高级中学文科数学解三角形部分讲练汇总整编

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2019版文科数学讲义：第四章三角函数解三角形4.1 含答案

§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3。

理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合,考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主,低档难度。

1．角的概念（1)角的分类（按旋转的方向)角错误!(2）象限角(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝｛β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2）角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝错误!rad,1 rad＝错误!°. (3）扇形的弧长公式:l＝｜α｜r，扇形的面积公式:S＝错误!lr＝错误!｜α|r2.3．任意角的三角函数的定义α为任意角,α的终边上任意一点P （异于原点）的坐标（x ，y ),它与原点的距离OP ＝r ＝错误! （r >0），则sin α＝y r ；cos α＝错误!；tan α＝错误!;cot α＝错误!；sec α＝错误!；csc α＝错误!.4．三角函数在各象限的符号规律及三角函数线（1）三角函数在各象限的符号：象限符号函数Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳsin α，csc α ＋＋－－cos α，sec α ＋－－＋tan α，cot α ＋－＋－(2)三角函数线：正弦线如图，角α的正弦线为错误!。

余弦线如图，角α的余弦线为错误!。

正切线如图，角α的正切线为错误!.知识拓展三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（×）（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（√) (3)不相等的角终边一定不相同．(×）（4)若α为第一象限角,则sin α＋cos α〉1。

高考总复习二轮文科数学精品课件专题1 三角函数与解三角形考点突破练1 三角函数的图象与性质

g(x2)=2,∴g(x1)=g(x2)= 2或 g(x1)=g(x2)=2,∴|x1-x2|=kπ,k∈N,∴|x1-x2|min=π.
7.(2023 陕西榆林二模)已知函数
π
π
2 7π
f(x)=2sin(2x+6 )在[-4 , 6 ]和[ 5 , 12 ]上都是单调
的,则 a 的取值范围是( D )
π
f(x)=2sin(ωx+6 )(ω>0),若方程|f(x)|=1
在区间(0,2π)内恰有 5 个实
根,则 ω 的取值范围是( D )
7 5
A.( , ]
6 3
解析由|f(x)|=
5 13
B.( , ]
3 6
π
|2sin(ωx+ )|=1
6
4
C.(1, ]
3
可得
π
1
sin(ωx+ )=± ,若
6
5
π·
=1,∴当
2
5
f(2)>f(1)=2,当
5
2
x=2时,f(x)< +sin
5
x=2时,得
πx 不成立,即
5
5 2
4
4
g(2)=f(2)- 5 >f(1)-5=2-5
2
=
6
>sin
5
5
5π
g(2)<sin 2 不成立,由此可在坐标系
中画出 g(x)与 y=sin πx 大致图象如图所示:
由图象可知,当 x∈(-∞,-1)∪(0,1)时,g(x)<sin πx,即
f(x)的单调递增区间为[kπ-
5π
π

解三角形(文科)解答题30题--高考数学复习提分复习资料教师版

专题2解三角形（文科）解答题30题1．（广西邕衡金卷2023届高三第二次适应性考试数学（文）试题）记ABC 的面积为S ，其内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1c =，)2214a b S +-=．(1)求C ；(2)求ABC 面积的最大值．2．（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（文科）4月20日试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求tan B 的值；(2)设3a =，1c =，求b 和△ABC 的面积．3．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A 卷））在ABC中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin cos sin )a C A A c A =-.(1)求A ；(2)a =，ABC 的外接圆圆心为点P ，求PBC 的周长.4．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）在ABC中，内角、、A B C 的对边分别为a 、b 、c ，在条件：①sin cos a C A ；()sin 0B C A ++=；③222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是______，并解答下面问题：(1)求角A 的大小；(2)若b c a +=ABC 的面积.5．（江西省宜春市丰城中学2022届高三高考模拟数学（文）试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin 2B Cb a B +⋅=，(1)求角A ；(2)若2AB AC ⋅=，求a 的最小值.6．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知锐角ABC中，()()sin sinA B A B+=-=.(1)求tan tanAB；(2)若7AB=，求ABC的面积S.7．（陕西省西安市莲湖区2022届高三下学期高考模拟考试文科数学试题）在①()cos 2cos A B C =+，②sin cos a C A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______．(1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．8．（陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考文科数学试题）如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AD 2AB =，3BC AE ==，5CD DE ==.(1)若2BE =，求()tan ABE BEA ∠+∠的值；(2)若120BCD ∠=︒，求BE 的长.（2）连接BD .在BCD △中，3BC =，CD 2235235cos1203430BD =+-⨯⨯⨯︒=-由余弦定理，得22232cos 23BE AEB BE +-∠=⨯⨯余弦定理，得22257cos BE BED +-==∠9．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=.(1)求证：2A B =；(2)若3cos 4B =，点D 为边AB 上的一点，CD 平分ACB ∠，1CD =，求边长b .中，由正弦定理可得：在ACD10．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）在①10ac =，②a =③()sin sin 6sin b A C B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值及三角形ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在,ABC 它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2,3,sin Bb bc C==___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省潮州市2022届高三下学期二模数学试题）已知在ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，a ，b ，c 为三边，2cos c b B =，2π3C =．(1)求角B 的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC 边上的中线的长度．①ABC 的面积为4；②ABC 的周长为4+的三个12．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设ABC的面积为S．且有关系式：内角A，B，C所对的边长为a，b，c，ABC2+=+．cos2cos22cos2sin sinA B C A B(1)求C；(2)求2cS的最小值．13．（广西四市2022届高三4月教学质量检测数学（文）试题）设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=．(1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=；(2)若3A B =，求B 的值．14．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ､b ､c ，已知2222cos cos b c a ac C c A +-=+.(1)求角A 的大小；(2)若5a =，2c =，求ABC 的面积.15．（江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试数学（文）试题）如图，锐角OAB 中，OA OB =，延长BA 到C ，使得3AC =，4AOC π∠=，sin 3OAC =∠.(1)求OC ；(2)求sin BOC ∠.16．（江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考数学（文）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：sin sin 2B C b a B +=，条件②：1cos 2b a Cc =+，条件③：tan (2)tan b A c b B =-这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=，求a 的最小值．17．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan cos 2cos C B C A =-且角A 为锐角.(1)求角B ；(2)若ABC b 的最小值.18．（宁夏银川一中2022届高三二模数学（文）试题）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积tan S B =⋅.(1)求B ；(2)若a 、b 、c 成等差数列，ABC ∆的面积为32，求2b .19．（宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（文）试题）已知函数()f x m n =⋅，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =-，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a =c b +的最大值.20．（内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试文科数学试题（A 卷））如图所示，经过村庄B 有两条夹角为60︒的公路BA 和BC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F ，分别在两条公路边上建两个仓库D 和E （异于村庄B ），设计要求3FD FE DE ===（单位：千米）.(1)若30BDE ∠=︒，求BF 的值（保留根号）；(2)若设BDE θ∠=，当θ为何值时，工厂产生的噪音对村庄B 的居民影响最小（即工厂F 与村庄B 的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1 1.732≈）21．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin b c C B c a A +-=-(1)求B ；(2)若2a =，b =ABC 的面积．22．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在①23coscos cos 24A C A C --=；②()22sin sin sin 3sin sin A C B A C +=+；③2cos 2b C c a +=这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角B 的大小；(2)若a c +=ABC 周长的最小值.23．（陕西省宝鸡中学2022届高三下学期高考模拟文科数学试题）已知())cos ,cos ,,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅ ，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a 22b c +的取值范围.24．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学（文）试题）已知ABC 的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若角A B C ，，成等差数列，且2b =，（1）求ABC 的外接圆直径；（2）求a c +的取值范围.25．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知()()sin sin a B C b c B +=+，D 为边BC 的中点．(1)证明：2A B =；(2)若π3A =，AD ABC 的周长l ．26．（河南省平顶山市汝州市2022届高三3月联考文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S AB AC →→=⋅.(2)延长AC 至点D ，使得CD ＝AC ，且BD ＝2BC ，若c ＝6，求△ABC 的周长.27．（甘肃省酒泉市2022届高三5月联考文科数学试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 26A C b C ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)若a b =，P 为ABC 内一点，2PA =，4PC =，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①BP CP ⊥；②PB =；③150∠= BPA ．28．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin b A B =，求ABC 面积的最大值．29．（河南省2022-2023年度高三模拟考试数学（文科）试题）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(sin sin )sin sin a A C c C b B -+=.(1)求角B ；(2)若5b =，求ABC 周长的最大值.30．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos sin b c a B B +=+．(1)求角A 的大小；(2)若D 是BC 边上一点，且2CD DB =，若2AD =，求△ABC 面积的最大值．因为2CD DB=，23 AD AB=由222133AD AB AC⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以。

文科数学解三角形专题高考题练习附答案

文科数学解三角形专题高考题练习附答案解三角形专题练习1、在b 、c ，向量()2sin ,3m B =-，2cos 2,2cos 12B n B ?=- ??，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小；（II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。

2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；（II ）若2=?BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 3、在ABC ?中，5cos 5A =，10cos 10B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2AB =，求ABC ?的面积.4、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=r u r r满足（I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.5、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l.求：（I ）角C 的大小；（II ）△ABC 最短边的长.7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c o s c o s B C ba c=-+2. （I ）求角B 的大小；（II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积. 8、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. 9、（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。

解三角形题型汇总(最新人教版优质教案)( 含解析 )

解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos Bcos C=-b2a+c，②sin Asin B-sin C=b+ca+c，③2S=-3BA⋅BC三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且______，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足∠ACD=π3，AD=3，求BC的取值范围.例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD中∠BAC=90∘，∠ABC=30∘，AD⊥CD，设∠ACD=θ.(1)若ΔABC面积是ΔACD面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB=π6，求tanθ.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A=150∘，点D在边BC上，满足CD=2BD，且sin∠BADb+sin∠CADc=32a．(1)求证：AD=13a；(2)求cos∠ADC．例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设(sin A +sin B+sin C)⋅(sin A+sin B-sin C)=2sin A sin B.(1)求C；(2)若D为BC边上的点，M为AD上的点，CD=1，∠CAB=∠MB D=∠D MB.求AM．例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD中，AB2+BC2+AB⋅BC=AC2．(1)若AB=3BC=3，求△ABC的面积；(2)若CD=3BC，∠CAD=30∘，∠BCD=120∘，求∠ACB的值．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D .(1)证明：AB AC=DB DC ，AD 2=AB ⋅AC -DB ⋅DC ；(2)若AD =1，A =2π3，求DB ⋅DC 的最小值.例⒔(2022·湖北武汉·二模)如图，△ABC内一点P满足PB⊥PC,AC=BP=2.(1)若AB=6,PC=2，求sin∠ACP的值；(2)若AB=5,sin∠ACP=110，求AP的长.例⒕(2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习)如图，在凸四边形ABCD中，已知AB=AD=4，BC=6．(1)若∠ADB=π6，C=π3，求cos∠BDC的值；(2)若CD=2，四边形ABCD的面积为4，求cos A+C的值．例⒖(2021·全国·高考真题)记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC 上，BD sin∠ABC=a sin C.(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.例⒗(2022·全国·高三专题练习(理))如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC= 90°．(1)证明：cos∠ADB+sin C=0；(2)若AB=27，BC=2，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．①sin∠ABC=32114；②AC=3AD．注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．例⒘(2022·重庆·二模)已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S△AMNS△ABC的最大值.题型三：张角定理与等面积法例⒙(广东省2022届高三三模数学试题)已知△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2a sin A= 2b+csin B+2c+bsin C.(1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=2，b=3，求△ABC的面积.例⒚(2022·湖北武汉·模拟预测)在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c -b sin C =a -b sin A +sin B(1)求A ；(2)若D 为BC 上的点，AD 平分角A ，且c =32，AD =3，求BD DC.例⒛(2022·辽宁·高一期中)如图，在△ABC 中，AB =2，3sin 2B -2cos B -2=0，且点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC =2π3，求AD 的长；(2)若BD =2DC ，sin ∠BAD sin ∠CAD=42，求△ABD 的面积．例21(2022·江苏·华罗庚中学三模)在△ABC 中，已知AB =4，AC =5，cos B =57. (1)求sin A 的值；(2)若AD 是∠BAC 的角平分线，求AD 的长．例22(2022·山东淄博·三模)已知函数f(x)=3sinωx cosωx-cos2ωx+12(ω>0)，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为4+π2 4．(1)求函数f(x)的解析式；(2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=4，bc=12，f(A)=1．若角A的平分线AD交BC于D，求AD的长．例23(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习(理))在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2b cos C=2a+c．(1)求角B的大小；(2)若b=23，D为AC边上的一点，BD=1，且______，求△ABC的面积．①BD是∠B的平分线；②D为线段AC的中点．(从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)．题型四：角平分线问题例24(2022·北京·首都师范大学附属中学三模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且3sin π6+B +sin π3-B =0.(1)求∠B 的值；(2)给出以下三个条件：条件①：a 2-b 2+c 2-3c =0；条件②a =3；条件③S △ABC =1534.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：(i )求sin A 的值；(ii )求∠ABC 的角平分线BD 的长.例25(2022·江苏·南京师大附中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2c b=1+tan A tan B .(1)求角A ；(2)角A 的内角平分线交BC 于点M ，若a =47，AM =33，求sin ∠AMC .例26(2022·北京八十中模拟预测)在△ABC中，3sin B+π6=-cos B+π6.(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：①a2-b2+c2+3c=0；②a=3，b=1；③S△ABC=1534，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin A的值；(ii)求∠ABC的角平分线BD的长.例27(2022·河南·模拟预测(理))如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠ACB的平分线分别交AB，AD于E，F两点．(1)证明：sin∠ABC⋅sin∠CAD=sin∠ACB⋅sin∠BAD；(2)若∠BAC=π2，sin∠ABC=23，AD=32，求DE．例28(2022·广东佛山·三模)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b sin A+3a cos B= 0，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2．(1)求B；(2)若a=3，求b．例29(2022·山东潍坊·模拟预测)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为3a2+b2-c24．(1)求∠C；(2)若∠A=π2，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求cos∠ADB．题型五：中线问题例30(2022·广东佛山·高三期末)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C=(2b-c) cos A.(1)求角A的大小；(2)若b=2,BC边上的中线AD=3，求△ABC的面积.例31(2022·全国·模拟预测)在△ABC中．sin A cos A-π6=34．(1)求角A；(2)若AC=8，点D是线段BC的中点，DE⊥AC于点E，且DE=334，求CE的长．例32(2022·海南海口·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=π3，b=75a．(1)求sin A；(2)若a=5，AB边的中点为D，求CD．例33(2022·山东·烟台二中模拟预测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C+3c sin Ba+c=1．(1)求角B的大小；(2)设D，E分别为边AB，BC的中点，已知△BCD的周长为3+3，且AECD=192，若c<5a，求a．例34(2022·新疆克拉玛依·三模(理))在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若2a2=a2+c2-b21-sin B cos B．(1)求角C；(2)若c=210，sin A=1010，D为AC的中点，求BD的长度．例35(2022·湖北·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2+c2-a2=2ab sin C.(1)求角A；(2)若AB=32,AC=3，点P在线段BC上，且CP=13CB,Q是线段AC中点，AP与BQ交于点M，求cos∠A MB.例36(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=b cos C+33c sin B．(1)求B；(2)若c=1，a=3，AC的中点为D，求BD的长．题型六：高问题例37(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2-b2=c a cos B-b2．(1)求角A的大小；(2)若c=8，△ABC的面积为43，求BC边上的高．例38(2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测)从①A为锐角且sin B-cos C=c2-a22ab；②b=2a sin C+π6这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C 的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若b=34c且BC边上的高AD为23，求CD的长．例39(2022·北京房山·二模)在△ABC中，a cos B+12b=c,b=2.(1)求∠A；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上的高.条件①：cos B=-23；条件②：sin B=22；条件③：△ABC的面积为3+32.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.例40(2022·山东青岛·一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B-sin C2=sin2A -sin B sin C．(1)求角A；(2)若b=5，BC边上的高为1077，求边c．例41(2022·福建·模拟预测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c-b=2a cos B.(1)求角A；(2)若3b2sin B+c-b2cos B=7，b-c=2，求BC边上的高.题型七：重心性质及其应用例42(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)如图，在△ABC 中，已知AB =2，AC =23，∠BAC =30°，BC 边上的中线AM 与∠ABC 的角平分线BN 相交于点P ．(1)∠MPN 的余弦值．(2)求四边形PMCN 的面积.例43(2022·全国·高三专题练习)G 是△ABC 的重心，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，若20aGA +15bGB+12cGC =0 ，则cos A =( )A.0B.35C.45D.1例44(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B +3a sin B=c +1，b =1，点G 是△ABC 的重心，且AG =213，则△ABC 的面积为( )A.32B.3C.3D.23例45(2022·全国·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的外接圆的面积为π，b -c sin B +2sin 2C =a sin A ．(1)求A ；(2)AD 是角A 的平分线，若BD =3DC ，△ABC 的重心为G ，求AG 的长．题型八：外心及外接圆问题例46(2022·全国·高三专题练习)设O 为△ABC 的外心，若AO =AB +2AC ，则sin ∠BAC 的值为___________.例47(2022·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习)在△ABC 中，AB =4，AC =6，BC =5，点O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ=( )A.23B.35C.47D.59例48(2022·广东·模拟预测)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A .从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心；③O 为△ABC 的重心.(1)求A ；(2)若b =6,c =10，__________，求△OBC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.例49(2022·黑龙江齐齐哈尔·二模(理))△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A ．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．(1)求A ；(2)若b =3,c =5，________，求△OBC 的面积．例50(2022·江苏省白蒲高级中学高三阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；3b=4c，cos C=45.(1)求cos A的值；(2)若△ABC的外心在其外部，a=7，求△ABC外接圆的面积.例51(2022·辽宁·三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A=π3，c=4.(1)若sin B-cos B=22，求△ABC外接圆的直径；(2)若a=13，求△ABC的周长.例52(2022·四川·树德中学模拟预测(理))已知的数f x =3sin x2cosx2-cos2x2+12．(1)求f x 的单调增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f A =12，a=3，求△ABC外接圆的面积．例53(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B -C =cos A 23b sin C -a .以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3.(1)求A ；(2)若a =3，△O 1O 2O 3的面积为7312，求△ABC 的周长.题型九：两边夹问题例54(2021•双流区校级模拟)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A +sin A -2sin B +cos B=0，则a +b c 的值是( )A.2 B.3 C.2 D.1例55(2020•苏州二模)在ΔABC中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若2sin2B+3sin2C= 2sin A sin B sin C+sin2A，则tan A= ．例56(2013•成都模拟)在ΔABC中，若(cos A+sin A)(cos B+sin B)=2，则角C= ．例57(2018•如皋市二模)在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，设S是ΔABC的面积，若b2+ c2=13a2+433S，则角A的值是．题型十：内心及内切圆问题例58(2022·全国·高三专题练习)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，a=6，b+12cos B=2c.(1)求A的大小；(2)M为△ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，________，求△ABC的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使△ABC存在，并解决问题.①M为△ABC的外心，AM=4；②M为△ABC的垂心，MD=3；③M为△ABC的内心，AD=33.例59(2022·安徽·芜湖一中一模(理))已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C= sin A2-cos A(1)求b c的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN⎳BC且c=2，求a的值．例60(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A 为锐角，a =32，AB ⋅AC =3，再从条件①：b sin B +C 2=a sin B ，条件②：b tan A =(2c -b )tan B ，这两个条件中选择一个作为已知.求：(1)角A ；(2)△ABC 的内切圆半径r .例61(2022·陕西·武功县普集高级中学一模(文))在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b =4，c =2，且sin C =sin B +sin (A -B )．(1)求角A 和边a 的大小；(2)求△ABC 的内切圆半径．例62例62．(2022·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AD 平分∠BAC .(1)求证：BDDC =AB AC；(2)若AC =2，CD =1，AD =322，求△ABC 的内切圆面积.例63(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3b sin C-c cos B tan C=a.(1)求角A；(2)若△ABC的内切圆面积为4π，求△ABC面积S的最小值.例64(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =23sin x cos x+2cos2x(1)求函数f x =23sin x cos x+2cos2x的对称轴；对称中心；单调递增区间；(2)在ΔABC中，a,b,c分别是A,B,C所对的边，当f A =2，a=2时，求ΔABC内切圆面积的最大值.例65(2022·河南南阳·高三期末(理))在△ABC中，3sin C+cos C=sin B+sin Csin A.(1)求A；(2)若△ABC的内切圆半径r=2，求AB+AC的最小值.例66(2022·陕西·模拟预测(文))已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a =6,b =54c ,A =2C ，设O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为_________．例67(2022·全国·高三专题练习)已知点O 是ABC 的内心，若AO =49AB +19AC ，则cos ∠BAC =( )A.15B.16C.18D.19解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos B cos C =-b 2a +c ，②sin A sin B -sin C =b +c a +c ，③2S =-3BA ⋅BC 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB ⊥AD ，使得四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =3，求BC 的取值范围.【答案】(0,2).【解析】根据题意，选择①②③求得B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理求得AC =2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理求得可得BC =43sin θ+π6 ⋅sin θ=233sin 2θ-π3 +1，结合0<θ<π3和三角函数的性质，即可求解.【详解】若选①：由cos B cos C =-b 2a +c ，根据正弦定理可得cos B cos C =-sin B 2sin A +sin C，即2sin A cos B +sin C cos B =-sin B cos C ，即2sin A cos B =-sin B cos C -sin C cos B =-sin B +C =-sin A ，可得cos B =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).选②：由sin A sin B -sin C =b +c a +c ，根据正弦定理可得a b -c =b +c a +c ，可得a 2+ac =b 2-c 2，即a 2+c 2-b 2=-ac ，又由余弦定理，可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-ac 2ac =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).若选③：由2S =-3BA ⋅BC ，可得2×12ac sin B =-3ac cos B ，即sin B =-3cos B ，可得tan B =-3，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD 中∠BAC =90∘，∠ABC =30∘，AD ⊥CD ，设∠ACD =θ.(1)若ΔABC 面积是ΔACD 面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB =π6，求tan θ.【答案】(1)sin2θ=32(2)tan θ=32【解析】(1)设AC =a ，可求AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S △ABC =4S △ACD ，利用三角形的面积公式即可求解；(2)在△ABD 中，△BCD 中，分别应用正弦定理，联立可得2sin π3+θ=3sin θ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】(1)设AC =a ，则AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S ΔABC =4S ΔACD ，则12a ⋅3a =4⋅12a cos θ⋅a sin θ，所以sin2θ=32.(2)由正弦定理，ΔABD 中，BD sin ∠BAD =AB sin ∠ADB ，即BD sin π-θ =3a sin π6①ΔBCD 中，BD sin ∠BCD =BC sin ∠CDB ，即BD sin π3+θ =2asin π3②①÷②得：2sin π3+θ=3sin θ，化简得3cos θ=2sin θ，所以tan θ=32.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，A =150∘，点D 在边BC 上，满足CD =2BD ，且sin ∠BAD b+sin ∠CAD c =32a ．(1)求证：AD =13a ；(2)求cos ∠ADC ．【答案】(1)证明见解析(2)1314【解析】(1)分别在△ABD 和△ACD 中利用正弦定理表示出sin ∠BAD ,sin ∠DAC ，，代入已知等式化简整理即可得到结果；(2)根据∠ADB =-∠ADC ，在△ABD 和△ACD 利用余弦定理可整理得到a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，利用余弦定理可得c =3b ，进而得到a =7b ，代入cos ∠ADC 中即可求得结果.(1)∵CD =2BD ，∴CD =23a ，BD =13a ；在△ABD 中，由正弦定理得：sin ∠BAD =BD sin B AD =a sin B3AD ；在△ACD 中，由正弦定理得：sin ∠DAC =CD sin C AD =2a sin C3AD；又sin B b=sin C c =sin A a =12a ，∴sin ∠BAD b +sin ∠CAD c =a sin B 3b ⋅AD +2a sin C 3c ⋅AD =a 3AD ⋅12a +2a 3AD ⋅12a=32a ，即9AD =3a ，∴AD =13a .(2)在△ABD 中，由余弦定理得：cos ∠ADB =BD 2+AD 2-AB 22BD ⋅AD =2a 2-9c 22a 2；在△ACD 中，由余弦定理得：cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =5a 2-9b 24a 2；∵∠ADB +∠ADC =180∘，∴∠ADB =-∠ADC ，即2a 2-9c 22a 2=-5a 2-9b 24a 2，整理可得：a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-a 22bc =-32，则-c 22bc =-c 2b =-32，∴c =3b ，∴a 2-b 2=6b 2，即a =7b ；∴cos ∠ADC =5a 2-9b 24a 2=35b 2-9b 228b 2=1314.例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA=α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．【答案】(1)证明见解析(2)PC =105【解析】(1)由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，即要证明sin ∠ABC =sin ∠APB 即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；(2)由题意求得PB =sin α，继而求得PC =2sin α，在△PAB 中利用余弦定理求得sin α=55，即可求得答案.(1)证明：在△ABP 中，由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，要证明PB sin ∠ABC =AB sin α，只需证明sin ∠ABC =sin ∠APB ，在△ABP 中，∠APB =π-α+∠ABP ，在△ABC 中，∠ABC =α+∠ABP ，所以∠APB =π-∠ABC ，所以sin ∠APB =sin π-∠ABC =sin ∠ABC ，所以PB sin ∠ABC =AB sin α．(2)由(1)知PB sin ∠ABC =AB sin α，又因为∠ABC =90∘，AB =1，所以PB =sin α，由已知得△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BCA =∠CAB =π4，则∠BCP =π4-α，所以在△PBC 中，∠BPC =π-π4-α -α=3π4，由正弦定理得BC sin ∠BPC =PCsin ∠PBC，即1sin 3π4=PC sin α，即PC =2sin α．由余弦定理得sin 2α+2sin α 2-2sin α2sin α cos 3π4=1，由题意知sin α>0，故解得sin α=55，所以PC =105．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．【答案】(1)73；(2)tan ∠ABD =233．【解析】(1)△ABC 中，利用含∠ABC 的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得△ABC 面积，再利用面积关系求△ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用∠ABD 表示出△ABC 与△BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ∠ABD 的方程，解之即得.【详解】(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC 得：28=22+x 2-2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x -24=0，而x >0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12⋅2⋅4⋅32=23，梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S △ABC2=53，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =73；(2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ，则∠BDC =α，∠BAC =π2-α，∠DBC =2π3-a ，∠BCA =α-π6，在△ABC 中，由正弦定理AB sin ∠BCA =BC sin ∠BAC 得：2sin α-π6 =BCsin π2-α ，在△BDC 中，由正弦定理CD sin ∠DBC =BC sin ∠BDC 得：5sin 2π3-α =BCsin α，两式相除得：2sin 2π3-α 5sin α-π6 =sin αsin π2-α ⇒2⋅32cos α+12sin α5⋅32sin α-12cos α =sin αcos α，整理得53sin 2α-7sin αcos α-23cos 2α=0，即53tan 2α-7tan α-23=0解得tan α=233或tan α=-35，因为α∈π6,π2，则tan α=233，即tan ∠ABD =233．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．【答案】(1)25(2)210-22【解析】(1)根据cos ∠ABD =53求得tan ∠ABD ，再结合AD =22求解即可(2)设∠ADB =θ，再在△BCD 中利用正弦定理得出关于θ的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可(1)由cos ∠ABD =53可得tan ∠ABD =32-525=25，又AD =22故AB =ADtan ∠ABD =10，故S △ABD =12AB ⋅AD =25(2)设∠ADB =θ，则cos θ=22BD ，∠C =θ+π6，在△BCD 中，由正弦定理可得BD sin C =DCsin ∠DBC，即22cos θsin θ+π6=42sin 2π3-θ ，交叉相乘化简得sin 2π3-θ =2cos θ⋅sin θ+π6 ，即sin θ+π3 =3cos θ⋅sin θ+cos 2θ，利用降幂公式有sin θ+π3 =32sin2θ+12cos2θ+12，利用辅助角公式有sin θ+π3 =sin 2θ+π6 +12，故sin θ+π3 =sin 2θ+2π3-π2 +12，利用诱导公式可得sin θ+π3 =-cos 2θ+2π3 +12=2sin 2θ+π3 -12，故2sin 2θ+π3 -sin θ+π3 -12=0，又sin θ+π3 >0，解得sin θ+π3 =1+54，又由正弦定理有42sin 2π3-θ =BC sinπ6，故BC =22sin θ+π3=221+54=210-22例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，设(sin A+sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B .(1)求C ；(2)若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，CD =1，∠CAB =∠MB D =∠D MB.求AM ．【答案】(1)C =90∘；(2)2【解析】(1)根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；(2)设∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，将三角形中其余角用θ表示出来，结合CD =1，表示边长，即可解出.【详解】(1)由(sin A +sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B ，得a +b 2-c 2=2ab ，即a 2+b 2=c 2∴C =90∘；(2)令∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，则在ΔA MB 中，∠MB A =90∘-2θ,∠BMA =180∘-θ由正弦定理得：AM sin 90∘-2θ =AB sin 180∘-θ ，即AM =AB ⋅cos2θsin θ在ΔACD 中，∠ACD =90∘,∠CDA =2θ由正切定义：AC =tan2θ在ΔACB 中，∠ACB =90∘,∠BAC =θ由正切定义：AB =AC cos θ=tan2θcos θ，∴AM =tan2θcos θ⋅cos2θsin θ=2例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD 中，AB 2+BC 2+AB ⋅BC =AC 2．(1)若AB =3BC =3，求△ABC 的面积；(2)若CD =3BC ，∠CAD =30∘，∠BCD =120∘，求∠ACB 的值．【答案】(1)334(2)∠ACB =45∘【解析】(1)依据题意求得角B ，利用正弦定理去求△ABC 的面积；(2)利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB 的值．(1)在△ABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =-AB ⋅BC 2AB ⋅BC =-12，因为0∘<B <180∘，所以B =120∘．S △ABC =12AB ⋅BC sin120∘=12×3×1×32=334．(2)设∠ACB =θ，则∠ACD =120∘-θ，∠ADC =30∘+θ，∠BAC =60∘-θ．在△ACD 中，由AC sin 30∘+θ =CDsin30∘，得AC =sin 30∘+θ sin30∘CD ．在△ABC 中，由AC sin120∘=BC sin 60∘-θ ，得AC =sin120∘sin 60∘-θBC ．联立上式，并由CD=3BC得3sin30∘+θsin30∘=sin120∘sin60∘-θ，整理得sin30∘+θsin60∘-θ=14，所以sin60∘+2θ=12，因为0∘<θ<60∘，所以60∘<60∘+2θ<180∘，所以60∘+2θ=150∘，解得θ=45∘，即∠ACB的值为45∘．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析(2)9158【解析】(1)选择①，由正弦定理及角度关系推出∠BAC=∠DAC及sin∠ACB=2sin∠ACD，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出∠BAC=∠DAC，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到∠BAC=∠DAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；(2)在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出AD的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.(1)方案一：选条件①.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC=ADsin∠ACD，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC，因为AB=2AD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案二：选条件②.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC.因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案三：选条件③.因为S△ABC=12BC⋅AC⋅sin∠ACB，S△ACD=12CD⋅AC⋅sin∠ACD，且BC=CD，S△ABC=2S△ACD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.(2)选择①②③，答案均相同，由(1)可设AD =x ，则AB =2x ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =4x 2-58x ，在△ACD 中，由余弦定理得，cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =x 2-54x ，因为cos ∠ABC =cos π-∠ADC =-cos ∠ADC ，所以4x 2-58x =-x 2-54x ，解得x =102或x =-102(舍去)，所以cos ∠ABC =108，所以sin ∠ABC =sin ∠ADC =1-1082=368，所以四边形ABCD 的面积S =3S △ACD =32AD ⋅CD ⋅sin ∠ADC =9158.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .【答案】(1)13(2)23【解析】(1)应用三角形面积公式有S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC ，可求AB ，由余弦定理即可求AC ；(2)设∠DAC =α，在Rt △ACD 中AC =AD sin π2-α ，在△ABC 中应用正弦定理有BCsin ∠BAC =ACsin ∠ABC ，即可求tan α，得解.(1)在△ABC 中，BC =4，∠ABC =π3，∴S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =33，可得AB =3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =13，∴AC =13.(2)设∠DAC =α，则∠ACD =π2-α，在Rt △ACD 中，AD =33，易知：AC =AD sin π2-α =33cos α，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC =AC sin ∠ABC ，即4sin α=3332cos α，∴2cos α=3sin α，可得tan α=23，即tan ∠DAC =23.例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .【答案】(1)3414；(2)cos ∠ACD =33.【解析】(1)利用余弦定理求出AC ，cos ∠ACB ，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.(2)在△ABC 和△ACD 中用正弦定理求出AC ，再借助同角公式求解作答.(1)当BC =2时，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC ，即AC 2=3-22cos 3π4=5，解得AC =5，cos ∠ACB =AC 2+BC 2-AB 22AC ⋅BC=31010，因为∠BCD =π2，则sin ∠ACD =cos ∠ACB =31010，又CD =7，所以△ACD 的面积是S △ACD =12AC ⋅CD sin ∠ACD =125×7×31010=3414.(2)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin ∠ACB =AC sin ∠ABC ，即AC =AB sin 3π4sin ∠ACB =22cos ∠ACD ，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin ∠ACD =AC sin ∠ADC ，即AC =AD sin π6sin ∠ACD =1sin ∠ACD ，则22cos ∠ACD =1sin ∠ACD，整理得sin ∠ACD =2cos ∠ACD ，而sin 2∠ACD +cos 2∠ACD =1，∠ACD 为锐角，所以cos∠ACD=3 3.题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：ABAC=DBDC，AD2=AB⋅AC-DB⋅DC；(2)若AD=1，A=2π3，求DB⋅DC的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】(1)根据题意得到sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理得到ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得到ABAC=DBDC，进而得到BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，根据余弦定理，并代入化简，即可求解.(2)根据S△ABD+S△ACD=S△ABC，得到b+c=bc，结合基本不等式求得bc≥4，进而求得DB⋅DC=bc -1，即可求解.(1)解：在△ABD和△BCD中，可得∠BAD=∠CAD，∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理，得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得ABAC=DBDC，可得BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，又由cos∠ABD=cos∠ABC，根据余弦定理得AB2+BD2-AD22AB⋅BD=AB2+BC2-AC22AB⋅BC所以AD2=AB2+BD2-BDBC AB2+BC2-AC2=DCBC AB2+BDBC AC2-BD BC-BD代入可得AD2=ACAB+AC AB2+ABAB+AC AC2-BD⋅DC=AB⋅AC ABAB+AC+AC AB+AC-BD⋅DC=AB⋅AC-BD⋅DC.(2)解：由AD=1，A=2π3及S△ABD+S△ACD=S△ABC，可得b+c=bc根据基本不等式得bc=b+c≥2bc，解得bc≥4，当且仅当b=c=2时等号成立，。

专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类-(原卷版)

专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】三角函数求解析式：“识图”................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域................................................................................................ 3 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 4 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 5 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴................................................................................................ 6 【题型六】解三角形1：面积与周长常规................................................................................................ 8 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 9 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ...................................................................................... 10 【题型九】解三角形4：周长最值 ......................................................................................................... 11 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ...................................................................... 11 【题型十一】解三角形6：最值范围综合.............................................................................................. 12 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟测试 .. (14)【题型一】三角函数求解析式：“识图”【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：(1)求()f x ；(2)若2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,πα∈，求cos2α的值．3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A ωϕωϕπ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【题型二】图像与性质1：单调性与值域【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【变式演练】1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2sin cos cos 04f x x x x ππωωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求()f x 图象的对称轴方程；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在①sin α=①2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________. (1)求tan α的值；(2)3)cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式演练】1.（2022·北京·二模）已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围．条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件①：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．条件①：π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件①：()f x 为偶函数；条件①：()f x 的最大值为1；条件①：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2sin cos f x a x x x x =∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件①：6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()π2sin()3f x x =+．(1)若不等式()3f x m -≤对任意ππ[,]63x ∈-恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()π()2g x f x =-，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()102h x k -=在π5π[,]1212x ∈-上有2个不同实数解，求实数k 的取值范围．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递减区间；(3)若函数()()g x f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）【题型五】图像与性质4：零点与对称轴【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【题型六】解三角形1：面积与周长常规【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）在ABC 中，点,M N 分别在线段,BC BA 上，且,BM CM ACN BCN =∠=∠，3,22AB AM AC ===．(1)求BM 的长;(2)求BCN △的面积．【变式演练】1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin2sin =a b c C C ． (1)求C ∠；(2)若1b =，且ABCABC 的周长．2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，)tan tan tan tan 1+=B C B C . (1)求角A 的大小；(2)若1a =，21)0c b -=，求ABC 的面积.3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0B b A -=. (1)求A ；(2)若c =a =ABC 的面积.【题型七】解三角形2：计算角度与函数值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.【变式演练】1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=. (1)求角C 的大小；(2)若c =4a b +=，求ABC 的面积.(3)若cos =A ，求()sin 2A C -的值.2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ，周长为1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)222S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若2a c =，求sin C ．【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）【典例分析】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A B C B C -=. (1)求A ；(2)若a =ABC 面积的最大值.【变式演练】1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 面积的最大值.2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin cos sin (2cos )A B B A =-．(1)若b c +，求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【题型九】解三角形4：周长最值【典例分析】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABCABC 周长的取值范围.【变式演练】1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()2cos cos 0a c B b C --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的最大值.2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件①12=，条件①：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，= (1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型【典例分析】（2022·四川成都·模拟预测（理））①ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，tan tan 2tan tan A AB C bc，cos cos 1b C c B +=．(1)求角A 及边a ； (2)求2b c +的最大值．【变式演练】1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos2B C B C A -=+． (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +的最大值．2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin B c a C b c a b -=+-，①23cos cos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【题型十一】解三角形6：最值范围综合【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）记ABC 内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B CB A A=-.(1)求证：2222b c a +=；(2)求2abc 的取值范围.【变式演练】1.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已cos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形且c =22a b +的取值范围．2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan bB a =．(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论； (2)求cos cos cos A B C ++的取值范围．1．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ． 3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c 1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7．（山东·高考真题）已知函数()2sin 2y x ϕ=+，x ∈R ，π02ϕ<<，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值：（2）函数的单调递增区间．8．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量(sin a x =，(1,cos )b x =．(1)若a b ⊥，求sin 2x 的值；(2)令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()3,sin 26f x x x a a a g x x π⎛⎫=--+∈=+ ⎪⎝⎭R ．(1)若()f x 为奇函数，求实数a 的值；(2)若对任意[]10,1x ∈，总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==.(1)求cos C ;(2)若5a =，求c .7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=． (1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=； (2)若3A B =，求B 的值．8.（2022·全国·高三专题练习）在①2cos cos c b B a A -=；①sin cos 2AA =；()sin a C C =，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若__________．（填条件序号） (1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①sin (sin sin )sin a A c C A b B +-=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =______________. (1)求角B ；(2)求a c +的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10.（2022·山东烟台·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边BC 上，3AB =，2AC =． (1)若AD 是BAC ∠的角平分线，求:BD DC ；(2)若AD 是边BC 上的中线，且AD =，求BC ．12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos210cos 10A A +-=，①sin cos A A -=①tan 2A =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______ (1)求cos A ；(2)sin sin B C 的最大值．。

文科数学高考真题分类汇编三角函数的图象与性质答案

将 y = f (x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的
函数为 g (x ) ，则 g( x) = Asin x .
若
g
4
=
2
，则 g
4
=
Asin
4
=
2A= 2
2 ，即 A = 2 ，
所以
f
(x) = 2sin 2x ，则
f
3 8
=
2
sin
2
31．A【解析】 = 2 (x + ) [5 , 9 ] 不合题意排除 D． 4 44
= 1 (x + ) [3 , 5 ] 合题意排除 B，C． 4 44
另： (
−
)
2， (x +
) [
+
, +
]
[
, 3
]
2
42 4
4 22
得： + , + 3 1 5
2 42
42 2
4
32．B【解析】由于
4
4
2
即
=
k
+ 3
，所以
3
的最小正值是为
．
28
8
21．D【解析】函数 y
=
sin
x
的图象向左平移
个单位，得到函数
f
(x) =
sin( x +
)=
2
2
cos x 的图象， f (x) = cos x 为偶函数，排除 A； f (x) = cos x 的周期为2 ，排除 B；
因为 f ( ) = cos = 0 ，所以 f (x) = cos x 不关于直线 x = 对称，排除 C；故选 D．

高考文科数学三角函数的图像和性质专项讲解

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第二部分
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期 T＝2|ωπ|.应特别注意 y＝
π
|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为 T＝|ω|.
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第二部分专题一三角函数与解三角形
7
【解析】
(1)A
中，函数
f(x)＝|cos
π 2x|的周期为 2 ，当
x∈π4 ，π2 时，2x∈π2 ，π，
函数
f(x)单调递增，故
A
正确；B
中，函数
f(x)＝|sin
π 2x|的周期为 2 ，当
x∈π4 ，π2
时，2x∈π2 ，π，函数 f(x)单调递减，故 B 不正确；C 中，函数 f(x)＝cos|x|＝cos x
第二部分高考热点分层突破
专题一三角函数与解三角形
第1讲三角函数的图象与性质
数学
第二部分专题一三角函数与解三角形
1
01
做高考真题明命题趋向
02
研考点考向破重点难点
03
练典型习题提数学素养
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第二部分专题一三角函数与解三角形
2
考点 3 三角函数的性质(综合型) [知识整合]
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第二部分专题一三角函数与解三角形
25
2．若存在实数 φ，使得圆面 x2＋y2≤4 恰好覆盖函数 y＝sinπk x＋φ图象的最高点
或最低点共三个，则正数 k 的取值范围是________．解析：函数 y＝sinπk x＋φ的图象的最高点或最低点一定在直线 y＝±1 上，由

高考文科数学真题汇编：解三角形高考题老师版

则 A=
（ A ） 3π（ B） π（ C ） π（ D ） π
4
3
4
6
【答案】 C
考点：余弦定理 18、 2018 年高考北京卷文 )在 △ABC 中，
2
b
A
， a= 3 c，则 =_________.
3
c
试题分析：由正弦定理知 sin A a sin C c
3 ，所以 sin C
sin 2 3 3
D. 3－ 1
11、 (2019 新标 1 文 ) 已知锐角 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ， 23cos 2 A cos2A 0 ，
a 7， c 6，则 b （ D ）
（ A） 10
（ B） 9
（C） 8
（D） 5
1 12．（ 2019 辽宁）在△ ABC 中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 asin Bcos C＋ csin B cos A＝ 2b，
【简解】 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,sin(B+C)=sin 2A,sinA=1,A= .选 B
2 15、（ 2018 年新课标Ⅰ卷文） △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a
则 b=
2 5 ， c 2 ， cos A ，
3
（ A） 2
（ B） 3 （ C） 2 （ D）3
a
21 4 7
31． ( 2019 江西理 ) 在△ ABC 中，角A 、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，已知 cos C＋ (cos A－ 3sin A)cos
1
，则C
，所以

高三文科数学专题复习三角函数解三角形教师版

高三文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·福建，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125B.－125C.512D.－5121.解析∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. 答案 D2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A.45 B.35C.－35D.－452.解析记P(－4，3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝（－4）2＋32＝5，故cos α＝xr ＝－45＝－45，故选D.3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( )A.sin α＞0B.cos α＞0C.sin 2α＞0D.cos 2α＞03.解析由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 C4.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.4.解析由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案－435.(2016·四川，11)sin 750°＝________.5.解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，(k ∈Z )， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案 126.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．6.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin α·cos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1， ∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1. 答案－1 B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a )在12y x =图象上，则tan a6π的值为( )A.0B.33C.1D.3 1.解析 ∵a ＝412＝2， ∴tan a6π＝ 3. 答案 D2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ()π－2α＝( )A.2425B.1225C.－1225D.－24252.解析由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. 答案 D3.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P (2，－1)，则sin α－cos αsin α＋cos α＝( )A.3B.13C.－13D.－33.解析因为角α终边经过点P (2，－1)，所以tan α＝－12，sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝－12－1－12＋1＝－3，故选D.4.(2015·乐山市调研)若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y等于( )A.－33B.33C.－ 3D.34.解析－10π3＝－4π＋2π3，所以－10π3与2π3的终边相同，所以tan 2π3＝－3＝－y ，则y ＝ 3. 答案 D5.(2015·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( )A.－1－k 2B.1－k 2C.－kD.±1－k 25.解析因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α>0，则sin ()π＋α＝－sin α＝－1－cos 2 α＝－1－k 2，故选A. 答案 A6.(2015·洛阳市统考)已知△ABC 为锐角三角形,且A 为最小角,则点P (sin A -cosB ,3cos A -1)位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.解析由题意得，A ＋B ＞π2即A ＞π2－B ，且A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，π2－B ＞0，故sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，即sin A －cos B ＞0， 3cos A －1＞3×12－1＝12，故点P 在第一象限. 答案 A7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝45，则cos α＝________.7.解析 sin α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝45，又α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35. 答案－358.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.8.解析设点A (3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，由三角函数的定义可知：sin θ＝12，cos θ＝32，则θ＝2k π＋π6(k ∈Z )，则A (2cos θ，2sin θ)，设B (x ，y )，由已知得x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＝－1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋23π＝3，所以B (－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝ 3. 答案 (－1，3)3专题二三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 1.解析函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 答案 D2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π32.解析由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A. 答案 A3.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度3.解析由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z4.解析由图象知T 2＝54－14＝1， ∴T ＝2.由选项知D 正确．答案 D5.(2015·山东，4)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位5.解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．答案 B6.(2014·天津，8)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B.2π3C.πD.2π 6.解析由题意得函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π. 答案 C7.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2B.πC.2πD.4π 7.解析由余弦函数的复合函数周期公式得T ＝2π2＝π. 答案 B8.(2014·四川，3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度8.解析由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )A.向右平移π12个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π12个单位 D.向左平移π4个单位9.解析因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象．答案 A10.(2014·安徽，7)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π410.解析方法一 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8.方法二 f (x )＝2cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数，故2φ＋π4＝k π，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8. 答案 C 11.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③11.解析 ①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最小正周期为π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A12.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A.y ＝f (x )是奇函数B.y ＝f (x )的周期为πC.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D.y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称12.解析函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D.答案 D13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.13.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案 π314.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．14.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤ωx ≤π4＋2k π，由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2，又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2，所以ω＝π2. 答案 π215.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．15.解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 816.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.16.解析由⎩⎨⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ，即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4＝0， ∴ωx ＝π4＋k π，x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π(k ∈Z )， ∴两函数交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，2(k ＝0，2，4，…)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，－2(k ＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4， ∴ω＝π2. 答案 π217.(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.17.解析把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案2218.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．18.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．19.解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.20.(2014·四川，17)已知函数f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．20.解 (1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时cosα－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52.21.(2014·福建，18)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 21.解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 22.(2014·北京，16)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 22.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 C.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π61.解析横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，则有g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 答案 B2.(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π2⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z2.解析依题意得T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝1，又|φ|<π2，因此φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π3，k ∈Z ，答案 B3.(2015·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C.0 D.－π43.解析函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，又g (x )的函数图象关于y 轴对称，所以g (x )为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选B. 答案 B4.(2015·黄冈模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A.奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称4.解析当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4(A ＞0)，所以y ＝f (3π4－x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＋3π4＝－A cos x ，所以函数为偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，选D. 答案 D5.(2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B.关于直线x ＝5π12对称 C.关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 D.关于直线x ＝π12对称 5.解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， π＋2k π≤2x ＋π6≤2π＋2k π，k∈Z ，即5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z ) 6.(2015·怀化市监测)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间为________. 6.解析由于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，故2πω＝π，ω＝2.把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋φ，为奇函数，∴－π6＋φ＝k π，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴φ＝π6，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z ).故点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0是函数的一个对称中心. 答案 C 7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的周期为4.(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小.7.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx cos π3＋cos ωx sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.∵T ＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π2. ∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3.(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )＝3sin π2x .∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点， ∴P (1，3)，Q (3，－3).∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12， ∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·QP ＝32.∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角， ∴∠OQP ＝π6. 专题三三角恒等变换A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.451.解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.72.解析因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B3.(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.563.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝12－131＋12×13＝17.答案 A4.(2016·浙江，11)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.4.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案 2 15.(2016·山东，17)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值.5.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sinx cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象.再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.6.(2016·北京，16)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间.6.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ). 7.(2015·广东，16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 7.解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 8.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．8.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 9.(2015·福建，21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.9.(1)解因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a(a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sinx －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45. 由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45. 因为y ＝sin x的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45. 亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.10.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值； (2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.10.解 (1)∵f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322， ∴A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝322?A sin3π4＝322?A ＝3. (2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3， ∴3sin(θ＋π3)－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3，展开得3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝3，化简得sin θ＝33. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝63. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.11.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小； (2)已知b ＝4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值． 11.解 (1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B＝3π4，从而C ＝π4. (2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝32，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·江西九校联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )A.7B.17C.－17D.－71.解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－45， ∴sin α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝34， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝17. 答案 B2.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B.[]0，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，2π 2.解析由1＋sin 2α＝sin α＋cos α得sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≥0，又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，2π，故选D. 答案 D3.(2016·河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3.解析利用三角公式化简得a＝12cos 2°－32sin 2°＝cos(60°＋2°)＝cos62°＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin225°＝sin 25°.因为sin 25°<sin 28°<tan 28°，所以c<a<b，故选D. 答案D4.(2015·大庆市质检二)已知sin α＝54，则sin2α－cos2α的值为( )A.－18B.－38C.18D.384.解析 sin2α－cos2α＝－cos 2α＝2sin2α－1＝－38. 答案 B5.(2015·烟台模拟)已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β等于( )A.－6365B.－3365C.3365D.63655.解析∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－513＜0，cos α＝35，∴π2＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－5 13×35＋1213×45＝3365. 答案C6.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )A.43 B.－43C.43或0 D.－43或06.解析因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos2α，所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0或tan α＝1 2 .若cos α＝0，则α＝kπ＋π2，k∈Z， 2α＝2kπ＋π，k∈Z，所以tan 2α＝0；若tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan2α＝43. 综上所述，故选C. 答案C7.(2015·巴蜀中学一模)已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________.7.解析∵sin αcos α1－cos 2α＝sin αcos α2sin2α＝cos α2sin α＝12，∴tan α＝1.∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12，∴tan β＝13. 答案138.(2015·河南洛阳统考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝413 13.(1)求cos(α－β)的值； (2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，求sinα的值.8.解 (1)∵a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，∴cos β＝35且0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝12 13×35＋513×⎝⎛⎭⎪⎫－45＝1665.专题四解三角形A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝2 3，则b＝( )A. 2B. 3C.2D.31.解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×23，解得b＝3⎝⎛⎭⎪⎫b＝－13舍去，故选D.答案 D2.(2016·山东，8)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π62.解析在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝π4，故选C.答案 C3.(2015·广东,5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a＝2,c＝23,cos A＝32,且b<c,则b＝( )A. 3B.2 2C.2D. 33.解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－2×b×23×32，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2. 答案 C4.(2014·四川，8)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A．240(3－1)m B．180(2－1)m C．120(3－1)m D．30(3＋1)m4.解析∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C. 答案 C5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝45，cos C＝513，a＝1，则b＝________.5.解析在△ABC中由cos A＝45，cos C＝513，可得sin A＝35，sin C＝1213，sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝6365，由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝2113.答案21 136.(2016·北京，13)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.6.解析由asin A＝csin C得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12，又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6.所以b c ＝sin Bsin C ＝sinπ6sinπ6＝1. 答案 17.(2015·北京，11)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________. 7.解析由正弦定理得sin ∠B ＝b sin ∠A a ＝6sin2π33＝22，因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4. 答案 π48.(2015·重庆，13)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.8.解析由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝32×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，解得c＝4. 答案 49.(2015·安徽，12)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.9.解析已知∠C＝60°，由正弦定理得ACsin∠B＝ABsin∠C，∴AC＝6sin 45°sin 60°＝6×2 232＝2. 答案 210.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.10.解析依题意，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，得BC＝3002，在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝1006(m)．答案 100 6 11.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC ＝100 m，则山高MN＝________m.11.解析在三角形ABC中，AC＝1002，在三角形MAC中，MAsin 60°＝ACsin 45°，解得MA＝1003，在三角形MNA中，MN1003＝sin 60°＝32，故MN＝150，即山高MN为150 m．答案 15012.(2014·湖北，13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________.12.解析由正弦定理asin A＝bsin B得sin B＝b sin Aa＝32，又B∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以B＝π3或2π3.答案π3或2π313.(2014·福建，14)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．13.解析在△ABC中，根据正弦定理，得ACsin B＝BCsin A，所以2sin B＝3sin 60°，解得sin B＝1，因为B∈(0，π)，所以B＝π2，所以AB＝22－（3）2＝1. 答案 114.(2014·北京，12)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝14，则c＝________；sin A＝________.14.解析根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c＝2，因为cos C＝14，于是sin C＝1－⎝⎛⎭⎪⎫142＝154，于是，由正弦定理，sin A＝a sin Cc＝1×1542＝158(或：由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝22＋22－122×2×2＝78，于是，sin A＝1－⎝⎛⎭⎪⎫782＝15 8). 答案 215815.(2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cos B.(1)证明：A＝2B； (2)若cos B＝23，求cos C的值.15.(1)证明由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B，故2sin A cos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B，于是sin B ＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解由cos B＝23得sin B＝53，cos 2B＝2cos2B－1＝－19，故cos A＝－19，sin A＝45 9，cos C＝－cos(A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B＝22 27 .16.(2016·四川，18)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos A a＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B＝sin C； (2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.16.(1)证明根据正弦定理，可设asin A＝bsin B＝csin C＝k(k>0). 则a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C.代入cos Aa＋cos Bb＝sin Cc中，有cos Ak sin A＋cos Bk sin B＝sin Ck sin C，变形可得：sin A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin A sin B＝sin C.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cos A＝b2＋c2－a22bc＝35. 所以sin A＝1－cos2A＝4 5 .由(1)知，sin A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，所以45sin B＝45cos B＋35sin B，故tan B＝sin Bcos B＝4.17.(2015·江苏，15)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长； (2)求sin 2C的值．17.解 (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsin C＝BCsin A，所以sin C＝ABBC·sin A＝2sin 60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝1－sin2C＝1－37＝277.所以sin 2C＝2sin C·cos C＝2×217×277＝437.18.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求sin∠Bsin∠C； (2)若∠BAC＝60°，求∠B.18.解 (1)由正弦定理得ADsin∠B＝BDsin∠BAD，ADsin∠C＝DCsin∠CAD.因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以sin∠Bsin∠C＝DCBD＝12.(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，。

高三文科数学专题复习三角函数、解三角形 (教师版)

高三文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·福建，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B.－125 C.512 D.－5121.解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角， ∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. 答案 D2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C.－35 D.－452.解析记P (－4，3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝（－4）2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45，故选D.3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( )A.sin α＞0B.cos α＞0C.sin 2α＞0D.cos 2α＞0 3.解析由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 C4.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 4.解析由题意，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43. 答案－43 5.(2016·四川，11)sin 750°＝________.5.解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，(k ∈Z )， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案 126.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 6.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin α·cos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1， ∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1. 答案－1B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a )在12y x =图象上，则tan a6π的值为( )A.0B.33C.1D. 3 1.解析 ∵a ＝412＝2， ∴tan a6π＝ 3. 答案 D2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin ()π－2α＝( ) A.2425 B.1225 C.－1225 D.－2425 2.解析由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. 答案 D3.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P (2，－1)，则sin α－cos αsin α＋cos α＝( )A.3B.13C.－13D.－33.解析因为角α终边经过点P (2，－1)，所以tan α＝－12，sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝－12－1－12＋1＝－3，故选D.4.(2015·乐山市调研)若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33 B.33C.－ 3D. 3 4.解析－10π3＝－4π＋2π3，所以－10π3与2π3的终边相同，所以tan 2π3＝－3＝－y ，则y ＝ 3. 答案 D5.(2015·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A.－1－k 2 B.1－k 2 C.－k D.±1－k 25.解析因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α>0，则sin ()π＋α＝－sin α＝－1－cos 2 α＝－1－k 2，故选A. 答案 A6.(2015·洛阳市统考)已知△ABC 为锐角三角形,且A 为最小角,则点P (sin A -cos B ,3cos A -1)位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.解析由题意得，A ＋B ＞π2即A ＞π2－B ，且A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，π2－B ＞0，故sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，即sin A －cos B ＞0， 3cos A －1＞3×12－1＝12，故点P 在第一象限. 答案 A 7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝45，则cos α＝________. 7.解析 sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝45，又α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35. 答案－358.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.8.解析设点A (3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，由三角函数的定义可知：sin θ＝12，cos θ＝32，则θ＝2k π＋π6(k ∈Z )，则A (2cos θ，2sin θ)，设B (x ，y )，由已知得x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝－1，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋23π＝3，所以B (－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝ 3. 答案 (－1，3)3专题二三角函数的图象与性质 A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 1.解析函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 答案 D2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( ) A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 2.解析由题图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 答案 A 3.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度3.解析由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 4.解析由图象知T 2＝54－14＝1， ∴T ＝2.由选项知D 正确．答案 D5.(2015·山东，4)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位5.解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．答案 B6.(2014·天津，8)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π 6.解析由题意得函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)，又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π. 答案 C 7.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π 7.解析由余弦函数的复合函数周期公式得T ＝2π2＝π. 答案 B8.(2014·四川，3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 8.解析由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π12个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π12个单位 D.向左平移π4个单位9.解析因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象．答案 A 10.(2014·安徽，7)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π410.解析方法一 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8.方法二 f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数，故2φ＋π4＝k π，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8. 答案 C 11.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③11.解析 ①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，最小正周期为π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A 12.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A.y ＝f (x )是奇函数B.y ＝f (x )的周期为πC.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D.y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 12.解析函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D. 答案 D13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.13.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案 π314.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．14.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤ωx ≤π4＋2k π，由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2，又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2，所以ω＝π2. 答案 π215.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．15.解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 816.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.16.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ，即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0， ∴ωx ＝π4＋k π，x ＝1ω⎝⎛⎭⎫π4＋k π(k ∈Z )， ∴两函数交点坐标为⎝⎛⎭⎫1ω⎝⎛⎭⎫π4＋k π，2(k ＝0，2，4，…)，或⎝⎛⎭⎫1ω⎝⎛⎭⎫π4＋k π，－2(k ＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4， ∴ω＝π2. 答案 π217.(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 17.解析把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案 2218.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．18.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．19.解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 20.(2014·四川，17)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 20.解 (1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52.21.(2014·福建，18)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 21.解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .22.(2014·北京，16)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 22.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6C.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 1.解析横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，则有g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案 B 2.(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z2.解析依题意得T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝1，又|φ|<π2，因此φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. 当f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π3，k ∈Z ，答案 B 3.(2015·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C.0D.－π43.解析函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图象，又g (x )的函数图象关于y 轴对称，所以g (x )为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选B. 答案 B4.(2015·黄冈模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( ) A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称 C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 4.解析当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4(A ＞0)，所以y ＝f (3π4－x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＋3π4＝－A cos x ，所以函数为偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称，选D. 答案 D5.(2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A.关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称D.关于直线x ＝π12对称 5.解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， π＋2k π≤2x ＋π6≤2π＋2k π，k ∈Z ，即5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 答案 ⎣⎡⎦⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z ) 6.(2015·怀化市监测)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为________.6.解析由于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，故2πω＝π，ω＝2. 把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋φ，为奇函数， ∴－π6＋φ＝k π，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴φ＝π6，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z ). 故点⎝⎛⎭⎫5π12，0是函数的一个对称中心. 答案 C 7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的周期为4. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小.7.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫sin ωx cos π3＋cos ωx sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3. ∵T ＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π2. ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3. (2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )＝3sin π2x .∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点， ∴P (1，3)，Q (3，－3).∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12， ∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·QP ＝32.∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角， ∴∠OQP ＝π6.专题三三角恒等变换A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.451.解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 答案 D2.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.72.解析因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B 3.(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.563.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝12－131＋12×13＝17. 答案 A4.(2016·浙江，11)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________. 4.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)， ∴A ＝2，b ＝1. 答案 2 15.(2016·山东，17)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值.5.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象. 再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 6.(2016·北京，16)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间.6.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4 由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ).7.(2015·广东，16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 7.解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 8.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 8.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3. 9.(2015·福建，21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.9.(1)解因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a(a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45. 由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45.由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45. 因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.10.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值； (2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 10.解 (1)∵f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322， ∴A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝322?A sin 3π4＝322?A ＝3. (2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3， ∴3sin(θ＋π3)－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3＝3，展开得3⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝3，化简得sin θ＝33.∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝63. ∴f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6. 11.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A －B 2＋4sin A sin ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小； (2)已知b ＝4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值． 11.解 (1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝32，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·江西九校联考)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.7 B.17 C.－17 D.－71.解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，cos α＝－45， ∴sin α＝－35， ∴tan α＝sin αcos α＝34， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝17. 答案 B 2.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2 B.[]0，πC.⎣⎡⎦⎤0，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，3π4∪⎣⎡⎭⎫7π4，2π 2.解析由1＋sin 2α＝sin α＋cos α得sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≥0，又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，3π4∪⎣⎡⎭⎫7π4，2π，故选D. 答案 D 3.(2016·河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b3.解析利用三角公式化简得a ＝12cos 2°－32sin 2°＝cos(60°＋2°)＝cos 62°＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 2 25°＝sin 25°.因为sin 25°<sin 28°<tan 28°，所以c <a <b ，故选D. 答案 D4.(2015·大庆市质检二)已知sin α＝54，则sin 2α－cos 2α的值为( )A.－18B.－38C.18D.384.解析 sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝－38. 答案 B5.(2015·烟台模拟)已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β等于( )A.－6365B.－3365C.3365D.63655.解析 ∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－513＜0，cos α＝35，∴π2＜α＋β＜π， ∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45. 又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365. 答案 C6.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A.43 B.－43 C.43或0 D.－43或0 6.解析因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos 2 α，所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0或tan α＝12.若cos α＝0，则α＝k π＋π2，k ∈Z ， 2α＝2k π＋π，k ∈Z ，所以tan 2α＝0；若tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝43. 综上所述，故选C. 答案 C 7.(2015·巴蜀中学一模)已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________.7.解析 ∵sin αcos α1－cos 2α＝sin αcos α2sin 2α＝cos α2sin α＝12， ∴tan α＝1.∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12，∴tan β＝13. 答案 138.(2015·河南洛阳统考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313. (1)求cos(α－β)的值； (2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，求sin α的值.8.解 (1)∵a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)， ∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513. (2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，∴cos β＝35且0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝1665.专题四解三角形A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3C.2D.31.解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去，故选D.答案 D 2.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π62.解析在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.答案 C3.(2015·广东,5)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a ＝2,c ＝23,cos A ＝32,且b <c ,则b ＝( ) A. 3 B.2 2 C.2 D. 3 3.解析由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2. 答案 C4.(2014·四川，8)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m 4.解析 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C. 答案 C5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.5.解析在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.答案 21136.(2016·北京，13)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.6.解析由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12，又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6.所以b c ＝sin Bsin C ＝sin π6sin π6＝1. 答案 17.(2015·北京，11)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.7.解析由正弦定理得sin ∠B ＝b sin ∠Aa＝6sin2π33＝22，因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4. 答案 π48.(2015·重庆，13)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.8.解析由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝32×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，解得c ＝4. 答案 4 9.(2015·安徽，12)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.9.解析已知∠C ＝60°，由正弦定理得AC sin ∠B ＝AB sin ∠C，∴AC ＝6sin 45°sin 60°＝6×2232＝2. 答案 210.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.10.解析依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，得BC ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝1006(m)．答案 1006 11.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.11.解析在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在三角形MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m ．答案 15012.(2014·湖北，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.12.解析由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3.答案 π3或2π3 13.(2014·福建，14)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 13.解析在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π2，所以AB ＝22－（3）2＝1. 答案 114.(2014·北京，12)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________.14.解析根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2，因为cos C ＝14，于是sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154，于是，由正弦定理，sin A ＝a sin C c＝1×1542＝158(或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cos A ＝22＋22－122×2×2＝78，于是，sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158). 答案 2 15815.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B.(1)证明：A ＝2B ； (2)若cos B ＝23，求cos C 的值.15.(1)证明由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.16.(2016·四川，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B.16.(1)证明根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0). 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得：sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin Bcos B ＝4.17.(2015·江苏，15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．17.解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 所以sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 18.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin ∠Bsin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 18.解 (1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DCsin ∠CAD .因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B . 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 19.(2015·天津，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值． 19.解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158.(2)cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 20.(2015·山东，17)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33， sin (A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值． 20.解在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角，所以cos C ＝539.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223. 由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ，又ac ＝23，所以c ＝1. 21.(2015·湖南，17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ； (2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .21.解 (1)由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A ，得sin A ＝sin B ·sin A cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0， ∴1＝sin Bcos A ，即sin B ＝cos A .(2)由sin C －sin A cos B ＝43知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝43， ∴cos A sin B ＝34.由(1)知sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos A ＝32，A ＝π6，sin B ＝32，B ＝2π3， ∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 22.(2015·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2 A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积． 22.解 (1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)因为tan A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1010，cos A ＝31010.又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B 得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4得sin C ＝255，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.23.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ,求cos B ； (2)设B ＝90°,且a ＝2,求△ABC 的面积．23.解 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为1.24.(2014·重庆，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．24.解 (1)由题意可知：c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15.(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得：sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A 2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C . 因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知：a ＋b ＝3c . 又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. 由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.25.(2014·山东，17)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．25.解 (1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2 A ＝33，又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63. 由正弦定理可得b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.(2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )．所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.26.(2014·陕西，16)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．26.(1)证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C ) ]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)解由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.27.(2014·湖南，19)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，。

高考数学文科解三角形最全讲解含答案解析

第六单元解三角形教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .[小题速通]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4，∵b ＜c ，∴b ＝2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B 由余弦定理可得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，又因为b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝12，则A ＝60°.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以角C 是钝角，故选C.4．(2018·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理及(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )·sin A ，得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a ＝0，则B ＝________.解析：由正弦定理可得sin B cos C ＋3sin B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，则3sin B sin C ＝sin C cos B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝33，则B ＝30°. 答案：30°[清易错]1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． 1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解D ．不确定解析：选B ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°＝223.又∵a <b ，∴B 有两个解，即此三角形有两解．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.解析：在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝5π6.又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝2π3.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A＝1. 答案：13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝7，b ＝8，c ＝13，则角C 的大小为________．解析：∵在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，c ＝13，∴由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋82－1322×7×8＝－12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3. 答案：2π3设△ABC 的边为a ，b ，c ，所对的三个角为A ，B ，C ，其面积为S . (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆的半径)．[小题速通]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则△ABC 的面积为( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝12，则A ＝30°，所以C ＝90°，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×1＝32.2．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3D ．2解析：选B 由题意S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，则AC ＝1，由余弦定理可得BC ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝ 3.3．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：15344．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：由cos A ＝－14，得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，解得a ＝8. 答案：8[清易错]应用三角形面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 时，注意公式中的角应为两边的夹角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，A ＝30°，则△ABC 的面积为________．解析：∵a ＝2，c ＝23，A ＝30°， ∴由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝32，∴C ＝60°或120°， ∴B ＝90°或30°，则S △ABC ＝12ac sin B ＝23或 3.答案：23或 31．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． [小题速通]1．(2018·潍坊调研)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile解析：选D 如图，在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°，又A ＝60°，由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即10sin 45°＝BC sin 60°，解得BC ＝5 6. 2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO ·tan 45°＝30(m)， ON ＝AO ·tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：10 33.如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.则此船的航速是________n mile/h.解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：32[清易错]易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B 如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.一、选择题1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．135°解析：选C ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶3，设a ＝m ，则b ＝m ，c ＝3m . ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝m 2＋m 2－3m 22m 2＝－12， ∴C ＝120°.2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14.则c 的值为( )A ．4B ．2C ．5D ．6解析：选A ∵c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即16＝14c 2＋c 2－14c 2＝c 2，解得c ＝4.4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.5．(2018·湖南四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( )A.π6或5π6B.π3或2π3C.π6D.2π3解析：选A 由题意知，a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ⇒cos C ＝cos C 2sin C ，sin C ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π6或5π6.6．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107(km)．7．(2018·贵州质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40 n mile 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 n mileB ．10 3 n mileC ．20 3 n mileD ．20 2 n mile解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2.故B ，C 两点间的距离是10 2 n mile. 二、填空题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A＝2sin B ，则c ＝________.解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝2b ，则b ＝3，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，则c ＝4. 答案：410．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．解析：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，由三角形内角和定理，可得B ＝π3，又∵边a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴ac ＝a 2＋c 2－ac ，即a 2＋c 2－2ac ＝0，故(a －c )2＝0，可得a ＝c ，所以△ABC 的形状为等边三角形．答案：等边三角形11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围为________．解析：由AC ＝b ＝2，要使三角形有两解，就是要使以C 为圆心，以2为半径的圆与AB 有两个交点，当A ＝90°时，圆与AB 相切，只有一解；当A ＝45°时，交于B 点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45°<A <90°，即22<sin A <1，由正弦定理可得a ＝x ＝b sin Asin B＝22sin A ，所以2<x <2 2. 答案：(2,22)12．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350. 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 650 三、解答题13．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB ―→AC ―→＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .解：因为AB ―→·AC ―→＝－6，所以bc cos A ＝－6，又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0＜A ＜π，所以A ＝3π4. 又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29，所以a ＝29.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cos C ＝a cos C ＋c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝7，求a 及△ABC 的面积．解：(1)∵2b cos C ＝a cos C ＋c cos A ，∴由正弦定理可得2sin B cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即2sin B cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B.又sin B ≠0，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)∵b ＝2，c ＝7，C ＝π3，∴由余弦定理可得7＝a 2＋4－2×a ×2×12，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或－1(舍去)，∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×2×32＝332.高考研究课(一)正、余弦定理的3个基础点——边角、形状和面积 [全国卷5年命题分析][典例] ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫1213－513＝7226. [方法技巧]应用正、余弦定理的解题策略(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时演练]1．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析：法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ＞0，因此cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac ＞0，cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.答案：π33.(2018·成都二诊)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．解：(1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE ＝CEsin B .∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714.∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5，∴ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＝＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝⎛⎭⎫－12＝49.∴CD ＝7.＋b )sin(A －B )＝(a －b )·sin(A ＋B )”，试判断三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B. 法一：用“边化角”解题由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：用“角化边”解题由正弦定理、余弦定理得：a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． [方法技巧]判断三角形形状的2种方法(1)“边化角”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(2)“角化边”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．[提醒] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[即时演练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1， ∴A ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．2．在△ABC 中，“2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，且sin B ＋sin C ＝1”，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，解得sin B ＝sin C ＝12.因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形．[典例] (2017·a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，即sin B ＝4(1－cos B )，故17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2. [方法技巧]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [即时演练]1．(2018·太原一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×32，∴c ＝4.2．(2018·陕西四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13. (1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)cos 2B ＋C2＋cos 2A ＝1＋cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12－12×13＋2×⎝⎛⎭⎫132－1 ＝－49.(2)由余弦定理可得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94.又cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，于是△ABC 面积的最大值为12×94×223＝324.1．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010D ．－31010解析：选C 法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.法二：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，由勾股定理得， AB ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a .同理，在Rt △ACD 中，AC ＝ ⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a . ∴cos A ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.2．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°. 因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 解析：因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21134．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3.6．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为sin C ≠0，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin Bsin C； (2)若∠BAC ＝60°，求B . 解：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为C ＝180°－(∠BAC ＋B )，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋B )＝32cos B ＋12sin B. 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，所以B ＝30°.8．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ． ② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为24×42－2＝2＋1.一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，若B 为锐角，则A ∶B ∶C ＝( )A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：选B 因为a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，所以由正弦定理可得sin B ＝b sin Aa ＝32，则B ＝60°，所以C ＝90°，则A ∶B ∶C ＝1∶2∶3. 2．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．根据增加的长度确定三角形的形状解析：选A 设原来直角三角形的三边长是a ，b ，c 且a 2＝b 2＋c 2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为d ，原来的斜边仍然是最长的边，故cos A ＝(b ＋d )2＋(c ＋d )2－(a ＋d )22(b ＋d )(c ＋d )＝2bd ＋2cd ＋d 2－2ad2(b ＋d )(c ＋d )>0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，故选A.3．(2018·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( )A ．a ＝cB ．b ＝cC ．2a ＝cD ．a 2＋b 2＝c 2解析：选B 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝32，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C 、D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B.4．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010 B.31010C.55D.255解析：选B 如图所示，设CD ＝a ，则易知AC ＝5a ，AD ＝2a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→>0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，32C.⎝⎛⎭⎫12，32D.⎝⎛⎦⎤12，32解析：选B 在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵A 是△ABC 的内角，∴A ＝60°. ∵a ＝32， ∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝c sin (120°－B )＝1， ∴b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B＝3sin(B ＋30°)．∵AB ―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos(π－B )>0， ∴cos B <0，B 为钝角，∴90°<B <120°，120°<B ＋30°<150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32， ∴b ＋c ＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32. 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝32c ，则ab 的最小值为________．解析：将2c cos B ＝2a ＋b 中的边化为角可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin C cos B ＋2sin B cos C ＋sin B ．则2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，则C ＝120°，所以S ＝12ab sin 120°＝32c ，则c ＝12ab .由余弦定理可得⎝⎛⎭⎫12ab 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥3ab ，则ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝23时取等号，所以ab 的最小值为12.答案：128．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104.答案：1521049．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C . 由正弦定理得b 2＋c 2－bc ＝4，又因为b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，此时三角形为等边三角形，所以S ＝12bc sin 60°≤12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3. 答案： 3 三、解答题10．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值．解：(1)由a sin A ＝4b sin B ，及a sin A ＝bsin B，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos2B sin A＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin B ＝3b cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为a sin B ＝3b cos A ，由正弦定理得sin A sin B ＝3sin B cos A . 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277. 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin B ·(a cos B ＋b cos A )＝3c cos B.(1)求B ；(2)若b ＝23，△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．解：(1)由正弦定理得，sin B (sin A cos B ＋sin B cos A )＝3sin C cos B ， ∴sin B sin(A ＋B )＝3sin C cos B ， ∴sin B sin C ＝3sin C cos B.∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ，即tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝23，∴ac ＝8.根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴12＝a 2＋c 2－8，即a 2＋c 2＝20， ∴a ＋c ＝(a ＋c )2＝a 2＋2ac ＋c 2＝6， ∴△ABC 的周长为6＋2 3.1．在平面五边形ABCDE 中，已知∠A ＝120°，∠B ＝90°，∠C ＝120°，∠E ＝90°，AB ＝3，AE ＝3，当五边形ABCDE 的面积S ∈⎣⎡⎭⎫63，3334时，则BC 的取值范围为________．解析：因为AB ＝3，AE ＝3，且∠A ＝120°，由余弦定理可得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos A ＝33，且∠ABE ＝∠AEB ＝30°. 又∠B ＝90°，∠E ＝90°，所以∠DEB ＝∠EBC ＝60°. 又∠C ＝120°，所以四边形BCDE 是等腰梯形．易得三角形ABE 的面积为934，所以四边形BCDE 的面积的取值范围是⎣⎡⎭⎫1534，63. 在等腰梯形BCDE 中，令BC ＝x ，则CD ＝33－x ，且梯形的高为3x2，故梯形BCDE 的面积为12·(33＋33－x )·3x 2，即15≤(63－x )x <24，解得3≤x <23或43<x ≤5 3. 答案：[3，23)∪(43，53]2.如图，有一直径为8 m 的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF ＝π6，点E ，F 在直径AB 上，且∠ABC ＝π6.(1)若CE ＝13，求AE 的长；(2)设∠ACE ＝α，求该空地种植果树的最大面积．解：(1)由已知得△ABC 为直角三角形，因为AB ＝8，∠ABC ＝π6，所以∠BAC ＝π3，AC ＝4.在△ACE 中，由余弦定理得，CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos A ，且CE ＝13，所以13＝16＋AE 2－4AE ，解得AE ＝1或AE ＝3.(2)因为∠ACB ＝π2，∠ECF ＝π6，所以∠ACE ＝α∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以∠AFC ＝π－∠BAC －∠ACF ＝π－π3－⎝⎛⎭⎫α＋π6＝π2－α，在△ACF 中，由正弦定理得CF sin ∠BAC ＝AC sin ∠AFC ＝AC sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝AC cos α，所以CF ＝23cos α，在△ACE 中，由正弦定理得CE sin ∠BAC ＝AC sin ∠AEC ＝ACsin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以CE ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以S △ECF ＝12CE ·CF sin ∠ECF ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos α＝122sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋3.因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以π3≤2α＋π3≤π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3≤1，所以当sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝0，即α＝π3时，S △ECF 取得最大值为4 3. 即该空地种植果树的最大面积为4 3 m 2. 高考研究课(二)正、余弦定理的3个应用点——高度、距离和角度 [全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度高度问题 5年1考测量山高问题距离问题未考查角度问题未考查测量高度问题[典例] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中， CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． [答案] 100 6 [方法技巧]利用正、余弦定理求解高度问题应注意的3个方面(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． [即时演练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2.如图，为测得河岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________m.解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理得，BC sin 45°＝CDsin 30°，所以BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC ，AB ＝BC tan 60°＝106(m)．答案：10 6测量距离问题[典例]侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m. [解析] ∵∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， ∴由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. [答案] 20 6 [方法技巧]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． [即时演练]1.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则AB 的长为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝200 7 (m)．即A ，B 两点间的距离为200 7 m. 答案：200 72.隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距 3 km 的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．解：在△ACD 中，∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°，所以AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，由正弦定理知BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 ，所以A ，B 两目标之间的距离为 5 km.角度问题[典例] (2018·南昌模拟)如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为( )A.217 B.22C.32D.5714[解析] 如图，连接BC ，在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos 120°＝700，∴BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ABsin θ，∴sin θ＝217. [答案] A [方法技巧]解决测量角度问题的3个注意点(1)明确方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． [即时演练]1.如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2.如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．。

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高中文科数学解三角形部分整理一正弦定理（一）知识与工具：正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin ===。

变形：::sin :sin :sin a b c A BC =.在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。

注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180° 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (2)三角函数的恒等变形sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2BA +=sin 2C (3)面积公式：S=21absinC=R abc4=2R 2sinAsinBsinC（二）题型使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1 利用正弦定理公式原型解三角形例一、在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 【解析】C.00tan 30,tan 3023,244,23bb ac b c b a=====-=题型2 利用正弦定理公式变形边角互化解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。

例二、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或【解析】D. 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150题型3 三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。

例三、等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（D ） A ．2 B ．23C ．3D ．32二余弦定理（一）知识与工具：a 2=b 2+c 2﹣2bccosAcosA=bca 2cb 222-+b 2=a 2+c 2﹣2accosBcosB=ac b c a 2222-+c 2=a 2+b 2﹣2abcosCcosC=abc b a 2222-+注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。

在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180°；(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

(3)面积公式：S=21absinC=R abc 4=2R 2sinAsinBsinC(4)三角函数的恒等变形。

（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形例一、在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

【解析】120 22201cos ,12022b c a A A bc +-==-=题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

题型3 判断三角形的形状结论：根据余弦定理，当a 2+b 2＜c 2、b 2+c 2＜a 2、c 2+a 2＜b 2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a 2+b 2＞c 2、b 2+c 2＞a 2，c 2+a 2＞b 2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。

判断三角形形状的方法：(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。

例一、在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π=所以△ABC 是直角三角形。

（2）应用题求距离两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达求高度底部可达底部不可达题型3 计算角度题型4 测量方案的设计实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解。

例一、（三）其他常见结论1三角形内切圆的半径：2S r a b c∆=++，特别地，2a b c r +-=斜直2三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… 3两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…例一、在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（）A ．12B ．221C ．28D ．36【解析】D 011cos ,60,sin 22ABC A A S bc A ====V基础练习一、选择题1．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 12．在△ABC 中，角均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 4.在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．25.在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 26．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形7．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )A ．090B ．060C ．0135D ．0150 8．在△ABC 中，若tan2A B a ba b--=+，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题1．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

2．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20_________。

3．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

4．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_______。

5．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。

6．在△ABC 中，若=+===A c b a 则226,2,3_________。

三、解答证明题1．在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>==V ，求c b ,。

2．在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证：1=+++ca b c b a 。

3．在△ABC 中，若223coscos 222C A ba c +=，则求证：2a c b +=4．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-【答案】选择题1.A 0,sin 0A A π<<>2.C cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>3.B 设中间角为θ，则22200005871cos ,60,180601202582θθ+-===-=⨯⨯为所求4.C 12,,,::sin :sin :sin ::2632222A B C a b c A B C πππ====== 5.D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === 6.D sin sin lglg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A AA B C B C B C===sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-=sin()0,B C B C -==，等腰三角形7.B 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=222222013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-==== 8.D 2cossinsin sin 22tan 2sin sin 2sin cos 22A B A BA B a b A B A B A Ba b A B +----===+-++， tan2tan ,tan 022tan 2A B A B A B A B ---==+，或tan 12A B += 所以A B =或2A B π+=填空题1.0120 22201cos ,12022b c a A A bc +-==-= 2.26-00sin 15,,4sin 4sin154sin sin sin a b b A A a A A B B ====== 3. 0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，令7,8,13a k b k c k === 22201cos ,12022a b c C C ab +-==-= 4.3392211sin 4,13,22ABC S bc A c c a a ∆======sin sin sin sin32a b c aA B C A++===++5.锐角三角形C为最大角，cos0,C C>为锐角6. 060222231 cos22b c aAbc+-+-====四、解答证明题1.解：1sin4,2ABCS bc A bc∆===2222cos,5a b c bc A b c=+-+=，而c b>所以4,1==cb2．证明：要证1=+++cabcba，只要证2221a acb bcab bc ac c+++=+++，即222a b c ab+-=而∵0120,A B+=∴060C=2222220cos,2cos602a b cC a b c ab abab+-=+-==∴原式成立。

高级中学文科数学解三角形部分讲练汇总整编

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