湖南师范大学附属中学高一数学 数列极限的定义教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：数列极限的定义
教材：数列极限的定义（N -ε）
目的：要求学生掌握数列极限的N -ε定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。

过程：
一、 复习：数列极限的感性概念
二、 数列极限的N -ε定义
1．以数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-n n )1(为例 ,41,31,21,1:--n a 观察：随n 的增大，点越来越接近 即：只要n 充分大，表示点n a 与原点的距离n
n a n n 10)1(0=--=-可以充分小 进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数
2．具体分析：(1) 如果预先给定的正数是10
1，要使n n a n n 10)1(0=--=-<101 只要10>n 即可 即：数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-n n )1(的第10项之后的所有项都满足 (2) 同理：如果预先给定的正数是
3101，同理可得只要310>n 即可 (3) 如果预先给定的正数是*)(10
1N k k ∈，同理可得：只要k n 10>即可 3．小结：对于预先给定的任意小正数ε，都存在一个正整数N ，使得只要N n > 就有0-n a <ε
4．抽象出定义：设{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存
在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有a a n -<ε，那么就说数列{}n a 以a 为极限（或a 是数列{}n a 的极限）
记为：a a n n =∞
→lim 读法：“→”趋向于 “∞→n ” n 无限增大时 注意：①关于ε：ε不是常量，是任意给定的小正数
②由于ε的任意性，才体现了极限的本质
③关于N ：N 是相对的，是相对于ε确定的，我们只要证明其存在 ④a a n -：形象地说是“距离”，n a 可以比a 大趋近于a ，也可以比a 小趋近于a ，也可以摆动趋
近于a
三、 处理课本 例二、例三、例四
2
0 1-
例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身 例四 这是一个很重要的结论
四、 用定义证明下列数列的极限：
1．121
2lim =-∞
→n n n 2．23
1213lim =+-∞→n n n 证明1：设ε是任意给定的小正数 n n n 21
1212=--要使ε<n 21
即：ε1
2>n
两边取对数 ε1
log 2>n 取 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=ε1log 2N …………介绍取整函数
当N n >时，ε<--1212n n 恒成立 ∴1212lim =-∞→n
n
n 证明2：设ε是任意给定的小正数 要使ε<-+-23
121
3n n 只要5121ε<+n 21
45->εn 取⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=2145
εN 当N n >时，ε<-+-23
121
3n n 恒成立 ∴23
121
3lim =+-∞→n n n。