安徽省马鞍山市2013届高三二模试题理科数学word版,含答案

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2013年高考安徽理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =（）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】A【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+，即22i (2i )22a b a b ++=+，所以22a =，222a b b +=，所以1a =，1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】开始28<，11022s =+=，224n =+=；返回，48<，113244s =+=，426n =+=；返回，68<，31114612s =+=，628n =+=；返回，88<不成立，输出1112s =，故选D ．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是．．公理的是（）（A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A 【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理，故选A ．（4）【2013年安徽，理4，5分】“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形：由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时，0a ≤，故选C ．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样（B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】解法一：对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错；对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错；对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确；对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ．解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9++++=，五名女生成绩的平均数为()18893938893915++++=，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==，五名女生成绩的方差为2222288913939165s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集为（）（A ）{|}1lg2x x x <->-或（B ）lg |}12{x x -<<- （C ）l 2|g {}x x >- （D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D【解析】由题意知11012x -<<，所以1lg lg 22x =-<，故选D ．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）（A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和（B ）)s (co 2θρρθ=∈=R 和（C ）)s (co 1θρρθ=∈=R 和（D ）()0cos 1θρρθ=∈=R 和【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=，故选B ．（8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ⋯,，,，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是（）（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4,5 （D ）{}2,3 【答案】B【解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为()y f x =图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =，故选B ．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R所表示的区域的面积是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知=2OAOB OA OB =⋅=，可得出60AOB ∠=︒，点)A，点)1B -，点()D ，现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得())),1x y λμ=+-，即x y λμλμ+)=-=⎪⎩，由于1λμ+≤，λμ∈R ，，可得11x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点()P x y ，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】A【解析】由()2320f x x ax b '=++=得，1x x =或2x x =，即()()()2320f x a f x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =的解．如图所示由图象可知()1f x x =有2个解，()2f x x =有1个解，因此()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数为3，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是．【答案】12【解析】∵8x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r r x a x --883388=C C r rr r r r r r a x x a x ----=，∴843r r --=，解得3r =．∴338C 7a =，得12a =．（12）【2013年安徽，理12，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C = ．【答案】2π3【解析】∵3sin 5sin A B =，∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得，53a b =，73c b =，∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =．（13）【2013年安徽，理13，5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为．【答案】[1)+∞，【解析】如图，设20200()()C x x x a ≠,，()A a，)B a，则()200,CA x a x =-，()200,CB a x a x =-．∵CA CB ⊥，∴0CA CB ⋅=，即()()222000a x a x --+-=，()()2210a x a x --+-=，∴210xa =-≥，∴1a ≥．（14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是．【答案】n a =【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =，22a =，n n OA a =，∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，且11n n OAB OA B ∆∆∽，∴1n OA OA=．∴1n a a =∴n a =．（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当012CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当341CQ <<时，S为六边形；⑤当1CQ=时，S【答案】①②③⑤【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，22254AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ，所以②正确；当012CQ <<时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如（2）图，当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C RCQ CN =，即114314C R =，113C R =，故③正确；如图（3）所示，当341CQ <<时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当1CQ =时，截面为1APC E ，可知1AC =EP 1APC E 为菱形，S四边形1APC E =，故⑤正确．图（1）图（2）图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数()4cos πsin ()4·0x f x x ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=>+的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（1）())2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛⎫+=+ ⎝⎭+⎪+π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω，故1ω=．（2）由（1）知，()π2sin 24f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．当πππ2442x ≤+≤即π08x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减．综上可知，()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（17）【2013年安徽，理17，12分】设函数()()221f x ax a x =-+，其中0a >，区间(){}|0I x f x =>．（1）求I 的长度(注：区间()αβ，的长度定义为βα-；（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值．解：（1）因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a=+，故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<．因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +．（2）设()21d a aa =+，则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=，得1a =．01k <<，故当11k a -≤<时，()0d a '>，()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故()()11d k d k -<+．因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k --+．（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E ：2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上．（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：（1）因为焦距为1，所以22141a -=，解得258a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．（2）设00()P x y ,，()1,0F c -，()2,0F c ，其中c =由题设知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+，直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时，0cy y c x =-，即点Q 坐标为00(0,)cy c x -．因此，直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-．由于11F P FQ ⊥，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限，解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒，AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒．（1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；（2）求cos COD ∠．解：（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内，所以//AB 面PCD ．又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以//AB l ．由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（2）设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质，2COD COF ∠=∠，OF CD ⊥．因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =，则t a n t a n 60O F O P O P F h h=⋅∠=⋅︒=．根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由22tan 22.51tan1tan45︒-=︒=和tan22.50︒>，得tan22.51︒=，因此1)OC h=．在Rt OCF ∆中，os c OF OC OF C ==∠，故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠----=（20）【2013年安徽，理20，13分】设函数()2322*21()23n nf x x n x x x x n-++++∈∈+=R N ，．证明：（1）对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =；（2）对任意*p ∈N ，由（1）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<．解：（1）对每个*n ∈N ，当0x >时，()11+02n n x f x x n -++'=>，故()n f x 在(0)+∞，内单调递增．由于()110f =，当2n ≥时，()2221110231n f n=+++>，故()10n f ≥．又21122222213322112111231 ()0233343343313n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑，所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =．（2）当0x >时，()()()1121n n n n f x f x x f x n ++(+)=+>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==．由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<．对任意*p ∈N ，由于()222102n nn n n n f x x x x n-++++==，①()2122221+021n n n pn p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得222211k kk k n pn pnn p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+≤-∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此，对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ．（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．解：（1）因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于()()11C C k n k n P A B k n P --===，故()()=1k P A P B n=-，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭．（2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为 2C CCC CCk k m m k k m k m k nkn kn kn k------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===．当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22k m k n +≤-+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()21k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22k k n m +-+=和2(1)212k m k n ++-+=处达最大值；当()21k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．(注：[]x 表示不超过x 的最大整数)，下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1222k kn k k k n n +----=++2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故()2122k k n n +-<+．显然2(1)222k k k n +-<+．因此2(1)22k t n k k ≤+-<+．。

理综卷.2013届安徽省马鞍山二中(马鞍山市)高三第三次教学质量检测(2013.05)

2013年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第5页，第Ⅱ卷第5页至第12页。

全卷满分300分。

考生注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号。

2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题共120分）本卷共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

以下数据可供解题时参考：相对原子质量： H-1 C-12 0-16 S-32 V-51 Na-23 Mn-557.三氟化氮（NF3）在微电子工业中有重要用途，它在潮湿的空气中与水蒸气反应的产物有：HF、NO和HNO3。

则下列说法正确的是A．NF3分子中含有非极性共价键B．NF3在空气中泄漏时不易被察觉C．一旦NF3泄漏，可以用石灰水溶液喷淋的方法减少污染D．反应过程中，被氧化与被还原的元素的物质的量之比为2:18．关于下列各装置的叙述中，错误．．的是A．装置①可用于探究NH4HCO3的热稳定性B．装置②可用于收集H2、CO2C．装置③中X若为CCl4，可用于吸收氨气或氯化氢，并能防倒吸D．装置④可用于干燥、收集NH3，并吸收多余的氨气9.常温下列各组离子在指定溶液中可能大量共存的是A．含有大量ClO-的溶液：Na+、OH-、I-、SO32-B．澄清透明的溶液：Cu2+、Fe3+、NO3-、Cl-C．使pH试纸变蓝的溶液：NH4+、K+、S2-、CO32-D．c( )=0.1mol/L的溶液：Na+、Cl-、CO32-、NO3-10.如下图所示，甲池的总反应式为：N2H4＋O2＝N2＋2H2O下列关于该电池工作时说法正确的是A．甲池中负极反应为：N2H4－4e-＝N2＋4H+B．甲池溶液pH不变，乙池溶液pH减小C．甲池中消耗2.24L O2，此时乙池中理论上最多产生12.8g固体D．反应一段时间后，向乙池中加一定量CuO固体，能使CuSO4溶液恢复到原浓度11．在一密闭恒容容器中发生如下反应：aX(g)+bY(g)cZ(g) ΔH＞0，达平衡后，当其他条件不变时，下列说法正确的是A．升高温度，正反应速率增大，逆反应速率减小, 平衡常数增大B．若通入稀有气体平衡不移动，则a+b=cC．若加入催化剂，反应速率改变，但平衡不移动D．若增加X的量，平衡正向移动，X的转化率增大12．常温下，向100 mL 0.01 mol·L－1HA溶液中逐滴加入0.02 mol·L-1MOH溶液，图中所示曲线表示混合溶液的pH变化情况(体积变化忽略不计)。

2013二模理科数学答案.doc

永州市2013年高考第二次模拟考试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共40分)D ADC BAAC二、填空题(每小题5分，共35分)(一）选做题（9－11题，考生只能从中选做2题，如果多做则按前两题计分）9． 2cos 0ρθ+= 10．1(1,)3-- 11．（二）必做题（12－16题）12． 90 13． i 14．－10 15．＜16．（1）15（2）7 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）解：（1）20人只有2人过关，过关率为110，估计100名学员中有11001010⨯=人一次过关； …………3分（2）设“过科目一、二、三”分别为事件A 、B 、C ，过科目一的12人中有2人过了科目二却没过科目三，故P ＝21(|)126P BC A ==；…6分（3）设这个学员一次过关的科目数为η,则η的分布列为： …………………8分E η＝22119012355101010⨯+⨯+⨯+⨯=， ………………10分 ξ＝100η，E （ξ）＝E （100η）＝100 ×E （η）＝100×910＝90． ………………12分18．（本小题满分12分）解法一(1)证明：连接OE ，OF ，由图1知：OE //AC ，OF //AD ，而OE ，OF 不在平面ACD 上，且OE 交OF 于O ，故平面OEF //平面ACD ，所以EF //平面ACD ． ………………5分（2）取AD 的中点G ，连接OG ，则∠CGO 就是二面角C －AD －O 的平面角， OGCO ＝2，………………9分90oCOG ∠=，tan CO CGO OG∠===， ………………11分故二面角C －AD －O．……………12分解法二：证明（1）如图建立空间直角坐标系，A (0,－2,0),C (0,0,2),D,-1,0), E(0,),,1,0),(0,2,2),AC =(3,1,0)AD =, (3,1EF =设平面ACD 的法向量(,,)m x y z =，依题意有：m AC m AD ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩(,,)(0,2,2)220(,,)0)0m AC x y z y z m AD x y z y ⋅=⋅=+=⇒⊥=⋅=+=⎧⎪⎨⎪⎩，令x =－1,则y，z =,则(m =-，………………3分因为(m EF ⋅=-⋅-0==，所以m EF ⊥，又EF 不在平面ACD 上，故EF//平面ACD ． ………………6分（2）易求得平面OAD 的一个法向量(0,0,1)n =，设二面角C －AD －O 的大小为θ，由图知θ为锐角，(1,cos ||||||mn m n θ⋅-===，………………9分tan cos 3θθ===………………11分故二面角C －AD －O的正切值为3． ………………12分19．（本小题满分12分）解：(1) 由|f (x )|＝|2sin(3πx ＋6π)|＝2得sin(3πx ＋6π)＝±1，即3πx ＋6π＝k π＋2π，∴ x ＝3k ＋1，k ∈N ，∴ {a n }是首项为1，公差为3的等差数列，∴ a n ＝3n －2，n ∈N ＊， …………4分3222n a n n b -==，{n b }是首项是2，公比是8的等比数列，其前n 项和2(18)2(81)187n nn S -==--； ………………6分 (2) 12231tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=+++tan1tan 4tan 4tan 7tan(32)tan(31)n n =⋅+⋅++-⋅+， ………………8分由tan(31)tan(32)tan 3tan[(31)(32)]1tan(31)tan(32)n n n n n n +--=+--=++⋅-， ………………9分有tan(31)tan(32)tan(32)tan(31)1tan 3n n n n +---⋅+=-， ………………10分14473231n T n n =⋅+⋅++-⋅+tan tan tan tan tan()tan()4174107111333---=-+-+-+tan tan tan tan tan tan ()()()tan tan tan313213n n +--+-tan()tan()[]tan 3113n n +-=-tan()tan tan ． ……………12分20．（本小题满分13分）解：(1) 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 过焦点F （0,1），故设BC 的直线方程为y ＝kx ＋1，由 ⎩⎨⎧=+=yx kx y 412 得x 2－4kx －4＝0，故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ……………3分 ∴ |x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝16162+k ∴ S △EBC ＝S △EBF ＋S △CEF ＝21|x 1| |EF |＋21|x 2| |EF | ＝|x 1－x 2|＝142+k ＝5，求得k ＝34±，此时，BC 方程为314y x =±+，点 B 的坐标为(±4，4)，故l 的方程为514y x =±-； ………………6分（2）设B (x 1，y 1)，A (x 3，y 3)，l 方程：y ＝kx －1，由⎩⎨⎧=-=yx kx y 412，得x 2－4kx ＋4＝0，△＝16k 2－16>0，k 2>1，故x 1＋x 3＝4k ，x 1x 3＝4，又A 在E 与B 之间， ∴0＜∣x 3∣＜∣x 1∣， ∴0＜|x 3|2＜∣x 1 x 3∣＝4， ∴0＜∣x 3∣＜2，x 1＝34x ,直线BC 的方程为1111y y x x -=+， ………………9分设M (3x ,y o )，点M 在直线BC 上，有13111o y y x x -=+，即2131141o x y x x -=+，整理得y o ＝2－234x ，M (3x ，2－234x )， (－2＜3x ＜2且3x ≠0)|EM|==,令234x ＝t ,则(0,1)t ∈,|EM|==． ………………12分线段EM长的取值范围为． ………………13分 21．(本题满分13分)解：（1）连结 OP ，因30o BAP ∠=，120o ABP ∠=30oAPB ∴∠=．在三角形PBO 中，222102021020cos120700OP =+-⨯⨯=22(1012)OP >+ 即22OP >故该外轮未进入我领海主权范围内． ………………5分（2）作PQ AN ⊥于Q ，PS AB ⊥于S，则AQ SP ==30PQ =，因60oNAP ∠=，NMP θ∠=，首先应有60oθ>， 30sin PM θ=，30cos sin AM θθ=，设MP 方向的船速为V ，则我救助船全速到达P 点共所需时间为130cos 13030cos ()]sin sin sin T VV VVθλθθλθθλθ-=+⋅=⨯, ……………7分221cos 301cos 30()sin sin T VVθλθλθλθθ--'=⨯=⨯,令()0T θ'=得1cos θλ=．设使1cos θλ=的那个锐角为λθ，则当(60,)oλθθ∈时，()0T θ'<，当(,90)o λθθ∈时，()0T θ'>，()T θ在(60,)oλθ位减函数，在(,90)o λθ位增函数，（注：将(60,)o λθ写成 (0,)oλθ 不扣分）所以当1cos θλ=时()T θ能取得最小值． ………………9分另一方面，延长PC 与AN 交于0M ，须0QM QM ≥（即0QM P θ≥∠）救助船才能沿直线MP 航行．0cos cos QM P θ∠===≤，由1λ≤解得λ≥．此时0Q M P λθ≥∠，而当λ<时，0Q M P λθ<∠，由()T θ的单调性知θ取0QM P ∠时()T θ最小． ………………11分综上知，为使到达P 点的时间最短，当λ≥时，救助船选择的拐角θ应满足1cos θλ=；当λ<时，救助船应在0M 处拐头直朝P 点航行，此时cosθ=． ………………13分22．(本题满分13分)解：（1）∵()2ln()f x a x b =+，∴2()af x x b'=+，则()f x 在切点(0,2ln )A a b 处切线的斜率2(0)a k f b '==，则()f x 在点(0,2ln )A a b 处切线方程为22ln a y x a b b =+．又由2()1x g x e =-，得2()2x g x e '=，则()g x 在切点B(0,0)处切线的斜率(0)2k g '==，则()g x 在点B 处切线方程为2y x =．由22ab= 和2ln 0a b =解得1a =，1b =． ()2ln(1)(1)f x x x =+>-，2()1xg x e =-． ………………4分（2）由002[1g(x x m ->+202x m x e <-，令2()2h x x e =-要使22m x e <-[0,)+∞上有解，只需max [()]m h x <． ………………5分 ①当0x =时，(0)0h =，所以0m <； ………………6分②当0x >时，2()2x h x e '=-，∵0x >，有2≥，e 1x >，∴2()20x h x e '=-<函数2()2h x x e =-[0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==，所以0m <综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞ ……………8分（3）令2()()()12ln(1)(1)x u x g x f x e x x =-=--+>-，则2222(1)2()211xx e x u x e x x +-'=-=++．∴当0x ≥时，由于21,11xex ≥+≥，所以 22(1)2x e x +≥∴()0u x '≥在0x ≥上恒成立，函数()u x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∴当0x >时，()(0)0u x u >=恒成立，故对于任意210x x >>，有2121()()g x x f x x ->-． ………………10分又∵212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++，∴2212111ln(1)ln ln(1)ln(1)1x x x x x x +-+>=+-++． ∴2121()()()f x x f x f x ->-， ………………12分从而2121()()()g x x f x f x ->-． ………………13分方法2：也可按下面思路：先证明212()2112()x x e x x -->- [构造2()12x u x e x =--，求导再分析单调性] 再证明2121ln(1)ln(1)x x x x ->+-+ [通过构造()ln(x 1)v x x =-+，求导后分析单调性]（详略）。

安徽省马鞍山市高三数学毕业班第二次教学质量检测试题(马鞍山二模)文(含解析)(扫描版)新人教A版

安徽省马鞍山市2013届高三数学毕业班第二次教学质量检测试题（马鞍山二模）文（含解析）（扫描版）新人教A版文科数学参考解答和评分标准二、填空题（11） 1.2log 0.8（12）（13）1y x =-（14（15）①④⑤三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（16）(本小题满分12分)（Ⅰ）证明：cos 2cos 22cos()cos()a b a b a b +=+-（Ⅱ）在ABC ∆中，若3A π=，求22sin sin B C +的最大值.（Ⅰ）证明：()()()()cos2cos2cos cos 轾轾+=++-++--臌臌a b a b a b a b a b[cos()cos()sin()sin()]=+--++a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]++-+++a b a b a b a b 2cos()cos()=+-a b a b 所以原等式成立.…………………………………………4分（Ⅱ）解法1 221cos 21cos 2sin sin 22--+=+B C B C ()11cos 2cos 22=-+B C ()()1cos cos =-+-B C B C ()11cos 2=--B C ……………………8分∵3=A p ∴22(,)33-?B C p p ∴3==B C p 时，22max 3sin sin 2+=B C （） ………12分解法22241cos(2)21cos 23sin sin )322---+-=+B B B B （p p 11cos 226骣÷ç=+-÷ç÷ç桫B p 解法3 ∵3=A p 由余弦定理可得 22222222222++=+-?-=b c b c a b c bc b c ∴2222+?b c a由正弦定理可得2223sin sin 2sin 2+?B C A ……类似解法参照给分（17）(本小题满分12分)通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：（Ⅰ）从这606的样本，问样本中看与不看营养说明的男生各有多少名？解:（Ⅰ）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的男生有640460⨯=名…………… 2分不看营养说明的男生有620260⨯=名.……………………………………… 4分（Ⅱ）从（Ⅰ）中的6名男生样本中随机选取2名作深度采访，求选到看与不看营养说明的男生各1名的概率；解:（Ⅱ）记样本中看营养说明的4名男生为1234a a a a ，，，不看营养说明的2名男生为12b b ，，从这6名男生中随机选取2名，共有15个等可能的基本事件：12a a (，),13()a a ，，14()a a ，，11()a b ，，12a b (，),23()a a ，，24()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，34()a a ，，31()a b ，，32()a b ，，41()a b ，，42a b (，)，12b b (，)； (6)分其中符合要求的是11()a b ，，12a b (，)，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，41()a b ，，42a b (，).故所求的概率为815P =.…………………………………………………………………8分（Ⅲ）根据以上列联表，是否有85%的把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 参考值表：解:（Ⅲ）假设0H ：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则2K 应该很小.由题设条件得：222110(40204010)110(4241)1116 2.44480605030865372K ⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ……10分因为由2.444 2.072>可知，所以有85%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关. ………………………………………………………………………………… 12分【命题意图】.本题考查独立性检验、古典概型，中等题. B第18题图（18）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形A C E F 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，//EF AC,AB =1EF FA ==.（Ⅰ）求证：//CE BDF 平面；（Ⅱ）求证：BE DEF ⊥平面【证明】（Ⅰ）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，连接FO .由题知1EF O C ==， ∵//EF AC ，∴四边形CEFO 为平行四边形……2分∴////CE OF CE BDF CE BDF OF BDF ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面 ……………6分（Ⅱ）ABCD ACEF ABCD ACEF AC ABCD FA AC FA ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥=⊥⊥平面平面平面平面平面…8分连EO ，易知四边形AOEF 为边长为1的正方形∴EO ABCD EO BD ⊥⇒⊥平面 ∴BDE △为等腰三角形，22BD BO ==BE DE ==∵222BD BE DE =+∴BE DE ⊥同理在BEF △中，BE EF ⊥……………10分BE DE BE EF BE DEF DE EF E ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面 ………12分【命题意图】本题考查空间几何体的线、面位置关系的证明，中等题 .（19）（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为，且过点（1．斜率为(0)k k ≠的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)M m ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；【命题意图】本题考查直线与椭圆的相关知识，位置关系.考查运算能力、分析问题的能力，中等题.解：（Ⅰ）依题意，c a =2222222222,,,2a c a b c b c a b ==+∴=∴=又可设椭圆方程222212y x b b+=，又过点（1，∴222,4b a == 所以椭圆方程为22142y x +=．………………………………………………………6分（Ⅱ）因为椭圆的上焦点为（0，设直线l的方程为y kx =B 第18题图由221,42y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)30k x ++-=．……………………………………8分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12x x +=12232x x k =-+．可得1212()y y k x x +=++． ……………………………………………10分设线段PQ 中点为N ，则点N的坐标为，由题意有1-=⋅k k MN，可得1m k =-．得m =，………………12分又0k ≠，所以0m <<． ………………………………………………………13分【命题意图】本题考查椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系，中等题 .（20）（本题满分13分）已知数列{}n a 中，140n a a =>，，前n 项和为n S ，若2)n a n ≥.. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列11{}n n a a +前n 项和为n T ，求n T 取值范围. . 解：（Ⅰ）∵1n n n a S S -=-，∴1n n n a S S -=-……………………2分2)n ⇒=≥∵0n a >1(2)n ≥…………………4分数列{}n S2=，公差为1的等差数列，2211(1)n n n S n =+-=+⇒=+当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=+-=+………………………6分当1n =时，14a =∴41212n n a n n =⎧=⎨+≥⎩，，……………………………………………………7分（Ⅱ）12233411111n n n T a a a a a a a a -=++++ 1111455779(21)(23)n n =++++⨯⨯⨯++ 11111111[()()()]45257792123n n =+-+-++-⨯++ 111131()2025232046n n =+-=-++； ……………………………………10分∵114610n ≤+ ∴13[,)2020n T ∈……………………………………………………………13分【命题意图】.本题考查递推关系，等差数列、裂项求和、函数单调性，中等题.（21）(本小题满分13分）已知,a R ∈函数)()(2a x x x f -=．（Ⅰ）当a =3时，求f （x ）的极值点；（Ⅱ）若存在[]01,2,x ∈时，使得不等式0()1f x <-成立，求实数a 的取值范围．【解】(Ⅰ) 由题意)3()(2-=x x x f , 2()363(2)f x x x x x '=-=-………………………… 1分由()0f x '=，解得0=x 或2x =;当0x < 或2x >时，()f x 单调递增，当02x <<时，()f x 单调递减， …… 3分所以，0=x 是极大值点， 2x =是极小值…………………………………………4分 (Ⅱ) 存在[]01,2,x ∈时，使得不等式0()1f x <-成立等价于()f x 在[]1,2上的最小值小于1-. 设此最小值为m ，而/22()323(),[1,2],3f x x ax x x a x =-=-∈ （1）当0≤a 时，/()0,[1,2],f x x >∈则)(x f 是区间[1,2]上的增函数, 所以a f m -==1)1(; ……………………………………6分（2）当0>a 时，在320a x x ><或时，；a x f x f 上是增函数在区间从而),32[)(,0)(/+∞> 在320a x <<时，；a x f x f 上是单减函数在区间从而]32,0[)(,0)(/<…………………… 8分 ① 当232≥a ，即3≥a 时，()f x 在[1,2]x ∈上单调递减，∴a f m 48)2(-==; ② 当2321<≤a ，即323<≤a 时，()f x 在2[1,]3a x ∈上单调递减，在2[2]3a x ∈，上单调递增， ∴.274)32(3a a f m -== ③ 当2013a <<即230<<a 时，()f x 在[1,2]x ∈上单调递增，∴a f m -==1)1(. 综上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<-≤-=)3(),2(4)323(,274)23(,13a a a a a a m (10)分令1m <-，解上述三个不等式得：a ……………………………………13分【命题意图】.本题考查导数应用---单调性、极值、最值，考查分类讨论思想，中等题.。

安徽省马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测数学理试题 Word版含答案

马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测理科数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）设集合2{|40}A x x =->，{|21}xB x =<，则A B =（A ）{|2}x x > （B ）{|2}x x <- （C ）1{|}2x x < （D ）{|22}x x x <->或【答案】选（B ）．【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题．（2）已知复数2(1)(2)i ()z a a a =-+-∈R ，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】选（A ）．【命题意图】本题考查复数的概念及充要条件，容易题．（3）已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(5)0.8P X <=，则(13)P X <<= （A ）0.6 （B ）0.4 （C ）0.3（D ）0.2【答案】选（C ）．【命题意图】本题考查正态分布知识，容易题．（4）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（A ）22cos sin y x x=- （B ）lg ||y x = （C ）2x x e e y --=（D ）3y x =【答案】选（B ）．【命题意图】本题考查函数的奇偶性与单调性，容易题．（5）在极坐标系中，直线2sin()24πρθ-=与圆2cos ρθ=的位置关系是（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）无法确定【答案】选（C ）．化成普通方程，易判断．【命题意图】本题考查极坐标方程及直线与圆的位置关系，容易题．（6）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是（A ）12π （B ）13π （C ）15π（D ）17π【答案】（D ）【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体表面积的计算，考查空间想象能力，容易题．（7）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F △，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A ）423+（B 31（C ）31+（D 31【答案】（D ）【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题．（8）从0,8中任取一数，从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）18 （C ）12（D ）6【答案】（B ）【命题意图】本题考查排列组合的知识，中等题．（9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*14()n n a S n +=∈N ，则6a =（A ）445⨯（B ）4451⨯+（C ）55（D ）551+【答案】（A ）【命题意图】本题考查递推数列通项公式的求法，中等题．（10）已知函数2342013()12342013x x x x f x x =-+-+-⋅⋅⋅-，则下列结论正确的是（A ）()f x 在(0,1)上恰有一个零点（B ）()f x 在(0,1)上恰有两个零点（C ）()f x 在(1,2)上恰有一个零点（D ）()f x 在(1,2)上恰有两个零点【答案】（C ）【命题意图】本题考查导数的应用，考查函数零点的知识，较难题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 ▲ ．【答案】84．【命题意图】本题考查二项式定理的基础知识，容易题．（12）设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点(,)x y D ∈，则目标函数z x y =+的最大值为 ▲ ．【答案】3．【命题意图】本题考查双曲线和抛物线的基础知识，考查线性规划，容易题．（13）执行下边的程序框图，输出的T = ▲ ．【答案】30．【命题意图】本题考查程序框图，容易题．（14）ABC △中，向量AB 与BC 的夹角为56π，||2AC =，则||AB 的取值范围是 ▲ ．【答案】(0,4]．【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题．（15）如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从顶点A出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去8个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论： ① 有12个顶点；② 有24条棱； ③有12个面；④ 表面积为23a ；⑤ 体积为356a ．其中正确的结论是 ▲ （写出所有正确结论的编号）．【答案】①②⑤．【命题意图】本题考查空间想象能力，较难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分12分）已知函数2()3cos cos (0)f x x x x ωωωω=⋅->的最小正周期为2π．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设ABC △的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，求此时函数()f x 的值域．【命题意图】本题考查三角函数、解三角形、基本不等式的基础知识，中等题．【答案】（Ⅰ）3111()2cos 2sin(2)2262f x x x x πωωω=--=--，……4分由题，222T ππω==及0ω>，得：2ω=，所以1()sin(4)62f x x π=--． ……6分（Ⅱ）由22221cos 222a c b ac ac x ac ac +--=≥=，知：(0,]3x π∈， ……9分从而74-(-,]666p p p x ∈，所以函数()f x 的值域为1[1,]2-．…12分（17）（本小题满分12分）甲、乙等6名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为1,2,,6）．（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为，求随机变量ξ的分布列与期望．【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题．【答案】（Ⅰ）只考虑甲、乙两考生的相对位置，用组合计算基本事件数；设A 表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得： 2434664()1()15A A P A P A A =-=-=甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是45. ………………6分（另解2411434334666624()5A A A A A P A A A =+=）（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，且2651(0)3P C ξ===,2644(1)15P C ξ===,2631(2)5P C ξ===,2622(3)15P C ξ===,2611(4)15P C ξ=== [另解：2525661(0)3A A P A ξ===，214244664(1)15A A A P A ξ===，223243661(2)5A A A P A ξ===，232242662(3)15A A A P A ξ===，2424661(3)15A A P A ξ===]………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列是：ξ 01 2 3 4P13 415 15 215 115所以14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即甲、乙两考生之间的面试考生个数X 的期望值是43. ………………12分（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AB ⊥平面BCE ，DC ⊥平面BCE ，22AB BC CE CD ====，23BCE π∠=．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求二面角A EB D --的大小．【命题意图】本题考查空间位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题．【答案】(Ⅰ)证明：取BE 的中点O ，AE 的中点F ，连OC ，OF ，DF ，则2OF//BA∵AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，∴2CD //BA ，∴OF//CD ，∴OC ∥FD∵BC=CE ，∴OC ⊥BE ，又AB ⊥平面BCE. ∴OC ⊥平面ABE. ∴FD ⊥平面ABE.从而平面ADE ⊥平面ABE. ………………6分 (Ⅱ)二面角A —EB —D 与二面角F —EB —D 相等，由(Ⅰ)知二面角F —EB —D 的平面角为∠FOD 。

2013年马鞍山三模理科数学答案

马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测理科数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）【答案】选（B）．【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题．（2）【答案】选（A）．【命题意图】本题考查复数的概念及充要条件，容易题．（3）【答案】选（C）．【命题意图】本题考查正态分布知识，容易题．（4）【答案】选（B）．【命题意图】本题考查函数的奇偶性与单调性，容易题．（5）【答案】选（C）．化成普通方程，易判断．【命题意图】本题考查极坐标方程及直线与圆的位置关系，容易题．（6）【答案】（D）【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体表面积的计算，考查空间想象能力，容易题．（7）【答案】（D）【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题．（8）【答案】（B）【命题意图】本题考查排列组合的知识，中等题．（9）【答案】（A）【命题意图】本题考查递推数列通项公式的求法，中等题．（10）【答案】（C）【命题意图】本题考查导数的应用，考查函数零点的知识，较难题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）【答案】84．【命题意图】本题考查二项式定理的基础知识，容易题．（12）【命题意图】本题考查双曲线和抛物线的基础知识，考查线性规划，容易题．（13）【答案】30．【命题意图】本题考查程序框图，容易题．（14）【答案】(0,4]．【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题．（15）【答案】①②⑤．【命题意图】本题考查空间想象能力，较难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分12分）已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=⋅->的最小正周期为2π．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设ABC △的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，求此时函数()f x 的值域．【命题意图】本题考查三角函数、解三角形、基本不等式的基础知识，中等题．【答案】（Ⅰ）111()2cos 2sin(2)2262f x x x x πωωω=--=--， ……4分由题，222T ππω==及0ω>，得：2ω=，所以1()sin(4)62f x x π=--．……6分（Ⅱ）由22221cos 222a c b ac acx ac ac +--=≥=，知：(0,]3x π∈， ……9分从而74-(-,]666p p px ∈，所以函数()f x 的值域为1[1,]2-．…12分（17）（本小题满分12分）甲、乙等6名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为1,2,,6 ）．（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为，求ξ的分布列与期望．【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题．【答案】（Ⅰ）只考虑甲、乙两考生的相对位置，用组合计算基本事件数；设A 表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得： 2434664()1()15A A P A P A A =-=-=甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是45. ………………6分（另解2411434334666624()5A AA A A P A A A=+=）（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，且2651(0)3P C ξ===,2644(1)15P C ξ===,2631(2)5P C ξ===,2622(3)15P C ξ===,2611(4)15P C ξ===[另解：2525661(0)3A A P A ξ===，214244664(1)15A A A P A ξ===，223243661(2)5A A A P A ξ===，232242662(3)15A A A P A ξ===，2424661(3)15A A P A ξ===]………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列是：4所以14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即甲、乙两考生之间的面试考生个数X 的期望值是43. ………………12分（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AB ⊥平面BCE ，DC ⊥平面BCE ，22AB BC CE CD ====，23BCE π∠=．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求二面角A EB D --的大小．【命题意图】本题考查空间位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题．【答案】(Ⅰ)证明：取BE 的中点O ，AE 的中点F ，连OC ，OF，DF ，则2OF //BA∵AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，∴2CD //BA ， ∴OF //CD ，∴OC ∥FD∵BC=CE ，∴OC ⊥BE ，又AB ⊥平面BCE. ∴OC ⊥平面ABE. ∴FD ⊥平面ABE.从而平面ADE ⊥平面ABE. ………………6分 (Ⅱ)二面角A —EB —D 与二面角F —EB —D 相等，由(Ⅰ)知二面角F —EB —D 的平面角为∠FOD 。

安徽省马鞍山市高三数学毕业班第二次教学质量检测试题

安徽省马鞍山市2013届高三数学毕业班第二次教学质量检测试题（马鞍山二模）文（含解析）（扫描版）新人教A版123456文科数学参考解答和评分标准二、填空题（11） 1.2log 0.8 （12）（13）1y x =-（14（15）①④⑤三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（16）(本小题满分12分)（Ⅰ）证明：cos2cos22cos()cos()a b a b a b +=+-（Ⅱ）在ABC ∆中，若3A π=，求22sin sin B C +的最大值.（Ⅰ）证明：()()()()cos 2cos 2cos cos 轾轾+=++-++--臌臌a b a b a b a b a b[cos()cos()sin()sin()]=+--++a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]++-+++a b a b a b a b 2cos()cos()=+-a b a b所以原等式成立.…………………………………………4分（Ⅱ）解法1 221cos 21cos 2sin sin 22--+=+B C B C ()11cos 2cos 22=-+B C ()()1cos cos =-+-B C B C ()11cos 2=--B C ……………………8分∵3=A p ∴22(,)33-?B C p p ∴3==B C p时，22max 3sin sin 2+=B C （） ………12分解法22241cos(2)21cos 23sin sin )322---+-=+B BB B （pp 11cos 226骣÷ç=+-÷ç÷ç桫Bp 解法3 ∵3=A p由余弦定理可得 22222222222++=+-?-=b c b c a b c bc b c ∴2222+?b c a由正弦定理可得2223sin sin 2sin 2+?B C A ……类似解法参照给分（17）(本小题满分12分)通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：（Ⅰ）从这606的样本，问样本中看与不看营养说明的男生各有多少名？解:（Ⅰ）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的男生有640460⨯=名……………2分不看营养说明的男生有620260⨯=名.………………………………………4分（Ⅱ）从（Ⅰ）中的6名男生样本中随机选取2名作深度采访，求选到看与不看营养说明的男生各1名的概率；解:（Ⅱ）记样本中看营养说明的4名男生为1234a a a a ，，，不看营养说明的2名男生为12b b ，，从这6名男生中随机选取2名，共有15个等可能的基本事件： 12a a (，),13()a a ，，14()a a ，，11()a b ，，12a b (，), 23()a a ，，24()a a ，，21()a b ，，22()a b ，， 34()a a ，，31()a b ，，32()a b ，， 41()a b ，，42a b (，)，12b b (，)；……………………………………………………………………………… 6分其中符合要求的是11()a b ，，12a b (，)，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，41()a b ，，42a b (，). 故所求的概率为815P =.…………………………………………………………………8分（Ⅲ）根据以上列联表，是否有85%的把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考值表：解:（Ⅲ）假设0H ：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则2K 应该很小.由题设条件得：222110(40204010)110(4241)1116 2.44480605030865372K ⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ……10分因为由2.444 2.072>可知，所以有85%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关. ………………………………………………………………………………… 12分【命题意图】.本题考查独立性检验、古典概型，中等题.B第18题图8 （18）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，//EF AC,AB =1EF FA ==.（Ⅰ）求证：//CE BDF 平面；（Ⅱ）求证：BE DEF ⊥平面【证明】（Ⅰ）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，连接FO .由题知1EF OC ==， ∵//EF AC ，∴四边形CEFO 为平行四边形……2分∴////CE OFCE BDF CE BDF OF BDF ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面 ……………6分（Ⅱ）ABCD ACEFABCD ACEF AC ABCD FA AC FA ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥=⊥⊥I 平面平面平面平面平面…8分连EO ，易知四边形AOEF 为边长为1的正方形 ∴EO ABCD EO BD ⊥⇒⊥平面 ∴BDE △为等腰三角形，22BD BO ==BE DE ==∵222BD BE DE =+ ∴BE DE ⊥同理在BEF △中，BE EF ⊥……………10分 BE DE BE EF BE DEF DE EF E ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭I 平面 ………12分【命题意图】本题考查空间几何体的线、面位置关系的证明，中等题 .（19）（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为，且过点（1．斜率为(0)k k ≠的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)M m ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；【命题意图】本题考查直线与椭圆的相关知识，位置关系.考查运算能力、分析问题的能力，中等题.解：（Ⅰ）依题意，c a =，可得2222222222,,,2a c a b c b c a b ==+∴=∴=又可设椭圆方程222212y x b b +=，又过点（1，∴222,4b a ==所以椭圆方程为22142y x +=．………………………………………………………6分（Ⅱ）因为椭圆的上焦点为（0，设直线l的方程为y kx =B第18题图9由221,42y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)30k x ++-=． (8)分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12x x +=，12232x x k =-+．可得1212()y y k x x +=++． ……………………………………………10分设线段PQ 中点为N ，则点N的坐标为，由题意有1-=⋅k k MN，可得1m k =-．得m =，………………12分又0k ≠，所以0m <<． ………………………………………………………13分【命题意图】本题考查椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系，中等题 . （20）（本题满分13分）已知数列{}n a 中，140n a a =>，，前n 项和为n S ，若2)n a n =≥..（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列11{}n n a a +前n 项和为n T ，求n T 取值范围. . 解：（Ⅰ）∵1n n n a S S -=-，∴1n n n a S S -=-=……………………2分2)n ⇒=≥∵0n a >1(2)n ≥…………………4分数列{}n S2，公差为1的等差数列，2211(1)n n n S n =+-=+⇒=+当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=+-=+………………………6分当1n =时，14a = ∴41212n n a n n =⎧=⎨+≥⎩，，……………………………………………………7分（Ⅱ）12233411111n n nT a a a a a a a a -=++++L 1111455779(21)(23)n n =++++⨯⨯⨯++L 11111111[()()()]45257792123n n =+-+-++-⨯++L 111131()2025232046n n =+-=-++； ……………………………………10分10 ∵114610n ≤+ ∴13[,)2020n T ∈……………………………………………………………13分【命题意图】.本题考查递推关系，等差数列、裂项求和、函数单调性，中等题.（21）(本小题满分13分）已知,a R ∈函数)()(2a x x x f -=．（Ⅰ）当a =3时，求f （x ）的极值点；（Ⅱ）若存在[]01,2,x ∈时，使得不等式0()1f x <-成立，求实数a 的取值范围．【解】(Ⅰ) 由题意)3()(2-=x x x f , 2()363(2)f x x x x x '=-=-………………………… 1分由()0f x '=，解得0=x 或2x =;当0x < 或2x >时，()f x 单调递增，当02x <<时，()f x 单调递减， …… 3分所以，0=x 是极大值点， 2x =是极小值…………………………………………4分 (Ⅱ) 存在[]01,2,x ∈时，使得不等式0()1f x <-成立等价于()f x 在[]1,2上的最小值小于1-. 设此最小值为m ，而/22()323(),[1,2],3f x x ax x x a x =-=-∈（1）当0≤a 时，/()0,[1,2],f x x >∈则)(x f 是区间[1,2]上的增函数, 所以a f m -==1)1(; ……………………………………6分（2）当0>a 时，在320ax x ><或时，；a x f x f 上是增函数在区间从而),32[)(,0)(/+∞>在320a x <<时，；a x f x f 上是单减函数在区间从而]32,0[)(,0)(/<…………………… 8分① 当232≥a ，即3≥a 时，()f x 在[1,2]x ∈上单调递减，∴a f m 48)2(-==;② 当2321<≤a ，即323<≤a 时，()f x 在2[1,]3a x ∈上单调递减，在2[2]3a x ∈，上单调递增，∴.274)32(3aa f m -==③ 当2013a <<即230<<a 时，()f x 在[1,2]x ∈上单调递增，∴a f m -==1)1(.综上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<-≤-=)3(),2(4)323(,274)23(,13a a a a a a m .…………………………10分令1m <-，解上述三个不等式得：a > (13)分【命题意图】.本题考查导数应用---单调性、极值、最值，考查分类讨论思想，中等题.11。

安徽省马鞍山市2013届高三数学上学期期末素质测试理

2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号（四位数字）.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草．稿纸上答题无效．．．．．．．. 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑. （1）已知集合{}2|20A x x x =->，{}|1B x x =>，R 为实数集，则()R B A =ðA.[]0,1B.(]0,1C.(],0-∞D.以上都不对（2）复数12ii-（i 为虚数单位）的虚部是 A.15 B.15- C.15iD.15i -（3）已知平面上不共线的四点,,,O A B C ，若430OA OB OC -+=，则AB BC ||=||A.3B.4C.5D.6（4）设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论错误．．的是 A.0d <B.70a =C.95S S >D.6S 和7S 均为n S 的最大值（5）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为A.-5B.1C.2D.3（6）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如下左图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是（722221x y a b-=（a>0，b>0）恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是A.[)2,+∞B.)+∞C.D.(2,)+∞（8）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.8B.203 C.173D.143（9）袋中有大小相同的4个红球和6个白球，随机从袋中取1个球，取后不放回，那么恰好在第5次取完红球的概率是A.1210B.2105C.221D.821（10）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当[1,0]x ∈-时，()f x x =-．若关于x 的方程()1f x kx k =-+（1k R k ∈≠且）在区间[3,1]-内有四个不同的实根，则k 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)2C.1(0,)3D.1(0,)4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．（11）运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 .（12）已知总体的各个个体的值由小到大依次为3 7 12 20a b ，，，，，，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a = ．（13）已知2(n x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是______．（141ny +=（,m n 是实数）与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AO B ∆（O 是坐标原点）是直角三角形，则点(,)P m n 与点(0,1)Q 之间距离的最小值是 . （15）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 的所有对称中心都可以表示为( 0)()6k k Z ππ+∈，；③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④由3cos 2y x =-的图象向左平移12π个单位长度可以得到图象C ．⑤函数()f x 在[0,]2π上的最小值是3-.三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（16）(本题满分12分) 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2C A =，3cos 4A =. （Ⅰ）求cos ,cos B C 的值；（Ⅱ）若272BA BC ⋅=，求边AC 的长.（17）(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共12件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；（Ⅱ）记抽检的产品件数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．（18）(本题满分12分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,AD EF //，EF BC //，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：AB //平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥； (Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值. （19）（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11121,(*)2n nn nn a a a n N a ++==∈+.（Ⅰ）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .（20）（本题满分13分）已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为12, F F ，且126F P F P ⋅=-.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．（21）（本题满分14分）设函数21()ln 2f x c x x bx =++(),,0R c c b ∈≠，且1x =为()f x 的极值点．(Ⅰ) 若1x =为()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间（用c 表示）； (Ⅱ) 若()0f x =恰有两解，求实数c 的取值范围．2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测理科数学参考答案（2）A.【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题.（3）A.【命题意图】本题考查向量的运算，容易题.（4）C.【命题意图】本题考查等差数列的基本运算与性质，容易题.（5）D.【命题意图】本题考查二元一次不等式(组)表示的平面区域、直线的斜率、三角形面积公式等基础知识，考查数形结合思想，容易题.（6）A.【命题意图】本题考查导数的概念与几何意义，中等题. （7）D.【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题.（8）C.【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体体积的计算，考查空间想象能力，较难题.（9）B.【命题意图】本题考查排列组合、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，较难题.（10）C.【命题意图】本题考查函数的性质与图象，考查数形结合能力，较难题.二、填空题：每小题5分，共25分（11）运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 .【答案】11.【命题意图】本题考查程序框图，容易题.（12）已知总体的各个个体的值由小到大依次为3 7 12 20a b ，，，，，，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a = ．【答案】12.【命题意图】本题考查统计知识，重要不等式，容易题.（13）已知2(n x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是______．【答案】45.【命题意图】本题考查二项式定理，考查运算能力，中等题.（141ny +=（,m n 是实数）与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AO B ∆（O 是坐标原点）是直角三角形，则点(,)P m n 与点(0,1)Q 之间距离的最小值是 . 1.【命题意图】本题考查直线与圆的方程，考查运算能力与数形结合能力，（15）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．①图象C 关于直线11π12x =对称；②图象C 的所有对称中心都可以表示为( 0)()6k k Z ππ+∈，；③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④由3cos 2y x =-的图象向左平移12π个单位长度可以得到图象C ．⑤函数()f x 在[0,]2π上的最小值是3-.【答案】①③④. 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，较难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（16）(本题满分12分) 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2C A =，3cos 4A =.（Ⅰ）求cos ,cos B C 的值；（Ⅱ）若272BA BC ⋅=，求边AC 的长.（16）【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．解：（Ⅰ）∵2C A =，3cos 4A =，∴2231cos cos22cos 12()148C A A ==-=⨯-=.∴sin C =sin A =，∴cos cos()sin sin cos cos B A C A C A C =-+=-=3194816⨯=.….……….….………6分（Ⅱ）∵927cos 162BA BC ca B ac ⋅===，∴24ac =；又由正弦定理sin sin a cA C=，得32c a =，解得4a =，6c =，∴2222cos 25b a c ac B =+-=，5b =，即边AC 的长为5.…………………………………12分（17）(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共12件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；（Ⅱ）记抽检的产品件数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．（17）【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题.解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件A ，则3109!10986()1212111011A P A ⋅⨯⨯===⨯⨯！.即这箱产品被用户接收的概率为611．………………………………………………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为1，2，3． ……5分 ∵()211126P X ===，()10252121133P X ==⨯=， ()109153121122P X ==⨯=，…… ………………8分∴X (1)0分∴151583()1236332233E X =⨯+⨯+⨯=． (12)分（18）(本题满分12分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,AD EF //，EF BC //，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：AB //平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.（18）【命题意图】本题考查线面位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题.解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC ；又∵2BC AD =，G 是BC 的中点，∴AD BG //，且AD BG =，∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG . ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………4分(Ⅱ) 解法1：证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥；又,A E E BE B E F E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . 过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥.∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形A E H D 平行四边形，∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,E H B G E HB E ⊥，∴四边形BGHE 为正方形， ∴BH EG ⊥，又,B H D H HB H =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ，∴EG ⊥平面BHD . ∵BD ⊂平面BHD ，∴BD EG ⊥. ………………8分解法2：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥，∴,,EB EF EA 两两垂直. 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(0,2,2)D ，(2,2,0)G ；∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=，∴BD EG ⊥.………8分 (Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. 设平面DCF 的法向量为(,,)n x y z =，∵(0,3,0)F ，(2,4,0)C∴(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴0FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)n =-.设二面角C DF E --的大小为θ，由法向量n 与EB 的方向可知，,n EB θ=<>，∴cos cos ,n EB θ=<>==，即二面角C DF E --的余弦值为.………12分（19）（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11121,(*)2n nn nn a a a n N a ++==∈+. G（Ⅰ）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . （19）【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识知识，考查运算求解能力、推理论证能力，中等题.解：（Ⅰ）由已知可得1122n n n n n a a a ++=+，所以11221n n n n a a ++=+，即11221n nn na a ++-=， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列. ……………………………….……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得122(1)11n n n n a a =+-⨯=+，∴21nn a n =+.….…………………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2n n b n =⋅，所以231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅， 234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅，相减得23122222n n n S n +-=++++-⋅ 11222n n n ++=--⋅，∴1(1)22n n S n +=-⋅+.….……….………….…………….…………………………12分（20）（本题满分13分）已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为12, F F ，且126F P F P ⋅=-.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．（20）【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，较难题.解：（Ⅰ）设点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)(0)c c c ->，则12(3,1),(3,1)F P c F P c =+=-，故212(3)(3)1106F P F P c c c ⋅=+-+=-=-，可得4c =，………………………………………2分所以122||||a PF PF =+=a =……………………………4分∴22218162b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为221182x y +=． (6)分（Ⅱ）设,M N 的坐标分别为(5,),(5,)m n ，则1(9,)F M m =，2(1,)F N n =. 由12F M F N ⊥，可得1290F M F N mn ⋅=+=，即9mn =-， ……………………………………………………8分又圆C 的圆心为(5,),2m n +半径为||2m n -，故圆C 的方程为222||(5)()()22m n m n x y +--+-=，即22(5)()0x y m n y mn -+-++=，也就是22(5)()90x y m n y -+-+-=，令0y =，可得8x =或2，故圆C 必过定点(8和(2,0)． ……………………………………………13分（21）（本题满分14分）设函数21()ln 2f x c x x bx =++(),,0R c c b ∈≠，且1x =为()f x 的极值点．(Ⅰ) 若1x =为()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间（用c 表示）； (Ⅱ) 若()0f x =恰有两解，求实数c 的取值范围．（21）【命题意图】本题考查导数的应用，分类讨论思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力，较难题.解：2'()c x bx cf x x b x x ++=++=，又'(1)0f =，则10b c ++=，所以(1)()'()x x c f x x--=且1c ≠， (3)分（Ⅰ）因为1x =为()f x 的极大值点，所以1c >.令'()0f x >，得01x <<或x c >；令'()0f x <，得1x c <<.所以()f x 的递增区间为(0,1)，(,)c +∞；递减区间为(1,)c ．………………………………6分（Ⅱ）①若0c <，则()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增.若()0f x =恰有两解，则(1)0f <，即102b +<，所以102c -<<. (8)分②若01c <<，则21()()ln 2f x f c c c c bc ==++极大值，1()(1)2f x f b ==+极小值.因为1b c =--，则22()ln (1)ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极大值，1()2f x c =--极小值，从而()0f x =只有一解； (10)分③若1c >，则1()02f x c =--<极大值，从而22()ln (1)ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极小值，则()0f x =只有一解. (12)分综上，使()0f x =恰有两解的c 的范围为102c -<< (14)分。

2013届高三马鞍山二模理科数学答案

马鞍山市2013年高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学参考解答及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑. 1．【答案】C 由复数的运算得i z 22-= ，故z =22，选C【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题 2. 【答案】B【命题意图】本题考查集合运算，简单题. 3. 【答案】C.【命题意图】本题考查简易逻辑，容易题. 4．【答案】A.【命题意图】本题考查线性规划，容易题. 5.【答案】B.【命题意图】本题考查二项式定理，中等题. 6．【答案】C 该几何体为三棱柱，计算可得表面积【命题意图】本题考查三视图，几何体表面积，中等题. 7. 【答案】A.【命题意图】本题考查程序框图、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，中等题. 8．【答案】D 由函数性质，得1£a ,解得11-＃x 故选D 【命题意图】本题考查函数基本性质，不等式，较难题. 9．【答案】D,而12613()132n n nn a a A a +++==，又160a =，故当616n +=即10n =时n A 最小.【命题意图】本题考查等差数列基础知识，中等题. 10．【答案】 A.简解：由sin cos 0-=aa a sin cos ααα=，知sin y x = ()0,2x π∈的过O 点的切线为l ，易知切线l 的斜率αααsin cos =，数形结合可知选A第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11. 直线l 的极坐标方程为(cos sin )6+=r q q ，圆C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线l 的距离值为d ，则d 的最大值为 ▲ . 【答案】1.【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程及参数方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.12．函数sin()y A ωx φ=+的部分图像如图所示，其中0,02>>||<πA ωφ，，则其解析式为 ▲ 【答案】2sin(2)3y x p =-【命题意图】本题考查三角函数图象，中等题1112p6p13. 已知P 是椭圆22162+=xy和双曲线222-=x y 的一个交点，若21,F F 分别是椭圆的左，右焦点，则=∠21cos PF F ▲【答案】0【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的基本知识，中等题. 14．在A B C D 中，若120BAC?，1AB AC?-uu u r uuu r，则||-AB AC uu u r uuu r的最小值是▲ .【命题意图】本题考查平面向量基本知识，中等题.15. 如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为正方形11BCC B 的中心，F 为棱11C D 上的动点（包括端点11C D ，）.给出下列命题： ① 存在点F ，使得1^EFAB C平面；② 存在点F ，使得E F A B C D 与平面所成角为3p ；③ 对任意的点F ，总有1^EF A D ；④ 对任意的点F ，三棱锥1-A DEF 的体积为定值.其中正确的命题的序号是 . 【答案】①③④【命题意图】本题考查立体几何线面关系、线面角、几何体体积，较难题三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)（Ⅰ）证明：cos 2cos 22cos()cos()a b a b a b +=+-；（Ⅱ）在ABC ∆中，若3A p =，求22sin sin B C+的最大值.【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量平行关系、正弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．（Ⅰ）证明：()()()()cos 2cos 2cos cos 轾轾+=++-++--臌臌a b a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]=+--++a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]++-+++a b a b a b a b 2cos()cos()=+-a b a b所以原等式成立.…………………………………………4分（Ⅱ）解法1 221cos 21cos 2sin sin 22--+=+BCB C ()11cos 2cos 22=-+B C()()1cos cos =-+-B C B C ()11cos 2=+-B C ……………………8分∵3=A p ∴22(,)33-?B C p p∴3==B C p 时，22max3sin sin 2+=B C （）………………12分解法22241cos(2)21cos 23sinsin )322---+-=+B BB B （p p 11c o s 226骣÷ç=+-÷ç÷ç桫B p （以下同解法1）解法3 ∵3=A p 由余弦定理可得：22222222222++=+-?-=b c b c ab c bc bcA 1A∴2222+ b c a ，由正弦定理可得2223sin sin 2sin 2+?B C A（以下略）类似解法参照给分17．(本题满分12分) 某市高二年级甲校有1100人，乙校有900人.现对两校高二年级在当年学业水平考试中的数学学科成绩进行统计分析，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，整理得到以下统计表（本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）：计算．（II ）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”附：22()()()()()n ad bc Ka b c d a c b d -=++++【命题意图】本题考查2×2列联表、抽样调查的方法，及用样本估计总体的基本思想和设计抽样方法收集数据等基础知识，考查应用意识和数据处理的能力. 解：（Ⅰ）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，故10,15x y ==估计乙校平均分为 55156530752585159557190⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈.………6分22200(40702070) 4.7141109060140k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯又因为4.714 3.841>故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 “两个学校的数学成绩有差异” ．……………………………………………………………………………12分18．(本题满分12分)如图，AB 为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF 是边长为1的正方形.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCF ；（Ⅱ）若平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60°，求圆柱的底面直径AB 长.【命题意图】利用圆柱为载体研究空间里的点、线、面之间的位置关系.如面面垂直，二面角等.中等题.（Ⅰ）证明：∵过圆柱母线的截面ACEF 是正方形，∴截面ACEF ⊥平面ABC, AE ⊥CF又AB为圆柱的底面直径,∴AC⊥BC∴BC⊥截面ACEF ∴ BC⊥AE又∵Ç=CF BC C故AE⊥平面BCF 又ÌAE ABE平面∴平面ABE⊥平面BCF…………………………6分（Ⅱ）解：平面BEF与平面BCF所成的二面角为60°，设AEÇC F=M 由（Ⅰ）AE⊥平面BCF，过E作^EH BF于H 连接M H轣M H BF\E H M为60°设=BC t则BE EH==在Rt EM HV中，依题sin2?=?EH M解得1=t故直径AB长……………………………12分方法（2）建立空间直角坐标系如图设=BC t则(0,,0),(1,0,1),(0,0,1)(1,,1),(1,0,0)?-=B t F E BF t EFuuu r uuu r设平面BEF法向量为(,,)=m x y zu r00(0,1,)m EF xm tx ty zm BFíïí?=ïï镲揶=眄镲-+=?ï镱ïîu r uuu ru ru r uuu r又平面BCF法向量为nr，由^AE平面BCF，故(1,0,1)=-nr1cos,12==?m n tu r r，故直径AB长12分19．(本题满分13分)已知抛物线21116C y x=-：的顶点为P，两条互相垂直的直线恒与1C相切,切点分别为M，N两点.（Ⅰ）若3OG OP OM ON=++uuu r uu u r uuur uuu r,求G点的轨迹2C的方程；（Ⅱ）若直线210L m x y-+=：与1C相交于A,B两点, 与2C相交于C,D两点, 设PABD,PC DD的面积分别是1S,2S,求证：不论实数m取何值，12SS为定值，并求出这个定值. 【命题意图】本题考查抛物线及动点的轨迹方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，中等题.解:（Ⅰ）由2116y x=-得13y x¢=设2(,1)6mM m-,2(,1)6nN n-,由PM PNL L^得111933m n m n?-?-再设(,)G x y，由(0,1)P-及3OG OP OM ON=++uuu r uu u r uuur uuu ryABCEFHMA BCEF第18题图2231836x m n m n y í=+ïïïÞì+-ï=ïïïî2218()2189y m n mn x?+--=故G 点的轨迹2C 的方程为22x y =…………………………………………6分（Ⅱ）显然12||||S AB S C D =，由22113906210y x xmx mx y íïï=-ï?-=ìïï-+=ïî记11(,)A x y ,22(,)B x y，∴1221233||(4)92x x m AB m x x í+=ïï?+ìï?-ïî记33(,)C x y ,44(,)D x y ，2221010y x xmx mx y íï=ï?-=ìï-+=ïî∴342121||(4)12x x m C D m x x í+=ïï?+ìï?-ïî∴123S S =为常数∴命题成立，这个常数为3.……………………………………………………13分解法2：由解法1，记11(,)A x y ,22(,)B x y ，33(,)C x y ,44(,)D x y 由21116C y x =-：和2C ：22y x=的焦点都是点1(0,)2，且直线210L m xy -+=：过点1(0,)2根据抛物线的定义可知：122112234234()+6+53122==3()+1422m x x S y y m m x x S y y m +++==++++20．（本题满分13分）函数2()(1)ln f x x b x=-+，其中b RÎ.（Ⅰ）若函数在其定义域内是单调递增函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）设3222,()3467>=-+-+a g x x a x a a .当12b =时，若存在12,[1,2]x x Î ，使得121|()(|<2f xg x -），求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考察导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究. 中等题. 解（Ⅰ）函数2/22f(x)=2(x-1)+(0)b x x bx xx-+=>由题意，f ′(x )≥0在(0，＋∞)内恒成立，故2220x x b -+ 在(0，＋∞)内恒成立即22112+22(-)22b x x x ?=-+恒成立．显然，2112(-)22x -+在(0，＋∞)内的最大值为12，所以，b ≥12；即b 的取值范围为1,2轹÷ê+ ÷÷êøë.……………………………………………………6分（Ⅱ）首先研究f (x )，g (x )在[1,2]上的性质．由（Ⅰ），当b ＝12时，21()(1)l n 2f x x x =-+ 在(0，＋∞)内单调递增，从而f (x )在[1,2]上单调递增，因此，f (x )在[1,2]上的最小值f (x )min ＝f (1)＝0，最大值f (x )max ＝f (2)＝1＋12ln 2.g ′(x )＝3(x 2－a 2)，由a >2，知当x ∈[1,2]时，g ′(x )＝3(x 2－a 2)<0，因此，322()34a67g x x a x a =-+-+在[1,2]上单调递减．g (x )在[1,2]上的最小值g (x )min ＝g (2)＝226150a a --+< 最大值g (x )max ＝g (1)＝268a a -+ ①若g (x )max ＝268a a -+≥0，即a ≥4时，两函数图象在[1,2]上有交点，此时a ≥4显然满足题设条件， ②若g (x )max ＝268a a -+<0，即2<a <4，f (x )的图象在上，g (x )的图象在下．只需f (x )min －g (x )max <12，即f (1)－g (1)<12，即－(268a a -+)<12，所以，3＋22<a <4.综上，所求实数a 的取值范围是(3)2++ .…………………………………………13分21．（本题满分13分）已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有2n a ,2n b ,21+n a 成等差数列，n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列，且1=a ，2=a .（Ⅰ）求证：数列{n b }是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅲ）设22212111nnS a a a =+++L ，如果对任意正整数n ，不等式2aS n <2－22n nb a 恒成立，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查等差、等比数列综合应用，以及对裂项相消及不等式相关知识的理解应用，考查了分类讨论思想，中等题. （Ⅰ）证明由已知，得22212+=+n n n b a a ① a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1② 将②代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2112-+=? n n n n n b b b b b 即112-+=+nn n b b b ∴{b n }是等差数列．…………………………………………4分（Ⅱ）解设数列{b n }的公差为d ，由a 1a 2经计算，得21b ＝252，22b ＝18.∴1b ＝522，d ＝2b －1b ＝32－522＝22，b n ＝522＋(n －1)·22＝22(n ＋4)．∴b n ＝22(n ＋4)，a n .…………………………………………………8分（Ⅲ）解由（Ⅰ）得21n a ＝23)(4)++n n （＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4. ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14－15＋⎝⎛⎭⎫15－16＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4＝2⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4. 不等式2aS n <2－22n nb a 化为4a ⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4<2－n ＋4n ＋3.即(a －1)n 2＋(3a －6)n －8<0，设f (n )＝(a －1)n 2＋(3a －6)n －8，则f (n )<0对任意正整数n 恒成立．当a －1>0，即a >1时，不满足条件；当a －1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a －1<0，即a <1时，f (n )的对称轴为x ＝－3 a －22 a －1 <0，f (n )关于n 递减，因此，只需f (1)＝4a －15<0.解得a <154，∴a <1.综上，a ≤1.………………………………………………………………………………13分。

安徽省马鞍山市013高三数学上学期期中考试理

马鞍山市第二中学2012—2013学年度第一学期期中素质测试高三理科数学试题一、选择题（每小题5分，从四个选项中选出一个正确的选项，共50分.） 1、已知复数z 的实部是2，虚部是-1，若i 为虚数单位，则1iz+= A 、3155i + B 、1355i + C、113i +D 、13i + 2、已知集合{2},{||1|2},A x B x x =<==-<则A ∩B = A 、{x|0<x<3}B 、{x|-1<x<3}C 、{x|0≤x<3}D 、{x|-1<x<2}3、设f (x )是R 上的奇函数，且x ∈(-∞, 0)时，f (x )= x (x -1)，则f (2) = A 、-6B 、1C 、-2D 、24、数列{}n a 满足: 点1(),n n a -在函数()2x f x =的图像上（,2N n n ∈≥)，则{}n a 的前10项和为 A 、4092B 、2047C 、2046D 、10235、给出下面结论：（1）命题2:",320"p x R x x ∃∈-+≥的否定为2:",320"p x R x x ⌝∀∈-+<；（2）若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件；（3）“M N >”是“ln ln M N >”成立的充分不必要条件. 其中正确结论的个数是 A 、3B 、2C 、1D 、06、若方程2|4|x x m +=有实数根，则所有实数根的和可能为 A 、-2，-4，-6B 、-4，-5，-6C 、-3，-4，-5D 、-4，-6，-87、向量a = (cos θ, sin θ)，b ，则|2a -b |的最大值为 A 、3B 、4C 、5D 、68、已知,x y 满足150x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩记目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则::a b c 的值是A 、3:(-2):4B 、(-3):2:4C 、4:1:(-5)D 、(-4):1:59、如图, 正六边形ABCDEF 的中心在坐标原点，,A D 在x 轴上，直线(y kx t k =+为常数）与六边形交于,M N 两点，若记OMN ∆的面积为()S f t =. 则对()f t 的奇偶性判断正确的是 A 、奇函数B 、偶函数C 、既不是奇函数也不是偶函数D 、与k 的取值有关10、等差数列{}n a 的公差(0,1)d ∈，且223737sin sin 1,sin()a a a a -=-+ 当10n =时，数列{}n a 的前n 项和为n S 取得最小值，则该数列的首项1a 的取值范围是 A 、59[,]816ππ-- B 、59(,)816ππ-- C 、59[,]48ππ-- D 、59(,)48ππ-- 二、填空题（每小题5分，共25分）11、计算40cos x dx π=⎰12、若实数,αβ满足,0,22ππαβπ-≤<<≤则2αβ-的取值范围是13、定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0,x f x '+<若20.51(log 3),(()),3a fb f =-=(ln 4),c f =则,,a b c 的大小关系是14、在ABC ∆中，20,||5,||10,,3AD BC AB BC BD DC ⋅====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 点P 满足AP mAB =+u u u r u u u r(1)m AC -u u u r，则AP AD ⋅u u u r u u u r 的值是15、给出下面命题：（1）在函数cos()cos()44y x x ππ=-+的图像中，相邻两个对称中心的距离为π；（2）在ABC ∆中，若3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+= 则角C 为150o；（3）定义域为R 的偶函数()f x 满足(1)(),f x f x +=-则()f x 的图像关于点1(,0)2对称；（4）向量,a b r r 不共线，ma nb -r r 与2a b +r r 共线（其中,0),2mm n R n n∈≠=-且则.其中真命题的序号是三、解答题（共75分） 16、（本题满分12分）已知函数1()cos )cos (0)2f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为4π．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边长分别是a ，b ，c 满足：(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．17、（本题满分12分）若从数值上看，一个矩形的半周长比其面积小3. （Ⅰ）求该矩形面积的取值范围；（Ⅱ）求该矩形周长的取值范围.18、（本题满分12分）在数列{a n }中， a 1＝1, a n +1＝（1n n+）a n +12n n +.（Ⅰ）设n n n b a=，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n .19、（本题满分12分）星球电子公司于2008年底建成了太阳能电池生产线，自2009年1月份产品投产上市，一年来公司营销状况反映出每月的利润y （万元）与月份x 之间的函数关系为：2656,(,15)21020,(,512)x x N x y x x N x ⎧⎨⎩-∈≤≤=-∈<≤（Ⅰ）2009年第几个月该公司利润最大？最大利润是多少？（Ⅱ）若公司前x 个月的平均利润(ss xω=是前x 个月的利润和）达到最大时，公司下个月就采取各种措施，以保持盈利水平。

2013年马鞍山市三模数学试卷(理)

安徽省马鞍山市2013年高中毕业班第三次教学质量检测（数学理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）设集合2{|40}A x x =->，{|21}xB x =<，则A B =（A ）{|2}x x > （B ）{|2}x x <- （C ）1{|}2x x <（D ）{|22}x x x <->或（2）已知复数2(1)(2)i ()z a a a =-+-∈R ，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(5)0.8P X <=，则(13)P X <<=（A ）0.6（B ）0.4（C ）0.3（D ）0.2（4）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（A ）22cos sin y x x =-（B ）lg ||y x =（C ）2x xe e y --=（D ）3y x =（5）在极坐标系中，直线2sin()4πρθ-=与圆2cos ρθ=的位置关系是（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）无法确定（6）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是（A ）12π（B ）13π（C ）15π（D ）17π（7）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F △，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A ）4+（B 1（C ）（D 1（8）从0,8中任取一数，从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A ）24（B ）18（C ）12（D ）6（9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*14()n n a S n +=∈N ，则6a =（A ）445⨯（B ）4451⨯+（C ）55（D ）551+（10）已知函数2342013()12342013x x x x f x x =-+-+-⋅⋅⋅-，则下列结论正确的是（A ）()f x 在(0,1)上恰有一个零点（B ）()f x 在(0,1)上恰有两个零点（C ）()f x 在(1,2)上恰有一个零点（D ）()f x 在(1,2)上恰有两个零点二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 ▲ ．（12）设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点(,)x y D ∈，则目标函数z x y=+的最大值为 ▲ ．（13）执行下边的程序框图，输出的T = ▲ ．（14）ABC △中，向量AB与BC 的夹角为56π，||2AC = ，则||AB 的取值范围是 ▲ ．【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题．（15）如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从顶点A 出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去8个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论： ① 有12个顶点； ② 有24条棱； ③ 有12个面；④ 表面积为23a ；⑤ 体积为356a ．其中正确的结论是 ▲ （写出所有正确结论的编号）．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分12分）已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=⋅->的最小正周期为2π．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设ABC △的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，求此时函数()f x 的值域．（17）（本小题满分12分）甲、乙等6名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为1,2,,6 ）．（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为，求ξ的分布列与期望．（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AB ⊥平面BCE ，DC ⊥平面BCE ，22AB BC CE CD ====，23BCE π∠=．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求二面角A EB D --的大小．（19）（本小题满分12分）数列{}n a 满足13a =，125n n a a n ++=+．（Ⅰ）求2a 、3a 、4a ；（Ⅱ）求n a 的表达式；（Ⅲ）令12233445212221n n n n n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++- ，求n T ．（20）（本小题满分13分）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值．（21）（本小题满分14分）已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知,P Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．① 求证：MN AB ⊥；② 若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．参考答案一．选择题（1）【答案】选（B）．【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题．（2）【答案】选（A）．【命题意图】本题考查复数的概念及充要条件，容易题．（3）【答案】选（C）．【命题意图】本题考查正态分布知识，容易题．（4）【答案】选（B）．【命题意图】本题考查函数的奇偶性与单调性，容易题．（5）【答案】选（C）．化成普通方程，易判断．【命题意图】本题考查极坐标方程及直线与圆的位置关系，容易题．（6）【答案】（D）【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体表面积的计算，考查空间想象能力，容易题．（7）【答案】（D）【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题．（8）【答案】（B）【命题意图】本题考查排列组合的知识，中等题．（9）【答案】（A）【命题意图】本题考查递推数列通项公式的求法，中等题．（10）【答案】（C）【命题意图】本题考查导数的应用，考查函数零点的知识，较难题．二．填空题：（11）【答案】84．【命题意图】本题考查二项式定理的基础知识，容易题．（12）【答案】3．【命题意图】本题考查双曲线和抛物线的基础知识，考查线性规划，容易题．（13）【答案】30．【命题意图】本题考查程序框图，容易题．（14）【答案】(0,4]．【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题．（15）【答案】①②⑤．【命题意图】本题考查空间想象能力，较难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）【命题意图】本题考查三角函数、解三角形、基本不等式的基础知识，中等题．【答案】（Ⅰ）111()2cos2sin(2)2262f x x x xπωωω=--=--，……4分由题，222Tππω==及0ω>，得：2ω=，所以1()sin(4)62f x xπ=--．……6分（Ⅱ）由22221cos222a cb ac acxac ac+--=≥=，知：(0,]3xπ∈，……9分从而74-(-,]666p p px∈，所以函数()f x的值域为1[1,]2-．…12分（17）【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题．【答案】（Ⅰ）只考虑甲、乙两考生的相对位置，用组合计算基本事件数；设A表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得：2434664 ()1()15A AP A P AA=-=-=甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是45. ………………6分（另解2411434334666624 ()5A A A A AP AA A=+=）（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值是0，1，2，3，4，且2651(0)3PCξ===,2644(1)15PCξ===,2631(2)5PCξ===,2622(3)15PCξ===,2611(4)15PCξ===[另解：2525661(0)3A APAξ===，214244664(1)15A A APAξ===，223243661(2)5A A APAξ===，232242662(3)15A A APAξ===，2424661(3)15A A P A ξ===]………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列是：所以14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即甲、乙两考生之间的面试考生个数X 的期望值是43. ………………12分（18）【命题意图】本题考查空间位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题．【答案】(Ⅰ)证明：取BE 的中点O ，AE 的中点F ，连OC ，OF ，DF ，则2OF//BA∵AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，∴2CD //BA ，∴OF//CD ，∴OC ∥FD∵BC=CE ，∴OC ⊥BE ，又AB ⊥平面BCE. ∴OC ⊥平面ABE. ∴FD ⊥平面ABE.从而平面ADE ⊥平面ABE. ………………6分 (Ⅱ)二面角A —EB —D 与二面角F —EB —D 相等，由(Ⅰ)知二面角F —EB —D 的平面角为∠FOD 。

安徽省马鞍山市高三数学第二次教学质量检测试题理新

1安徽省马鞍山市2013届高三毕业班第二次教学质量检测理科数学第I 卷选择题（50分）选择题共10个小题，每小题5分，共计50分。

(请将答案填到填空题后的答题框中) （1）复数z 满足z+2= 2i,则|z|=( )A. 2B.2C.2 2D.4(2)已知集合P={x|x2 ≤ 1},M=(-∞，a).若 P ∪M=M,则a 的取值范围是（） A.（-∞，-1] B. (1，+∞) C.[-1,1] D[1, +∞）(3) 已知命题p ：x ∈R,cos x= 54 ;命题q:x ∈R,x2-x+1＞0.则下列结论正确的是（）A. 命题p ∧q 是真命题B.命题p ∧-q 是真命题C. 命题-p ∧q 是真命题 D 命题-p ∨-q 是假命题（4）设变量，x,y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值是（） A. -1 B. 4 C. 2 D. -12（5）在的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二次项系数之和为B ，且A+B=72，则展开式中常数项为（） A.6 B.9 C.12 D.18（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（） A. 5 B.4+√5 C.5+√5 D.5+2√5（7）随机输入整数x ∈[1,9],执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于31的概率为（） A.79 B.23 C.59 D.49（8）已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，如果不等式f(a) ≤ f(1)恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.（-∞，1]B. [0，+∞)C.[0,1] D[-1,1]2(9) 已知等差数列{an}的通项公式为an=64-4n5 ,设An=| an + an+1 +…+ an+12|（n ∈N*）,则当An 取最小值时，n 的取值为（） A.16 B. 14 C.12 D.10（10）若a 是f(x)=sin x-x cos x 在（0,2π）内的一个零点，则对x ∈（0,2π），则下列不等关系恒成立的是（）第II 卷非选择题（100分）填空题共5个小题，每小题5分，共计25分。

安徽省2013届高三省级示范高中联考数学(理)试题扫描版含解析

2013安徽省省级示范高中名校高三联考数学（理科）试题参考答案1.C 解析：22,22ii==∴⎪⎝⎭2013201210062i i====,所以其对应点位于第三象限.2.C 解析：()()0,af x dx f a'==⎰得0a=或1或1,-又由积分性质知>0a,故1a=,选C.3.D 解析：第一步：2=1+2=3<12a，第二步：2321112a=+=<，第三步：211212312a=+=>，输出123．4.B 解析：由图及频率分布直方图的意义知4×（0.02+0.03+0.03+0.08+x）=1，解得x=0.09，∴样本数据落在[6，14）内的频数为1000×4×（0. 08+0.09）=680．5.A 解析：13513621C()()C,n rr n r r rr n nT x x x---+=⋅=令350,n r-=得3,5r n=∴当n为5的倍数时展开式中都有常数项，故选A．6.A解析：画图确定可行域，从而确定(1,0)-到直线12xy+=7.C 解析：过A 作AD x⊥轴于D，令FD m=，则2,22,2,FA mm m m=+==所以112OAFAD S∆==⋅⋅=.8.D 解析：设公比为q，显然0q≠，13++=(+1+q)=3b=.11++qa b c bqq⇒11>0+2,0<1<0+-2,-3<0.q b q bq q≥∴≤≤∴≤当时，q；当时，q故选D9.C 解析：如图，分别取另三条棱的中点,,A B C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为ＰＱ∥ＡＬ，ＰＲ∥AM，且ＰＱ与ＰＲ相交，AL与AM相交，所以平面PQR//平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.10.B 解析：从8个顶点中任取两点有2828C=种取法，其线段长分别有1，2，312条棱线，长度都3≤；②其中4条，边长(1, 2)对角线3=<；故长度3>的有2812412--=，故两点距离大于3的概率123287P ==. 11.4π 解析：2222sin cos2x y y ρρθθ=+⇒+=+ 22((1)4,x y ⇒-+-=面积为4.π12.6 解析：当a 与b 共线时，向量m n a +b 始终具有固定的方向，所以 6.x =13.16π 解析：该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为()22324221642πππ⋅⨯⋅+⋅=. 14.4 解析：333cos cos sin cos -sin cos =sin =sin(+)5553tan =sin cos +sin cos 2sin cos =8sin cos =4.5tan a B b A c A B B A C A B A A B B A A B B A B-=⇒⇒⇒（） 15.①②⑤ 解析：如图编号，边长为3，则选取三角形的边长为1,或2三种之一；①每边各选1点，三角形共1112228C CC ⨯⨯=个；②锐角三角形只有△DHF 和△IGE 两个；③直角三角形有6个（满足1：2）；④没有钝角三角形；⑤两个正三角形△DHF 和△IGE（边长为；故选①②⑤. 16.解析：（Ⅰ）1()sin 2222f x x x x =+-1sin 222x x =26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. ……………… 3分令()262x k k πππ+=+∈Z ,得()26k x k ππ=+∈Z , 故()f x 的图象的对称轴方程为()26k x k ππ=+∈Z . ……………… 5分（II ）将函数()f x 的图象向右平移3π个长度单位,得到函数()2236g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象,即()2g x x =.………7分当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,得1cos2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ……………… 8分所以2x ⎡∈⎢⎣,即函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣. ……………… 12分 17.解析：（Ⅰ）依题意可知：X 的最小值为4.当4X =时，整个比赛只需比赛4场就结束，这意味着甲连胜4场或乙连胜4场，于是由互斥事件的概率计算公式可得()4441142()28P X C ===.……………… 5分（Ⅱ）4,5,6,7.X =当5X =时，意味着甲在第5场获胜，前4场中有3场获胜，或乙在第5场获胜，前4场中有3场获胜，显然这两种情况是互斥的，所以()33434111152()();2224P X C -⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦ 依此可得：()()3353533636111562()(),22216111572()();22216P X C P X C --⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦ ∴X 的分布列为：∴数学期望4567.84161616EX =⋅+⋅+⋅+⋅=……………… 12分 18.解析：（Ⅰ）1111410,2,,.233AA FC C F CF AC CC CF S ===∴==直角梯形由已知可得ABC ∆的高为3且等于四棱锥ACF A B 1-的高. 39103310311=⨯⨯=∴-ACF A B V ，即多面体1ABCFA 的体积为.3910………… 5分（Ⅱ）将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点. ……7分以1,AC AA分别为y轴，z轴，过点A且与AC垂直的直线为x轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,0,2),(0,2,1),A B A F显然平面1AA F的法向量为1(1,0,0);n =设平面1A FB的法向量为2(,,),n x y z=∵11(3,1,2),(0,2,1),AB A F=-=-∴20,20,y zy z+-=-=⎪⎩令1,y=得2(3,1,2),n=设二面角1A A F B--为,θ则12126cos||||n nn nθ⋅==⋅……………… 13分19.解析（Ⅰ）因为D d+=，所以()()a c a c++-=，解得a=，因为222a b c=+，3c=，所以3b=，所以椭圆的方程为221189x y+=.……………… 5分（Ⅱ）由椭圆的中心对称性得，OA OB=，依题意得，OM ON⊥，四边形2OMF N为平行四边形，所以22AF BF⊥，所以△2ABF是直角三角形，所以226AB OF==.所以线段AB的长是定值6.……………… 12分20.解析：（Ⅰ）设公差为d,0d≠.由已知得121114614(2)(6)a da d a a d+=⎧⎨+=+⎩，解得10d d==或(舍去),所以12a=，故1na n=+………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1n a n =+，所以[][]22log (1)=log n n b a n =-……………… 6分 []x 表示不超过x 的最大整数，当122t t n +≤<时，[]2log n t =[][][][][]22222222log 1log 2log 3log 4log 5...log (21)log 2n n n S ⎡⎤⎡⎤=++++++-+⎣⎦⎣⎦[][][][]231232222222222log 1(log 2log 3)(log 2...log 7)(log 2...log 15)...⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 11122222(log 2log (21)...log (21))log 2n n n n n ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦234122223242...(1)2 n n S n n -+⨯+⨯+⨯++-⨯+= ①23412222232...(2)2(1)2 2n n n S n n n -+⨯+⨯++-⨯+-⨯+= ②①-②得：234122222..222 .n n n n S n n -=-++++++-⨯-2(12)(21)12n n n -=-⨯+-(2)22n n n =-⨯-- 2(2)22 n n S n n ∴=-⨯++.……………… 13分21.解析：（Ⅰ）1()(0)mx f x x x-'=>. 当m=0时，()ln f x x =在()0,+∞上单调递增；当m <0时，1()0mx f x x-'=>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当m >0时，令1()>0mx f x x -'=得10x m <<，所以()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，令1()0mx f x x -'=<得，1x m >，所以()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ……………4分（Ⅱ）当m ≤0时，()f x 在()0,+∞上单调递增，且()f x -∞<<+∞，所以()0f x ≤在()0,+∞上不恒成立；当m >0时，由（Ⅰ）得max 1()ln 10f x f m m m ⎛⎫==--+≤⎪⎝⎭，令()ln 1g m m m =--+，()111m g m m m-'=-=，所以()0,1m ∈，()0g m '<，()1,m ∈+∞，()0g m '>，()min (1)0g m g ==，所以m=1.综上，m 的取值范围是m=1. ……………… 8分（Ⅲ）()()lnln ln 1111b f b f a b a a b b a b a a a--=-=⋅----，因为0b a >>，所以1b a>，由（Ⅱ）得， ()1,x ∈+∞时，ln <1x x -，令b t a=，则ln <1t t -，又1t >，所以ln <11t t -，因为10a >，所以()()1111<1<11b ln f b f a a b a a b a a a -⋅-----，即.……………… 13分。

安徽省马鞍山市2014届高三第二次教学质量检测数学理试题 Word版含答案

马鞍山市2014届第二次教学质量检测高三理科数学试题第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．（1）设1z i -=-（i 是虚数单位），则22z z+等于(▲)A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i +命题意图:考查共轭复数及复数的运算，容易题。

答案:D（2）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(▲)A ．16643π-B ．32643π-C ．6416π-D ．64643π-命题意图:考查三视图及体积的运算，考查空间想象能力。

容易题。

答案:A解析:3211642(13)6433V ππ=-⨯⨯+=-（3）51()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(▲)A ．－20B ．－10C ．10D ．20命题意图:考查二项式定理的应用，容易题。

答案：C（4）某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内的条件为(▲)A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k >命题意图:考查程序框图，容易题。

答案：A（5）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS 等于(▲)俯视图侧视图正视图第（2）题图第(4)题图A ．1B ．－1C ．2D.12命题意图:考查等差数列性质及运算，容易题。

答案： A（6）函数5sin()sin()1212y x x ππ=-+的最大值为(▲)A ．12B ．14C ．1 D命题意图:考查三角函数性质与运算，容易题。

答案： A（7）以下判断正确的是（）A ．函数()y f x =为R 上的可导函数，则“0()0f x '=”是“0x 为函数()f x 极值点”的充要条件B ．“1a =”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的充要条件C ．命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题D ．命题“2,10x R x x ∈+-<存在”的否定是“2,10x R x x ∈+->任意”命题意图:考查简易逻辑基本概念，容易题。

安徽省安庆市2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题(详解)扫描版含答案

CD2013年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题1．解析：31i i i==-+-，故选B 。

考点：复数的基本运算 2．解析：∵}10|{}ln 11|{≠>=+-==x x x x x y x A 且， }1|{}21|{≤=+-==y y x y y B ∴)1,0(=B A ，故选D 。

考点：集合的含义与运算。

错误！未找到引用源。

3．解析：663624186=⇒=+⇒+=a d a a a ，∴42727)(4717==⨯+=a a a S ，故选B 。

考点：等差数的通项与求和。

4．解析：∵021=⋅PF PF ，∴21PF PF ⊥，∴102||||2||2121===+F F PO PF PF ，故选D 。

考点：向量的运算与双曲线的性质。

5．解析：由题意得：)322sin(]3)(2sin[)(πϕπϕ++=++=x x x g则Z k k ∈+=+,232πππϕ，可得ϕ的最小正值为12π，故选A 。

6. 解析：∵若A 、B 、C 三点共线， ∴λ=即)(b y a b a x +=+λ11=⇒⎩⎨⎧==⇒xy yx λλ，故选B 。

考点：向量共线的充要条件与轨迹7．解析：由三视图知原几何体为四个面均为直角三形的三棱锥，如右图所示。

则外接球球心为AD 的中点，故2=r ，∴外接球的体积是π328。

故选C 。

考点：三视图与几何体体积的计算。

8．解析：∵方程),(022R b a b ax x ∈=-++的两根分别错误！未找到引用源。

在区间]2,(--∞和),2[+∞上错误！未找到引用源。

，∴⎩⎨⎧≤++≤+-022022b a b a ，由线性规划知识得：22b a +错误！未找到引用源。

的最小值为4。

故选D 。

考点：二次方程的根的分布和简单的线性规划。

9．解析：将极坐标方程22sin cos =+θρθρ和1=ρ化为直角坐标系下的方程得：22=+y x 和122=+y x ，由数形结合易得：这两条切线的夹角的最大值为3π，故选B10．解析：设c bx ax x x f +++=23)(在区间)2,1(上的三个零点为1x 、2x 、3x ，则))()(()(321x x x x x x x f ---=，∴)2)(2)(2)(1)(1)(1()2()1(321321x x x x x x f f ------=⋅)]2)(1)][(2)(1)][(2)(1[(332211x x x x x x -------=641221221221233222211-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≥x x x x x x ∵1x 、2x 、3x 为三个零点，∴1x 、2x 、3x 互不相等，∴上式“=”不成立。

安徽省马鞍山市2013届高三上学期期末素质测试数学文含答案

2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测文科数学试题本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项： 1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题,共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．(1）i 是虚数单位，复数21ii-+的虚部为A ．2B ．2-C ．1D ．1- （2）设R 为实数集，集合{}|lg 0S x x =>，{}24T x x=>，则RS T （）=A ．{}12x x <<B ． {}12x x ≤<C ．{}12x x <≤D ． {}12x x ≤≤(3) “2=ω"是“函数)sin(ϕω+=x y 的最小正周期为π”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（4)已知正方形ABCD 的三个顶点A （1，1），B （1,3),C （3，3），点P （x ,y ）在正方形ABCD 的内部,则z x y =-+的取值范围是A ．(2,2)-B ．(1,1)-C ．(2,1)-D ．(0,2)(5）平面上有两点()1,0A ，B ()3,1-．向量a 满足||1a =，且a 与AB 方向相同，则a =与双曲线、双曲线的渐近线交于点M N ，（均在第一象限内），若||4||FM MN =，则双曲线的离心率为（10）某产品前n 年的总产量nS 与n 之间的关系如图所示，已知前m 年的平均产量最高，则m 等于A ．6B ．7C ．8D ．9第II 卷（非选择题,共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分,共25分．请在答题卡上答题．（11）若直线20ax y -+=与圆221x y +=相切，则实数a的值为．（12）已知总体的各个个体的值由小到大依次为3，7，a ，b ，12，20，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则（14）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（15）()f x 是定义在R 上的奇函数，且当120,()log(1)x f x x >=+时，设,a b R ∈，给出三个条件：①0,a b <<②0a b <<，③0a b <<．其中可以推出()()f a f b >的第13题图正（主）视图俯视图第14题个．三、解答题：本大题共6小题,共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (16）（本小题满分12分）等差数列{}na 中，前n 项和为.n S ，且2103,100a S ==．（Ⅰ）求{}na 通项公式；（Ⅱ）设n b na n22+=,求数列{}n b 前n 项的和nT ．(17)（本小题满分12分）设()sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ)求()f x 最大值及相应x 值；（Ⅱ）锐角ABC △中，满足()1f A =．求()sin 2B C +取值范围．(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是菱形,60ABC ∠=︒,侧面PAD ⊥底面ABCD，E F、分别为PA AD、中点．（Ⅰ）求证：PD ∥平面CEF ； (Ⅱ）求证：平面CEF ⊥平面PAD ．DP第18题图(20)（本小题满分13分)()()3221,f x xax a x a R =--+∈．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的图像不存在与:l y x =-平行或重合的切线,求实数a 的取值范围．(21）（本小题满分13分）且短半轴121,,b F F =为其左右焦点，P 是椭圆上动点．(Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ)当1260F PF∠=︒时，求12PF F △面积；（Ⅲ）求12PF PF ⋅取值范围．OF 2F 1Pyx第21题图2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测a的值为0,a b <<0a b <<0a b <<()()f a f b >件共有个．【答案】3【命题意图】本题考查函数性质，图象变换，数形结合，中等题．三、解答题()()()2132122222212n n n n --+++=+++++++21212233n n n +⨯++-…………………………………分）PAD平面平面ABCD又平面，∴平面⊂CE CEF（本小题满分某校高三图都受到不同程度的破坏，第19题图（20)(本小题满分13分）()()3221,f x x ax a x a R=--+∈（Ⅰ）求()f x的单调区间．（Ⅱ）若()f x的图像不存在与:l y x=-平行或重合的切线，求实数a的)(,)a +∞,)3a -∞-和)(,)3a -+∞)a 和(-当12时求12PF PF ⋅取值范围．【命题意图】本题考查椭圆方程、4，∴1002(3,),(3PF x y PF =---=-2120PF PF x ⋅=- (1122)0033322144x x ≤≤⇒-≤-≤12[2,1]PF PF ⋅∈-13分。

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其中正确命题的序号是________
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15__________________
三．解答题共6个小题，满分75分
∴BC⊥截面ACEF∴BC⊥AE
又∵
故AE⊥平面BCF又
∴平面ABE⊥平面BCF…………………………6分
（Ⅱ）解：平面BEF与平面BCF所成的二面角为，
设AE =M由（Ⅰ）AE⊥平面BCF，过E作于
连接为
设则
在中，
依题
解得故直径AB长 ……………………………12分
方法（2）建立空间直角坐标系如图
甲校
乙校
总计
优秀
非优秀
总计
附：
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
【命题意图】本题考查2×2列联表、抽样调查的方法，及用样本估计总体的基本思想和设计抽样方法收集数据等基础知识，考查应用意识和数据处理的能力.
解：（Ⅰ）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，
设
则
设平面法向量为
又平面BCF法向量为，由平面BCF，
故
，
故直径AB长 ………12分
19．(本题满分13分)已知抛物线的顶点为P，
两条互相垂直的直线恒与相切,切点分别为M，N两点.
（Ⅰ）若 ,求G点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线与相交于A,B两点,与相交于C,D两点,设 , 的面积分别是 , ,求证：不论实数m取何值，为定值，并求出这个定值.
(15)如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，E为正方形BCC1B1的中心，F为棱C1D1上的动点（包括端点C1，D1）给出下列命题：
①存在点F，使得EF⊥平面AB1C :
2 存在点F，使得EF与平面ABCD所成的角为:
3对于任意点F，总有EF⊥A1D：
4对于任意点F，三棱锥A1-DEF的体积为定值。
【命题意图】本题考查等差数列基础知识，中等题.
10．【答案】A.简解：由，知的过O点的切线为，易知切线的斜率，数形结合可知选A
【命题意图】本题考查三角函数，导数及其应用，不等式，难题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
A
B
C
A
D
D
A
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．
【解】
（19）(本题满分13分)已知抛物线C1：y=x2-1的顶点为P，两条互相垂直的直线恒与C1相切，切点分别为M,N两点.
(I)若，求G点的轨迹C2的方程：
（II）若直线L：mx-2y+1=0与C1相交于A,B两点，与C2相交于C，D两点设△PAB ,△PCD的面积S1，S2,求证：不论m取何值，为定值，并求出这个值。
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BCF；
（Ⅱ）若平面BEF与平面BCF所成的二面角为，求圆柱的底面直径AB长.
【命题意图】利用圆柱为载体研究空间里的点、线、面之间的位置关系.如面面垂直，二面角等.中等题.
（Ⅰ）证明：∵过圆柱母线的截面ACEF是正方形，∴截面ACEF⊥平面ABC, AE⊥CF
又AB为圆柱的底面直径,∴AC⊥BC
分组
[90，100]
甲校频数
10
25
35
30
x
乙校频数
15
30
25
y
5
（I）计算x，y的值，并根据以上数据估计出学校乙的数学成绩的平均分（精确到1分）；
（II）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”
A. -1 B. 4 C. 2 D. -
（5）在的展开式中，各项系数之和为A，各项的二次项系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项为（）
A.6 B.9 C.12 D.18
（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A. 5 B.4+√5 C.5+√5 D.5+2√5
（7）随机输入整数x∈[1,9],执行如图所示的流程图，则输出的x不小于31的概率为（）
类似解法参照给分
17．(本题满分12分)某市高二年级甲校有1100人，乙校有900人.现对两校高二年级在当年学业水平考试中的数学学科成绩进行统计分析，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，整理得到以下统计表（本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）：
甲、乙两校高二年级数学成绩统计表
【命题意图】本题考查抛物线及动点的轨迹方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，中等题.
解:（Ⅰ）由得
设 , ,
由得
再设，由及
故G点的轨迹的方程为 …………………………………………6分
（Ⅱ）显然，由
记 , ，∴
记 , ，
∴
∴ 为常数
∴命题成立，这个常数为3.……………………………………………………13分
安徽省马鞍山市2013届高三毕业班第二次教学质量检测
理科数学
第I卷选择题（50分）
一．选择题共10个小题，每小题5分，共计50分。(请将答案填到填空题后的答题框中)
（1）复数z满足z+2=,则|z|=( )
A.B.2 C.2D.4
(2)已知集合P={x|x2≤ 1},M=(-∞，a).若P∪M=M,则a的取值范围是（）
A.B.C.D.
（8）已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，如果不等式f(a) ≤ f(1)恒成立，则实数a的取值范围是（）
A.（-∞，1] B. [0，+∞) C.[0,1] D[-1,1]
(9)已知等差数列{an}的通项公式为an=,设An=|an+an+1+…+an+12|（n∈N*）,则当An取最小值时，n的取值为（）
【解】
（20）(本题满分13分)函数f(x)=(x-1)2+blnx,其中b∈R。
（I）若函数在其定义域内是单调递增函数，求b的取值范围：
（II）设a>2,g(x)=x3-3a2x+4a2-6a+7.当b=时，若存在x1，x2∈[1,2],使得|f(x)- g(x)|＜，求实数a的取值范围。
【解】
21．（本题满分13分）已知正项数列，满足：对任意正整数n，都有 , , 成等差数列， , , 成等比数列，且， .
【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量平行关系、正弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．
（Ⅰ）证明：
所以原等式成立.…………………………………………4分
（Ⅱ）解法1
……………………8分
∵ ∴
∴ 时， ………………12分
解法2
（以下同解法1）
解法3∵ 由余弦定理可得：
∴ ，由正弦定理可得（以下略）
1．【答案】C由复数的运算得，故 = ，选C
【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题
2.【答案】B
【命题意图】本题考查集合运算，简单题.
3.【答案】C.
【命题意图】本题考查简易逻辑，容易题.
4．【答案】A.
【命题意图】本题考查线性规划，容易题.
5.【答案】B.
【命题意图】本题考查二项式定理，中等题.
【答案】0
【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的基本知识，中等题.
14．在中，若，，则的最小值是▲.
【答案】 .
【命题意图】本题考查平面向量基本知识，中等题.
15.如图，在正方体中，E为正方形的中心，F为
棱上的动点（包括端点）.给出下列命题：
1存在点F，使得；
2存在点F，使得所成角为；
(12)函数y=Asin(wx+φ)的部分图像如图所示，其中A＞0，w＞0,|φ|＜，则其解析式为_____________
(13)已知P是椭圆和双曲线x2-y2=2的一个交点，若F1，F2分别是椭圆的左,右焦点，则cos∠F1PF2=__________
(14)在△ABC中，若∠BAC=120，，则的最小值时____
A.16 B. 14 C.12 D.10
（10）若a是f(x)=sin x-x cos x在（0,2π）内的一个零点，则对 x∈（0,2π），则下列不等关系恒成立的是（）
第II卷非选择题（100分）
二．填空题共5个小题，每小题5分，共计25分。(请将答案填到本题题后的答题框中)
（11）直线l的极坐标方程为上的点到直线l的距离d，则d的最大值为_______
甲校
乙校
总计
优秀
非优秀
总计
附：
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
【解】
(18)(本题满分12分)如图，AB为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF是边长为1的正方形。