高中数学-第14章第2节(理)函数的单调性与函数的极限
函数的单调性和最值PPT精品课件
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
第二节 函数的单调性与最值 课件(共90张PPT)
[解析] 因为函数 f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2 ＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－ 5<x<－2或
画出函数图象如图所示． 则其单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
2．函数y＝ x2＋x－6的单调递增区间为_[2_，__＋__∞__)_____，单调递减区间为 __(_－__∞_，__－__3_]__．
角度Ⅱ.含参函数单调性的讨论 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
则M是y＝f(x)的最小值
知识点三 利用定义判断函数单调性的步骤 1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
链/接/教/材
1．[必修1·P44·A组T9]已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围是_{_k_|_k_≤_4_0_或__k≥__1_6_0_}____．
角度Ⅳ.复合函数的单调性 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021河北武邑期末]若函数y＝log1(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函
2
数，则a的取值范围为( D ) A．(－∞，－4)∪[2，＋∞) B．(－4,4] C．[－4,4) D．[－4,4]
[解析]
令t＝x2－ax＋3a，则y＝log
时，f(x)＝x3＋3x，则a＝f(232)，b＝flog3217，c＝f( 2)的大小关系为( C )
2024高考数学函数的单调性与极值
2024高考数学函数的单调性与极值在2024年高考数学考试中，函数的单调性与极值是一个重要的考点。
掌握了函数的单调性与极值的概念和判断方法，能够帮助考生更好地解答相关题目。
本文将以对函数的单调性和极值的定义、判断依据和解题方法为主线，详细介绍这一考点的相关知识。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体而言，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2满足x1 <x2，则有f(x1) < f(x2)，那么称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1和x2满足x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，那么称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。
判断函数的单调性有多种方法，常见的有导数法和图像法。
导数法的核心思想是利用函数的导数来研究函数的单调性。
如果函数在区间[a, b]上的导数大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在区间[a, b]上的导数小于0，则函数在该区间上递减。
图像法则是通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，确定函数的单调性。
二、函数的极值函数的极值是指在定义域内，函数取得的最大值和最小值。
具体而言，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果在区间内部存在一点c，使得对于任意的x，有f(c)≥f(x)，那么f(c)是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值；如果在区间内部存在一点d，使得对于任意的y，有f(d)≤f(y)，那么f(d)是函数f(x)在区间[a, b]上的最小值。
判断函数的极值需要使用极值的判定条件。
常用的判定条件有：当函数在某一点x处的导数等于0或导数不存在时，这一点可能是函数的极值点。
需要注意的是，判定得到的极值点只是可能是极值点，还需要进一步的讨论确认。
三、解题方法1. 利用导数法判断函数的单调性与极值。
首先求出函数在定义域内的导数，然后通过判断导数的符号来确定函数的单调性。
函数的单调性与极值点
函数的单调性与极值点函数的单调性和极值点是数学中重要的概念，它们用于描述函数在定义域内的增减关系和取得最大值或最小值的点。
本文将详细介绍函数的单调性和极值点的概念，并探讨它们的性质及应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减关系。
具体来说，如果对于定义域内的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，函数值f(x1)<f(x2)，则称函数为递增函数；当x1<x2时，函数值f(x1)>f(x2)，则称函数为递减函数。
为了判断函数的单调性，我们可以计算函数的导数。
对于定义在区间(a, b)上的可导函数，如果在该区间内导函数始终大于零，则函数为递增函数；如果在该区间内导函数始终小于零，则函数为递减函数。
当导函数在某一点处等于零时，该点可能是函数的极值点。
二、函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。
极值点可以分为极大值点和极小值点。
如果在某一点的邻域内，函数在该点处的值大于（或小于）邻域内其他点的函数值，则该点为极大值点（或极小值点）。
为了确定函数的极值点，我们需要计算函数的导数。
首先求得函数的导函数，然后找到导函数为零的解，即导函数的根。
根据极值点的性质，导函数在极大值点或极小值点处的值为零。
因此，将导函数等于零的解代入原函数中，即可求得极值点的值。
需要注意的是，虽然导函数为零的点可能是函数的极值点，但并不是所有导函数为零的点都是极值点。
还需要进一步分析函数的横截点和导函数的符号变化，以确定这些点是否为极值点。
三、函数的单调性与极值点的应用函数的单调性和极值点在各个科学领域中有广泛的应用。
在经济学中，函数的单调性用于分析供需关系以及市场的变化趋势。
在物理学中，函数的单调性和极值点可以用于描述物体的运动规律和力学问题。
在统计学中，函数的单调性和极值点被用于拟合数据和分析数据的趋势。
此外，在优化问题中，函数的单调性和极值点也扮演着重要的角色。
通过研究函数的单调性和极值点，我们可以找到函数取得最大值或最小值的条件，并在实际问题中应用这些条件进行优化。
函数的单调性与极值求解技巧概述
函数的单调性与极值求解技巧概述函数的单调性和极值是数学中涉及函数性质和优化问题的重要概念。
单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质，而极值指的是函数在某个特定点上取得最大值或最小值的情况。
本文将概述函数的单调性与极值求解的一些基本技巧，并提供一些实例来帮助读者更好地理解这些概念。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的递增或递减的性质。
具体而言，如果对于定义域上的任意两个不同的实数a和b，当a<b时，函数f(a)<f(b)则称函数f(x)在该定义域上递增；反之，当a<b时，函数f(a)>f(b)则称函数f(x)在该定义域上递减。
确定函数的单调性时，可以通过导数的符号来判断。
如果函数f(x)在定义域上导数大于零，则函数在该定义域上递增；如果函数f(x)在定义域上导数小于零，则函数在该定义域上递减。
举例来说，考虑函数f(x)=2x+3。
该函数的导数恒为2，大于零，因此函数在整个定义域上递增。
二、函数的极值求解技巧求解函数的极值是优化问题中的关键步骤，可以帮助我们找到函数取得最大值或最小值的点。
下面介绍几种常见的极值求解技巧。
1. 导数法导数法是求解函数极值的一种常见方法。
具体而言，需要首先计算函数的导数，然后找到导数为零的点，即潜在的极值点。
通过对导数的符号进行分析，可以确定函数在该点附近的单调性以及极值类型。
举例来说，考虑函数f(x)=x^2-2x+1。
首先计算函数的导数为f'(x)=2x-2。
令f'(x)=0，可以求得x=1。
通过导数的符号分析可知，当x<1时，函数递减；当x>1时，函数递增。
因此，函数在x=1处取得极小值。
2. 二阶导数法对于某些函数，一阶导数法不足以判断极值的类型。
这时可以进一步求取二阶导数，并对二阶导数进行符号分析。
如果二阶导数大于零，则函数在该点附近有极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点附近有极大值。
举例来说，考虑函数f(x)=x^3-3x^2。
《高等数学》函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值一、基本内容1. 函数单调性的判定：设函数)(x f y =在I 内可导，若在I 内，(1) 0)(>'x f , 则函数)(x f y =在I 上单调增加；(2) 0)(<'x f , 则函数)(x f y =在I 上单调减少。
2. 函数的极值及其求法： （1）极值的概念：设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，如果对于去心邻域)ˆ(0xU 内的任一x ，有)()(0x f x f < （或)()(0x f x f >）则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值（或极小值），而0x 点称为函数)(x f 的极大值点（或极小值点）。
极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点。
（2）极值的必要条件：设函数)(x f 在点0x 可导，且在0x 处取得极值，则0)(0='x f 。
（3）极值的充分条件（极值的判定）：第一充分条件：设函数)(x f 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域)ˆ(0xU 内可导，若①在点0x 的左邻域内，0)(>'x f ，在点0x 的右邻域内，0)(<'x f ，则)(x f 在0x 处取得极大值；②在点0x 的左邻域内，0)(<'x f ，在点0x 的右邻域内，0)(>'x f ，则)(x f 在0x 处取得极小值；③在点0x 的邻域内，)(x f '不变号，则)(x f 在0x 处没有极值。
第二充分条件：设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①当0)(0<''x f ，函数在0x 处取得极大值；②当0)(0>''x f ，函数在0x 处取得极小值。
二、学习要求1. 掌握用导数判断函数的单调性的方法;2. 理解函数极值的概念，掌握用导数求函数极值的方法。
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值在数学中，函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
它描述了函数图像是上升、下降还是具有其他类似的性质。
而函数的极值则表示函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
函数的单调性与极值是函数分析中常用的重要概念，可用于求解最优化问题、验证数学定理等。
一、函数的单调性函数的单调性分为递增和递减。
当函数随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小时，称为递增函数。
相反，当函数随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大时，称为递减函数。
我们以一些常见的函数类型为例，来说明函数的单调性：1. 线性函数：线性函数是指函数的表达式是一次方程的函数，即$f(x)=ax+b$，其中$a$和$b$是常数。
线性函数的单调性取决于斜率$a$的正负性。
当$a>0$时，函数递增；当$a<0$时，函数递减。
2. 幂函数：幂函数是指函数的表达式是$x$的幂次方，即$f(x)= x^n$，其中$n$是常数。
当$n>0$且$n$是奇数时，函数是递增的；当$n>0$且$n$是偶数时，函数是递减的。
3. 指数函数：指数函数是指函数的表达式是以常数为底数的指数函数，即$f(x)=a^x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
4. 对数函数：对数函数是指函数的表达式是对数函数，即$f(x)=\log_a x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
二、函数的极值函数的极值包括最大值和最小值。
当函数在某个点上取得最大值时，称为函数的最大值；当函数在某个点上取得最小值时，称为函数的最小值。
极值点也被称为驻点。
函数的极值可以通过求导数的方法来获得。
首先，求函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。
进一步，通过二阶导数的正负性来判断极值点的类型。
函数的单调性和极值课件
函数$f(x) = frac{1}{x}$在$x = 0$处 取得极大值，且极大值为$f(0) = +infty$。
函数$f(x) = x^2 - 2x$在$x = 1$处 取得极大值，且极大值为$f(1) = -1$ 。
单调性与极值综合实例分析
对于函数$f(x) = x^3 - x^2 - x$，其在区间$(-infty, -1)$上 是单调递增的，而在区间$(-1, +infty)$上是单调递减的。同 时，该函数在$x = -1$处取得极大值，且极大值为$f(-1) = 1$。
解决优化问题
利用函数的单调性解决优化问题，如最大利润、最小成本等。例如，通 过找到使利润最大的产量或成本最小的产量，可以解决生产优化问题。
函数的极值
02
函数极值的定义
01
02
03
极值点
函数在某点的值比其邻近 点的值都大或都小，该点 称为函数的极值点。
极大值
函数在某点的值比其左侧 邻近点的值都小，该点的 函数值称为函数的极大值 。
极小值
函数在某点的值比其右侧 邻近点的值都小，该点的 函数值称为函数的极小值 。
函数极值的判定
一阶导数判定法
如果一阶导数在某点的值 为零，且在这一点两侧的 符号相反，则该点为极值 点。
二阶导数判定法
如果二阶导数在某点的值 为零，且在这一点两侧的 符号相反，则该点为极值 点。
表格法
通过列表比较函数值的变 化趋势，确定极值点。
函数的单调性和极值课 件
目录
• 函数的单调性 • 函数的极值 • 单调性与极值的关系 • 实例分析
函数的单调性
01
函数单调性的定义
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_{1}$和$x_{2}$， 当$x_{1} < x_{2}$时，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$（或 $f(x_{1}) geq f(x_{2})$），则称函数$f(x)$在区间内单调递增 （或递减）。
函数的单调性与极值、最值
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金融问题
在投资组合理论中，凹凸性可以用来描述投资组合的风险和回报之间的关系。投资者可以根据自己的风 险承受能力和投资目标，选择合适的投资组合策略。
05 函数的拐点
函数拐点定义
函数拐点是指函数图像上凹凸 性发生变化的点，即函数的一 阶导数在该点为零或不存在的 点。
在数学上，函数拐点的定义是 函数在某点的二阶导数为零的 点，即$f''(x)=0$。
最值的求法
代数法
通过求导数、找驻点、判断单调性等方法来求解 最值。
无穷区间法
利用极限的思想，将函数在无穷区间上的最值转 化为有限区间上的最值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值和最小 值。
最值在实际问题中的应用
01
优化问题
在生产、运输、分配等实际问题 中，常常需要通过求解最值来达 到最优解。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如 果任意两点之间的函数值都满足增减性条件，则函数在该 区间内单调。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果在图像上 随着$x$的增大，$y$的值也增大（或减小），则函数在该 区间内单调递增（或递减）。
Hale Waihona Puke 单调性在实际问题中的应用单调性与最值
单调性与优化问题
在解决优化问题时，可以利用函数的单调性来找到最优解。例如，在求解最大值或最小值 问题时，可以利用函数的单调性来确定搜索区间，从而缩小搜索范围，提高求解效率。
02 函数的极值
函数极值的定义
极值点
函数在某点的值比其邻近点的值大或小的点。
极大值
函数在某点的值比其左侧邻近点的值大，比 其右侧邻近点的值小。
函数的单调性与最值(理课件)
在工程学中，凹凸性用于描述机械零件的受力变形情况。通过分析零件在不同受力情况下 的凹凸性，可以预测零件的变形程度和承载能力。
05
综合实例
利用单调性解决实际问题
预测股票价格
确定最优方案
利用股票价格的过去数据，通过分析 股票价格的增减趋势，利用单调性预 测未来的股票价格。
在多个方案中，通过比较方案函数值 的单调性，确定最优方案，实现目标 的最优化。
最优资源配置问题
在资源有限的情况下，如何合理分 配资源使得效益最大。这可以通过 求解相关效益函数的最值来实现。
03
函数的极值
函数极值的定义
极值点
函数取得极值的点称为极值点。
极大值与极小值
在极值点左侧函数பைடு நூலகம்递增，右侧递减的为极大值；左侧递减，右侧递增的为极 小值。
极值的判定条件
01
02
03
一阶导数判定法
复合函数法
对于复合函数，可以根据复合函数的单调性 法则来判断原函数的单调性。
单调函数的应用
单调性在求解函数的极值和最值问题中有着 重要的应用。通过判断函数的单调性，可以 确定函数的极值点和最值点，进而求出函数 的极值和最值。
单调性在不等式证明中也有着广泛的应用。 通过判断函数的单调性，可以证明不等式或 比较大小关系。
03
极值
如果函数在某点的左侧是减小的，右侧是增加的，则该点为极小值点，
对应的函数值为极小值；反之，则为极大值点，对应的函数值为极大值。
求函数最值的方法
不等式法
利用不等式性质，结合函数的增 减性求最值。
换元法
通过换元将复杂函数转化为简单 函数，再利用已知函数的性质求 最值。
01
高一数学导数与函数的单调性与极值
高一数学导数与函数的单调性与极值函数的单调性和极值是数学中的重要概念，对于理解函数的性质和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将探讨高一数学中导数与函数的单调性和极值的概念、性质及其应用。
一、导数与函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
在数学中，导数是描述函数变化率的重要工具。
1.1 导数的定义对于函数 y=f(x)，若函数在点 x0 处可导，则导数 f'(x0) 的定义如下：f'(x0) = lim(h->0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中，lim 表示极限，h 为自变量的增量。
1.2 单调性的判定通过导数的符号来判断函数的单调性：若在某一区间内，f'(x)>0，函数单调递增；若在某一区间内，f'(x)<0，函数单调递减；若在某一区间内，f'(x)=0，函数在该区间内可能有极值点。
1.3 单调性的应用函数的单调性在实际问题的建模和求解中具有重要应用，例如在经济学中，可以利用函数的单调性来研究供求关系、市场行为等问题。
在求解最优化问题时，函数的单调性也是一个重要考虑因素。
二、导数与函数的极值函数的极值包括最大值和最小值，用于描述函数的局部极限。
2.1 极值点的定义对于函数 y=f(x)，若存在 a，使得 f(a) 是函数在该点上的最大值或最小值，则称 a 为函数的极值点，而 f(a) 称为函数的极值。
2.2 极值点的判定通过导数的性质来判断函数的极值点：1) 若 f'(x) 在 a 点两侧变号，则 a 点是函数的极值点；2) 若 f'(x) 在 a 点两侧保持符号相同，则 a 点不是函数的极值点。
2.3 极值点的应用函数的极值在实际问题的求解中起着重要的作用。
例如，在工程中优化设计问题，可以通过求解函数的极值来找到最优解。
在生物学中，可以利用极值点来研究生物体的最佳生长环境。
总结：通过学习导数与函数的单调性和极值，我们可以更深入地理解函数的性质和变化趋势。
函数的单调性与极值点例题和知识点总结
函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的学习中，函数的单调性与极值点是非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解函数的单调性与极值点，并对相关知识点进行总结。
一、函数单调性的定义函数的单调性指的是函数在其定义域内的增减性质。
如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值$x_1$、＄x_2$，当$x_1 ＜x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就称函数在这个区间上是增函数（或减函数）。
例如，函数$f(x) ＝ x^2$在区间$（＼infty, 0)＄上是减函数，在区间$（0, ＋＼infty)＄上是增函数。
二、判断函数单调性的方法1、定义法设$x_1$、＄x_2$是给定区间上的任意两个自变量的值，且$x_1 ＜x_2$，计算$f(x_2) f(x_1)＄，若$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$，则函数在该区间上是增函数；若$f(x_2) f(x_1) ＜ 0$，则函数在该区间上是减函数。
例 1：判断函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的单调性。
解：设$x_1$，＄x_2$是区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的任意两个实数，且$x_1 ＜ x_2$。
则$f(x_2) f(x_1) ＝（2x_2 1) （2x_1 1) ＝ 2(x_2 x_1)＄因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_2 x_1 ＞ 0$，＄2(x_2 x_1) ＞ 0$，即$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$。
所以函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上是增函数。
2、导数法对于可导函数，如果其导数$f'（x) ＞ 0$，则函数在相应区间上是增函数；如果$f'（x) ＜ 0$，则函数在相应区间上是减函数。
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值在数学的广袤天地中，函数是一座璀璨的灯塔，而函数的单调性与极值则是其重要的特征和性质。
它们就像函数世界的指南针，帮助我们理解函数的行为和变化规律。
首先，咱们来聊聊函数的单调性。
简单说，单调性就是函数值随着自变量增大或减小的变化趋势。
如果函数值随着自变量的增大而增大，那这个函数在相应的区间上就是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那它就是单调递减的。
想象一下，我们有一个函数 f(x) ＝ x²。
当 x ＜ 0 时，随着 x 的值越来越小，函数值却越来越大，所以在区间（∞， 0) 上，函数是单调递增的；而当 x ＞ 0 时，随着 x 的值越来越大，函数值也越来越大，所以在区间（0, ＋∞）上，函数同样是单调递增的。
那怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要用到一些数学工具啦，比如导数。
导数就像是函数的“速度表”，它能告诉我们函数变化的快慢。
如果导数大于零，那么函数在这个区间就是单调递增的；如果导数小于零，那就是单调递减的。
举个例子，对于函数 f(x) ＝ 2x ＋ 3 ，它的导数 f'（x) ＝ 2 ，因为 2 大于零，所以这个函数在整个实数范围内都是单调递增的。
再来说说函数的极值。
极值可不得了，它是函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
比如说，一座山峰在周围的区域中是最高的，那这个山峰的高度就是一个极大值；而一个山谷在周围的区域中是最低的，那这个山谷的深度就是一个极小值。
要找到函数的极值，我们通常需要先找到导数为零的点，这些点被称为驻点。
但驻点可不一定都是极值点哦，还需要进一步判断。
假设我们有一个函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2 ，对它求导得到 f'（x) ＝3x² 6x 。
令导数等于零，即 3x² 6x ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 。
接下来，我们要通过二阶导数或者两侧的导数符号来判断这些点是不是极值点。
函数的单调性与极值79749
v(a ) 4a 0
6
所以函数
v在
x
a
6 处取得唯一极大值，此极大值就是
最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方
1
形铁皮边长的 6时，所做的方盒容积最大。
2019/8/16
例10 制作一个容积为 V的圆柱形密闭容器， 怎样设计才能使所用材料最省？
解 如图，设容器的底面半径为 r，高为 h，
此求得的驻点为最小值点，此时
h
V
r 2
2r
所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。
例11 一工厂A与铁路的垂直距离为 akm，垂足 B到火车站C的铁路长为 bkm(b a，) 要在BC段上选
一点M向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里运 费之比为3：5，问M 选在离C多少公里处，才能使从 A到C的运费最少？
售收入（单位：万元）为 R(x) 5x 0.5x,2问年产量x为 多少时，总利润L最大？
解 利润为
L( x) R( x) C ( x) 4x 0.5x2 3( x 0)
2019/8/16
L( x) 4 x
令 L(x) 0，得驻点 x 4。 因为 L(4) 1 0 ，所以 x 4是函数 L(x)
2019/8/16
函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和 极小致点统称为极值点。 注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个 极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。
y
2019/8/16
o
a
b
x
2 极值存在的必要条件和充分条件
定理2（极值的必要条件） 如果函数 f (x在) 点
x0处可导，且在点
函数的单调性及极值
由定理条件知f (x0)存在，故有
f ( x0 )
f(
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
0
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下一页返回13 Nhomakorabea f ( x0 )
f(
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f (x0 )
0
综上所述, 必有f ( x0 ) 0.
取得极值，且
(1)若 f (x0) < 0 ,则 f(x0) 为函数f (x)的极大值， x0为极大值点；
(2)若 f (x0) > 0，则 f(x0) 为函数f (x)的极小值， x0为极小值点.(证明从略)
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返回
22
运用定理4求函数f(x)的极值点和极值的
一般步骤是：
(1)确定定义域.
驻点和一阶不可导点统称为函数的极值 嫌疑点.那么极值嫌疑点是不是极值点，如 果是极值点，它是极大值点还是极小值点， 如何判断？为了解决这些问题有下面的定 理：
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15
定理 3 (极值的第一充分条件)
设函数 f (x) 在点x0 的左右近旁可导(在点x0 处可
以不可导，但必须连续)， 若当 x 在x0 的左右近旁由
轴正向夹角是锐角，则曲线在该区间内上升； 若这个夹角是钝角，则曲线在该区间内下降． 说明：
（1）闭区间 [a, b]若为开区间、半开区间或无
穷区间，结论同样成立． （2）定理1表明，可以根据导数的正负判定可 导函数的单调性．如果函数的导数仅在个别点 处为零，而在其余点处均满足定理1的条件， 那么定理1的结论仍然成立．
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