第七章线性变换7.2(2)

A 是 P[t] 中线性变换： 中线性变换： A f1 = 2 + t A f 2 = t A f 3 = 1 + t + t (A g 1 , A g 2 , A g 3 1).求 A 在基(II )下的矩阵 2).设f (t ) = 1 + 2t + 3t ，求A [f(t)] = (g , g , g ) M
∴ M = B -1 CA -1 B
就是
A
在基(II )下的矩阵
1 2 - 2 M = 1 -1 2 0 1 -1
2)
(
利用Y = TX
A
1,
A
t,
A
t
2
) = (1 , t , t 2 )T
( 2). 或：只要写出
A
∴
1 2 Q f = (1, t , t ) 2 3
4. 幂： A
k
A
0
注：1). ( A
4). 线性变换的多项式 m 设f ( x ) = a 0 + a1 x + L + a m x a 0 + a1 A + L + a m A 称 f (A )
= A 2). A A = A 3). ( A B ) ≠ A B
k1
=
= A A L A {
k个
k 1k 2 k1 +k 2
ε 1 = a11ε 1 + a 21ε 2 + L + a n1ε n ε 2 = a12ε 1 + a 22ε 2 + L + an2ε n
LLLLLL
ε n = a1nε 1 + a 2nε 2 + L + a nnε n
称为
A
L 在基 ε 1，ε 2， ，ε n 下的矩阵
注： 1).
R 2中 例：
例： B = 设
求
1 2 在P 2×2中线性变换 3 4
A ( X) = BX
解：
A A
1 0 (E11 ) = BE11 = 3 0 = 1 ⋅ E11 + 0 ⋅ E12 + 3E 21 + 0 ⋅ E 22 0 1 (E12 ) = BE12 = 0 3 = 0 ⋅ E11 + 1 ⋅ E12 + 0 ⋅ E 21 + 3 ⋅ E 22 2 0 (E 21 ) = BE 21 = 4 0 = 2 ⋅ E11 + 0 ⋅ E12 + 4 ⋅ E 21 + 0 ⋅ E 22 0 2 (E 22 ) = BE 22 = 0 4 = 0 ⋅ E11 + 2 ⋅ E12 + 0 ⋅ E 21 + 4 ⋅ E 22
求
A
的矩阵的写法： 的矩阵的写法：
A ( x, y ) = ( xcosθ − ysin θ , xsinθ + ycosθ )
A
在基 ε 1 = (1,0)，ε 2 = (0,1)下的矩阵
A A
ε 1 = (cosθ , sinθ ) = ε 1cosθ + ε 2sinθ ε 2 = ( −sinθ , cosθ ) = − ε 1sinθ + ε 2cosθ
线性变换的定义、 一.线性变换的定义、性质 、运算
线性变换变相关向量组 仍为相关向量组
1.加法： 加法：
A +
) (α ) =
(A
证：
+ A +
A
(α )
+
(α )
仍是V 仍是 的线性变换
(A
+
) (kα + lβ ) =
A (kα + lβ ) +
(kα + lβ )
= kA (α ) + lA ( β ) + k (α ) + l ( β ) = k[ A ( α ) + (α )] + l[ A ( β ) + ( β )] ) (α ) + l (A + ) (β ) = k (A +
k
)
k2
k1
k2
k
k
=
m
为
A
的多项式
f ( A ) 仍是线性变换 f (A ) g(A )
=
g(A ) f ( A )
5.线性变换的逆 ( I → V的线性变换，若∃V → V的线性变换
则称
记作： B 是 A 的逆变换 , 记作：B = A 称 A 可逆 注： A 可逆 ⇔ A 是 1 − 1映射 ? 证：⇐ 易见 ( ⇒ α ≠ β 时， 若 A -1α) = A (β ) -1 则 A A (α) = A A (β ) ∴ α = β 矛盾
令 W = {V的所有线性变换 } 问： W 在 P 上关于线性变换的加法 和数乘 是否构成线性空间？ 是否构成线性空间？
上的线性空间， 设 V 是数域 P 上的线性空间，
W≠Φ
Q
∈W
k
A +B
∈W
A
∈W
可证得八条成立
P 上 V的所有线性变换 , 关于线性变换的加法和 数乘
构成线性空间
( 一 ).线性变换的矩阵
( g 1 , g 2 , g 3 ) = (1, t , t )B L (2)
2
1 1 0 B = -1 0 1 0 1 2
(
A f1 , A
) = (1, t , t 2 )C L (3) f3 f2 , 2 0 1 C = 0 1 1 1 0 1
A
A (g , g , g 由(1)得 A ( f , f
由(2)
1 2
1
3) =
2 , f3
A (1, t , t )B ) = A (1, t , t
2
2
)A
(
A g 1 , A g 2 , A g 3 ) = (A f1 , A f 2 , A
2 -1
f3
) A -1 B
= ( g 1 , g 2 , g 3 )B -1 (CA -1 B) = (1, t , t )( CA B)
∴ A惟一
A A
则
A ξ = x α + x α +L+ x α 由于 A ε i =α = a ε + a ε + L + a ε L 于是 A 在基 ε ，ε ， ，ε 下的矩阵为 下证A 是线性变换
1
i
∀ξ ∈ V 若ξ = x1ε 1 + x 2ε 2 + L + x nε n
1 2 2 n n
A ξ = A (x ε + x ε = x Aε 1 + x Aε 2 +
1 1
2 2
+ L + x nε n )
1
2
=(
A ε 1， ε 2， A ε n ) A L
x1 x2 M x n
L+
x1 x2 = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A M x n
n -1
中线性变换： 例：P[x]n 中线性变换：
A
E
数乘变换呢？ 数乘变换呢？
f ( x) = f ' ( x)
求
n -1
n -1
n -1
n-2
n- 2
+ 0 ⋅ x n -1
0 0 1 0 L 0 0 0 2 L A = L L L L L 0 0 0 L n − 1 0 0 0 L 0
-1
AB
= BA =
B
A (α) ≠ A (β )
A
是单射
A (η ) ∈ V , -1 A (α) = A A (η ) = η A 是满射 A 是 1 − 1映射 的变换， B 是R 的变换， 例： 设 A 、 A (x, y, z ) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z ) 求证：B A 求证： = B (x, y , z ) = (x + 3y + 14z, y + 4z, z )
3
2
2
)
2
1
2
3
解： 自然基为
1, t , t
2
由已知 ( f 1 , f 2 , f 3 ) = (1, t , t ) A L (1) f 1 , f 2 , f 3的过渡矩阵
2
A为1, t , t 到
2
( f 1 , f 2 , f 3 ) = (1, t , t 2 ) A L (1)
1 0 1 A = 0 1 2 2 2 5
-1
3
∀η ∈ V ,
设α =
-1
例： 在P 3中，
A
( x, y , z ) = ( 2x - y , y + z , x)
B (x, y , z ) = (-z, y ,− x) 求 : A + B , A B , 2 2 2 2 2 BA , A , B , A B , (A B ) , -1 −1 A ,B
2. 数量乘法： 数量乘法：
k
(k A ) (α ) = k
3. 乘法： 乘法：
A A (α )
A
=
(α )
注：1).
(
A
)(α )
A = kA [A (α ) ] = k A
=A
(
(α ) ) (α ) = (k A ) (α )