辽宁师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期末考试数学(文)试题

辽宁师范大学附属中学2018届高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1.设复数112i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A. 1355i + B. 1355i - C. 1355i -+ D. 1355i -- 答案：B解答： 化简1()(1)1(1)(2)1312()(12)2(2)(2)5i i i i i i i z i i i i i i ---++++=====+-+--+，∴1355z i =-，故选B. 2. 已知集合{|ln(1)}A x y x ==-， {|12}B x x =-<<，则A B =I （ ）A.(1,2)B.(1,2)-C.(1,1)-D.(1,1]-答案：A解答：集合{|ln(1)}{|1}A x y x x x ==-=>, {|12}B x x =-<<，所以{|12}(1,2)A B x x =<<=I ，故选A.3. 元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若16a =， 9b =，则输出的n =（ ）A.2B.3C.4D.5答案：A解答：模拟程序的运行，可得16,9,1,24,18a b n a b =====，不满足a b ≤，执行循环体， 2,36,36n a b ===，满足条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为2，故选A.4. 已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线方程为340x y +=和340x y -=，则该双曲线的离心率为（ ） A. 54或532C.53D. 54 答案：D解答：由渐近线方程为34=0,340x y x y +-=，即渐近线方程为34y x =±，设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b -=>，则渐近线方程为b y x a =±，即有34b a =， 又2222229251616c a b a a a =+=+=，即54c a =，可得54c e a ==，故选D. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是（ ） A. 13y x =B. x y e =C. 1()2x y =D. ln y x =答案：C解答：A ，13y x =是奇函数，在区间(0,1)内单调递增，不满足条件；B ，x y e =不是偶函数，在区间(0,1)内单调递增，不满足条件；C ，1()2xy =是偶函数，在区间(0,1)内单调递减，满足条件；D ，ln y x =不是偶函数，在区间(0,1)内单调递减，不满足条件，故选C.6. 某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列结论正确的是（ ）A. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25次B. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24次C. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有80人D. 该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为8人答案：C解答：第一组数据的频率为0.0250.1⨯=；第二组数据的频率为0.0650.3⨯=，第三组的频率为0.0850.4⨯=，∴中位数在第三组内，设中位数为25x +，则.080.50.10.30.1x ⨯=--=，∴ 1.25x =，∴数据的中位数为26.25，故A 错误；最高矩形是第三组数据，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B 错误；学生1分钟仰卧起坐的成绩超过30次的频率为0.0450.2⨯=，∴超过30次的人数为4000.280⨯=人，故C 正确；学生1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的频率为0.0250.1⨯=，∴1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的人数为4000.140⨯=人，故D 错误，故选C.7. 若α， β均为锐角且1cos 7α=， 11cos()14αβ+=-，则3sin(2)2πβ+=（ ） A.12-B.12C.答案：B解答：∵α，β为锐角，∴0αβπ<+<，∵111cos ,cos()714ααβ=+=-，∴sin sin(ααβ=+cos =cos[()]βαβα+-()1111cos +cos sin()sin ()1471472αβααβα=++=-⨯+=， 231sin(2)cos 212cos 22πβββ+=-=-=，故选B. 8. 甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（ ）A.甲没过关B.乙没过关C.丙没过关D.丁过关答案：B解答：因为甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以四人组有且只有两人过关，两人不过关，又因为，丙说：甲乙丁恰好有一人过关，不过关的情况有三种可能：甲乙、甲丁、乙丁，根据甲不知道自己成绩的情况下说四个人中至少两人不过关，可见乙丙丁中有两人不过关，不过关的可能的情况有三种：乙丙、丙丁、乙丁，结合以上六种，同时成立的是乙丁不过关，甲丙过关，故选B.9. 一个正六棱柱的主视图（由两个边长等于4的正方形组成）如图所示，则该六棱柱的侧视图的面积为（ ）A.16B.D.答案：C解答：由三视图可得，正六棱柱的直观图如图， 111111ABCDEF A B C D E F -，图中8FB =， 设底面正六边形边长为a8,a ==112A D a ==，∴棱柱侧视图是边长为3与4的矩形,4= C.10.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，23a =，且3a ，5a ，8a 成等比数列，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n T 为（ ） A. 1n n +B. 1n n - C. 221nn + D. 24nn +答案：D解答：设首项为1a ，公差为d ， ∵23583,,,a a a a =成等比数列，∴112113(2)((4)7)a d a a a d d d +==++⎧⎨+⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，∴1n a n =+，111(1)(2)12n b n n n n ==-++++，∴12...n n T b b b =+++11111111+...2334122224nn n n n =--++-=-=++++，故选D.11. “01m <≤”是函数1,1() 1,1mx f x x x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩满足：对任意的12xx ≠，都有12()()f x f x ≠”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：A解答：∵当01m <≤时，()1mg x x =-在(1,)+∞上递减，()1h x x =-+在(,1)-∞递减，且(1)(1)g h ≤，∴()f x 在(,)-∞+∞上递减，∴任意12x x ≠都有12()()f x f x ≠， 若0,()m g x <在(1,)+∞上递增，()h x 在(,1)-∞上递减，()0,()0g x h x <≥， ∴任意12x x ≠，都有12()()f x f x ≠，∴“01m <≤”是函数1,1() 1,1m x f x x x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩满足：对任意的12x x ≠，都有12()()f x f x ≠”的充分不必要条件，故选A.12. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上， 90BAC ∠=︒，BC =，PA = PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A.163π B.4πC.15πD.16π 答案：C解答：因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥ ，又因为90BAC ∠=︒，所以AB AC ⊥ ，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以,,PA AB AC 为长宽高的长方体的外接球， 所以外接球的直径等于长方体的体对角线，可得22222222415R PA AB AC PA BC =++=+=+=，此三棱锥外接球的表面积为2415R ππ=，故选C.二、填空题13. 若函数2,[1,1]() (2),(1,)x x f x f x x ⎧∈-=⎨-∈+∞⎩，则(5)f = . 答案：1解答：因为函数2,[1,1]() (2),(1,)x x f x f x x ⎧∈-=⎨-∈+∞⎩，所以2(5)(3)(1)11f f f ====，故答案为1. 14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()13nn S =+，则n a = .答案： 15,13 12(),233n n n -⎧⎪=-⋅≥⎪⎨⎪⎪⎩ 解答：1n =时，1153a S ==，2n ≥时，1122()1[()1]33n n n n n a S S --=-=+-+， ∴15,13 12(),233n n n a n -⎧=⎪⎪=⎨⎪-⋅≥⎪⎩，故答案为15,13 12(),233n n n -⎧⎪⎪⎨=-≥⎪⎪⎩⋅. 15. 若0a >， 0b >，点(0,0)A在圆2240x y a b +++--=的外部，则2a b +的范围是 .答案：(2,8)解答：2240x y a b +++--=可化为22(24y a b x +=+-+，∴240a b +->，又∵(0,0)在圆2240x y a b +++--=的外部，∴40,4a b a b -->+<，画出4 0,0240a b a b a b ⎧⎪⎨⎪>>+-+⎩><的可行域，如图，由图知2a b +在(0,4)处有最大值8， 2a b +在(2,0)处有最小值2， 因为此可行域在边界处不能取值，∴2a b +的取值范围是(2,8)，故答案为(2,8).16. 直角梯形ABCD 中， CB CD ⊥， //AD BC ， ABD ∆是边长为2的正三角形， P是平面上的动点， ||1CP =u u r ，设A P AB D A λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ， R μ∈），则λμ+的最大值为 .答案：解答：以C 为原点， CD uuu r 为x 轴， BC uu u r 所在直线为y 轴，建立直角坐标系， ∵1CP =uu r ，∴可设(cos ,sin )CP αα=u u r，(1AD =-u u u r ，(2,0)AB =-u u u r，(AC =-u u u r ，(cos 2,sin AP AC CP αα=+=-u u u r u u u r u u r ，因为AP AD AB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以(cos 2,sin (2)ααλμ-+=--.sin 12cos 23 sin 11cos 22λαλμααμαα⎧⎪⎨⎧=+⎪--=-⎪⇒⎨=⎪=--+⎪⎩⎩⎪，1333cos =)2222λμαααϕ+=-++-+≤= ， 即λμ+的最大值为96+故答案为96+.三、解答题 17. 已知(cos ,1)4x m =u r ，2,cos )44x x n =r ，设函数()f x m n =⋅u r r . （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求()f B 的取值范围.答案：（1）[]424433k k ππππ-+，，k Z ∈； （2）(. 解答：（1）21()(cos ,1),cos )sin()444262x x x x f x m n π=⋅=⋅=++u r r ， 令222262x k k πππππ-≤+≤+， 则424433k x k ππππ-≤≤+， k Z ∈， 所以函数()f x 单调递增区间为424,4]33[k k ππππ-+， k Z ∈. （2）由2b ac =可知，2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=（当且仅当a c =时，取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，11()2f B +<≤，综上()f B 的取值范围为. 18. 某中学调查了某班全部40名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）能否有95%的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关？（附： 当2 3.841χ>时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当2 3.841χ≤，认为事件A 与B 是无关的.）（2）已知既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,,,,A A A A A ， 3名女同学123,,B B B .现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率.答案：（1）见解析；（2）215P =.解答：（1）由调查数据可知， 没有95%的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关.（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：11[,]A B ,12[,]A B ,13[,]A B ,21[,]A B ,22[,]A B ,23[,]A B ,31[,]A B ,32[,]A B ,33[,]A B ,41[,]A B ,42[,]A B ,43[,]A B ,51[,]A B ,52[,]A B ,53[,]A B 共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“1A 被选中且2B 未被选中”所包含的基本事件有： 11[,]A B ， 13[,]A B ，共2个. 因此， 1A 被选中且2B 未被选中的概率为215P =. 19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点， 12AA AB BC ===， 1C F AB ⊥.（1）求证：1//C F 平面ABE ；（2）求三棱锥1E ABC -的体积.答案：（1）见解析；（2）23. 解答：（1）设D 为边AB 的中点，连接ED ， FD ，∵D ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴//DF AC ， 12DF AC =， 又∵1//EC AC ， 112EC AC =， ∴1//DF EC ， 1DF EC =，∴ 四边形1EC FD 为平行四边形.∴1//C F ED ，又ED ⊂平面EAB ， 1C F ⊄平面EAB ，∴1//C F 平面ABE .（2）在直三棱柱中1CC AB ⊥，又1C F AB ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ， 1C F ⊂平面11BCC B ， 111CC C F C =I ，∴AB ⊥平面11BCC B ，知AB BC ⊥，可得三角形ABC 的面积为2，三角形ABF 的面积为1，由（1）1//C F 平面ABE 知： 1C 到平面EAB 的距离等于F 到平面EAB 的距离， ∴ .20. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），长轴长为，1F 是左焦点，M 是椭圆上一点且在第二象限，1MF x ⊥轴，1MF =（1）求椭圆标准方程；（2）若00(,)R x y （0x ≠±）是椭圆上任意一点，过原点作圆R ： 2200021)()6(4y y x x x +-=+-的两条切线，分别交椭圆于P ，Q ，求证：OP OQ ⊥. 答案： （1）2212412x y +=； （2）见解析.解答：（1）由题意可知22 a b a==⎧⎪⎨⎪⎩，∴a b ⎧==⎪⎨⎪⎩， 椭圆标准方程为2212412x y +=. （2）∵0x ≠±OP ，OQ 斜率均存在，并记作1k ， 2k ，故设过原点和圆R 相切的直线方程为y kx =，= 22220000031(6)26044x k x y k y x --+--=*， 可知1k ， 2k 是*方程的两个根， ∴22001220164364y x k k x --=- 22200022001312(1)6624441336644x x x x x ----===---， 综上可知，OP OQ ⊥.21. 已知函数()2(1)x f x x e ax =-+， e 为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y ex a e =-++，求实数a 的值；（2）讨论()f x 的单调性.答案：（1）a e =-；（2）见解析.解答：（1）∵()(2)x f x x e a '=+， (1)2f e a e '=+=-，∴a e =-.（2）()(2)x f x x e a '=+.①当0a ≥时， 20x e a +>.(,0)x ∈-∞， ()0f x '<，函数()f x 递减；(0,)x ∈+∞时， ()0f x '>，函数()f x 递增；②当102a -<<时， 021a <-<，ln(2)0a -<. (,ln(2))x a ∈-∞-， 20x e a +<， ()0f x '>，函数()f x 递增；(ln(2),0)x a ∈-， 20x e a +>， ()0f x '<，函数()f x 递减； 当(0,)x ∈+∞， 20x e a +>， ()0f x '>，函数()f x 递增； ③当12a =-时， ()(1)0x f x x e '=-≥，函数()f x 在(,)-∞+∞递增； ④当12a <-时， 21a ->， ln(2)0a ->. (0)x ∈-∞，， 20x e a +<， ()0f x '>，函数()f x 递增；(0,ln(2))x a ∈-， 20x e a +<， ()0f x '<，函数()f x 递减；(ln(2),)x a ∈-+∞， 20x e a +>， ()0f x '>，函数()f x 递增.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线l的参数方程为12 x t y ⎧⎪⎪⎨-=⎪⎪⎩=（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程及曲线l 的极坐标方程；（2）当1t t =（10t <）时在曲线l 上对应的点为1M ，若1OCM ∆，求1M 点的极坐标，并判断1M 是否在曲线C 上（其中点C 为半圆的圆心）.答案：（1）见解析；（2）见解析.解答：（1）曲线C 的普通方程为224(2)x y +=-，曲线l 的极坐标方程为： 23πθ=，（ R ρ∈）. （2）设1M 的极坐标为1(),23ρπ，（ 10ρ<）11122sin()23OCM S ππρ∆=⨯⨯-= ∴12ρ=-，所以点1M 的极坐标为(22,)3π-，符合方程4cos ρθ=，所以点1M 在曲线C 上. 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，且不等式()1f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤.（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的不等式2()44f x x t t ++<-解集非空，求实数t 的取值范围. 答案：（1）1a =；（2）(,1)(5,)-∞-+∞U .解答：（1）由1x a -≤，得11a x a -≤≤+， ∴10 12a a -=+=⎧⎨⎩，得1a =.（2）由题意可知2144x x t t -++<-解集非空，()2min 4|1||4|t t x x ->-++， ∵14(1)(4)5x x x x -++≥--+=，所以245t t ->，所以1t <-或5t >，实数t 的取值范围为(,1)(5,)-∞-+∞U .。