2020年高考数学一轮复习讲练测专题2.5二次函数与幂函数(讲)文(含解析)
2020年高考数学一轮总复习：幂函数、二次函数
2020年高考数学一轮总复习：幂函数、二次函数[基础梳理]1．幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较：2．二次函数(1)解析式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)图象与性质：(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)1．一个易混点函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，不能盲目认为是二次函数，要注意对a 的讨论，a ＞0，a ＝0，a ＜0.2．两个条件：一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.3．幂函数y ＝x α在第一象限的图象特征(1)α＞1时，图象过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如y ＝x 3； (2)0＜α＜1时，图象过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如y ＝x 12；(3)α＜0时，图象过(1，1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如y ＝x －1. 4．巧记幂函数的图象五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图象是横卧抛物线型)，α＜0时的图象是双曲线型． [四基自测]1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B ．1C.32 D ．2答案：C2．幂函数f (x )＝x α(α是有理数)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，0)答案：B3．若g (x )＝x 2＋ax ＋b ，则g (2)与12[g (1)＋g (3)]的大小关系为________． 答案：g (2)<12[g (1)＋g (3)]4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1x 的增区间为__________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132，＋∞ 5．(2018·高考全国卷Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1 x ≤01 x ＞0，则f (x )＞f (1)的x 的取值范围为________． 答案：(－∞，0)考点一 幂函数的图象和性质◄考基础——练透[例1] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当0＜x ＜1时，其图象在直线y ＝x 的上方． 答案：C(2)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则下列正确的是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：因为y ＝x 25在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525＞c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x是减函数，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，所以a ＞c ＞b .答案：B1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数.2.幂函数的单调性只与指数的正、负有关，要注意幂函数定义域.1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增． 答案：C2．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b ＜a ＜c .答案：D考点二 二次函数的图象与性质◄考能力——知法 角度1 二次函数的单调性[例2] (1)函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，0) B ．(－∞，－3] C ．[－2，0]D ．[－3，0]解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ， 由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 答案：D(2)已知函数f (x )＝log 0.5(sin x ＋cos 2x －1)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f (x )的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：设g (x )＝sin x ＋cos 2x －1＝sin x ＋1－sin 2x －1＝－sin 2x ＋sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∵0＜x ＜π2，∴0＜sin x ＜1.∵二次函数g (x )＝－sin 2x ＋sin x 图象的对称轴为－12×（－1）＝12，∴sin x ＝12时，g (x )取得最大值，为14，∴0＜g (x )≤14，∴log 0.5g (x )≥log 0.514＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，∴f (x )的取值范围是[2，＋∞)，故选C. 答案：C关于y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调性问题，其关键点为： (1)定方向，根据a 的符号确定抛物线开口方向； (2)定对称轴，对称轴x ＝－b2a ；(3)定单调区间，当a >0时，增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ；当a <0时，增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ，减区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞.角度2 二次函数的最值[例3] (1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时，有最大值2，则a 的值为________．解析：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . 当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.答案：－1或2(2)已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． 解析：①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .(ⅰ)当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0，1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .(ⅱ)当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2. 综上所述f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.将本例(1)改为“已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1－a ”在[0，a ]上的最大值记为g (a )，求g (a )并求其最大值．解析：∵f (x )＝－(x －1)2＋2－a ，关于x ＝1对称 又∵x ∈[0，a ]∴当a ≤1时，x ∈[0，a ]上为增函数， f (x )max ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1－a ＝－a 2＋a ＋1， 当a ＞1时，则f (x )max ＝f (1)＝g (a )＝2－a ，∴g (a )＝⎩⎨⎧－a 2＋a ＋1， a ≤12－a ， a ＞1当a≤1时，g(a)＝－(a－12)2＋54≤54，当a＞1时，g(a)＝2－a＜1，∴g(a)的最大值为5 4.主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值有如下的分布情况：a ＜0的情况，讨论类似．其实质是：无论开口向上或向下，都有两种结论： (1)若－b2a∈[m ，n ]，则 f (x )max ＝max⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ， f (x )min ＝min {}f （m ），f （n ）； (2)若－b2a[m ，n ]，则f (x )max ＝max {f (m )，f (n )}，f (x )min ＝min{f (m )，f (n )}.(2018·衡水金卷信息卷)已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3解析：由题意得f (x )＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin x ＋14＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，令t ＝sin x ，则f (x )＝g (t )＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋2，令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由g (t )的图象，可知当－12≤t ≤0时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，所以－π6≤m ≤0.故选B.答案：B角度3 二次函数中的恒成立问题[例4] (1)(2019·太原模拟)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________． 解析：法一：当a ＞0时，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋2－1a ，由f (x )＞0，x ∈(1，4)得：⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，f （1）＝a －2＋2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1＜1a ＜4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2－1a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4，f （4）＝16a －8＋2≥0.所以⎩⎨⎧a ≥1，a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧14＜a ＜1，a ＞12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤14，a ≥38，所以a ≥1或12＜a ＜1或， 即a ＞12，当a ＜0时，⎩⎨⎧f （1）＝a －2＋2≥0，f （4）＝16a －8＋2≥0，解得；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，f (1)＝0，f (4)＝－6， 所以不合题意．综上可得，实数a 的取值范围是a ＞12.法二：由f (x )＞0，即ax 2－2x ＋2＞0，x ∈(1，4)， 得a ＞－2x 2＋2x 在(1，4)上恒成立． 令g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，1x ∈(14，1)，g (x )max ＝12，所以要f (x )＞0在(1，4)上恒成立， 只要a ＞12即可． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．解析：2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；。
2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：2.5二次函数与幂函数、函数与方程含解析
2.5二次函数与幂函数、函数与方程挖命题【考情探究】的难度.函数与方程是江苏必考内容,主要考查运用零点存在性定理求函数在某区间的零点个数、运用函数图象判定函数的零点个数、根据函数的零点个数(或方程根的个数)求参数的范围等.破考点【考点集训】考点一幂函数的图象及性质1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值等于.答案2.(2019届江苏宜兴官林中学检测)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·-(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n=.答案 1考点二二次函数的图象和性质1.已知函数f(x)=x2-6x+8,xÎ[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是.答案(1,3]2.(2019届江苏白蒲高级中学检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是.答案①④考点三函数与方程1.函数f(x)=e x+x-2的零点有个.答案 12.(2018江苏溧阳高级中学检测)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是.答案-∞-炼技法【方法集训】方法一幂函数图象与性质的求解策略1.正整数p使得函数f(x)=x p-2在(0,+∞)上是减函数,则函数的单调递减区间是.答案(-∞,0),(0,+∞)2.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.答案(3,5)方法二求函数零点个数的解题策略1.(2018江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=x·lg(x+2)-1的图象与x轴的交点有个.答案 22.(2019届江苏东台中学检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为.答案 2方法三已知函数零点求参数的范围的常用方法1.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.答案2.(2019届江苏南通第三中学检测)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组∈其中集合1.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案82.(2014江苏,13,5分,0.48)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数3.(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--为.答案 4B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一二次函数与幂函数1.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-2考点二函数与方程1.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.答案[-1,+∞)2.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=--若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.答案(4,8)3.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 34.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)5.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案6.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=-其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)7.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1②∪[2,+∞)C组教师专用题组1.(2009新课标改编)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.答案 62.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2016课标全国Ⅱ改编,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则=.答案m【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=-(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)3.(2019届江苏侯集中学检测)函数f(x)=lg x+的零点是.答案4.(2018江苏启东中学检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.答案x2+2x+15.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案6.(2019届江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b=.答案 27.(2019届江苏南通中学检测)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为.答案{-3,3}8.(2019届江苏海安中学检测)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.答案-1,-29.(2019届江苏启东汇龙中学检测)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为.答案10.(2019届江苏南通大学附属中学检测)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案x1<x2<x3二、解答题(共30分)11.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.由f(x)≥1-x2得1-x2≤x2-3x+2,解得x≤或x≥1,所以不等式f(x)≥1-x2的解集为或.(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点,则--解得-5<a<-2.所以实数a的取值范围是(-5,-2).12.(2019届江苏常州第一中学检测)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解析(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称.设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0).由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1.根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,所以|x1-x2|=-=-=2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=-,则-≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].。
(精品人教)2020年高考数学一轮复习 专题2.5 二次函数与幂函数(讲)
5 二次函数与幂函数【考纲解读】【直击教材】1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________________． 【答案】f (x )＝x 12(x ≥0)2．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3127 【知识清单】1 二次函数解析式的求法二次函数有三种形式：一般式、顶点式、两根式．求二次函数的解析式，使用待定系数法，即根据题设条件，恰当选择二次函数的形式，可使运算简捷． 2 二次函数的图象与性质的应用①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．②二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用． 3．五种常见幂函数的图象与性质4．二次函数的图象和性质【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．【重点难点突破】考点一幂函数的图象与性质1．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋1为偶函数，则m＝________.【答案】1【解析】因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n＝________. 【答案】13．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 【解析】易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.[谨记通法]幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y ＝x α(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 考点二 求二次函数的解析式已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解：法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n .[由题悟法]求二次函数解析式的方法[即时应用]已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又因为f (x )的图象过点(4,3)， 所以3a ＝3，a ＝1.所以所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.考点三 二次函数的图象与性质 角度一：二次函数的单调性问题1．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[－4,0]角度二：二次函数的最值问题2．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ]( m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是________． 【答案】[1,2]【解析】作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3.角度三：二次函数中恒成立问题3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为________．【解析】由题意得，对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立， 即a >2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，而－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12≤12，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[通法在握]1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴． 2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键 (1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min . [演练冲关]已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．【易错试题常警惕】设函数()222f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】当0a >时，()2112f x a x a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，由()0f x >，()1,4x ∈得：()111220af a ⎧≤⎪⎨⎪=-+≥⎩或1141120af a a ⎧<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-> ⎪⎪⎝⎭⎩或()14416820a f a ⎧≥⎪⎨⎪=-+≥⎩，解得：10a a ≥⎧⎨≥⎩或11412a a ⎧<<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩或1438a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，所以1a ≥或112a <<或∅，即12a >；当0a <时，。
2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题2.5二次函数与幂函数(练)含解析
2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第二章函数第05讲二次函数与幂函数---练1．（2019·山东省桓台第一中学高三期末（文））幂函数的图像过点（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，设幂函数，又由幂函数的图像过点，代入得，解得，即，所以，故选B.2．（2019·上海高三期末）设函数，“该函数的图像过点”是“该函数为幂函数”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若函数f（x）为幂函数，则该函数的图象过点（1，1）．反之如y=lnx+1过（1，1），但不是幂函数，所以不成立．∴“该函数的图象过点（1，1）”是“该函数为幂函数”的必要非充分条件．故选：B．3.（2019·甘肃高三月考（理））函数的图象为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x∈R）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ， 从而得到应选A ， 故选：A ．4.（2019·宁夏银川一中高三月考（理））函数的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设μ=﹣x 2﹣6x ﹣5（μ≥0）， 则原函数可化为y=．又∵μ=﹣x 2﹣6x ﹣5=﹣（x+3）2+4≤4， ∴0≤μ≤4，故∈[0，2]， ∴y=的值域为[0，2]．故选：D ．5．（2019·黑龙江哈师大附中高三开学考试（文））幂函数在上单调递增，则的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2或4 【答案】C 【解析】 由题意得：解得,∴m=4． 故选：C ．6. （2018·安徽高考模拟（文））已知，若()af x x =为奇函数，且在(0,) 上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,332【答案】B 【解析】因为()af x x =为奇函数，所以因为，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B.7.（2011·湖南高考真题（文））已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为 ( )． A ．[2－，2＋] B ．(2－，2＋)C ．[1,3]D ．(1,3) 【答案】B 【解析】由题可知f （x ）＝e x－1>－1，g （x ）＝－x 2＋4x －3＝－（x －2）2＋1≤1，若有f （a ）＝g （b ），则g （b ）∈（－1,1]．即－b 2＋4b －3>－1，解得2－<b<2＋．选B.8.（2019·石嘴山市第三中学高三高考模拟（文））已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 由题可得：，解得：所以因为，，. 又，所以由在上递增，可得：.所以.故选：D9. （2019·重庆市长寿第一中学校高三月考（文））二次函数，则实数a的取值范是____________.【答案】[1，+∞）【解析】二次函数y=x2+2ax+b的对称轴为x=﹣a∵f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，∴﹣a≤﹣1即a≥1故答案为[1，+∞）10．（2018·山西康杰中学高考模拟（文））幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.【答案】2【解析】函数f（x）=（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3=1，解得m=1或m=2；当m=1时，函数y=x的图象不关于y轴对称，舍去；当m=2时，函数y=x2的图象关于y轴对称；∴实数m=2．故答案为：2．1.（2019·河北武邑中学高三月考（文））已知幂函数的图象通过点，则该函数的解析式为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设幂函数的解析式为.∵幂函数的图象过点∴∴∴该函数的解析式为故选C.2.（2019·河南河南省实验中学高考模拟（理））已知函数的值域为，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数的值域为，∴∴∴实数m的取值范围为故选：A3.（2019·福建高三期中（文））已知，，，则( )A． B． C． D．【答案】D【解析】，，在递增，则，又，，在上递增且，则，所以，故选D.4．（2019·湖南高三月考（理））若对任意的，均有，则的取值范围是_______________.【答案】【解析】构造函数根据幂函数的性质得到该函数为增函数，故等价于对任意的恒成立，即x-a,代入得到的取值范围是.故答案为：.5.（2019·陕西高考模拟（理））设b R ∈，若函数在[]1,1-上的最大值是3，则()f x 在[]1,1-上的最小值是____________. 【答案】2 【解析】 整理()f x 可得：，[]1,1x ∈-令2x t =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 可化为：，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当2t =时，，解得：3b = 当1t =时，所以()f x 在[]1,1-上的最小值是2.6．（2019·江西新余一中高考模拟（理））已知函数，若在区间上单调，则实数m的取值范围为_ _. 【答案】.【解析】由题得二次函数的对称轴为. 因为函数在区间上单调，所以当函数单调递增时，，解之得m≥0.当函数单调递减时，，解之得m≤2，综合得m 的取值范围为：.故答案为：.1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C 【解析】取2,1a b ==，满足a b >，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足a b >，，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．2．(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ . 【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.3.（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.【答案】[1,7]-. 【解析】 由已知得,即解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-. 4.（2014·江苏高考真题）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 【答案】【解析】据题意解得．5.(2015·四川卷)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D.812【答案】B【解析】当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减， 则n －8＜0⇒n ＜8，于是mn ＜16， 则mn 无最大值．当m ∈[0,2)时，f (x )的图象开口向下，要使f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≤12， 即2n ＋m ≤18，又n ≥0， 则mn ≤m ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－m 2＝－12m 2＋9m .而g (m )＝－12m 2＋9m 在[0,2)上为增函数，∴m ∈[0,2)时，g (m )＜g (2)＝16，故m ∈[0,2)时，mn 无最大值．当m ＞2时，f (x )的图象开口向上，要使f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，而2m ＋n ≥22m ·n ，所以mn ≤18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝12，2m ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6时，取“＝”，此时满足m ＞2.故(mn )max＝18.故选B.6．（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4)【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f (x )<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.。
2020版高考数学一轮复习第二章第四节二次函数与幂函数课件文
2
∴f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),
∵f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,∴a=1, ∴所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3.
方法技巧
求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当 选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:
x
2 3
1 3
规律总结
幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件 即可确定其解析式. (2)若幂函数y=xα(α∈R)是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般先将
其化为根式,再判断.
(3)若幂函数y=xα(α∈R)在(0,+∞)上单调递增,则α>0;若在(0,+∞)上单调 递减,则α<0.
2 3
1 3
)
A.a<b<c
C.b<c<a
B.c<a<b
D.b<a<c
答案 (1)C (2)B (3)D
解析 (1)设幂函数的解析式为y=f(x)=xα,
∵幂函数f(x)的图象过点(4,2),
1 ∴2=4 ,解得α= . 2 ∴f(x)= x ,其定义域为[0,+∞),且是增函数,
α
当0<x<1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,知选C. (2)因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3既是幂函数又是(0,+∞)上的减函数,所以
α
3
3
α
x ,可知函数为奇函数,在(0,+∞)上单调递增. (x)=
高考数学一轮总复习 2.5幂函数与二次函数
知识梳理
知识点一
幂函数
1.定义：形如 y＝xα (α∈R)的函数叫幂函数，其中x是
自变量 ，α是常数．
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2．幂函数的性质
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知识点二 二次函数 1.二次函数的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为 (h，k) ； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
问题3 如何确定二次函数的对称轴？ (1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且 f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋2 x2对称． (2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成 立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
对点自测 知识点一 幂函数 1.判一判 (1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( ) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( ) (3)幂函数的图象不经过第四象限．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√
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2．设α∈{－1,1，
1 2
，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为
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2．二次函数的性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义 R
域
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值域 单调性 对称性
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在－∞，－2ba减
在－∞，－2ba增
在－2ba，＋∞增
在－2ba，＋∞减
函数的图象关于x＝－2ba对称
2020年高考数学(文)一轮复习讲练测 专题2.5 二次函数与幂函数(练) 含解析
2020年高考数学（文）一轮复习讲练测专题2.5 二次函数与幂函数1．（2019·辽宁沈阳二中月考）幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D【解析】设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，所以y ＝x 12.故选D.2．（2019·河南洛阳一中期中）已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【答案】D【解析】由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c ＜0，所以函数图象开口向上，排除A 、C.又f (0)＝c ＜0，所以排除B ，故选D.3. （2019·四川绵阳一中期中）二次函数f (x )的图象如图所示，则f (x －1)>0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(0,3)C ．(－1,2]D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 【答案】B【解析】根据f (x )的图象可得f (x )>0的解集为{x |－1＜x ＜2}，而f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移一个单位得到的，故f (x －1)>0的解集为(0,3)．故选B.4．（2019·云南普洱一中月考）若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D【解析】 ∵y ＝x 23(x >0)是增函数，∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523.∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223＜c ＝⎝⎛⎭⎫1213，∴b ＜a ＜c .5．（2019·黑龙江伊春一中期末）已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( )A ．(－4,2)B ．(－2,4)C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)【答案】C【解析】依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x ＜－4.6．（2019·内蒙通辽一中月考）已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】A【解析】根据题意，m －1＝1，∴m ＝2，∴2n ＝8， ∴n ＝3，∴f (x )＝x 3.∵f (x )＝x 3是定义在R 上的增函数，又－12＜0＜⎝⎛⎭⎫1312＜⎝⎛⎭⎫130＝1＜ln π， ∴c ＜a ＜b .7．（2019·山西运城一中期末）已知函数y ＝ax 2＋bx －1在(－∞，0]上是单调函数，则y ＝2ax ＋b 的图象不可能是( )【答案】B【解析】选项A 中，a ＝0时，符合题意．当a ≠0时，对称轴x ＝－b2a ≥0且y ＝2ax ＋b 与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－b2a ，0应位于x 轴非负半轴，B 不符合题意．选项C ，D 符合题意． 8．（2019·河北张家口二中期中）若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】依题意，知a >0，且Δ＝1－4ab ＝0， 所以4ab ＝1，且b >0. 故a ＋4b ≥24ab ＝2，当且仅当a ＝4b ，即a ＝1，b ＝14时等号成立．所以a ＋4b 的取值范围是[2，＋∞)．9．（2019·陕西铜川一中月考）已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．【解析】(1)依题意得，(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2， 当m ＝2时，f (x )＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.(2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)，当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )，即B ＝[2－k ，4－k )， 因p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1. 所以实数k 的取值范围为[0，1]．10．（2019·安徽马鞍山二中期末）已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R)． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 【解析】(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. 所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．11．（2019·江苏苏州中学模拟）已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)【答案】C【解析】由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x 2＝2，又函数f (x )在[0，2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4，故选C.12．（2019·浙江学军中学模拟）已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关【答案】C【解析】该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0， 所以当x 1，x 2在对称轴的两侧时， 14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时， 由单调性知f (x 1)<f (x 2)． 综上，f (x 1)<f (x 2)．13．（2019·山东莱阳一中模拟）已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫2－12，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <a D ．b <a <c【答案】A【解析】由于f (x )＝(m －1)x n 为幂函数， 所以m －1＝1，则m ＝2，f (x )＝x n ， 又点(2，8)在函数f (x )＝x n 的图象上， 所以8＝2n ，知n ＝3，故f (x )＝x 3是增函数． 又ln π>1>2－12＝22>13，因此b >c >a .14．（2019·湖北襄樊五中模拟）已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0，4]【解析】由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)， 若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.15．（2019·广东广雅中学模拟）已知二次函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，且f (1)＝4，f (3)＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，使得在[1，4)上f (x )的图象恒在曲线y ＝2x ＋m 的上方？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c .因为二次函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 即－b2a＝1.①因为f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)＝a ＋b ＋c ＝4，② f (3)＝9a ＋3b ＋c ＝0，③联立①②③，解得a ＝－1，b ＝2，c ＝3. 故f (x )＝－x 2＋2x ＋3.(2)设g (x )＝－x 2＋2x ＋3－2x －m .f (x )的图象恒在曲线y ＝2x ＋m 的上方等价于g (x )>0恒成立． 所以m <－x 2＋2x ＋3－2x 恒成立．因为y ＝－x 2＋2x ＋3在[1，4)上单调递减，y ＝2x 在[1，4)上单调递增， 所以h (x )＝－x 2＋2x ＋3－2x 在[1，4)上单调递减， 所以h (x )>h (4)＝－16＋8＋3－16＝－21. 即m ≤－21.故实数m 的取值范围是(－∞，－21]．1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．2．(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．【答案】－1【解析】因为幂函数y ＝x α是奇函数，知α可取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，－∞)上是减函数， 所以α<0，即α＝－1.3．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关 【答案】B【解析】设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．。
高考数学(理)一轮专题讲义：2.5二次函数与幂函数
第二章函数与基本初等函数Ⅰ第05节二次函数与幂函数【考纲解读】【知识清单】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质对点练习【2017·济南诊断测试】已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32D.2【答案】错误！未找到引用源。
【解析】由幂函数的定义知错误！未找到引用源。
.又错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，从而错误！未找到引用源。
.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质对点练习(2017·武汉模拟)若函数错误！未找到引用源。
(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式错误！未找到引用源。
＝________. 【答案】错误！未找到引用源。
【解析】由错误！未找到引用源。
是偶函数知错误！未找到引用源。
图象关于y轴对称，∴错误！未找到引用源。
，∴错误！未找到引用源。
，又错误！未找到引用源。
的值域为(－∞，4]，∴错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.【重点难点突破】考点1 二次函数的解析式【1-1】已知二次函数的图象经过三点错误！未找到引用源。
2020年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.5 二次函数与幂函数(测)
，则函数 y＝f(－
x)的图象可以为
【答案】B
【解析】由 f(x)<0 的解集为
知 a<0，y＝f(x)的图象与 x 轴交点为(－3，
0)，(1，0)，所以 y＝f(－x)图象开口向下，与 x 轴交点为(3，0)，(－1，0)．故选 B.
2.【2017 湖南衡阳模拟】已知 p ：幂函数 y m2 m 1 xm 在 0, 上单调递增；
q : m 2 1 ，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 【答案】A
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
又 q : m 2 1 1 m 2 1 1 m 3 ，故 p 是 q 的 充分不必要条件，选 A. 3.【2017 重庆巴蜀中学三诊】设 0 a 1， b c 0 ，则下列结论不正确的是（ ）
【答案】A
f 2 0 4 2b c 0
【解析】由题意得{ f 1 0 { 1 b c 0 ，可行域如 图三角形内部（不包括三角形边
f 0 0
c0
界，其中三角形三顶点为 A2, 0, B 1, 0,C 3, 2 ），而 f 3 9 3b c ，所以直线
f 3 9 3b c 过 C 取最大值 20 ，过 B 点取最小值12 ， f 3 的取值范围是 12, 20 ，
-2-
【解析】由解析式可得 f(－4)＝16－4b ＋c＝f(0)＝c，解得 b＝4.
f(－2)＝4－8＋c＝－2，可求得 c＝2.
{ ) x2＋4x＋2 （x ≤ 0），
∴f(x)＝ 2 （x > 0）.
又 f(x)＝x，
则当 x≤0 时，x2＋4x＋2＝x，解得 x1＝－1，x2＝－2. 当 x>0 时，x＝2，综上可知有三解．
2020年浙江新高考化学一轮专题复习：专题5 二次函数与幂函数(解析版)
2020年浙江新高考化学一轮专题复习：
专题5 二次函数与幂函数
（解析版）
（1）了解幂函数的概念.掌握幂函数1
2
3
21
,,,,y x y x y x y y x x
=====的图象和性质.
（2）了解幂函数的变化特征.
（3）能将一些简单的实际问题转化为二次函数或幂函数问题，并给予解决.
一、二次函数 1．二次函数的概念
形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数. 2．表示形式
(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0).
(2)顶点式：f (x )=a (x −h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标. 3．二次函数的图象与性质
)
4．常用结论
(1)函数f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c =0的实根.
(2)若x 1，x 2为f (x )=0的实根，则f (x )在x 轴上截得的线段长应为|x 1−x 2.
(3)当0a >且0∆<(0∆≤)时，恒有f (x )>0(()0f x ≥)；当0a <且0∆<(0∆≤)时，恒有
f (x )<0(()0f x ≤). 二、幂函数 1．幂函数的概念
一般地，形如y =x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 为自变量，α为常数. 2．几个常见幂函数的图象与性质
x。
2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题2.5二次函数与幂函数(讲)含解析
2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第二章函数第05讲二次函数与幂函数 ---讲1.了解幂函数的概念．掌握幂函数，的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.3.高考预测：（1）与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；（2）幂函数的图象与性质的应用.4.备考重点：（1）“三个二次”的结合问题；（2）幂函数图象和性质.知识点1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质【典例1】（2019·江西高三期中（文））幂函数的图象经过点，则( )A． B． C． D．【答案】B【解析】设幂函数的解析式为，∵点在函数的图象上，∴，即，解得，∴，∴．故选B．【思路点拨】幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，利用待定系数法，先求幂指数，得到函数解析式，进一步求函数值.【变式1】（2019·上海高考模拟）设，若为偶函数，则______．【答案】【解析】由题可知，时，，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；时，不满足f(-x)=f(x),．故答案为：．知识点2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质【典例2】【2017浙江，5】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m （ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ． 【重点总结】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 【变式2】（2019·吉林高三期中（理））函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】作出函数f （x ）的图象，如图所示，当x=1时，y 最小，最小值是2，当x=2时，y=3，函数f （x ）=x 2-2x+3在闭区间[0，m]上上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[1，2]．故选：C ．考点1 二次函数的解析式【典例3】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】解法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－2＝12， ∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8，即4a－2a －－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式3】已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x R ∈，都有，求f (x )的解析式．【答案】【解析】∵对x R ∈恒成立，∴()f x 的对称轴为2x ＝.又∵()f x 图象被x 轴截得的线段长为2， ∴()0f x =的两根为1和3. 设()f x 的解析式为．又∵()f x 的图象过点()4,3， ∴.∴所求()f x 的解析式为，即.考点2 二次函数图象的识别【典例4】(2019·重庆五中模拟)一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )【答案】C【解析】若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，则一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b2a＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，故选C.【总结提升】识别二次函数图象应学会“三看”【变式4】（2019·辽宁高考模拟（理））函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，,所以舍去A,D, 当时，,所以舍去B,综上选C.考点3 二次函数的单调性问题【典例5】(2019·安徽江淮十校联考)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x)与f (c x)的大小关系是( ) A ．f (b x)≤f (c x) B ．f (b x )≥f (c x) C ．f (b x)＞f (c x) D ．与x 有关，不确定【答案】A【解析】由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b ＝2，又f (0)＝3，∴c ＝3，则b x＝2x，c x ＝3x .易知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )；若x ＜0，则3x ＜2x ＜1，∴f (3x )＞f (2x )．∴f (3x )≥f (2x )，即f (b x )≤f (c x )，故选A.【总结提升】研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 【变式5】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2,3] D ．[1,2]【答案】B【解析】由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1. 则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]， 都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2. 又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.考点4 二次函数的最值问题【典例6】【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】【解析】去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，，，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．【变式6】（2019·天津高考模拟（文））若不等式对任意实数x都成立,则实数a 的最大值为________.【答案】1 3【解析】设不等式对任意实数x都成立，只需满足，即可.所以有因此实数a 的最大值为13-.考点5 二次函数的恒成立问题【典例7】【2018年天津卷文】已知a ∈R ，函数若对任意x ∈［–3，+），f (x )≤恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】［，2］ 【解析】 分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是.【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 【变式7】（2019·北京高三高考模拟（理））已知函数当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____． 【答案】3- 1[,1]4【解析】 当0a =时，，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x ＝－1时，f （x ）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x ＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3， 定义域内的任意恒成立，①－3≤x≤0时，有，即：恒成立， 令＝，在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1， 所以，1a ≤， ②0＜x≤3时，有，即：2a x x ≥-+恒成立，令， 在0＜x≤3时，g （x ）有最大值：g （12）＝14， 所以，14a ≥， 实数a 的取值范围是1[,1]4考点6 二次函数的综合应用【典例8】（2019·陕西省汉中中学高三月考（理））已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的零点； （Ⅱ）若函数对任意实数都有成立，求函数的解析式；（Ⅲ）若函数在区间上的最小值为，求实数的值． 【答案】（Ⅰ）1和3 （Ⅱ）（Ⅲ）或.【解析】 （Ⅰ）当时，，由可得或，所以函数的零点为1和3． （Ⅱ）由于对任意实数恒成立， 所以函数图像的对称轴为，即，解得．故函数的解析式为．（Ⅲ）由题意得函数图像的对称轴为．当，即时，在上单调递减，所以，解得．符合题意．当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，与矛盾，舍去．当，即时，在上单调递增，所以，解得．符合题意．所以或．【思路点拨】（Ⅰ）代入a的值，令即可求得函数的零点.（Ⅱ）根据可知函数的对称轴为，进而求得a的值，即可得到解析式. （Ⅲ）讨论对称轴与区间的位置关系，结合单调性和最小值，即可求得a的值.【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知函数，【变式8】若存在实数，使得且同时成立，则实数的取值范围是__________．【答案】.【解析】当时，，所以在有解，则或，也即是或（无解），故）．当，，所以在有解，所以，此不等式组无解．综上，的取值范围为．考点7 幂函数的图象和性质【典例9】【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上期中】若幂函数与ny x =在第一象限的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为 （ ）A.B. C. D.【答案】D【解析】在第一象限作出幂函数的图象，在01（，） 内取同一值0x ， 作直线0x x = ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知如图，故选D ．【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b.规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．【变式9】（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数的图象过点，且，，，则、、的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】幂函数的图象过点，∴＝4，m＝2；∴，，＝﹣log23＜0，∴log23，∴．故选：C．。
2020版高考数学一轮复习第二章第五节二次函数与幂函数教案文(含解析)
第五节二次函数与幂函数1．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R错误!｛x|x≥0｝｛x|x≠0｝值域错误!｛y|y≥0｝错误!｛y|y≥0｝{y｜y≠0}奇偶性错误!错误!奇非奇非偶错误!单调性错误!(－∞，0)减，(0，＋∞）增增错误!(－∞，0）和(0,＋∞)减公共点（1，1)2．二次函数解析式的三种形式（1）一般式：f（x)＝ax2＋bx ＋c（a≠0）；（2）顶点式：f（x）＝a(x－m）2＋n（a≠0)；（3)零点式：f(x)＝a(x－x1）（x－x2)(a≠0）．3．二次函数的图象和性质f（x）＝ax2＋bx＋ca＞0a＜0图象定义域R值域错误!错误!单调性在错误!上递减，在错误!上递增在错误!上递增，在错误!上递减奇偶性b＝0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－错误!;②顶点：错误!［小题体验]1．已知幂函数y＝f（x)的图象过点（9,3），则函数的解析式为________________．答案：f(x）＝x12（x≥0)2．（2019·天一中学高三测试）已知点P1(x1，2 019）和P2(x2，2 019)在二次函数f（x）＝ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值为________．答案：93．已知f(x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1,2a］，则y＝f（x）的值域为________．答案:错误!1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．［小题纠偏］1．已知函数f（x）＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．答案：错误!2．给出下列命题：①函数y＝2x是幂函数；②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点;③当n＜0时,幂函数y＝x n是定义域上的减函数；④二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n］的最值一定是错误!。
高考数学(文)一轮复习讲练测：专题2.5二次函数与幂函数(测)答案解析
第二章高考数学讲练测【新课标版文】【测】函数与基本初等函数Ⅰ第05节二次函数与幂函数班级 __________姓名 _____________ 学号 ___________得分 __________一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的 .）α1，2，则 k＋α＝ ()1. (2016 济·南诊疗 )已知幂函数 f(x)＝ k·x 的图象过点221 B ． 1 C.3D． 2 A. 22【答案】 C【分析】1＝2，所以1α213由幂函数的定义知 k＝1.又 f22＝2，解得α＝，进而 k＋α＝ .2222. (2016 孝·感调研 )函数 f(x)＝ ( m2－ m－ 1)x m是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数 m 的值是 ()A．－1B． 2C． 3D．－1或 2【答案】 B【分析】f(x)＝ (m2－m－1)x m是幂函数 ? m2－ m－ 1＝ 1? m＝－ 1 或 m＝ 2.又 x∈ (0，＋∞)上是增函数，所以m＝ 2.2)3. (2016 松·原模拟 )设函数 f(x)＝ x ＋x＋ a(a＞ 0)，已知 f(m)＜0，则 (A ． f(m＋1) ≥ 0 B． f( m＋ 1) ≤0C． f(m＋1)＞ 0D． f(m＋ 1)＜ 0【答案】 C【分析】由于f(x)的对称轴为x＝－1， f(0)＝ a＞ 0，所以 f(x)的大概图象如下图。
2由 f(m)＜ 0，得－ 1＜ m＜ 0，所以 m＋ 1＞ 0，所以 f(m＋ 1) ＞f(0)＞ 0。
4x 24x(0x 1)4.【 2015 届浙江省瑞安中学期中测试】已知函数f ( x)，log 2013 x(x1)若 a, b, c 互不相等，且 f (a) f (b) f (c) ，则 a b c 的取值范围是（）( 2,2014)(2,2015)(3,2014)(3,2015)A ．B ．C ．D ．【答案】A5.【 2015 届吉林实验中学期中测试】已知幂函数y f (x) 的图像经过点 (2, 1) ，则它的单4调增区间为A ．(0, )B ． 0,C ． ( ,0)D ． (,)【答案】 C【分析】试题剖析： 设幂函数的分析式为f ( x)x ，由图像经过点 (2, 1 ) 可得12 ，解得2 ，44所以 f ( x)x21，由于2 0 ，所以函数在 (0,) 上为减函数， 而函数为偶函数，x 2图像对于 y 轴对称，所以函数在( ,0) 上为增函数，答案选C ．6. (2016 山·东济宁模拟 )设函数 f(x) ＝ x 2＋ bx ＋ c （ x ≤0），若 f( －4) ＝f(0) ， f(－ 2)＝－ 2，则2 （x>0 ）， 对于 x 的方程 f(x) ＝x 的解的个数为 ()A ． 4B ．2C ． 1D ． 3【答案】 D【分析】由分析式可得 f( － 4)＝ 16－4b ＋ c ＝ f(0) ＝ c ，解得 b ＝ 4.f( － 2)＝ 4－ 8＋ c ＝－ 2，可求得 c ＝ 2. x 2＋ 4x ＋ 2 （ x ≤0），∴f(x) ＝ 又 f(x) ＝ x ，2 （ x>0） . 则当 x ≤0时， x 2＋ 4x ＋ 2＝ x ，解得 x 1＝－ 1， x 2＝－ 2. 当 x>0 时， x ＝ 2，综上可知有三解．7．【 2015 届山东烟台二中10 月联考】以下函数f ( x) 中，知足对随意 x 1, x 2 (0,), 当x 1 x 2 时都有 f (x 1) f (x 2 ) 的是 （）A. f ( x)1 B. f ( x) (x1)2C. f ( x)e xD. f ( x) ln( x 1)x【答案】 A【分析】 由已知， 知足条件的函数为区间上的减函数， 由幂函数 （反比率函数） 的性质可知，f ( x)1).选 A .是区间 (0,x1x －7， x<0 ，8．【改编题】设函数f(x) ＝ 2若 f(a)<1 ，则实数 a 的取值范围是x ， x ≥0，()A ．(－∞，－ 3)B ． (1，＋ ∞)C ． (－ 3,1)D ．(－∞，－3)∪ (1，＋ ∞) 【答案】 C【分析】当 a0 时， ( 1)a-7<1 ，即 2－a23 ，∴ a－3 ，∴ －3 a 0 ，2当 a 0 时，a <1，∴ 0 a 1，故 － 3 a 1．9. 已知函数 f(x) ＝ ax 2＋bx ＋ c ，且 a>b>c ， a ＋b ＋ c ＝ 0，会合 A ＝ {m|f(m)<0} ，则 ( )A ． ? m ∈ A ，都有 f(m ＋ 3)>0B ． ? m ∈ A ，都有 f(m ＋ 3)<0C ． ? m 0∈ A ，使得 f(m 0＋3) ＝0D ． ? m 0∈ A ，使得 f(m 0＋ 3)<0【答案】 A10. 对于 x 的二次方程 (m ＋ 3)x 2－ 4mx ＋ 2m － 1＝0 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数 m 的取值范围是 ( )A ．－3mB ． 0m3C ． m<－ 3 或 m>0D ． m<0或m>3【分析】由题意知16m24(m3)(2m1)0,x1 x 24m0,得－3 m0 ，应选 A. m3x1x 22m10,m311. (2016 广·东江门调研卷)设函数 f(x) ＝ ax2＋bx＋ c(a ≠0，x∈ R)，对随意实数 t 都有 f(2 ＋t) ＝ f(2 － t)建立，在函数值f( － 1)， f(1)， f(2) ， f(5)中，最小的一个不行能是()A ． f( － 1)B ．f(1)C． f(2)D． f(5)【答案】B【分析】由 f(2 ＋ t) ＝ f(2 － t)知函数 y＝ f(x) 的图像对称轴为x＝ 2.当 a>0时，易知 f( －1)>f(1)>f(2)； f(5)>f(2) ；当 a<0 时， f( －1)<f(1)<f(2) ； f(5)<f(2)，故最小的不行能是f(1) ．12. (2016 武·汉模拟 )已知函数f(x)＝ ax2＋ 2ax＋ b(1＜ a＜ 3)，且 x1＜ x2，x1＋ x2＝ 1－ a，则以下说法正确的选项是()A. f(x1) ＜ f(x2)B. f(x1)＞ f(x2)C.f(x1)＝ f(x2)D.f(x1) 与 f(x2)的大小关系不可以确立【答案】 A二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20分 .把答案填在题中的横线上.）13.【 2015 届四川省达州市文星中学10 月月考】已知幂函数的图像可是坐标原点，则的值是．【答案】 1或 2【分析】试题分析：幂函数需满足 m23m 3 1m 1.m2，代入函数式化简得m2m 2 0 y x 2 , y 0 都可是原点，所以的值是1或2.14. (2016苏·北四市模拟)若二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 知足 f(x1)＝ f(x2)，则f(x1＋ x2)＝ ________.【答案】 C【分析】∵ f( x1)＝ f(x2 )且 f(x)的图象对于 x＝－b对称，∴ x1b 2a＋ x2＝－ .a∴ f(x1＋x2)＝ f －b b2ba＝ a·2－ b·＋ c＝ c.a a15. 函数 f(x) ＝ x2＋ 2x ，若f(x)>a 在区间 [1， 3] 上知足：①恒有解，则 a 的取值范围为________ ；②恒建立，则 a 的取值范围为________．【答案】 a<15a<316. (2016 邯·郸一中月考 )已知函数 f(x) ＝ x2－ 6x＋5，x∈ [1，a]，而且函数 f(x) 的最大值为 f(a) ，则实数 a 的取值范围是 ________．【答案】a≥5【分析】∵ f(x) 的对称轴为 x＝ 3，要使 f(x) 在 [1， a]上 f(x) max＝f(a) ，由图像对称性知a≥5.三、解答题（本大题共 4 小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 【 2015届山东省文登市高三上学期11 月考试】（本小题满分17 分）已知函数f ( x)2bx c( a 0)满足 f ( 0 )1，对随意x R，都有 1 x f ( x) 且ax,f ( x) f (1x) ．（Ⅰ）求函数 f ( x) 的分析式；（Ⅱ）若x[ 2,2] ，使方程 f (x)2x f (m) 建立，务实数m的取值范围.【答案】（Ⅰ） f ( x) x2x 1；（Ⅱ）[2,3] ．【分析】试题剖析 : （Ⅰ）由于f ( x)ax2bx c (a 0) ，f (0) 1 ，所以c 1 ，∵对随意x R ，f ( x) f (1x) ，∴ f (x) 的对称轴为直线 x 1，求得 a b ；又由于对随意x R 都有21 x f (x)，利用函数 f (x) 的图象结合判别式，求得a 1,b1，所以f ( x)x2x 1；（Ⅱ）由f (x) 2x f ( m) 得 x2x m2m ，∴方程 x2x m2m 在 x[ 2,2]有解，则 m2m 在函数g (x)x2x ，x [ 2,2] 值域内，求出g( x) x2x ，x[ 2,2] 的值域，使 m2m 在函数 g( x) 的值域内，求解即可．（Ⅱ）由得x 222x m2m 在f ( x) 2x f ( m)x m m ，由题意知方程 xx [2,2]有解.令g ( x) x2x(x1)21∴24，g( x) min g(1)1, g( x)max g(2)6∴1m2m 6，∴244 m2m62m32m3 1，m2m m R4所以知足题意的实数m 取值范围[2,3].18．已知函数 f(x)＝ x2＋ 2x·tanθ－1， x∈[－ 1，π π3]，此中θ∈ －，。
2020年高考数学一轮复习教案：第2章 第4节 二次函数与幂函数(含解析)
第四节 二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数对称性函数的图象关于直线x ＝－b2a 对称2．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增(－∞，0)减， (0，＋∞)增增增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点 (1,1)[常用结论]1．与二次函数有关的恒成立问题 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则(1)f (x )＞0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＜0；(2)f (x )＜0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0；(3)f (x )＞0(a ＜0)在区间[m ，n ]恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＞0f (n )＞0；(4)f (x )＜0(a ＞0)在区间[m ，n ]恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＜0f (n )＜0.2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图象特征(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数． ( )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a .( )(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A.3 B ．±3 C ．±9D ．9D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝12. 所以f (x )＝x 12＝x ， 故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.]3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.]4．(教材改编)如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜a B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．a＜c＜bD[由图象知②③的指数大于零且b＞c，①的指数小于零，因此b＞c＞a，故选D.]5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.4[f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，由f(x)是偶函数知a－4＝0，所以a＝4.]幂函数的图象与性质1．幂函数y＝f(x)的图象过点(8,22)，则幂函数y＝f(x)的图象是()A B C DC[令f(x)＝xα，由f(8)＝22得8α＝22，即23α＝232，解得α＝12，所以f(x)＝x12，故选C.]2．若a＝⎝⎛⎭⎪⎫1223，b＝⎝⎛⎭⎪⎫1523，c＝⎝⎛⎭⎪⎫1213，则a，b，c的大小关系是() A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜cD[a＝⎝⎛⎭⎪⎫1223＝⎝⎛⎭⎪⎫1413，b＝⎝⎛⎭⎪⎫1523＝⎝⎛⎭⎪⎫12513，c＝⎝⎛⎭⎪⎫1213，由125＜14＜12得b＜a＜c，故选D.]3．(2019·兰州模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2C [由幂函数的定义知k ＝1. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]4．若(a ＋1) 12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.]求二次函数的解析式的最大值是8，则f (x )＝________.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.(1)－4x 2＋4x ＋7 (2)x 2＋2x [(1)法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(2)设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ， 由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .][规律方法] 求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.(1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4[(1)由题意知⎩⎨⎧a －b ＋1＝0，－b2a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称，所以－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a b ，即b ＝－2或a ＝0，当a ＝0时，则f (x )＝bx 2，值域为(－∞，0]或[0，＋∞), 不满足已知值域(－∞，4]，∴a ＝0舍去，所以f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， 所以2a 2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.]二次函数的图象与性质►考法1二次函数的图象【例2】已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()D[A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b<0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D.]►考法2二次函数的单调性【例3】函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．[－3,0][当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞]上递减，满足条件．当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝3－a 2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3－a2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．][拓展探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？[解] 因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a －3－2a＝－1，解得a ＝－3.►考法3 二次函数的最值【例4】 已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． [解] (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a ＞0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a . ①当0＜1a ≤1，即a ≥1时， f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0,1]内，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .②当1a ＞1，即0＜a ＜1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0,1]的右侧， 所以f (x )在[0,1]上单调递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a ＜0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a ＜0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎨⎧a －2，a ＜1，－1a ，a ≥1.[拓展探究] 若将本例中的函数改为f (x )＝x 2－2ax ，其他不变，应如何求解？ [解] 因为f (x )＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2，对称轴为x ＝a . ①当a ＜0时，f (x )在[0,1]上是增函数， 所以f (x )min ＝f (0)＝0.②当0≤a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2. ③当a ＞1时，f (x )在[0,1]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝1－2a .综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ＜0，－a 2，0≤a ≤1，1－2a ，a ＞1.对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论.(1)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()A B C D(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，2)(1)C(2)A[(1)若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b2a＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.(2)二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝2k，当k＞0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k≤1，解得k≥2.当k＜0时，2k＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．](3)已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．[解]因为函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以对称轴为直线x＝1，因为x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，所以应进行讨论，当－2＜a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝a 2－2a ；当a ＞1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝－1.综上，当－2＜a ≤1时，f (x )min ＝a 2－2a ，当a ＞1时，f (x )min ＝－1.与二次函数有关的恒成立问题►考法1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围【例5】 (2019·张掖模拟)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________________．(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．]►考法2 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])求参数的范围【例6】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )ma x ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )ma x ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <67. ►考法3 形如f (x )≥0(参数k ∈[a ，b ])求x 的范围【例7】 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．(－∞，1)∪(3，＋∞) [对任意的k ∈[－1,1]，x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x ＜1或x ＞3，所以x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．][规律方法] 形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解.(2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围.③分离参数，变为a ≥g (x )或a ≤g (x )恒成立问题，然后再求g (x )的最值.(3)已知参数k ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.(1)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．(1)(－∞，－5] (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [(1)设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )＜0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5. (2)2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，－3＜0，成立；当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.]1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝323，c＝2513，则()A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜bA[利用幂函数的性质比较大小．a＝243＝443，b＝343，c＝2513＝543.∵y＝x 13在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．(－∞，8][当x<1时，x－1<0，e x－1<e0＝1≤2，∴当x<1时满足f(x)≤2.当x≥1时，x 12≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8]．]。
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专题2.5 二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识点一 幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上是减函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上是增函数在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上是增函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上是减函数【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0时恒有f(x)>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0时，恒有f(x)<0.考点一幂函数的图象与性质【典例1】（2019·宁夏银川一中模拟）幂函数y＝x2-2-3m m (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )A．－1 B．0C．1 D．2【答案】C【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．【方法技巧】(1)幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【变式1】(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.【答案】－1【解析】由题意知α可取－1，1，3.又y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数， ∴α<0，取α＝－1.考点二 求二次函数的解析式【典例2】（2019·广东中山纪念中学模拟） 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋－12＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值y max＝8，即4a－2a－1－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【方法技巧】求二次函数解析式的策略（1）已知三点坐标，选用一般式（2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式（3）已知与x轴两点坐标，选用零点式【变式2】（2019·湖北襄樊五中模拟）已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝x2－4x＋3.【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象及应用【例3】（2019·江西九江一中模拟）对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )【答案】A【解析】若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y 轴左侧，排除C ，D.若a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(a －1)x 2－x 图象开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足.【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 【变式3】（2019·河北唐山一中模拟）设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( ) A.f (m ＋1)≥0 B.f (m ＋1)≤0 C.f (m ＋1)>0D.f (m ＋1)<0【答案】C【解析】因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0.考点四 二次函数的单调性【典例4】 （2019·浙江绍兴一中模拟）已知函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．【方法技巧】研究二次函数的单调性问题，二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论。
【变式4】（2019·河北保定一中模拟）函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x)与f (c x)的大小关系是( )A ．f (b x)≤f (c x) B ．f (b x )≥f (c x) C ．f (b x)>f (c x) D ．与x 有关，不确定【答案】A【解析】 由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b ＝2，又f (0)＝3，∴c ＝3，则b x＝2x，c x ＝3x .易知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x)；若x ＜0，则3x ＜2x ＜1，∴f (3x )>f (2x )．∴f (3x )≥f (2x )，即f (b x )≤f (c x)．故选A.考点五 二次函数的最值问题【典例5】（2019·河北唐山一中模拟） 若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[1,2]上有最大值4，则a 的值为________．【答案】38【解析】f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .①当a ＝0时，函数f (x )在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a >0时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a ＜0时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，最大值为f (1)＝3a ＋1＝4，解得a ＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a 的值为38.【方法技巧】研究二次函数的最值问题．对于含参数的二次函数最值问题，无论对称轴还是区间含有参数，都把对称轴看作静止不动的参照物，即“动兮定兮对称轴，看作静止参照物”。
【变式5】（2019·长春市实验中学模拟）已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34 D ．1【答案】D【解析】设x ＜0，则－x >0.有f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2，又∵f (－x )＝f (x )， ∴当x ＜0时，f (x )＝(x ＋1)2，∴该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12上的最大值为1，最小值为0， 依题意，n ≤f (x )≤m 恒成立，则n ≤0，m ≥1，即m －n ≥1，故m －n 的最小值为1. 考点六 二次函数中的恒成立问题【典例6】（2019·北京101中学模拟） 已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)【解析】f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ， 即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m ＜－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． 【方法技巧】由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【变式6】（2019·东北育才中学模拟）已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]【答案】B【解析】由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以，t≥1.则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤ 2.又t≥1，∴1≤t≤ 2.。