3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
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高等数学方明亮34函数的单调性与曲线的凹凸性
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1 ） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
2019年9月14日星期六
9
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定义 设函数 f (x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意
两点 x1, x2 （不妨设 x1 x2 ）及任意正数 (0 1) ，恒
有
f [x1 (1 ))x2 ] f (x1) (1 ) f (x2 ),
解：已知 f (x0 ) 0 ，不妨设 f (x0 ) 0 ， 由于 f (x0 ) 在 x x0 的某邻域内连续，
因此必存在 0 ，当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) 0
又已知 f (x0 ) 0
从而当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) f (x0 ) 0 ，函数凸
则称曲线 y f (x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f (x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，
下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
2019年9月14日星期六
10
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单调性与凸凹性
当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]， [1,2]， [2,).
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加. 例4 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设 f ( x)在(a, b)内连续,如果对(a, b)内任意
两点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]， [0,).
单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加. 例4 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设 f ( x)在(a, b)内连续,如果对(a, b)内任意
两点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]， [0,).
单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
3-4函数单调性与凹凸性(09)
二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.
函数的单调性及曲线的凹凸性
定义. 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界 点称为该曲线的拐点 由定义知: 如果在x0左右两侧f (x)异 号, 则(x0, f (x0))是拐点. 因此只有f (x0)=0 或不存在时, (x0 , f (x0))才可能是拐点.
求连续曲线弧拐点的步骤 (1) 在f(x)所定义的区间内, 求出二阶导数 f ( x)等于零的点. (2) 求出二阶导数 f ( x) 不存在的点.
即F ( x) F (1) 0. x 当x 1时，F ( x) e e 0, 可知F ( x)
为[1,)上的严格单调增加函数, 即F ( x) F (1) 0. x 故对任意x 1，都有F ( x) 0， 即 e ex.
二、曲线的凹凸性与拐点
函数曲线除了有升有降之外, 还有不 同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函 数曲线的弯曲方向呢？
3 2 2. 例 3 讨论函数 y x 的单调性 解: 函数的定义域为( ) 2 y 3 (x0) 函数在 x0 处不可导 3 x 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单减 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 ) 上单增
1 3. 例 6 证明 当 x1 时 2 x 3 x 1 证明 证明 : 令 f (x) 2 x (3 ) 则 x 1 1 1 f (x) 2 2 (x x 1) x x x 因为当x>1时, f (x)>0 所以f(x)在[1 )上 f(x)单增 因此 当x>1时, f(x)>f(1)=0 即 2 x (3 1 ) 0 x 1 也就是 2 x 3 (x1) x
研究函数的单调性, 我们只关心 y在 子区间内的符号.
y
5 x3
函数的单调性与曲线的凹凸性
例如,
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
例2. 证明 证: 令
时, 成立不等式
且
证
从而
因此
证明
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
则称
则称
的凹凸区间及拐点.
2) 求拐点可疑点坐标
令
得
3) 列表判别
对应
凹
故该曲线在
及
向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及
凸
凹
上向上凹, 均为拐点.
内容小结
1. 可导函数单调性判别
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
思考与练习
1. 设在 或
拐点
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
两式相加
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例3. 判断曲线 解:
的凹凸性.
故曲线
在
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但
在 两侧异号, 则点
是曲线
的一个拐点.
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
例2. 证明 证: 令
时, 成立不等式
且
证
从而
因此
证明
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
则称
则称
的凹凸区间及拐点.
2) 求拐点可疑点坐标
令
得
3) 列表判别
对应
凹
故该曲线在
及
向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及
凸
凹
上向上凹, 均为拐点.
内容小结
1. 可导函数单调性判别
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
思考与练习
1. 设在 或
拐点
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
两式相加
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例3. 判断曲线 解:
的凹凸性.
故曲线
在
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但
在 两侧异号, 则点
是曲线
的一个拐点.
高等数学-3_4单调性
第四节
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、函数单调性的应用 三、曲线的凹凸与拐点
机动
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结束
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续， 在 ( a , b )内可导，
若对任意 x∈( a , b ) 都有
( f ( x ) 0),
不存在的点 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论 在各小区间内的正负符号.
4. 确定凹凸区间。
x ( ,0) y 凹 y
0
2 (0, ) 3
2 2 ( , ) 3 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3
凸
凹
2 2 x 区间]I 凹区间: ( ,0], [ , ); 凸区间: [0, 3 3 f ( x ) 2 11 拐点 ( 0 , 1 ) , ( , ). f ( x )
x f ( x ) f ( x)
(0,1)
1
(1, )
0
∴单减区间为(0,1]；单增区间为 [1, ).
例2 讨论 y (1 x ) 解 定义域为 ( 1, )
1 3
2 2 3
( x 1) 的单调性.
得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1.
x
y y
( 1, 0)
o
x
2
定理2. (凹凸判定法)
设函数
在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、函数单调性的应用 三、曲线的凹凸与拐点
机动
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一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续， 在 ( a , b )内可导，
若对任意 x∈( a , b ) 都有
( f ( x ) 0),
不存在的点 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论 在各小区间内的正负符号.
4. 确定凹凸区间。
x ( ,0) y 凹 y
0
2 (0, ) 3
2 2 ( , ) 3 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3
凸
凹
2 2 x 区间]I 凹区间: ( ,0], [ , ); 凸区间: [0, 3 3 f ( x ) 2 11 拐点 ( 0 , 1 ) , ( , ). f ( x )
x f ( x ) f ( x)
(0,1)
1
(1, )
0
∴单减区间为(0,1]；单增区间为 [1, ).
例2 讨论 y (1 x ) 解 定义域为 ( 1, )
1 3
2 2 3
( x 1) 的单调性.
得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1.
x
y y
( 1, 0)
o
x
2
定理2. (凹凸判定法)
设函数
在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
复变函数3.4 单调性、凹凸性
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上向上凹 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) 均为拐点. ( 点 ( 0 , 1 ) 及 向上凸 , 3 27
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点
3.4 单调、凹凸·第3章 1
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, 若 在 I 内单调递增 (递减) . 任取
( f ( x) 0) , 则
证: 无妨设
由拉格朗日中值定理得
0
故 这说明 在 I 内单调递增. 证毕
3.4 单调、凹凸·第3章 2
例 讨论函数 y e x x 1 的单调性 .
解
y e x 1. 又定义域 D : (, ).
在( ,0)内, y 0, 函数单调减少；
. 在(0,)内, y 0, 函数单调增加
例 讨论函数 y ln x 的单调性.
当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
y
y 3 x2
o
x
3.4 单调、凹凸·第3章 4
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的 分界点． 称驻点 方法: 用驻点及不可导点来划分函 数 f ( x )的定义区间, 然后判断区间
y
内导数的符号.
注意: 区间内个别点导数为零,不影响区 间的单调性.
从而三个拐点为
1 3 1 3 (1 , 1) , (2 3 , ) , (2 3 , ) 84 3 84 3 因为
函数单调性的判别法
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曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x1, x2, 恒有 那么称f(x)在I上的图形是凹的 如果恒有
x1 x2 > f (x1) f ( x2 ) , f( ) 2 2
x1 x2 < f (x1) f (x2 ) , f( ) 2 2
拐点
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拐点 连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的 拐点. •讨论 如何确定曲线y=f(x)的拐点？ 如果(x0, f(x0))是拐点且f (x0)存在, 问f (x0)=？ 如何找可能的拐点？ •提示 如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0))是拐点. 在拐点(x0, f(x0))处f (x0)=0或f (x0)不存在. 只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0))才可能是拐点.
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•只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0))才可能是拐点. •如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0))是拐点.
例9 求曲线y=(x1)4ex的拐点. 解 y=4(x1)3ex, y=12(x1)2ex . 因为在(, )内, y>0, 所以曲线y=(x1)4ex的在(, )内是凹的, 无拐点.
那么称f(x)在I上的图形是凸的.
•观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹 凸性的关系. >>>
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高数同济34函数的单调性与曲线的凹凸性
练习题与解析
练习题
针对函数单调性的知识点，可以设计 多种类型的练习题，如判断函数单调 性、证明不等式、求极值和最值等。
解析
对于每道练习题，都应给出详细的解 析过程，包括解题思路、解题步骤和 最终答案等，以便学生理解和掌握相 关知识点。
02 曲线凹凸性概念引入
凹凸性定义及几何意义
凹凸性定义
若函数f(x)在区间I上连续，对I上任意两点x1, x2 (x1 < x2)，恒 有f((x1 + x2)/2) < (f(x1) + f(x2))/2 （或恒有f((x1 + x2)/2) > (f(x1) + f(x2))/2），则称f(x)在I上的图形是凹的（或凸的）。
难题挑战训练
复杂函数的单调性与凹凸性
对于复杂的函数，如分段函数、带绝对值的函数等，需要综合运 用多种方法判断其单调性和凹凸性。
证明题
利用函数的单调性和凹凸性证明一些数学命题，如不等式、等式等。
综合题
将函数的单调性、凹凸性与其他知识点相结合，解决综合性较强的 数学问题。
习题课小结与反思
小结
本次习题课主要围绕函数的单调性和凹凸性 进行训练，通过基础题、拓展题和难题的挑 战，巩固和提高了学生的解题能力。
单调性性质
单调函数具有许多重要性质，如在其定义域内，单调增加函数的值随自变量增 大而增大，单调减少函数的值随自变量增大而减小。
单调区间与单调性判定
单调区间
函数在其定义域内的某些子区间上可能具有不同的单调性，这些子区间称为函数 的单调区间。
单调性判定
判定函数在某区间上的单调性，通常可以通过求导并判断导数的正负来实现。若 导数在该区间内恒为正（或负），则函数在该区间内单调增加（或减少）。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
G3_4单调性与凹凸性
)
x
y x图形位于切线下方
退出
高等数学（上）
3.4.2 曲线的凹凸性与拐点
出版社 理工分社
定义1 设曲线的方程为y=f(x)，定义域为D,且
曲线上的每一点都有切线.
(1)如果在某区间 I D 内,该曲线位于其上任 意一点切线的上边，则称曲线在该区间内是凹的；
(2)如果在某区间 I D 内,该曲线位于其上任 一点切线的下边，则称曲线在该区间内是凸的。
导数 不存在的点,从而得到单调区间的分界点； 步骤3：可结合表格讨论各区间导数的符号,从而
判定函数的单调增加,单调减小区间以及单调性。
退出
高等数学（上）
3.4.1 函数的单调性
出版社 理工分社
注意 如果函数在某区间内,只有个别点的导数等 于零或不存在,但该区间内其余各点的导数均大 于(或小于)零,则函数在这个区间内仍是单调增加 (或减少)的.
y f (x)
0
+
y f (x)
故函数在整个区间(, )内是单调增加的.
退出
高等数学（上）
出版社 理工分社
思考 判断函数y x ln x, x (1, )的增减性。
解 y 1 1 = x 1 0, x (1, ) xx
函数y x ln x在(1, )单调增加. 思考 判断函数y tan x cot x, x (0, )的增减性。
x
ee
lim
x
1
x
ee
1
0且
x
x
ee
0 lim x
f (x) .
e
退出
高等数学（上）
3.4.1 函数的单调性
x
y x图形位于切线下方
退出
高等数学（上）
3.4.2 曲线的凹凸性与拐点
出版社 理工分社
定义1 设曲线的方程为y=f(x)，定义域为D,且
曲线上的每一点都有切线.
(1)如果在某区间 I D 内,该曲线位于其上任 意一点切线的上边，则称曲线在该区间内是凹的；
(2)如果在某区间 I D 内,该曲线位于其上任 一点切线的下边，则称曲线在该区间内是凸的。
导数 不存在的点,从而得到单调区间的分界点； 步骤3：可结合表格讨论各区间导数的符号,从而
判定函数的单调增加,单调减小区间以及单调性。
退出
高等数学（上）
3.4.1 函数的单调性
出版社 理工分社
注意 如果函数在某区间内,只有个别点的导数等 于零或不存在,但该区间内其余各点的导数均大 于(或小于)零,则函数在这个区间内仍是单调增加 (或减少)的.
y f (x)
0
+
y f (x)
故函数在整个区间(, )内是单调增加的.
退出
高等数学（上）
出版社 理工分社
思考 判断函数y x ln x, x (1, )的增减性。
解 y 1 1 = x 1 0, x (1, ) xx
函数y x ln x在(1, )单调增加. 思考 判断函数y tan x cot x, x (0, )的增减性。
x
ee
lim
x
1
x
ee
1
0且
x
x
ee
0 lim x
f (x) .
e
退出
高等数学（上）
3.4.1 函数的单调性
§3.4 函数的单调性与凹凸性
为铅直渐近线
导数的应用
又因
即
为斜渐近线.
( x 3) 2 y 4( x 1)
5) 求特殊点
( x 3)( x 1) y 4( x 1) 2 2 y ( x 1)3
导数的应用
6）绘图
(极大)
无 定 义
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
( x 3) 2 y 4( x 1)
的单调区间.
导数的应用
2.函数的极值
定义:
在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
导数的应用
3. 函数极值的判定 定理3.4.2 (极值第一充分条件) 设 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心 δ 邻域内可导, (1) 如果当 如果当 (2) 如果当 如果当 (3) 如果 在
导数的应用
§3.4 函数的单调性与凹凸性
3.4.1 函数的单调性与极值 3.4.2 函数凹凸性及其判定 内容小结与作业
导数的应用
3.4.1 函数的单调性与极值
1. 函数的单调性判定
y B D
A
O
C
x
对曲线段
、
，其各点处的切线斜率为正，曲
线是上升的；对曲线段 为负，曲线是下降的．
，其各点处的切线斜率
f ( x) 0.
导数的应用 \\5.4.2 函数凹凸性及其判定
例9
求曲线
的凹凸区间和拐点.
例10 求曲线
的凹凸区间和拐点.
导数的应用
函数的单调性与凹凸性判别
那末 f ( x ) 在 称 ( a , b ) 内的图 . 是 凹 (凸形 )的
22
y
yf( x )
y
yf( x )
O
x
O
x
定义2 曲线弧上每一点的切线 都在曲线的下(上) 方,称为凹 (凸)弧.
从几何直观上, 随着x的增大, 凹弧的曲线段
f ( x ) 的切线斜率是单增的,即 而 f ( x)是单增的,
凸弧的切线斜率是单减的,即 f ( x)是单减的. 利用二阶导数判断曲线的凹凸性
23
2. 凹凸性的判别法yBiblioteka yf( x )Ay
B
A
yf( x )
B
O a
bx
O a
bx
(x f )0 f(x )递增
(x f )0 f(x )递减
定理2 如 果 (a, b) 内具有 f(x ) 在 [ a ,b ] 上连 ,在 续 (x f )0( 0), 则f ( x) (a,b)内 ,若 二阶导数, 在
0 x 1 , f ( x ) 0 ,f( x ) C [ 0 , 1 ].
2 x x f(x ) 在 [0 , 1 ] 上 单 调. 增 加 f( x ) 1 e s ix n 2 当 0 x 1 时 , 有 f ( x ) f ( 0 ) 0. 2 x x 1 e s ix n 0 2 2 x x 即 e s ix n 1 2
19
b ln a a ln b
四、曲线凹凸性的判别法
(concave and convex)
前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于 了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯 y 曲方向。 B L1 如右图所示L1 ，L2 ，L3 L2 L3 虽然都是从A点单调上升到 B点，但它们的弯曲方向却 不一样。 A o x L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧，也有 凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。 20
函数的单调性和曲线的凹凸性
= t x1+(1– t) x2
弦上对应点的纵坐标B:
x = x2+(x1– x2)t
y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
则称f (x)在[a, b]上的图形是凹的.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
故得如下定义.
f (t x1+(1– t) x2) < t f (x1)+(1– t) f (x2) (1.1)
添加标题
添加标题
添加标题
则称f (x)在[a, b]上的图形是凸的.
若有
f (t x1+(1– t) x2) > t f (x1+(1– t) f (x2) (1.2)
f ' (0) = 0, x 0, f ' (x) > 0
f (x)在(, +)上单增.
0
x
y=x3
y
注2. f ' (x) 在(a, b)上变号, 则分区间讨论 f (x)的单调性.
PART ONE
例2.
解:
在(, 0)上, y' > 0,故函数在(, 0)上单增.
在(0, +)上, y' < 0,故函数在(0, +)上单减.
比如, y = x3, y'' =6x, 在(0,0)两边曲线凹凸性相反, 故(0,0)是一个拐点.
定理4. (必要条件)若 f '' (x)存在, 且点(x0, f (x0))是曲线 y = f (x)的拐点, 则 f '' (x0) = 0.
弦上对应点的纵坐标B:
x = x2+(x1– x2)t
y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
则称f (x)在[a, b]上的图形是凹的.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
故得如下定义.
f (t x1+(1– t) x2) < t f (x1)+(1– t) f (x2) (1.1)
添加标题
添加标题
添加标题
则称f (x)在[a, b]上的图形是凸的.
若有
f (t x1+(1– t) x2) > t f (x1+(1– t) f (x2) (1.2)
f ' (0) = 0, x 0, f ' (x) > 0
f (x)在(, +)上单增.
0
x
y=x3
y
注2. f ' (x) 在(a, b)上变号, 则分区间讨论 f (x)的单调性.
PART ONE
例2.
解:
在(, 0)上, y' > 0,故函数在(, 0)上单增.
在(0, +)上, y' < 0,故函数在(0, +)上单减.
比如, y = x3, y'' =6x, 在(0,0)两边曲线凹凸性相反, 故(0,0)是一个拐点.
定理4. (必要条件)若 f '' (x)存在, 且点(x0, f (x0))是曲线 y = f (x)的拐点, 则 f '' (x0) = 0.
【考研数学】3.4函数的单调性与曲线的凹凸性笔记小结
第三章 微分中值定理与导数应用第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别方法
定理1 设函数在区间上连续,在
内可导,则
(1)如果在
在上单调增加;
例1
确定
的增减区间
内且等号只在有限个点上成立，
则
(2)如果在
在上单调减少;
内且等号只在有限个点上成立，则
例2 试证时，
二、曲线的凹凸性与拐点
定义 设函数
在区间上连续,如果对
上任意两点在上的图形是凹的;如果恒有 则称
恒有在上的图形是凸的.
则称
定理2 设函数
在区间上连续,在内二阶可导,
(1)若在
在上的图形是凹的; 内则
(2)若在在上的图形是凸的. 内则
例3 判定曲线的凹凸性.
例4 求下列曲线的凹、凸区间及拐点
内容小结
1.可导函数单调性判别
在 I 上单调递增
在 I 上单调递减
2.曲线凹凸与拐点的判别
+
–拐点— 连续曲线上的凹凸分界点
作业P150：3(2)(4)(7)；4；5(2)(4)；6；10(1)(2)；11(3)；13; 14; 16.。
函数的单调与曲线的凹凸
单调递增函数
随着$x$的增大，$f(x)$的值也增大。
单调递减函数
随着$x$的增大，$f(x)$的值减小。
判断函数单调性的方法
导数法
通过求函数的导数，并分析导数的符号，判断函数的单调 性。如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0， 则函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同区间的函数值来判断函数的单调性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
单调性与凹凸性综合实例分析
• 函数$f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x^4$在区间$(-\infty, -\frac{1}{2})$上是单调递减的， 在区间$(-\frac{1}{2}, +\infty)$ 上是单调递增的，并且在全实数 域$R$上是凸函数。
在工程学中，单调性和凹凸性可用于 分析机械、电子和控制系统中的性能 指标，以确保系统的稳定性和优化性 能。
在物理学中，单调性和凹凸性可用于 描述速度与时间、位移与时间等物理 量之间的关系。
04 实例分析
单调性实例分析
函数$f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$上是单调递减的，而在区间$(0, +infty)$上是单调递增的。
单调性与凹凸性在函数图像上的表现
单调性可以通过观察函数图像的上升或下降趋势 来识别。
凹凸性可以通过观察函数图像的弯曲方向来识别， 即向上凸起或向下凹。
在同一张函数图像上，单调性与凹凸性可以同时 存在，但它们的方向相反。
单调性与凹凸性在实际问题中的应用
在经济学中，单调性和凹凸性可用于 分析商品价格与需求量之间的关系， 以及生产成本与产量之间的关系。
随着$x$的增大，$f(x)$的值也增大。
单调递减函数
随着$x$的增大，$f(x)$的值减小。
判断函数单调性的方法
导数法
通过求函数的导数，并分析导数的符号，判断函数的单调 性。如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0， 则函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同区间的函数值来判断函数的单调性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
单调性与凹凸性综合实例分析
• 函数$f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x^4$在区间$(-\infty, -\frac{1}{2})$上是单调递减的， 在区间$(-\frac{1}{2}, +\infty)$ 上是单调递增的，并且在全实数 域$R$上是凸函数。
在工程学中，单调性和凹凸性可用于 分析机械、电子和控制系统中的性能 指标，以确保系统的稳定性和优化性 能。
在物理学中，单调性和凹凸性可用于 描述速度与时间、位移与时间等物理 量之间的关系。
04 实例分析
单调性实例分析
函数$f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$上是单调递减的，而在区间$(0, +infty)$上是单调递增的。
单调性与凹凸性在函数图像上的表现
单调性可以通过观察函数图像的上升或下降趋势 来识别。
凹凸性可以通过观察函数图像的弯曲方向来识别， 即向上凸起或向下凹。
在同一张函数图像上，单调性与凹凸性可以同时 存在，但它们的方向相反。
单调性与凹凸性在实际问题中的应用
在经济学中，单调性和凹凸性可用于 分析商品价格与需求量之间的关系， 以及生产成本与产量之间的关系。
高等数学函数的单调性和凹凸性
连续曲线 y ? f ( x) 的拐点.
y
y ? x4
例如 ,
o
x
(2) 若 f ??( x0 ) 不存在 ,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y ? f ( x ) 的拐点 .
y
例如 ,
o
25x
注意 改变凹凸性的点只可能是二阶导数为零及二阶 导数不存在的点 .
判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：
x2
?
2,
3
对应
y1
(0,1)
(
2
3
,
11
27
)
?
1,
y2
?
2
11 27
3) 列表判别
3
x (?? ,0)
0
(0,
2 3
)
2
3
(
2 3
,
?
?
)
y?? ? 0 ? 0 ?
y凹
1
凸 11
27
凹
故该曲线在
(??
, 0)
及
(
2
3
,
?
?
) 上向上凹 , 在(0,
2) 上
3
向上凸
, 点(0,1)及
(2
3
,
11 27
1 (1 , 2)
0?
2 (2, ? ? ) 0?
f (x)
2
1
y
故
的单调增区间为
(??
, 1), (2, ? ? );
2
1
的单调减区间为 (1 , 2).
o 12 x
11
练习 确定 f ( x ) ? ( x ? 1) ?3 x 2 的单调区间 .
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10
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
x
f ( x )
x ln( 1 x) , ( x 0). 1 x
例7 解
x 证明： tan x x , x (0, ). 3 3 3 x 令 f ( x ) tan x - x ,则 3 2 f ( x) sec x - 1 x 2 tan2 x x 2
3
令 g( x ) tan x - x, 则
y
14
o
x0
x
o
x0
x
单调区间和极值点的求法
求单调区间关键在于找出单增区间与单减区间的 分界点。如何找单调区间的分界点呢？ 单调区间的分界点要么是极值点，要么是函数 无定义的点(但邻域内有定义).
15
3 . 例3 求函数 f ( x ) x x 的单调区间和极值 2 1 3 x 1 3 解 D f : (,) f ( x ) 1 x ， 3 x
； f ( 1) 12 0, 故 f (1) 10 是极大值
f ( 3) 12 0 , 故 f (3) 22 是极小值.
20
利用单调性证明不等式
x 例6 证 明 不 等 式 : ln( 1 x ) x , ( x 0). 1 x
1 x ) x, 则 证 (1) 设 f ( x ) ln(
y (2) 若 x ( x0 , x0 ) 时 , f ( x ) 0 ,
x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , x0 o x 则 x0 为极小值点； (3) 如果在上述两个区间内 f ( x ) 同号, 则 x0 不是极值点.
y
1 x f ( x ) 1 . 1 x 1 x
在区间 (0,)上f ( x ) 0,函数单调递减， 故当x 0时f ( x ) f (0) 0,即
ln( 1 x ) x, ( x 0).
x 例6 证 明 不 等 式 : ln( 1 x ) x , ( x 0). 1 x
x ( 2) 设 f ( x ) ln( 1 x) ,则 1 x 1 1 x f ( x ) . 2 2 1 x (1 x ) (1 x )
在区间 (0,)上 f ( x ) 0,函 数 单 调 递 增 ， 故 当x 0时f ( x ) f (0) 0,即
x1 x2 1 f (1 ) 1 f( ) f ( x1 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) ( x2 x1 )2 2 2 2! 4 x1 x2 1 f ( 2 ) 1 2
f ( x2 ) f ( 2 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2! ( x2 x1 ) 4
b
x
9
（1）极值点的特征
由费马引理可知，
定理1(极值的必要条件) 设 f ( x) 在点 x0 可导，
且 x0 是 f ( x) 的极值点，则必有 f ( x0 ) 0 。
所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。
x0为函数的极值点 f ' ( x0 ) 0 f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
f ( x ) f ( x 0 ) , 则称 f ( x 0 ) 为 f ( x ) 的一个 极小值 .
y y
o
x0
x
o
x0
x
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值 的点称为极值点.
8
注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.
y
y f ( x)
ax
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
y | x|
y
o
x
O
x
12
可能的极值点：
(1) 驻点； (2) 不可导点.
问题：不可导点怎么找？ 初等函数的不可导点必是其导函数没有定义的点。
13
定理1 (极值的第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心邻域U ( x0 , ) 内可导. (1) 若 x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , y x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , x0 o x 则 x 0 为极大值点；
2 2
g( x) sec x - 1 tan x 0, x (0, ) 3 所 以 当x (0, )时 3 g( x ) g(0) 0 f ( x ) 0
f ( x ) f (0) 0.
24
三
曲线的凹凸性和拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
3
证 x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉格朗日定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
若在(a , b)内， f ( x ) 0,
则 f ( ) 0,
不可导点 x1 0 , 驻点 x2 1 , 列表讨论
2 3
x
f ( x )
f ( x)
(, 0)
0
无
极 大 值
( 0, 1)
1
(1, )
0
极 小 值
极大值 f (0) 0 ，
1 极小值 f (1) . 2
16
例4 求f ( x ) ( x 4)2 3 x 3 的单调区间和极值 .
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a, b]上单调增加；
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
4
(a , b)内 可 导 ， 则 函 数 在 (a , b)内 单 调 的 定理 设 函 数 在 充要条件为：
x
如果曲线 C : y f ( x ) ( x I ) 上任意两点 P1 , P2 的弦 P1 P2 总在弧 P1 , P2 之上，则称曲线 C 是凹的；
如果曲线 C : y f ( x ) ( x I ) 上任意两点 P1 , P2 的弦 P1 P2 总在弧 P1 , P2 之下，则称曲线 C 是凸的。
y
x0
x
(2) 如果 f ( x0 ) 0 , 则 x0 为极大值点； o y
(3) 如果 f ( x0 ) 0 , 则无法判断.
o
x0
说明：
x
(1) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点;
3 4 (2)当 f ( x0 ) 0 时, 失效,如: x , x 在 x 0 处 .
y
C : y f ( x)
P2
y
C : y f ( x)
P2 P1
o
P1Байду номын сангаас
x
o
凸
x
凹
定义 . 设函数
(1) 若恒有 图形是凹的; (2) 若恒有 图形是凸的 .
在区间 I 上连续 ,
则称
则称
y y y
连续曲线上凹凸性改变的点
称为拐点 .
o o o
xx xx x x 1 x x 1 22 x 1 x 1 22 x 2 2
（ 1）f ( x ) 0 (或 f ( x ) 0)， x (a, b);
(2) 在 (a, b)内的任何子区间上 f ( x ) 0.
特殊情性：
若函数在区间I 上恒有f ( x ) 0, 且只在 某些孤立点处等于零，则函数在整个区间 上单调递增.
5
例1
讨论函数y x 在R上的单调性 .
x1 x2 1 f (1 ) 1 f( ) f ( x1 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) ( x2 x1 )2 2 2 2! 4 x1 x2 ( x1 1 ) 2 x1 x2 1 f ( 2 ) 1 f( ) f ( x2 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) ( x2 x1 )2 2 2 2! 4 x1 x2 ( 2 x2 ) 2
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
x
f ( x )
x ln( 1 x) , ( x 0). 1 x
例7 解
x 证明： tan x x , x (0, ). 3 3 3 x 令 f ( x ) tan x - x ,则 3 2 f ( x) sec x - 1 x 2 tan2 x x 2
3
令 g( x ) tan x - x, 则
y
14
o
x0
x
o
x0
x
单调区间和极值点的求法
求单调区间关键在于找出单增区间与单减区间的 分界点。如何找单调区间的分界点呢？ 单调区间的分界点要么是极值点，要么是函数 无定义的点(但邻域内有定义).
15
3 . 例3 求函数 f ( x ) x x 的单调区间和极值 2 1 3 x 1 3 解 D f : (,) f ( x ) 1 x ， 3 x
； f ( 1) 12 0, 故 f (1) 10 是极大值
f ( 3) 12 0 , 故 f (3) 22 是极小值.
20
利用单调性证明不等式
x 例6 证 明 不 等 式 : ln( 1 x ) x , ( x 0). 1 x
1 x ) x, 则 证 (1) 设 f ( x ) ln(
y (2) 若 x ( x0 , x0 ) 时 , f ( x ) 0 ,
x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , x0 o x 则 x0 为极小值点； (3) 如果在上述两个区间内 f ( x ) 同号, 则 x0 不是极值点.
y
1 x f ( x ) 1 . 1 x 1 x
在区间 (0,)上f ( x ) 0,函数单调递减， 故当x 0时f ( x ) f (0) 0,即
ln( 1 x ) x, ( x 0).
x 例6 证 明 不 等 式 : ln( 1 x ) x , ( x 0). 1 x
x ( 2) 设 f ( x ) ln( 1 x) ,则 1 x 1 1 x f ( x ) . 2 2 1 x (1 x ) (1 x )
在区间 (0,)上 f ( x ) 0,函 数 单 调 递 增 ， 故 当x 0时f ( x ) f (0) 0,即
x1 x2 1 f (1 ) 1 f( ) f ( x1 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) ( x2 x1 )2 2 2 2! 4 x1 x2 1 f ( 2 ) 1 2
f ( x2 ) f ( 2 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2! ( x2 x1 ) 4
b
x
9
（1）极值点的特征
由费马引理可知，
定理1(极值的必要条件) 设 f ( x) 在点 x0 可导，
且 x0 是 f ( x) 的极值点，则必有 f ( x0 ) 0 。
所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。
x0为函数的极值点 f ' ( x0 ) 0 f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
f ( x ) f ( x 0 ) , 则称 f ( x 0 ) 为 f ( x ) 的一个 极小值 .
y y
o
x0
x
o
x0
x
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值 的点称为极值点.
8
注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.
y
y f ( x)
ax
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
y | x|
y
o
x
O
x
12
可能的极值点：
(1) 驻点； (2) 不可导点.
问题：不可导点怎么找？ 初等函数的不可导点必是其导函数没有定义的点。
13
定理1 (极值的第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心邻域U ( x0 , ) 内可导. (1) 若 x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , y x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , x0 o x 则 x 0 为极大值点；
2 2
g( x) sec x - 1 tan x 0, x (0, ) 3 所 以 当x (0, )时 3 g( x ) g(0) 0 f ( x ) 0
f ( x ) f (0) 0.
24
三
曲线的凹凸性和拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
3
证 x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉格朗日定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
若在(a , b)内， f ( x ) 0,
则 f ( ) 0,
不可导点 x1 0 , 驻点 x2 1 , 列表讨论
2 3
x
f ( x )
f ( x)
(, 0)
0
无
极 大 值
( 0, 1)
1
(1, )
0
极 小 值
极大值 f (0) 0 ，
1 极小值 f (1) . 2
16
例4 求f ( x ) ( x 4)2 3 x 3 的单调区间和极值 .
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a, b]上单调增加；
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
4
(a , b)内 可 导 ， 则 函 数 在 (a , b)内 单 调 的 定理 设 函 数 在 充要条件为：
x
如果曲线 C : y f ( x ) ( x I ) 上任意两点 P1 , P2 的弦 P1 P2 总在弧 P1 , P2 之上，则称曲线 C 是凹的；
如果曲线 C : y f ( x ) ( x I ) 上任意两点 P1 , P2 的弦 P1 P2 总在弧 P1 , P2 之下，则称曲线 C 是凸的。
y
x0
x
(2) 如果 f ( x0 ) 0 , 则 x0 为极大值点； o y
(3) 如果 f ( x0 ) 0 , 则无法判断.
o
x0
说明：
x
(1) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点;
3 4 (2)当 f ( x0 ) 0 时, 失效,如: x , x 在 x 0 处 .
y
C : y f ( x)
P2
y
C : y f ( x)
P2 P1
o
P1Байду номын сангаас
x
o
凸
x
凹
定义 . 设函数
(1) 若恒有 图形是凹的; (2) 若恒有 图形是凸的 .
在区间 I 上连续 ,
则称
则称
y y y
连续曲线上凹凸性改变的点
称为拐点 .
o o o
xx xx x x 1 x x 1 22 x 1 x 1 22 x 2 2
（ 1）f ( x ) 0 (或 f ( x ) 0)， x (a, b);
(2) 在 (a, b)内的任何子区间上 f ( x ) 0.
特殊情性：
若函数在区间I 上恒有f ( x ) 0, 且只在 某些孤立点处等于零，则函数在整个区间 上单调递增.
5
例1
讨论函数y x 在R上的单调性 .
x1 x2 1 f (1 ) 1 f( ) f ( x1 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) ( x2 x1 )2 2 2 2! 4 x1 x2 ( x1 1 ) 2 x1 x2 1 f ( 2 ) 1 f( ) f ( x2 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) ( x2 x1 )2 2 2 2! 4 x1 x2 ( 2 x2 ) 2