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：4326k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，故一次函数的表达式为：y23=x+2；(2)解：设一次函数y23=x+2交y轴于点M（0，2），∴点A （3，4），B （﹣6，﹣2），∴∴AOB 的面积S 12=⨯OM ×（xA ﹣xB ）12=⨯2×（3+6）＝9； (3)解：设点P （0，m ），而点A 、O 的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP 2＝9+（m ﹣4）2，AO 2＝25，PO 2＝m 2，当AP ＝AO 时，9+（m ﹣4）2＝25，解得：m ＝8或0（舍去0）；当AO ＝PO 时，同理可得：m ＝±5；当AP ＝PO 时，同理可得：m 258=； 综上，P 点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．13．（2021·广东云浮·一模）如图，反比例函数k y x=图像和一次函数y ax b =+经过()1,6M 和()2,N a ．(1)求一次函数解析式：(2)一次函数y ax b =+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，求证：AM BN =．【答案】(1)39y x =-+；(2)见解析【分析】(1)把两点的坐标分别代入两解析式，即可求得a 的值，再利用待定系数法确定一次函数的关系式即可；(2)求出A 、B 两点坐标，再根据坐标特征可证得APM NQB ≌，即可证得结论．【详解】(1)解：∴(1,6)和(2,a )经过反比例函数k y x =，∴6=2k k a ⎧⎪⎨=⎪⎩，解得63k a =⎧⎨=⎩ ，∴N (2,3)， 又∴一次函数y ax b =+经过M (1,6)和N (2,3)，∴623a b a b +=⎧⎨+=⎩ 得到39a b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为39y x =-+； (2)解：如图：过M 作MC ∴y 轴，垂足为点C ；过点N 作ND ∴x 轴，垂足为点D ；∴90ACM NDB ∠=∠=︒在一次函数解析式39y x =-+中，令x =0，得y =9；令y =0，得x =3，即A (0,9)，B (3,0),∴AO =9，BO =3, ∴M (1,6)和N (2,3)，∴CO =6，MC =1,DO =2,ND =3,∴AC =AO -CO =9-6=3，BD =BO -DO =3-2=1,∴AC =ND =3，MC =BD =1,在∴APM 和∴NQB 中，90AP NQ APM NQB PM QB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()APM NQB SAS ≌，∴AMNB =． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，全等三角形的判定与性质，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．。
2019中考数学狙击重难点系列专题24----反比例函数与一次函数综合(含答案)
反比例函数与一次函数综合1. 如图，一次函数 （ ）与反比例函数（ ）的图象交于点 ， ．（1）求这两个函数的表达式；（2）在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．2. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点A ﹙−2，−5﹚、C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．（1）求反比例函数和一次函数 的表达式； （2）连接OA 、OC ．求△AOC 的面积．3. 如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数（ ） 的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点． （Ⅰ）求一次函数的解析式；（Ⅱ）根据图象直接写出的x 的取值范围； （Ⅲ）求△AOB 的面积．4. 已知正比例函数y=2x 的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为P 点，已知△OAP 的面积为1． （1）求反比例函数的解析式；（2）如果点B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且点B 的横坐标为2，在x 轴上求一点M ，使MA+MB 最小．5. 已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数（k ＞0）的图象相交于A ，B 两点（A 在B 的右侧）．（1）当A （4，2）时，求反比例函数的解析式及B 点的坐标；（2）在1的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A （a ，﹣2a+10），B （b ，﹣2b+10）时，直线OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点C ，连接BC 交y 轴于点D ．若，求△ABC 的面积．6. 已知：如图，直线AB 与x 轴y 轴分别交于A ，B 两点，与双曲线y=在第一象限内交于点C ，BO=2AO=4，△AOC 的面积为2 +2．（1）求点C 的坐标和k 的值；（2）若点P 在双曲线y=上，点Q 在y 轴上，且以A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求所有符合题意的点Q 的坐标．7. 如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积。
中考数学专练——反比例函数与一次函数的综合
2023年数学专练——反比例函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y x m=+的图象交于点B和点(14)A k-+，，一次函数的图象与x轴交于点C .（1）求出两个函数的表达式.（2）求AOB的面积.（3）直接写出kx mx+≥的解集.2．已知：如图，函数kyx=与28y x=-+的图象交于点A(1，a)、B(b，2)．（1）求函数kyx=的解析式以及点A、B的坐标;（2）观察图象，直接写出不等式k28xx≥-+的解集；（3）若点P是x轴上的动点，当AP+BP取得最小值时，直接写出出点P的坐标．3．如图，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝kx交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣kx＞0中x的取值范围.4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x m=-+的图象与反比例函数(0)ky xx=>的图象交于A、B两点，已知()2,4A，(),2B n .（1）求反比例函数的表达式；（2）当 0x > 时，求不等式kx m x>-+ 的解集. 5．已知图中的曲线是函数 5m y x-=(m 为常数)图象的一支.（1）求常数m 的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x 图象在第一象限的交点为 A （2，n ），求点A 的坐标及反比例函数的解析式.6．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝ 的图象在第一象限交于点A （4，2），与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6，（1）求函数y ＝ 和y ＝kx+b 的解析式.（2）已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝ 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.7．如图，直线 y kx b =+ y kx b =+ 与反比例函数 12y x=相交于 A(2)m -， 、 B(n 3)，．（1）连接 OA 、 OB ，求 AOB 的面积； （2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式12kx b x>+ 的解集． 8．如图，一次函数 1y kx b =+ 的图象与反比例函数 2my x=的图象交于点A （-3， 8m + ），B （ n ，-6）两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 AOB 的面积；（3）直接写出 12y y > 时，x 的取值范围.9．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点.已知反比例函数 ky x=（ 0k > ）的图象经过点A （2，m ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.（1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数 ky x=的图象上，求当1≤x≤3时，函数值y 的取值范围. 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ()0y kx b k =+≠ 与反比例函数 ()0my m x=≠ 的图像交于点 ()3,1A ，且过点 ()1,3B -- ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出当 mkx b x+>时， x 的取值范围． 11．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8），B （﹣4，m ）两点.（1）求k 1，k 2，b 的值； （2）求△AOB 的面积；（3）请直接写出不等式1k x≤ 2k x+b 的解. 12．如图所示，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点(c ，p)和(n ，q)是反比例函数y ＝mx图象上任意两点，且满足c ＝n+1时，求 q p pq - 的值.（3）若点M(x 1，y 1)和N(x 2，y 2)在直线AB(不与A 、B 重合)上，过M 、N 两点分别作y 轴的平行线交双曲线于E 、F ，已知x 1＜-3，0＜x 2＜1，当x 1x 2＝-3时，判断四边形NFEM 的形状.并说明理由.13．如图，反比例函数 8y x=-与一次函数 2y x =-+ 的图象交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积． （3）当x 为何值时 8y x=-的函数值大于 2y x =-+ 的函数值，直接写出x 的取值范围14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x +2与函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，m ）．（1）求k ，m 的值；（2）直接写出关于x 的不等式2x +2＞kx的解集； （3）若Q 在x 轴上，△ABQ 的面积是6，求Q 点坐标．15．如图，一次函数 1y kx =+ 的图象与反比例函数 my x=的图象交于点 A 、 B ，点 A 在第一象限，过点 A 作 AC x ⊥ 轴于点 C ， AD y ⊥ 轴于点 D ，点 B 的纵坐标为－2，一次函数的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F ，连接 DB 、 DE .已知 4ADFS= ， 3AC OF = .（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 DBE 的面积；（3）直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围.16．如图，已知直线 5l y x =-+：（1）当反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围 （2）若反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 11(,)A x y 、 22(,)B x y ，当 213x x -= 时，求k 的值并根据图象写出此时关的不等式 5kx x-+< 的解集17．如图，过直线 12y kx =+上一点 P 作 PD x ⊥ 轴于点D ，线段 PD 交函数 (0)my x x=> 的图像于点C ，点C 为线段 PD 的中点，点C 关于直线 y x = 的对称点 C ' 的坐标为 (13)，．（1）求k 、m 的值；（2）求直线 12y kx =+与函数 (0)my x x=> 图像的交点坐标；（3）直接写出不等式1(0)2m kx x x >+> 的解集． 18．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于点A(3，1)，B(﹣1，n)两点.（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足k 1x+b≥2k x的x 的取值范围； （3）连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求△ABC 的面积.19．如图，双曲线 ()0ky k x=> 经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D.设点B 的坐标为（m ，n ）.（1）直接写出点E 的坐标，并求出点D 的坐标；（用含m ，n 的代数式表示） （2）若梯形ODBC 的面积为，求双曲线的函数解析式.20．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为BC 边上的点，反比例函数y=k x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D （m ，2）和AB 边上的点E （3，23）．（1）求反比例函数的表达式和m 的值；（2）将矩形OABC 的进行折叠，使点O 于点D 重合，折痕分别与x 轴、y 轴正半轴交于点F ，G ，求折痕FG 所在直线的函数关系式．答案解析部分1．【答案】（1）解：将点 (14)A k -+， 代入 ky x= ， 得 4k k -+= 解得 2k =∴ 反比例函数表达式为 2y x=， (12)A ， 将点 (12)A ， 代入 y x m =+ 得 21m =+1m ∴=∴ 一次函数的表达式为 1y x =+（2）解：由一次函数 1y x =+ 的图象与 x 轴交于点 C .令 0y = ，解得 1x =- ，则 (10)C -， 则 1OC =联立 21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1121x y =-⎧⎨=-⎩ ， 2212x y =⎧⎨=⎩ ()21B ∴--，()113=121222AOBA B SOC y y ∴=⋅⋅-⨯⨯--= （3）解：一次函数 1y x =+ 与反比例函数 2y x=交于点 (12)A ， ， ()21B --， 根据函数图象可得 kx m x+≥的解集为： 1x ≥ 或 20x -≤< 【解析】【分析】（1）将A （1，-k+4）代入y=kx中可得k 的值，进而可得反比例函数的解析式；将A （1，2）代入y=x+m 中求出m ，进而可得一次函数的解析式；（2）易得C （-1，0），则OC=1，联立反比例函数与一次函数的解析式求出x 、y ，可得B （-2，-1），接下来根据三角形的面积公式进行计算；（3）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对应的x 的范围即可.2．【答案】（1）解：将A （1，a ），B （b ，2）代入y ＝﹣2x+8中得：a=6，b=3∴A （1，6），B （3，2）， 把A （1，6）代入y ＝kx中，可得k ＝6 ∴反比例函数解析式为y ＝6x，A 、B 两点坐标分别为A （1，6）、B （3，2）； （2）解：由图象得：不等式6x＜﹣2x+8的解集为1＜x ＜3或x ＜0； （3）（52，0） 【解析】【解答】解：（3）如图，作点A 关于x 轴的对称点A′（1，-6），连结A′B 交x 轴于点P ，则点P 即为所求，此时AP+BP 的值最小．设直线A′B 的解析式为y ＝mx+n ， ∵B （3，2），A′（1，-6），∴326m n m n +=⎧⎨+=-⎩ ，解得 410m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线A′B 的解析式为y ＝4x-10， 当y ＝0时，y ＝52， ∴点P 的坐标为（52，0）．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式求解a 、b ，再将点A 坐标代入反比例函数表达式求解k 即可；（2）结合图像，函数值大的图像在上方的原则直接写出答案即可；（3）利用“将军饮马”的方法，先作对称轴，再求解即可。
中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案
中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知反比例函数()10cy c x=≠和一次函数()20y kx b k =+≠的图象相交于点()2,3A -和()3,B a ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)将一次函数2y 向下平移5个单位长度后得到直线3y ，当213y y y >>时，求x 的取值范围． 2．如图，反比例函数()0ky k x=>的图象经过正方形OABC 的顶点B ，一次函数1y x =+经过BC 的中点D ．(1)求反比例函数的表达式；(2)将ABD △绕点A 顺时针旋转90︒，点D 的对应点为E ，判断E 点是否落在双曲线上． 3．如图，反比例函数()0ky k x=< 的图象与矩形ABCO 的边相交于D 、E 两点()51E -，，且23AD BD =∶∶,一次函数经过D 、E 两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求BDE △的面积．4．对于实数,a b ，我们可以用{}min ,a b 表示,a b 两数中较小的数，例如{}min 3,11-=- {}min 2,22=，类x x⎩⎭(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出不等式2kx x -＞的解集；(3)点P 为反比例函数ky x=图像的任意一点，若3POC AOC S S =△△，求点P 的坐标． 7．如图，一次函数y mx n =+()0m ≠的图象与反比例函数ky x=()0k ≠的图象交于第二、四象限内的点(),3A a 和点()6,B b ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC 的面积为3(1)分别求出一次函数y mx n =+()0m ≠与反比例函数ky x=()0k ≠的表达式； (2)结合图象直接写出kmx n x>＋的解集； (3)在x 轴正半轴上取点P ，使PA PB -取得最大值时，求出点P 的坐标．8．如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数=ky x(k ＞0)的图象交于点A (1，m )，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n (0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM ．x，求AOB 的面积；根据图象，请直接写出满足不等式1y kx b =+C ，点A 的坐标为(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求ABE 的面积． 11．已知平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,3A 和点()3,B n ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)求反比例函数的表达式及n 的值；(2)将OCD 沿直线AB 翻折，点O 落在第一象限内的点E 处，EC 与反比例函数的图象交于点F ． △请求出点F 的坐标；△将线段BF 绕点B 旋转，在旋转过程中，求线段OF 的最大值． 12．如图，正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数my (m 0)x=≠的图象交于A 、B 两点，A 的横坐标为4-，B 的纵坐标为6-．(1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式mkx x<的解集． (3)将直线AB 向上平移n 个单位，交双曲线于C 、D 两点，交坐标轴于点E 、F ，连接OD 、BD ，若OBD 的面积为20，求直线CD 的表达式．13．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示．②的面积是OCD．如图，已知一次函数y轴交于点，若ACD的面积为16．如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()1,0，点()44D ,在反比例函数()0k y x x=>的图象上，直线23y x b =+经过点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点M ，连接AC 、AE ．(1)求k 、b 的值； (2)求ACE △的面积；(3)在x 轴上取点P ，求出使PC PE -取得最大值时点P 的坐标． 17．已知反比例函数1k y x=图象经过点(3,2)A ，直线:(0)l y kx b k =+<，经过点(2,0)C -，经过点A 且垂直于x 轴的直线与直线l 相交于B ．(1)求1k 的值；(2)若ABC 的面积等于15，求直线l 的解析式；(3)点G 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，问是否存在点G 和点Q ，使以G ．Q 及（2）中的C ．B 四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数()0ky x x=<的图象过点()4,2C -，点D 的纵坐标为4，直线CD 与x 轴，y 轴分别交于点,A B ．Rt AOB直角边上的一个动点，当16PCD AOBS S=时，求点关于y轴的对称点为x轴的对称点为,N 使得以点,,M N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，标；若不存在，请说明理由．．如图，已知直线y=x参考答案：3．(1)5y x =- 1722y x =+(2)944．(1)B (2)直线1x = 5．(1)1y x =- 2y x= (2)(1,0)C 12x <≤6．(1)3y x= (2)10x -＜＜或3＞x (3)()1,3或()1,3--7．(1)反比例函数的表达式为6y x =-，一次函数表达式为122y x =-+．(2)2x <－或06x << (3)()10,0P 8．(1)8y x= (2)39．(1)反比例函数的表达式为：22y x=-(2)32AOBS=(3)20x -<<或1x >10．(1)一次函数解析式1y x 4=-，反比例函数解析式212y x= (2)32ABE S =△11．(1)3y x= 1n =(2)△F 点坐标为3(4,)4；△线段OF 的最大值为17104+12．(1)24y x=-(2)40x -<<或>4x。
反比例函数与一次函数综合
反比例函数与一次函数综合反比例函数和一次函数，听起来像是数学课上的两个“老朋友”，对吧？其实它们各有各的个性，有趣得很，像极了生活中的那些“朋友”。
反比例函数就像是个调皮捣蛋的小子，总是让你意想不到。
你想要的东西，它偏偏给你反着来。
比如说，假设你在做生意，客户越多，利润越分散，这不就是反比例吗？简单点说吧，反比例就是那种一个增大，另一个必定减小的关系，像是两个人在拔河，谁拉得用力，谁就得让步。
想象一下，一边是越来越多的客户，另一边则是你的工作量就像山一样高，真是让人哭笑不得。
再说说一次函数，这家伙可稳重多了。
它就像那个老实巴交的邻居，绝对不会让你意外。
一次函数就是那种一直在“直线”上的家伙，没啥花里胡哨的。
他的图像看起来就像是顺风车，稳稳地往前开。
你想要的结果，输入什么值，它都能给你个正经八百的答案。
就像你跟朋友约好了去看电影，票价是固定的，不管你们几个人去，价格都一样，明明白白，清清楚楚。
把这两个“朋友”放到一起，简直是奇妙的组合。
反比例函数和一次函数就像是两个性格截然不同的搭档，你得靠着反比例的灵活机智来解决问题，有时候又需要一次函数的稳定来确保安全。
想想看，在一个团队里，活泼的和稳重的往往能产生奇妙的化学反应。
就像在生活中，我们常常需要有人来给我们带来新鲜感，也需要有人来给我们提供安全感。
这种互补关系真是妙不可言。
比如说，你正在筹划一次活动，想要吸引更多的人来参加。
这时候，你的宣传方式就需要反比例的思维。
试着用一些新鲜的点子，增加活动的吸引力，但你要明白，越多的人参与，活动的质量可能会受影响。
就好比聚会上的美食，食材越多，口味可能就得妥协。
反比例函数就像是个提醒，要学会找到那个平衡点。
而如果你用一次函数的方式来计划，事情可能就简单多了，所有的步骤都有章可循，这也会让你的创意受限，难免就显得乏味。
说到这，我不禁想起了小时候做数学题的那些日子。
拿着圆规，画出漂亮的图形，想着这些函数的奥妙，心里总是充满了成就感。