四川省绵阳南山中学2020届高三三诊模拟考试理数

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2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x =3n +2,n ∈N}，B ={6,8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 22. 复数 i ⋅(1−i)=( )A. 1+iB. −1+iC. 1−iD. −1−i3. 已知a =log 25，2b =3，则2a+b = ( )A. 15B. 6C. 10D. 54. 如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14,18)内的频数是12，则样本数据落在[6,10)的频数是( )A. 12B. 16C. 18D. 205. 若(x −1√x )n 展开式的各项二项式系数和为512，则展开式中的常数项( )A. 84B. −84C. 56D. −566. 在△ABC 中，sinB =1213，cosA =35，则sin C 为( )A. 1665B. 5665C. 6365D. 1665或56657. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√38. 已知点A(2√5,3√10)在双曲线x 210−y 2b2=1(b >0)上，则该双曲线的离心率为( )A. √103B. √102C. √10D. 2√109. 已知函数f(x)={x 2+1,(x >0)cosx,(x ≤0)，则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)的值域为[−1,+∞)D. f(x)是周期函数10. 已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( )A. 关于点(π3,0)对称 B. 关于直线x =π4对称 C. 关于点(π4,0)对称D. 关于直线x =π3对称11. 设函数f(x)={4x −4,x ≤1x 2−4x +3,x >1，则函数g(x)=f(x)−log 2x 的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 如图，∠C =90°，AC =BC ，M ，N 分别为BC 和AB 的中点，沿直线MN将△BMN 折起，使二面角B′−MN −B 为60°，则斜线B′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A. √25B. √35C. 45D. 35二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知sin α2−cos α2=15，则sinα=_____．14. 曲线f(x)=2−xe x 在点(0,2)处的切线方程为______ ．15. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 2=1的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为______．16. 将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a n >0，其前n 项和S n 满足S n 2−(n 2+2n −1)S n −(n 2+2n)=0．(Ⅰ) 求{a n }的通项公式a n ； (Ⅱ) 若b n =a n −52n，求b 2+b 4+⋯+b 2n ．CD=2，18.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=12当点M为EC中点时．(1)求证：BM//平面ADEF；(2)求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．19.近几年来，网上购物已成潮流，快递业迅猛发展．为了解某地区快递员的收入情况，现随机抽取了甲、乙两家快递公司30天的送货单，对两个公司的快递员平均每天的送货单数进行统计，数据如下：已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪90元，每单抽成1元；乙公司规定底薪120元，每日前40单无抽成，超过40单的部分每单抽成t元．(Ⅰ)分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资y1，y2(单位：元)与送货单数n的函数关系式；(Ⅱ)根据以上统计数据，若将频率视为概率，回答下列问题：(ⅰ)记甲快递公司的快递员的平均日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(ⅰ)小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20.已知函数f(x)=ax2+bx−lnx(a,b∈R)．(1)当a=8，b=−6时，求f(x)的零点个数；(2)设a>0，且x=l是f(x)的极小值点，试比较ln a与−2b的大小．21.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线与y轴的交点为Q，过点Q的直线l，抛物线C相交于不同的A，B两点．(1)若|AB|=4√15，求直线l的方程；(2)若点F在以AB为直径的圆外部，求直线l的斜率的取值范围．)=2，若直线l 22.在极坐标系Ox中，设曲线C的方程为ρ=4sinθ，直线l的方程为psin(θ+π3与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．23.设函数f(x)=|2x−1|(1)解关于x的不等式f(2x)≤f(x+1)(2)若实数a，b满足a+b=2，求f(a2)+f(b2)的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查集合的交集运算和元素个数的求解．解：由已知得A={2,5，8，11，14，17，…}，又B={6,8，10，12，14}，所以A∩B={8,14}．故选D．2.答案：A解析：解：复数i⋅(1−i)=1+i．故选A．利用复数的运算法则即可得出．熟练掌握复数的运算法则及i2=−1是解题的关键．3.答案：A解析：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质即可求解．解：∵a=log25，b=log23，∴a+b=log215，∴2a+b=2log215=15，故选A．4.答案：B解析：本题考查频率分布直方图，考查推理能力和计算能力，属于基础题．先求出n ，再利用频数=频率×样本容量即可求解．解：由样本数据在[14,18)内的频数是12得样本容量n =121−4×(0.02+0.08+0.09)=50，则样本数据落在[6,10)的频数是50×4×0.08=16，故选B ．5.答案：A解析：解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n =9，T r+1=(−1)r C 9rx18−3r2；令18−3r =0，则r =6，所以该展开式中的常数项为84．故选：A ．结合二项式定理，即可求出展开式的所有二项式系数的和，然后求出n 的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，特定项的求法，考查计算能力．6.答案：D解析：解：∵在△ABC 中，由cos π4=√22>cosA =35>12=cos π3，A ∈(0,π)，∴π4<A <π3，∴sinA =√1−cos 2A =45，∴√32<sinB =1213<1∴π3<B <π2，或π2<B <2π3，∴cosB =√1−sin 2B =±513，sinA =√1−cos 2A =45，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =513×45+35×1213=5665，或sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =−513×45+35×1213=1665，故选：D ．先判断A ，B 的范围，利用同角的三角函数的关系和两角和的正弦即可求得答案本题考查两角和与差的正弦函数，关键在于由已知条件判断A、B、C的范围，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．7.答案：C解析：本题主要考查平面向量的数量积.由a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ 结合平面向量的数量积运算可得答案解：依题意，|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =1×1×12=12，所以a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =2．故选C．8.答案：C解析：利用双曲线上的点在双曲线上求解b，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．解：点A(2√5,3√10)在双曲线x210−y2b2=1(b>0)上，可得2010−90b2=1，可得b=3√10，又a=√10，所以c=10，双曲线的离心率为：e=√10=√10．故选：C．9.答案：C解析：解：由解析式可知当x≤0时，f(x)=cosx为周期函数，当x>0时，f(x)=x2+1，为二次函数的一部分，故f(x)不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、D，对于C，当x≤0时，函数的值域为[−1,1]，当x>0时，函数的值域为(1,+∞)，故函数f(x)的值域为[−1,+∞)，故C正确．故选：C．由三角函数和二次函数的性质，结合函数的奇偶性、单调性和周期性，及值域，分别对各个选项判断，可得A，B，D错，C正确．本题考查分段函数的应用，考查函数的奇偶性、单调性和周期性，涉及三角函数的性质，属中档题．10.答案：A解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．利用函数y=Asin(ωx+φ)的周期性得ω=2，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称性计算得结论．解：因为函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，所以2πω=π，即ω=2，因此函数f(x)=sin(2x+π3)．由2x+π3=kπ(k∈Z)得x=kπ2−π6(k∈Z)，所以对称点为(kπ2−π6, 0)(k∈Z)，当k=1时，对称点为(π3,0)，令2x+π3=kπ+π2(k∈Z)得对称轴x=kπ2+π12，因此直线x=π3和x=π4均不为对称轴，故选A．11.答案：C解析：解：g(x)=0得f(x)=log2x，在同一坐标系下分别作出函数y=f(x)与y=log2x的图象，如图：由图象可知两个图象共有3个交点，则函数g(x)=f(x)−log2x的零点个数为3个．故选C．令g(x)=0，得到方程f(x)=log2x，然后分别作出函数y=f(x)与y=log2x的图象，观察交点的个数，即为函数g(x)的零点个数．本题考查函数与方程问题，求解此类问题的基本方法是令g(x)=0，将函数分解为两个基本初等函数，然后在同一坐标系下，作出两函数的图象，则两函数图象的交点个数，即为函数零点的个数．12.答案：B解析：此题重点考查了折叠图形的做题关键应抓住折叠前与折叠后之间的变量与不变量，还考查了二面角的概念及直线与平面所成角的概念吧，此外多次使用了求解时把边与角放到直角三角形中进行求解的方法．由题意及折叠之前与折叠之后BM与CM都始终垂直于MN，且折叠之前图形为等腰直角三角形，由于要求直线与平面所成的线面角，所以由直线与平面所陈角的定义要找到斜线B′A在平面ACB内的射影，而射影是有斜足与垂足的连线，所以关键是要找到点B′在平面ABC内的投影点，然后放到直角三角形中进行求解即可．解：由题意做出折叠前与折叠之后图形为：由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，所以折叠之后平面B′MN与平面BMN所成的二面角即为∠B′MH=60°，并且B′在底面ACB内的投影点H就在BC上，且恰在BM的中点位置，连接B′A和AH，在直角三角形ACH中AH=54a；在直角三角形B′MH中，由于BM=12a，∠B′MH=60°，∠BHM=90°，所以B′M=√34a，最后在直角三角形B′AH中tan∠B′AH= B′HAH =√34a54a=√35，故选B．13.答案：2425解析：本题考查三角函数的同角三角函数基本关系，与二倍角公式的应用，属于基础题．平方后利用三角函数的同角三角函数平方关系，与二倍角公式求出结果．解：∵sinα2−cosα2=15，∴(sinα2−cosα2)2=sin2α2−2sinα2cosα2+cos2α2=1−2sinα2cosα2=1−sinα=125，∴sinα=2425．故答案为2425．14.答案：x+y−2=0解析：解：f(x)=2−xe x的导数为f′(x)=−(1+x)e x，可得在点(0,2)处的切线斜率为k=−1，即有在点(0,2)处的切线方程为y=−x+2，即为x+y−2=0．故答案为：x+y−2=0．求得函数的导数，求出切线的斜率，由斜截式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，正确求导和运用直线方程是解题的关键．15.答案：√33解析：本题考查了椭圆的定义以及椭圆的简单性质的应用，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．由题意，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3；从而由余弦定理求解，从而求面积．解：由题意，F1，F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3，则由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2−2|F1P||PF2|cos60°，故12=(|F1P|+|PF2|)2−2|F1P||PF2|cos60°−2|F1P||PF2|，故12=16−3|F1P||PF2|，故|F1P||PF2|=43，故△PF1F2的面积S=12|F1P||PF2|⋅sin60°=√33，故答案为：√33．16.答案：4+2√2解析：解：作出正四棱柱的对角面如图，∵底面边长为6，∴BC=6√2，球O的半径为3，球O1的半径为1，则OA=12BC−O1N=3√2−√2=2√2，在Rt△OAO1中，OO1=4，∴O1A=√42−(2√2)2=2√2，∴正四棱柱容器的高的最小值为4+2√2．故答案为：4+2√2．由题意画出图形，然后通过求解直角三角形得答案．本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0，得[S n−(n2+2n)](S n+1)=0，由a n>0，可知S n>0，故S n=n2+2n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，符合上式，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．(Ⅱ)解：依题意，b n=a n−52n =2n−42n=n−22n−1，则b2n=2n−222n−1=(n−1)⋅(14)n−1，设T n=b2+b4+⋯+b2n，故T n=0+14+242+343+⋯+n−14n−1，而4T n=1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n =1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n =19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n =n 2+2n ，得到数列首项，再由a n =S n −S n−1(n ≥2)求{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n =a n −52n，得到b 2n ，再由错位相减法求得b 2+b 4+⋯+b 2n ．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．18.答案：(1)证明：以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,4，0)，E(0,0，2)，M(0,2，1)， ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)，又DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量， ∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即BM →⊥DC →， ∴BM//平面ADEF ，(2)解：设M(x,y ，z)，则EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z −2)，又EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)，设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即M(0,2，1)，设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面BDM 的一个法向量，则DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2x 1+2y 1=0，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4λy 1+(2−2λ)z 1=0，取x 1=1得 y 1=−1，z 1=2，即n⃗ =(1,−1,2)，又由题设，DA →=(2,0,0)是平面ABF 的一个法向量， ∴|cos <DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=22√2+4=√66． ∴平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角为．解析：本题考查线面平行，考查平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量，证明BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明BM//平面ADEF ；(2)求出平面BDM 的一个法向量、平面ABF 的一个法向量，利用向量的夹角公式求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角．19.答案：解：(Ⅰ)甲快递公司的快递员的日工资y 1(单位：元)与送货单数n 的函数关系式：y 1=90+n(30≤n ≤60)．乙快递公司的快递员的日工资y 2(单位：元)与送货单数n 的函数关系式：y 2={120(30≤t ≤40),120+(n −40)t(t >40).(Ⅱ)(ⅰ)X 的分布列如下：E(X)=120×6+130×3+140×13+150×16=135．(ⅰ)由(Ⅰ)可得乙快递公司的快递员的日工资的平均工资为120×15+12(120+10t)+3(120+20t)30=120+6t ．∴当120+6t <135，即0<t <52时，小赵应选择甲快递公司；当120+6t =135，即t =52时，小赵选择甲、乙快递公司均可；当120+6t >135，即t >52时，小赵应选择乙快递公司．解析：本题考查频数分布表、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查考生的应用意识以及等价转化思想．(Ⅰ)由甲、乙快递公司的快递员的日工资y 1，y 2(单位：元)与送货单数n 的个数和利用频数分布表求解；(Ⅱ)(ⅰ)建立X 的分布列，再利用数学期望公式求解；(ⅰ)由(Ⅰ)可得乙快递公司的快递员的日工资的平均工资，比较120+6t 和135即可得结论．20.答案：解：(1)∵a =8，b =−6，f ′(x)=(2x −1)(8x +1)x(x >0)当0<x <12时，f′(x)<0，当x >12时，f′(x)>0，故f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(12)，又∵f(12)=−1+ln2<0， ∴f(x)有两个零点； (2)依题有f′(1)=0， ∴2a +b =1即b =1−2a ， ∴lna −(−2b)=lna +2−4a ，令g(a)=lna +2−4a ，(a >0) 则g′(a)=1a −4=1−4a a，当0<a <14时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当a >14时，g′(a)<0，g(a)单调递减．因此g(a)<g(14)=1−ln4<0，故lna <−2b ．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；(2)求出b =1−2a ，作差lna −(−2b)=lna +2−4a ，根据函数的单调性求出g(a)的最大值，从而判断出ln a 和−2b 的大小即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．21.答案：解：(1)由抛物线C ：x 2=4y ，可得Q(0,−1)，且直线l 斜率存在，∴可设直线l ：y =kx −1，由{y =kx −1x 2=4y ，得：x 2−4kx +4=0，令△=16k 2−16>0，解得：k <−1或k >1．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4，∴|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2−16=4√k 4−1． ∵|AB|=4√15，∴k 4−1=15，解得k =±2，∴直线l 的方程为：y =±2x −1；(2)由(1)知，k <−1或k >1，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4， ∵点F 在以AB 为直径的圆外部，∴FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)⋅(x 2,y 2−1)=x 1x 2+y 1y 2−(y 1+y 2)+1=(1+k 2)x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4=8−4k 2>0，解得：k 2<2，即−√2<k <√2．又k <−1或k >1，∴直线l 的斜率的取值范围是(−√2,−1)∪(1,√2).解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．(1)由抛物线方程可得Q(0,−1)，设直线l ：y =kx −1，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横坐标的和与积，结合弦长公式求得k ，进一步得到直线l 的方程；(2)由点F 在以AB 为直径的圆外部，可得FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，结合(1)中根与系数的关系及判别式求得直线l 的斜率的取值范围．22.答案：解：曲线C 的方程为ρ=4sinθ，转换为直角坐标方程为：x 2+(y −2)2=4，直线l 的方程为psin(θ+π3)=2，转换为直角坐标方程为：√3x +y −4=0，则圆心(0,2)到直线√3x +y −4=0的距离d =√3+1=1，且|AB|=2√22−1=2√3，所以S △AOB =12×2√3×1=√3．解析：本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)|4x −1|≤|2x +1|⇔16x 2−8x +1≤4x 2+4x +1⇔12x 2−12x ≤0，解得x ∈[0,1]，故原不等式的解集为[0,1]．(2)f(a2)+f(b2)=|2a2−1|+|2b2−1|≥|2(a2+b2)−2|，2(a2+b2)≥(a+b)2=4．从而2(a2+b2)−2≥2，即f(a2)+f(b2)≥2，取等条件为a=b=1．故f(a2)+f(b2)的最小值为2．解析：(1)去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．(2)利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．本题考查不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模模拟理科数学试卷-学生用卷

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模模拟理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第1题5分集合A={x∣x(x−2)>0}，B={x∣x−1>0}，则A∩B=（）．A. {x∣x>2}B. {x∣1<x<2}C. {x∣x<0或x>1}D. {x∣x>1}2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第2题5分若复数z满足z−√3(1+z)i=1，复数z的共轭复数是z，则z+z=（）．A. 1B. 0C. −1D. −12+√32i3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第3题5分在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=4，∠C=120°，则c=（）．A. 37B. 13C. √13D. √374、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第4题5分直线ax+by+√2ab=0(ab>0)与圆x2+y2=1的位置关系是（）．A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切5、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第5题5分在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE→=2EO→，则ED→=（）．A. 23AD→−13AB→B. 23AD→+13AB→C. 13AD→−23AB→D. 13AD→+23AB→6、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第6题5分若a∈[1,6]，则函数y=x 2+ax在区间[2,+∞)上单调递增的概率是（）．A. 15B. 25C. 35D. 457、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第7题5分2020年安徽合肥高三零模理科第10题5分函数f(x)=ln⁡x⋅(e x−1)e x+1的图象大致为（）．A.B.C.D.8、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第8题5分一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）．A. 24πB. 8√6πC. 4√33πD. 12π9、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第9题5分(x−1x +1)5展开项中的常数项为（）．A. 1B. 11C. −19D. 5110、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第10题5分△ABC中，lg⁡cos⁡A=lg⁡sin⁡C−lg⁡sin⁡B=−lg⁡2，则△ABC的形状是（）．A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形11、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第11题5分点A ，B ，C 是单位圆O 上的不同三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若OC →=mOA →+nOB →（m >0，n >0），m +n =2，则∠AOB 的最小值为（）．A. π6B. π3C. π2D. 2π312、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第12题5分直线y =kx +1与抛物线C ：x 2=4y 交于A ，B 两点，直线l//AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记△PAB 的面积为S ，则S −|AB|的最小值为（）．A. −94B. −274C. −3227D. −6427二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第13题5分已知f(x)=sin⁡[π3(x+1)]−√3cos⁡[π3(x+1)]，则f(1)+f(2)+⋯+f(2020)=．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第14题5分已知x，y满足{x⩾1 x+y⩽4ax+by+c⩽0，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则a+b+ca=．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第15题5分若f(x)=13kx3+(k−2)x2−5k+7在(0,2)上单调递减，则k的取值范围是．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第16题5分2020年安徽合肥高三零模理科第15题5分若函数f(x)=2|x−2a|−4|x+a|在区间(−2,+∞)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第17题12分a n+1，n∈N∗．在数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+⋯+na n=n+12(1) 求数列{a n}的通项a n．(2) 若存在n∈N∗，使得a n⩽(n+1)λ成立，求实数λ的最小值．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第18题12分绵阳市为了激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如下表所示．(1) 根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210)，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P(36<Z⩽79.5)．(2) 在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：(i)得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会．(ii)每次抽奖所获奖券和对应的概率为：现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式，√210≈14.5．若X∼N(μ,σ2)，则①P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6827；②P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9545；③P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9973．19、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第19题12分如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．(1) 求证：AB 1⊥CC 1．(2) 若AB 1=√6，求平面A 1B 1C 1和平面ACB 1所成锐二面角的余弦值．20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第20题12分 2020年安徽合肥高三零模理科第22题12分已知f (x )=e x −mx ．(1) 若曲线y =ln⁡x 在点(e 2,2)处的切线也与曲线y =f (x )相切，求实数m 的值．(2) 试讨论函数f (x )零点的个数．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第21题12分已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P (1,32)在椭圆C 上，满足PF 1→⋅PF 2→=94．(1) 求椭圆C 的标准方程．(2) 直线l 1过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线l 2与l 1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点M ，N ，与直线x =1交于点K （K 介于M ，N 两点之间）．① 求证：|PM |⋅|KN |=|PN |⋅|KM |．②是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出l2的方程，若不能，请说明理由．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第22题10分2017~2018学年4月四川成都双流区高三下学期月考理科第22题10分2018年四川宜宾高三二模文科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosαy=2sinα(α为参数)．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ=√3．(1) 求曲线C1的极坐标方程．(2) 设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三三模理科（模拟）第23题10分已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x．(1) 解关于x的不等式g(x)⩾f(x)−|x−1|．(2) 如果对任意的x∈R，不等式g(x)+c⩽f(x)−|x−1|恒成立，求实数c的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 D;13 、【答案】√3;14 、【答案】−2;15 、【答案】(−∞,1];16 、【答案】a=0或a⩾12;17 、【答案】 (1) a n={1,(n=1)2n×3n−2,(n⩾2)．;(2) 13．;18 、【答案】 (1) 0.8186．;(2)EX=36．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 35．;20 、【答案】 (1) m=1−e−2．;(2) 0⩽m<e时，f(x)无零点；m<0或m=e时，f(x)有一个零点；m>e时，f(x)有两个零点．;21 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2)①证明见解析．②不存在直线l2,证明见解析．;22 、【答案】 (1) C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．;(2) △ABO的面积为√3．;23 、【答案】 (1) [−1,12]．;(2) (−∞,−98]．;。

2020届四川省绵阳南山中学高三三诊模拟数学(理)试题(解析版)

2020届四川省绵阳南山中学高三三诊模拟数学（理）试题一、单选题1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =IA ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >【答案】C【解析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B =I {|2}x x >.【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A B =I {|2}x x >，故选C.【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.2．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（）A ．1B ．0C ．1-D ．132-+ 【答案】C【解析】根据复数代数形式的运算法则求出z ，再根据共轭复数的概念求解即可．解：∵331z i zi -=，∴3132213i z i i==-+-，则1322z i =--， ∴1z z +=-，故选：C ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题．3．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（）A ．37B ．13C 13D 37【答案】D【解析】直接根据余弦定理求解即可．【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，∴37c =【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．4．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切【答案】D【解析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论．【详解】解：由题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，∵圆心到直线的距离为222ab d a b=+222a b ab +≥Q ，1d ∴≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．5．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u v u u u v，则ED =u u u v（）A ．1233AD AB -u u u v u u u v B ．2133AD AB +u u uv u u u v C ．2133AD AB -u u uv u u u vD ．1233AD AB +u u uv u u u v【答案】C【解析】画出图形，以,?AB AD u u u v u u u v 为基底将向量ED u u u v进行分解后可得结果．【详解】画出图形，如下图．选取,?AB AD u u u v u u u v为基底，则()211333AE AO AC AB AD ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴()121 333ED AD AE AD AB AD AD AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v =-=-+=-．故选C ．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．6．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（）A ．45 B ．35 C ．25 D ．15【答案】B【解析】Q 函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增， 222'10a x a y x x -∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立， 2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤， [][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴Q 函数2x a y x +=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-，故选B.7．函数(1)()ln 1x xx e f x e ⋅-=+的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用()()f x f x -=得()f x 图象关于y 轴对称，排除,A D ，当0x →时，()f x →-∞，排除C.【详解】(1)()ln 1x x x e f x e ---⋅--==+()(1)ln ()1x xx e f x e-⋅-=+，所以()f x 图象关于y 轴对称，排除,A D ；当0x →时，()f x →-∞，排除C ，故选B.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象，注意从解析式得到函数的性质，如过特殊点、奇偶性、函数值正负等.8．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（）A ．24πB ．6πC ．33πD ．12π【答案】A【解析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，∵四面体所有棱长都是4，∴正方体的棱长为2设球的半径为r ，则()222224r =+，解得6r =所以2424S r ππ==，故选：A ．【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．9．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．51【解析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况：（1）5个括号都出1，即1T =；（2）两个括号出x ，两个括号出1()x-，一个括号出1，即2222531()130T C x C x=⋅⋅⋅-⋅=；（3）一个括号出x ，一个括号出1()x -，三个括号出1，即11541()120T C x C x=⋅⋅⋅-⋅=-；所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B.【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.10．中，如果，则的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】化简得lg cos A ＝lg ＝﹣lg 2，即，结合，可求，得代入sinC ＝sinB ，从而可求C ，B ，进而可判断.由，可得lg cos A ＝＝﹣lg 2，∴，∵，∴，，∴sin C ＝sin B ＝＝，∴tanC ＝，C ＝，B ＝.故选：B【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．11．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=u u u r u u u r u u u r，则AOB ∠的最小值为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】D【解析】由题意得2212cos m n mn AOB =++∠，再利用基本不等式即可求解．【详解】将OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r平方得2212cos m n mn AOB =++∠，222211()2331cos 1122222()2m n m n mn AOB m n mn mn mn ---++∠===-+≤-+=-+⨯ （当且仅当1m n ==时等号成立），0AOB π<∠<Q ，AOB ∴∠的最小值为23π，故选：D ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．12．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB V 的面积为S ，则S AB -的最小值为( )A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-【答案】D【解析】设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值．【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=则124x x k +=，()21212242y y k x x k +=++=+则21244AB y y p k =++=+由24x y =，得24x y = 12y x ⇒'=设()00,P x y ，则012x k = 02x k ⇒=，20y k = 则点P 到直线1y kx =+的距离211d k +≥从而()2212112S AB d k k =⋅=++()()()2223221141241S AB k k k d d d -=+++=-≥．令()3224f x x x =- ()()2681f x x x x ⇒-'=≥当413x ≤≤时，()0f x '<；当43x >时，()0f x '>故()min464327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即S AB -的最小值为6427- 本题正确选项：D【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.二、填空题13．已知()sin[(1)3(1)]33f x x x ππ=++，则(1)(2)(3)...(2020)f f f f ++++=_____3【解析】化简得()2sin3f x x π=，利用周期即可求出答案．【详解】解：()sin[(1)]3cos[(1)]2sin 333f x x x x πππ=++=， ∴函数()f x 的最小正周期为6，∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，(1)(2)(3)...(2020)(1)(2)(3)(4)3f f f f f f f f ∴++++=+++=3【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题．14．已知,x y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则a b ca++=___________．【答案】-2【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．【详解】由题意得：目标函数2z x y =+在点B 取得最大值为7，在点A 处取得最小值为1，∴()A 11-，，()31B ，，∴直线AB 的方程是：20x y --=，∴则2a b ca++=-，故答案为2-.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．15．若321()(2)573f x kx k x k =+--+在()0,2上单调递减，则k 的取值范围是_______【答案】(,1]-∞【解析】由题意可得导数()0f x '≤在()0,2恒成立，解出即可．【详解】解：由题意，2()2(2)f'x kx k x =+-，当0k ≤时，显然()0f x '<，符合题意；当0k >时，()0f x '<在()0,2恒成立，∴(0)0,(2)0,(0,1]f f k '≤≤∴∈，∴(,1]k ∈-∞，故答案为：(,1]-∞．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．16．若函数2()24x ax af x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围有___________.【答案】0a =或12a ≥【解析】函数2()24x ax af x -+=-的零点⇔方程224x a x a -+=的根，求出方程的两根为14x a =-，20x =，从而可得40a -=或42a -≤-，即0a =或12a ≥. 【详解】函数2()24x ax af x -+=-在区间(2,)-+∞的零点⇔方程224x a x a -+=在区间(2,)-+∞的根，所以|2|2||x a x a -=+，解得：14x a =-，20x =，因为函数2()24x ax af x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，所以40a -=或42a -≤-，即0a =或12a ≥. 【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.三、解答题17．在数列{}n a 中，1123111,23 (2)n n n a a a a na a ++=++++=，n *∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在n *∈N ，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值【答案】（1）21,123,23n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）13 【解析】（1）由1231123 (2)n n n a a a na a ++++++=得123123...(1)2n n na a a n a a -++++-=，两式相减可得{}n na 是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；（2）(1)n a n λ≤+1na n λ⇔≥+，分类讨论，当2n ≥时，2231(1)n n a n n n -⨯=++，作商法旗开得胜可得数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列，由此可得答案，【详解】解：（1）因为1231123 (2)n n n a a a na a ++++++=，123123...(1)2n n na a a n a a -∴++++-=，两式相减得：1122n n n n nna a a ++=-，即()113n n n a na ++=，{}n na ∴是从第二项开始的等比数列，∵11,a =∴21a =，则223n n na -=⨯，21,123,23n n n a n -=⎧⎪∴=⎨⨯≥⎪⎩；（2）(1)n a n λ≤+1na n λ⇔≥+，当1n =时，1122a =；当2n ≥时2231(1)n n a n n n -⨯=++，设223(1)3(),1,()(1)()2n f n nf n f n n n f n n -⨯+=∴=>∴++递增， min 1()(2)f n f ∴==，所以实数λ的最小值13．【点睛】本题主要考查地推数列的应用，属于中档题．18．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．组别[)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数25150200250 225 100 50（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.（ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元20 40概率34 14现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．21014.5≈，若()2,X Nμσ:，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.【答案】（1）0.8186；（2）见解析. 【解析】（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数μ的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表示为362μσ=-，79.5μσ=+，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为12，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.【详解】（1）由题意可得352545150552006525075225851009550651000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，易知21014.5σ=≈，36652965214.52μσ∴=-=-⨯=-，79.56514.5μσ=+=+，()()()()3679.522P Z P Z P Z P Z μσμσμσμμμσ∴<≤=-<≤+=-<≤+<≤+()()0.95450.6827022.818622P X P X μσμσμσμσ+===-<≤++-<≤+；（2）根据题意，可得出随机变量X 的可能取值有20、40、60、80元，()13320248P X ==⨯=，()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=，()113360224416P X ==⨯⨯⨯=，()11118024432P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X20 40 60 80P381332 316 132所以，随机变量X 的数学期望为31331752040608083216322EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，11160ACC CC B ∠=∠=︒，2AC =．（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若16AB =，求平面1CAB 与平面11A AB 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）105．【解析】试题分析：（1）取1CC 中点O ，连OA ，1OB ，由等边三角形三边合一可知1CC OA ⊥，1CC OB ⊥，即证．（2）以1OB ，1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面1CAB 与平面11A AB 所成的锐二面角的余弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：连1AC ，1CB ，则1ACC V 和11B CC V 皆为正三角形．取1CC 中点O ，连OA ，1OB ，则1CC OA ⊥，1CC OB ⊥，则1CC ⊥平面1OAB ，则11CC AB ⊥（Ⅱ）由（Ⅰ）知，13OA OB ==，又16AB =，所以1OA OB ⊥．如图所示，分别以1OB ，1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系，旗开得胜则()0,1,0C -，)13,0,0B ，(3A ，设平面1CAB 的法向量为()111,,m x y z =v，因为13,0,3AB u u u v =-，(0,1,3AC =--u u u v，所以1111113030,030,x y z x y z ⎧+⨯=⎪⎨⨯-=⎪⎩取()1,3,1m =-v面11AA B 的法向量取()1,0,1n =v，则10cos ,5·52m n m n m n ⋅===⨯v vv vv v，平面1CAB 与平面11A AB 所成的锐二面角的余弦值105． 20．已知()xf x e mx =-.（1）若曲线ln y x =在点2(,2)e 处的切线也与曲线()y f x =相切，求实数m 的值；（2）试讨论函数()f x 零点的个数.【答案】（1）21m e -=-（2）答案不唯一具体见解析【解析】（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标000(,)xx e mx -，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组000201x x x e m ee x e -⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，再构造函数研究其最大值，进而求得21m e -=-；（2）对函数进行求导后得()xf x e m '=-，对m 分三种情况进行一级讨论，即0m <，0m =，0m >，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.【详解】解: （1）曲线ln y x =在点2(,2)e 处的切线方程为2212()y x e e -=-，即211y x e =+. 令切线与曲线()xf x e mx =-相切于点000(,)xx e mx -，则切线方程为000()(1)x x y e m x e x =---，∴000201x x x e m e e x e -⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， ∴()221ln()1m em e--⎡⎤+-+=⎣⎦，令2m e t -+=，则(1ln )1t t -=，记()(1ln )g t t t =-，()1(1ln )ln g t t t '=-+=-于是，()g t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴max ()(1)1g t g ==，于是21t m e -=+=，21m e -=-.（2）()xf x e m '=-，①当0m <时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增，且(0)10f m =->，11()10mf e m=-< ∴函数()f x 在R 上有且仅有一个零点；②当0m =时，()xf x e =在R 上没有零点；③当0m >时，令()0f x '>，则ln x m >，即函数()f x 的增区间是(ln ,)m +∞，同理，减区间是(,ln )m -∞，∴min ()(1ln )f x m m =-.ⅰ）若0m e <<，则min ()(1ln )0f x m m =->，()f x 在R 上没有零点； ⅱ）若m e =，则()xf x e ex =-有且仅有一个零点；ⅲ）若m e >，则min ()(1ln )0f x m m =-<.2(2ln )2ln (2ln )f m m m m m m m =-=-，令()2ln h m m m =-，则2()1h m m'=-， ∴当m e >时，()h m 单调递增，()()0h m h e >>.∴2(2ln )2ln (2ln )(2)0f m m m m m m m m e =-=->->又∵(0)10=>f ，∴()f x 在R 上恰有两个零点，综上所述，当0m e ≤<时，函数()f x 没有零点；当0m <或m e =时，函数()f x 恰有一个零点；当m e >时，()f x 恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点3(1,)2P 在椭圆C上，满足1294PF PF ⋅=u u u r u u u u r（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线1l 与2l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间），是否存在直线2l ，使得直线1l ，2l ，,PM PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程，若不能，请说理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）不能，理由见解析【解析】（1）设()12(,0),,0F c F c -，则21299144PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ，由此即可求出椭圆方程；（2）设直线1l 的方程为3(1)2y k x -=-，联立直线与椭圆的方程可求得12k =-，则直线2l 斜率为12，设其方程为11221,(,),(,)2y x t M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得,PM PN 关于1x =对称，可求得1211,22l l k k =-=，假设存在直线2l 满足题意，设,PM PN k k k k =-=，可得12k =，由此可得答案．【详解】解：（1）设()12(,0),,0F c F c -，则21299144PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ， 21,2,3c a b ∴===，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）设直线1l 的方程为3(1)2y k x -=-，与22143x y +=联立得222(34)4(32)(32)120k x k k x k ++-+--=，∴10,2k ∆==-，因为两直线的倾斜角互补，所以直线2l 斜率为12，设直线的方程为11221,(,),(,)2y x t M x y N x y =+，联立整理得2222121230,0,4,,3x tx t t x x t x x t ++-=∆><+=-=-，121212121233(2)()(23)22011(1)(1)PM PNy y x x t x x t k k x x x x --+-+--∴+=+==----，所以,PM PN 关于1x =对称，由正弦定理得,sin sin sin sin PM MK PN NKPKM MPK PKN NPK==∠∠∠∠，因为,180MPK NPK PKM PKN ︒∠=∠∠+∠=,所以PM KN PN KM ⋅=⋅，由上得1211,22l l k k =-=，假设存在直线2l 满足题意，设,PM PN k k k k =-=，11,,,22k k --按某种排列成等比数列，设公比为q ，则1q =-，所以12k =，则此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符，所以不存在满足题意的直线2l ．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin 3ρθ=（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设1C 和2C 交点的交点为,A B ，求AOB ∆ 的面积．【答案】（1）4cos ρθ=；（23【解析】（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.（2）将1C 和2C 的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得AOB ∆的面积.旗开得胜【详解】（1）曲线1C 的参数方程为222x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数的1C 的直角坐标方程为2240x x y -+=．所以1C 的极坐标方程为 4cos ρθ=（2）解方程组4cos sin 3ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得到4sin cos 3θθ=所以3sin 22θ=，则6k πθπ=+或3k πθπ=+（k Z ∈）．当6k πθπ=+（k Z ∈）时，23ρ=当3k πθπ=+（k Z ∈）时，2ρ=．所以1C 和2C 的交点极坐标为： 3,6A k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭,2,3B k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭. 所以132ABC S OA OB sin AOB ∆=⋅∠= 故AOB ∆3【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.23．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+．（1）解关于x 的不等式()()1g x f x x ≥--；（2）如果对x R ∀∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围．【答案】（1）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）由函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称可得()g x 的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对x R ∀∈，不等式()()1g x c f x x +≤--成立等价于212x x c -≤-，去绝对值得不等式组，即可求得实数c 的取值范围. 试题解析：（1）∵函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称， ∴()()22g x f x x x =--=-+，∴ 原不等式可化为212x x -≥，即212x x -≥或212x x -≤-，解得不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不等式()()1g x c f x x +≤--可化为：212x x c -≤-，即22212x c x x c -+≤-≤-，即()()22210210x x c x x c ⎧+-+≥⎪⎨-+-≥⎪⎩，则只需()()18101810c c ⎧++≤⎪⎨--≤⎪⎩，解得，c 的取值范围是9,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.。

2020年四川省绵阳市南山中学高考(理科)数学三诊试卷含解析

2020届绵阳南山中学高考（理科）数学三诊模拟试卷一、选择题（共12小题）1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．5110．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜0，或x＞2}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|x＞2}．故选：C．2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由，得z＝＝，∴，则z+＝﹣1．故选：C．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．【分析】由已知结合余弦定理即可求解．解：因为a＝3，b＝4，∠C＝120°，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝9＝37．故c＝．故选：D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【分析】根据点到直线的距离得到d＝，结合基本不等式a2+b2≥2ab（ab＞0），可得d的取值范围，即可得到与原的位置关系．解：圆心（0，0）到直线的距离d＝，因为a2+b2≥2ab（ab＞0），代入可得d≤1，故选：D．5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的基本定理得：＝＝﹣＝（）＝，得解解：＝＝﹣＝（）＝，故选：C．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增时，a的范围，以长度为测度，即可求出概率．解：∵函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增，∴y′＝1﹣＝≥0，在[2，+∞）恒成立，∴a≤x2在[2，+∞）恒成立，∴a≤4∵a∈[1，6]，∴a∈[1，4]，∴函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增的概率是＝，故选：C．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，据此分析选项即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣x）＝ln＝＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；对于f（x）＝，设t＝，则y＝lnt；在（0，+∞）上，t＝＝x（1﹣），易得t在（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在（0，+∞）上为增函数，则f（x）＝在（0，+∞）为增函数，排除C；故选：B．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π【分析】由四面体A﹣BCD所有棱长都为4，求出边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB 在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，由此求出球O的半径r，由此能求出球的表面积．解：∵四面体A﹣BCD所有棱长都为4，如图，∴边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，设OA＝OB＝r，则r2＝（﹣r）2+（）2，解得r＝，∴球的表面积S球＝4πr2＝24π．故选：A．9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．51【分析】类比二项展开式的通项处理即可．解：依题意，（x﹣+1）5展开式中r个因式选择x，s个因式选择﹣，则展开项为：T＝＝，要使该项为常数，则r＝1，①当r＝s＝0时，对应常数为1；②当r＝s＝1时，对应常数为＝﹣20；③当r＝s＝2时，对应常数为＝30；所以展开式的常数项为1﹣20+30＝11．故选：B．10．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2可得结合0＜A＜π 可求，，代入sin C＝sin B＝＝，从而可求C，B，进而可判断解：由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2∴∵0＜A＜π∴，∴sin C＝sin B＝＝∴tan C＝，C＝，B＝故选：B．11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设圆O的半径为1，对＝m+n，两边平方可得1＝m2+2mn cos∠AOB+n2，根据已知条件可知m，n∈（0，2），所以将m＝2﹣n带入上式并求出cos∠AOB的表达式，进而得到答案．解：由已知条件知，m，n∈（0，2），设圆O的半径为1；2＝（m+n）2；∴1＝m2+2mn cos∠AOB+n2；将m＝2﹣n带入并整理得﹣2n2+4n﹣3＝（﹣2n2+4n）cos∠AOB；∴cos∠AOB＝1+；∵n∈（0，2）时，2n2﹣4n＜0；且n＝1时，2n2﹣4n取最小值﹣2，1+取最大值﹣；此时，∠AOB＝，即为最小值．故选：A．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设出A，B的坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得P到AB的距离，得到△PAB的面积为S，作差后利用导数求最值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，．则|AB|＝．由x2＝4y，得，，设P（x0，y0），则，x0＝2k，．则点P到直线y＝kx+1的距离d＝，从而S＝．S﹣|AB|＝（d≥1）．令f（x）＝2x3﹣4x2，f′（x）＝6x2﹣8x（x≥1）．当1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故，即S﹣|AB|的最小值为．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）＝2sin，分析可得其周期，进而可得f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin，进而计算可得答案．解：根据题意，＝2[sin（+）﹣cos （+）]＝2sin，其周期T＝＝6，f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin＝；故答案为：．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝﹣2．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．解：由题意得：目标函数z＝2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2＝0，∴则＝﹣2．故填：﹣2．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减⇔f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，分①当k＜0，②当k＝0，③当k＞0时，三类讨论，利用对应的函数的性质分析解决即可．解：∵f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，∴f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，①当k＜0，f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x的图象开口向下，对称轴方程为x＝﹣＝﹣1+＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0恒成立，故f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，满足题意；②当k＝0时，f（x）＝﹣2x2+7的图象开口向下，在（0，2）上单调递减，满足题意；③当k＞0时，由f′（x）≤0对∀x∈（0，2）恒成立得：，解得0＜k≤1；综上所述，k∈（﹣∞，1]故答案为：（﹣∞，1]．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是a ＝0或a≥【分析】利用转化思想，将函数的零点转化为y＝2|x﹣2a，y＝22|x+a|图象的交点．解：若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，令g（x）＝2|x﹣2a|，h（x）＝4|x+a|＝22|x+a|，即g（x）与h（x）图象在（﹣2，+∞）有且只有一个交点．∵g（x），h（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，所以①2（x+a）＝x﹣2a在（﹣2，+∞）恒成立，即a≥；②2（x+a）＝﹣（x﹣2a）在（﹣2，+∞）恒成立，即a＝0．故a的取值范围是a＝0或a≥．故答案为：a＝0或a≥．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．【分析】（1）把已知等式中的n换成n﹣1，再得到一个式子，两式相减可得＝，求得a2＝1，累乘化简可得数列{a n}的通项a n．（2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．解：（1）当n≥2时，由a1＝1 及①可得②．两式相减可得na n＝﹣，化简可得＝，∴a2＝1．∴••…＝＝×××…×＝＝．综上可得，．…（2），由（1）可知当n≥2时，，设，…则，∴，故当n≥2时，{}是递增数列．又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P （36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．【分析】（1）由题意求出Ez＝65，从而μ＝65，进而P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．由此能求出p（36＜Z≤79.5）．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解：（1）由题意得Ez＝35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05＝65．∴μ＝65，∵＝14.5，∴P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．∴p（36＜Z≤50.5）≈＝0.1359，综上，p（36＜Z≤79.5）＝p（36＜Z≤50.5）+p（50.5＜Z≤79.5）≈0.1359+0.6287＝0.8186．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．P（X＝20）＝，P（X＝40）＝＝，P（X＝60）＝＝，P（X＝80）＝＝．∴X的分布列为：X20 40 60 80P∴EX＝+＝36．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【分析】（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，推导出CC1⊥OA，CC1⊥OB1，从而CC1⊥平面AOB1，由此能证明AB1⊥CC1．（II）以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用同量法能求出平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，．解：（II）由（I）及AC＝2知，，又∴AO⊥OB1，∴以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，C1（0，1，0），，，C（0，﹣1，0）∴，，，，设平面A1B1C1的法向量为＝（a1，b1，c1），平面ACB1的法向量为＝（a2，b2，c2），则，取＝（1，，﹣1）＝（﹣1，，﹣1），设平面A1B1C1与平面ACB1所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值为．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．【分析】（Ⅰ）求得y＝lnx的导数，可得切线的斜率和方程，求y＝f（x）的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，可得m的方程，解方程，结合构造函数，即可得到所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，讨论m＜0，m＝0，m＝e，0＜m＜e，m＞e，判断f（x）的单调性和函数值的变化，以及最值的符号，可得所求零点个数．解：（Ⅰ）y＝lnx的导数为y′＝，可得曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线斜率为e﹣2，切线方程为y﹣2＝e﹣2（x﹣e2），f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，设与曲线y＝f（x）相切的切点为（s，t），可得切线的斜率为e s﹣m，则e s﹣m＝e﹣2，t＝e s﹣ms＝2+se﹣2﹣1，化为e s﹣se s＝1，设y＝e x﹣xe x，可得y′＝﹣xe x，当x＞0时函数y递减，x＜0时函数y递增，可得x＝0处函数y取得最大值1，解得s＝0，m＝1﹣e﹣2；（Ⅱ）f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，当m≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，当m＝0时，f（x）＝e x无零点；当m＜0时，x→﹣∞，f（x）→﹣∞，可得f（x）有一个零点；当m＞0时，由x＞lnm，f′（x）＞0，f（x）递增，由x＜lnm，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝lnm处取得极小值，且为最小值m﹣mlnm，当m﹣mlnm＞0，即0＜m＜e时，f（x）无零点；当m﹣mlnm＝0，即m＝e时，f（x）有一个零点；当m﹣mlnm＜0即m＞e时，f（x）有两个零点．综上可得，0≤m＜e时，f（x）无零点；m＜0或m＝e时，f（x）有一个零点；m＞e时，f（x）有两个零点．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则有•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c ﹣1，﹣），解可得题意可得c的值，进而由椭圆的定义可得a的值，计算可得b的值，将a、b 的值代入椭圆的方程可得答案；（Ⅱ）（ⅰ）设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，可得关于x的一元二次方程，令△＝0解可得k的值，结合题意可以设直线l2方程，联立两直线方程，整理可得x2+tx+t2﹣3＝0，由根与系数的关系分析可得PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，进而由正弦定理分析可得，即可得证明；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0），由等比数列的性质分析可得q＝﹣1，进而分析可得结论．解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，则•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c﹣1，﹣）＝1﹣c2+，所以c＝1，因为2a＝|PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2，又由c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆C的标准方程为＝1；（Ⅱ）（ⅰ）证明：设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，消y得（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（3﹣2k）2﹣12＝0由题意知△＝0，解得k＝﹣，因为直线l2与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是．设直线l2方程：y＝x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得x2+tx+t2﹣3＝0，由△＞0，得t2＜4，x1+x2＝﹣t，x1•x2＝t2﹣3；直线PM、PN的斜率之和k PM+k PN＝＝＝＝0所以PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，在△PMK和△PNK中，由正弦定理得，，又因为∠MPK＝∠NPK，∠PKM+∠PKN＝180°所以故|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|成立；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0）若﹣，﹣k，k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q＝﹣1或q2＝﹣1或q3＝﹣1．所以q＝﹣1，则k＝，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符，故不存在直线l2，满足题意．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用方程组求出交点坐标，进一步求出三角形面积．解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数的C1的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2＝0．所以：C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ（2）解方程组，得到：4sinθcosθ＝．所以：，则：（k∈Z）．当（k∈Z）时，，当（k∈Z）时，ρ＝2．所以：C1和C2的交点极坐标为：A（），B（）．所以：．故△ABO的面积为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．【分析】先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣2x），∴g（x）＝﹣x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2﹣|x﹣1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|可化为：c≤2x2﹣|x﹣1|．作出函数F（x）＝2x2﹣|x﹣1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．。

四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟(一)数学(理)试题 Word版含答案 (1)

2020年6月绵阳南山中学2020年高考仿真模拟考试（一）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间为120分钟．考生作答时，须将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，已知点(1,1)A 所对应的复数为z ，则||z 为（）A ．1BC ．2D ．02．已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋃=（） A ．{1,2} B ．{0,1,2,3} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2}3．已知0.50.70.70.7,0.5,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b << 4．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（）A ．4950B ．5151C ．0D ．5050 5．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3520a a +=，()4353S S S -=，则数列{}n a 公差为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．87．已知圆C 与直线20x y ++=和圆221212540x y x y ++++=都相切，则半径最小的圆C 的标准方程为（）A ．22(2)(2)2x y +++=B ．22(2)(2)2x y -+-=C ．22(4)(4)4x y -+-=D ．22(4)(4)4x y +++=8．从标号分别为1，2，3，4，5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1的概率为（） A ．45 B ．25 C ．425 D ．8259．已知3cos cos()35παπα⎛⎫+=--⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．725-B ．725C ．5725D ．5725-10．如图，圆O 是直角ABC 的外接圆，过点C 作圆O 的切线，交AD 的延长线于点B ，M 为线段BC 上的动点，连接AM 交CD 于N ，6,:1:3BC AD DB ==，则AC AM AB AN ⋅+⋅=（）A ．24B ．C ．39D ．1811．已知A ，B ，C 为抛物线24x y =上不同的三点，焦点F 为ABC 的重心，则直线AB 与y 轴的交点的纵坐标t 的取值范围是（）A ．13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．13,1,22⎛⎫⎡⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ C ．13,11,22⎛⎫⎛⎤-⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦12．若不等式2sin 12cos 2x x a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭对(0,]x π∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,)+∞ B ．1,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．n的展开式的第五项为358，则展开式的第六项的二项式系数为_________． 14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北45°的方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =_____m ．15．已知双曲线与y x =-直线有公共点，与直线2y x =-没有公共点，则双曲线离心率取值范围是_______．16．已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，连接1A B ，1A C ，得到四棱锥1A DEBC -，M 为1A C 的中点，1A E 与平面ABCD 所成角为α，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是________．①一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE ；②三棱锥M DEC -的最大值为3； ③点M的轨迹是圆的一部分，且||MB =；④一定存在某个位置，使1DE AC ⊥；三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知一个公比q 不为1的等比数列{}n a 和一个公差也为q 的等差数列{}n b ，且132322,,a a a 成等差数列．（1）求q 的值；（2）若数列{}n b 前n 项和为n T ，12b =，试比较2n ≥时，n b 与n T 的大小．18．为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下：（1）估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关？19．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为,AM MD 的中点．在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点G ，H ．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小． 20．已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈．（1）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（2）证明：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()h x f x ax =-有两个零点12,x x ，且满足12111x x a+<． 21．如图，椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过焦点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点（异于长轴端点），(2,)Q t 是直线2x =上的动点．（1）若直线OQ 平分线段MN ，求证：43OQ k k ⋅=-．（2）若直线l 的斜率1,12k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线,,MQ OQ NQ 的斜率成等差数列，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]直线l 的极坐标方程为sin 8cos ρθρθ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）（1）写出C 的极坐标方程；（2）射线3πθ=与C 和l 的交点分别为M ，N ，射线23πθ=与C 和l 的交点分别为A 、B ，求四边形ABNM的面积．23．[选修4-5：不等式选讲] 已知正实数x ，y ，z ，求证：（1）()2()4x y xy zxyz ++≥；（2）3x y z ++=≤．绵阳南山中学2020年高考仿真模拟考试（一）数学（理工类）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共小4题，每小题5分，共20分．13．56 14．300+ 15． 16．①②③ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．解：（1）由已知可得211123a a q a q +=， 2分∵{}n a 是等比数列，10a ≠∴23210q q --=．解得1q =或13q =-． ∵1q ≠，∴13q =-4分（2）由（1）知等差数列{}n b 的公差为13-， ∴172(1)33n nb n -⎛⎫=+--=⎪⎝⎭， 21132(1)236n n n nT n n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭， 7分(1)(14)6n n n n T b ---=-，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >．综上，当214n ≤<时，n n T b >；当14n =时，n n T b =；当14n >时，n n T b <． 12分18．解：（1）∵调查的500位被隔离者中有403070+=位需要社区非医护人员提供帮助， ∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为14%=． 4分（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，29.967K =． 8分 ∵9.967 6.635>，∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关． 12分 19．解：（1）证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ． 2分又因为AB ⊄平面,PDE DE ⊂平面PDE ，所以//AB 平面PDE ． 4分因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ⋂平面PDE FG =，所以//AB FG ． 6分（2）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以,PA AB PA AE ⊥⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,0,2),(0,1,1),(1,1,0)A B C P F BC =． 8分设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩令1z =，则1y =-．所以(0,1,1)n =-．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=〈〉==．10分因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π． 12分20．解：（1）没公切线l 与函数()ln g x x =的切点为()00,x y ，则公切线l 的斜率()001k g x x '==，公切线l 的方程为：()0001y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =，公切线l 的方程为：1y x e=， 2分将它与ln ()a x f x x +=联立，整理得21ln a x x e=-．令21()ln m x x x e=-，对之求导得：22()x e m x ex -'=，令()0m x '=，解得x =当x ∈时，()0,()m x m x '<单调递减，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，当)x ∈+∞时，()0,()m x m x '>单调递增，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，因此．故实数a 的取值集合为1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 6分（2）证明：2ln ()a x ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可．(1)0k =，即1x =时函数()k x 的一个零点． 7分对()k x 求导得：1()2k x ax x '=-，令()0k x '=，解得x =．当x >时，()0,()k x k x '>单调递增；当0x <<时，()0,()k x k x '<单调递减．当x =时，()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()ln (1)12k x ax x a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >在使得二次函数2001()02u x ax x =-+>，即()()000k x u x >>．因此在区间上0x ⎫⎪⎭必定存在()k x 的一个零点． 10分练上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．下面证明12111x x a+<．由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．不妨设121,x x =>则12211111x x x +=+<+，下面证明11a +<即可．令1()1v a a =-，对之求导得21()0v a a '=--<，故()v a在定义域内单调递减，11()102v a v a ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，即11a +<． 12分 21．解：（1）设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点()00,P x y由点差法得：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，12120121203344y y x x x k x x y y y -+==-=--+，00OQ y k x = 3分所以34OQ k k ⋅=-，故43OQ k k ⋅=- 5分由(1,0)F ，所以设直线1:1,[1,2]l x my m k=+=∈ ∵()2222134690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩∵0∆>恒成立，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++ 7分因为直线,,MQ OQ NQ 的斜率成等差数列，所以2MQ O NQ Q k k k =+12122222y t y t tx x --+=⋅--， 8分 ∴()()()()()()1221212222y t x y t x t x x --+--=-- ∴()()()()()()1221211111y t my y t my t my my --+--=--()()()22121222952,23434mtmm y y y y t tm m t m m ---++=-+=++()2313mm +=，∴2331313m t m m m==++，∴33,164t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 12分 22．解：（1）22:16C x y +=，所以C 的极坐标方程为：4ρ= 4分（2）sin12N ρ=，sin 12B ρ=6分由1sin602OBNB N Sρρ︒=与144sin 602OAMS ︒=⨯⨯∴ABNM OBNOAMS SS=-= 10分23．解：证明：（1）要证()2()4x y xy z xyz ++≥，可证222240x y xz xy yz xyz +++-≥，需证()()2222220ac ac b a c b bc +-++-≥，()()2222220y x z xz x z y yz +-++-≥即证，22()()0y x z x z y -+-≥当且仅当x y z ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故原不等式成立． 5分（2）因为x ，y ，z 均为正实数，由不等式的性质知，12322x x +++≤=当且仅当12x +=时取等12322y y +++≤=当且仅当12y +=时取等12322z z +++≤=当且仅当12z +=时取等因为3x y x ++=，以上三式相加即证 10分。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={x|2x ≥1}，则A ∩B =( )A. (−∞,−3]B. (−∞,1]C. (−3,0]D. [0,1)2. 设不等式组{x −y ≤2√2x +y ≥−2√2y ≤0所表示的区域为M ，函数y =−√4−x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A. π4B. π8C. π16D. 2π 3. 如图所示的程序框图是为了求出满足1+12+13+⋯+1n <100的最大正整数n的值，那么在“◇”和“▱”两个空白框中，可以分别填入( )A. “S <100？”和“输出i −1”B. “S <100？”和“输出i −2”C. “S ≥100？”和“输出i −1”D. “S ≥100？”和“输出i −2”4. 已知i 是虚数单位，则|2i1+i |=( ) A. 1 B. 2√2 C. 2 D. √25. “|b|≤√2”是“直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1有公共点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 数列{a n }中，已知a 61=2 000，且a n+1=a n +n ，则a 1等于( )A. 168B. 169C. 170D. 1717. 某组合体的三视图如图所示(其中侧视图中的弧线为半圆)，则该几何体的体积为( )A. 2π+2B. π+43C. 43π+43D. 2π+438. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 39. 若“0≤x ≤4”是“(x −a)[x −(a +2)]≤0”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. (0,2)B. [0,2]C. [−2,0]D. (−2,0)10. 已知奇函数f(x)在[−1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且α>β，则下列结论正确的是( )A. f(cos α)>f(cos β)B. f(sin α)>f(sin β)C. f(sin α)>f(cos β)D. f(sin α)<f(cos β) 11. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为( )A. √52B. √102C. √152D. √512. 已知函数f(x)={x −2lnx,x ⩾1−x 2+2x,x <1，若关于x 的方程f(x)=k 有3个不相等的实根，则实数k 的取值范围为( )A. (2−2ln 2,1)B. (−∞,2−2ln 2)C. (2−2ln 2,+∞)D. (1,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的两个焦点且F 1，F 2到直线x a +y b =1的距离之和为√3b ，则离心率e = ______ ．14. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=______．15. 小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有______ 种．16. 在△ABC 中，∠A 为钝角，AB =2，AC =3，AO⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且2λ+3μ=1，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |(其中x 为实数)的最小值为1，则|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在平面四边形ABCD中，已知∠ABC=3π，AB⊥AD,AB=1．4(1)若AC=√5，求ΔABC的面积；(2)若，求CD的长．18.某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[40,50)，第二组[50,60)，…，第六组[90,100]，作出频率分布直方图，如图所示：(1)用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差(精确到个位)；(2)以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为Y，是估算Y的数学期望．19.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1⊥AB，AB=3,BC=5.(1)求证：AA1⊥BC；(2)求二面角A1−BC1−B1的余弦值.20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(−2,0)、P2(−1,32)、P3(1,1)、P4(1,32)中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)过定点P(−2,t)(t≠0)作直线l、与椭圆C相交于不同的两点M、N，过点M作x轴的垂线分别与直线P1P2、P1N交于点A、B，若点A为线段MN的中点，求t的值．21.已知函数f(x)=e x−ax2−bx−1，其中a,b∈R，e=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若f(1)=0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e−2<a<1．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：{x=2+2cosθy=2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α(ρ>0)．(1)将圆C的参数方程化为极坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,√3)，射线l与圆C交于点B不同于点O)，求△OAB面积的最大值．23.已知函数f(x)=|x−a|+|2x−2|(a∈R)．(1)当a=2时，求不等式f(x)>2的解集；(2)若x∈[−2,1]时不等式f(x)≤3−2x成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A ={x|−3<x <1}，B ={x|x ≥0}；∴A ∩B =[0,1)．故选：D ．可解出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算． 2.答案：A解析：解：不等式组{x −y ≤2√2x +y ≥−2√2y ≤0所表示的区域为M ，作出可行域，得M 是如图所示的阴影三角形，该三角形的面积S =12×4√2×2√2=8，函数y =−√4−x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，N 是以O(0,0)为圆心，以2为半径的下半圆，该下半圆的面积S 半圆=12π×22=2π，∴由几何概型得：向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为S 半圆S =2π8=π4．故选：A ．作出可行域，得M 是等腰直角三角形，该三角形的面积S =12×4√2×2√2=8，N 是以O(0,0)为圆心，以2为半径的下半圆，由几何概型能求出向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．3.答案：D解析：本题考查循环结构的程序框图，属于基础题．由题意程序循环至1+12+...+1i≥100时，退出循环，则判断框应填S≥1 00，由于满足1+12+13+⋯+1n≥1000后，又执行了一次i=i+1，故输出的应为i−2的值．解：求满足1+12+13+⋯+1n<1 00的最大正整数n 的值，初始值i=1，S=0，则S=1，i=2，...循环至1+12+...+1i≥100时，退出循环，所以在应填“S≥1 00”，因为当1+12+...+1i≥100时，i变为i+1，且应输出1+12+13+⋯+1n<1 00的最大n值，故输出“i−2”.故选D．4.答案：D解析：本题考查复数的运算及复数的模，直接计算即可，属基础题．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i，所以|2i1+i|=|1+i|=√2．故选D．5.答案：C解析：根据题意，求出圆x2+y2=1的圆心到直线y=x+b的距离d，由直线与圆的位置关系分析可得“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分必要条件；即可得答案．本题考查直线与圆位置关系的判断，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．解：根据题意，圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径r=1，圆心(0,0)到直线y=x+b的距离d=√2，若“|b|≤√2”，则d≤r，直线与圆相交或相切，直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点；则“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分条件；若“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”，则有d≤r，即√2≤1，解可得“|b|≤√2”，则“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的必要条件；故“|b|≤√2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点”的充分必要条件；故选：C．6.答案：C解析：本题考查了数列的递推关系，累加法的应用，属于基础题．解：∵a61=2000,a n+1−a n=n，则a61=(a61−a60)+(a60−a59)+⋯+(a2−a1)+a1=60+59+⋯+1+a1=60×(60+1)2+a1=2000，∴a1=170．故选C．7.答案：B解析：解：几何体为半圆柱与正四棱锥的组合体，其中，半圆柱的底面半径为1，高为2，正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴几何体的体积为V =π×12×2×12+13×22×1=π+43．故选：B ．几何体上部分半圆柱，下部分为正四棱锥，代入数据计算即可．本题考查了常见几何体及其简单组合体的三视图，结构特征与体积计算，属于中档题． 8.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z =x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z =x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2,−2)时z 取到最小值，所以z =x +2y 的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B ． 9.答案：B解析：解：由(x −a)[x −(a +2)]≤0，解得：a ≤x ≤a +2，由集合的包含关系知：{a ≥0a +2≤4(其中等号不同时成立)， ∴a ∈[0,2]，故选：B ．先解出不等式(x −a)[x −(a +2)]≤0，结合集合之间的关系，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．。

四川省绵阳南山中学2020届高三三诊模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

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一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中，只有一项符合题目要求
1.若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A
B = A. {}10x x x ><或 B. {}12x x << C. {|2}x x >
D. {}1x x >
【答案】C
【解析】
【分析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B ={|2}x x >.
【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A
B ={|2}x x >，故选C. 【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.
2.若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（） A. 1 B. 0 C. 1- D. 1322
i -+ 【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则求出z ，再根据共轭复数的概念求解即可．【详解】解：∵331z i zi =，
∴1313213i z i
+==-+-，则132z =-
-， ∴1z z +=-，。

绵阳南山中学2020年绵阳三诊模拟理科数学答案

D
C
a2 b2
5.选
A.
AE
2
AO
1
AC
1
( AB
AD)
，
ED
AD
AE
2
AD
1
AB
.故选
A.
3
3
3
33
A
O E
B
6.选 C. ∵函数 y x2 a x a 在区间 (0, a) 上单调递减,在区间 ( a, ) 上单调递增,而1 a 6 .要
x
x
使函数 y x2 a 在区间[2, ) 上单调递增,则 a 2 ,得1 a 4 ，∴ P(1 a 4) 4 1 3 . 故选 C.
y
x2 4
,
y
1 2
x
，
设
P(x0 ,
y0 )
，则
1 2
x0
k
，
x0
2k
，
y0
k2 ．
P(2k, k2 ) ,则点
P
到直线
y
kx 1的距离 d
k2 1 ，
y
从而 S 1 | AB | d 2(k 2 1) k 2 1 . S | AB | 2(k2 1) k2 1 4(k2 1) 2d 3 4d 2 (d 1).
2.选 C. z 3i 3zi 1， z 1 3i 1 3 i ， z 1 3 i ， z z 1 .故选 C.
1 3i 2 2
22
3.选 D. c2 a2 b2 2ab cosC 32 42 2 3 4 ( 1) 37 ， c 37 .故选 D. 2
4.选 D. 圆心到直线的距离 d 2ab ，由 a2 b2 2ab (ab 0) 得 d 1.故选 D.

2020年高考模拟试卷四川省绵阳市南山中学(3月份)高考(理)数学模拟试卷含解析

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．集合A＝{x||x﹣2|＜4}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（）A．R B．（﹣2，2）C．[2，6）D．（﹣2，2]2．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示写上四个字母A，B，C，D，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（）A．一样大B．区域A，C可能性大C．区域B，D可能性大D．由指针转动圈数决定3．如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n＝n+1B．A＞1000和n＝n+2C．A≤1000和n＝n+1D．A≤1000和n＝n+24．虚数（x﹣2）+yi中x，y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，0）∪（0，]C．[﹣，]D．[﹣，0）∪（0，]5．b是区间上的随机数，直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点的概率为（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝1，且满足+＝（n≥2），则a n＝（）A．B．2n﹣2C．3﹣n D．7．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（）A．63πB．81πC．33πD．36π8．若且z＝2x+4y取得最小值为﹣12，则k＝（）A．2B．9C．3D．09．若|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜，则a的取值范围（）A．＜a＜2B．≤a≤2C．a≤或a≥2D．a＜或a＞2 10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）11．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+1﹣a﹣lnx＝0有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣ln4，6﹣ln2）B．（4﹣ln3，6﹣ln2）C．（1+ln3，4﹣ln3）D．（1+ln3，6﹣ln2）二、填空题13．直线y＝x+3和x、y轴分别交于A、B两点，点C在椭圆+＝1上运动，则椭圆上点C到直线AB的最大距离为．14．方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，且，则|+|＝．15．若有7个人排成一排，现要调整其中某3个人的位置，其余4个人的位置不动，则使所要调整的某3个人互不相邻的调整方法的种数是．16．△OAB中，∠AOB角平分线交AB于点C．设＝，＝，＝，且＝λ+μ．给出下列结论：①λ+μ＝1；②λ＝，μ＝；③λ＝，μ＝；④λ＝，μ＝；⑤λ＝，μ＝．其中命题一定正确的序号是．（把你认为正确的都填上）三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．18．某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准，予以地方财政补贴，其补贴标准如下：出厂续驶里程R（公里）补贴（万元/辆）150≤R＜2503250≤R＜3504R≥350 4.52017年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年起充电站100天中各天充电车辆数，得下面的频数分布表：辆数[5500，6500）[6500，7500）[7500，8500）[8500，9500]天数20304010（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来，该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备，现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备且一辆产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润．（日利润＝日收入﹣日维护费用）19．如图，等腰直角△ABC中，∠B＝90°，平面ABEF⊥平面ABC，2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60°，AF∥BE．（Ⅰ）求证：BC⊥BF；（Ⅱ）求二面角F﹣CE﹣B的正弦值．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y＝kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|＝|AN|时，求m 的取值范围．21．已知函数f（x）＝﹣a2x，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞e，证明：函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），且x1＜x2＜2lna．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ＝φ，θ＝φ+，θ＝φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|＝|OA|；（Ⅱ）当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣1|．（1）求f（x）＞﹣5的解集；（2）若关于x的不等式|b+2a|﹣|2b﹣a|≥|a|（|x+1|+|x﹣m|）（a，b∈R，a≠0）能成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．集合A＝{x||x﹣2|＜4}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（）A．R B．（﹣2，2）C．[2，6）D．（﹣2，2]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣2＜x＜6}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝（﹣2，2]．故选：D．2．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示写上四个字母A，B，C，D，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（）A．一样大B．区域A，C可能性大C．区域B，D可能性大D．由指针转动圈数决定【分析】指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，区域B，D可能性大．解：指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，区域B，D可能性大．故选：C．3．如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n＝n+1B．A＞1000和n＝n+2C．A≤1000和n＝n+1D．A≤1000和n＝n+2【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n＝n+2．解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．4．虚数（x﹣2）+yi中x，y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，0）∪（0，]C．[﹣，]D．[﹣，0）∪（0，]【分析】点（x，y）在以（2，0）为圆心，1为半径的圆上（与x轴交点除外），表示圆上的点与原点连线的斜率，数形结合可得．解：由题意可得y≠0，且（x﹣2）2+y2＝1，∴点（x，y）在以（2，0）为圆心，1为半径的圆上（与x轴交点除外），∵表示圆上的点与原点连线的斜率，易得直线OA与OB的斜率分别为，﹣数形结合可知的取值范围为：[﹣，0）∪（0，]故选：B．5．b是区间上的随机数，直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的b，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．解：b是区间上的随机数．即﹣2，区间长度为4，由直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点可得，，∴﹣，区间长度为2，直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点的概率P＝＝，故选：C．6．已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝1，且满足+＝（n≥2），则a n＝（）A．B．2n﹣2C．3﹣n D．【分析】由递推关系a1＝2，a2＝1，且满足+＝（n≥2），可得数列{}是首项为，公差d＝的等差数列，从而可得答案．解：∵+＝（n≥2），∴数列{}是等差数列，其首项为＝，公差d＝﹣＝﹣＝，∴＝+（n﹣1）×＝，∴a n+1＝，∴a n＝．故选：A．7．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（）A．63πB．81πC．33πD．36π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：如图：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为V＝＝63π，故选：A．8．若且z＝2x+4y取得最小值为﹣12，则k＝（）A．2B．9C．3D．0【分析】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大．解：画出可行域，如图．将z＝2x+4y变形为y＝﹣x+，画出直线y＝﹣x+，平移至点A时，纵截距最大，z最大，由，解A（2，﹣4），x+y+k＝0过点（2，﹣4），∴k＝2，故选：A．9．若|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜，则a的取值范围（）A．＜a＜2B．≤a≤2C．a≤或a≥2D．a＜或a＞2【分析】求解绝对值的不等式可得﹣1+a＜x＜1+a，再由|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜，得关于a的不等式组求解．解：由|x﹣a|＜1，得﹣1+a＜x＜1+a，根据题意知（等号不同时成立），解得≤a≤2．故选：B．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【分析】由α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β，从而有0＜sinα＜sin（90°﹣β）＝cosβ＜1由f（x）满足f（2﹣x）＝f（x）函数为偶函数即f（﹣x）＝f（x）可得f（2﹣x）＝f （x），即函数的周期为2，因为函数在[﹣3，﹣2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增，从而可判断解：∵α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β∴0＜sinα＜sin（90°﹣β）＝cosβ＜1∵f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），∴函数关于x＝1对称∵函数为偶函数即f（﹣x）＝f（x）∴f（2﹣x）＝f（x），即函数的周期为2∴函数在[﹣3，﹣2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增∴f（sinα）＜f（cosβ）故选：D．11．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|＝|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°，即，∴，∵b2＝c2﹣a2，∴，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+1﹣a﹣lnx＝0有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣ln4，6﹣ln2）B．（4﹣ln3，6﹣ln2）C．（1+ln3，4﹣ln3）D．（1+ln3，6﹣ln2）【分析】关于x的方程f（x）+1﹣a﹣lnx＝0有4个不相等的实根等价于y＝f（x）的图象与y＝lnx+a﹣1的图象有4个不同的交点，作出y＝f（x）与y＝lnx+a﹣1的图象，数形结合即可解：条件等价于y＝f（x）的图象与y＝lnx+a﹣1的图象有4个不同的交点，作出y＝f （x）与y＝lnx+a﹣1的图象，如图：当y＝lnx+a﹣1经过时，a＝1+ln3，直线AB与y＝lnx+a﹣1的图象相切于A 点，此时y＝f（x）图象与y＝lnx+a﹣1图象有3个不同的交点，当y＝lnx+a﹣1经过B（2，5）时，a＝6﹣1n2，此时y＝f（x）图象与y＝lnx+a﹣1图象有3个不同的交点，观察图象不难发现，y＝f（x）的图象与y＝lnx+a﹣1的图象有4个不同的交点，a∈（1+ln3，6﹣ln2），故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．直线y＝x+3和x、y轴分别交于A、B两点，点C在椭圆+＝1上运动，则椭圆上点C到直线AB的最大距离为4．【分析】由椭圆的方程用参数设P的坐标，利用点到直线的距离公式求出P到直线AB 的距离，由三角函数的有界性可得最大距离．解：设C（4cosθ，3sinθ），则点C到AB的距离d＝＝＝4，故答案为：．14．方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，且，则|+|＝．【分析】可设x1，x2是两根，x3，x4是两根，然后根据题意即可设x1＝1，则得出x2＝8，x3＝2，x4＝4，然后根据韦达定理即可得出，再根据即可求出．解：设x1，x2是两根，x3，x4是两根，∵方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，∴不妨设x1＝1，则x2＝8，x3＝2，x4＝4，∴，，∴，∵，∴．故答案为：．15．若有7个人排成一排，现要调整其中某3个人的位置，其余4个人的位置不动，则使所要调整的某3个人互不相邻的调整方法的种数是20．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，先在位置不动的4个人所成的5个空位中任意选取3个，用来位置调整，②，分析剩下的三人位置都不能在原来位置且互不相邻的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，7个人排成一排，4个人的位置不动，位置不动的4个人所成的5个空位，从中任意选取3个，用来位置调整，有种选法，②，剩下的三人位置都不能在原来位置且互不相邻，三人乱序只有两种安排位置的方法，故调整方法种数是，故答案为：20．16．△OAB中，∠AOB角平分线交AB于点C．设＝，＝，＝，且＝λ+μ．给出下列结论：①λ+μ＝1；②λ＝，μ＝；③λ＝，μ＝；④λ＝，μ＝；⑤λ＝，μ＝．其中命题一定正确的序号是①④．（把你认为正确的都填上）【分析】根据题意，作出简图，由平面向量基本定理分析：设＝t，由加法原理分析可得①成立，②、③不一定成立，再设，结合①的结论分析可得④成立，⑤不成立，即可得答案．解：根据题意，如图：A、C、B三点共线，则设＝t，则＝+＝+t＝+t（﹣）＝（1﹣t）+t，又由＝λ+μ＝，则λ＝1﹣t，μ＝t，则必有λ+μ＝1，则①成立，②、③不一定成立；再设，则，，又由λ+μ＝1得，变形可得，，则④成立，⑤不成立；故答案为：①④．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．【分析】（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，解得BC，然后求解三角形的面积．（2）∵，利用两角和与差的三角函数以及正弦定理，结合余弦定理求解即可．解：（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，，解得，∴．（2）∵，∴，∴＝＝在△ABC中，，∴，∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠CAD＝，∴．18．某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准，予以地方财政补贴，其补贴标准如下：出厂续驶里程R（公里）补贴（万元/辆）150≤R＜2503250≤R＜3504R≥350 4.52017年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年起充电站100天中各天充电车辆数，得下面的频数分布表：辆数[5500，6500）[6500，7500）[7500，8500）[8500，9500]天数20304010（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来，该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备，现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备且一辆产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润．（日利润＝日收入﹣日维护费用）【分析】（1）求出纯电动汽车地方财政补贴的分布列，由此能求出纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数．（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列，采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为6600辆，从而得到实际充电车辆数的分布列，进而求出方案一下新设备产生的日利润均值；采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数7600辆，从而求出实际充电车辆数的分布列，进而求出方案二下新设备产生的日利润利润均值．解：（1）依题意得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：补贴（万元/辆）34 4.5概率0.20.50.3纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为：3×0.2+4×0.5+4.5×0.3＝3.95（万元）．（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列为：辆数6000700080009000概率0.20.30.40.1若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为：30×100+4×900＝6600（辆），可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数60006600概率0.20.8于是方案一下新设备产生的日利润均值为：25×（6000×0.2+6600×0.8）﹣500×100﹣80×900＝40000（元）．若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为：30×200+4×400＝7600（辆），可得实际充电车辆数的分布列为：实际充电车辆数600070007600概率0.20.30.5于是方案二下新设备产生的日利润利润均值为：25×（6000×0.2+7000×0.3+7600×0.5）﹣500×200﹣80×400＝45500（元）．19．如图，等腰直角△ABC中，∠B＝90°，平面ABEF⊥平面ABC，2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60°，AF∥BE．（Ⅰ）求证：BC⊥BF；（Ⅱ）求二面角F﹣CE﹣B的正弦值．【分析】（1）推导出BC⊥AB，从而BC⊥平面ABEF，由此能证明BC⊥BF．（2）由BC⊥平面ABEF，以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角F﹣CE﹣B的正弦值．【解答】证明：（1）∵等腰直角△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABEF，∵BF⊂平面ABEF，∴BC⊥BF．解：（2）由（1）知BC⊥平面ABEF，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，设2AF＝AB＝BE＝2，∵∠FAB＝60°，AF∥BE．∴B（0，0，0），C（0，2，0），F（），E（﹣1，0，），＝（1，2，﹣），＝（），＝（0，2，0），设平面CEF的一个法向量＝（x，y，z），则，即，令x＝，得＝（，5），设平面BCE的一个法向量＝（x，y，z），则，即，取x＝，得＝（），设二面角F﹣CE﹣B的平面角为θ．则|cosθ|＝||＝＝，∴sinθ＝，∴二面角F﹣CE﹣B的正弦值为．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y＝kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|＝|AN|时，求m 的取值范围．【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2＝3，故所求椭圆的方程为．（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2＝3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则即2m＝3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．21．已知函数f（x）＝﹣a2x，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞e，证明：函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），且x1＜x2＜2lna．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）由零点定理知，f（x）在（0，1）上有一个零点x1，根据函数的单调性得f（x）取最小值f（lna）＝a2（﹣lna），设h（a）＝﹣2lna（a＞e），由零点定理知，f （x）在（lna，2lna）上有一个零点x2，求出0＜x1＜1＜lna＜x2＜2lna，得到x2﹣x1＞lna ﹣1＝ln，从而证明结论．解：（Ⅰ）f′（x）＝e2x﹣a2＝（e x+a）（e x﹣a）…（1分）①当a＜0时当x≥ln（﹣a）时，f′（x）≥0，故f（x）单调递增当x＜ln（﹣a）时，f′（x）＜0，故f（x）单调递减∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在[ln（﹣a），+∞）上单调递增…‚当a＝0时，f′（x）＝e2x＞0，故f（x）在R上单调递增…ƒ当a＞0时当x≥lna时，f′（x）≥0，故f（x）单调递增，当x＜lna时，f′（x）＜0，故f（x）单调递减，∴f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增，∴综上所述，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在[ln（﹣a），+∞）上单调递增，当a＝0时，f′（x）＞0，故f（x）在R上单调递增当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞e时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增∴f（x）至多有两个零点∵a＞e∴f（1）＝e2﹣a2＜0，又∵f（0）＝＞0，∴由零点定理知，f（x）在（0，1）上有一个零点x1…又∵f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在[lna，+∞）上单调递增，∴当x＝lna时，f（x）取最小值f（lna）＝a2（﹣lna），∵a＞e，∴f（lna）＜0…设h（a）＝﹣2lna（a＞e），则h′（a）＝a﹣＞0，故h（a）在（e，+∞）上单调递增，∴当a＞e时，h（a）＞h（e）＝﹣2＞0，∴f（2lna）＝a2（﹣2lna）＞0，∴由零点定理知，f（x）在（lna，2lna）上有一个零点x2，∴f（x）有且仅有两个零点x1，x2，且0＜x1＜1＜lna＜x2＜2lna…∴x2﹣x1＞lna﹣1＝ln，即x1+ln＜x2∴x1＜x2＜2lna．…请考生在[22]、[23]题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ＝φ，θ＝φ+，θ＝φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|＝|OA|；（Ⅱ）当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．【分析】（Ⅰ）依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos（φ+），|OC|＝4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，＝|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y＝﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．解：（Ⅰ）依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos（φ+），|OC|＝4cos（φ﹣），…则|OB|+|OC|＝4cos（φ+）+4cos（φ﹣）＝2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）＝4cosφ，＝|OA|．…（Ⅱ）当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y＝﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…所以m＝2，α＝．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣1|．（1）求f（x）＞﹣5的解集；（2）若关于x的不等式|b+2a|﹣|2b﹣a|≥|a|（|x+1|+|x﹣m|）（a，b∈R，a≠0）能成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用绝对值不等式，去掉绝对值符号，然后转化求解不等式即可．（2）不等式化为能成立，可得能成立，利用换元法以及绝对值不等式的几何意义，求解即可．解：（1），可得或或，解得x∈（﹣2，8），故f（x）＞﹣5的解集为（﹣2，8）．…………（2）由|b+2a|﹣|2b﹣a|≥|a|（|x+1|+|x﹣m|），（a≠0）能成立，得能成立，即能成立，令，则|t+2|﹣|2t﹣1|≥（|x+1|+|x﹣m|）能成立，由（1）知，，又∵|x+1|+|x﹣m|≥|1+m|，∴，∴实数m的取值范围：。

2020年四川省绵阳市高考(理科)数学三诊模拟测试试卷含解析

2020年高考（理科）数学三诊试卷一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．32．已知复数z满足（1﹣i）•z＝|+i|，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i3．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．94．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险5．在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（）A．﹣360B．﹣160C．160D．3606．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形7．已知两个单位向量，的夹角为120°，若向量═2﹣，则•＝（）A．B．C．2D．38．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．29．设函数f（x）＝则下列结论错误的是（）A．函数f（x）的值域为RB．函数f（|x|）为偶函数C．函数f（x）为奇函数D．函数f（x）是定义域上的单调函数10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）11．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．412．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，，D为AC上的一点（不含端点），将△BCD沿直线BD折起，使点C在平面ABD上的射影O在线段AB上，则线段OB的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（0，）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则sinα＝．14．若曲线f（x）＝e x cos x﹣mx，在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为，则实数m ＝．15．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝．（1）求S n；（2）设b n＝，求证：b1+b2+b3+…+b n＜．18．如图，已知点S为正方形ABCD所在平面外一点，△SBC是边长为2的等边三角形，点E为线段SB的中点．（1）证明：SD∥平面AEC；（2）若侧面SBC⊥底面ABCD，求平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值．19．2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）[160，200）天数255010025若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？20．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．21．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方．（1）若线段MN的垂直平分线交x轴于点Q，若|FQ|＝8，求直线l的斜率；（2）设点P（x0，0），若点M恒在以FP为直径的圆外，求x0的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2．故选：C．2．已知复数z满足（1﹣i）•z＝|+i|，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：（1﹣i）•z＝|+i|，∴（1+i）（1﹣i）•z＝2（1+i），则z＝1+i．故选：B．3．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．9【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，∴4x＝＝＝9，故选：D．4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．解：根据A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知：A型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．5．在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（）A．﹣360B．﹣160C．160D．360【分析】根据展开式二项式系数最大，求出n＝6，然后利用展开式的通项公式进行求解即可．解：∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大，∴展开式共有7项，则n＝6，则展开式的通项公式为T k+1＝C x6﹣k（﹣）k＝（﹣2）k C x6﹣2k，由6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝（﹣2）3C＝﹣160，故选：B．6．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】由三角形的内角和定理得到B＝π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到A＝C，利用等角对等边即可得到三角形为等腰三角形．解：∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，∴cos A sin C﹣sin A cos C＝sin（C﹣A）＝0，即C﹣A＝0，C＝A，∴a＝c，即△ABC为等腰三角形．故选：B．7．已知两个单位向量，的夹角为120°，若向量═2﹣，则•＝（）A．B．C．2D．3【分析】根据平面向量的数量积定义，计算即可．解：由题意知||＝||＝1，且•＝1×1×cos120°＝﹣，又向量═2﹣，所以•＝2﹣•＝2×1﹣（﹣）＝．故选：A．8．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．2【分析】利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．解：双曲线＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝3．故选：B．9．设函数f（x）＝则下列结论错误的是（）A．函数f（x）的值域为RB．函数f（|x|）为偶函数C．函数f（x）为奇函数D．函数f（x）是定义域上的单调函数【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）＝，当x＞0时，f（x）＝2x+1＞2，当x＜0时，f（x）＝﹣2﹣x﹣1＝﹣（2﹣x+1）＜﹣2，其值域不是R，A错误；对于B，函数f（|x|），其定义域为{x|x≠0}，有f（|﹣x|）＝f（|x|），函数f（|x|）为偶函数，B正确；对于C，函数f（x）＝，当x＞0时，﹣x＜0，有f（x）＝2x+1，f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣2﹣x﹣1，反之当x＜0时，﹣x＞0，有f（x）＝﹣2x﹣1，f（﹣x）＝﹣f（x）＝2x+1，综合可得：f（﹣x）＝﹣f（x）成立，函数f（x）为奇函数，C正确；对于D，函数f（x）＝，当x＞0时，f（x）＝2x+1＞2，f（x）在（0，+∞）为增函数，当x＜0时，f（x）＝﹣2﹣x﹣1＜﹣2，f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，故f（x）是定义域上的单调函数；故选：A．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．解：∵函数的最小周期是π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）关于中心对称，∴2×（﹣）+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+，k∈Z，∵，∴当k＝0时，φ＝，即f（x）＝sin（2x+），则函数在[﹣，]上递增，在[，]上递减，f（0）＝f（），∵＜1＜2，∴f（）＞f（1）＞f（2），即f（2）＜f（1）＜f（0），故选：D．11．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的交点个数．由y＝﹣，得y′＝．可知当x＜1时，y′＜0，函数单调递减，当x＞1时，y′＞0，函数单调递增．作出两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，，D为AC上的一点（不含端点），将△BCD沿直线BD折起，使点C在平面ABD上的射影O在线段AB上，则线段OB的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（0，）【分析】由题意，OC⊥平面ABD，根据三余弦定理，线线角的值等于线面角的余弦值与射影角余弦值的积．从而求解；解：由题意，OC⊥平面ABD，根据三余弦定理，线线角的值等于线面角的余弦值与射影角余弦值的积．设∠CBD＝θ，∠CBO＝θ1，则∠ABD＝60°﹣θ；则cosθ＝cosθ1×cos（60°﹣θ）所以cosθ1＝＝，∵θ∈（30°，60°）；∴OB＝cosθ1∈（，1）．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则sinα＝．【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵，∴两边平方可得：cos2+sin2﹣2cos sin＝，可得1﹣sinα＝，∴sinα＝．故答案为：．14．若曲线f（x）＝e x cos x﹣mx，在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为，则实数m ＝2．【分析】对函数求导，然后得f′（0）＝，由此求出m的值．解：f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣m．∴．∴m＝2．故答案为：215．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝2．【分析】根据正余弦定理可得PF1•PF2＝16且4c2＝（2a）2﹣16，解出b即可．解：△F1PF2的面积＝PF1•PF2sin120°＝PF1•PF2＝4，则PF1•PF2＝16，又根据余弦定理可得cos120°＝，即4c2＝PF12+PF22+16＝（2a）2﹣32+16，所以4b2＝16，解得b＝2，故答案为：2．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．【分析】设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则h2+2a2＝（2×2）2，所以a2＝8﹣h2，所以正四棱柱容器的容积为V＝a2h＝（8﹣h2）h＝﹣h3+8h，h∈（0，4）；求导数得V′＝﹣h2+8，令V′＝0，解得h＝，所以h∈（0，）时，V′＞0，V（h）单调递增；h∈（，4）时，V′＜0，V（h）单调递减；所以h＝时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝．（1）求S n；（2）设b n＝，求证：b1+b2+b3+…+b n＜．【分析】（1）由数列的递推式：a n+1＝S n+1﹣S n，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得b n＝＝（）n﹣1，由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．解：（1）a n+1＝，可得a n+1＝S n+1﹣S n＝S n，由a1＝1，可得S1＝1，即S n+1＝S n，可得数列{S n}是首项为1，公比为的等比数列，则S n＝（）n﹣1；（2）证明：b n＝＝（）n﹣1，则b1+b2+b3+…+b n＝＝﹣•（）n＜．18．如图，已知点S为正方形ABCD所在平面外一点，△SBC是边长为2的等边三角形，点E为线段SB的中点．（1）证明：SD∥平面AEC；（2）若侧面SBC⊥底面ABCD，求平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）连接BD交AC于F，连接EF，由已知结合三角形的中位线定理可得EF ∥SD，再由直线与平面平行的判定可得SD∥平面AEC；（2）取BC的中点O，连接OF并延长，可知OF⊥OC，利用线面垂直的判定定理与性质定理可得：OS⊥OF，OS⊥OC，建立空间直角坐标系，分别求出平面CDS与平面ACE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：连接BD交AC于F，连接EF，∵ABCD为正方形，F为BD的中点，且E为BS的中点，∴EF∥SD．又SD⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，∴SD∥平面AEC；（2）解：取BC的中点O，连接OF并延长，可知OF⊥OC，在等边三角形SBC中，可得SO⊥BC，∵侧面SBC⊥底面ABCD，且侧面SBC∩底面ABCD＝BC，∴SO⊥平面ABCD，得OS⊥OF，OS⊥OC．以O为坐标原点，分别以OF，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，得：A（2，﹣1，0），C（0，1，0），E（0，﹣，），D（2，1，0），S（0，0，）．，，，．设平面CDS与平面ACE的一个法向量分别为，．由，取z＝1，得；由，取x1＝1，得．∴cos＜＞＝．∴平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值为．19．2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）[160，200）天数255010025若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？【分析】（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P（A）＝，由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率．（2）由题意得每天配送蔬菜量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为，设物流公司每天的营业利润为Y，若租赁1辆车，则Y的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．解：（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P（A）＝，∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：p＝＝．（2）由题意得每天配送蔬菜量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为，设物流公司每天的营业利润为Y，若租赁1辆车，则Y的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，P（Y＝4000）＝，P（Y＝1600）＝，∴Y的分布列为：Y40001600P∴E（Y）＝4000×＝3700元．若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，P（Y＝6000）＝，P（Y＝3600）＝，P（Y＝1200）＝，∴Y的分布列为：Y600036001200P∴E（Y）＝＝4800元，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，P（Y＝8000）＝，P（Y＝5600）＝，P（Y＝3200）＝，P（Y＝800）＝，∴Y的分布列为：Y800056003200800P∴E（Y）＝＝4700，∵4800＞4700＞3700＞2000，∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．20．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．【分析】（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．解：（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx﹣+2，＝，x＞0，易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，故当x＝时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4，（2）＝，当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，解可得，0，当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1）﹣＝，令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）ln﹣a+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，令h（a）＝，则＜0，所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2﹣，即f（）＞0，所以f（x）在（1，e）上没有零点，综上，当0＜a＜时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．21．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方．（1）若线段MN的垂直平分线交x轴于点Q，若|FQ|＝8，求直线l的斜率；（2）设点P（x0，0），若点M恒在以FP为直径的圆外，求x0的取值范围．【分析】（1）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设l的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而可得MN的中点坐标，进而可得MN的中垂线方程，令y＝0可得Q的坐标，进而求出|QF|的值，由题意可得直线l的斜率；（2）由题意可得∠FMP为锐角，等价于＞0，求出的表达式，换元等价于h（t）＝t2+（3﹣x0）4+x0，t＞0恒成立，分两种情况求出x0取值范围．解：（1）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x＝ty+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的最大E（x0，y0），联立直线与抛物线的方程可得：，整理可得y2﹣4ty﹣4＝0，y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以y0＝2t，x0＝ty0+1＝2t2+1，即E（2t2+1，2t），故线段MN的中垂线方程为：y﹣2t ＝﹣t（x﹣2t2﹣1），令y＝0，则Q（2t2+3，0），所以|FQ|＝|22+3﹣1|＝8，解得t＝，所以直线l的斜率k＝＝；（2）点M恒在以FP为直径的圆外，则∠FMP为锐角，等价于＞0，设M（，y1），F（1，0），P（x0，0），则＝（x0﹣，﹣y1），＝（1﹣，﹣y1），故＝（x0﹣）（1﹣）+y12＝++（1﹣）x0＞0恒成立，令t＝，t＞0，原式等价于t2+3t+（1﹣t）x0＞0对任意t＞0恒成立，即t2+（3﹣x0）4+x0＞0对任意t＞0恒成立，令h（t）＝t2+（3﹣x0）4+x0，t＞0，①△＝（3﹣x0）2﹣4x0＜0，即1＜x0＜9，②，解得0≤x0≤1，又因为x0≠1，故x0∈[0，1），综上所述x0∈[0，1）∪（1，9）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．（2）由（1）得：|MN|＝|．显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，设PC2与直线MN垂直于点H，如图所示：在Rt△OHC2中，|，所以点P到直线MN的最大距离d＝，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值m，然后由a+4b+9c＝m，根据++＝++（a+4b+9c），利用基本不等式求出的最小值．解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝．∵f（x）≤5，∴或﹣1≤x≤2或，∴﹣2≤x≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}．（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x+1|⩾|（x﹣2）﹣（x+1）|＝1∴f（x）的最小值为1，即m＝3，∴a+4b+9c＝3．＝＝3，当且仅当时等号成立，∴最小值为3．。

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x 2−1≥0}，B ={x|0<x <4}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. [0,4)C. [1,4)D. (4,+∞)2. 若复数z =2i+4i−1，则z =( )A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i3. 已知△ABC 中，a =1，b =2，∠C =60°，则边c 等于( )A. √3B. √2C. √5D. 54. 已知2a 2+2b 2=c 2，则直线ax +by +c =0与圆x 2+y 2=4的位置关系是( )A. 相交但不过圆心B. 过圆心C. 相切D. 相离5. 在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 的中点，设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 14a⃗ +34b ⃗ B. 14a⃗ −34b ⃗ C. 34a⃗ +14b ⃗ D. 34a⃗ −14b ⃗ 6. 设a ∈(0,5)，且a ≠1，则函数f(x)=log a (ax −1)在(2,+∞)上为单调函数的概率为( )A. 910B. 45C. 15D. 1107. 函数f(x)=e x x的图象大致为( )A.B.C.D.8. 一个四面体共一个顶点的三条棱两两垂直，其长分别为1，√6，3，且四面体的四个顶点在同一球面上，则这个球的体积为( )A.16π3B.32π3C. 12πD.64π39. (√x 3−2x )8二项展开式中的常数项为( )A. 56B. −56C. 112D. −11210. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若lga −lgc =lgsinB =−lg √2，且B ∈(0,π2)，则△ABC 的形状是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形11. 已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=k,∠AOB =2π3，点C 在∠AOB 内，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +m OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ≠0)，则k =( ) A. 1 B. 2 C. √3D. 412. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，直线l:y =√3(x −1)，l 与C 交于A ，B 两点，若|AB|=163，则p = ( )A. 8B. 4C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=cosx −√3sinx ，则其对称轴方程为______，若f(x)≥1，则x 的取值范围为______．14. 已知实数x,y 满足{x +y +1≥0x −2y ≥0x −y −1≤0，则目标函数z =2x +y 的最大值为_________ ．15. 函数f (x )=x 3−kx 2+3x 在区间x ∈[13,4]上单调递减，则实数k 的取值范围是． 16. 若函数f(x)=m|3x −1|2−4|3x −1|+1(m >0)在上有四个零点，则实数m 的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n =a n−12a n−1+1(n ∈N ∗,n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n =1a n(n ∈N ∗).(1)求证：数列{b n }为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式．18.为促进义务教育的均衡发展，各地实行免试就近入学政策，某地区随机调查了50人，他们年龄的频数分布及赞同“就近入学”人数如表：年龄[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)频数510151055赞同4512821(1)在该样本中随机抽取3人，求至少2人支持“就近入学”的概率．(2)若对年龄在[5,15)，[35,45)的被调查人中各随机选取2两人进行调查，记选中的4人支持“就近入学”人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC =13．(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)设点G 在PB 上，且PG PB =23.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． 20. 已知函数，曲线y =f(x)在x =1处的切线经过点(2,−1)．(1)求实数a 的值；(2)设b >1，求f(x)在区间[1b ,b]上的最大值和最小值．21. 已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 23+y 22=1的左、右焦点，点P(x 0,y 0)在椭圆C 上． (Ⅰ)求PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(Ⅱ)若y 0>0且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，已知直线l:y =k(x +1)与椭圆C 交于A 、B 两点，过点P 且平行于直线l 的直线交椭圆C 于另一点Q ，问：四边形PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．O 22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=3+3cosαy=3sinα(其中α为参数)，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ+4cosθ=0．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设点A，B分别是曲线C1，C2上两动点且∠AOB=π，求△AOB面积的最大值．223.已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|，x∈R(1)解不等式f(x)≤5；(2)若不等式m2−3m<f(x)，对∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|x2−1≥0}={x|x≤−1或x≥1}，B={x|0<x<4}，∴A∩B=[1,4)．故选：C．本题考查集合的交集，是基础题．求出集合A，再根据交集的定义求解即可．2.答案：A解析：解：∵z=2i+4i−1=(4+2i)(−1−i) (−1+i)(−1−i)=−2−6i2=−1−3i，∴z=−1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得z=−1−3i，则z=−1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．3.答案：A解析：本题考查余弦定理，由已知利用余弦定理即可计算求值得解．解：∵a=1，b=2，∠C=60°，∴由余弦定理可得：c=√a2+b2−2abcosC=√12+22−2×1×2×cos60°=√3．故选A．4.答案：A解析：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．求出圆心(0,0)到直线的距离为√a 2+b 2=√c 22=√2，小于半径，从而得出结论．解：由于圆心(0,0)到直线的距离为√a 2+b 2=√c22=√2<2(半径)，故直线和圆相交但不过圆心，故选：A ．5.答案：D解析：本题主要考查平面向量基本定理，属于基础题．根据平面向量基本定理，将AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成a ⃗ ,b ⃗ 的形式即可．解：∵点M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ++12[12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )] =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ −14b ⃗ ，故选D ．6.答案：A解析：解：函数f(x)=log a (ax −1)在(2,+∞)上为单调函数，则2a −1>0， ∵a ∈(0,5)，且a ≠1，∴a ∈(12,5)，且a ≠1，∴函数f(x)=log a (ax −1)在(2,+∞)上为单调函数的概率为5−125−0=910，故选A ．利用函数f(x)=log a (ax −1)在(2,+∞)上为单调函数，求出a 的范围，以长度为测度，即可求出概率．本题考查几何概型，考查函数单调性的运用，属于中档题．7.答案：B解析：本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及函数的图象的判断，考查计算能力．利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．解：函数f(x)=e x x的定义域为：；当x >0时，函数f′(x)=xe x −e xx 2，可得函数的极值点为：x =1；当x ∈(0,1)时，函数是减函数，x >1时，函数是增函数，并且f(x)>0，选项B 、D 满足题意．当x <0时，函数f(x)=e x x<0，选项D 不正确，选项B 正确．故选B ．8.答案：B解析：本题是基础题，考查四面体的外接球的体积，本题的突破口在四面体是长方体的一个角，扩展的长方体与四面体有相同的外接球．由题意一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，可知，四面体是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．解：四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1,√6,3，四面体的四个顶点同在一个球面上，四面体是长方体的一个角，扩展为长方体，四面体的外接球与长方体的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：√12+(√6)2+32=4，半径为2，外接球的体积为：．故选B ．9.答案：C解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：(√x 3−2x )8二项展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅x8−r3⋅(−2)r⋅x−r=(−2)r⋅C8r⋅x8−4r3，令8−4r3=0，求得r=2，可得展开式的常数项为4C82=112，故选C．10.答案：C解析：本题考查了正弦定理的应用以及两角和与差三角函数公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数运算化简整理得，利用正弦定理得，运用两角和与差三角函数公式及角的范围，计算得答案．解：∵lga−lgc=lgsinB=−lg√2，∴ac =sinB=√22．∵B∈(0,π2)，∴B=π4．由正弦定理，得ac =sinAsinC=√22，∴sinC=√2sinA=√2sin(3π4−C)=√2(√22cosC+√22sinC)，化简，得cosC=0．∵C∈(0,π)，∴C=π2，则A=π−B−C=π4，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．11.答案：D解析：本题考查向量的数量积运算．利用向量的数量积运算即可算出．解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ≠0)，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴0=2m +mkcos 2π3，(m ≠0)，∴2−12k =0，解得k =4．故选D ．12.答案：C解析：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．解：由题意联立有{y 2=2pxy =√3(x −1)⇒3x2−(6+2p)x +3=0 ∴x 1+x 2=6+2p 3，x 1x 2=1，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(6+2p 3)2−4=163，求得p =2．故选C ．13.答案：x =kπ−π3，k ∈Z [−2π3+2kπ,2kπ]，k ∈Z解析：解：∵f(x)=cosx −√3sinx =2cos(x +π3)， ∴令x +π3=kπ，k ∈Z ，可得：x =kπ−π3，k ∈Z ， ∴对称轴方程为：x =kπ−π3，k ∈Z ，∵f(x)=2cos(x +π3)≥1，可得：cos(x +π3)≥12，∴x +π3∈[−π3+2kπ,π3+2kπ]，k ∈Z ， ∴x 的取值范围为：[−2π3+2kπ,2kπ]，k ∈Z ．故答案为：x =kπ−π3，k ∈Z ，[−2π3+2kπ,2kπ]，k ∈Z ．原式可化简为：f(x)=2cos(x +π3)，由余弦函数的图象即可计算得解．本题主要考察了余弦函数的图象及其性质，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：5解析：本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z =2x +y 的位置，求出最大值．解：作出实数x ，y 满足{x +y +1≥0x −2y ≥0x −y −1≤0，的可行域如图：目标函数z =2x +y 在{x −2y =0x −y −1=0的交点A(2,1)处取最大值为z =2×2+1=5．故答案为5．15.答案：[518,+∞)解析：本题主要考查函数的导数与极值，单调区间的关系，以及恒成立问题求参数的取值范围，属于导数的应用．解：函数f(x)=x 3−kx 2+3x 在区间x ∈[13,4]上单调递减，可得f′(x)≤0恒成立，即f′(x)=3x 2−2kx +3在区间x ∈[13,4]上，3x 2−2kx +3≤0恒成立，可得：{13−2k 3+3≤048−8k +3≤0，解得，518≤k ，∴实数k的取值范围[518,+∞)．故答案为[518,+∞)．16.答案：(3,4)解析：本题考查根据函数零点的个数求参数的取值范围，考查二次函数的性质，属于中档题．借助换元法，结合t=|3x−1|确定函数y=mt2−4t+1的零点个数．解：根据题意，对于函数f(x)=m|3x−1|2−4|3x−1|+1，设t=|3x−1|，则y=mt2−4t+1，作出t=|3x−1|的图象如图，若函数f(x)=m⋅|3x−1|2−4|3x−1|+1(m>0)在R上有四个零点，即g(t)=mt2−4t+1=0在(0,1)上有两个不同的根，则有，解得3<m<4，即实数m的取值范围为(3,4)．故答案为(3,4)．17.答案：解：(1)证明：∵数列{a n}中，a1=1，a n=a n−12a n−1+1(n∈N+,n≥2)，∴1a n =2an−1+1a n−1=2+1a n−1，即b n=b n−1+2,且b1=1a1=1，所以，数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为2；(2)由(1)得，b n=1+2(n−1)=2n−1，则1a n=2n−1，即a n =12n−1．解析：本题考查数列是等差数列的证明，以及数列通项公式的求解．(1)由已知得1a n =2an −1+1a n−1=2+1a n−1，由此能证明数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列；(2)由(1)求出{b n }的通项公式，再由a n 与b n 之间的关系得数列{a n }的通项公式．18.答案：解：(1)设“在该样本中随机抽取3人，至少2人支持就近入学”的事件为A ，则至少2人支持“就近入学”的概率P(A)=C 322C 181+C 323C 503=124175． (2)随机变量X 的可能取值为1，2，3，4，P(X =1)=C 41C 52×C 22C 102=2225， P(X =2)=C 42C 52×C 22C 102+C 41C 52×C 81C 21C 102=745， P(X =3)=C 42C 52×C 81C 21C 102+C 41C 52×C 82C 102=104225， P(X =4)=C 42C 52×C 82C 102=2875，∴X 的分布列为：E(X)=1×2225+2×747+3×104225+4×2875=165．解析：(1)设“在该样本中随机抽取3人，至少2人支持就近入学”的事件为A ，利用互斥事件概率计算公式能求出至少2人支持“就近入学”的概率．(2)随机变量X 的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能出X 的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，PA ∩AD =A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ．(Ⅱ)解：以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，E(0,1，1)，F(23,23,43)，P(0,0，2)，B(2,−1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,43)，平面AEP 的一个法向量n⃗ =(1,0，0)，设平面AEF 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23x +23y +43z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，设二面角F −AE −P 的平面角为θ，由图可知为锐角，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3=√33． ∴二面角F −AE −P 的余弦值为√33． (Ⅲ)解：直线AG 在平面AEF 内，理由如下：∵点G 在PB 上，且PG PB =23.∴G(43,−23,23)，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,−23,23)， ∵平面AEF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，m ⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =43−23−23=0，故直线AG 在平面AEF 内．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)推导出PA ⊥CD ，AD ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面PAD ．(Ⅱ)以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F −AE −P 的余弦值．(Ⅲ)求出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,−23,23)，平面AEF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，m ⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =43−23−23=0，从而直线AG 在平面AEF 内． 20.答案：解：(1)f (x )的导函数为f ′(x )=1−lnx−ax 2x 2⇒f ′(1)=1−0−a 1=1−a ，依题意，有f (1)−(−1)1−2=1−a ，即−a+11−2=1−a ，解得a =1；(2)由(1)得f ′(x )=1−lnx−x 2x 2，当0<x <1时，1−x 2>0，−lnx >0，所以f′(x)>0，故f(x)单调递增；当x >1时，1−x 2<0，−lnx <0，所以f′(x)<0，故f(x)单调递减．所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，因为0< 1b <1<b ，所以f(x)最大值为f(1)=−1．设ℎ(b )=f (b )−f (1b )=(b +1b )lnb −b +1b ，其中b >1，则ℎ′(b )=(1−1b 2)lnb >0，故ℎ(b )在区间(1,+∞)单调递增，当b →1时，ℎ(b )→0⇒ℎ(b )>0⇒f (b )>f (1b )，故f (x )最小值f (1b )=−blnb −1b .解析：本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程以及函数的最值的求法，是基础题．(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，列出方程求实数a 的值；(2)利用函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极值以及端点的函数值，求解函数最值即可． 21.答案：解：(Ⅰ)由题意可知，F 1(−1,0),F 2(1,0)，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x 0,−y 0),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 0,−y 0)∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02−1∵点P(x 0,y 0)是椭圆C 上，∴x 023+y 022=1，即y 02=2−2x 023∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+2−23x 02−1=13x 02+1，且−√3≤x 0≤√3∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值1．(Ⅱ)∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴x 0=−1,∵y 0>0∴P(−1,2√33)，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由{y =(k +1)x 23+y 22=1得，(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2−6=0， ∴x 1+x 2=−6 k 22+3k 2,x 1,x 2=3k 2−62+3k 2，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3⋅√1+k 22+3k 2， ∴|AB |=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=4√3⋅(1+k 2)2+3k 2 ∵P(−1.2√33),PQ//AB, ∴直线PQ 的方程为y −2√33=k (x +1)．由{y −2√33=k(x +1)x 23+y 22=1得，(2+3k 2)x 2+6k(k +2√33)x +3(k +2√33)2−6=0， ∵x P =−1,∴x Q =2−3k 2−4√3k2+3k 2，∴|PQ |=√1+k 2⋅|x P −x Q |=√1+k 2⋅|4−4√3k|2+3k 2，若四边形PABQ 能成为平行四边形，则|AB |=|PQ |，∴4√3⋅√1+k 2=|4−4√3k|，解得k =−√33． ∴符合条件的直线l 的方程为y =−√33(x +1)，即x +√3y +1=0．解析：本题主要考查椭圆的性质，和探究性问题，属于较难题．(Ⅰ)设P(x 0,y 0)，可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由P 满足椭圆的方程，由二次函数的值域求法可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是最小值；(Ⅱ)证明四边形PABQ 为平行四边形，需证|AB |=|PQ |，由弦长公式用k 表示|AB |，由P (x 0,y 0)可设直线PQ ，|AB |=|PQ |可得k 的值，即可得直线的方程．22.答案：解：(Ⅰ)曲线曲线C 1的参数方程为{x =3+3cosαy =3sinα(α为参数)，消去参数的C 1的直角坐标方程为：(x −3)2+y 2=9曲线C 2的极坐标方程为ρ+4cos θ=0，即 ρ2+4ρcos θ=0化为直角方程为x 2+y 2+4x =0(Ⅱ)由(1)知曲线C 1，C 2均关于x 轴对称，而且外切与原点O ．不妨设，则因为曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cosθ，所以所以：S △AOB =12ρ1ρ2=126cosθ4sinθ=6sin2θ≤6故时△ABO 的面积最大值为6．解析：本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角形面积公式的应用，属于中档题．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用极坐标系设出A ，B 坐标，进一步求出三角形面积最值．23.答案：解：(1)原不等式等价为{x <−3−2−2x ≤5或{−3≤x ≤14≤5或{x >12x +2≤5，可得−72≤x <−3或−3≤x ≤1或1<x ≤32，则原不等式的解集为[−72,32]； (2)由于f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，则f(x)的最小值为4，由题意可得m 2−3m <f(x)min ，即有m 2−3m <4，解得−1<m <4．故m 的取值范围是(−1,4)．解析：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于基础题和易错题．(1)运用零点分区间的方法，讨论x <−3，−3≤x ≤1，x >1去掉绝对值，解不等式，再求并集即可；(2)运用绝对值不等式的性质，可得f(x)的最小值为4，再由不等式恒成立思想可得二次不等式，解得即可．。

四川省绵阳南山中学2020届高三“绵阳三诊”模拟考试理科数学答题卡

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(本小题满分 10 分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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21.(本小题满分 12 分) 0
y l1 P
K
F1
O
F2
l2 M
x
N
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请认真阅读试题作答要求，此栏只供一题作答，并必须用 2B 铅笔将选作题目对应题号后面的方框涂满、涂黑，请勿多涂、漏涂
第二部分主观题(请用黑色签字笔作答)
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.
14.
15.
16.
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
续 17 题：
18.(本小题满分 12 分)
点
意 3. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用填
事
黑色字迹的签字笔填写，字迹工整。 4. 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围
涂
项的答案无效，在草稿纸、试卷上作答无效。
样
5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
例
有效填涂 $
无效填涂 %^&*
第一部分客观题(请用 2B 铅笔填涂)
2020 年 4 月

【4月名校三模理数】四川省绵阳南山中学2020年高三三诊模拟考试理科数学试卷、答题卡、答案解析

的图象大致为（
）
A
B
C
D
8、一个四面体所有棱长都为 4 ，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）
A. 24
B. 8 6
C. 4 3 3
D. 12
9、 (x 1 1)5 展开项中的常数项为（） x
A. 1
B. 11
C. 19
D. 51
10、 ABC 中， lg cos A lgsin C lgsin B lg 2，则 ABC 的形状是 (
(ⅰ)得分不低于的可以获得 2 次抽奖机会,得分低于的可以获得1次抽奖机会;
(ⅱ)每次抽奖所获奖券和对应的概率为:
中奖的奖券面值(单元:元) 20
40
概率
4
1
5
5
现有市民甲要参加此次问卷调查,记 X (单位:元)为该市民参加问卷调查所获得的所有
奖券面值和,求 X 的分布列与数学期望.
附:参考数据与公式, 210 14.5
A. {x | x 2}
B. {x |1 x 2}
C. {x | x 0,或x 1} D. {x | x 1}
2、若复数 z 满足 z 3(1 z)i 1，复数 z 的共轭复数是 z ，则 z z ( )
A. 1
B. 0
C. 1
D. 1 3 i
22
3、在 ABC 中 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c .若 a 3,b 4,C 120 ,则 c ( )
)
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
题卷共 4 页，第 1 页
11、点 A,B,C 是单位圆 O 上的不同三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 M ，若 OC mOA nOB (m 0, n 0) ， m n 2，则 AOB 的最小值为( )

2020年绵阳南山中学高三3月网络考试理科数学试题及答案

2020届四川省绵阳南山中学高三3月网络考试数学（理）试题一、单选题1．集合{}24A x x =-<，{}24xB x =≤，则A B =I （） A ．R B ．()2,2-C ．[)2,6D ．(]2,2-【答案】D【解析】化简集合A ，根据指数函数的单调性，化简集合B ，按照交集定义即可求解. 【详解】{}24(2,6)A x x =-<=-， {}24(,2]x B x =≤=-∞，(]2,2A B =-I .故选:D. 【点睛】本题考查指数函数的性质、集合间的运算，属于基础题.2．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示写上四个字母A ，B ，C ，D ，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（）A ．一样大B ．区域A ，C 可能性大 C ．区域B ，D 可能性大 D ．由指针转动圈数决定【答案】C【解析】根据矩形的性质和题意区域,B D 所占区域的角较大，再根据几何概型的概率，即可求解. 【详解】一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域中，区域,B D 的角较大，所以指针指向区域B ，D 可能性大.故选:C. 【点睛】本题考查了几何概型概率，转化为角的比，注意图形不是圆故不能用面积比，属于基础题.3．如图是为了求出满足321000->n n 的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．1000>A 和1=+n nB ．1000>A 和2=+n nC ．1000≤A 和1=+n nD ．1000≤A 和2=+n n【答案】D【解析】由题意，因为321000->n n ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000>A ，故填1000≤A ，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2=+n n ，故选D.点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.4．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，yx取值范围为（） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．33⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U C ．3,3⎡-⎣D ．)(3,03⎡-⋃⎣【答案】B【解析】虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得22(2)1,0x y y ++=≠，yx表示圆上点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】虚数()2++x yi ，得0y ≠，虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1，2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠，yx ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0yx ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， yx取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3BOC AOC ∠=∠=，切线,OA OB 的斜率分别为33,-，所以30yx-≤<或30y x <≤. 故选:B.【点睛】本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题.5．b 是区间22,22⎡-⎣上的随机数，直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率为( ) A ．13B ．34C ．12D ．14【答案】C【解析】利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的b ，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【详解】解：b是区间⎡-⎣上的随机数.即b -≤≤由直线y x b =-+与圆221x y +=1≤，b ≤≤，区间长度为直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率12P ==，故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解． 6．已知数列{}n a 中，12a =，21a =，且满足11112111-++=+++n n n a a a （2n ≥），则n a =（） A ．51-+nn B ．22n -C ．3n -D ．62+n 【答案】A【解析】由已知可得1{}1n a +成等差数列，求出1{}1n a +的首项和公差，进而求出1{}1n a +通项公式，即可得出结论. 【详解】11112(2)111n n n n a a a -++=≥+++， {11}n a ∴+成等差数列，122,1a a ==Q ， 121111,1312a a ∴==++，{11}n a ∴+公差为16， 15,1611n n n na a n +-∴=∴=++. 故选:A. 【点睛】本题考查数列通项公式，利用等差中项判断等差数列是解题的关键，作为客观题亦可根据递推公式求出3a ，代入选项进行验证，属于基础题.7．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（）A．63πB．81πC．33πD．36π【答案】A【解析】根据三视图得到凿去部分为圆柱和半球的组合体，根据三视图数据，求出体积，即可求解.【详解】由三视图可知凿去部分为圆柱和半球的组合体，其中圆柱底面半径与球半径均为3，圆柱的高为5，所以组合体的体积为23143536323πππ⨯⨯+⨯⨯=.故选:A.【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，属于基础题.8．若702x yxx y k-+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩且24z x y=+取得最小值为12-，则k=（）A．2 B．9 C．310D．0【答案】A【解析】做出可行域，根据图象确定目标函数取最小值时所在的直线24120x y++=，与可行域直线的交点，即可求出结论.【详解】做出可行域如下图所示，当目标函数24z x y=+过A点是取得最小值12-，此时目标函数对应的方程为24120x y++=，且点A为直线2x=与0x y k++=的交点，由224120xx yx y k=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得242xyk=⎧⎪=-⎨⎪=⎩(2,4),2A k∴-=.故选:A.【点睛】本题考查简单线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题.9．若1x a-<成立的充分不必要条件是312x<<，则a的取值范围（）A．122a<<B．122a≤≤C．12a≤或2a≥D．12a<或2a>【答案】B【解析】求出1x a-<的解集设为A，由题意可得3(1,)2是A的真子集，即可求出结论.【详解】1,11x a a x a-<-<<+，1x a-<Q成立的充分不必要条件是312x<<，3(1,)2∴是(1,1)a a -+的真子集，11312a a -≤⎧⎪∴⎨+≥⎪⎩且等号不能同时取得，解得122a ≤≤. 故选:B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的应用，注意与集合间的关系，属于基础题.10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[]3,2--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个内角，则下列不等式关系中正确的是（） A ．()()sin cos f f αβ> B ．()()cos cos f f αβ< C ．()()cos cos f f αβ> D ．()()sin cos f f αβ<【答案】D【解析】抽象函数比较函数值大小，考虑函数的单调性，而,αβ是钝角三角形的两个内角，可得2παβ+<，进而可得0sin cos 1αβ<<<，研究函数在[0,1]的单调性即可求出结论，根据已知可得()f x 是周期为2的周期函数，再结合[]3,2--上是减函数，且为偶函数，即可求解. 【详解】偶函数()f x 满足()()()2-==-f x f x f x ，函数()f x 关于1x =对称，且周期2T =.()f x 在[]3,2--上是减函数，所以在[]1,0-上是减函数，在[]0,1上是增函数.又2παβ+<，022ππαβ<<-<，0sin sin cos 12παββ⎛⎫<<-=< ⎪⎝⎭，∴()()sin cos f f αβ<. 故选:D. 【点睛】本题考查正弦函数的单调性、抽象函数的周期性和单调性的应用，要注意归纳总结函数周期性的特征，属于中档题.11．设双曲线C 的中心为原点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A ，1B 和2A ，2B ，分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．3⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B．23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D．2⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，根据双曲线的对称性和已知可得，直线11A B 和22A B 关于x 轴对称，所成的角为60°，可知其中一条直线倾斜角为30°或60︒，不妨设为直线11A B ，而这样的直线只有一对，所以只有倾斜角为30°的直线11A B 与双曲线有两交点，从而得出渐近线倾斜角的范围为(30,60]︒︒，即可求出结论. 【详解】设双曲线的焦点在x 轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k （0k >）<≤k 所以22143,1433⎛⎫⎛⎫<≤<+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b a a ，即有23<.双曲线的离心率为c e a ==所以23<≤e . 故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的性质以及双曲线与直线的位置关系，利用图形的对称性是解题的关键，属于中档题.12．已知函数231,02()3133,242x x f x x x x -<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()1ln 0f x a x +--=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．5(ln 4,6ln 2)2-- B ．(4ln 3,6ln 2)-- C ．(1ln3,4ln3)+- D ．(1ln3,6ln 2)+-【答案】D【解析】关于x 的方程()1ln 0f x a x +--=有4个不相等的实根等价于()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有4个不同的交点，数形结合即可得到结果. 【详解】关于x 的方程()1ln 0f x a x +--=有4个不相等的实根等价于()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有4个不同的交点，作出于()y f x =与y ln 1x a =+- 的图象，如图所示：当y ln 1x a =+-经过A 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭时，13a ln =+，直线AB 与y ln 1x a =+-的图象相切于A 点，此时()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有3个不同的交点，当y ln 1x a =+-经过B ()2,5时，62a ln =-，,此时()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有3个不同的交点，观察图象不难发现，()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有4个不同的交点， a ()1ln3,6ln2∈+- 故选：D 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．直线3y x =+和x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在椭圆221169x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线AB 的最大距离为______.【答案】【解析】设点C 坐标为椭圆的参数形式，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可求解. 【详解】设()4cos ,3sin C θθ，则点C 到AB 的距离d ==≤=其中3tan 4ϕ=.故答案为:. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线的距离、三角函数的性质，属于基础题.14．方程()()2238380-+-+=r r x a x x b x 的四根组成首项为1的等比数列，且0a b ⋅=rr ，则+=r r a b ______.【解析】根据已知方程根与等比数列项的关系，求出方程的根，再由根与系数关系求出||,||a b r r，根据向量加法的几何意义，即可求出结论.【详解】设12,x x 是2380-+=rx a x 两根，34,x x 是2380-+=rx b x 两根.不妨设11x =，则28x =，32x =，44x =.∴3189=+=ra ，3246=+=rb ，∴3,2==r r a b ，由a b ⊥r r得+=r r a b 故答案为【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、等比数列性质、几何法求向量的模长，考查计算求解能力，属于中档题15．若有7个人排成一排，现要调整其中某3个人的位置，其余4个人的位置不动，则使所要调整的某3个人互不相邻的调整方法的种数是______. 【答案】20【解析】调整3人不相邻考虑用插空法，即调整的3人位置在不动的4人所成的5个空位取出3个，得到位置的取法，然后让这3人乱序可有2种安排方法，根据乘法原理，即可求解. 【详解】从不动的4个人所成的5个空位中任意选取3个，是无序问题，有3510C =种选法，而所要调整的这三人还是乱序问题（自己不能在原位），三人乱序只有两种安排位置的方法，故调整方法种数是35220=C .故答案为:20. 【点睛】本题考查排列组合应用问题、乘法原理等基础知识，对于排列组合常用的方法要多归纳总结，如不相邻插空法、相邻捆绑法等等，属于基础题16．OAB ∆中，AOB ∠角平分线交AB 于点C ．设OA a =uu u r r ，OB b =uuu r r ，OC c =u u u r r，且c a b λμ=+r r r.给出下列结论：①1λμ+=；②12λ=，12μ=；③13λ=，23μ=；④,==++r r r r rr ba λμab a b ；⑤,==++r r r r r r baλμa b a b.其中命题一定正确的序号是______.（把你认为正确的都填上）【答案】①④【解析】由,,A B C 三点共线，但不确定C 在线段AB 的位置，判断①成立，②、③不一定成立，再由角平分线性质得a b OC m a b ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭r r u u u rr r，再结合1λμ+=，即可求出,λμ与||,||a b u u r r 之间的关系，即可求出结论. 【详解】根据三点共线的充要条件①成立，而C 点在线段AB 位置不能确定，所以②、③不一定成立.又⎛⎫⎪=+=+ ⎪⎝⎭r ru u u rr r r r r r a a b m m OC m a a bb b ， ∴=r m λa，=r mμb ，由1λμ+=得1+=r r m m a b ， ∴=+r r r r a b m a b ， ∴,==++r r r r r r b aλμa b a b即④成立⑤不成立. 故答案为:①④. 【点睛】本题考查向量基本定理、共线向量的充要条件、角平分线的向量表示，属于中档题.三、解答题17．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =ABC ∆的面积；（2）若25sin CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长．【答案】（1）12；（213【解析】（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得2BC =进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sin BCA ∠=，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解.【详解】（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅即251BC BC =+ 2BC 40⇒-=,解得BC =.所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 12222∠=⋅⋅=⨯=.（2）因为0BAD 90,sin CAD ∠∠==,所以cos BAC ∠=，sin BAC ∠=πsin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫=- ⎪⎝⎭ )cos BAC sin BAC 2∠∠=-2==⎝⎭.在ΔABC 中，AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=, AB sin ABCAC sin BCA∠∠⋅∴==222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以 51624135=+-⨯=所以CD =【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 18．某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R 的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表：250350R ≤< 4 350R ≥4.52019年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R ，得到频率分布直方图如上图所示用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2019年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2019年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：辆数[)55006500,[)65007500, [)7500,8500 [)8500,9500 天数 20 304010（同一组数据用该区间的中点值作代表）2020年3月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备，现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2019年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的最大日利润.（日利润=日收入-日维护费用）.【答案】（1）3.95（万元）（2）方案一下新设备产生的日利润均值为40000（元）；方案二下新设备产生的日利润均值为45500（元）【解析】（1）根据频率分布直方图求出[150,250],[250,350],[350,450]的频率，按照求平均数的公式，即可求解；（2）根据已知求出每天需要充电车辆数的分布列，求出两种方案每天最多可充电的电动车的数量，进而求出两种方案的日最大收入的数学期望，扣除维护费用，即可得出结论.【详解】（1），依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2019年地方财政补贴的平均数为⨯+⨯+⨯=（万元）30.240.5 4.50.3 3.95（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为3010049006600⨯+⨯=（辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为⨯+⨯-⨯-⨯=（元）25(60000.266000.8)5001008090040000若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为⨯+⨯=（辆）；3020044007600可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为()2560000.270000.376000.55002008040045500⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=（元）【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要注意直方图性质的应用，属于中档题.19．如图,等腰直角ABC ∆中,90B =o ∠,平面ABEF ⊥平面ABC ,2AF AB BE ==,60FAB ∠=o ,//AF BE .（1）求证：BC BF ⊥；（2）求二面角F CE B --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）155. 【解析】(1)先证明BC ⊥平面ABEF ,再得到BC BF ⊥即可.(2)由(1)可知,以B 为坐标原点建立空间直角坐标,再求二面角F CE B --的正弦值即可. 【详解】(1)证明：直角ABC ∆中B Ð是直角,即BC AB ⊥, 平面ABC ⊥平面ABEF ,平面ABC I 平面ABEF 于AB ,BC ⊂平面ABC ,BC ∴⊥平面ABEF , 又BF ⊂平面ABEF ,BC BF ∴⊥；(2)由(1)知BC ⊥平面ABEF ,故建立如图所示空间直角坐标系B xyz -, 设1AF =,则由已知可得(0,B 0,0),(0,C 2,0),33,0,2F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,()1,0,3E -,()1,2,3EC =-u u u v ,53,0,2EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ,()0,2,0BC =uu ur ,设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z =v,则有230·053·002x y z n EC n EF x z ⎧+-=⎧=⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩u u u v v u u u v v , 令3x =,则5,23z y ==,即()3,23,5n =．设平面BCE 的一个法向量()111,,m x y z =r,则有11111230·053·0022x y z m EC m BC x z ⎧+-=⎧=⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩u u u v v u u u v v ,1110,3y x z ∴==, 令13x =,则()3,0,1m =r,设二面角F CE B --的平面角为θ, 则10|cos |||||52210m n m m θ⋅===⨯, 所以15sin θ=, 所以二面角F CE B --的的正弦值为15.【点睛】本题主要考查了线线垂直与线面垂直的判定与性质等,同时也考查了立体几何中利用空间向量求解的方法,属于中等题型.20．已知椭圆的一个顶点为()0,1A -，焦点在x 轴上．若右焦点到直线220x y -+=的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围．【答案】(1)2213x y +=；（2）122m <<. 【解析】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)F由题设3=，解得23a =，故所求椭圆的方程可得．（2）设(,)p p p x y ，(,)M M M x y ，(,)N N N x y .P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)63(1)0k x mkx m +++-= 因直线与椭圆相交，故222(6)4(31)3(1)0mk k m ∆=-+⋅-> 即2231m k <+结合韦达定理得到．解：（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)F由题设3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为221.3x y +=（2）设(,)p p p x y ，(,)M M M x y ，(,)N N N x y .P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)63(1)0k x mkx m +++-= 因直线与椭圆相交，故222(6)4(31)3(1)0mk k m ∆=-+⋅-> 即2231m k <+（！）故23231M N p x x mk x k +==-+231p P my kx m k =+=+ 所以21313P APP y m k k x mk+++==-又AM AN =所以AP MN ⊥则23113m k mk k++-=-即2231m k =+（2）把（2）代入（1）得2202m m m <<<解得由（2）得22103m k -=>解得12m > 综上求得m 的取值范围是122m <<21．已知函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，证明：函数有两个零点，且．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见证明【解析】(Ⅰ)先求的导数，对参数a 进行讨论，可得的单调性；(Ⅱ) 由（Ⅰ）知当时，的单调性，可得在上有一个零点，同时在上有一个零点，可得，可得结论.【详解】解：（Ⅰ）当时，当时，，故单调递增当时，，故单调递减∴在上单调递减，在上单调递增当时，，故在上单调递增当时，当时，，故单调递增当时，，故单调递减∴在上单调递减，在上单调递增 ∴综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增当时，，故在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上单调递减，在上单调递增 ∴至多有两个零点 ∵∴又∵∴由零点定理知，在上有一个零点又∵在上单调递减，在上单调递增 ∴当时，取最小值∵ ∴ 设则，故在上单调递增 ∴当时，∴∴由零点定理知，在上有一个零点 ∴有且仅有两个零点，且∴，即∴【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值与单调性、函数的零点判定定理，综合性大，需灵活运用所学知识求解.22．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数，0απ<…），射线,,44ππθϕθϕθϕ==+=-与曲线1C 分别交于（不包括极点O ）点,,A B C . （1）求证：||||2||OB OC OA +=；（2）当12πϕ=，B ，C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用点的极坐标方程和两角和差的三角公式进行求解；（2）将,B C 两点的极坐标化为直角坐标，写出经过两点的直线方程，对照直线的参数方程进行求解．试题解析：（Ⅰ）依题意4cos OA ϕ=，4cos()4OB πϕ=+，4cos()4OC πϕ=-；4cos()4cos()44sin )sin )OB OC ππϕϕϕϕϕϕϕ∴+=++-=-+-==（Ⅱ）当12πϕ=时，,B C两点的极坐标为(2,),36ππ-化为直角坐标为所以经过点B ，C的直线方程为1)y x -=-，而曲线2C 是经过点(,0)m 且倾斜角为α的直线，故22,3m πα==．【考点】1.曲线的极坐标、参数方程、普通方程的互化；2.三角恒等变换． 23．已知函数()221f x x x =+--.（1）求()5f x >-的解集；（2）若关于x 的不等式()()221R 0b a b a ax x m a b a +--+++∈≠≥，，能成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(2,8)-；（2）73,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】()1利用绝对值不等式，去掉绝对值符号，然后转化求解不等式即可． ()2不等式化为()b 2a 2b ax 1x m a +--≥++-能成立，可得b 2b 21x 1x m a a+--≥++-能成立，利用换元法以及绝对值不等式的几何意义，求解即可．【详解】解：（1）()3,2122131,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，可得{235x x <-->-或122315x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>-⎩或1235x x ⎧>⎪⎨⎪->-⎩，解得()2,8x ∈-，故()5f x >-的解集为()2,8.-（2）由()22b a a x 1x m b a +--≥++-，()a 0≠能成立，得()b 2a 2b a x 1x m a +--≥++-能成立，即b 2b 21x 1x m a a+--≥++-能成立，令b t a=，则()t 22t 1x 1x m +--≥++-能成立，由()1知，5t 22t 12+--≤，又x 1x m 1m ++-≥+Q ，51m 2∴+≤， ∴实数m 的取值范围：73,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查绝对值不等式的几何意义，考查最值思想以及计算能力，分类讨论思想的应用．。

四川省绵阳南山中学2020届高三3月网络考试数学试题(理)(解析版)

四川省绵阳南山中学2020届高三3月网络考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.集合{}24A x x =-<，{}24xB x =≤，则A B =（）A. RB. ()2,2-C. [)2,6D. (]2,2-『答案』D『解析』{}24(2,6)A x x =-<=-，{}24(,2]x B x =≤=-∞，(]2,2A B =-.故选:D.2.将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示写上四个字母A ，B ，C ，D ，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是（）A. 一样大B. 区域A ，C 可能性大C. 区域B ，D 可能性大D. 由指针转动圈数决定『答案』C『解析』一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域中，区域,B D 的角较大，所以指针指向区域B ，D 可能性大. 故选:C.3.如图是为了求出满足321000->n n 的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A. 1000>A 和1=+n nB. 1000>A 和2=+n nC. 1000≤A 和1=+n nD. 1000≤A 和2=+n n『答案』D『解析』由题意，因为321000->n n ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000>A ，故填1000≤A ，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2=+n n ，故选D.4.虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，yx 取值范围为（）A. ⎡⎢⎣⎦B. 30,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦C. ⎡⎣D. )(⎡⋃⎣『答案』B『解析』虚数()2++x yi ，得0y ≠，虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1，221,(2)1,0x y y =++=≠，yx∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0yx∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， yx取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ，tan tan BOC AOC ∠=∠=切线,OA OB的斜率分别为，所以03yx-≤<或03y x <≤. 故选:B.5.b是区间⎡-⎣上的随机数，直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率为( )A.13B.34C.12D.14『答案』C『解析』b是区间⎡-⎣上的随机数.即b -≤≤由直线y x b =-+与圆221x y +=1≤，b ≤，直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率12P ==，故选C ．6.已知数列{}n a 中，12a =，21a =，且满足11112111-++=+++n n n a a a （2n ≥），则n a =（） A.51-+nn B. 22n -C. 3n -D.62+n 『答案』A 『解析』11112(2)111n n n n a a a -++=≥+++，{11}n a ∴+成等差数列，122,1a a ==， 121111,1312a a ∴==++，{11}n a ∴+公差为16， 15,1611n n n na a n +-∴=∴=++. 故选:A.7.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（）A. 63πB. 81πC. 33πD. 36π『答案』A『解析』由三视图可知凿去部分为圆柱和半球的组合体，其中圆柱底面半径与球半径均为3，圆柱的高为5，所以组合体的体积为23143536323πππ⨯⨯+⨯⨯=. 故选:A.8.若7020x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩且24z x y =+取得最小值为12-，则k =（）A. 2B. 9C. D. 0『答案』A『解析』做出可行域如下图所示，当目标函数24z x y =+过A 点是取得最小值12-，此时目标函数对应的方程为24120x y ++=，且点A 为直线2x =与0x y k ++=的交点，由2241200x x y x y k =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得242x y k =⎧⎪=-⎨⎪=⎩(2,4),2A k ∴-=. 故选:A.9.若1x a -<成立的充分不必要条件是312x <<，则a 的取值范围（） A.122a << B.122a ≤≤ C. 12a ≤或2a ≥ D. 12a <或2a > 『答案』B『解析』1,11x a a x a -<-<<+，1x a -<成立的充分不必要条件是312x <<， 3(1,)2∴是(1,1)a a -+的真子集，11312a a -≤⎧⎪∴⎨+≥⎪⎩且等号不能同时取得，解得122a≤≤.故选:B.10.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[]3,2--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个内角，则下列不等式关系中正确的是（） A. ()()sin cos f f αβ> B. ()()cos cos f f αβ< C. ()()cos cos f f αβ>D. ()()sin cos f f αβ<『答案』D『解析』偶函数()f x 满足()()()2-==-f x f x f x ，函数()f x 关于1x =对称，且周期2T =.()f x 在[]3,2--上是减函数，所以在[]1,0-上是减函数，在[]0,1上是增函数.又2παβ+<，022ππαβ<<-<，0sin sin cos 12παββ⎛⎫<<-=< ⎪⎝⎭，∴()()sin cos f f αβ<. 故选:D.11.设双曲线C 的中心为原点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A ，1B 和2A ，2B ，分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. ⎤⎥⎝⎦B. 2⎫⎪⎪⎣⎭ C. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭D. 2⎫⎪⎪⎝⎭『答案』A『解析』设双曲线的焦点在x 轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k （0k >）必须满足3<≤k 所以22143,1433⎛⎫⎛⎫<≤<+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b a a ，2<≤.双曲线的离心率为cea==所以23<≤e.故选:A.12.已知函数231,02()3133,242x xf xx x x-<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x的方程()1ln0f x a x+--=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A.5(ln4,6ln2)2-- B. (4ln3,6ln2)--C. (1ln3,4ln3)+- D. (1ln3,6ln2)+-『答案』D『解析』关于x的方程()1ln0f x a x+--=有4个不相等的实根等价于()y f x=的图象与y ln1x a=+-的图象有4个不同的交点，作出于()y f x=与y ln1x a=+-的图象，如图所示：当y ln1x a=+-经过A1,03⎛⎫⎪⎝⎭时，13a ln=+，直线AB与y ln1x a=+-的图象相切于A 点，此时()y f x=的图象与y ln1x a=+-的图象有3个不同的交点，当y ln1x a=+-经过B()2,5时，62a ln=-，,此时()y f x=的图象与y ln1x a=+-的图象有3个不同的交点，观察图象不难发现，()y f x =的图象与y ln 1x a =+- 的图象有4个不同的交点， a ()1ln3,6ln2∈+- 故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.直线3yx和x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在椭圆221169x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线AB 的最大距离为______.『答案』『解析』设()4cos ,3sin C θθ，则点C 到AB 的距离d ==≤=其中3tan 4ϕ=.故答案为: 14.方程()()2238380-+-+=x a x xb x 的四根组成首项为1的等比数列，且0a b ⋅=，则+=a b ______.『解析』设12,x x 是2380-+=x a x 两根，34,x x 2380-+=x b x 两根.不妨设11x =，则28x =，32x =，44x =. ∴3189=+=a ，3246=+=b ， ∴3,2==a b ，由a b ⊥得13+=a b .故答案为15.若有7个人排成一排，现要调整其中某3个人的位置，其余4个人的位置不动，则使所要调整的某3个人互不相邻的调整方法的种数是______.『答案』20『解析』从不动的4个人所成的5个空位中任意选取3个，是无序问题，有3510C =种选法，而所要调整的这三人还是乱序问题（自己不能在原位），三人乱序只有两种安排位置的方法，故调整方法种数是35220=C .故答案为:20.16.OAB ∆中，AOB ∠角平分线交AB 于点C.设OA a =，OB b =，OC c =，且c a b λμ=+.给出下列结论：①1λμ+=；②12λ=，12μ=；③13λ=，23μ=；④,==++b a λμa ba b；⑤,==++b aλμa ba b.其中命题一定正确的序号是______.（把你认为正确的都填上）『答案』①④『解析』根据三点共线的充要条件①成立，而C 点在线段AB 位置不能确定，所以②、③不一定成立.又⎛⎫⎪=+=+ ⎪⎝⎭a ab m mOC m a a b b b ， ∴=m λa ，=m μb ，由1λμ+=得1+=m m a b ， ∴=+a b m a b ，∴,==++b a λμa ba b即④成立⑤不成立.故答案为:①④.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若AC =ABC ∆的面积；（2）若sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长．解：（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅即251BC BC =++ 2BC 40⇒+-=,解得BC =.所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 1222∠=⋅⋅=⨯=.（2）因为0BAD 90,sin CAD 5∠∠==,所以cos BAC 5∠=，sin BAC 5∠=, πsin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫=- ⎪⎝⎭ )cos BAC sin BAC 2∠∠=-2==⎝⎭.在ΔABC 中，AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=, AB sin ABCAC sin BCA∠∠⋅∴==222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以 5162413=+-=所以CD =18.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R 的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表：2019年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如上图所示用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2019年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2019年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2020年3月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备，现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2019年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的最大日利润.（日利润=日收入-日维护费用）.解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2019年地方财政补贴的平均数为30.240.5 4.50.3 3.95⨯+⨯+⨯=（万元）（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为 3010049006600⨯+⨯=（辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为25(60000.266000.8)5001008090040000⨯+⨯-⨯-⨯=（元）若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为 3020044007600⨯+⨯=（辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为()2560000.270000.376000.55002008040045500⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=（元）19.如图,等腰直角ABC ∆中,90B =∠,平面ABEF⊥平面ABC ,2AF AB BE ==,60FAB ∠=,//AF BE .（1）求证：BC BF ⊥；（2）求二面角F CE B--正弦值.（1）证明：直角ABC ∆中B 是直角,即BC AB ⊥, 平面ABC ⊥平面ABEF , 平面ABC平面ABEF 于AB ,BC ⊂平面ABC ,BC ∴⊥平面ABEF ,又BF ⊂平面ABEF ,BC BF ∴⊥；（2）由（1）知BC ⊥平面ABEF ,故建立如图所示空间直角坐标系B xyz -,设1AF =则由已知可得(0,B 0,0),(0,C 2,0),32F ⎛ ⎝⎭,(E -,(1,2,EC =,5,0,2EF ⎛= ⎝⎭,()0,2,0BC =, 设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z=,则有20·05·002x y n EC n EF x z ⎧+=⎧=⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩,令3x =,则5,z y ==即)n =．设平面BCE 的一个法向量()111,,m x yz =,则有1111120·05·0022x y m EC m BC x z ⎧+=⎧=⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩,1110,y x ∴==, 令13x ,则()3,0,1m =,设二面角F CE B --的平面角为θ, 则|cos |||||5m nm m θ⋅===, 所以sin θ=, 的,所以二面角F CE B --20.已知椭圆的一个顶点为()0,1A -，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围．解：（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)F由题设3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为221.3x y +=（2）设(,)p p p x y ，(,)M M M x y ，(,)N N N x y .P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)63(1)0k x mkx m +++-= 因直线与椭圆相交，故222(6)4(31)3(1)0mk k m ∆=-+⋅-> 即2231m k <+（！）故23231M N p x x mk x k +==-+231p P my kx m k =+=+ 所以21313P APP y m k k x mk+++==-又AM AN =所以AP MN ⊥则23113m k mk k++-=-即2231m k =+（2）把（2）代入（1）得2202m m m <<<解得由（2）得22103m k -=>解得12m > 综上求得m 的取值范围是122m <<21.已知函数221()2x f x e a x =-，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设a e >，证明：函数()f x 有两个零点1212,()x x x x <，且12ln 2ln +<<ax x a e．解：（Ⅰ）()()()22xx x f x ea e a e a =-=+-'当0a <时，当()ln x a ≥-时，()0f x '≥，故()f x 单调递增当()ln x a <-时，()0f x '<，故()f x 单调递减∴()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在())ln ,a ⎡-+∞⎣上单调递增当0a =时，()20xf x e '=>，故()f x 在R 上单调递增当0a >时，当ln x a ≥时，()0f x '≥，故()f x 单调递增当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 单调递减∴()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在[)ln ,a +∞上单调递增∴综上所述，当0a <时，()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在())ln ,a ⎡-+∞⎣上单调递增当0a =时，()20xf x e'=>，故()f x 在R 上单调递增当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在[)ln ,a +∞上单调递增（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a e >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在[)ln ,a +∞上单调递增 ∴()f x 至多有两个零点 ∵a e >∴()221102f e a =-< 又∵()1002f =>∴由零点定理知，()f x 在()0,1上有一个零点1x又∵()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在[)ln ,a +∞上单调递增 ∴当ln x a =时，()f x 取最小值()21ln ln 2f a a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵a e >∴()21ln ln 02f a a a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ 设()22ln ()2ah a a a e =->则()20h a a a=->'，故()h a 在(),e +∞上单调递增 ∴当a e >时，()()2202eh a h e >=->∴()222ln 2ln 02a f a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭∴由零点定理知，()f x 在()ln ,2ln a a 上有一个零点2x∴()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且1201ln 2ln x a x a <<<<< ∴21ln 1ln a x x a e ->-=，即12ln ax x e+< ∴12ln2ln ax x a e+<< 请考生在『22』、『23』题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数，0απ<），射线,,44ππθϕθϕθϕ==+=-与曲线1C 分别交于（不包括极点O ）点,,A B C .（1）求证：|||||OB OC OA +=；（2）当12πϕ=，B ，C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值.（Ⅰ）证明：依题意4cos OA ϕ=，4cos()4OB πϕ=+，4cos()4OC πϕ=-；4cos()4cos()44sin )sin )OB OC ππϕϕϕϕϕϕϕ∴+=++-=-+-== （Ⅱ）解：当12πϕ=时，,B C两点的极坐标为(2,),36ππ-化为直角坐标为所以经过点B ，C的直线方程为1)y x =-，而曲线2C 是经过点(,0)m 且倾斜角为α的直线，故22,3m πα==． 23.已知函数()221f x x x =+--. （1）求()5f x >-的解集；（2）若关于x 的不等式()()221R 0b a b a a x x m a b a +--+++∈≠≥，，能成立，求实数m 的取值范围.解：（1）()3,2122131,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，可得{235x x <-->-或122315x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>-⎩或1235x x ⎧>⎪⎨⎪->-⎩，解得()2,8x ∈-，故()5f x >-的解集为()2,8.- （2）由()22b a ax 1x m b a +--≥++-，()a 0≠能成立，得()b 2a 2b ax 1x m a+--≥++-能成立，即b2b21x1x ma a+--≥++-能成立，令bta=，则()t22t1x1x m+--≥++-能成立，由()1知，5t22t12 +--≤，又x1x m1m++-≥+，51m2∴+≤，∴实数m的取值范围：73,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科数学试卷(5月)-学生用卷

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科数学试卷（5月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第1题5分已知集合A={x|0<x⩽3,x∈N}，B={x|y=√x2−9}，则集合A∩(∁R B)=（）．A. {1,2}B. {1,2,3}C. {0,1,2}D. (0,1)2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第2题5分⩾1，q:(x−a)2<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）．已知p:1x−2A. (−∞,3]B. [2,3]C. (2,3]D. (2,3)3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第3题5分2015~2016学年高一单元测试2020~2021学年江西南昌高一上学期期中（六校联考）第11题5分2015~2016学年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高一上学期期末|的图象大致为（）．若当x∈R时，函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|⩽1，则函数y=log a|1xA.B.C.D.4、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第4题5分(1 x2+4x2+4)3展开式中的常数项为（）．A. 120B. 160C. 200D. 2405、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第5题5分用电脑每次可以自动生成一个属于区间(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（）．A. 127B. 23C. 827D. 496、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第6题5分下列说法正确的是（）．A. 命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0>0”B. 命题“若a =−1，则函数f(x)=ax 2+2x −1只有一个零点”的逆命题为真命题C. “x 2+2x ⩾ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2+2x )min ⩾(ax)max 在x ∈[1,2]上恒成立”D. 命题“已知x ，y ∈R ，若x +y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题是真命题7、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第7题5分2016~2017学年天津和平区高三上学期期末理科第7题5分如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，AB =2，AD =1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM BC =NC DC =λ，其中λ∈[0,1]，则AM →⋅AN →的取值范围是（）．A. [0,3]B. [1,4]C. [2,5]D. [1,7]8、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第8题5分2017~2018学年山东临沂兰山区高二上学期期中文科第9题3分2017~2018学年广西桂林秀峰区桂林市桂林中学高二上学期期中理科第9题5分2017~2018学年内蒙古包头东河区包头市第一中学高三上学期期中文科第11题5分2017~2018学年广西桂林秀峰区桂林市桂林中学高二上学期期中文科第10题5分已知x ，y 满足约束条件{x −y ⩾0x +y ⩽2y ⩾0，若z =ax +y 的最大值为4，则a =（）．A. 3B. 2C. −2D. −39、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第9题5分2018~2019学年福建厦门思明区福建省厦门双十中学高一上学期期中第10题5分2017~2018学年福建泉州泉港区泉港区第一中学高一下学期期末第5题5分2019~2020学年北京海淀区北京市第五十七中学高二下学期期末第4题若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是()A. a+1b <b2a<log2(a+b)B. b2a <log2(a+b)<a+1bC. a+1b <log2(a+b)<b2aD. log2(a+b)<a+1b <b2a10、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第10题5分2019~2020学年9月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期周测D卷理科第12题已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n>0，6S n=a n2+3a n，n∈N∗，b n=2a n(2a n−1)(2a n+1−1)，若∀n∈N∗，k>T n恒成立，则k的最小值是（）．A. 17B. 149C. 49D. 844111、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第11题5分2018~2019学年2月湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三下学期月考文科第11题5分2017~2018学年6月河北唐山路北区河北省唐山市开滦第二中学高二下学期月考文科第11题5分2017~2018学年6月河北唐山路北区河北省唐山市开滦第二中学高二下学期月考理科第11题5分2016~2017学年3月湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三下学期月考文科第10题5分四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，四棱锥P−ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2√2，则该球表面积为（）．A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π12、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第12题5分2020年江西高三一模理科第12题5分2020~2021学年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期末理科第12题5分2019~2020学年12月广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三上学期月考文科第12题5分2019年广东深圳高三二模文科第12题5分若函数f(x)=x−√x−aln⁡x在区间(1,+∞)上存在零点，则实数a的取值范围为（）．)A. (0,12,e)B. (12C. (0,+∞),+∞)D. (12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第13题5分2018年北京高二高考模拟已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2−1+(a+1)i是纯虚数，则a=．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第14题5分设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S25>0，S26<0，则数列{S n an}(n∈N+,n⩽25)中的最大项是第项．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第15题5分2018~2019学年10月江苏南京鼓楼区南京市宁海中学高一上学期月考第10题5分2017~2018学年福建泉州洛江区泉州市马甲中学高一上学期期中第16题5分已知函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(12+x)+f(12−x)=2成立，则f(18)+f(28)+⋯+f(78)=．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第16题5分2018年江西高三高考模拟已知F为抛物线y2=x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且OA→⋅OB→=6(O为坐标原点)，若△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2，则S1+4S2最小值是．三、解答题（本大题共5小题）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第17题2017~2018学年四川德阳旌阳区德阳市香港马会第五中学高二上学期期中2017~2018学年四川德阳旌阳区德阳市香港马会第五中学高三上学期期中设f(x)=sin⁡xcos⁡x−cos2(x+π4)．(1) 求f(x)的单调区间．(2) 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，若f(A2)=0，a=1，求△ABC面积的最大值．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第18题2019年陕西西安莲湖区西安远东教育集团第一中学高三一模文科第20题12分2017~2018学年江西南昌东湖区南昌市第二中学高二上学期期末文科第19题12分2018~2019学年3月重庆合川区合川中学高三下学期周测C卷文科第18题12分在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[40,100]内，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．(1) 求a的值，并计算所抽取样本的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．(2) 填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文，理科有关”？附表及公式：K2=n(ad−bc)2，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第19题2021年陕西咸阳武功县高三一模理科第18题12分如图，已知长方形ABCD中，AB=2√2，AD=√2，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．(1) 求证：AD⊥BM．(2) 若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E−AM−D的余弦值为2√55．20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第20题2018~2019学年4月贵州遵义汇川区遵义航天高级中学高三下学期月考文科第20题2018年四川遂宁高三一模理科第20题12分设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有|EH|=32．(1) 求椭圆的方程．(2) 设直线l:x=−1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为√62，求直线AP的方程．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第21题已知函数f(x)=e x+x2−x，g(x)=x2+ax+b，a，b∈R．(1) 当a=1时，求函数F(x)=f(x)−g(x)的单调区间．(2) 若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c)，求a，b，c的值．(3) 若f(x)⩾g(x)恒成立，求a+b的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1小题）【选修4-4：参数方程与极坐标】22、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第22题2018~2019学年10月四川成都青羊区成都市树德中学高三上学期月考理科第22题10分2017~2018学年广西南宁兴宁区广西南宁市第三中学高二下学期期末理科第22题10分2019~2020学年四川成都青羊区成都市树德中学（宁夏街校区）高二下学期期中文科第18题12分2017~2018学年6月四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高二下学期月考理科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2√5cos⁡αy=2sin⁡α（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ2+4ρcos⁡θ−2ρsin⁡θ+4=0．(1) 写出曲线C1，C2的普通方程．(2) 过曲线C1的左焦点且倾斜角为π4的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三下学期高考模拟理科（5月）第23题2019~2020学年7月陕西西安雁塔区唐南中学高三下学期月考文科（十七模）第23题10分2017~2018学年10月广东广州越秀区广州市铁一中学高三上学期月考理科第23题10分已知函数f(x)=|x−2|+|3x+a|．(1) 当a=1时，解不等式f(x)⩾5．(2) 若存在x0满足f(x0)+2|x0−2|<3，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】1;14 、【答案】13;15 、【答案】7;16 、【答案】6;17 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;18 、【答案】 (1) a=0.025，x=69．;(2)有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) E为BD上靠近D点的15处．;20 、【答案】 (1) x2+4y23=1．;(2) 3x−√6y−3=0或3x−√6y−3=0．;21 、【答案】 (1) F(x)在(ln⁡2,+∞)上单调递增，在(−∞,ln⁡2)上单调递减．;(2) a=−2，b=2，c=1．;(3) e−1．;22 、【答案】 (1) x220+y24=1，(x+2)2+(y−1)2=1．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) (−∞,−1]∪[1,+∞)．;(2) (−9,−3)．;第11页，共11页。

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的图象大致为（
）
A
B
C
D
8、一个四面体所有棱长都为 4 ，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）
A. 24
B. 8 6
C. 4 3 3
D. 12
9、 (x 1 1)5 展开项中的常数项为（） x
A. 1
B. 11
C. 19
D. 51
10、 ABC 中， lg cos A lgsin C lgsin B lg 2，则 ABC 的形状是 (
8.选 A. 边长 CD 4 , CD 上的高 BE 2 3 ,侧棱 AB 在底面上的射影 BG 4 3 ,三棱锥的高
3
O
AG 4 6 ,设 OA OB r ,则 r2 (4 6 r)2 ( 4 3 )2 r
3
3
3
6 .S球表面积 4 r2 24 .选 A. B
D GE C
17、（本小题满分 12 分）
在数列{an}中，
a1
1， a1
2a2
3a3
nan
n
2
1
an1
，
n
N
.
(1).求数列{an}的通项 an ；
(2).若存在 n N ，使得 an (n 1) 成立，求实数的最小值．
题卷共 4 页，第 2 页
18、（本小题满分 12 分）
绵阳市为了激励先进,鞭策后进,全力推进文明城市创建工作.市“文明办”对全市市民
3
11.选 D. 法一：将 OC mOA nOB (m 0, n 0) 平方得1 m2 n2 2mncos AOB ，
1 m2 n2 1 (m n)2 2mn
cos AOB
3
1 1
(当且仅当 m n 1时等号成立)，
2mn
2mn
2mn
2
∵ 0 AOB ，∴ AOB 的最小值为 2 .
)
A. 等边三角形
B. 直角三Βιβλιοθήκη 形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
题卷共 4 页，第 1 页
11、点 A,B,C 是单位圆 O 上的不同三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 M ，若 OC mOA nOB (m 0, n 0) ， m n 2，则 AOB 的最小值为( )
y l1 P
l2
K
M
F1
O
F2
x
N
请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22、（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中,曲线
C1
的参数方程为
x
y
2 2
2 cos sin
( 为参数)以平面直角
坐标系的原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 C2 的极坐标方程为
A. 37
B. 13
C. 13
D. 37
4、直线 ax by 2ab 0 (ab 0) 与圆 x2 y2 1的位置关系是（）
A. 相交
B. 相切
C. 相离 D. 相交或相切
5、在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O ,且 AE 2EO ,则 ED ( )
A.
2
AD
1
AB
B.
2
AD
1
AB
C.
1
AD
2
AB
D.
1
AD
2
AB
3
3
3
3
3
3
3
3
D
C
O E
A
B
6、若 a [1,6],则函数 y x2 a 在区间[2, ) 上单调递增的概率是( ) x
A. 1 5
B. 2 5
C. 3 5
D. 4 5
7、函数
f
(x)
ln
x (ex 1) ex 1
3
法二：已知
AB
与 OC
的交点为
M
，设
OM
OC
mOA nOB
，因为
A, B, M
三点共线，则
m
n
1 ，即
m n 2 , M 是 OC 的中点.过 M 作弦 AB ,在同一圆中相等弦所对的圆心角相等,且较短弦所对的圆心
角也较小,可知当 AB OC 时 AOB 最小. AB OC 且互相平分,四边形 OACB 菱形, AOB 2 .故选 D.
(ⅰ)得分不低于的可以获得 2 次抽奖机会,得分低于的可以获得1次抽奖机会;
(ⅱ)每次抽奖所获奖券和对应的概率为:
中奖的奖券面值(单元:元) 20
40
概率
4
1
5
5
现有市民甲要参加此次问卷调查,记 X (单位:元)为该市民参加问卷调查所获得的所有
奖券面值和,求 X 的分布列与数学期望.
附:参考数据与公式, 210 14.5
21、（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0)
的左、右焦点分别为
F1、F2
,点
P(1,
3 2
)
在椭圆
C
上,满
足
PF1
PF2
9 4
.
(1).求椭圆 C 的标准方程;
(2).直线 l1 过点 P ,且与椭圆只有一个公共点,直线 l2 与 l1 的倾斜角互补,且与椭圆交于
C. 32 27
二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
D. 64 27
13、已知 f (x) sin[ (x 1)] 3 cos[ (x 1)] ,则 f (1) f (2) f (2020)
.
3
3
x 1
14、已知 x, y 满足 x y 4
，且目标函数 z 2x y 的最大值为 7 ，最小值为1，
sin 3
(1).求曲线 C1 的极坐标方程 (2).设 C1 和 C2 交点的交点为 A, B ,求 AOB 的面积
23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x) 和 g(x) 的图象关于原点对称,且 f (x) x2 2x . (1).解关于 x 的不等式 g(x) f (x) x 1 ; (2).如果对任意的 x R ,不等式 g(x) c f (x) x 1 恒成立,求实数 c 的取值范围.
9.选 B. (x 1 1)5 可看成五个 (x 1 1) 相乘,展开式的项为常数项,分 3 种情况:(1)5 个括号都选 1,T 1 ;
x
x
(2)两个括号选
x
,两个括号选 (
1 ) ,一个括号选 x
1, T
C52
x2
C32
( 1)2 x
1
30 ;(3)一个括号选
x
，一个括号
选
(
1) x
若 X N , 2 ,则① P( X + ) 0.6827 ;
② P( 2 X 2 ) 0.9545 ;③ P( 3 X 3 ) 0.9973.
19、（本小题满分 12 分）
如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 ACC1A1 与侧面 CBB1C1 都是菱形， ACC1 CC1B1 60, AC 2 . (1).求证: AB1 CC1 ;
，三个括号选
1， T
C51
x C41
(
1)1 x
20
；所以展开项的常数项为 T
1 30 20
11 .故选
B.
10.选 B. cos A 1 A 60 ； sin C 1 2sin C sin B sin(60 C) tan C 3 ， C 30. 故选 B.
2 sin B 2
y
x2 4
,
y
1 2
x
，
设
P(x0 ,
y0 )
，则
1 2
x0
k
，
x0
2k
，
y0
k2 ．
P(2k, k2 ) ,则点
3
B
C
B E O
C M
F
C
B M
A
D
O
D
A
M
O
A
答案共 4 页，第 1 页
12
选
D.
设
A(x1,
y1 ),
B(x2
,
y2
)
.联立
y kx
x
2
4
1得 y
x2
4kx
4
0
，则
16(k
2
1)
,
x1
x2
4k,
y1
y2
k ( x1
x2 )
2
4k 2
2
，则 |
AB
|
y1
y2
p
4k 2
4 ．由
x2
4y
，得
异于点 P 的两点 M , N ,与直线 x 1交于点 K ( K 介于 M , N 两点之间).
(ⅰ)求证:| PM | | KN || PN | | KM | ;
(ⅱ)是否存在直线 l2 ,使得直线 l1、l2、PM、PN 的斜率按某种排序能构成等比数列?若能,求出 l2 的方程;若不能,请说明理由.
200
250
225
100
50
(1).根据频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N , 210 ,
近似为这1000 人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示),请用正态
分布的知识求 P(36 Z 79.5) ;