七年级数学上册三角形压轴题
人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷
人教版七年级上册数学压轴题期末复习试卷一、压轴题1．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．2．借助一副三角板，可以得到一些平面图形（1）如图1，∠AOC＝度．由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是多少度？（2）如图2，∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°，求∠2的度数；（3）利用图3，反向延长射线OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，请按题意补全图（3），并求出∠EOF的度数．3．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足（a-1）2+|ab+3|=0，c=-2a+b．（1）分别求a，b，c的值；（2）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时相向运动，设运动时间为t 秒．i ）是否存在一个常数k ，使得3BC-k•AB 的值在一定时间范围内不随运动时间t 的改变而改变？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．ii ）若点C 以每秒3个单位长度的速度向右与点A ，B 同时运动，何时点C 为线段AB 的三等分点？请说明理由．4．某商场在黄金周促销期间规定：商场内所有商品按标价的50%打折出售；同时，当顾客在该商场消费打折后的金额满一定数额，还可按如下方案抵扣相应金额：说明：[)a,b 表示在范围a b ～中，可以取到a ，不能取到b ．根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠：打折优惠与抵扣优惠． 例如：购买标价为900元的商品，则打折后消费金额为450元，获得的抵扣金额为30元，总优惠额为：()900150%30480⨯-+=元，实际付款420元． (购买商品得到的优惠率100%)=⨯购买商品获得的总优惠额商品的标价， 请问： ()1购买一件标价为500元的商品，顾客的实际付款是多少元？()2购买一件商品，实际付款375元，那么它的标价为多少元？()3请直接写出，当顾客购买标价为______元的商品，可以得到最高优惠率为______．5．如图，以长方形OBCD 的顶点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，B 点坐标为（0，a ），C 点坐标为（c ，b ），且a 、b 、C 满足6a ++|2b+12|+（c ﹣4）2＝0．（1）求B 、C 两点的坐标；（2）动点P 从点O 出发，沿O→B→C 的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒，DC 上有一点M （4，﹣3），用含t 的式子表示三角形OPM 的面积；（3）当t 为何值时，三角形OPM 的面积是长方形OBCD 面积的13？直接写出此时点P 的坐标．6．如图，数轴上有A ， B 两点，分别表示的数为a ，b ，且()225350a b ++-=．点P 从A 点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B 点后立即以相同的速度返回往A 点运动，并持续在A ，B 两点间往返运动．在点P 出发的同时，点Q 从B 点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q 达到A 点时，点P ，Q 停止运动． （1）填空：a = ，b = ；（2）求运动了多长时间后，点P ，Q 第一次相遇，以及相遇点所表示的数；（3）求当点P ，Q 停止运动时，点P 所在的位置表示的数；（4）在整个运动过程中，点P 和点Q 一共相遇了几次．（直接写出答案）7．我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：用含n 的式子表示第n 个图的钢管总数.（分析思路）图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律．如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S 表示钢管总数)（解决问题）(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律:_______ ____________ _______________ _______________(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数.8．如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=22．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．(1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数____（用含t的代数式表示）；(2)若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?（列一元一次方程解应用题）(3)若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问秒时P、Q之间的距离恰好等于2（直接写出答案）(4)思考在点P的运动过程中，若M为AP的中点，N为PB的中点.线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.9．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角尺（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．(1)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．①求t值；②试说明此时ON平分∠AOC；(2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON=α，∠COM=β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；(3)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON ?请说明理由．10．从特殊到一般，类比等数学思想方法，在数学探究性学习中经常用到，如下是一个具体案例，请完善整个探究过程。
数学七年级上册数学 压轴题 期末复习试题及答案解答
数学七年级上册数学压轴题期末复习试题及答案解答一、压轴题1．综合与探究问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图（1）所示位置摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM、ON，然后提出如下问题：求出∠MON的度数．特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的角平分线．其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON、OD、OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．（1）请你帮助“兴趣小组”进行计算：图2中∠MON的度数为°．图3中∠MON的度数为°．发现感悟解决完图2，图3所示问题后，“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论：小明：由于图1中∠AOC和∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．小华：设∠BOD为x°，我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数，这样也能求出∠MON的度数．（2）请你根据他们的谈话内容，求出图1中∠MON的度数．类比拓展受到“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出∠AOC、∠BOD的平分线OM、ON，他们认为也能求出∠MON的度数．（3）你同意“智慧小组”的看法吗？若同意，求出∠MON的度数；若不同意，请说明理由．2．如图1，已知面积为12的长方形ABCD，一边AB在数轴上。
点A表示的数为—2，点B 表示的数为1，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P运动时间为t（t>0）秒.（1）长方形的边AD 长为 单位长度；（2）当三角形ADP 面积为3时，求P 点在数轴上表示的数是多少；（3）如图2，若动点Q 以每秒3个单位长度的速度，从点A 沿数轴向右匀速运动，与P 点出发时间相同。
那么当三角形BDQ ，三角形BPC 两者面积之差为12时，直接写出运动时间t 的值.3．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？在①135︒，②120︒，③75︒，④25︒中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________；（填序号）（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB ∠）的顶点与60角（COD ∠）的顶点互相重合，且边OA 、OC 都在直线EF 上.固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB 与射线OF 第一次重合时停止.①当OB 平分EOD ∠时，求旋转角度α；②是否存在2BOC AOD ∠=∠？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由.4．如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A ，B 两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．（1）设运动时间为t （t ＞0）秒，数轴上点B 表示的数是 ，点P 表示的数是 （用含t 的代数式表示）；（2）若点P 、Q 同时出发，求：①当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 相遇？②当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度？5．已知，如图，A 、B 、C 分别为数轴上的三点，A 点对应的数为60，B 点在A 点的左侧，并且与A 点的距离为30，C 点在B 点左侧，C 点到A 点距离是B 点到A 点距离的4倍．（1）求出数轴上B 点对应的数及AC 的距离．（2）点P 从A 点出发，以3单位/秒的速度向终点C 运动，运动时间为t 秒．①当P 点在AB 之间运动时，则BP ＝ ．（用含t 的代数式表示）②P 点自A 点向C 点运动过程中，何时P ，A ，B 三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间t ．③当P 点运动到B 点时，另一点Q 以5单位/秒的速度从A 点出发，也向C 点运动，点Q 到达C 点后立即原速返回到A 点，那么Q 点在往返过程中与P 点相遇几次？直．接．写．出．相遇时P 点在数轴上对应的数6．已知∠AOB 和∠AOC 是同一个平面内的两个角,OD 是∠BOC 的平分线.(1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD 的度数；(2)若∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n ＜＜，＜＜，＜ 且m n ＜，求∠AOD 的度数(结果用含m n 、的代数式表示)，请画出图形，直接写出答案．7．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（2，8），点N 的坐标为（2，6），将线段MN 向右平移4个单位长度得到线段PQ （点P 和点Q 分别是点M 和点N 的对应点），连接MP 、NQ ，点K 是线段MP 的中点．（1）求点K 的坐标；（2）若长方形PMNQ 以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A 、B 、C 、D 、E 分别是点M 、N 、Q 、P 、K 的对应点），当BC 与x 轴重合时停止运动，连接OA 、OE ，设运动时间为t 秒，请用含t 的式子表示三角形OAE 的面积S （不要求写出t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接OB 、OD ，问是否存在某一时刻t ，使三角形OBD 的面积等于三角形OAE 的面积？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．8．如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足6a +|2b+12|+（c﹣4）2＝0．（1）求B、C两点的坐标；（2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P 的运动时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积；（3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的13？直接写出此时点P的坐标．9．我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：用含n的式子表示第n个图的钢管总数.（分析思路）图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律．如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S 表示钢管总数)（解决问题）(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律:_______ ____________ _______________ _______________(3)用含n 的式子列式，并计算第n 个图的钢管总数.10．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且AB=20，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）写出数轴上点B 表示的数______；点P 表示的数______（用含t 的代数式表示） （2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问多少秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2？（3）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速到家动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上Q ？（4）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．11．从特殊到一般，类比等数学思想方法，在数学探究性学习中经常用到，如下是一个具体案例，请完善整个探究过程。
初中数学三角形压轴题
初中数学三角形压轴题
哎呀！一提到初中数学三角形的压轴题，我的脑袋都要大啦！那可真是让人又爱又恨呐！
还记得有一次，数学考试的时候，最后那几道三角形的压轴题，就像拦路虎一样横在我面前。
我瞪大眼睛，死死地盯着题目，心里不停地念叨：“这到底是要闹哪样啊？”
题目说有一个三角形，三个角的度数好像在和我捉迷藏，怎么都找不到规律。
还有那些边的长度，一会儿这个比例，一会儿那个关系，搞得我晕头转向。
我就像在黑暗中摸索的人，怎么都找不到那一丝光明。
我看看旁边的同学，他们有的眉头紧皱，有的咬着笔头，看来大家都被这难题给难住啦！我心想：“难道就这么被它打败？不行，我得加油！”
我深吸一口气，重新把题目看了一遍又一遍。
突然，我好像发现了一点线索，就像在沙漠中找到了一滴水。
我赶紧拿起笔，在草稿纸上写写画画。
这时候，我的同桌凑过来，小声问我：“这题你会吗？”我摇摇头，说：“还没完全搞明白呢，你呢？”他一脸无奈：“我也是，感觉这题就是故意刁难人的！”
我继续埋头苦想，脑子里不断回忆老师讲过的知识点。
“三角形内角和是180 度，对呀！”我兴奋地叫了起来。
这一叫，把周围同学都吓了一跳，他们都用奇怪的眼神看着我。
经过一番苦苦思索，我终于算出了答案。
那一刻，我高兴得差点跳起来，心里就像吃了蜜一样甜。
我觉得啊，做三角形的压轴题就像爬山。
一开始，你觉得山好高好难爬，但是只要你坚持，一步一步往上走，总会到达山顶，看到美丽的风景。
虽然过程很辛苦，但是当你成功的那一刻，所有的付出都值得啦！所以，遇到难题别害怕，勇敢去挑战，说不定就能成功呢！。
七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷
七年级上册数学压轴题期末复习试卷一、压轴题1．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠COF＝14°时，t＝秒．2．如图1，已知面积为12的长方形ABCD，一边AB在数轴上。
点A表示的数为—2，点B 表示的数为1，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P运动时间为t（t>0）秒.（1）长方形的边AD长为单位长度；（2）当三角形ADP面积为3时，求P点在数轴上表示的数是多少；（3）如图2，若动点Q以每秒3个单位长度的速度，从点A沿数轴向右匀速运动，与P点出发时间相同。
那么当三角形BDQ，三角形BPC两者面积之差为12时，直接写出运动时间t 的值.3．综合试一试（1）下列整数可写成三个非0整数的立方和：45=_____；2=______．（2）对于有理数a ，b ，规定一种运算：2a b a ab ⊗=-．如2121121⊗=-⨯=-，则计算()()532-⊗⊗-=⎡⎤⎣⎦______． （3）a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知12a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，……，以此类推，122500a a a ++⋅⋅⋅+=______．（4）10位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得9.4分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是_____分． （5）在数1.2.3...2019前添加“+”，“-”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是______（6）早上8点钟，甲、乙、丙三人从东往西直行，乙在甲前400米，丙在乙前400米，甲、乙、丙三人速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟，问：______分钟后甲和乙、丙的距离相等.4．如图，从左到右依次在每个小方格中填入一个数，使得其中任意三个相邻方格中所填数之和都相等． 6abx-1-2 ...（1）可求得 x =______，第 2021 个格子中的数为______； （2）若前 k 个格子中所填数之和为 2019，求 k 的值；（3）如果m ，n 为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|m -n | 的和可以通过计算|6-a |+|6-b|+|a -b|+|a -6| +|b -6|+|b -a| 得到．若m ，n 为前8个格子中的任意两个数，求所有的|m-n|的和.5．已知多项式3x 6﹣2x 2﹣4的常数项为a ，次数为b ．（1）设a 与b 分别对应数轴上的点A 、点B ，请直接写出a ＝ ，b ＝ ，并在数轴上确定点A 、点B 的位置；（2）在（1）的条件下，点P 以每秒2个单位长度的速度从点A 向B 运动，运动时间为t 秒：①若PA ﹣PB ＝6，求t 的值，并写出此时点P 所表示的数；②若点P 从点A 出发，到达点B 后再以相同的速度返回点A ，在返回过程中，求当OP ＝3时，t 为何值？6．已知：OC 平分AOB ∠，以O 为端点作射线OD ，OE 平分AOD ∠. （1）如图1，射线OD 在AOB ∠内部，BOD 82∠=︒，求COE ∠的度数. （2）若射线OD 绕点O 旋转，BOD α∠=，（α为大于AOB ∠的钝角），COE β∠=，其他条件不变，在这个过程中，探究α与β之间的数量关系是否发生变化，请补全图形并加以说明.7．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？在①135︒，②120︒，③75︒，④25︒中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________；（填序号）（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB ∠）的顶点与60角（COD ∠）的顶点互相重合，且边OA 、OC 都在直线EF 上.固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB 与射线OF 第一次重合时停止.①当OB 平分EOD ∠时，求旋转角度α；②是否存在2BOC AOD ∠=∠？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由. 8．已知∠AOB 和∠AOC 是同一个平面内的两个角,OD 是∠BOC 的平分线. (1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD 的度数；(2)若∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n ＜＜，＜＜，＜+且m n ＜，求∠AOD 的度数(结果用含m n 、的代数式表示)，请画出图形，直接写出答案．9．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且AB=20，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）写出数轴上点B 表示的数______；点P 表示的数______（用含t 的代数式表示）（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速到家动，若点P、Q 同时出发，问点P运动多少秒时追上Q？（4）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．10．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有1CD AB2，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②MNAB的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．11．已知：A、O、B三点在同一条直线上，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中，当直角三角板的直角边OM所在直线恰好平分∠BOC时，时间t的值为（直接写结果）．12．如图，数轴上有A、B两点，且AB=12，点P从B点出发沿数轴以3个单位长度/s的速度向左运动，到达A点后立即按原速折返，回到B点后点P停止运动，点M始终为线段BP的中点(1)若AP=2时，PM=____；(2)若点A表示的数是-5，点P运动3秒时，在数轴上有一点F满足FM=2PM，请求出点F 表示的数；(3)若点P从B点出发时，点Q同时从A点出发沿数轴以2.5个单位长度/s的速度一直．．向右运动，当点Q的运动时间为多少时，满足QM=2PM.13．阅读下列材料，并解决有关问题：我们知道，(0)0(0)(0)x xx xx x>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，例如化简式子|1||2|x x++-时，可令10x+=和20x-=，分别求得1x=-，2x=（称1-、2分别为|1|x+与|2|x-的零点值）．在有理数范围内，零点值1x=-和2x=可将全体有理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况：（1）1x<-；（2）1-≤2x<；（3）x≥2．从而化简代数式|1||2|x x++-可分为以下3种情况：（1）当1x<-时，原式()()1221x x x=-+--=-+；（2）当1-≤2x<时，原式()()123x x=+--=；（3）当x≥2时，原式()()1221x x x=++-=-综上所述：原式21(1)3(12)21(2)x xxx x-+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你类比解决以下问题：（1）填空：|2|x+与|4|x-的零点值分别为；（2）化简式子324x x-++．14．如图,在数轴上点A表示数a,点B表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a,b满足|a+2|+(b+3a)2=0.(1)求A,B两点之间的距离;(2)若在线段AB上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数;(3)若在原点O处放一个挡板,一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动,同时,另一个小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略小球的大小,可看做一个点)以原来的速度向相反的方向运动.设运动时间为t秒.①甲球到原点的距离为_____,乙球到原点的距离为_________;(用含t的代数式表示)②求甲乙两小球到原点距离相等时经历的时间.15．如图①，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方． （1）将图①中的三角板OMN 摆放成如图②所示的位置，使一边OM 在∠BOC 的内部，当OM 平分∠BOC 时，∠BO N= ；（直接写出结果）（2）在（1）的条件下，作线段NO 的延长线OP （如图③所示），试说明射线OP 是∠AOC 的平分线；（3）将图①中的三角板OMN 摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC 与∠AOM 之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）35°；（2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值，理由详见解析；（3）4． 【解析】 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE 和∠BOF 的度数，然后根据∠AOE ﹣∠BOF 求解；（2）首先由题意得∠BOC ＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC ＝∠AOB+3t°，∠BOD ＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可； （3）根据题意得∠BOF ＝（3t+14）°，故3314202t t +=+，解方程即可求出t 的值． 【详解】解：（1）∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ， ∴11AOE AOC 11022︒∠=∠=⨯＝55°，11AOF BOD 402022︒︒∠=∠=⨯=， ∴∠AOE ﹣∠BOF ＝55°﹣20°＝35°； （2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值 由题意∠BOC ＝3t°，则∠AOC ＝∠AOB+3t°＝110°+3t°，∠BOD ＝∠COD+3t°＝40°+3t°， ∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，()11AOE AOC 1103t =22︒︒∴∠=∠=⨯+3552t ︒︒+∴()113BOF BOD 403t 20t 222︒︒︒︒∠=∠=+=+， ∴33AOE BOF 55t 20t 3522︒︒︒︒︒⎛⎫⎛⎫∠-∠=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值，定值为35°； （3）根据题意得∠BOF ＝（3t+14）°， ∴3314202t t +=+， 解得4t =． 故答案为4． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． 2．（1）4；（2）－3.5或－0.5；（3）t 的值为1116、1316、138或118． 【解析】 【分析】（1）先求出AB 的长，由长方形ABCD 的面积为12，即可求出AD 的长；（2）由三角形ADP 面积为3，求出AP 的长，然后分两种情况讨论：①点P 在点A 的左边；②点P 在点A 的右边．（3） 分两种情况讨论：①若Q 在B 的左边，则BQ = 3-3t ．由|S △BDQ －S △BPC |=12，解方程即可；②若Q 在B 的右边，则BQ = 3t －3．由|S △BDQ －S △BPC |=12，解方程即可． 【详解】（1）AB =1－（－2）=3．∵长方形ABCD 的面积为12，∴AB ×AD =12，∴AD =12÷3=4． 故答案为：4．（2）三角形ADP 面积为：12AP •AD =12AP ×4=3， 解得：AP =1.5，点P 在点A 的左边：-2-1.5=-3.5，P 点在数轴上表示-3.5； 点P 在点A 的右边：-2+1.5=-0.5，P 点在数轴上表示-0.5． 综上所述：P 点在数轴上表示-3.5或-0.5．（3）分两种情况讨论：①若Q 在B 的左边，则BQ =AB －AQ =3-3t ．S △BDQ =12BQ •AD =1(33)42t -⨯=66t -，S △BPC =12BP •AD =142t ⨯=2t ， 1(66)22t t --=，680.5t -=±，解得：t =1316或1116；②若Q 在B 的右边，则BQ =AQ －AB =3t －3．S △BDQ =12BQ •AD =1(33)42t -⨯=66t -，S △BPC =12BP •AD =142t ⨯=2t ， 1(66)22t t --=，460.5t -=±，解得：t =138或118．综上所述：t 的值为1116、1316、138或118．【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离公式． 3．（1）23+(-3)3+43，73+(-5)3+(-6)3；（2）100；（3）25032；（4）9.38；（5）0；（6）24或40 【解析】 【分析】（1）把45分解为2、-3、4三个整数的立方和，2分解为7、-5、-6三个整数的立方和即可的答案；（2）按照新运算法则，根据有理数混合运算法则计算即可得答案；（3）根据差倒数的定义计算出前几项的值，得出规律，计算即可得答案；（4）根据精确到十分位得9.4分可知平均分在9.35到9.44之间，可求出总分的取值范围，根据裁判打分是整数即可求出8个裁判给出的总分，再计算出平均分，精确到百分位即可；（5）由1+2-3=0，连续4个自然数通过加减运算可得0，列式计算即可得答案；（6）根据题意得要使甲和乙、甲和丙的距离相等就可以得出甲在乙、丙之间，设x 分钟后甲和乙、甲和丙的距离相等，就有甲走的路程-乙走的路程-400=丙走的路程+800-甲走的路程建立方程求出其解，就可以得出结论．当乙追上丙时，甲和乙、丙的距离相等，求出乙追上丙的时间即可.综上即可的答案. 【详解】（1）45=23+(-3)3+43，2=73+(-5)3+(-6)3， 故答案为23+(-3)3+43，73+(-5)3+(-6)3 （2）∵2a b a ab ⊗=-，∴()()532-⊗⊗-=⎡⎤⎣⎦(-5)⊗[32-3×(-2)]=(-5)⊗15 =(-5)2-(-5)×15 =100. （3）∵a 1=2， ∴a 2=1112=--， a 3=11(1)--=12， 412112a ==-a 5=-1 ……∴从a 1开始，每3个数一循环， ∵2500÷3=833……1， ∴a 2500=a 1=2，∴122500a a a ++⋅⋅⋅+=833×(2-1+12)+2=25032. （4）∵10个裁判打分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分， ∴平均分为中间8个分数的平均分， ∵平均分精确到十分位的为9.4， ∴平均分在9.35至9.44之间， 9.35×8=74.8，9.44×8=75.52，∴8个裁判所给的总分在74.8至75.52之间， ∵打分都是整数， ∴总分也是整数， ∴总分为75，∴平均分为75÷8=9.375， ∴精确到百分位是9.38. 故答案为9.38（5）2019÷4=504……3，∵1+2-3=0，4-5-6+7=0，8-9-10+11=0，…… ∴(1+2-3)+(4-5-6+7)+……+(2016-2017-2018+2019)=0 ∴所得结果可能的最小非负数是0， 故答案为0（6）设x 分钟后甲和乙、丙的距离相等，∵乙在甲前400米，丙在乙前400米，速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟，∴120x-400-100x=90x+800-120x 解得：x=24.∵当乙追上丙时，甲和乙、丙的距离相等， ∴400÷(100-90)=40(分钟)∴24分钟或40分钟时甲和乙、丙的距离相等. 故答案为24或40. 【点睛】本题考查数字类的变化规律、有理数的混合运算、近似数及一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识是解题关键.4．（1）6，-1；（2）2019或2014；（3）234 【解析】 【分析】（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、x的值，再根据第9个数是-2可得b=-2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．【详解】（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴6+a+b=a+b+x，解得x=6，a+b+x=b+x-1，∴a=-1，所以数据从左到右依次为6、-1、b、6、-1、b，第9个数与第三个数相同，即b=-2，所以每3个数“6、-1、-2”为一个循环组依次循环．∵2021÷3=673…2，∴第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为-1．故答案为：6，-1．（2）∵6+（-1）+（-2）=3，∴2019÷3=673．∵前k个格子中所填数之和可能为2019，2019=673×3或2019=671×3+6，∴k的值为：673×3=2019或671×3+1=2014．故答案为：2019或2014．（3）由于是三个数重复出现，那么前8个格子中，这三个数中，6和-1都出现了3次，-2出现了2次．故代入式子可得：（|6+2|×2+|6+1|×3）×3+（|-1-6|×3+|-1+2|×2）×3+（|-2-6|×3+|-2+1|×3）×2=234．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，规律推导的运用，此类题的关键是找出是按什么规律变化的，然后再按规律找出字母所代表的数，再进行进一步的计算．5．（1）﹣4，6；（2）①4；②1319,22或【解析】【分析】（1）根据多项式的常数项与次数的定义分别求出a，b的值，然后在数轴上表示即可；（2）①根据PA﹣PB＝6列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得到点P所表示的数；②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：（Ⅰ）P在原点右边；（Ⅱ）P在原点左边．分别求出点P运动的路程，再除以速度即可．【详解】（1）∵多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b，∴a＝﹣4，b＝6．如图所示：故答案为﹣4，6；（2）①∵PA＝2t，AB＝6﹣（﹣4）＝10，∴PB＝AB﹣PA＝10﹣2t．∵PA ﹣PB ＝6，∴2t ﹣（10﹣2t ）＝6，解得t ＝4，此时点P 所表示的数为﹣4+2t ＝﹣4+2×4＝4；②在返回过程中，当OP ＝3时，分两种情况：（Ⅰ）如果P 在原点右边，那么AB+BP ＝10+（6﹣3）＝13，t ＝132； （Ⅱ）如果P 在原点左边，那么AB+BP ＝10+（6+3）＝19，t ＝192． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，数轴以及多项式的有关定义，理解题意利用数形结合是解题的关键．6．(1)41°;(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得12AOC AOB ∠∠=，12AOE AOD ∠∠=，进而可得∠COE=()12AOB AOD ∠∠-，即可得答案；（2）分别讨论OA 在∠BOD 内部和外部的情况，根据求得结果进行判断即可.【详解】（1）∵射线OC 平分AOB ∠、射线OE 平分AOD ∠， ∴12AOC AOB ∠∠=，12AOE AOD ∠∠=， ∴COE AOC AOE ∠∠∠=- =1122AOB AOD ∠∠- =()12AOB AOD ∠∠- =12BOD ∠ =01822⨯ =41°（2）α与β之间的数量关系发生变化， 如图，当OA 在BOD ∠内部，∵射线OC 平分AOB ∠、 射线OE 平分AOD ∠， ∴11O ,22AOC A B AOE AOD ∠∠∠∠==， ∴COE AOC AOE β∠∠∠==+=1122AOB AOD ∠∠+ =()12AOB AOD ∠∠+ =12α如图，当OA 在BOD ∠外部，∵射线OC 平分AOB ∠、射线OE 平分AOD ∠，∴11,22AOC AOB AOE AOD ∠∠∠∠==， ∴COE AOC AOE β∠∠∠==+ =1122AOB AOD ∠∠=+ =()12AOB AOD ∠∠+ =()013602BOD ∠- =()013602α- =011802α-∴α与β之间的数量关系发生变化.【点睛】本题考查角平分线的定义，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．7．（1）④；（2）①15α=︒；②当105α=，125α=时，存在2BOC AOD ∠=∠.【解析】【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；（2）①根据已知条件得到∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°，根据角平分线的定义得到∠EOB=12∠EOD=12×120°=60°，于是得到结论； ②当OA 在OD 的左侧时，当OA 在OD 的右侧时，根据角的和差列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵135°=90°+45°，120°=90°+30°，75°=30°+45°，∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出；故选④；（2）①因为COD 60∠=，所以EOD 180COD 18060120∠∠=-=-=.因为OB 平分EOD ∠， 所以11EOB EOD 1206022∠∠==⨯=. 因为AOB 45∠=，所以αEOB AOB 604515∠∠=-=-=.②当OA 在OD 左侧时，则AOD 120α∠=-，BOC 135α∠=-.因为BOC 2AOD ∠∠=，所以()135α2120α-=-.解得α105=.当OA 在OD 右侧时，则AOD α120∠=-，BOC 135α∠=-.因为BOC 2AOD ∠∠=，所以()135α2α120-=-. 解得α125=.综合知，当α105=，α125=时，存在BOC 2AOD ∠∠=.【点睛】本题考查角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意并分类讨论是解题关键．8．（1）图1中∠AOD=60°；图2中∠AOD=10°；（2）图1中∠AOD=n m 2+；图2中∠AOD=n m 2-. 【解析】【分析】 （1）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=20°，则∠BOD=10°，根据∠AOD=∠AOB+∠BOD 即得解；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，则∠BOD=60°，根据∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB 即可得解；（2）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ，则∠BOD=n m 2﹣，故∠AOD=∠AOB+∠BOD=n m 2+；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ，则∠BOD=n m 2+，故∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m 2-. 【详解】 解：（1）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=70°﹣50°=20°，∵OD 是∠BOC 的平分线，∴∠BOD=12∠BOC=10°， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，∵OD 是∠BOC 的平分线，∴∠BOD=12∠BOC=60°， ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=60°﹣50°=10°；（2）根据题意可知∠AOB=m 度，∠AOC=n 度，其中090090180m n m n ＜＜，＜＜，＜+且m n ＜，如图1中，∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ，∵OD 是∠BOC 的平分线，∴∠BOD=12∠BOC=n m 2﹣， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=n m 2+；如图2中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ，∵OD 是∠BOC 的平分线，∴∠BOD=12∠BOC=n m 2+， ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m 2-. 【点睛】 本题主要考查角平分线，解此题的关键在于根据题意进行分类讨论，所有情况都要考虑，切勿遗漏.9．（1）-12,8-5t ；（2）94或114；（3）10；（4）MN 的长度不变，值为10. 【解析】【分析】(1)根据已知可得B 点表示的数为8﹣20；点P 表示的数为8﹣5t ；(2)运动时间为t 秒，分点P 、Q 相遇前相距2，相遇后相距2两种情况列方程进行求解即可；(3)设点P 运动x 秒时追上Q ，根据P 、Q 之间相距20，列方程求解即可；(4)分①当点P 在点A 、B 两点之间运动时，②当点P 运动到点B 的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN 的长即可．【详解】(1)∵点A 表示的数为8，B 在A 点左边，AB=20，∴点B 表示的数是8﹣20=﹣12，∵动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t ＞0)秒，∴点P 表示的数是8﹣5t ，故答案为﹣12，8﹣5t ；(2)若点P 、Q 同时出发，设t 秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2；分两种情况：①点P 、Q 相遇之前，由题意得3t+2+5t=20，解得t=94； ②点P 、Q 相遇之后，由题意得3t﹣2+5t=20，解得t=11 4，答：若点P、Q同时出发，94或114秒时P、Q之间的距离恰好等于2；(3)如图，设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，∵AC﹣BC=AB，∴5x﹣3x=20，解得：x=10，∴点P运动10秒时追上点Q；(4)线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=12AP+12BP=12(AP+BP)=12AB=10，②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP=12AP﹣12BP=12(AP﹣BP)=12AB=10，∴线段MN的长度不发生变化，其值为10．【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．10．（1）点P在线段AB上的13处；（2）13；（3）②MNAB的值不变.【解析】【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的13处；（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ 与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有CD＝12AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝P N−PM＝112AB．【详解】解：（1）由题意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.∴点P在线段AB上的13处；（2）如图：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=13 AB，∴13 PQ AB=（3）②MNAB的值不变.理由：如图，当点C停止运动时，有CD=12 AB，∴CM=14 AB，∴PM=CM-CP=14AB-5，∵PD=23AB-10，∴PN=1223（AB-10）=13AB-5，∴MN=PN-PM=112AB，当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以111212ABMNAB AB==.【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．11．（1）90°；（2）30°；（3）12秒或48秒．【解析】【分析】（1）依据图形可知旋转角=∠NOB，从而可得到问题的答案；（2）先求得∠AOC的度数，然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°-∠AON，∠AOM=90°-∠AON，然后求得∠AOM与∠NOC的差即可；（3）可分为当OM为∠BOC的平分线和当OM的反向延长为∠BOC的平分线两种情况，然后再求得旋转的角度，最后，依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可．【详解】（1）由旋转的定义可知：旋转角＝∠NOB＝90°．故答案为：90°（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°．理由：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝60°．∴∠NOC＝60°﹣∠AON．∵∠NOM＝90°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．（3）如图1所示：当OM为∠BOC的平分线时，∵OM为∠BOC的平分线，∴∠BOM＝∠BOC＝60°，∴t＝60°÷5°＝12秒．如图2所示：当OM的反向延长为∠BOC的平分线时，∵ON为为∠BOC的平分线，∴∠BON＝60°．∴旋转的角度＝60°+180°＝240°．∴t＝240°÷5°＝48秒．故答案为：12秒或48秒．【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定义以及角的和差计算，求得三角板旋转的角度是解题的关键．12．(1)5 ；(2)点F 表示的数是11.5或者-6.5；(3)127t =或6t =. 【解析】【分析】（1）由AP=2可知PB=12-2=10，再由点M 是PB 中点可知PM 长度；（2）点P 运动3秒是9个单位长度，M 为PB 的中点，则可求解出点M 表示的数是2.5，再由FM=2PM 可求解出FM=9，此时点F 可能在M 点左侧，也可能在其右侧；（3）设Q 运动的时间为t 秒，由题可知t=4秒时，点P 到达点A ，再经过4秒点P 停止运动；则分04t ≤≤和48t <≤两种情况分别计算，由题可知即可QM=2PM=BP ，据此进行解答即可.【详解】(1)5 ；(2)∵点A 表示的数是5-∴点B 表示的数是7∵点P 运动3秒是9个单位长度，M 为PB 的中点 ∴PM=12PB=4.5，即点M 表示的数是2.5 ∵FM=2PM∴FM=9∴点F 表示的数是11.5或者-6.5(3)设Q 运动的时间为t 秒， 当04t ≤≤时，由题可知QM=2PM=BP ，故点Q 位于点P 左侧，则AB=AQ+QP+PB ，而QP=QM-PM=2PM-PM=12BP ，则可得12=2.5t+12⨯3t+3t=7t ，解得t=127； 当48t <≤时，由题可知QM=2PM=BP ，故点Q 位于点B 右侧，则PB=2QB ，则可得，()()123422.512t t --=-，整理得8t=48，解得6t =.【点睛】本题结合数轴上的动点问题考查了一元一次方程的应用，第3问要根据题干条件分情况进行讨论，作出图形更易理解.13．(1) 2x =-和4x = ;(2) 35(4)11(43)35(3)x x x x x x --<-⎧⎪+-≤<⎨⎪+≥⎩【解析】【分析】（1）令x +2=0和x -4=0,求出x 的值即可得出|x +2|和|x -4|的零点值,（2）零点值x =3和x =-4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:x ＜-4、-4≤x ＜3和x ≥3．分该三种情况找出324x x -++的值即可．【详解】解：（1）2x =-和4x =,（2）由30x -=得3,x =由40x +=得4x =-,①当4x <-时,原式()()32435x x x =---+=--,②当4-≤3x <时,原式()()32411x x x =--++=+,③当x ≥3时,原式()()32435x x x =-++=+,综上所述：原式()35(4)11(43)353x x x x x x ⎧--<-⎪=+-≤<⎨⎪+≥⎩, 【点睛】本题主要考查了绝对值化简方法,解决本题的关键是要熟练掌握绝对值化简方法.14．2+t 6-2t 或2t-6【解析】分析：(1)、先根据非负数的性质求出a 、b 的值，再根据两点间的距离公式即可求得A 、B 两点之间的距离；(2)、设BC 的长为x ，则AC=2x ，根据AB 的长度得出x 的值，从而得出点C 所表示的数；（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA 的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B 处开始向左运动，一直到原点O ，此时OB 的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t ＞3时，乙球从原点O 处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB 的长度即为乙球到原点的距离；②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t ＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t 的方程，解方程即可．详解：(1)、由题意知a=-2,b=6,故AB=8.(2)、设BC 的长为x,则AC=2x, ∵BC+AC=AB,∴x+2x=8,解得x=83， ∴C 点表示的数为6-83=103． (3)①2+t;6-2t 或2t-6.②当2+t=6-2t 时,解得t=43， 当2+t=2t-6时, 解得t=8. ∴t=43或8.点睛：本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．15．（1）60°；（2）射线OP是∠AOC的平分线；（3）30°．【解析】整体分析：(1)根据角平分线的定义与角的和差关系计算；(2)计算出∠AOP的度数，再根据角平分线的定义判断；(3)根据∠AOC，∠AON，∠NOC，∠MON，∠AOM的和差关系即可得到∠NOC 与∠AOM之间的数量关系．解：(1)如图②，∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=30°，又∵∠NOM=90°，∴∠BOM=90°﹣30°=60°，故答案为60°；(2)如图③，∵∠AOP=∠BOM=60°，∠AOC=120°，∴∠AOP=12∠AOC，∴射线OP是∠AOC的平分线；(3)如图④，∵∠AOC=120°，∴∠AON=120°﹣∠NOC，∵∠MON=90°，∴∠AON=90°﹣∠AOM，∴120°﹣∠NOC=90°﹣∠AOM，即∠NOC﹣∠AOM=30°．。
专题05 等腰、等边三角形压轴真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（解析版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM ＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP ＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°3.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB 向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝，（2）①∵∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，∴∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，∵∠A＝60°，∴AD＝2AP，∴2t+t＝3，解得t＝1（s）；②相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，∴∠G＝∠AEP，在△EAP和△GCQ，，∴△EAP≌△GCQ（AAS），∴PE＝QG，∴△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．4.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D 点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，当x＝0时，y＝4t，当y＝0时，﹣x+4t＝0，解得x＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB 的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO ＝∠F AH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．5.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|a﹣b|＝0，又∵（a﹣6）2，≥0，|a﹣b|≥0，∴a＝6，b＝6∴点A（6，6）．（2）如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6），∴AO＝BO＝AB＝12，∠AOB＝∠ABO＝60°＝∠A，∵∠OCP＝60°＝∠AOB，∴∠AOB＝∠QOB+∠AOQ＝∠QOB+∠PBO＝∠PCO，∴∠AOQ＝∠PBO，且AO＝BO，∠A＝∠AOB，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP＝AQ，∴12﹣2t＝3t∴t＝2.4∴当t＝2.4时，∠OCP＝60°．（3）如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6），∴OD＝BD＝6，∠AOB＝∠ABO ＝60°，AD＝6，又∵∠DFO＝∠DEB＝90°，∴△ODF≌△BDE（AAS），∴OF＝BE，DF＝DE，∵AO＝AB，∴AO﹣OF＝AB﹣BE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵OD＝6，∠AOD＝60°，∠DFO＝90°，∴∠ODF＝30°∴OF＝3，DF＝OF＝3，∴AF＝AO﹣OF＝9＝AE，BE＝OF＝3，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴2t+3t＝18∴t＝3.6，∴当t＝，3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝×12×6﹣2××3×3＝27．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE 交于点F，直接写出CF的长6．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【解答】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在则OP的最小值为．直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝，7.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB ＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CF A＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF 和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF＝OA＝1，∴A（0，1）；（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠AGC＝∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，∴∠DCE＝∠GCE＝45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE＝∠G，∴∠ADB＝∠CDE；（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，∴△CBE≌△BAO（AAS），∴CE＝BO，BE＝AO＝4．∵BD＝BO，∴CE＝BD．∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP＝EP＝2．8．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC ＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C （n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD （AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB ＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝60°，故答案为：60°；②AD＝BE，证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∠AEB＝90°，AE﹣BE＝2CM，证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，∴CM＝DM＝EM＝DE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CDA＝∠CEB，∵∠CDA＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°，∴BE＝AD，∴AE﹣AD＝DE＝2CM，∴AE﹣BE＝2CM．11.如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE与△FCB中，，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB ＝60°，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得△ACE≌△FCB，∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．12．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE 的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E ＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，在△AHD和△DCE，，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠F AE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF＝∠DAF，在△AFD和△EFD中，，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．13．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB ＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB ＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．14．如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，△P AQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△P AB和△AQE中，，∴△P AB≌△AQE（AAS）；（2）解：∵△P AB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM 中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2；（3）解：式子的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，⊥⊥QAH+⊥HAP＝⊥HAP+⊥P AD＝90°，⊥AQH＝⊥APD＝90°，⊥⊥QAH＝⊥P AD，⊥⊥P AQ为等腰直角三角形，⊥AQ＝AP，在⊥AQH和⊥APD中，，⊥⊥AQH⊥⊥APD（ASA），⊥AH＝AD，QH＝PD，⊥HA⊥AC，⊥BAC＝45°，⊥⊥HAF＝⊥DAF，在⊥AHF和⊥ADF中，，⊥⊥AHF⊥⊥ADF（SAS），⊥HF＝DF，⊥＝＝＝1．15．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，⊥BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证⊥ABO＝⊥CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求⊥CEM的度数；（3）如图3，⊥P AQ是等腰直角三角形，⊥P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【解答】（1）证明：⊥⊥BOA＝90°，⊥⊥BAO+⊥ABO＝90°，又⊥⊥BAC＝⊥BAO+⊥CAM＝90°，⊥⊥ABO＝⊥CAM；（2）解：⊥CM⊥y轴，⊥⊥AMC＝⊥BOA＝90°，⊥AB＝AC，⊥ABO＝⊥CAM，⊥⊥AMC⊥⊥BOA （AAS），⊥CM＝AO，AM＝BO，⊥BD＝BE，BD⊥BE，⊥⊥BDE是等腰直角三角形，⊥⊥BDE＝⊥BED ＝45°，⊥EBO＝⊥DBE＝45°，⊥⊥EBO＝⊥BEO，⊥BO＝EO＝AM，⊥EO﹣OM＝AM﹣OM，⊥EM＝AO＝CM，⊥⊥CME是等腰直角三角形，⊥⊥CEM＝45°；（3）解：⊥AB＝AC，⊥BAC＝90°，⊥⊥ACB＝45°，⊥⊥P AQ是等腰直角三角形，⊥P A＝QA，⊥P AQ＝⊥CAB＝90°，⊥⊥P AQ+⊥QAC＝⊥CAB+⊥QAC，即⊥P AC＝⊥QAB，⊥AC＝AB，⊥⊥P AC⊥⊥QAB（SAS），⊥⊥APC＝⊥AQB，⊥⊥AKP＝⊥QKN，⊥⊥QNK＝⊥P AK＝90°，⊥CM⊥y 轴，⊥CM⊥NO，⊥⊥NCM＝⊥KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：⊥CN＝CM，⊥CNI＝⊥CMH＝90°，⊥⊥CNI⊥⊥CMH（SAS），⊥⊥NCI＝⊥MCH，CI＝CH，⊥⊥NCG+⊥NCI＝⊥NCG+⊥MCH＝⊥NCM﹣⊥GCH＝90°﹣45°＝45°＝⊥GCH＝⊥GCI，⊥⊥GCI⊥⊥GCH（SAS），⊥GI＝GH，⊥GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，⊥GH＝5．16．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt⊥ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt⊥APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt⊥FGH，始终保持⊥GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：⊥m﹣n为定值；⊥m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，⊥CM⊥OA，AC⊥AB，⊥⊥MAC+⊥OAB ＝90°，⊥OAB+⊥OBA＝90°则⊥MAC＝⊥OBA在⊥MAC和⊥OBA中，则⊥MAC⊥⊥OBA（AAS），则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，⊥APO+⊥QPD＝90°⊥APO+⊥OAP＝90°，则⊥QPD＝⊥OAP，在⊥AOP和⊥PDQ中，则⊥AOP⊥⊥PDQ（AAS），⊥OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论⊥是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T 点，则FS＝FT＝2，⊥FHS＝⊥HFT＝⊥FGT，在⊥FSH和⊥FTG中，则⊥FSH⊥⊥FTG（AAS），则GT＝HS，又⊥G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），⊥OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，⊥GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．17．如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求⊥AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．【解答】解：（1）⊥﹣+b2+4b+8＝0，⊥﹣+（b﹣4）2＝0，⊥a＝4，b＝4，⊥A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），故答案为（0，4），（﹣4，4），（﹣4，0）；（2）由（1）知，A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），⊥AB＝BC＝OC＝OA＝4，⊥四边形OABC是菱形，⊥⊥AOC＝90°，⊥菱形OABC是正方形，过点Q作QN⊥x轴于N，⊥⊥PNQ ＝90°，⊥⊥QPN+⊥PQN＝90°，⊥BP⊥BQ，⊥⊥BPQ＝90°，⊥⊥BPC+⊥QPN＝90°，⊥⊥PQN ＝⊥BPC，由（1）知，B（﹣4，4），C（﹣4，0），⊥BC＝4，BC⊥x，⊥⊥BCP＝⊥PNQ＝90°，在⊥BCP和⊥PNQ中，，⊥⊥BCP⊥⊥PNQ（AAS），⊥CP＝QN，BC＝PN，⊥OC＝PN＝4，⊥当点P在x轴负半轴时，如图1、OC＝CP+OP，PN＝OP+ON，⊥CP＝ON，⊥CP＝QN，⊥ON＝QN，⊥⊥PNQ＝90°，⊥⊥QON＝45°，⊥⊥AOQ＝45°，⊥当点P在x轴正半轴时，如图2、OC＝CP﹣OP，PN＝ON﹣OP，⊥CP＝ON，⊥CP＝QN，⊥ON＝QN，⊥⊥PNQ＝90°，⊥⊥QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，即：∠AOQ＝45°；（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，设P（m，0）（m＞0），∵OP＝3AM，∴AM＝OP ＝m，∴M（0，m+4），∵点B（﹣4，4），∴直线BM的解析式为y＝mx+m+4，由（2）知，PN＝OC＝4，∴N（m+4，0），∴Q（m+4，m+4），∵点Q在直线BM上，∴m（m+4）+m+4＝m+4，∴m＝0（舍）或m＝4，∴M（0，）．。
专题03 全等三角形压轴题真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题03高分必刷题-全等三角形压轴题真题（解析版）题型一：全等三角形小压轴题考向1：多项选择题1．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△F AB≌△EAC（SAS），故①正确，∴BF＝EC，故②正确，∴∠ABF＝∠ACE，∵∠BDF＝∠ADC，∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF，∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，无法判断AB＝BC，故④错误，故选：A．2．如图，△ABC中，∠C＝90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE＝DB，下列结论：①∠DEA+∠B＝180°；②∠CDE＝∠CAB；③AC＝（AB+AE）；④S△ADC＝S四，其中正确的结论个数为（）边形ABDEA．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴DC＝DF，∠C＝∠DFB，又∵DE＝DB，∴Rt△CDE≌Rt△FDB，∴∠B＝∠CED，∠CDE＝∠FDB，CE＝BF，又∵∠DEA+∠DEC＝180°，∴∠DEA+∠B＝180°，故①正确；∵∠C＝∠DFB，∠B＝∠B，∴∠BDF＝∠BAC，∴∠CDE＝∠CAB，故②正确；∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠F AD，又∵∠C＝∠AFD，AD＝AD，∴△ACD≌△AFD，∴AC＝AF，∴AB+AE＝（AF+FB）+（AC ﹣CE）＝AF+AC＝2AC，∴AC＝（AB+AE），故③正确；∵Rt△CDE≌Rt△FDB，∴S△CDE＝S△FDB，∴S四边形ABDE＝S四边形ACDF，又∵△ACD≌△AFD，∴S△ACD＝S△ADF，∴S△ADC＝S四边形ACDF＝S四边形ABDE，故④正确；故选：A．3．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD 与GF，下列结论正确的有（）①AE＝DC；②∠AHC＝120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠AHC；⑤GF∥AC．A．①②④B．①③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤【解答】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE ＝60°，∵∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°，∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC，所以①正确；∠BAE＝∠BDC，∵∠BDC+∠BCD ＝∠ABD＝60°，∴∠BAE+∠BCD＝60°，∴∠AHC＝180°﹣（∠BAH+∠BCH）＝180°﹣60°＝120°，所以②正确；∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；∵△ABE≌△DBC，∴AE和DC边上的高相等，即B点到AE和DC的距离相等，∴BH平分∠AHC，所以④正确；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF为等边三角形，∴∠BGF＝60°，∴∠ABG＝∠BGF，∴GF∥AC，所以⑤正确．故选：D．考向2：动点问题4．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，BC＝8cm，BD＝6cm，如果点P在线段BC上以1cm/s 的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设点Q的速度为xcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，x＝1或．【解答】解：设运动的时间为ts，则BP＝t，PC＝8﹣t，CQ＝tx，∵∠B＝∠C，∴当BD＝CQ，BP＝CP时，△BPD≌△CPQ（SAS），即tx＝6，t＝8﹣t，解得t＝4，x＝；当BD＝CP，BP＝CQ时，△BPD≌△CQP（SAS），即8﹣t＝6，t＝tx，解得t＝2，x＝1；综上所述，x的值为1或．故答案为1或．5．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等．x的值为1或1.5．【解答】解：要使△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP＝BQ，∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，∴x＝1；②AC＝BQ＝3cm，AP＝BP＝AB＝＝2cm，∴时间为＝2秒，即x＝＝1.5，所以x的值是1或1.5.题型二：全等三角形的大压轴题6．根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．（1）若四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，已知AB＝3，BC＝4，AD＝CD＝5，∠B＝90°，∠D＝60°，则A1D1＝5，∠B1＝90°，∠A1+∠C1＝210°．（直接写出答案）；（2）如图1，四边形ABEF≌四边形CBED，连接AD交BE于点O，连接OF，求证：∠AOB＝∠FOE；（3）如图2，若AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．【解答】解：（1）∵四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，∴A1D1＝AD＝5，∠B1＝∠B＝90°，∠D＝∠D1＝60°，∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，∵∠A+∠C＝160°﹣90°﹣60°＝210°，∴∠A1+∠C1＝210°，故答案为5，90°，210°．（2）如图1中，∵四边形ABEF≌四边形CBED，∴EF＝ED，∠FEO＝∠DEO，∵EO＝EO，∴△FEO≌△DEO（SAS），∴∠EOF＝∠DOE，∵∠AOB＝∠DOE，∴∠AOB＝∠EOF．（3）如图2中，连接AC，A1C1．∵AB＝A1B1，∠B＝∠B1，BC＝B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1，∴AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠BCA＝∠B1C1A1，∵AD＝A1D1，CD＝C1D1，∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），∴∠D＝∠D1，∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∴∠BAD＝∠B A A1D1，∠BCD ＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．7．（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，求证：AB＝AC；（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形；②OC＝OA+OB．【解答】（1）证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，则∠AHO＝∠AGO＝90°，∵∠EOF＝120°，∴∠HAG＝60°＝∠BAC，∴∠HAG﹣∠BAH＝∠BAC﹣∠BAH，∴∠BAG ＝∠CAH，∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，∴AG＝AH，在△BAG和△CAH中，∵，∴△BAG≌△CAH（ASA），∴AB＝AC；（2）结论还成立，证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，与（1）证法类似根据ASA 证△BAG≌△CAH（ASA），则AB＝AC；（3）证明：①如图，∠FOA＝180°﹣120°＝60°，∠FOC＝60°+60°＝120°，即OM 平分∠COF，由（2）知：AC＝AB，∵∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形；②在OC上截取BO＝ON，连接BN，∵∠COB＝60°，∴△BON是等边三角形，∴ON＝OB，∠OBN＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°＝∠NBO，∴都减去∠ABN 得：∠ABO＝∠CBN，在△AOB和△CNB中∵，∴△AOB≌△CNB（SAS），∴NC＝OA，∴OC＝ON+CN＝OB+OA，即OC＝OA+OB．8．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，∵DQ⊥OP，DE⊥OE，∠POE＝90°∴四边形OEDQ是矩形，∴OE＝QD，DE＝OQ，∴OP＝PQ+OQ＝DE+PQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴QP＝AO＝2，∴OP﹣DE＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，理由如下：如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT ⊥y轴于T点，∴FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS）∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，∴﹣2﹣m＝n+2，∴m+n＝﹣4．9．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC 上，且点F与点C不重合）时，若AG：AB＝5：13，BC＝4，求DE+DF的值．【解答】解：（1）猜想：BF＝CG．理由：如图1．∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴S△ABC＝AC•BF＝AB•CG．∵AB＝AC，∴BF＝CG；（2）猜想：DE+DF＝CG．理由：连接AD，如图2．∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，∴S△ACD＝AC•DF，S△ABD＝AB•DE，S△ABC＝AB•CG．∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，∴AC•DF+AB•DE＝AB•CG．∵AB＝AC，∴DF+DE＝CG；（3）连接AD，如图3．同（2）可得：DF+DE＝CG．设AG＝5x，∵AG：AB＝5：13，AB ＝AC，∴AC＝AB＝13x．∴∠G＝90°，∴GC＝＝12x．在Rt△BGC中，∵BG＝AB+AG＝13x+5x＝18x，GC＝12x，BC＝4，∴（18x）2+（12x）2＝（4）2，解得：x＝，∴DE+DF＝CG＝12x＝8．10．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（0，5），AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．（1）求证：∠ABO＝∠CAD；（2）求点D坐标；（3）如图2，若OC＝OB＝5，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．【解答】解：（1）如图1，在四边形ABCD中，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD+∠BCD ＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠BAD＝90°．∴∠BAC+∠CAD＝90°，又∵∠BAC+∠ABO＝90°．∴∠ABO＝∠CAD．（2）如图1，过点D作DG⊥AC，∴∠AGD＝∠BOA＝90°，又∵∠ABO＝∠CAD，AB＝AD，∴△ABO≌△DAG（AAS），∴DG＝AO＝2，AG＝BO＝5，∴OG＝AG﹣AO＝3，则点D的坐标为（3，﹣2）；（3）如图2，过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上，∴EH＝EG．又∵∠BCO＝∠BEO＝45°，∴∠EBC＝∠EOC．∴△EBH≌△EOG（AAS），∴EB＝EO．又∵∠BEO＝45°，∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，∵∠OBC＝45°，∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°．∴BF＝BO＝5．11．在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．（1）已知BD＝CE．①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE．（2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．【解答】证明：（1）①∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，∴∠CBD＝∠BCE，在△CBD和△BCE中，，∴△CBD≌△BCE（SAS），∴CD＝BE；②∵∠DEA+∠DEB＝∠ACB+∠CAE，∠DEA＝∠ABC＝∠ACB，∴∠DEB＝∠CAE，在△BED和△CAE中，，∴△BED≌△CAE（AAS），∴BE＝AC＝AB，∴∠BEA＝∠BAE，∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠BAO＝∠CAO，∴∠BAE＝2∠CAO﹣∠EAC＝2∠OAE+∠EAC，∵∠DEB＝∠CAE，∴∠DEA＝2∠OAE，∵∠DEA＝∠ABC＝∠ACO，∴∠ACO＝2∠OAE；（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，如图3所示：∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OAC＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CB＝AB，∠BCA＝60°，∵F为DC中点，∴DF＝CF，在△BDF和△GCF中，，∴△BDF≌△GCF（SAS），∴CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，∴BD∥CG，∴∠GCA＝∠BAC＝60°，∴∠BCG＝∠BCA+∠GCA＝60°+60°＝120°，∵∠BAE＝180°﹣∠OAB﹣∠EAx＝180°﹣∠OAB﹣∠OAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BCG＝∠BAE，在△BCG和△BAE中，，∴△BCG≌△BAE（SAS），∴∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，∵∠CBG+∠GBA＝60°，∴∠ABE+∠GBA＝60°，即∠GBE ＝60°，∴△GBE是等边三角形，∵F是BG的中点，∴EF⊥BG，∴BF⊥EF．12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且+（a﹣2b）2＝0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直线DB交y轴于点P．（1）求证：AO＝AB；（2）求证：OC＝BD；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？【解答】证明：（1）∵+（a﹣2b）2＝0，≥0，（a﹣2b）2≥0，∴＝0，（a﹣2b）2＝0，解得：a＝2，b＝1，∴A（1，3），B（2，0），∴OA＝＝，AB＝＝，∴OA＝AB；（2）∵∠CAD＝∠OAB，∴∠CAD+∠BAC＝∠OAB+∠BAC，即∠OAC＝∠BAD，在△OAC 和△BAD中，，∴△OAC≌△BAD（SAS），∴OC＝BD；（3）点P在y轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB＝∠ABO＝α，∵由（2）知△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOB＝α，∵OB ＝2，∠OBP＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣2α为定值，∵∠POB＝90°，∴OP长度不变，∴点P在y轴上的位置不发生改变．13．在△ABC中，∠A＜60°，以AB，AC为边分别向外作等边△ABD，△ACE，连接DC，BE交于点H．（如图1）（1）求证：△DAC≌△BAE；（2）求DC与BE相交的∠DHB的度数；（3）又以BC边向内作等边三角形△BCF，连接DF（如图2），试判断AE与DF的位置与数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABD、△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE．（2）如图1中，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠AOD＝∠BOH，∠AOD+∠ADC+∠DAO＝180°，∠BOH+∠OHB+∠ABE＝180°，∴∠OHB＝∠DAO＝60°，∴∠DHB＝60°．（3）结论AE＝DF，AE∥FD．如图2中，连接EF，∵△ABD，△BCF，△ACE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BF＝BC，CA＝CE＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠BCF＝∠ACE＝60°，∴∠DBF＝∠CBA，∠BCA＝∠ECF，在△ABC和△DBF中，，∴△ABC≌△DBF，同理△ABC≌△EFC，∴DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF＝AE，DF∥AE．14．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），∴OA＝3，OB＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，在△ABO和△BCH中，∴△ABO≌△BCH，∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，∴C（﹣1，4）；（2）OA＝CD+OD．理由如下：如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC ＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD，∴OB＝CD，OA＝BD，而BD＝OB+OD＝CD+OD，∴OA＝CD+OD；（3）CF＝AE．理由如下：如图3，CF和AB的延长线相交于点D，∴∠CBD＝90°，∵CF⊥x，∴∠BCD+∠D＝90°，而∠DAF+∠D＝90°，∴∠BCD＝∠DAF，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（ASA），∴AE＝CD，∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，∴CF＝DF，∴CF＝CD＝AE．15．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD 的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；（2）如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，直接写出∠BCE的度数；（3）如图3，若∠BCE＝α，∠BAC＝β，点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°；（3）解：α＝β．理由如下：同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+α，∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+β，∴α＝β．。
人教版七年级数学上册期末压轴题突破训练：角的相关计算 含答案
人教版七年级数学上册期末压轴题突破训练角的相关计算1．已知：OC是∠AOB内部一条射线，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图①所示，若A，O，B三点共线，则∠MON的度数是，此时图中共有对互余的角．（2）如图②所示，若∠AOB＝110，求∠MON的度数．（3）直接写出∠MON与∠AOB之间的数量关系．2．已知，如图1，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．（1）如图1，若MOC＝28°，求∠BON的度数；（2）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，若∠BON＝100°，则∠MOC 的度数为；（3）若将三角形MON绕点O旋转到如图3所示的位置，试写出∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由．3．（1）如图2，将直角三角形纸板绕O点顺时针旋转，∠DOE＝90°，当OD恰好平分∠AOC时，指出∠COE与∠BOE之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，作OM平分∠AOE，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；（3）当直角三角形纸板旋转到如图3位置，∠DOE＝90°，若∠COE＝2∠AOD﹣30°，那么∠COD﹣2∠BOE的值是多少？4．点O在直线PQ上，过点O作射线OC，使∠POC＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①所示，将直角三角板AOB的一边OA与射线OP重合，则∠BOC＝°．（2）将图①中的直角三角板AOB绕点O旋转一定角度得到如图②所示的位置，若OA 平分∠POC，求∠BOQ的度数．（3）将图①中的直角三角板AOB绕点O旋转一周，存在某一时刻恰有OB⊥OC，求出所有满足条件的∠AOQ的度数．5．已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝100°．（1）如图1，求∠AOC的度数；（2）如图2，过点O作射线OD，使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM，求∠MOD 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，请画出图形，并求∠COP的度数．6．如图，OC，OB，OD是∠EOA内三条射线，OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．（1）已知∠EOD＝80°，∠AOB＝20°，求∠BOC的度数．（2）设∠EOD＝α，用含α的代数式表示∠BOC．（3）若∠EOD与∠BOC互余，求∠BOC的度数．7．如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起．观察分析：（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB＝；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝；猜想探究：（2）请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系，并说明理由；拓展应用：（3）如图2，若将两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，请你猜想∠DAB 与∠CAE有何关系，请说明理由；（4）如图3，如果把任意两个锐角∠AOB、∠COD的顶点O重合在一起，已知∠AOB ＝α，∠COD＝β（α、β都是锐角），请你直接写出∠AOD与∠BOC的关系．8．已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC＝α，∠AOC＝β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．9．已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE．（1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是．（2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．（3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．10．已知：如图，OB、OC分别为定角（大小不会发生改变）∠AOD内部的两条动射线，（1）当OB、OC运动到如图1的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，求∠AOD的度数．（2）在（1）的条件下（图2），射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数．（3）在（1）的条件下（图3），OE、OF是∠AOD外部的两条射线，∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，求∠POQ的度数．11．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．（1）若直角△DOE的边OD在射线OB上（图1），求∠COE的度数；（2）将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE所在射线平分∠AOC（图2），说明OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动到某个位置时，恰好使得∠COD：∠AOE ＝1：2，求∠BOE的度数．12．已知：如图1，OB、OC分别为锐角∠AOD内部的两条动射线，当OB、OC运动到如图的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，（1）求∠BOC的度数；（2）如图2，射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数．（3）如图3，若OE、OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由．参考答案1．解：（1）∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠AOM＝∠COM，∠CON＝∠BON，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝＝＝＝90°；∴∠AOM+∠BON＝90°，∴图中互余的角有：∠AOM与∠BON，∠AOM与∠CON，∠COM与∠CON，∠COM 与∠BON共4对，故答案为：90°；4；（2）∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝＝＝＝＝55°；（3）∠MON＝．2．解：（1）如图1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，又∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC＝62°，∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°；（2）∵∠BON＝100°，∴∠AON＝80°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON＝10°，∠AOC＝40°，∴∠MOC＝∠AOM+∠AOC＝50°．故答案为：50°；（3）∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化，如图2，∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC，∵∠MON＝90°，∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，即：∠BON＝2∠MOC．3．解：（1）∠COE＝∠BOE，理由如下：∵∠DOE＝90°，∴∠DOC+∠COE＝90°，∴∠AOD+∠BOE＝90°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC，∴∠COE＝∠BOE；（2）∵OM平分∠AOE，ON平分∠BOD，∴∠BOM＝180°﹣∠AOE，∠BON＝∠BOD，∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝180°﹣（∠AOE+∠BOD）＝180°﹣×270°＝45°；（3）在旋转的过程中，那么∠COD﹣2∠BOE的值发生不变化，．∵在（1）的条件下，若∠COE＝2∠AOD﹣30°，∴90°+∠COD＝2∠AOD﹣30°∴∠COD＝2∠AOD﹣120°＝2（180°﹣∠BOD）﹣120°＝240°﹣2∠BOD，∵∠BOE＝90°﹣∠BOD，∴∠COD﹣2∠BOE＝（240°﹣2∠BOD）﹣2（90°﹣∠BOD）＝60°，∴∠COD﹣2∠BOE的值不变为60°．4．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠POC＝130°，∴∠BOC＝∠POC﹣∠AOB＝130°﹣90°＝40°，故答案为：40；（2）∵OA平分∠POC，∴∠POA＝∠POC＝65°，∴∠POB＝∠POA+∠AOB＝65°+90°＝155°，∴∠BOQ＝180°﹣∠POB＝25°；（3）当OB在OC的右边时，如图，则∠AOQ＝180°﹣∠POC＝50°，当OB在OC的左边时，如图，则∠AOQ＝∠POC＝130°．5．解：（1）∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣100°＝80°；（2）由（1）得∠AOC＝80°，∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝10°，∵OM是∠AOC的平分线，∴∠AOM＝∠AOC＝×80°＝40°，∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；（3）由（2）得∠AOM＝40°，∵∠BOP与∠AOM互余，∴∠BOP+∠AOM＝90°，∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣40°＝50°，①当射线OP在∠BOC内部时（如图1），∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝100°﹣50°＝50°；②当射线OP在∠BOC外部时（如图2），∠COP＝∠BOC+∠BOP＝100°+50°＝150°．综上所述，∠COP的度数为50°或150°．6．解：（1）∵OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．∴∠AOB＝∠BOD＝∠AOD，∠EOC＝∠AOC＝∠EOA，∵∠EOD＝80°，∠AOB＝20°，∴∠EOA＝80°+20°×2＝120°，∴，∠EOC＝∠AOC＝∠EOA＝60°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝60°﹣20°＝40°．（2）∵∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝∠DOE﹣∠COD﹣∠BOD＝∠DOE﹣∠BOC，∴2∠BOC＝∠DOE，∴∠BOC＝∠DOE＝α，（3）∵∠EOD与∠BOC互余，∴∠EOD+∠BOC＝90°，∵∠BOC＝∠DOE，∴∠BOC＝×90°＝30°．7．解：（1）（1）若∠DCE＝35°，∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACE＝90°﹣35°＝55°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝55°+90°＝145°；若∠ACB＝150°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°，故答案为：145°，30°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由：∵∠ACE+∠ECD＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠ACE+∠ECD+∠ECD+∠DCB＝180°，∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠ECD＝180°；（3）∠DAB+∠EAC＝120°，理由：∵∠DAE+∠EAC＝60°，∠EAC+∠CAB＝60°，∴∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB＝120°，∵∠DAE+∠EAC+∠CAB＝∠DAB，∴∠DAB+∠EAC＝120°；（4）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由是：∵∠AOD＝∠DOC+∠COA＝β+∠COA，∴∠AOD+∠BOC＝β+∠COA+∠BOC，＝β+∠AOB，＝α+β．8．解：（1）∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，（2）∠DOE与∠AOB互补，理由如下：∵∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°，∠COE＝∠AOC＝×50°＝25°．∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°．∴∠DOE+∠AOB＝60°+70°+50°＝180°，∴∠DOE与∠AOB互补．（3）∠DOE与∠AOB不一定互补，理由如下：∵∠DOC＝∠BOC＝α，∠COE＝∠AOC＝β，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝α+β＝（α+β），∴∠DOE+∠AOB＝（α+β）+（α+β）＝（α+β），∵α+β的度数不确定∴∠DOE与∠AOB不一定互补．9．解：（1）因为∠AOD＝90°，∠DOE＝20°所以∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°因为OH平分∠AOE所以∠HOE＝AOE＝55°所以∠FOH＝90°﹣∠HOE＝35°；故答案为35°；（2）∠BOE＝2∠FOH，理由如下：设∠AOH＝x，因为OH平分∠AOE所以∠HOE＝∠AOH＝x所以∠FOH＝90°﹣∠HOE＝90°﹣x∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2x所以∠BOE＝2∠FOH；（3）如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内因为OH平分∠AOE所以∠HOE＝∠AOH＝AOE因为OG平分∠BOF∠FOG＝∠GOB＝BOF所以∠GOH＝∠GOF﹣∠FOH＝BOF﹣（∠AOH﹣∠AOF）＝（180°﹣∠AOF）﹣AOE+∠AOF＝90°﹣AOF﹣（90°+∠AOF）+∠AOF＝90°﹣AOF﹣45°﹣AOF+∠AOF＝45°；所以∠GOH的度数为45°；如图4，当OE落在其他位置时因为OH平分∠AOE所以∠HOE＝∠AOH＝AOE因为OG平分∠BOF∠FOG＝∠GOB＝BOF所以∠GOH＝∠GOF+∠FOH＝BOF+∠AOH+∠AOF＝（180°﹣∠AOF）+AOE+∠AOF＝90°﹣AOF+（90°﹣∠AOF）+∠AOF ＝90°﹣AOF+45°﹣AOF+∠AOF＝135°；所以∠GOH的度数为135°；综上所述：∠GOH的度数为45°或135°．10．解：（1）当OB、OC运动到如图1的位置时，∵∠AOC+∠BOD＝100°，∴∠AOC+∠COD+∠BOC＝100°∠AOD+∠BOC＝100°①∵∠AOB+∠COD＝40°，∴∠AOD﹣∠BOC＝40°②①+②得2∠AOD＝140°∴∠AOD＝70°．∴∠BOC＝30°答：∠AOD的度数为70°．（2）在（1）的条件下（图2），∵射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，∴∠CON＝COD，∠BOM＝AOB∴∠MON＝∠CON+∠BOM+∠BOC＝（∠AOB+∠COD）+∠BOC＝×40°+30°＝50°．答：∠MON的度数为50°．（3）在（1）的条件下（图3），OE、OF是∠AOD外部的两条射线，∠EOB＝∠COF＝90°，∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，∴∠POD＝EOD∠AOQ＝AOF∴∠POQ＝∠AOD+∠POD+∠AOQ＝70°+（∠EOD+∠AOF）＝70°+（∠EOB﹣∠BOD+∠COF﹣∠AOC）＝70°+[（90°+90°﹣（∠BOD+∠AOC）]＝70°+90°﹣100°＝110°．答：∠POQ的度数为110°．11．解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠COB＝60°，∴∠COE＝30°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝2x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，∴3x＝30或2x+90﹣x＝120，∴x＝10或30，∴∠AOE＝20°或60°，∴∠BOE＝160°或120°．12．解：（1）∵∠AOC+∠BOD＝100°，∴∠AOB+∠BOC+∠BOC+∠COD＝100°，又∵∠AOB+∠COD＝40°，∴2∠BOC＝100°﹣40°＝60°，∴∠BOC＝30°，答：∠BOC的度数为30°；（2）∵OM是∠AOB的平分线，∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB，又∵ON是∠COD的平分线，∴∠CON＝∠DON＝∠COD，∴∠DON+∠BOM＝（∠COD+∠AOB）＝×40°＝20°，∴∠MON＝∠BOM+∠BOC+∠DON＝20°+30°＝50°，答：∠MON的度数为50°；（3）∵∠EOB＝∠COF＝90°，∠BOC＝30°，∴∠EOF＝90°+90°﹣30°＝150°，∵∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°，∴∠AOF+∠DOE＝∠EOF﹣∠AOD＝150°﹣70°＝80°，又∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，∴∠AOQ＝∠FOQ＝∠AOF，∠DOP＝∠EOP＝∠DOE，∴∠AOQ+∠DOP＝（∠AOF+∠DOE）＝×80°＝40°，∴∠POQ＝∠AOQ+∠DOP+∠AOD＝40°+70°＝110°．亲爱的读者：纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行！+读书不觉已春深，一寸光阴一寸金；少壮不努力,老大徒伤悲。
上海七年级上数学压轴题 图形的运动 解答题之压轴题训练
上海市七年级第一学期数学压轴题训练专题07 图形的运动解答题之压轴题训练1.（奉贤十二校2021期末28）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，（b＞a＞0），将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△A1BC1．（1）画出△A1BC1．（2）将△ABC沿射线CB方向平移，平移后得△A2B2C2．①当平移距离等于a（点C2和点B重合）时，求四边形A1A2C2B2的面积．（用a，b的代数式表示）②若a＝1，b＝2，当△A1A2C2的面积和△A1C2B2的面积相等时，平移距离多少？（直接写出答案）2.（奉贤区五校2021期末28）如图，正方形ABCD的边长为4cm,等腰直角三角形EFG 在正方形ABCD的左侧，边EF与AB在一条直线上，且点A和点F重合，∠FEG=90°，EF=EG=4cm.(1)当三角形EFG向右平移1cm时，两图形重叠部分面积为_______cm2；(2) 当三角形EFG向右平移7cm时，两图形重叠部分面积为_______cm2；(3)当三角形EFG向右平移x(cm)时，两图形重叠部分面积表示为S(cm2),用含x的代数式表示S,并写出x满足的条件.3.（浦东2021期末29）如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点（与A 、B 两点不重合），将BCE ∆绕点C 旋转，使CB 与CD 重合，这时点E 落在点F 处，联结EF. （1）按照题目要求画出图形；（2）若正方形边长为3，BE=1，求AEF ∆的面积；（3）若正方形边长为m ，BE=n ，比较AEF ∆与CEF ∆的面积大小，并说明理由.4.（浦东新区2021期末28）ABC ∆是一块含有45︒角的直角三角板，四边形DEFG 是正方形，点D 、G 分别在AB 、AC 上，点E 、F 在BC 上，BC=12，DG=4. 现在将正方形DEFG 向右沿BC 方向平移，设水平移动的距离为d ，正方形与直角三角板的重叠面积为S. （1）当平移的距离d= 时，正方形DEFG 恰好完全移出三角板；（2）当平移的距离d=2时，正方形与直角三角板的重叠面积为S= ;当平移的距离d=5时，正方形与直角三角板的重叠面积为S= ；（3）在移动过程中，请你用含有d 的代数式表示重叠面积S ，并写出相应d 的取值范围.E D CB A AB C A B C G F AB C D E5.（川中南2020期末29）如图1，150AOD ∠=︒，50AOB ∠=︒，30COD ∠=︒,把AOB ∠绕O 点以每秒20︒的速度逆时针方向旋转一周，同时COD ∠绕O 点以每秒10︒的速度逆时针方向旋转，当AOB ∠停止旋转时COD ∠也随之停止旋转.设旋转后的两个角分别记为11AOB ∠、11C OD∠，旋转时间为t 秒.（1）如图2，直线MN 垂直于OA ，将COD ∠沿直线MN 翻折至''C OD ∠，请你直接写出BOD '∠的度数，不必说明理由；（2）如图1，在旋转过程中，若射线1OB 与1OC 重合时，求t 的值；（3）如图2，在旋转过程中，当1120B OC ∠=︒时，直接写出t 的值，不必说明理由.6.（黄浦卢湾2020期末27）如图1，长方形纸片ABCD 的两条边AB 、BC 的长度分别为a 、b (0)a b ，小明它沿对角线AC 剪开，得到两张三角形纸片（如图2），再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，且点B 与点D 重合，点B 、F 、C 也在同一条直线上．（1）将图3中的△ABC 沿射线AE 方向平移，使点B 与点E 重合，点A 、C 分别对应点M 、N ，按要求画出图形，并直接写出平移的距离；（用含a 或b 的代数式表示） （2）将图3中的△DEF 绕点B 逆时针方向旋转60°，点E 、F 分别对应点P 、Q ，按要求画出图形，并直接写出∠ABQ 的度数；（3）将图3中的△ABC 沿BC 所在直线翻折，点A 落在点G 处，按要求画出图形，并直接写出GE 的长度．（用含a 、b 的代数式表示）7.（黄浦立达2020期末26）作图并回答下列问题已知方格图中每一小格单位长度为1cm ，长方形ABCD 的顶点都在方格的顶点上，将长方形ABCD 绕点A 逆时针旋转90°得到四边形AB 1C 1D 1.（1）画出四边形AB 1C 1D 1（2）如果将四边形AB 1C 1D 1沿射线AB 方向向右平移x cm ，①当线段C 1D 1在线段AD 的左侧时，用含x 的代数式表示四边形AB 1C 1D 1与长方形ABCD 重叠部分的面积S.②若四边形AB 1C 1D 1与长方形ABCD 重叠部分的面积为4.5 cm 2时，求x 的值.8.（嘉定区2020期末28）如图，在一个10×10的正方形网格中有一个△ABC.（1）在网格中画出△ABC 向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）在网格中画出△ABC 绕点P 逆时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C 2；（3）在（1）（2）的画图基础上，联结B 1C 2、A 2C 1，若小正方形的单位长度为1，请求出四边形A 2C 2B 1C 1的面积.9.（闵行区2020期末28）如图，已知ABC ∆是直角三角形，其中90ACB ∠=︒，AB=13，BC=12，AC=5.（1）画出ABC ∆绕点A 顺时针方向旋转90︒后的11AB C ∆；（2）线段BC 在旋转过程中所扫过部分的周长是_________（保留π）；（3）求线段BC 在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留π）.10.（浦东南十六校2020期末26）在长方形纸片ABCD 中，10AB cm =，AD AB <. （1）当 6.5AD cm =时，如图（a ）所示，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边上，记作点1D ，折痕为AE ，如图（b ）所示.此时，图（b ）中线段1D B 长是 厘米.（2）若AD x =厘米，先将长方形纸片ABCD 按问题（1）的方法折叠，再将1AED △沿1D E 向右翻折，使点A 落在射线1D B 上，记作点1A .若翻折后的图形中，线段112BD BA =，请根据题意画出图形（草图），并求出x 的值.11.（长宁延中2020期末32）在ABC 中，点D 在边BC 上，联结,AD ADC n ∠=︒. ()1如图，将ADC 沿着AD 翻折，点C 的对应点是点'C ，若DB 平分'ADC ∠，则n 的值等于 ；()2若90,2,3,4n AD BD CD ====.将ABC 绕着点D 旋转，使得点A 的对应点'A 落在边BC 上，点B C 、的对应点分别是点'B C '、，则''A B C 的面积等于 .12.（2019复旦二附12月27）已知，如图：在△ABC 中，AC=3,BC=6,∠C=600;(1)将△ABC 绕着点C 旋转，使点A 落在直线BC 上的点A′,点B 落在B′，在下图中画出旋转后的△A′B′C.(2)直接写出A′B 的长，A′B=___________.13.（崇明区2020期末27）如图（1），已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC=a ，AC=b ，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90°得到11ABC ∆.（1）联结1BB ，请直接写出1ABB ∆是 三角形，并求出1ABB ∆的面积.（用含字母a 、b 的代数式表示）C'D C B ACB A（2）将11ABC ∆向左平移，使点1C 与点A 重合，点1B 落在AC 边上，标记为2B ，A 点平移后的对应点标记为1A ，请在图（2）中画出平移后的图形12AA B ∆，联结1A B 、2BB .如果AB=3，求四边形12AA BB 的面积.14.（静安区2020期末28）如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，AE ＝a ，BE=b.（1）将ADE ∆绕点D 旋转，使DA 与DC 重合，点E 落在点F 处，画出DCF ∆；（2）联结EF ，求出DEF ∆的面积.(结果用含a 、b 的代数式表示)15.（普陀区2020期末28）如图，已知正方形ABCD ，点M 是线段CB 延长线上一点，联结AM ，AB=a ，BM=b.（1）将线段AM 沿着射线AD 方向平移，使得点A 与点D 重合. 用代数式表示线段AM 扫过平面部分的面积 .（直接写出答案）（2）将三角形ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，点M落在点N，联结MN. 用代数式表示三角形CMN的面积.（直接写出答案）（3）将三角形ABM顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外）. 请在下图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角.。
七年级上册数学 压轴题 期末复习试题及答案解答
七年级上册数学 压轴题 期末复习试题及答案解答一、压轴题1．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC ＝30°，将一直角三角板（其中∠P ＝30°）的直角顶点放在点O 处，一边OQ 在射线OA 上，另一边OP 与OC 都在直线AB 的上方．将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）如图2，经过t 秒后，OP 恰好平分∠BOC ．①求t 的值；②此时OQ 是否平分∠AOC ？请说明理由；（2）若在三角板转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分∠POQ ？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC 平分∠POB ？（直接写出结果）．2．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动.如图1，数轴上的点M ，N 所表示的数分别为0，12.将一枚棋子放置在点M 处，让这枚棋子沿数轴在线段MN 上往复运动（即棋子从点M 出发沿数轴向右运动，当运动到点N 处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M 处，随即沿数轴向右运动，如此反复⋯）.并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M 开始运动t 个单位长度至点1Q 处；第2步，从点1Q 继续运动2t 单位长度至点2Q 处；第3步，从点2Q 继续运动3t 个单位长度至点3Q 处…例如：当3t =时，点1Q 、2Q 、3Q 的位置如图2所示.解决如下问题：（1）如果4t =，那么线段13Q Q =______；（2）如果4t <，且点3Q 表示的数为3，那么t =______；（3）如果2t ≤，且线段242Q Q =，那么请你求出t 的值.3．阅读理解：如图①，若线段AB 在数轴上，A 、B 两点表示的数分别为a 和b (b a >），则线段AB 的长（点A 到点B 的距离）可表示为AB=b a -.请用上面材料中的知识解答下面的问题:如图②，一个点从数轴的原点开始，先向左移动2cm到达P点，再向右移动7cm到达Q点，用1个单位长度表示1cm．（1）请你在图②的数轴上表示出P，Q两点的位置；（2）若将图②中的点P向左移动x cm，点Q向右移动3x cm，则移动后点P、点Q表示的数分别为多少？并求此时线段PQ的长.（用含x的代数式表示）；（3）若P、Q两点分别从第⑴问标出的位置开始，分别以每秒2个单位和1个单位的速度同时向数轴的正方向运动，设运动时间为t（秒），当t为多少时PQ=2cm？4．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠COF＝14°时，t＝秒．5．如图1，已知面积为12的长方形ABCD，一边AB在数轴上。
人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案
人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案一、压轴题1．如图1，已知面积为12的长方形ABCD ，一边AB 在数轴上。
点A 表示的数为—2，点B 表示的数为1，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P 运动时间为t （t>0）秒.（1）长方形的边AD 长为 单位长度；（2）当三角形ADP 面积为3时，求P 点在数轴上表示的数是多少；（3）如图2，若动点Q 以每秒3个单位长度的速度，从点A 沿数轴向右匀速运动，与P 点出发时间相同。
那么当三角形BDQ ，三角形BPC 两者面积之差为12时，直接写出运动时间t 的值. 2．综合试一试（1）下列整数可写成三个非0整数的立方和：45=_____；2=______．（2）对于有理数a ，b ，规定一种运算：2a b a ab ⊗=-．如2121121⊗=-⨯=-，则计算()()532-⊗⊗-=⎡⎤⎣⎦______． （3）a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知12a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，……，以此类推，122500a a a ++⋅⋅⋅+=______．（4）10位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得9.4分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是_____分． （5）在数1.2.3...2019前添加“+”，“-”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是______（6）早上8点钟，甲、乙、丙三人从东往西直行，乙在甲前400米，丙在乙前400米，甲、乙、丙三人速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟，问：______分钟后甲和乙、丙的距离相等.3．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）出数轴上点B表示的数；点P表示的数（用含t的代数式表示）（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（4）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．4．已知多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b．（1）设a与b分别对应数轴上的点A、点B，请直接写出a＝，b＝，并在数轴上确定点A、点B的位置；（2）在（1）的条件下，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向B运动，运动时间为t 秒：①若PA﹣PB＝6，求t的值，并写出此时点P所表示的数；②若点P从点A出发，到达点B后再以相同的速度返回点A，在返回过程中，求当OP＝3时，t为何值？5．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足（a-1）2+|ab+3|=0，c=-2a+b．（1）分别求a，b，c的值；（2）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时相向运动，设运动时间为t秒．i）是否存在一个常数k，使得3BC-k•AB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．ii）若点C以每秒3个单位长度的速度向右与点A，B同时运动，何时点C为线段AB的三等分点？请说明理由．6．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d为点P 到点Q的d追随值，记作d[PQ]．例如，在数轴上点P表示的数是2，点Q表示的数是5，则点P到点Q的d追随值为d[PQ]=3．问题解决：(1)点M ，N 都在数轴上，点M 表示的数是1，且点N 到点M 的d 追随值d[MN]=a(a≥0)，则点N 表示的数是_____(用含a 的代数式表示)；(2)如图，点C 表示的数是1，在数轴上有两个动点A ，B 都沿着正方向同时移动，其中A 点的速度为每秒3个单位，B 点的速度为每秒1个单位，点A 从点C 出发，点B 表示的数是b ，设运动时间为t(t>0)．①当b=4时，问t 为何值时，点A 到点B 的d 追随值d[AB]=2； ②若0<t≤3时，点A 到点B 的d 追随值d[AB]≤6，求b 的取值范围．7．已知∠AOB 和∠AOC 是同一个平面内的两个角,OD 是∠BOC 的平分线. (1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD 的度数；(2)若∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n ＜＜，＜＜，＜ 且m n ＜，求∠AOD 的度数(结果用含m n 、的代数式表示)，请画出图形，直接写出答案．8．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且AB=20，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）写出数轴上点B 表示的数______；点P 表示的数______（用含t 的代数式表示） （2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问多少秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2？（3）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速到家动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上Q ？（4）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．9．已知：如图数轴上两点A 、B 所对应的数分别为-3、1，点P 在数轴上从点A 出发以每秒钟2个单位长度的速度向右运动，点Q 在数轴上从点B 出发以每秒钟1个单位长度的速度向左运动，设点P 的运动时间为t 秒．（1）若点P 和点Q 同时出发，求点P 和点Q 相遇时的位置所对应的数；（2）若点P 比点Q 迟1秒钟出发，问点P 出发几秒后，点P 和点Q 刚好相距1个单位长度；（3）在（2）的条件下，当点P 和点Q 刚好相距1个单位长度时，数轴上是否存在一个点C ，使其到点A 、点P 和点Q 这三点的距离和最小，若存在，直接写出点C 所对应的数，若不存在，试说明理由．10．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC =30°，将一直角三角尺（∠M =30°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．(1)若将图1中的三角尺绕点O 以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t 秒，当OM 恰好平分∠BOC 时，如图2． ①求t 值；②试说明此时ON 平分∠AOC ；(2)将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转，设∠AON =α，∠COM =β，当ON 在∠AOC 内部时，试求α与β的数量关系；(3)若将图1中的三角尺绕点O 以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC 也绕点O 以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC 第一次平分∠MON ?请说明理由．11．从特殊到一般，类比等数学思想方法，在数学探究性学习中经常用到，如下是一个具体案例，请完善整个探究过程。
初一数学全等三角形压轴题
等腰RT▲
• 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中 点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、 DF、EF． • （1）求证△ADF≌△CEF （2）试证明△DFE是等腰直角三角形
解：(1)∵∠ACB=90°，AC=CB F是AB边上的中点 ∴∠A=∠B=45° ∵F是AB边上的中点 ∴CF⊥AF, ∠ACF=45° ∴AF=CF 又AD=CE, ∠DAF=∠ECF=45° ∴△ADF≌△CEF (2) ∵△ADF≌△CEF ∴DF=EF, ∠AFD=∠CFE ∵∠AFD+∠CFD=90° ∴∠CFE +∠CFD=90° ∴△DFE是等腰直角三角形
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解：（1）90°． 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， AB＝AC∠BAD＝∠CAEAD＝AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE=∠B+∠ACB， 又∵∠BAC=90° ∴∠BCE=90°； （2）①α+β=180° ， 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中，AB＝AC∠BAD＝ ∠CAEAD＝AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠A;∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°， ∴α+β=180°； ②当点D在射线BC上时，α+β=180° ； 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中 AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°， ∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+ ∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180° ， ∴α+β=180°； 当点D在射线BC的反向延长线上时， α=β． 理由：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， AD＝AE∠DAB＝∠EACAB＝AC ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ABD=∠BAC+∠ACB， ∠ACE=∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE，
苏科版七年级上数学期末复习压轴题---角的旋转(难题)训练
七上期末复习压轴题---角的旋转（难题）训练一、计算题1.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120∘.将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC.问：此时直线ON是否平分∠AOC?请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6∘的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_____(直接写出结果)．(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM−∠NOC的度数．2.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120∘.将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC.问：此时直线ON是否平分∠AOC?请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6∘的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_____(直接写出结果)．(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM−∠NOC的度数．3.如图1，点O是直线AB上的一点．(1)如图1，当∠AOD是直角，3∠AOC=∠BOD，求∠COD的度数；(2)在(1)中∠COD绕着点O顺时针旋转(OD与OB重合即停止)，如图2，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出∠EOF的大小；若改变，说明理由；(3)在图1中，∠AOD=90°，∠AOC=30°，线段OC、OD绕着点O顺时针旋转，速度分别为每秒20°和每秒10°(当．OD．．重合时旋转都停止．．．．．．．．)，OM、ON分别平．．与．OB分∠BOC、∠BOD，多少秒时∠COM=∠BON(直接写出答案，不必写出过程)．二、解答题4.如图1，已知∠AOC=2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°(1)求∠COB的度数(2)经过点O作射线OD，使得∠AOC=4∠AOD，求∠BOD的度数(3)如图2，在∠AOB的内部作∠EOF，OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，当∠EOF绕点O在∠AOB的内部转动时，请写出∠AOB、∠EOF、∠MON之间的数量关系，并说明理由。
【压轴必考】2023学年七年级数学上册压轴题攻略(人教版)几何中种动角问题的两种考法(解析版)
几何中动角问题的两种考法类型一、判断角的数量之间的关系例．如图所示 O 是直线AB 上的一点 COD ∠是直角 OE 平分BOC ∠．（1）如图① 若28AOC ∠=︒ 求DOE ∠的度数；（2）在图① 若AOC α∠= 直接写出DOE ∠的度数_________（用含a 的代数式表示）； （3）将图①中的COD ∠绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置．①探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系 写出你的结论 并说明理由；②在AOC ∠的内部有一条射线OF 满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠ 试确定AOF ∠与DOE ∠的度数之间的关系 说明理由．【答案】（1）14°；（2）2α；（3）①∠AOC ＝2∠DOE ；（2）2∠DOE −52∠AOF ＝90°【详解】解：（1）∠∠COD 是直角 OE 平分∠BOC ∠AOC ＝28° ∠∠BOC ＝180°−∠AOC ＝152° ∠COE ＝12∠BOC ∠COD ＝90°． ∠∠COE ＝76° ∠DOE ＝∠COD −∠COE ＝90°−76°＝14°．即∠DOE ＝14°； （2）∠∠COD 是直角 OE 平分∠BOC ∠AOC ＝a ∠∠DOE ＝90°−1802α︒-＝2α．故答案是：2α； （3）①∠AOC ＝2∠DOE ． 理由：∠OE 平分∠BOC ∠∠BOC ＝2∠COE ．∠∠COD 是直角 ∠AOC ＋∠BOC ＝180° ∠∠DOE ＋∠COE ＝90° ∠AOC ＋2∠COE ＝180°． ∠∠AOC ＋2（90°−∠DOE ）＝180°． 化简 得∠AOC ＝2∠DOE ； ②2∠DOE −52∠AOF ＝90°．理由：∠42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠∠2∠AOF＋∠BOE＝12（∠AOC−∠AOF）∠2∠AOF＋∠BOE＝12∠AOC−12∠AOF．又∠∠AOC＝2∠DOE∠52∠AOF＝∠DOE−∠BOE∠52∠AOF＝∠DOB．∠∠DOB＋∠BOC＝90° ∠AOC＋∠BOC＝180° ∠AOC＝2∠DOE．∠52∠AOF＋180°−∠AOC＝90°．∠52∠AOF＋180°−2∠DOE＝90°．化简得2∠DOE−52∠AOF＝90°．【变式训练1】已知∠AOB＝∠COD＝90° OE平分∠BOC．(1)如图若∠AOC＝30° 则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角” 猜想∠DOE与∠AOC的关系并说明理由；(3)若∠AOC是钝角请先画出图形再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程将结论直接写在你画的图的下面）【答案】(1)60°；(2)1=452DOE AOC︒+∠∠理由见解析(3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°【解析】(1)解：∠∠AOB=90° ∠AOC=30° ∠∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°∠OE平分∠BOC∠∠COE=∠BOE=30°∠∠COD=90° ∠∠DOE=∠COD-∠COE=60° 故答案为：60°(2)解：1=452DOE AOC︒+∠∠理由如下：∠∠AOB =90° ∠∠BOC =∠AOB -∠AOC =90°-∠AOC ∠OE 平分∠BOC ∠()1190=4522COE BOE AOC AOC ∠=∠=︒-︒-∠∠ ∠∠COD =90° ∠119045=4522DOE COD COE AOC AOC ∠=∠-∠=︒-︒+︒+∠∠(3)：如图3-1所示 当OD 在∠AOB 内部时 ∠OE 平分∠BOC ∠∠BOC =2∠BOE =2∠COE ∠∠AOB =∠COD =90°∠∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+2∠COE ∠DOE =∠COD -∠COE =90°-∠COE ∠∠AOC +2∠DOE =90°+2∠COE +180°-2∠COE =270°；如图3-2所示 当OD 在∠AOB 外部时同理可以求出∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+2∠COE ∠DOE =∠COD +∠COE =90°+∠COE ∠2∠DOE -∠AOC = 180°+2∠COE -90°-2∠COE =90°；如图3-3所示 当OD 在∠AOB 外部时同理可以求出∠AOC =360°-∠AOB -∠BOC =270°-2∠COE ∠DOE =90°+∠COE ∠∠AOC +2∠DOE =270°-2∠COE +180°+2∠COE =450°；如图3-4所示 当OD 在∠AOB 外部时同理可以求出∠AOC =270°-2∠COE ∠DOE =90°-∠COE ∠∠AOC -2∠DOE =90°； 综上所述 ∠AOC +2∠DOE =270°或2∠DOE -∠AOC =90°或∠AOC +2∠DOE =450°或∠AOC -2∠DOE =90°．【变式训练2】如图 以直线AB 上一点O 为端点作射线OC 使70BOC ∠=︒ 将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处．（注：90DOE ∠=︒）（1）如图① 若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上 则COE ∠=________︒； （2）如图② 将直角三角板DOE 转到如图位置 当OC 恰好平分DOE ∠时 求BOD ∠的度数；（3）如图③ 将直角三角板DOE 绕点O 转动 如果OD 始终在BOC ∠的内部 直接写出BOD ∠和COE ∠的数量关系_________．【答案】（1）20；（2）25°；（3）∠COE -∠BOD=20°【详解】解：（1）如图① ∠COE=∠DOE -∠BOC=90°-70°=20° 故答案为：20；（2）如图② ∠OC 平分∠EOD ∠DOE=90° ∠∠COD=12∠DOE=45° ∠∠BOC=70° ∠∠BOD=∠BOC -∠COD=25°； （3）∠COE -∠BOD=20°理由是：如图③ ∠∠BOD+∠COD=∠BOC=70° ∠COE+∠COD=∠DOE=90°∠（∠COE+∠COD ）-（∠BOD+∠COD ）=∠COE+∠COD -∠BOD -∠COD=∠COE -∠BOD=90°-70°=20° 即∠COE -∠BOD=20°．【变式训练3】已知100AOB ∠=︒ 40COD ∠=︒ OE OF 分别平分AOD ∠ BOD ∠．(1)如图1 当OA OC 重合时 EOF ∠= 度；(2)若将COD ∠的从图1的位置绕点O 顺时针旋转 旋转角AOC α∠= 满足090α︒<<︒且40≠︒α．①如图2 用等式表示BOF ∠与COE ∠之间的数量关系 并说明理由；②在COD ∠旋转过程中 请用等式表示∠BOE 与COF ∠之间的数量关系 并直接写出答案． 【答案】(1)50；(2)①90COE BOF ∠∠+=︒；②40α<︒时 150COF BOE α∠∠=+︒+；4090α︒<<︒时 30COF BOE α∠=-∠-︒【解析】(1)OA OC 重合40AOD COD ∴∠=∠=︒ 10040140BOD AOB COD ∠=∠+∠=︒+︒=︒OE 平分AOD ∠ OF 平分BOD ∠11402022EOD AOD ∴∠=∠=⨯︒=︒ 111407022DOF BOD ∠=∠=⨯︒=︒ 702050EOF DOF EOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；(2)①90COE BOF ∠∠+=︒；理由如下： OE 平分AOD ∠ OF 平分BOD ∠111(40)20222EOD AOE AOD αα∴∠=∠=∠=︒+=︒+ 1111()(10040)702222BOF BOD AOB COD ααα∠=∠=∠+∠+=︒+︒+=︒+11202022COE AOE AOC ααα∴∠=∠-∠=︒+-=︒-1170209022BOF COE αα∴∠+∠=︒++︒-=︒；②由①得：1202EOD AOE α∠=∠=︒+ 1702DOF BOF α∠=∠=︒+当40AOC ∠<︒时 如图2所示：1170403022COF DOF COD αα∠=∠-∠=︒+-︒=︒+1110040(20)12022BOE BOD EOD AOB COD EOD αααα∠=∠-∠=∠+∠+-∠=︒+︒+-︒+=︒+111203015022BOE COF AOC ααα∴∠+∠-∠=︒++︒+-=︒ ∠150COF BOE α∠∠=+︒+当4090AOC ︒<∠<︒时 如图3所示：11(360140)4015022COF DOF DOC αα∠=∠+∠=︒-︒-+︒=︒-11140(20)12022BOE BOD DOE ααα∠=∠-∠=︒+-︒+=︒+11150(120)3022COF AOC BOE ααα∴∠+∠-∠=︒-+-︒+=︒；∠30COF BOE α∠=-∠-︒综上所述 40α<︒时 150COF BOE α∠∠=+︒+；4090α︒<<︒时30COF BOE α∠=-∠-︒【变式训练4】如图 已知150AOB ∠= 将一个直角三角形纸片(90D ∠=)的一个顶点放在点O 处 现将三角形纸片绕点O 任意转动 OM 平分斜边OC 与OA 的夹角 ON 平分BOD ∠.（1）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB ∠的内部) 若30COD ∠= 则MON ∠=_______；（2）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB ∠的内部) 若射线OD 恰好平分MON ∠ 若8MON COD ∠=∠ 求COD ∠的度数;（3）将三角形纸片绕点O 从OC 与OA 重合位置逆时针转到OD 与OA 重合的位置 猜想在转动过程中COD ∠和MON ∠的数量关系？并说明理由.【答案】（1）90︒；（2）COD=10∠︒；（3）1752MON COD ∠=∠+︒ 证明见解析【详解】解：（1）∠OM 平分斜边OC 与OA 的夹角 ON 平分BOD ∠． ∠OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD∠设11,22AOM MOC AOC x BON DON BOD y ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠2,2AOC x BOD y ∠=∠= 30MON MOC COD DON x y ∠=∠+∠+∠=+︒+ ∠2302150AOB AOC BOD COD x y ∠=∠+∠+∠=+︒+=︒ ∠60x y +=︒ ∠3090MON x y ∠=+︒+=︒ 故答案为: 90︒ （2）∠8MON COD ∠=∠ ∠设=,8COD a MON a ∠∠=∠射线OD 恰好平方MON ∠ ∠14,2DOM DON MON a ∠=∠=∠=∠43,COM DOM COD a a a ∠=∠-∠=-=∠OM 平分斜边OC 与OA 的夹角 ON 平分BOD ∠．∠OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD∠113,422AOM MOC AOC a BON DON BOD a ∠=∠=∠=∠=∠=∠= ∠6,8AOC a BOD a ∠=∠=∠68150AOB AOC BOD COD a a a ∠=∠+∠+∠=++=︒ ∠=10a ︒ ∠COD=10∠︒(3) 1752MON AOC ∠=∠+︒,证明如下：当OC 与OA 重合时 设∠COD=x,则150150BOD AOB COD COD x ∠=∠-∠=︒-∠=︒-∠ON 平分∠BOD∠117522DON BOD x ∠=∠=︒-∠MON COD DON ∠=∠+∠ 1752x x =+︒- 1752x =︒+ ∠1752MON COD ∠=︒+∠当OC 在OA 的左侧时设∠AOD=a ∠AOC=b 则∠BOD=∠AOB -∠AOD=150°-a ∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b∠ON 平分∠BOD ∠117522DON BOD a ∠=∠=︒-∠OM 平分∠AOC ∠1122AOM COM AOC b ∠=∠=∠=∠∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON 117522b a a =++︒- 117522b a =++︒ 1752COD =∠+︒当OD 与OA 重合时 ∠ON 平分∠AOB ∠1752AON AOB ∠=∠=︒∠OM 平分∠AOC ∠12MON AOC ∠=∠ ∠MON MOD AON ∠=∠+∠ 1752AOC =∠+︒综上所述 1752MON AOC ∠=∠+︒类型二、定值问题例．已知将一副三角尺（直角三角尺OAB 和OCD ）的两个顶点重合于点O 90AOB ∠=︒30COD ∠=︒（1）如图1 将三角尺COD 绕点O 逆时针方向转动 当OB 恰好平分COD ∠时 求AOC ∠的度数；（2）如图2 当三角尺OCD 摆放在AOB ∠内部时 作射线OM 平分AOC ∠ 射线ON 平分BOD ∠ 如果三角尺OCD 在AOB ∠内绕点O 任意转动 MON ∠的度数是否发生变化？如果不变 求其值；如果变化 说明理由．【答案】（1） 75COB ∠=︒；（2）不变．60MON ∠=︒ 【详解】解：（1）OB 平分COD ∠ 11301522COB COD ∴∠=∠=⨯︒=︒901575AOC AOB COB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；图1 图2 （2）不变．OM 平分AOC ∠ ON 平分BOD ∠12NOD BOD ∴∠=∠ 12COM AOC ∠=∠122MON NOD COD COM BOD AOC COD 1∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠()12BOD AOC COD =∠+∠+∠ ()12AOB COD COD =∠-∠+∠()1903030602=⨯︒-︒+︒=︒ 【变式训练1】如图 两条直线AB 、CD 相交于点O 且∠AOC=90° 射线OM 从OB 开始绕O 点逆时针方向旋转 速度为15°/s 射线ON 同时从OD 开始绕O 点顺时针方向旋转 速度为12°/s ．两条射线OM 、ON 同时运动 运动时间为t 秒．（本题出现的角均小于平角）（1）当t=2时 ∠MON 的度数为 ∠BON 的度数为 ；∠MOC 的度数为 （2）当0＜t ＜12时 若∠AOM=3∠AON -60° 试求出t 的值；（3）当0＜t ＜6时 探究72COM BON MON∠+∠∠的值 问：t 满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？【答案】（1）144° 114° 60°；（2）t 的值为107秒或10秒；（3）当0＜t ＜103时 72COM BON MON ∠+∠∠的值不是定值；当103＜t ＜6时 72COM BON MON ∠+∠∠的值是3． 【详解】（1）由题意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114° ∠MOC=∠BOC -∠BOM=90°-2×15°=60°故答案为：144° 114° 60°；（2）当ON 与OA 重合时 t=90÷12=7.5（s ） 当OM 与OA 重合时 t=180°÷15=12（s ） ①如图所示 当0＜t≤7.5时 ∠AON=90°-12t° ∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON -60° 可得180-15t=3（90-12t ）-60解得t=107②如图所示 当7.5＜t ＜12时 ∠AON=12t°-90° ∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON-60° 可得180-15t=3（12t-90）-60 解得t=10 综上t的值为107秒或10秒；（3）当∠MON=180°时∠BOM+∠BOD+∠DON=180° ∠15t+90+12t=180 解得t=10 3①如图所示当0＜t＜103时∠COM=90°-15t° ∠BON=90°+12t°∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°∠()()790152901272810811590129027t tCOM BON tMON t t t︒-︒+︒+︒∠+∠︒-︒==∠︒+︒+︒︒+︒（不是定值）②如图所示当103＜t＜6时∠COM=90°-15t° ∠BON=90°+12t°∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°∠()()79015290127227027t tCOM BONMON t︒-︒+︒+︒∠+∠=∠︒-︒=3（定值）综上所述当0＜t＜103时72COM BONMON∠+∠∠的值不是定值；当103＜t＜6时72COM BON MON∠+∠∠的值是3． 【变式训练2】已知将一副三角板（90,30AOB COD ∠=︒∠=︒）如图1摆放 点O 、A 、C 在一条直线上．将直角三角板OCD 绕点O 逆时针方向转动 变化摆放如图位置．（1）如图1 当点O 、A 、C 在同一条直线上时 BOD ∠=_______度；如图2 若要OB 恰好平分COD ∠ 则AOC ∠=_______度；（2）如图3 当三角板OCD 摆放在AOB ∠内部时 作射线OM 平分AOC ∠ 射线ON 平分BOD ∠ 如果三角板OCD 在AOB ∠内绕点O 任意转动 MON ∠的度数是否发生变化？如果不变 求其值；如果变化 说明理由．（3）当三角板OCD 从图1的位置开始 绕点O 逆时针方向旋转一周 保持射线OM 平分AOC ∠、射线ON 平分BOD ∠（180,180AOC BOD ∠≤︒∠≤︒） 在旋转过程中 （2）中的结论是否保持不变？如果保持不变 请说明理由；如果变化 请说明变化的情况和结果（即旋转角度a 在什么范围内时MON ∠的度数是多少）．【答案】（1）60 75；（2）60MON ∠=︒ 理由见详解；（3）①当0180α︒<<︒时 60MON ∠=︒；②当180α=︒时 60MON ∠=︒或120° ③当180240α︒<<︒时 120MON ∠=︒；④当240α=︒时 120MON ∠=︒或60°；⑤当240360α︒<<︒时 60MON ∠=︒【详解】解：（1）由题意得：30,90COD AOB ∠=︒∠=︒ ∠60BOD AOB COD ∠=∠-∠=︒ ∠OB 恰好平分COD ∠ ∠1152BOC COD ∠=∠=︒ ∠75AOC AOB BOC ∠=∠-∠=︒；故答案为60 75；（2）MON ∠的度数不发生变化 理由如下： ∠射线OM 平分AOC ∠ 射线ON 平分BOD ∠ ∠11,22MOC AOC NOD BOD ∠=∠∠=∠ ∠30,90COD AOB ∠=︒∠=︒ ∠9060AOC BOD COD ∠+∠=︒-∠=︒∠30MOC NOD ∠+∠=︒ ∠60MON MOC NOD COD ∠=∠+∠+∠=︒；（3）设旋转角度为α 根据题意可得：30,90COD AOB ∠=︒∠=︒∠射线OM 平分AOC ∠ 射线ON 平分BOD ∠ ∠11,22MOC AOC NOD BOD ∠=∠∠=∠①当0180α︒<<︒时 如图所示：∠()()1190306022MON MOC NOD BOC BOC BOC BOC ∠=∠+∠-∠=︒+∠+︒+∠-∠=︒ ②当180α=︒时 即AOC ∠为平角 可分为：当点M 在OB 上 如图所示：∠120MOD BOC COD ∠=∠+∠=︒ ∠1602MON MOD ∠=∠=︒； 当点M 在BO 的延长线时 如图所示：∠180120MON BON ∠=︒-∠=︒；③当180240α︒<<︒时 如图所示：∠360AOC CON BON AOB ∠+∠+∠+∠=︒∠()2303090360MOD CON CON ∠+︒+∠+∠+︒+︒=︒ 解得：90MOD CON ∠+∠=︒ ∠9030120MON MOD CON DOC ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒；④当240α=︒时 则180BOD ∠=︒ 如图所示：∠当ON 平分在∠BOD 的左边时 则60MON ∠=︒ 当ON 平分在∠BOD 的右边时 则120MON ∠=︒；⑤当240360α︒<<︒时 如图所示：∠30,90MOD COM AON BON ∠=∠-︒∠=∠-︒∠()()()1130906022MON AOD AON MOD AOD AOD AOD ∠=∠-∠+∠=︒-∠+︒-∠+∠=︒． 类型三、求值问题例.如图1 O 为直线AB 上一点 过点O 作射线OC 30AOC ∠=︒ 将一直角三角板（30M ∠=︒）的直角顶点放在点O 处 一边ON 在射线OA 上 另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180︒．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3︒的速度沿顺时针方向旋转．如图2 经过t 秒后 AON ∠=______度（用含t 的式子表示） 若OM 恰好平分BOC ∠ 则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上 若三角板在转动的同时 射线OC 也绕O 点以每秒6︒的速度沿顺时针方向旋转 如图3 经过t 秒后 AOC ∠=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON ∠ 求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变 那么经过秒OC 平分BOM ∠？（直接写结果）【答案】（1）3t 5；（2）306t + 5；（3）经过703秒OC 平分BOM ∠ 【解析】（1）3AON t ∠= ∠30AOC ∠=︒ ∠150BOC ∠=︒∠OM 平分BOC ∠ 90MON ∠=︒ ∠75COM ∠=° ∠15CON ∠=︒∠301515AON AOC CON ∠=∠-∠=-=°°° 解得：1535t =÷=°°秒（2）()306AOC t ∠=+度 ∠90MON ∠=︒ OC 平分MON ∠ ∠45CON COM ∠=∠=°∠45AOC AON CON ∠-∠=∠=° ∠306345t t +-=解得：5t =秒（3）如图：∠90AON BOM ∠+∠=° BOC COM ∠=∠由题可设AON ∠为3t AOC ∠为()306t +° ∠()19032COM BOC t ∠=∠=-°∠180BOC AOC ∠+∠=︒ ()()130********t t ++-= 解得：703t =秒 答：经过703秒OC 平分BOM ∠．【变式训练1】如图 将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．（1）若∠DCE ＝35° ∠ACB ＝ ；若∠ACB ＝140° 则∠DCE ＝ ；（2）猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系 并说明理由；（3）若保持三角尺BCE 不动 三角尺ACD 的CD 边与CB 边重合 然后将三角尺ACD 绕点C 按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD ．设∠BCD ＝α（0°＜α＜90°）①∠ACB 能否是∠DCE 的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．②三角尺ACD 转动中 ∠BCD 每秒转动3° 当∠DCE ＝21°时 转动了多少秒？【答案】（1）∠ACB ＝145°；∠DCE ＝40°；（2）∠ACB +∠DCE ＝180°或互补 理由见解析；（3）①能；理由见解析 α＝54°；②23秒【详解】解：（1）∠∠ACD ＝∠ECB ＝90° ∠DCE ＝35° ∠∠ACB ＝180°﹣35°＝145°． ∠∠ACD ＝∠ECB ＝90° ∠ACB ＝140° ∠∠DCE ＝180°﹣140°＝40°．故答案为：145° 40°；（2）∠ACB +∠DCE ＝180°或互补 理由：∠∠ACE +∠ECD +∠DCB +∠ECD ＝180．∠∠ACE +∠ECD +∠DCB ＝∠ACB ∠∠ACB +∠DCE ＝180° 即∠ACB 与∠DCE 互补．（3）①当∠ACB 是∠DCE 的4倍 ∠设∠ACB ＝4x ∠DCE ＝x∠∠ACB +∠DCE ＝180° ∠4x +x ＝180°解得：x ＝36° ∠α＝90°﹣36°＝54°；②设当∠DCE ＝21°时 转动了t 秒 ∠∠BCD +∠DCE ＝90° ∠3t +21＝90 t ＝23° 答：当∠DCE ＝21°时 转动了23秒．【变式训练2】如图（1） ∠BOC 和∠AOB 都是锐角 射线OB 在∠AOC 内部 AOB α∠= BOC β∠=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2） OM 平分∠BOC ON 平分∠AOC 填空：①当40α=︒ 70β=︒时 COM ∠=______ CON ∠=______ MON ∠=______； ②MON ∠=______（用含有α或β的代数式表示）．(2)如图（3） P 为∠AOB 内任意一点 直线PQ 过点O 点Q 在∠AOB 外部：①当OM 平分∠POB ON 平分∠POA ∠MON 的度数为______；②当OM 平分∠QOB ON 平分∠QOA ∠MON 的度数为______；（∠MON 的度数用含有α或β的代数式表示）(3)如图（4） 当40α=︒ 70β=︒时 射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周 同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周 OM 平分∠POQ ON 平分∠POA 那么多少分钟时 ∠MON 的度数是40°？【答案】(1)135,55,20,2︒︒︒α；(2)12α 11802α︒-；(3)48分钟时 ∠MON 的度数是40° 【解析】(1)① OM 平分∠BOC ON 平分∠AOC当40α=︒ 70β=︒时 COM ∠=113522BOC ∠=β=︒ CON ∠=()111()55222AOC AOB BOC ∠=∠+∠=α+β=︒ MON ∠=()11120222CON COM αββα∠-=+-==︒ ②MON ∠()111222CON COM =∠-=α+β-β=α 故答案为：135,55,20,2︒︒︒α (2)①OM 平分∠POB ON 平分∠POA ∴()12MON POB POA ∠=∠+∠ 1122AOB =∠=α ②OM 平分∠QOB ON 平分∠QOA ∴()12MON BOQ QOA ∠=∠+∠()1136018022AOB =︒-∠=︒-α故答案为：12α 11802α︒- (3)根据题意POQ BOC ∠=∠=βOM 平分∠POQ 113522POM POQ ∴∠=∠=β=︒ 如图 当OP 在AOB ∠的外部时MON 的度数是40°MON PON POM ∠=∠+5PON ∴∠=︒ON 平分∠POA 210POA PON ∴∠=∠=︒ 120POC ∴∠=︒ 则OP 旋转了360120240︒-︒=︒240548∴÷=分 即48分钟时 ∠MON 的度数是40°如图 OP 在AOB ∠的内部时MON POM PON ∠=∠-∠ 即4035PON ︒=︒-∠ 5PON ∴∠=-︒此情况不存在 综上所述 48分钟时 ∠MON 的度数是40°【变式训练3】如图1 点A 、O 、B 依次在直线MN 上 现将射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2︒的速度旋转 同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4︒的速度旋转 如图2 设旋转时间为(090)t t <<．（1）用含t 的代数式表示：MOA ∠=_______︒ MOB ∠=_______︒．（2）在运动过程中 当60AOB ∠=︒时 求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t 使得直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角（大于0︒而小于180︒）？【答案】（1）2t 1804t -；（2）当60AOB ∠=︒时 20t =或40或80；（3）存在 当直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角时 18t =或36或54或72．【解析】（1）由题意得：射线OA 的运动路程为2t ︒ 射线OB 的运动路程为4t ︒ ∠2MOA t ∠=︒当045t <<时 1804MOB t ∠=︒-︒ 当4590t <<时 4180MOB t ∠=︒-︒ ∠1804MOB t ∠=︒-︒；故答案为2t 1804t -；（2）由题意可得射线OA 与射线OB 相遇的时间为：24180t t ︒+︒=︒ 解得：30t = ∠当射线OA 与射线OB 相遇前 60AOB ∠=︒时 如图所示：∠2604180t t ︒+︒+︒=︒ 解得：20t =当射线OA 与射线OB 相遇后 且射线OB 还没有过直线MN 时 60AOB ∠=︒ 如图所示：2604180t t ︒-︒+︒=︒ 解得：40t =当射线OB 过了直线MN 时 60AOB ∠=︒ 如图所示：2418060360t t ︒+︒-︒+︒=︒ 解得：80t =综上所述：当60AOB ∠=︒时 20t =或40或80；（3）存在 理由如下：由2MOA t ∠=︒ 1804MOB t ∠=︒-︒ 4NOB t ∠=︒ 则可分：①若直线OB 平分AON ∠时 如图所示：∠12BON AON ∠=∠ 1802AON t ∠=︒-︒ ∠490t t ︒=︒-︒ 解得：18t =； 若直线OB 平分AOM ∠时 如图所示：∠12BOM AOM ∠=∠ ∠1804t t ︒-︒=︒ 解得：36t =； ②若直线OB 平分AON ∠时 如图所示：∠12BOM CON AON ∠=∠=∠ ∠418090t t ︒-︒=︒-︒ 解得：54t =； 若直线OB 平分AOM ∠时 如图所示：∠12BON COM AOM ∠=∠=∠ 3604BON t ∠=︒-︒ ∠3604t t ︒-︒=︒ 解得：72t =；综上所述：当直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角时 18t =或36或54或72．课后训练1．如图1 点O 为直线AB 上一点 过点O 作射线OC 使120BOC ∠=︒．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处 一直角边OM 在射线OB 上 另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2 使边OM 在BOC ∠的内部 且恰好平分BOC ∠．问：此时直线ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周 在旋转过程中 第n 秒时 直线ON 恰好平分AOC ∠ 则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3 使ON 在AOC ∠的内部时 AOM NOC ∠-∠的度数是多少？【答案】(1)平分 理由见解析；(2)10或40；(3)30°【解析】(1)解：（1）直线ON 平分∠AOC ．理由：设ON 的反向延长线为OD∠OM 平分∠BOC ∠∠MOC ＝∠MOB又∠OM∠ON∠∠MOD＝∠MON＝90° ∠∠COD＝∠BON又∠∠AOD＝∠BON（对顶角相等）∠∠COD＝∠AOD∠OD平分∠AOC即直线ON平分∠AOC；(2)解：由（1）得∠BOM＝60°时直线ON恰好平分AOC即旋转60°时ON平分∠AOC再旋转180°即旋转240°时ON平分∠AOC由题意得6n＝60°或6n＝240°∠n＝10或40；故答案为：10或40；(3)解：∠∠MON＝90° ∠AOC＝60°∠∠AOM＝90°﹣∠AON∠NOC＝60°﹣∠AON∠∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．2．如图所示OA OB OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线且∠FOA＝20°∠AOB＝60° ∠BOC＝10° 以O为端点作射线OP OQ分别与射线OF OC重合．射线OP 从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转转速为1度/秒射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止射线OP旋转至与射线OE重合时停止）两条射线同时开始旋转（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）．(1)直接写出射线OP停止运动时的时间．(2)当射线OP平分∠AOC时直接写山它的旋转时间．(3)若射线OQ的转速为3度/秒当∠POQ＝70°时直接写出射线OP的旋转时间．(4)若∠POA＝2∠POB时射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角直接写出射线OQ的旋转速度．【答案】(1)180s；(2)55s；(3)3s或70s；(4)5()/6s︒或0.5/s︒或5()/14s︒或3()/14s︒．【解析】(1)∠EOF=180° 射线OP的速度为1°/s 则时间为180÷1=180s；(2)∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°当射线OP平分时∠AOC∠AOP=∠POC=12∠AOC=35°此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55° ∠旋转的时间为：55÷1=55s．(3)∠FOC=∠FOA+∠AOB+∠BOC=90°设射线OP旋转的时间为t秒由题意可得：t+3t=90+70或t+3t=90-70 解得：t=5或t=40射线OQ旋转至射线OF重合时停止∠.射线OQ最多旋转30秒当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止此时∠POQ=∠FOP=30°之后射线OP继续旋转703040 1/ss︒︒︒-=则∠POQ=∠FOP=70° 此时t=70s 故答案为：5s或70s．(4)①当射线OP在∠AOB内部时∠POA=2∠POB∠AOB=60°∠∠POA=40° ∠FOP=60°故射线OP旋转的时间为60s若13AOQ AOB∠=∠则∠BOQ=40° ∠COQ=50°∠此时射线OQ的旋转速度为：50÷60=56（°/s)若13BOQ AOB∠=∠时则∠BOQ=20° ∠COQ=30°∴此时射线OQ的旋转速度为30÷60=12（°/s）；②当射线OP在∠EOB内部时∠PDA=2∠POB∠AOB=60°∴∠POA=120° ∠FOP=140°故射线OP旋转时间为140秒若13AOQ AOB ∠=∠时 则∠BOQ =40° ∠COQ =50° ∠此时射线OQ 的旋转速度为：50÷140=514（°/s) 若13BOQ AOB ∠=∠时 则∠BOQ =20° ∠COQ =30° ∴此时旋转速度为：30÷140=314（°/s) 综上 符合条件的旋转速度为5()/6s ︒或0.5/s ︒或5()/14s ︒或3()/14s ︒． 3．已知O 是直线AB 上的一点 ∠COD 是直角 OE 平分∠BOC ．(1)如图1 若∠AOC =48° 求∠DOE 的度数；(2)如图1 若∠AOC =α 则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示)；(3)将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置 试探究∠DOE 和∠AOC 度数之间的关系 写出你的结论 并说明理由．(4)将图1中的∠DOC 绕顶点O 逆时针旋转至图3的位置 其它条件不变 若∠AOC =α 则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示) 不必说明理由．【答案】(1)24°；(2)12α；(3)∠DOE =12∠AOC 理由见解析；(4)180 °-12α 【解析】(1)∠∠AOC +∠BOC =∠AOB =180°∠∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132°∠OE 平分∠BOC∠∠COE =12∠BOC = 66°又∠∠COD 是直角∠∠COD = 90°∠∠DOE =∠COD -∠COE = 90°- 66°= 24°(2)由（1）得 12DOE COD BOC ∠=∠-∠ 190(180),2DOE AOC ︒︒∴∠=--∠11.22DOE AOC α∴∠=∠= 故答案为：12α (3)答：∠DOE =12∠AOC ．理由如下:∠∠AOC +∠BOC =∠AOB =180°∠∠BOC =180°-∠AOC∠OE 平分∠BOC∠∠COE =12∠BOC =12 (180°-∠AOC )= 90°-12∠AOC又∠∠COD 是直角∠∠COD = 90°∠∠DOE =∠COD -∠COE = 90°-(90°-12∠AOC )=12∠AOC∠∠DOE =12∠AOC (4)OE 平分BOC ∠ 1180180222AOC COE BOC α︒︒-∠-∴∠=∠== COD ∠是直角90,COD ︒∴∠=180********DOE COD COE αα︒︒︒-∴∠=∠+∠=+=- 故答案为：11802α︒-； 4．如图1 O 为直线AB 上一点 过点O 作射线OC 30AOC ∠=︒ 将一直角三角板（30M ∠=︒）的直角顶点放在点O 处 一边ON 在射线OA 上 另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180︒．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3︒的速度沿顺时针方向旋转．如图2 经过t 秒后 AON ∠=______度（用含t 的式子表示） 若OM 恰好平分BOC ∠ 则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上 若三角板在转动的同时 射线OC 也绕O 点以每秒6︒的速度沿顺时针方向旋转 如图3 经过t 秒后 AOC ∠=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON ∠ 求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变 那么经过秒OC 平分BOM ∠？（直接写结果）【答案】（1）3t 5；（2）306t + 5；（3）经过703秒OC 平分BOM ∠ 【详解】（1）3AON t ∠=∠30AOC ∠=︒ ∠150BOC ∠=︒∠OM 平分BOC ∠ 90MON ∠=︒∠75COM ∠=° ∠15CON ∠=︒ ∠301515AON AOC CON ∠=∠-∠=-=°°°解得：1535t =÷=°°秒（2）()306AOC t ∠=+度 ∠90MON ∠=︒ OC 平分MON ∠∠45CON COM ∠=∠=° ∠45AOC AON CON ∠-∠=∠=° ∠306345t t +-=解得：5t =秒 （3）如图：∠90AON BOM ∠+∠=° BOC COM ∠=∠由题可设AON ∠为3t AOC ∠为()306t +° ∠()19032COM BOC t ∠=∠=-° ∠180BOC AOC ∠+∠=︒()()130********t t ++-= 解得：703t =秒 答：经过703秒OC 平分BOM ∠．5．已知:AOB ∠和COD ∠是直角．（1）如图 当射线OB 在COD ∠内部时 请探究AOD ∠和BOC ∠之间的关系；（2）如图2 当射线,OA 射线OB 都在COD ∠外部时 过点О作射线OE 射线OF 满足13BOE BOC ∠=∠ 23DOF AOD ∠=∠ 求EOF ∠的度数．（3）如图3 在（2）的条件下 在平面内是否存在射线OG 使得:2:3GOF GOE ∠∠= 若不存在 请说明理由 若存在 求出GOF ∠的度数．【答案】（1）180AOD BOC ∠+∠=︒ 详见解析；（2）150；（3）GOF ∠的度数是60︒或84【详解】解：（1）180AOD BOC ∠+∠=︒证明：AOB ∠和COD ∠是直角90AOB COD ∴∠=∠=︒BOD BOC COD ∠+∠=∠90BOD BOC ∴∠=︒-∠同理：90AOC BOC ∠=︒-∠9090180AOD AOB BOD BOC BOC ∴∠=∠+∠=︒+︒-∠=-∠180AOD BOC ∴∠+∠=︒；（2）解：设BOE α∠= 则3BOC α∠=BOE EOC BOC ∠+∠=∠2EOC BOC BOE α∴∠=∠-∠=360AOD COD BOC AOB ∠+∠+∠+∠=︒360AOD COD BOC AOB ∴∠=︒-∠-∠-∠360903901803a α=︒-︒--︒=︒-23DOF AOD ∠=∠ 21803103(22DOF a a ∴∠=︒-=︒-） (1118036033AOF AOD a a ∴∠=∠=-=︒-） 9060150EOF BOE AOB AOF a α∴∠=∠+∠+∠=+︒+︒-=︒答：EOF ∠的度数是150；（3）①如图 当射线OG 在EOF ∠内部时:2:3GOF GOE ∠∠=222150602355GOF EOF EOF ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒+②如图 当射线OG 在EOF ∠外部时:2:3GOF GOE ∠∠=()()222352360360150210845GOF EOF ︒∴∠=∠=+-︒-︒=⨯︒=︒综上所述GOF∠的度数是60︒或84︒．6.已知O为直线AB上的一点∠COE＝90° 射线OF平分∠AOE．（1）在图1中当∠COF＝36°时则∠BOE＝当∠COF＝m°时则∠BOE＝；以此判断∠COF和∠BOE之间的数量关系是；（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化请你加以证明；若发生变化请你说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360° 理由见解析【解析】（1）∠∠COE＝90° ∠COF＝36°∠∠EOF=90°-36°=54°∠OF平分∠AOE∠∠AOE=2∠EOF =108°∠∠BOE=180°-108°=72°；同理可求∠BOE=2m°；由第一和第二空可知：∠BOE=2∠COF．故答案为：72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）∠BOE=2∠COF不会变化其证明过程是：设∠AOC=x° 则∠AOE=(90-x)°∠OF平分∠AOE∠∠EOF=∠AOF=12∠AOE=(45-12x)°∠∠COF=∠COE-∠EOF=90°-(45-12x)°=(45+12x)°∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-x)°=(90+x)° ∠∠BOE=2∠COF．（3）∠BOE+2∠COF=360° 其理由是：设∠AOC=x° 则∠AOE=∠AOC-∠COE=(x-90)°．∠OF平分∠AOE∠∠AOF=∠EOF=12∠AOE=(12x-45)°∠∠COF=∠AOC-∠AOF=x°-(12x-45)°=(12x+45)° ∠BOE=180°-∠AOE=180°-(x-90)°=(270-x)°∠∠BOE+2∠COF=(270°-x)°+2(12x+45)°=360°．故答案为：（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360°。
初中数学三角形压轴题
BAODCE图8初中数学三角形压轴题一、双等边三角形模型1. （1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.同类变式：如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图c3. 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，,M N分别为,EB CD的中点，易证：CD BE=，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD BE=是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．图9 图10 图11C BOD图7AE同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．（1）证明：△ABG ≌△ADE ；（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．CGAEDBF二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC交CF 的延长线于D ．求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．FGEDAHCEN DABM 图① C AEM BDN 图②2.（西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。
最新七年级上册数学压轴题专题练习(解析版)
最新七年级上册数学压轴题专题练习(解析版)最新七年级上册数学压轴题专题练（解析版）一、压轴题1.[问题提出]一个边长为$n$ cm（$n\geq 3$）的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1 cm的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的多少块？问题探究]我们先从特殊的情况入手：1）当$n=3$时，如图（1）。
没有涂色的：把这个正方体的表面“剥去”剩下的正方体，有$1\times 1\times 1=1$个小正方体；一面涂色的：在面上，每个面上有1个，共有6个；两面涂色的：在棱上，每个棱上有1个，共有12个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个。
2）当$n=4$时，如图（2）。
没有涂色的：把这个正方体的表面“剥去”剩下的正方体，有$2\times 2\times 2=8$个小正方体；一面涂色的：在面上，每个面上有4个，正方体共有6个面，因此一面涂色的共有24个；两面涂色的：在棱上，每个棱上有2个，正方体共有12条棱，因此两面涂色的共有24个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，正方体共有8个顶点，因此三面涂色的共有8个。
问题解决]一个边长为$n$ cm（$n\geq 3$）的正方体木块，没有涂色的：把这个正方体的表面“剥去”剩下的正方体，有$$(n-2)^3$$个小正方体；一面涂色的：在面上，共有$$6(n-2)^2$$个；两面涂色的：在棱上，共有$$12(n-2)$$个；三面涂色的：在顶点处，共有$$8$$个。
问题应用]一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1 cm的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积。
解：设大正方体的边长为$n$ cm，则根据问题解决部分的公式，$$12(n-2)=96,$$解得$n=8$，因此大正方体的体积为$$8^3=512\text{ cm}^3.$$答案：512 $\text{cm}^3$。
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三角形压轴题【教学目标】1．熟练运用三角形内角和定理及其推论．2．掌握用代数表达式表达关键角（代数思想）3．掌握对三角形内角和180°的方程式的转化表达形式4．掌握方程思想、代数思想、转化思想、等量代换的综合应用【重点难点】重点：三角形内角和定理及外角定理的综合应用。
难点：对关键角的设元，以及对方程的转化。
【考点指要】三角形压轴题是期中考试期末考试大题压轴的必考点。
复杂的三角形问题通常借助平面直角坐标系，对所学知识作综合考查。
需要学生在掌握基本模型和规范书写的基础上，对大题作预估性探索，对关键角作分析。
要在探索中寻求解决问题的办法，不要怕难题，否则下不了笔。
一、三角形外角定理的应用与代数表达1、如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：①求证：∠P=∠1+∠A+∠2；②如图2，利用上面的结论，你能求出五角星五个“角”的和吗？③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，并说明理由．2、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，P为BC上一点，设∠CDP=α，∠CPD=β，当点P 在BC 上移动时，猜想α，β与∠B 的关系，并说明理由．二．角平分线问题3、如图、CE 为△ABC 外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA（1）试判断∠BAC 与∠B 的大小关系。
（2）若∠B=30°，∠BAC=80°，求∠E 的度数。
4、（1）已知△ABC 中，BO 、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 之间的数量关系，并说明理由．（2）已知BO 、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC、∠ECB 的角平分线，BO 、CO 相交于O ，试探索∠BOC 与∠A 之间的数量关系，并说明理由．（3）已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系，并说明理由．5、如图，AE 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC ，求证：∠1=∠2．6、如图，AF 平分∠EAC ，FB 平分∠GBC ．求∠Ｄ，∠Ｃ，∠F 的关系．7、如图，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的角平分线交于Q ，∠ABC 与∠ACD 的角平分线交于A 1，当E 滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A 1的值为定值；②∠Q-∠A 1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．,三．折叠问题8．如图①，一张三角形ABC 纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上两点．（1）：如果沿直线DE 折叠，使A 点落在CE 上，则∠BDA′与∠A 的数量关系是 _________（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA 和∠A 的数量关系是 _________ B D C（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．（4）：将问题1推广，如图，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是_________ ．四．平面直角坐标系中的三角形问题9．如图,已知∠xoy＝90°,点A、B分别在射线ox,oy上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠C的大小是否随点A、B的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C的大小，如果随点A、B的移动而发生变化，请求出变化范围.10．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y 轴交于点C.(1)若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；(2)延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠∠A度数；(3)如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C）11、在直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点是A（0D是线段上AB上任一点，直线OD交直线AC于E点P。
（1）若|a-2b-c|+（a+2b）2+（b+1）2n=0（其中n为正整数），求A、B、C的坐标，并求△ABC的面积。
（2）若E点在CA边的延长线上，∠ACB与∠AED的平分线交于Q点，下面两个结论：①∠P+∠Q的值不变；②∠P－∠Q的值不变，其中只有一个结论是正确的，请选择正确的结论并给出证明，求出定值。
（3）若E 点AC 边上的延长线上，第（212、如图，直角坐标系中，A y 轴正半轴上一点，OB —OC =2，S 四边形ABO C （1）求A 点坐标；（2）设D 为线段OB 上一动点，当∠CDO AC 之间存在怎样的位置关系？并证明。
（3）当D 点在线段OB 上运动时，作DE ⊥CD 交AB 于E ，∠BED ，∠DCO 的平分线交于M ，现给出两个结论。
①∠M 的大小不变；②∠BED +∠CDO 的大小不变。
其中只有一个结论正确，请你判断哪个结论正确，并说明理由。
13、把一付学生用三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合，直角边AE 交x 轴于F ，斜边AB 交x 轴于G ，O 是AC 中点，AC=8.（1）把图1中的Rt △AED 绕A 点顺时针旋转α度 (0≤α＜90°) 得图2，此时△AGH 的面积是10，△AHF 的面积是8，分别求F 、H 、B 三点的坐标.（2）如图3，设∠AHF 的平分线和∠AGH 的平分线交于点M ，∠EFH 的平分线和∠FOC 的平分线交于点N ，当改变α的大小时，∠N +∠M 的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值.【课后作业】1、在△ABC 中（1）如图①，∠A=60°，∠B、∠C 的平分线交于点P ，求∠BPC 的度数．（2）如图②，∠A=60°，∠B、∠C 的三等分线交于点P （∠1=∠ABC，∠2=∠ACB），求∠BPC 的度数．（3）如图③，∠A=x°，∠B、∠C 的n 等分线（n≥3）交于点P ，求∠BPC 的度数．2．已知如图，△ABC(1)如图①，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，点E 是外角∠MBC ，∠BCN 的角平分线的交点。
(2)如图②，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，点E 是∠ABC 和外角∠ACH 的角平分线的交点。
(3)如图③，若P 点是∠ABC 和外角∠ACH 的角平分线的交点，点E 是外角∠MBC ，∠BCN 的角平分线的交点。
请猜测三种情况下，∠BPC 与∠E 的数量关系，并选择其中一种情况说明理由。
3、如图，在△ABC 中，∠B＜∠C＜∠A，∠BAC 和∠ABC 的外角平分线AE 、BD 分别与BC 、CA 的延长线交于E 、D ．若∠ABC=∠AEB，∠D=∠BAD．求∠BAC 的度数． 4、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，P 为线段AD 上的一个动点，PE⊥AD 交直线BC 于点E ．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E 的度数；（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．5、已知：如图1，△ABC 中，∠B＞∠C，AD 是△ABC 的角平分线，点P 是AD 上的一点，过点P 画P H⊥BC 于H（1）求证：∠DPH=（∠B﹣∠C）；（2）如图2，当点P 是线段AD 的延长线上的点时，过点P 画PH⊥BC 于H ，上述结论任然成立吗？请你作出判断并加以说明．6、如图, 直线AB 分别交x 轴、y 轴于A 、B, C 在y 轴正半轴上, 作∠OCD ＝∠OAB,CD 交OA 于D.(1) 请说明CD 与AB 的位置关系, 并予以证明；(2) ∠ADC 的平分线DE 与∠OAB 的平分线交于F, 求∠F ；(3) M 是线段AD 上任意一点(不同于A 、D), 作MN ⊥x 轴交AF 于N, 作∠ADE 与∠E B PA N A EBC P M ② ③ ① E MN H A B C PANM的平分线交于P点, 在前面的条件下, 给出下列结论：①∠P－∠MAN的值不变；②∠P的值不变. 可以证明, 其中有且只有一个结论是正确的, 请你作出正确的选择并求值.7.平面直角坐标系中，OP平分∠xoy，B为Y轴正半轴上一点，D为第四象限内一点，BD交x轴于C，过D作DE∥OP交x轴于点E，CA平分∠BCE交OP于A。
⑴若∠D=75o，如图1,求∠OAC的度数；⑵若AC、ED的延长线交于F，如图2,则∠F与∠BCO是否具有某种确定的相等关系？请写出这种关系，并证明你的结论。
⑶∠BDE的平分线交OP于G,交直线AC于M,如图3,以下两个结论:①∠GMA=∠GAM;②OAC OEDOGD ∠∠-∠2为定值,其中只有一个结论是正确的,请确定正确的结论,并结出证明.8、如图：在直角坐标系中，已知B（b，0），C（0，c），且|b+3|+（2c﹣8）2=0．（1）求B、C的坐标；（2）点A、D是第二象限内的点，点M、N分别是x轴和y轴负半轴上的点，∠ABM=∠CBO，CD∥AB，MC、NB所在直线分别交AB、CD于E、F，若∠MEA=70°，∠CFB=30°．求∠CMB﹣∠CNB的值；（3）如图：AB∥CD，Q是CD上一动点，CP平分∠DCB，BQ与CP交于点P，给出下列两个结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个是正确的，请你找出这个正确的结论并求其定值．。