吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)学案 1.6《应用举例》—③测量角度

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吉林省东北师范大学附属中学2015春数学人教必修五(理科)学案1.5应用举例—②测量高度

学习目标1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2. 测量中的有关名称.学习过程一、课前准备复习1：在∆ABC中，cos5cos3A bB a==，则∆ABC的形状是怎样？复习2：在∆ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若::a b c3，求A:B:C 的值.二、新课导学※学习探究新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---------从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度---------沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计测量建筑物高度AB 的方法.分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，要求AB，先求AE在ACE∆中，可测得角，关键求AC在ACD∆中，可测得角，线段，又有α故可求得AC※典型例题例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440'︒，在塔底C处测得A处的俯角β=501'︒. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD .问题1：欲求出CD ，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.三、总结提升※ 学习小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.※ 知识拓展在湖面上高h 处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为sin()sin()h αβαβ+-.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在∆ABC 中，下列关系中一定成立的是（）.A ．sin a b A >B ．sin a b A =C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥2. 在∆ABC 中，AB =3，BC AC =4，则边AC 上的高为（）.A B C ．32 D ．3. D 、C 、B 在地面同一直线上，DC =100米，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30和45，则A 点离地面的高AB 等于（）米．A ．100B ．C ．501)D ．501)4. 在地面上C 点，测得一塔塔顶A 和塔基B 的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B 高出地面20m ，则塔身AB 的高为_________m ．5. 在∆ABC 中，b =2a =，且三角形有两解，则A 的取值范围是．1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学5.1.2解三角形应用举例教案4文新人教版必修5

2.2解三角形应用举例授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。

另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。

只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目●教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。

在 ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h a =bsinC=csinBh b =csinA=asinCh c =asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式S=21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=21absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得，S=21bcsinA, S=21acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、在ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;（2）已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.8综合应用举例学案理新人教A版必修5

吉林省东北师范大学附属中学2015春高中数学 1.8综合应用举例学案理新人教A版必修5学习目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；2．三角形的面积及有关恒等式．学习过程一、课前准备复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．复习2：基本解题思路是：①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；④进行作答，并注意近似计算的要求．二、新课导学※典型例题例1. 某观测站C在目标A的南偏西25o方向，从A出发有一条南偏东35o走向的公路，在C 处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A还有多远？例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．例 3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC=，求AB 的长．※ 动手试试练1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？练2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为多少？三、总结提升※ 学习小结1. 解三角形应用题的基本思路，方法； 2．应用举例中测量问题的强化.知识拓展秦九韶“三斜求积”公式：S =学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 某人向正东方向走x km 后，向右转150o ，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km ，则x 等于（）. AB． CD ．32.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60o o ，则塔高为（）米．A ．2003B ．C ．4003 D ．3. 在∆ABC 中，60A ∠=︒，16AC =，面积为，那么BC 的长度为（）.A ．25B ．51C ．D ．494. 从200米高的山顶A 处测得地面上某两个景点B 、C 的俯角分别是30º和45º，且∠BAC ＝45º，则这两个景点B 、C 之间的距离．5. 一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，则货轮的速度．课后作业1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.2. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m 1-），n ＝（cosA ，sinA ）.若m ⊥n ，且acosB+bcosA=csinC ，求角B.3. 【2014江苏】(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α. (1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.。

吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)教案 3.3.2简单的线性规划1

课题: §3.3.2简单的线性规划第3课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ……………………………………………………………….（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z的直线。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学总复习(3)文(含解析)新人教版必修5

吉林省东北师范大学附属中学2015高中数学总复习（3）文（含解析）新人教版必修53.设等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都为整数，前n 项和为n S ．（1）若1114098a S ==，，求数列{}n a 的通项公式；（2）若111146077a a S >，，≥≤，求所有可能的数列{}n a 的通项公式．【解析】：（1）由1411980S a =⎧⎨=⎩，，，即1121314100a d a d +=⎧⎨+=⎩，，，解得 1220d a =-=，．因此，{}n a 的通项公式是222123n a n n =-=，，，，；（2）由141117706S a a ⎧⎪>⎨⎪⎩，，，≤≥，得111213111006a d a d a +⎧⎪+>⎨⎪⎩，，，≤≥，即11121311(1)2200(2)212.(3)a d a d a +⎧⎪--<⎨⎪--⎩，，≤≤ 由①+②，得 711d -<，即117d >-．由①+③，得 131d -≤，即113d -≤．所以111713d -<-≤．又d ∈Z ，故1d =-．将1d =-代入①、②，得 11012a <≤．又1a ∈Z ，故111a =或112a =．所以，数列{}n a 的通项公式是12n a n =-或13123n a n n =-=，，，，．品：利用等差（比）数列的定义构造方程（组）或不等式（组）是常用的解题方法．4.设数列{}{}{}n n n a b c ，，满足21223n n n n n n n b a a c a a a +++=-=++，(123)n =，，，，证明{}n a 为等差数列的充要条件是{}n c 为等差数列且1(123)n n b b n +=，，，…≤．【解析】：必要性：设{}n a 是公差为1d 的等差数列，则1132()()n n n n n n b b a a a a ++++-=---13211()()0n n n n a a a a d d +++=---=-=．易知1(123)n n b b n +=，，，≤成立．由递推关系1121321111()2()3()236n n n n n n n n c c a a a a a a d d d d ++++++-=-+-+-=++= （常数）（n =1，2，3，…）．所以数列{}n c 为等差数列．充分性：设数列{}n c 是公差为2d 的等差数列，且1(123)n n b b n +=，，，≤，∵1223n n n n c a a a ++=++， ①∴223423n n n n c a a a ++++=++，② 由①-②，得 22132412()2()3()23n n n n n n n n n n n c c a a a a a a b b b ++++++++-=-+-+-=++． ∵222n n c c d +-=-，∴122232n n n b b b d ++++=-， ③从而有1232232n n n b b b d +++++=-， ④④-③，得12132()2()3()0n n n n n n b b b b b b +++++-+-+-=，⑤ ∵12132000n n n n n n b b b b b b +++++---，，≥≥≥，∴由⑤得10(123)n n b b n +-==，，，，由此不妨设3(123)n b d n ==，，，，则23n n a a d +-=（常数）．由此121323423n n n n n n c a a a a a d +++=++=+-．从而1123423n n n c a a d +++=+-，两式相减得1132()2n n n n c c a a d ++-=--．因此1132311()22n n n n a a c c d d d ++-=-+=+（常数）（n =1，2，3，…），即数列{}n a 为等差数列．品：利用递推关系式是解决数列问题的重要方法，要熟练掌握等差数列的定义、通项公式．5.已知数列{}n a 满足11121n n a a a +==+，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12111444(1)n n k k k k n n n a b k ---=+=，，证明{}n b 是等差数列．【解析】：（1）∵121()n n a a n *+=+∈N ，∴112(1)n n a a ++=+．∴{1}n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．∴12n n a +=，即21n n a =-；（2）∵12111444(1)n k k k k n a ---=+…，利用{}n a 的通项公式，有12()42n n k k k n nk +++-=． ∴122[()]n n b b b n nb +++-=．①构建递推关系 12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++++-+=+，② ②－①，得 1(1)20n n n b nb +--+=，③从而有21(1)20n n nb n b ++-++=，④③-④，得 2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=．故{}n b 是等差数列．[方法：]由递推式求数列的通项，常常构造新的辅助数列为等差或等比数列，用迭代法、累加法或累乘法求其通项．。

吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)教案 3.4基本不等式1

课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤ 第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】 1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤ 用分析法证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）要证（3），只要证（ - ）2 （4）显然，（4）是成立的。

吉林省东北师范大学附属中学2015春数学人教必修五(理科)学案1.1.1--正弦定理

1. 掌握正弦定理内容；2. 掌握正弦定理证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本一、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则s i n s i n a b A B =，同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C =．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于．（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C．（3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ．1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围．。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学总复习(2)文(含解

吉林省东北师范大学附属中学2015高中数学总复习（2）文（含解析）新人教版必修5二、基础例题1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。

通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1=21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】因为a 1=21,又a 1+a 2=22·a 2, 所以a 2=231⨯，a 3=4311322⨯=-+1a a ,猜想)1(1+=n n a n (n ≥1). 证明；1）当n =1时，a 1=121⨯，猜想正确。

2）假设当n ≤k 时猜想成立。

当n =k +1时，由归纳假设及题设，a 1+ a 1+…+a 1=[(k +1)2-1] a k +1,，所以)1(1231121+⨯++⨯+⨯k k Λ=k (k +2)a k +1, 即1113121211+-++-+-k k Λ=k (k +2)a k +1,所以1+k k=k (k +2)a k +1,所以a k +1=.)2)(1(1++k k 由数学归纳法可得猜想成立，所以.)1(1+=n n a n 例3 设0<a <1，数列{a n }满足a n =1+a , a n -1=a +na 1，求证：对任意n ∈N +,有a n >1.【证明】证明更强的结论：1<a n ≤1+a . 1)当n =1时，1<a 1=1+a ，①式成立；2)假设n =k 时，①式成立，即1<a n ≤1+a ，则当n =k +1时，有.11111111121=++>+++=++≥+=>++a a a a a a a a a a a kk由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)教案 2.5等比数列的前n项和2

课题: §2.5等比数列的前
n 项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式
●教学难点
灵活使用公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n 项和公式：
当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =
当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是Sn ，S2n ，S3n ，
求证：)S S (S S S n 3n 2n 2n 22n +=+
2、设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和；
（1）a=0时，S n =0
（2）a ≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=)1n (n 2
1- 若a ≠1，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1-na n ），Sn=
]na a )1n (1[)
a 1(a 1n n 2+++--
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结Ⅴ.课后作业
●板书设计●授后记。

吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)学案 2.1《数列的概念与简单表示法》(2)

§2.1数列的概念与简单表示法(2)1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；.一、课前准备（预习教材P 31 ~ P 34 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？复习2：数列如何分类？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：数列的表示方法问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数n a1. 通项公式法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 2. 图象法：数列的图形是，因为横坐标为侧，而点的个数取决于数列的．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3. 递推公式法：递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.试试：上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间关系的一个递推公式是 .4. 列表法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的用列表法如何表示？反思：所有数列都能有四种表示方法吗？ ※ 典型例题例1 设数列{}n a 满足11111(1).n n a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项.变式：已知12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想通项公式n a .小结：由递推公式求数列的项，只要让n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.例2 已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，那么2007a =（）. A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D. 22004变式：已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，求n a .小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※ 动手试试练1. 已知数列{}n a 满足11a =，223a =，且111120n n n n n n a a a a a a -+-++-=（2n ≥），求34,a a .练2.（2005年湖南）已知数列{}n a 满足10a =，1n a +==（）.A ．0 B.D.练3. 在数列{}n a 中，12a =，1766a =⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 88.. 而三刀最多能切成7块（如图）. . 因为任意两条弦最多只能n 刀的切. 也就是说n 刀切下去1a ，……，刀数为n 时，饼的块数最※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 已知数列130n n a a +--=，则数列{}n a 是（）.A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列 2. 数列{}n a 中，2293n a n n =-++，则此数列最大项的值是（）.A. 3B. 13C. 1318D. 123. 数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+（n ≥1），则该数列的通项n a =（）.A. (1)n n +B. (1)n n -C.(1)2n n + D. (1)2n n - 4. 已知数列{}n a 满足113a =，1(1)2n n n a a -=-（n ≥2），则5a = .5. 已知数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-（n ≥2），则6a = .1. 数列n a 中，1a ＝0，1n a +＝n a ＋(2n －1) (n ∈N )，写出前五项，并归纳出通项公式.2. 数列{}n a 满足11a =，12()2nn n a a n N a +=∈+，写出前5项，并猜想通项公式n a .。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习等比数列导学案文

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习等比数列导学案文知识梳理：（阅读教材必修5第36页—45页）1、等比数列的定义: 。

说明:等比数列{}中, q；等比数列{}中，若q则各项符号相同，若，则各项的符号正负交替出现。

2、等比数列判断方法：①、定义法：②、等比中项法：=；③、c (c、q均0)；④=k（-1），q1，k。

3、等比数列通项公式及前n项和:通项公式: ;前n项和公式: ; 说明：（1）、知道，n，，，这五个量中任意三个，就可求出其余两个；（2）、===c，当q是不等于1的正数时，y=是一个指数函数，而y= c是指数型函数。

4、等比中项: ；5、等比数列常用的性质：（1）、{}是等比数列，则{}（p）；{}；{}；{}；{}；仍是等比数列。

（2）、；（3）、等和性：若m+n=p+q（m、n、p、q）则（4）、等比数列{}中，等距离抽出的子数列依然是等比数列，即，，，…为等比数列，公比为；（5）、片段和性质：若是等比数列的前n项和，且则，，，…成等比数列，公比为。

（6）、三个数成等比，可以设，a，aq （q为公比）（7）、单调性：，0时或，时，{}是增数列；，时或，0时，{}是减数列；0时，为摆动数列；当q=1时，为常数列。

二、题型探究[探究一]：已知等比数列的某些项，求某项例1：已知{}是等比数列，=2，=162，则；[探究二]：已知等比数列前n项和，求项数。

例2：（1）、已知，=93，=48，公比q=2，求n；（）（2）、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两项之和为37，中间两数之和为36，求这四个数。

[探究三]：求等比数列的前n项和例3：求等比数列1，2，4，8…中，从第5项到第10项的和。

例4：已知，最小，且+=66，+=128=126，求q,n.[探究四]：等比数列的性质例5：已知，=54，=60，求例6：已知满足=（a为常数，且a，a1）（1）、求的通项公式；(2)、设=+1，若{}是等比数列，求a 。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 5.2.4等比数列教案1 新人教版必修5

课题: §2.4等比数列授课类型：新授课（第1课时）●教学目标知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点等比数列的定义及通项公式●教学难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。

课本P41页的4个例子：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。

Ⅱ.讲授新课1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件．3︒ q= 1时，{a n }为常数。

吉林省东北师范大学附属中学2015学年数学人教必修五(文科)教案 2.6数列复习小结

课题：数列复习小结2课时教学目的：1．系统掌握数列的有关概念和公式。

2．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系。

3．能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a 。

授课类型：复习课课时安排：2课时教学过程：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．四、知识精要：1、数列[数列的通项公式] ⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn [数列的前n 项和] n n a a a a S ++++=Λ3212、等差数列[等差数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

[等差数列的判定方法]1．定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

[等差数列的通项公式]如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。

吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 1.1.1集合学案新人教A版必修1

吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 1.1.1集合学案新人教A版必修1一、记要点1．集合与元素的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．元素的特性集合元素的特性有：确定性、互异性、无序性．3．常用数集及表示符号非负整数集(自然数集)：N，正整数集：N*或N＋，整数集：Z，有理数集：Q，实数集：R. 4．元素a与集合A的关系如果a是集合A的元素，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．5．集合相等的概念如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．二、针对练习：1．下列各项中，不可以组成集合的是________．①所有的正数②等于2的数③接近于0的数④不等于0的偶数2．集合A中只含有元素a，则下列各式正确的是________．①0∈A②a∉A③a∈A④a＝A3.实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含元素的个数为________．4．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．5．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．6．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)某校的年轻教师．8．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是下面给出的________．①锐角三角形 ②直角三角形③钝角三角形 ④等腰三角形9．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 等于________．10．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________.11.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．。

吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 1.2.2.2.2对数函数(二)学案新人教A版必修1

吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学1.2.2.2.2对数函数（二）学案新人教A 版必修1 课时目标 1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．1．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x x ln x x ，则g (g (12))＝________.2．下列各组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)①y ＝x 2和y ＝(x )2；②|y |＝|x |和y 3＝x 3；③y ＝log a x 2和y ＝2log a x ；④y ＝x 和y ＝log a a x .3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是________．4．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为________．5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点________．一、填空题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系为________．2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为________．3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则下列不等关系判断正确的为________．(填序号)①f (2)>f (－2)；②f (1)>f (2)；③f (－3)>f (－2)；④f (－3)>f (－4)．4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为________．5．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________. 6．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是________．7．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是________．9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________．二、解答题10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝12log 1－ax x －1的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (x －1)<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋12)有最小值，则实数a 的取值范围是________． 13．已知log m 4<log n 4，比较m 与n 的大小．1．在对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，底数a 对其图象的影响无论a 取何值，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a 的逐渐增大，y ＝log a x (a >1，且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a <1时函数单调递减，当a >1时函数单调递增． 2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．附答案:双基演练1.12解析 ∵g (12)＝ln 12<0， ∴g (ln 12)＝1ln 2e ＝12， ∴g (g (12))＝12. 2．④解析 y ＝log a a x ＝x log a a ＝x ，即y ＝x ，两函数的定义域、值域都相同．3．[116，14] 解析由题意得：2≤12log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12)4，即116≤x ≤14. 4．(0，＋∞)解析 ∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.5．2解析由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1，∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．(3,1)解析若x－2＝1，则不论a为何值，只要a>0且a≠1，都有y＝1.作业设计1．b<a<c解析因为0<log53<log54<1,1<log45，所以b<a<c.4.12解析函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)，令y1＝a x，y2＝log a(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝a x与y2＝log a(x＋1)同增或同减．因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋log a2＋1＋0＝a，解得a＝12.5．－b解析f(－x)＝lg1＋x1－x＝lg(1－x1＋x)－1＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－b.6．y＝log3x(13≤x<1)解析由y＝3x(－1≤x<0)得反函数是y＝log3x(13≤x<1)．7．b≤1解析由题意，x≥1时，2x－b≥1.又2x≥2，∴b≤1.8．[12，1)∪(1,2]解析∵|y|>1，即y>1或y<－1，∴log a x>1或log a x<－1，变形为log a x>log a a或log a x<log a1a当x ＝2时，令|y |＝1，则有log a 2＝1或log a 2＝－1，∴a ＝2或a ＝12. 要使x >2时，|y |>1.综上可得，a 的取值范围是1<a <32. 11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即12log 1＋ax －x －1＝－12log 1－ax x －1＝12log x －11－ax ，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．(2)f (x )＋12log (x －1)＝12log 1＋x x －1＋12log (x －1) ＝12log (1＋x )，当x >1时，12log (1＋x )<－1，∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (x －1)<m 恒成立，∴m ≥－1.12．(1，2)解析已知函数f (x )有最小值，令y ＝x 2－ax ＋12，由于y 的值可以趋于＋∞，所以a >1，否则，如果0<a <1，f (x )没有最小值．又由于真数必须大于0，所以y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，即Δ＝a 2－4×1×12<0，∴－2<a < 2.综上可知1<a < 2.13．解数形结合可得0<n<m<1或1<n<m或0<m<1<n.作业布置考试卷一套。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学5.2.1数列的概念

课题: §2.1数列的概念与简单表示法授课类型：新授课（第1课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.8综合应用举例

吉林省东北师范大学附属中学人教A版数学必修一学案 1.1.6集合复习小结(1)[ 高考]

课题：集合复习小结(1)学时：006学习目标：（1）理解集合的定义，子、交、并、补、全的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课型：复习课学习重点：子、交、并、补、全的含义；一．复习回顾：1.提问：什么叫集合？元素？集合的表示方法有哪些？2.提问：什么叫交集？并集？补集？符号语言如何表示？图形语言如何表示？3.提问：什么叫子集？真子集？空集？相等集合？有何性质？4.交集、并集、补集的有关运算结论有哪些？5.集合问题的解决方法：Venn图示法、数轴分析法。

6.集合基本运算的一些结论：A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A=A，A∩∅=∅,A∩B=B∩AA⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A=A，A∪∅=A,A∪B=B∪A（C U A）∪A=U，（C U A）∩A=∅若A∩B=A，则A⊆B，反之也成立若A∪B=B，则A⊆B，反之也成立若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B二．典型题讲解：1．若方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的所有解构成的集合为M，则M中元素的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．12．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,5}，x∈A，且x∉B，则x等于( )A．1 B．2 C．3 D．54．已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，设d＝a－b＋c，则( )A．d∈M B．d∈NC．d∈P D．d∈M且d∈N5．设直线y＝2x＋3上的点集为P，则P＝__________；点(2,7)与点集P的关系为(2,7)__________P.6．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}．定义P⊖Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊖Q的所有元素之和为________．7．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？8．设S＝{x|x＝m＋n2，m、n∈Z}．(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？(2)对S中的任意两个x1、x2，则x1＋x2、x1·x2是否属于S?三、课后检测：1．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则必有( )A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A2．已知集合M＝{x∈N|(8－x)∈N}，则M中元素的个数是( )A．10 B．9C．8 D．无数个3．定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．64．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，b a，b}，则b －a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－25．集合{3，52，73，94，…}可表示为( ) A ．{x|x ＝2n ＋12n ，n ∈N *} B ．{x|x ＝2n ＋3n，n ∈N *} C ．{x|x ＝2n －1n，n ∈N *} D ．{x|x ＝2n ＋1n，n ∈N *} 6．填空题：(1)用列举法表示集合{x ∈R |(x －1)2(x ＋1)＝0}为__________；(2)用列举法表示集合{x ∈N |66－x∈N }为__________； (3)用描述法表示集合{2,4,6,8}为__________；(4)用描述法表示集合{1，12，13，14}为__________． 7．已知x ∈{1,2，x 2}，则x ＝__________.8．设a ，b 是非零实数，则y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|的所有值组成的集合为________． 9．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }，若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素．。

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§1.2应用举例—③测量角度
学习目标
.
学习过程
一、课前准备
复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=
，且1sin 32ab C =，求a b ，.
复习2：设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60，3c =，求a c 的值.
二、新课导学
※ 典型例题
例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)
（分析：首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC ，然后用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB . ）
例2. 某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
※ 动手试试
练1. 甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时31)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求
A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.
练2. 某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；
2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
※ 知识拓展
已知∆ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？因为5C πθ=-，由余弦定理知
222
cos 2a b c C ab
+-=为有理数，所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数.
※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（）.
A ．α>β
B ．α=β
C ．α+β=90
D ．α+β=180
2. 已知两线段2a =，b =a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（）.
A ．(,)63ππ
B ．(0,]6π
C ．(0,)2π
D ．(0,]4
π 3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=有相等实根，且A 、B 、C 是∆的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（）.
A ．b ac =
B ．a bc =
C ．c ab =
D ．2b ac =
4. △ABC 中，已知a :b :c ，则此三角形中最大角的度数为 .
5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法:
(1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在
(2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解
(3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90°
(4)当A ＜90°，a <b 时三角形一定存在
(5)当A ＜90°，且b sin A <a <b 时，三角形有两解
其中正确说法的序号是 .
1. 我舰在敌岛A南偏西50︒相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？。