江苏省泰州市靖江市2017届高三10月调研测试数学试卷(解析版).doc

2016-2017学年江苏省泰州市靖江市高三（上）10月调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（2016秋•丰县校级月考）已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B=∅．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B=∅．故答案为：∅．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．2．（2016•南通模拟）设复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），若z（2﹣i）=i，则a+b的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把z代入z（2﹣i）=i，展开左边，然后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵z=a+bi，z（2﹣i）=i，∴（a+bi）（2﹣i）=2a+b+（2b﹣a）i=i，则，解得a=﹣，b=．∴a+b=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．（2016•南京三模）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是20．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得a=5，S=1满足条件a≥4，执行循环体，S=5，a=4满足条件a≥4，执行循环体，S=20，a=3不满足条件a≥4，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．4．（2016•江苏模拟）某学校高三有A，B两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】某学校高三有A，B两个自习教室，则甲、乙、丙三名学生选择其中一个教室自习的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在教室A的概率，同理，可求出他们同在教室B的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择其中一个教室自习的概率均为，则他们同时选中A教室的概率为：=；他们同时选中B教室的概率也为：：=；故们在同一自习教室上自习的概率P==．故答案为：【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．5．（2016•南通模拟）设不等式组，表示的平面区域D，P（x，y）是区域D内任意一点，则3x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域，当直线3x+y=t过点A时，3x+y取得最大值，由，可得A（1，1）时，z最大是4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．6．（2016•江苏模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2S3﹣3S2=12，则数列{a n}的公差是4．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列递推关系式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设数列{a n}的公差为d．由2S3﹣3S2=2（3a1+3d）﹣3（2a1+d）=3d=12，解得d=4．故答案为：4．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2016•江苏模拟）对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；不等式．【分析】θ∈（0，），可得+=（sin2θ+cos2θ）=5+，利用基本不等式的性质即可得出最小值．根据对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得|2x﹣1|≤，即可得出．【解答】解：∵θ∈（0，），∴+=（sin2θ+cos2θ）=5+≥=9，当且仅当tanθ=时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤=9，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．【点评】本题考查了基本不等式的性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2016•南通模拟）正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成角为60°，则正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成角为60°，我们求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出答案．【解答】解：由已知中正四棱锥的底面边长为，故底面积S=2又∵侧棱与底面所成角为60°，∴正四棱锥的高为故正四棱锥的体积V==故答案为：．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据已知求出棱锥的底面面积和高，是解答本题的关键．9．（2016•江苏模拟）已知直线x+y=b是函数y=ax+的图象在点P（1，m）处的切线，则a+b﹣m=2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】运用切点在切线上和曲线上，可得a，b，m的方程，求出函数的导数，可得切线的斜率，结合已知切线的方程，可得a=1，b=4，m=3，进而得到所求值．【解答】解：由于P（1，m）在函数y=ax+的图象和直线x+y=b上，则m=a+2，m+1=b，又由函数y=ax+的导函数y′=a﹣，可知切线的斜率k=﹣1=a﹣2，有a=1，m=3 和b=4，则a+b﹣m=2．故答案为：2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用切点满足切线方程和曲线方程是解题的关键，属于基础题．10．（2016•南京三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为3．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可求c的值，利用余弦定理即可求得cosB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：在△ABC中，∵sinC=2sinA，a=，b=3，∴由正弦定理可得：c=2a=2，∴由余弦定理可得：cosB===，可得：sinB==，∴S△ABC=acsinB==3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．11．（2011•福建模拟）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】计算题．【分析】先求函数的导数，因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．【解答】解：f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1的导数为f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，∴在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，即﹣3x2+2ax﹣1≤0恒成立，∴△=4a2﹣12≤0，解得﹣≤a≤∴实数a的取值范围是故答案为【点评】本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．12．（2016•江苏模拟）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，直线l：3x+4y﹣17=0．若在直线l 上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为6x﹣8y﹣19=0．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】当AB的长度最小时，圆心角∠ACB 最小，设为2，当最小时，最大，即CM 最小，由此能求出直线AB的方程．【解答】解：当AB的长度最小时，圆心角∠ACB 最小，设为2，则由，知当最小时，最大，即CM 最小，那么CM⊥l，∴，设直线AB的方程为3x+4y=m．又由CM=2，知点C 到直线AB的距离为，即，解得或m=；经检验，则直线AB的方程为6x+8y﹣19=0．故答案为：6x+8y﹣19=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、三角函数知识的合理运用．13．（2016•南京三模）用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x3+ax+，g （x）=﹣lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由已知可得a＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，解得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+ax+，∴f′（x）=3x2+a，若a≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x3+ax+至多有一个零点，此时h（x）不可能有3个零点，故a＜0，令f′（x）=0，则x=±，∵g（1）=0，∴若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，即，解得：a∈（，），故答案为：（，）【点评】本题考查的知识点是函数零点及零点个数的判断，分类讨论思想，函数和方程的思想，转化思想，难度中档．14．（2016•江苏模拟）已知函数f n（x）=（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是①②④①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n（x）（n ∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据函数f n（x）=（n∈N*），对选项分别进行验证，即可得出结论．【解答】解：∵函数f n（x）=（n∈N*），∴①f n（x+2π）=f n（x）（n∈N*），f n（x为周期函数，正确；②f n（﹣x）==，f n（x）=（n∈N*）是偶函数，∴f n（x）=（n∈N*）有对称轴，正确；③n为偶数时，f n（）==0，∴（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心，不正确；④∵|sinnx|≤|nsinx|，∴|f n（x）|≤n（n∈N*），正确．故答案为：①②④．【点评】本题给出函数解析式，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（2016•江苏模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB+acosB= c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知函数f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）的最大值为2，将y=f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍后便得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g （x）的最小正周期为π．当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）△ABC中，利用三角恒等变换化简条件求得tanA的值，可得A的值．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，求得g（x）的解析式，再利用g（x）的周期求得ω，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵，∴，∵C=π﹣（A+B），∴=，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，∴λ﹣3=2，从而λ=5，∴，从而，∴，∴．当时，，∴，从而，∴f（x）的值域为．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（2016•南通模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，∠ABC=120°，PA=AB=1，PD=2，N为PD的中点．（1）求证：AD⊥平面PAB；（2）求证：CN∥平面PAB．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据中垂线定理得出∠BAM，AM，利用正三角形的性质得出AD，∠DAC，从而得出AB⊥AD，PA⊥AD，于是AD⊥平面PAB；（2）取AD的中点H，连结NH，CH．则可证明AD⊥平面NCH，于是平面NCH∥平面PAB，于是CN∥平面PAB．【解答】证明：（1）∵BD是AC的中垂线，∠ABC=120°，∴∠ABM=60°，∠AMB=90°，∵AB=1，∴AM=．∠BAM=30°．∵△ACD是正三角形，∴AD=2AM=，∠DAC=60°，∴∠BAD=∠BAM+∠DAC=90°，∴AB⊥AD．又PA=1，PD=2，∴PA2+AD2=PD2，即PA⊥AD．又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB．（2）取AD的中点H，连结NH，CH．∵△ACD是正三角形，∴CH⊥AD，∵N，H是PD，AD的中点，∴NH∥PA，∵PA⊥AD，∴NH⊥AD．又NH⊂平面NCH，CH⊂平面NCH，NH∩CH=H，∴AD⊥平面NCH，又AD⊥平面PAB，∴平面NCH∥平面PAB．∵CN⊂平面NCH，∴CN∥平面PAB．【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题．17．（2010•镇江模拟）要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米．市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍．设圆锥母线和底面所成角为θ（弧度），总费用为y（元）．（1）写出θ的取值范围；（2）将y表示成θ的函数关系式；（3）当θ为何值时，总费用y最小？【考点】在实际问题中建立三角函数模型；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）先设圆锥的高为h1米，母线长为l米，圆柱的高为h2米；圆柱的底面用料单价为每平方米2a元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4a元，由圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米．则h1＜r，⇒tanθ=＜1求得；（2）圆锥的侧面用料费用为4aπrl，圆柱的侧面费用为2aπrh2，圆柱的地面费用为2aπr2⇒y=4aπrl+2aπrh2+2aπr2⇒（3）抽象出⇒⇒当时，得解．【解答】解：圆柱的底面用料单价为每平方米2a元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4a元，设圆锥的高为h1米，母线长为l米，圆柱的高为h2米；（1）∵圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米．则h1＜r，tanθ=＜1∴…（3分）（2）圆锥的侧面用料费用为4aπrl，圆柱的侧面费用为2aπrh2，圆柱的地面费用为2aπr2，..（6分）（每个面积公式1分）则y=4aπrl+2aπrh2+2aπr2=2aπr（2l+h2+r）=2aπr[+（r﹣h1）+r]=2aπr[+（r﹣rtanθ）+r]=（9分）（3）设，其中…（10分）则，..（11分）当时，；当时，；当时，；..（13分）则当时，f（θ）取得最小值，..（14分）则当时，费用y最小（15分）【点评】本题主要考查函数模型的建立，定义域和函数最值的求法．18．（2016•南京三模）已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ii）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设P（x，y），则d1=|x+2|，d2=，由此利用=，能求出椭圆C的方程．（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），从而k AF=1，k BF=﹣1，直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，代入=1，得3x2+4x=0，由此能求出直线AB的方程．（ii）k AF+k BF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能推导出直线AB总经过定点M（﹣2，0）．【解答】解：（1）设P（x，y），∵点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=，∴d1=|x+2|，d2=，==，化简，得=1．∴椭圆C的方程为=1．（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），∴k AF==1，∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k BF=﹣1，∴直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，代入=1，得3x2+4x=0，解得x1=0，，代入y=﹣x﹣1，得（舍），或，∴B（﹣，），k AB==，∴直线AB的方程为y=．（ii）∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k AF+k BF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴k AF+k BF=+=+==0，∴（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=2k×﹣（k+b）×+2b=0，∴b﹣2k=0，∴直线AB的方程为y=k（x+2），∴直线AB总经过定点M（﹣2，0）．【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查直线是否总过定点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．19．（2016•江苏模拟）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中n∈N*．（1）若a1=b1=2，a3﹣b3=9，a5=b5，试分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设A={k|a k=b k，k∈N*}，当数列{b n}的公比q＜﹣1时，求集合A的元素个数的最大值．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；集合．【分析】（1）设数列{a n} 的公差为d（d≠0），数列{b n} 的公差为q（q≠0，1），利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）不妨设，可得a+bn=pq n，即，令，问题转化为求关于n 的方程q n﹣tn﹣s=0 最多有多少个解．再利用分类讨论、函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n} 的公差为d（d≠0），数列{b n} 的公差为q（q≠0，1），则，解得，∴，或﹣（﹣2）n．（2）不妨设，则a+bn=pq n，即，令，问题转化为求关于n 的方程q n﹣tn﹣s=0 （*）最多有多少个解．①当t＞0 时，∵q＞1，∴函数f'（x）单调递增，∴当x＜x0时，f'（x）x0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴方程（*）在（﹣∞，x0）和（x0，+∞）上最多各有1个解．综上：当n∈N*时，方程（*）最多有3个解．②当t＜0 时，同理可知方程（*）最多有3个解．事实上，设时，有a1=b1，a2=b2，a4=b4，所以A的元素个数最大值为3．【点评】本题考查了集合的性质、等差数列与等比数列的通项公式及其性质、方程的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20．（2016•南京三模）已知函数g（x）=2alnx+x2﹣2x，a∈R．（1）若函数g（x）在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设A，B是函数g（x）图象上的不同的两点，P（x0，y0）为线段AB的中点．（i）当a=0时，g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB是否平行？说明理由；（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行？说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】转化思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出g（x）的导数，由题意可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x﹣x2对x＞0恒成立，求出右边函数的最大值，即可得到a的范围；（2）（i）a=0时，求出g（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，结合中点坐标公式，即可得到结论；（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．由两直线平行的条件：斜率相等，化简整理，结合中点坐标公式，化为ln =，设t=（0＜t＜1），记函数h（t）=lnt﹣，求出导数，判断单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g（x）的导数为g′（x）=+2x﹣2=，若函数g（x）在定义域上为单调增函数，可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x﹣x2对x＞0恒成立，由h（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，当x=时，h（x）取得最大值，则a≥；（2）（i）a=0时，g（x）=x2﹣2x，g′（x）=2x﹣2，g′（x0）=2x0﹣2，设A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），（0＜x1＜x2），可得x0=，k AB====x1+x2﹣2=2x0﹣2，则g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行；（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．可得g′（x0）=，即+2x0﹣2=，由x0=，可得+x1+x2﹣2=+x1+x2﹣2，即ln=，设t=（0＜t＜1），记函数h（t）=lnt﹣，则h′（t）=﹣=≥0，可得h（t）在（0，1）递增，可得当0＜t＜1时，h（t）＜h（1）=0，即方程lnt=在区间（0，1）上无解，故不存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查化简整理和构造函数的能力，属于难题．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[几何证明选讲]21．（2016•江苏模拟）如图，已知凸四边形ABCD的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O 在AB上，且与四边形ABCD的其余三边相切．点E在边AB上，且AE=AD．求证：O，E，C，D四点共圆．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】利用AD=AE，可得，根据四边形ABCD的顶点在一个圆周上，可得180°﹣∠A=∠BCD，从而∠AED=∠DCO，即可证明O，E，C，D四点共圆．【解答】证明：因为AD=AE，所以，因为四边形ABCD的顶点在一个圆周上，所以180°﹣∠A=∠BCD，从而∠AED=∠DCO，所以O，E，C，D四点共圆．【点评】本题考查O，E，C，D四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2016•南通模拟）已知变换T：→=，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【专题】转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】由题意求得变换矩阵T，根据二阶矩阵的求法，求得行列式丨A丨及其伴随矩阵，即可求得逆矩阵A﹣1．【解答】解：由题意可知设变换矩阵T=，∴=，∴，解得：，∴A=，丨A丨=1∴逆矩阵A﹣1=．【点评】本题考查矩阵的变换，考查逆变换与逆矩阵，矩阵变换是附加题中常考的，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•南京三模）在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求AB的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】把曲线C1的参数方程化为普通方程，把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心距离，即可得出最大值．【解答】解：曲线C1：（θ为参数），消去参数θ化为曲线C1：（x﹣3）2+（y ﹣4）2=4，曲线C1是以（3，4）为圆心，1为半径的圆；曲线C2：ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1，是以（0，0）为圆心，1为半径的圆，可求得两圆圆心距|C1C2|==5，∵AB≤5+2+1=8，∴AB的最大值为8．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•南京三模）已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】证明题．【分析】利用|m|+|n|≥|m﹣n|，将所证不等式转化为：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|2a﹣1|，再结合题意a≥2即可证得．【解答】证明：∵|m|+|n|≥|m﹣n|，∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|x﹣1+a﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|．又a≥2，故|2a﹣1|≥3．∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3（证毕）．【点评】本题考查绝对值不等式，着重考查|m|+|n|≥|m﹣n|的应用，考查推理证明能力，属于中档题．必做题25．（2016•南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得，+λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及点到直线的距离公式和综合运用数学知识解决问题的能力，属于中档题．26．（2016•南京三模）设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】（1）利用二项式定理计算可知f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7、21、35，通过验证即得结论；（2）通过假设+=2，化简、变形可知（2k﹣n）2=n+2，问题转化为求当n≤2016时n取何值时n+2为完全平方数，进而计算可得结论．【解答】（1）证明：f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为=7、=21、=35，∵+=2，即、、成等差数列，∴f（7）具有性质P；（2）解：设f（n）具有性质P，则存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使、、成等差数列，所以+=2，整理得：4k2﹣4nk+（n2﹣n﹣2）=0，即（2k﹣n）2=n+2，所以n+2为完全平方数，又n≤2016，由于442＜2016+2＜452，所以n的最大值为442﹣2=1934，此时k=989或945．【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及等差数列等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．。