宁阳一中高一数学竞赛试题

山东宁阳一中高一上学期数学竞赛检测试题
命题人 ：王峰
2012年12月13日晚上19:10~21:10
姓名_________ 班级__________分数 _______
一、 填空题（每小题3分，共30分）
1.集合{|,}M
x y x y R ==∈，{|,}N y y x y R ==∈，则集合M N = ________
2.若(1,1)1234f =，(,),(,1)3f x y k f x y k =+=-，则(1,2012)f =________
3.用{}m in ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设
{}()min 2,2,10(0),()x
f x x x x f x =+-≥则的最大值为________ 4.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，若)(x
g 是奇函数，),1()(-=x f x g
,2012)1(=g 则)2013(f 的值等于________ 5.若,,a b c 是三个互不相等的实数，且满足关系式
222221614,45b c a a bc a a +=++=--，则a 的取值范围是______
6.若实数、x y 满足
20132013(1)2013(1)10,(1)
2013(1)1,-+-+=-+-=x x y y 则___
x y += 7.使不等式2log 0m x x -<在1(0,)2上恒成立的m 的取值范围是________
8.正六棱锥底面边长为a ,32a ,则侧棱与底面所成的角为__
9.代数式54222222+++++y x y xy x 的最小值为________
10.集合B A ,的并集},,{321a a a B A = ，当B A ≠时，),(B A 与),(A B 视为不同的对，则这样的),(B A 对的个数为_________
二、解答题（每小题15分，共90分）
11.对集合{1,2,,2013}
A= 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下：把子集中的数按递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减
相继各数，如}9,6,4,2,1{的“交替和”是6
-
+
-，集合}
+
6
1
9=
2
4
,7{的“交
10
替和”是3
10=
-，集合}5{的“交替和”是5等等。

试求A的所有“交替
7
和”的总和.
1.
12.设b
=2
(，求证：|)3(
+
)
f+
x
ax
x
f
f中至少有一个不小于
|f
||,
||,
)2(
)1(
2
13.是否存在实数a 、b 、c ，使函数c bx ax x f ++=2)(的图像过点)0,1(-M ，且满足条件：对一切R x ∈，都有)1(21)(2x x f x +≤≤
？证明你的结论。

14.已知定义在R 上的单调函数)(x f 满足)()()(y f x f y x f +=+且.2)1(=f
（1）求证：)(x f 为奇函数；
（2）当2>t 时，不等式0
)2log (log )log (2222<--+t t f t k f 恒成立，求实数k 的取值范围。

15. 4个平面可以将空间最多划分为多少个区域？证明之.
16.在每个边长均为1的正三棱锥内有13个点，其中任意三点不共线，任意四点不共面，试证：其中一定有一个以这些点中的四个点为顶点的三棱锥，其体积.482 V。