八年级数学直角三角形2
八年级数学直角三角形2-人教版
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何易放眼看去，游人熊少，都挂着血淋淋的人头，多的甚至有十多颗。 游人熊不答，闭上眼睛，缓慢的说道：“薛兄弟，你如果不答应我的话，我说得到做得到，就跪死在这里！”语气坚定无比。 “顾兄弟，先不杀他！” 他唯一能感受到变化的，就是自己的伤口刹那之间不再留血，而且创口清凉无比，一摸刚才流血的地方，居然刹那之间就结出一块硬硬的疤。 “酒菜已经准备好了，老爷，吃完饭就去见寨主！”
“干吗？有什么奇怪的吗？” 何易在马上抱拳，随即调转马头，连抽三鞭，泼辣辣的向雪山老巢而回。 何易脸上露出歉疚的神色，对小红和小翠道：“你们也跟我一起！” “你说的话，我什么都不懂？” “薛大爷，您别说这么多，我知道你是个好人，我什么都知道的。”
这高傲的男人，全身的骨骼寸断，像一个破碎的麻袋，濒临死亡，躺在地下，眼睛中满是怀疑，看着脸上青一阵红一阵的水白云，嘶哑着嗓子：“师……师傅，真的是你？” 何易如何不清楚，刚才最惊险的，莫过于顾月楼的惊云一刀！ “啊……”被窝里刹那间传出一阵低沉的叫声。 他翻身站起，看着睡觉的地方：这下面，真有这个道士所说的眼珠子吗？ 一刹那间，何易已经在心中断定，这人的武功，和“独臂仙”宋贵、黄勇、陈猛男等三大护法不相上下。
“照妖眼既然如此神奇，那你为什么会被手下所算？” 叮叮当当！ 自从看到这一拳的威力之后，展九是小心了许多，他知道，自己本来还以力量自诩，常常和公牛角力，但要是中了何易一拳一脚，他铁定会筋骨断裂。 但好在众人感觉他意诚，宋护法一时之间也不好说什么。 何易身上的积雪开始融化，渐渐的有了呼吸。
2.6 直角三角形第2课时直角三角形的判定 浙教版数学八年级上册课件
（有两个角互余的三角形是直角三角形）.
C
A
D
B
C
A
D
B
1. 已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，
∠A=∠2. 求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中， ∠A+∠2 +∠1+∠B=180°，
∵ ∠A=∠2 ，∠B=∠1，
C
∴2(∠ A+∠B)=180°， 即∠ A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. A
直角三角形的判定定理
A
①文字语言： 有两个角互余的三角形是直角三角形.
②几何语言：
∵在△ABC中， ∠A＋∠B＝90 ° ，
∴ △ABC为直角三角形.
C
B
做一做：
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
（1）有一个外角为90°
（2）∠A=36°，∠B=54°
C
（3）如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1.
C
2
∴BC=EB，
∵ ∠1=∠2，∠2+∠DBE=90° ，
1
∴∠1+∠DBE=90°，
A
B
D
∴∠CBE=180°-（∠1+∠DBE）=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形.
这节课我们学到了什么？
判定一个三角形是直角三角形的方法： ① 有一个角是直角的三角形是直角三角形； ② 有两个角互余的三角形是直角三角形.
12
D
B
(有两个角互余的三角形是直角三角形).
2. 已知，如图，A、B、C、D同在一条直线上. ∠A=∠D= 90°，AC=BD，∠1=∠2. 求证：△BCE是等腰直角三角形.
八年级下册数学直角三角形的性质(2)
A
1 2
AB
B D
1 分析：要判断 BC= 2 1 BD=BC，那么 BC= 2
AB,可以考虑取 AB 的中点，如果如果
B
C A
四、达标检测，练习反馈： 课本第 6 页练习 1、2 五、反思小结，拓展提高 直角三角形有哪些性质？运用时要注意什么？ 六、作业布置
D
C
AB，由于∠A=30°,所以∠B=60°,
B D
B D C A
C
A
三、 应用迁移，巩固提高 例 1、 在△ABC 中，△C=90°，∠B=15°，DE 垂直平分 AB，垂足为点 E，交 BC 边于 点 D，BD=16cm，连结 AD， （1）求∠EAD 与的度数∠ADC 的度数； （2）求 ADE
O K
B D C
为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题. 例 2 如图在△ABC 中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD⊥AC 于点 A，BD=3，求（1）∠B、 ∠C、∠BAD 的度数； （2）AD、DC、BC 的长
文桥中学
课题：直角三角形的性质（2） 课型：预习、展示、反馈 课时：一课时
八 年级
数学
证明：
科教、学案
主备人：
时间：2、17
学习目标：1、掌握直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜 边的一半以及逆定理。 2、灵活运用直角三角形的性质。 重点：掌握直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 以及逆定理 难点：掌握直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 以及逆定理 一、 创设情境，导入新课 1 直角三角形有哪些性质？ (1)两锐角互余； （2）斜边上的中线等于斜边的一半 2 按要求画图： （1）画∠MON，使∠MON=30°， (2)在 OM 上任意取点 P，过 P 作 ON 的垂线 PK，垂足为 K， 量一量 PO,PK 的长度，PO,PK 有什么关系？ (3) 在 OM 上再取点 Q,R，分别过 Q,R 作 ON 的垂线 QD,RE,垂足分别为 D,E，量一量 QD，OQ，它们有什么 关系？量一量 RE,OR，它们有什么关系？ 由此你发现了什么规律？ 直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它 所对的直角边等于斜边的 二、 合作交流，探究新知 1 、探究直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的 一半。 （课本第 4 页） 如图，Rr△ABC 中，∠A=30°，BC 为什么会等于 。 2、探究直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于 30°。 为什么？ （提示：可以逆运用上述方法，课本第 5 页） 证明：
八年级数学直角三角形2
３０ ゜
Ｂ
２．如图：它是人字屋架设计图，其中 ＡＢ＝ＡＣ＝５米．Ｄ是ＡＢ的中点， ＡＥ⊥ＢＣ．如果∠ＢＡＣ＝１２0゜, 求ＡＥ和ＤＥ的长度． Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
３．如图： ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＤＣ
＝９０ ° ，Ｅ是ＡＣ的中点，ＥＦ⊥ＢＤ 于Ｆ．试说明Ｆ是ＤＢ的中点．
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｆ
Ｄ
Ｃ
4.在Ｒｔ△ABC中, ∠ ACB= ９０ °,CH 是斜边AB上的高,CM是AB上中线,CT是
∠ BCA的平分线.试说明∠ 1= ∠ 2.
C
12
A
M TH
B
１．直角三角形斜边上的中线等于斜边的＿＿． ２．在Rt△ABC中∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝３０， ＡＢ＝４厘米．则ＡＣ＝＿＿＿厘米． ３．在Rt△ABC中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的中线，
若ＣＤ＝３．５厘米，则ＡＢ＝＿＿厘米．
４．在三角形ＡＢＣ中ＣＤ是ＡＢ边上的中 线．且ＣＤ＝ 1 ＡＢ．则△ABC是＿＿三角形．
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上节课学习的直角三角形知识: １．直角三角形的两个锐角互余． ２．有两个角互余的三角形是直角三角形． ３．等腰直角三角形的两个锐角都是４５ ゜
操作实践，总结规律．
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利 用圆规比较中线与斜边的一半的长短．你发现了什 么？
（请所有同学把结果都说出来．）
总结：直角三角形性质：
Ａ
直角三角形斜边上的中线
Ｄ
等于斜边的一半
∵ ∠C= 90゜
Ｂ
Ｃ
ＣＤ是ＡＢ边上的中线．
1
∴ＣＤ＝ 2 ＡＢ（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）
湘教版八年级数学下册教学课件(XJ) 第1章 直角三角形 第2课时 勾股定理的实际应用
解：(1)在Rt△ ABC中，
A
别踩我,我怕疼!
C 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
∴这条“径路”的长为5米. （2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步). B
二 利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A 不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾 小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股 定理有关，将实际问 题转化为数学问题
典例精析 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能
否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，
A A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
能力提升： 5. 为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然 后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂， 树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一直角三角
形模型，如图.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
AB AC2 BC2
62 82
B
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
直角三角形的判定2
14.1.2直角三角形的判定宁强县广坪中学 唐渊源教材分析：这节内容选自《华东师大版》义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十四章《勾股定理》中的第二部分。
勾股定理的逆定理来判定直角三角形是几何中一个非常重要的定理，它是对直角三角形的再认识，也是判断一个水凝胶型是不是直角三角形的一种重要方法。
也是教会学生“数形结合”这一方法的重要环节。
学情分析：八年级学生正是由实验几何向推理几何过度的重要时期，通过勾股定理逆定理的探索，培养学生的分析思维能力，发展推理能力。
在教学中培养类比、转化，从特殊到一般的思想方法。
三维目标：知识与能力：（1）探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理（2）会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形并应用逆定理解决实际问题。
过程与方程：（1）经历直角三角形判别条件的探究过程，休会数形结合。
（2）通过勾股定理逆定理及以前知识综合起来运用，提高综合运用知识的能力。
情感态度与价值观：（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受。
（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。
教学重点：理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用。
教学难点：理解勾股定理的逆定理。
教学关键：以古埃及人的思考方法，来领会勾股逆定理，同时动手验证，体验勾股定理的逆定理。
教学用具：PPT课件，三角尺、圆规教学方法：以学生为主体的讨论探究法教学过程一、创设情境，导入课题1、一个木匠要在所做的家具上判断一个角是否是直角，你们能帮助这位木匠解决这个难题吗？（学生回答：利用90°）如果只有尺，没有直角，你能办到吗？2、故事二：古埃及人结绳古埃及人曾用下面的方法得到直角：古埃及人把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第８个结钉牢（拉直绳子）。
你知道这其中的道理吗？学生讨论：引出新课——直角三角形的判定。
二、观察探讨，研究新知1、操作与探索：[活动] 画一个三角形,使其三边长（a＜b＜c）分别为:（1）5cm, 12cm, 13cm； （2） 6cm, 8cm, 10cm ；（3）3cm, 4cm，5cm；再用量角器量一量最大的角，判断它们是否是直角三角形？这几组数都满足 ，且是直角三角形。
初二-第02讲-直角三角形(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-直角三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握直角三角形的性质与判定方法；②进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个体系搭建命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
5、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
考点一：直角三角形全等的判定例1、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点【解析】选D．例2、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后△CAP与△PQB全等．【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．例3、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【解析】（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等【解析】选：D．2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BDC．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．跟据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35°B．55°C．60°D．70°【解析】∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D．4、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（）A．5 B．6C．7 D．8【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°．∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10．∵AD=6，∴CD===8．故选D．5、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA．（只需写出符合条件一种情况）【解析】∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠C=∠D=90°∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=60°或90°时，△AOP为直角三角形．【解析】若∠APO是直角，则∠A=90°﹣∠AON=90°﹣30°=60°，若∠APO是锐角，∵∠AON=30°是锐角，∴∠A=90°，综上所述，∠A=60°或90°．故答案为：60°或90°．7、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于30°．【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠B=90°﹣∠A=30°．故答案为：30°．8、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是a2．【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD，∵底角∠B=30°，∴AD=AB=a，由勾股定理得，BD==a，∴BC=2BD=a，∴三角形的面积=×a×a=a2．故答案为a2．9、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【解析】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°．过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，求△ACD的周长．【解析】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°，∴∠B=∠ACB=15°，∴∠DAC=2∠B=30°．又∵CD⊥BA，∴CD=AC=1，∴根据勾股定理得到AD==，∴△ACD的周长=AD+CD+AC=+1+2=+3．答：△ACD的周长是+3．➢课后反击1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．6个B．5个C．4个D．3个【解析】故选B2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AASC．SSS D．ASA【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A．3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（）A．90°B．135°C．120°D．45°或135°【解析】如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，∴∠EOD=180°﹣45°=135°，故选B．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴AC=AB，又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，∴AD=BD∴AC=AD，∵∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA=60°．5、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE 的长为（）A．10 B．6C．8 D．5【解析】∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵E为AC的中点，∴DE=AB=×10=5，故选D．6、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC=DE．【解析】AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= 10°．【解析】∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．8、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．9、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．【解析】AC=ED，理由如下：∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°．∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．∴∠A=∠CEF．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（ASA）．∴AC=ED（全等三角形的对应边相等）．10、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．（1）求∠DCE的度数．（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．【解析】∵∠B=30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°﹣∠B=60°．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时教学课件湘教版
一个门框尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框C通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通2过m．
∴ 只能试试斜着能否通过，
对 要角 求线 出AACC的 的A长 长1最 ，m大 怎， 样B因 求此呢需？
3.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺
B
地毯，地毯的长度至少需____7____米
C
A
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离 树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处， 距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高____1_5______米.
5．在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A ，∠ B， ∠C 的对边分别为 a,b,c. (1) 已知: a=5, b=12, 求c. c=12. (2) 已知: b=6,•c=10 , 求a. a=8. (3) 已知: a=7, c=25, 求b. b=24. (4) 已知: a=7, c=8, 求b . b= 15.
A
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，
D
∴ AC2+ BC2＝AB2， 2.42+ BC2＝2.52，
∴BC＝0.7m. 由题意得：DE＝AB＝2.5m，
C
BE
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m.
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°， ∴ DC2+ CE2＝DE2 ，22+ CE2＝2.52， ∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.
直角三角形(第2课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∠C′=90 °,B′C′=BC，A ′B ′=AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到
Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
操作：已知一条直角边和斜边，作一个直角三角形
已知：线段a，c，直角α 求作：Rt△ABC，使∠C=∠α ，BC=a，AB=c
作图步骤
N
A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
已知：如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°, AC=A′C ′, AB=A′B′ 求证：△ABC≌△A′B′C′ .
证明：∵△ABC中，∠C=90°
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）
A
A′
同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2 .
∵AB=A′B′，AC=A′C′， ∴BC=B′C′.
作图步骤
N
A
B
C
M
B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
作图步骤
N
A
A′
B
C
M
B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
作图步骤
猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
N
A
A′
B
C
M
B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全本题
没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
五、课堂小结
斜边、 直角边
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等.
八年级数学直角三角形2
6s咨询
6s咨询 6S咨询服务中心6S管理咨询公司概述：开展6S管理改善提案活动，可鼓励员工主动、积极地参与持续改善活动，实现员工的自主管理，从而提升员工整体素质。 6s咨询 6S标准化管理模式如何建立 6s咨询 (1)6S管理改善提案的定义 6s咨询 提案是改善最有效的措施之一发挥员工的构想，针对6S标准化管理模式活动管理中的问题，提出创新的意见或方法，从而不断提高6S标准化管理模式活动管理效果。改善活动是全员性的，因此，应鼓励全员参与。 6s咨询 (2)6S管理改善提案的作用 6s咨询 ①顺利解决6S标准化管理模式活动中的各种问题。 6s咨询 不同部门和岗位人员针对其工作实际，提出各种具有创新性和实效性的6S管理改善提案，能够有效解决6S标准化管理模式活动中的问题。 6s咨询 ②培养各阶层人员发现问题、解决问题的意识。 6s咨询 深入持久地开展6S管理改善提案活动，可有效地提高各阶层人员自我改善的意识，从而发现问题，改善问题。 6s咨询 ③增进各阶层人员的交流沟通。 6s咨询 通过开展6S管理改善提案活动，可增加管理人员与现场人员接触的机会，增进双方的了解和交流，有利于形成良好的处理问题的氛围。 6s咨询 (3)6S管理改善提案的形式 6s咨询 对于6S管理改善提案，不同的公司有不同的形式，只要设计的提案形式方便实用即可。6S管理改善提案主要包括以下几部分。 6s咨询 ①现在的问题点：描述现在的状况，要简明扼要。同时，配以图表说明。 6s咨询 ②提案改善点：阐述问题解决的方法、改善达到的标准要求，以及预期达到的效果。 6s咨询 ③评审小组的评价：提案评审人员根据有关要求，公正地评价提交的文字6S管理改善提案，以及确定奖励等级。 6s咨询 ④二次评审：经一次评审合格后，在实施中确认有优秀效果的，经二次评审，确定最终的奖励等级。 6s咨询 (4)6S管理改善提案的内容 6s咨询 6S标准化管理模式改苦提案内容通常有以下几个方面。 6s咨询 ①品质。 6s咨询 ♦是否因质黄检脸工作疏忽.出现不合格。 6s咨询 ♦如何提高产品合格率。 6s咨询 ♦是否因物朴问题，导致不合格。 6s咨询 ②成本。 6s咨询 ♦如柯消除等待、报运和加工等不需要动作。 6s咨询 ♦如柯提高材料的利用率。 6s咨询 ♦如柯减少库存。 6s咨询 ③效率。 6s咨询 ♦如柯改进操作方法，提高生产效率。 6s咨询 ♦如何进行设备和物料的摆放。 6s咨询 ④设备。 6s咨询 ♦如柯降低设备的故障率。 6s咨询 ♦如柯改进设备性能，提高产品品质。 6s咨询 ⑤其他。 6s咨询 ♦如何消除工作中的混乱局面，提供良好的工作环境。 6s咨询 ♦物品如何摆放才合理。 6s咨询 ♦机械设备是否有防护罩。 6s咨询 (5)6S标准化管理模式6S管理改善提案的激励与评审方法 6s咨询 6S标准化管理模式6S管理改善提案活动，应建立具有可操作性的审查标准和奖励制度，明确规定提交、评审、奖励的办法，给参与者一定的物质和精神奖励。 6s咨询 企业推行5S管理工作，实现企业的5S管理是当前企业重要的推行目标，企业在推行5S管理工作的过程中要明确5S管理的八大推行要诀。 6s咨询 5S管理活动 6s咨询 要诀一：全员参与，其乐无穷。 6s咨询 1.5S的推动要做到企业上下全体一致，全员参与。 6s咨询 2.经理、科长、主任、班组长要做到密切地配合。 6s咨询 3.小组活动，是其中的一个环节。 6s咨询 因为推行5S的是一个车间，一个部门。在装配车间，主管就应该告知员工，或教育员工整理、整顿、清扫的重要性，然后再进一步地告知每个人，要养成一种规范化，怎么样去进行整理、进行整顿、进行清扫。每一个人都能够做好以后，这个小组就可以做得更好。所以5S的活动，第一， 6s咨询 要诀二：培养5S的大气候。 6s咨询 1.5S的推动，不要秘密地行动，也不要加班加点来做，要让全员认同。 6s咨询 5S是一个非常简单的工作，只要大家知道整理、整顿、清扫，然后再进一步地提出方案，如何让大家做得更好，就叫清洁。 6s咨询 2.充分地利用口号，标语，宣传栏。 6s咨询 让每个员工都能明白5S推动是公司提升企业形象、提高品质，替公司节约成本的一项最好的活动，也是企业迈向成功的重要途径。所以5S的一些口号、标语和宣传栏要让每个人都了解，5S是非常简单但又每天时刻都要做好的五件工作。 6s咨询 3.每个月要举行一次全员大会，厂长或总经理要表态。 6s咨询 要诀三：领导挂帅。 6s咨询 1.最高领导要抱着我来做的决心，亲自出马。 6s咨询 2.交代每一个部门的经理或者科长要大力地推动。 6s咨询 3.在推动的会议上，领导要集思广益，让大家积极地提出怎么做会更好。 6s咨询 要诀四：要彻底理解5S精神。 6s咨询 1.为什么挂红牌了，这不好，有改善的必要吗？应该避免说这种质问口气的话。 6s咨询 2.5S推行要说明精神要点，让每个员工都毫无疑问地去执行。 6s咨询 3.在实行过程中，让大家参与，参观学习效果显著的5S的样板场所，看哪个班组做得最好，大家相互观摩，或给指导，或提出更好的改进意见。 6s咨询 要诀五：立竿见影的方法。 6s咨询 1.整理的推进过程可以采取红牌作战的方法，也就是针对问题点，亮红灯，亮红牌的具体方法，判断基准要明确。 6s咨询 2.整顿可以使用看板管理的方法，把形式和内容展示出来，让大家都能一目了然。 6s咨询 3.照片是一种保持记录的良好方法。 6s咨询 4.录像也是一种解决问题、说服观众的一种省力工具。 6s咨询 5.你可以量化，采用适当的方法将正在做和已取得进步的工作进行量化，这是很重要的。 6s咨询 要诀六：领导要巡视现场。 6s咨询 1.巡视过程中要指出哪里做得好，哪里做得还不够。 6s咨询 2.巡视完毕后，要召开现场会议，将问题点指定专人及时地跟进解决。 6s咨询 3.确认问题点的改进进度，担当者要细心研究改进方法，最终成果再向领导汇报。 6s咨询 要诀七：上下一心，彻底推进。 6s咨询 领导要有一种雷厉风行的良好作风，确立推进的体制和方式，这样才能上下齐心。全公司展开红牌作战，谁做错了就给予指正。 6s咨询 要诀八：以5S作为改善的桥梁。 6s咨询 通过推行5S来达到降低成本，提升产品质量的目的。生产更流畅，要从根本上彻底地解决问题。所以说在实际推行过程中，很多企业都发生过下面的现象："一紧二松，三垮台，四重来"的现象，所以必须要坚持推行5S。 6s咨询 5S管理工作是企业的一项重点工作，推行5S管理工作是当前企业发展的重要前提。 6s咨询 很多公司积极引入5S管理，认为只要做了5S管理就可以带来收益，而实际效果并不理想，原因在于他们对5S管理有很多错误的认识，那么，这些常见的错误认识具体有哪些呢? 6s咨询 第一，5S就是简单的"大扫除"。 6s咨询 5S管理并不仅仅大扫除，做好卫生工作，而是一个系统的管理方法，要应用各种技巧，建立管理体系保证管理方法的实行，达到提高员工素质最终目的，使员工革除马虎之心，养成良好的习惯。 6s咨询 认为5S管理就是大进大扫除，做做卫生，这是造成5S管理失败的原因之一，有一家公司老总这样讲过，我们的企业不需要再继续做5S了，我看现在卫生搞的不错了，注定这家公司的5S只能停留在做卫生这个层面，5S管理的作用无法发挥出来，最终宣告失败。 6s咨询 第二，5S管理没有达到预期效果。
冀教版八年级数学上册17.2《直角三角形》 (共22张PPT)
么PD等于( )
4 A．1
5 B．2
6 C．4 7 D．8
〔来自?点拨?〕
知3－练
2在Rt△ABC中，∠A＝30°，那么以下结论正确 的是( D ) A．BC＝ 1 AB B．BC≠ 2AB C．当∠B1＝90°时，BC＝ AB D．当∠C2＝90°时，BC＝ 1 AB 2 1 2
〔来自?典中点?〕
C
又∠A+∠B=90º，且∠A=30º，
∴∠B=60º，
∴△BCD是等边三角形， ∴ BC CD BD 1 AB.
2
60º B
30º A
直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等 于30º，那么它所对的直角边等于斜边的 一半.
用几何语言表示为：
C
在Rt△ABC中，∠C=90º，
∵ ∠A=30º，
直角三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角互余，那么 这个三角形是直角三角形.
小试牛刀
(1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一 个锐角度数为 38° .
(2)在Rt △ ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么 ∠A= 60 ° ,∠B= 30 ° .
(3)如下图,在△ ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边 AB上的高,
D
C
A
E
B
知识点 3 含30°角的直角三角形的性质
知3－导
证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半.
动脑筋？
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90º，假设 ∠A=30º那么BC与斜边AB有什么关系呢？
取线段AB的中点D，连接CD，
即CD是Rt△ABC斜边上的中线.
那么CD=AD=BD.
直角三角形八年级数学下学期重要考点精讲精练 (2)
1.3直角三角形直角三角形角的性质定理与判定定理题型1：直角三角形的性质与求角度1.在一个直角三角形中，一个锐角等于56°，则另一个锐角的度数是（）A．26°B．34°C．36°D．44°【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B﹣∠A＝10°，则∠A的度数为（）【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝．题型2：利用互余证明直角三角形2.已知：如图，BD⊥AC，E为垂足，△ABE的中线FE的延长线交CD于点G，∠1＝∠2，求证：△CGE是直角三角形．【变式2-1】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，∠1＝∠B，求证：△ABC为直角三角形．【变式2-2】如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．题型3：利用直角三角形的性质判定垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B，求证：CD⊥AB．【变式3-1】如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．（1）求证：CD⊥AB；（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B，求证：CD⊥AB．勾股定理① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.题型4：勾股定理求线段长度4.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点．连接CD ，若AC ＝4，BC ＝3，则CD 的长度是（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．5【变式4-1】如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，AC ＝10，CD ＝8，BC ＝3AD ． 求BC 的长．【变式4-2】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15，CD ⊥AB 于点D ． 求：（1）CD 的长； （2）BD 的长．题型5：勾股定理的证明5.如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，D ，E ，C 三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理．a b c 、、t at bt ct 、、【变式5-1】一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a．BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′C的面积证明勾股定理．【变式5-2】如图，已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，求证：a2+b2＝c2．题型6：勾股定理的实际应用6.如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式6-1】如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 25m ，结果他在水中实际划了65m ，求该河流的宽度．【变式6-2】如图，一架长5米的梯子AB ，顶端B 靠在墙上，梯子底端A 到墙的距离AC ＝3米． （1）求BC 的长；（2）梯子滑动后停在DE 的位置，当AE 为多少时，AE 与BD 相等？勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.题型7：利用勾股定理判定直角三角形7.如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A ，B ，C 都在格点上，∠BAC 是直角吗？请说明理a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ≠+222a b c +<222a b c +>c由．【变式7-1】如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．【变式7-2】如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足|a﹣3|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，判定△ABC的形状．互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.注意：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.题型8：互逆命题的改写及判定真假8.下列命题的逆命题是假命题的是（）A．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．如果a＝b，那么a2＝b2D．在△ABC中，如果BC2+AC2＝AB2，那么∠C＝90°【变式8-1】下面各命题都成立，那么逆命题成立的是（）A．邻补角互补B．全等三角形的面积相等C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形【变式8-2】命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是；该逆命题是命题（填“真”或“假”）．"斜边、直角边"（"HL"）定理1.定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成"斜边、直角边"或"HL"）.2.书写格式如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中判定两个直角三角形全等常用的思路方法题型9：“斜边，直角边（HL）”判定三角形全等9.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）【变式9-1】如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．【变式9-2】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．题型10：化整为零求线段长度10.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：CD⊥AB．【变式10-1】如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则求CD的长．【变式10-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，求CD的长．题型11：割补法求面积11.如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．【变式11-1】如图，在边长均为1的5×5正方形网格中，A，B，C，D均在格点上．（1）求∠ADC的度数．（2）求四边形ABCD的面积．【变式11-2】如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD＝，试求四边形ABCD的面积．题型12：折叠问题12.如图，长方形纸片ABCD中，BC＝，DC＝1，将它沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，则图中阴影部分的面积是多少？【变式12-1】长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【变式12-2】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB ＝8cm，求图中阴影部分的面积．题型13：立体图形中的最短距离13.如图，圆柱的高为10cm，底面半径为4cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁至少要爬行多少路程才能食到食物？【变式13-1】如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是多少？【变式13-2】（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？。
八年级数学上第二章《直角三角形》
第7讲直角三角形（）一、知识要点1、直角三角形的性质（1）两锐角互余.（2）斜边上的中线等于斜边的一半.（3）30°的角所对的直角边等于斜边的一半.（4）ab=ch（a，b，c分别是直角三角形的三边，h为斜边上的高）（5）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则∠ACD=∠B，∠DCB=∠A 2、直角三角形的判定（1）两锐角互余的三角形.（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半.（3）如图，AD是△ABC的高，且∠DAC=∠B.（4）证明一个三角形与另一个直角三角形全等.二、例题精选例1.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AF平分∠BAC，分别交CD，BC于点E，F.求证：∠CEF=∠CFE例2.如图，已知AD是△ABC的高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于点G，求证：（1）点G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE.例3、如图，AB，CD交于点E，AD=AE，CB=CE，点F，G，H分别是DE，BE，AC的中点.求证：FH=GH.CACAE F例1AEGB D C例2DA H CBFGE例3例4.如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， D 是AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别与直线AC ，BC 交于E ，F. （1）当点E ，F 分别在AC ，BC 上时（如图1），求证：ABC CEF DEF S S S ∆∆∆=+21；（2）当点E ，F 分别在AC ，CB 延长线上时（如图2）， 则（1）结论是否还成立？请说明理由.例5.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分 ∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 交于点F ，H 是边BC 的中 点，连接DH ，与BE 交于点G.（1）求证：CE=21BF ；（2）CE 与BG 的大小关系如何？试说明理由.例6.已知P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，点Q 是斜边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，试写出QE ，QF 的数量 关系和BF ，AE 的位置关系：； （2）如图2，当点P 在线段AB 上但不与点Q 重合时，试判断QE ，QF 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）延长线上时，此时（中的结论是否仍成立？请画出图形给予证明.ADEC F B例4图1ADEC B F 例4图2A GDF E B H C 例5 B例7.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发， 沿AB 方向以2cm/s 的速度向终点B 运动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动.问△PQC 成为以QC 为底边 的等腰三角形时候，则运动时间t 的值为多少？例8.已知，如图点D 是线段AB 上一点（不与点A ，B 重合），CD ⊥AB 于D ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD.（1）如图1，当点D 是线段AB 的中点时，试判断∠ACE 与 ∠BCF 的数量关系，并给予证明；（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，（1）中的结论 是否发生变化？写出你的猜想并证明.C AD BE 图2 C A D B E 图1F 例7学生练习一．选择题（共12小题）1．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 2．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，则下列各图中的直角三角形与Rt △ABC 全等的是（ ） 3．如图，△ABC 中，∠C=45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD=DB=DE ，AE=1，则AC 的长为（ ）A.5 B. 2 C. 3 D. 24．如图，BD 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，D 为垂足，∠C=55°，则∠ABC 的度数是（ ） A. 35° B. 55° C.60° D. 70°5．已知如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD=ED ，AD=2，BC=3，则△ADE 的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定6．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥CE 于D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 27．如图所示，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB 于R 点，作PS ⊥AC 于S 点，若AQ=PQ ，PR=PS ，下面三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ，正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③8．在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=8，点F 是AB 的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，则四边形CDFE 的面积是（ ） A. 32 B. 16 C. 28 D. 无法确定9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；A. B. C. D. 第3题 第4题第5题 第6题第7题 第8题 第9题 第10题②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①③C. ①③④D. ②③④10．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对； （2）△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；（3）CD+CE=OA ；（4）AD 2+BE 2=2OP •OC ．其中正确的结论有（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；…；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是（ ） A.131-n B. n 31 C. 131+n D. 231+n 12．如图，已知∠AOB=45°，A 1、A 2、A 3、…在射线OA 上，B 1、B 2、B 3、…在射线OB 上，且A 1B 1⊥OA ，A 2B 1⊥OA ，…A n B n ⊥OA ； A 2B 2⊥OB ，…，A n+1B n ⊥OB （n=1，2，3，4，5，6…）．若OA 1=1，则A n B n 的长是（ ） A.n 2 B.()n2 C. n2D. 12-n二．填空题（共8小题） 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC= 度．14．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为9，则BE= ． 15．判断题：（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等； （2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等 ．16．如图，三角形ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你填加一个适当的条件 ，使△AEC ≌△CDA ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，则DE= cm ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= 时，△ABC 和△PQA 全等．第13题 第12题第14题 第16题 第17题 第18题 第20题第19题 第11题 D 2 C 2 D 1 C 119．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．20．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．三．解答题（共5小题）21．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？22．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）连接BE，设DC=a，求BE的长．23．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．24．（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；①在图1中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：．（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2，连接CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．25．同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_________，周长为．（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为．（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．直角三角形训练参考答案例1.法一∵∠3=∠1+∠5 ∠4=∠2+∠B∠1=∠2 ∠B=∠5 ∴∠3=∠4 法二：∠1+∠4＝90° ，∠2+∠AED ＝90°∠1=∠2，∴∠3=∠4＝∠AED例2.（1）DE 是Rt △ADB 斜边上中线，∴DE=BE=CD ∵DG ⊥CE ∴G 为CE 中点.（2）由（1）∠B=∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE例3.由等腰三角形得，AF ，CG 为高， 又H 为中点，∴HF=HG=21AC例4.（1）ABC DCBCEF DEF S S S S ∆∆∆∆==+21（2）D BFE CD E D BFE D BF D EF S S S S S +=+=∆∆∆ =CEF ABC CEF DCB S S S S ∆∆∆∆+=+21例5.（1）△ADC ≌△BDF∴BF=AC=2CE（2）连接CG ，∵DH ⊥BC ∴BG=CG 》CE例6.（1）平行，相等（2）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ∴FQ=EQ （3）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ ∴FQ=EQ例7.解例8.（1）∴△ACE ≌△BCF ∴∠ACE=∠BCF（2）∵△ABE ≌△BCD ∴BE=BC ∠ABE=∠BCD ∴∠EBC=∠ABE+∠DBC=∠BCD +∠DBC=90°∴△BEC 为等腰直角三角形.同理，△AFC 为等腰直角三角形. ∴∠ACE=45°-∠ECF=∠BCFCA E F例1 1 23 4 5D A H CBF G E 例3ADEC F B例4图1AD E C B F例4图2AEGB D C例2AG DFE B H C 例5A D BE 例8图2学生练习：一．选择题：CADD ACCB CCBD9、①连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本选项正确；②∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，∴DE=DF=4，故本选项错误；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC故本选项正确；④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，故本选项正确；综上所述正确的有①③④．10、（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．10、结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，11、过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长．12、由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，OA1=1，A1B1=A1A2=1，B1A2=B1B2=，A2B2=A2A3=2，B2A3=B2B3=2，A3B3=A3A4=4，…，从中发现规律为A n B n=2A n﹣1B n﹣1，其中A1B1=1，所以A n B n=2n﹣1．二、13、45°14、 3 15、正确；正确；错误；正确；正确.16、CE=AD或∠DAC=∠ECA或∠BAC=∠ACB（正确即可）17、7 18、5或1019、连接AP在Rt△ASP和Rt△ARP中PR=PS，PA=PA所以Rt△ASP≌Rt△ARP所以①AS=AR正确因为AQ=PQ所以∠QAP=∠QPA又因为Rt△ASP≌Rt△ARP所以∠PAR=∠PAQ于是∠RAP=∠QPA所以②PQ∥AR正确③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故填①②20、①②④∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD 正确∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ACB=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC 正确∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE．正确而③不能证明，三、21、略22、（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，∴AC=CE，∠ACE=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=60°，∵AC=CE，AC=BC，∴CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=AC．如图，在△ACD中，过点D作DM⊥AC于点M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，∴DM=MC=a．在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=a，∴DN=2DM=a，NM=DM=a．∵∠ADN=∠CAD=15°，∴AN=DN=a，∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，∴BE=AC=a．23、（1）证明：连接AD∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：四边形AEDF面积不变．理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED∴S△BDE=S△ADF，而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD∴S四边形AEDF不会发生变化．（3）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF=DE，∠ADF=∠BDE∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形24、BF⊥CE，BF=CE（1）①画图②结论是：BF⊥CE，BF=CE．（2）如图，①证明BF=CE∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABF=45°∵DF⊥BF∴∠F=90°∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形∴cos∠FBD=∴BF=又∵Rt△ABC≌Rt△EDA∴BC=AD，BA=DE设BC=AD=a，BA=DE=b∴BD=a+b∴BF=过E作EH∥BD交CB的延长线于H∵∠CBA=90°，∠ADE=90°∴∠CBA=∠ADE∴CH∥DE∴四边形BHED为矩形∴BH=DE=b，HE=BD=a+b∴CH=a+b∴△HCE等腰直角三角形由勾股定理，得CE=∴BF=CE②证明BF⊥CE∵Rt△CHE是等腰直角三角形∴∠HCE=∠HEC=45°∵∠FBC=45°∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE∴BF⊥CE，BF=CE仍然成立25、（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB===4，∵M是AB的中点，∴AM=2，∵∠ACM=45°，∴AM=MC，∴重叠部分的面积是=4，∴周长为：AM+MC+AC=2+2+4=；（2）∵叠部分是正方形，∴边长为×4=2，面积为2×2=4，周长为2×4=8．（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，∴MH=BC，MG=AC，∴MH=MG，又∵∠NMK=∠HMG=90°，∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，∴∠HMD=∠GME，在△MHD和△MGE中，∵，∴△MHD≌△MGE（ASA），∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4；∴阴影部分的面积是4；（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，∴四边形MGCH是矩形，∴MH=CG，∵∠A=45°，∴∠AMH=45°，∴AH=MH，∴AH=CG，在Rt△DHM和Rt△EGM中，，∴Rt△DHM≌Rt△EGM．∴GE=DH，∴AH﹣DH=CG﹣GE，∴CE=AD，∵AD=1，∴DH=1，CE=1，CD=4﹣1=3，∴DM=∴四边形DMEC的周长为：CE+CD+DM+ME=1+3++=4．故答案为：4，，4，8，4。
八年级数学下三角形的证明1.2直角三角形第2课时直角三角形全等的判定习题北师大
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，BD，CE 相交于点 O，AO 的延长线交 BC 于点 F， 则图中全等的直角三角形有( D ) A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对
8．如图，H 是△ABC 的高 AD，BE 的交点，且 DH＝DC.下列 结论： ①BD＝AD；②BC＝AC； ③BH＝AC；④CE＝CD. 其中正确的有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD.
∴∠BCD＝∠ACE. AC＝BC，
在△ACE 和△BCD 中，∠ACE＝∠BCD， CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝BD.
(2)如图②，若 AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接 写出图②中四对全等的直角三角形．
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定
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1 见习题 2 B
3C
4C
5A
6 见习题 7 D
8B
9C
10 D
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
1． __斜__边____和一条__直__角__边____分别相等的两个直角三角形全 等，可以简写成“__斜__边__、__直__角__边____”或“___H__L___”．
精彩一题 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/272022/3/272022/3/273/27/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/272022/3/27March 27, 2022
北师大版八年级(下)数学第2讲：直角三角形(教师版)——王琪
直角三角形一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余。
2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4. 勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。
5. 射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
6. 常用关系式AB×CD=AC×BC二、直角三角形的判定1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3. 勾股定理的逆定理如果三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，那么这个三角形是直角三角形。
1．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；而B构成了AAA，不能判定全等；D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．故选：D．2．不能使两个直角三角形全等的条件（）A．一条直角边及其对角对应相等B．斜边和一条直角边对应相等C．斜边和一锐角对应相等 D．两个锐角对应相等解：A、符合AAS，正确；B、符合HL，正确；C、符合ASA，正确；D、因为判定三角形全等必须有边的参与，错误．故选D．3．下列说法中正确的是（）A．斜边相等的两个直角三角形全等B．腰相等的两个等腰三角形全等C．有一边相等的两个等边三角形全等D．两条边相等的两个直角三角形全等解：A、全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行，故本选项错误；B、只有两条边对应相等，找不出第三个相等的条件，即两三角形不全等，故本选项错误；C、有一边相等的两个等边三角形全等，根据SSS均能判定它们全等，故此选项正确；D、有两条边对应相等的两个直角三角形，不能判定两直角三角形全，故选项错误；故选：C．4．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；故选C．5．如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．证明：∵BF=EC，∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，∵∠A=∠D=90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．6．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt △ABF≌Rt△DCE．证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．7．在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．解：如图，在Rt△ADC与Rt△CBA中，，∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），∴DC=BA．又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt△ABE与Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．8．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB=∠DCB∴OB=OC∴△OBC是等腰三角形9．如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．基础演练1．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35° B．55° C．60° D．70°解：∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D．2．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形 B．∠1=∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2=∠A解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；B、应为∠1=∠B、∠2=∠A；故本选项错误；C、∵∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；D、∵∠2=∠A；故本选项正确．故选B．3．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是（）A．18° B．36° C．54° D．72°解：设这个锐角度数是x，则另一个锐角度数是（90﹣x）°，由题意得，x=4（90﹣x），解得x=72°，所以，这个锐角的度数是72°．故选D．4．在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是（）三角形．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解：∵∠B与∠C互余，∴∠B+∠C=90°，在△ABC中，∠A=180°﹣（∠B+∠C）=180°﹣90°=90°，∴△ABC是直角三角形．故选B．5．如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，∠2与∠A有什么关系？请说明理由．解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠2+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠2=∠A．巩固提高6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED=55°．求∠A的度数．解：∵FD⊥AB于D，∴∠BED+∠B=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BED=55°．7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC上一点，且∠BAD=2∠C．求证：∠ABD=∠ADB．证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余）；又∠BAD=2∠C（已知），∴∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，即∠B=∠C+∠DAC，∵∠ADB=∠C+∠DAC（三角形外角性质），∴∠ABD=∠ADB（等量代换）．8．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，ED垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，EC=2．求AE的长．解：如图，连接BE，，∵ED垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30°，∵∠ABC=90°﹣30°=60°，∴∠EBC=60°﹣30°=30°，∴BE=2CE=2×2=4，∴AE=4．9．如图，△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠BAD=30°，且∠ADC=60°．请完整说明为何AD=BD与CD=2BD的理由．解：∵∠4=60°，∠1=30°，根据三角形外角定理可得：∠ABD=∠4﹣∠1=60°﹣30°=30°=∠1．∴BD=AD．∵∠ABD=30°，又∵AB=AC，∴∠C=∠ABD=30°，∴∠2=180°﹣∠4﹣∠C=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠C=30°，∴CD=2AD=2BD．1．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，∴斜边的长为2×2=4cm．故选B．2．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥BC，过A作AD⊥BD于D，已知△ABC周长为M，则AD=（）A．B．C．D．解：∵△ABC周长为M，在等边三角形ABC中，∴AB=，∵BD⊥BC，过A作AD⊥BD于D，∴∠ABD=30°，∴AD=．故选B．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE=2，则AB的长是（）A．4 B．4 C．8 D．8解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，ED⊥AB，∴∠A=∠EBA=30°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=30°，又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，∴AE=2DE=4，∴AD==2，∴AB=2AD=4．故选B．4．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A．4m B．8m C．m D．4m解：作CE⊥AB交AB 的延长线于E，∵∠ABC=150°，∴∠CBE=30°，∴CE=BC=4cm，故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长．解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=1，∴BC=2，∴AB=4，∴AD=AB﹣BD=3．6．如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G是FC的中点，连接GD．求证：GD⊥DE．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，FD⊥BC，∴∠BED=∠FDC=90°，∴∠1+∠B=90°，∠3+∠C=90°，∴∠1=∠3，∵G是直角三角形FDC的斜边中点，∴GD=GF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠FDC=∠2+∠4=90°，∴∠1+∠4=90°，∴∠2+∠FDE=90°，∴GD⊥DE．1．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，则AC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：如图，连结AF．∵AB=AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD．∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，E是AC的中点，EF=2，∴AC=2EF=4．故选B．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为（）A．15° B．25° C．35° D．45°解：∵△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，∴CD=BD=AB，∴∠B=∠DCB=55°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°﹣55°=35°，故选：C．3．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（）A．30° B．15° C．45° D．25°解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故选B．4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A．2a B．2 a C．3a D．解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，∴CE=a，∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，∴AB=2CE=2a，故选B．5．如图，△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm，求BC的长．解：∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠DAC=120°﹣90°=30°=∠C，∴AD=DC=2cm，∵∠BAD=90°，∠B=30°，AD=2cm，∴BD=2AD=4cm，∴BC=4cm+2cm=6cm．6．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=66°，求∠BCE的度数．解：（1）如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE=BE=AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE，∴∠AEC=3∠BCE=66°，则∠BCE=22°．7．已知，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，且BE=EC，P点为AD外一点，且PA=PD，求证：PE垂直平分AD．证明：连接AE和DE，∵∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，BE=EC，∴AE=BC，DE=BC，∴AE=DE，即E在AD的垂直平分线上，∵PA=PD，∴P在AD的垂直平分线上，∴PE垂直平分AD．8．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E为AC中点，点F为BD中点．求证：EF⊥BD．证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E是AC的中点，∴BE=DE=AC，∵点F是BD的中点，∴EF⊥BD．。
浙教版八年级数学上册2.6直角三角形(2)课件(共12张PPT)
1 CD=
AB，△ABC是直角三角形吗？
2
C
解：∵ CD是中线，CD= 1 AB
12
2
∴ AD=CD，CD=BD
∴ ∠A=∠1，∠B=∠2
A
D
B
∵ ∠A+∠1+∠B+∠2=180°
∴ ∠A+∠B=∠1+∠2=90°
∴ △ABC是直角三角形
小试身手
1. 如图是一副三角尺拼成的四边形ABCD，E为BD的 中点，点E与点A，C的距离相等吗？请说明理由.
•
12、人乱于心，不宽余请。2021/5/11 2021/5/ 112021 /5/11T uesday, May 11, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。202 1/5/11 2021/5/ 112021 /5/112 021/5/1 15/11/ 2021
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2 021年5 月11日 星期二 2021/5 /11202 1/5/112 021/5/ 11
A
B
E
D
C
2. 如图，△ABC中, AB=AC=2a, ∠ABC=∠ACB=15°, CD是腰AB上的高，求CD的长.
D A
B
C
解：∵ ∠ABC=∠ACB=15°
∴ ∠DAC=∠ABC+∠ACB=30° ∴ CD=AC/2=a
3. 如图，∠ABC＝∠ADC＝90 ° ，E是A的中点， EF⊥BD于F．试说明F是DB的中点．
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。202 1年5月 2021/5 /11202 1/5/112 021/5/ 115/11/ 2021
直角三角形的性质第二课时
探讨“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”引入及其验证新课程标准的观念强调我们教师要变“教教材”为“用教材”。
在阅读到浙教版八年级上册2.5直角三角形（第二课时）时，对于定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”给出及其验证，笔者有许多不解之处。
现将笔者思考内容与诸君探讨，以供评析。
教材内容：从回顾上节课例2的结论“等腰直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半”入手。
提出“等腰直角三角形斜边上的高也是斜边上的中线”，那么对于一般的直角三角形是否也有此性质呢？通过合作学习“任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长度。
你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？”来给出性质的验证。
教材内容分析：由回顾特殊直角三角形等腰直角三角形具有的性质引入，问一般直角三角形是否也具有一般性质，由特殊到一般，作出这样的猜想，符合学生的认知规律。
猜想得出后，教材中采取测量实验验证的方法。
八年级的学生正处于由实验几何向论证几何的验证过程，也可以说具备一定的逻辑能力。
另外，因为误差的存在，测量验证有说不清道不明之嫌疑。
到底该采取哪种方式较优呢？处理方式及其效果分析：定理的给出，包括定理的引入及其验证过程。
通过资料搜集，笔者认为对于该定理的引入，有两种方式可以考虑：①等腰直角三角形的特殊性引入② 分割直角三角形引入；对于定理的验证，也有两种方式可以考虑：①测量验证②几何图形论证。
现将这四个片断设计，通过学生情况预设，效果分析，来加以比较。
1. 通过 “等腰直角三角形的特殊性”引入【问题设计】①如图，在等腰直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的中线，则AD=BD=CD 。
请说明理由。
②等腰直角三角形斜边上的中线与斜边有怎样的数量关系？③那么是不是任何一个直角三角形都有这样的数量关系？【学生情况预设】学生刚刚已经学过等腰三角形和等腰直角三角形的性质，并且具备一定的逻辑推理能力，故这样的起点对于学生而言，比较容易入手。
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直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余． １．直角三角形的两个锐角互余． ２．有两个角互余的三角形是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形． ３．等腰直角三角形的两个锐角都是４５ ゜ 等腰直角三角形的两个锐角都是４５ ４．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线， 任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利 用圆规比较中线与斜边的一半的长短．你发现了什 用圆规比较中线与斜边的一半的长短． 么？
（请所有同学把结果都说出来．） 请所有同学把结果都说出来．）
总结：直角三角形性质： 总结：直角三角形性质： 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
Ａ
Ｄ
∵ ∠C= 90゜ ゜ Ｃ Ｂ ＣＤ是ＡＢ边上的中线 边上的中线． ＣＤ是ＡＢ边上的中线． 1 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．） ∴ＣＤ＝ 2 ＡＢ（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）
１．如图：一名滑雪运动员沿着倾斜角 如图： 的斜坡， 滑至Ｂ．已知ＡＢ Ｂ．已知 为３０ °的斜坡，从Ａ滑至Ｂ．已知ＡＢ ２００ｍ， ｍ，问这名滑雪运动员的高度下 ＝２００ｍ，问这名滑雪运动员的高度下 降了多少ｍ？ 降了多少ｍ？
Ｂ
Ｅ
Ｃ
３．如图： ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＤＣ 如图： ＝９０ ° ，Ｅ是ＡＣ的中点，ＥＦ⊥ＢＤ ，Ｅ是ＡＣ的中点，ＥＦ⊥ 的中点，ＥＦ Ｆ．试说明 试说明Ｆ ＤＢ的中点 的中点． 于Ｆ．试说明Ｆ是ＤＢ的中点．
Ａ Ｅ Ｆ Ｄ Ｃ ＢFra bibliotek4.在Ｒｔ△ABC中, ∠ ACB= ９０ °,CH 在Ｒｔ△ 中 是斜边AB上的高 上的高,CM是AB上中线 上中线,CT是 是斜边 上的高 是 上中线 是 ∠ BCA的平分线 试说明∠ 1= ∠ 2. 的平分线.试说明∠ 的平分线 试说明
Ａ
３０ ゜
Ｂ
２．如图：它是人字屋架设计图，其中 如图：它是人字屋架设计图， ＡＢ＝ＡＣ＝５ ．Ｄ是ＡＢ的中点 的中点， ＡＢ＝ＡＣ＝５米．Ｄ是ＡＢ的中点， ＡＥ⊥ＢＣ．如果 ＢＡＣ＝１２ 如果∠ １２0゜ ＡＥ⊥ＢＣ．如果∠ＢＡＣ＝１２ ゜, ＡＥ和ＤＥ的长度 的长度． 求ＡＥ和ＤＥ的长度． Ａ
Ｄ
C
12
A
M T H
B
１．直角三角形斜边上的中线等于斜边的＿＿． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的＿＿． Ｂ＝３０ ３０， ２．在Rt△ABC中∠Ｃ＝ °，∠Ｂ＝３０， △ 中 Ｃ＝90° ＡＢ＝４厘米． ＡＣ＝＿＿＿厘米 厘米． ＡＢ＝４厘米．则ＡＣ＝＿＿＿厘米． 是斜边ＡＢ上的中线， ３．在Rt△ABC中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的中线， △ 中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的中线 若ＣＤ＝３．５厘米，则ＡＢ＝＿＿厘米． ＣＤ＝３ 厘米， ＡＢ＝＿＿厘米． 厘米 在三角形ＡＢＣ ＣＤ是ＡＢ边上的中 ＡＢＣ中 ４．在三角形ＡＢＣ中ＣＤ是ＡＢ边上的中 1 ＡＢ．则 三角形． 线．且ＣＤ＝ ＡＢ．则△ABC是＿＿三角形． 是＿＿三角形 2 ｀
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上节课学习的直角三角形知识: 上节课学习的直角三角形知识 １．直角三角形的两个锐角互余． 直角三角形的两个锐角互余． ２．有两个角互余的三角形是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形． ３．等腰直角三角形的两个锐角都是４５ ゜ 等腰直角三角形的两个锐角都是４５
操作实践，总结规律． 操作实践，总结规律．
课本 第３７页 第 １．
２． ３．
谢 谢 大 家