最新2017届高考数学(文一轮复习 (课件 练习第六章 不等式、推理与证明-6-6(02)教学讲义p
2017年高考数学(人教版文)一轮复习课件第6章 不等式、推理与证明6.4
二、必明 2●个易误点 1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考 虑等号成立的条件。 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性。
考点一 利用基本不等式求最值 5 3 8 － 【典例 1】(1)若 x< ，则 y＝x＋ 的最大值为________ 。 2 2 2x－3 2 3 2 y 2 2 (2)设 x≥0，y≥0，x ＋ ＝1，则 x 1＋y 的最大值为________ 。 4 2
考纲要求 1.了解基本不等式的证明过程。 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
考情分析 1.从近两年的高考试题来看，利用基本不等式求最值，是高考命 题的热点，题型多样，难度为中低档。题目突出“小而巧”，主要考 查基本运算与转化化归思想。 2．命题情境不断创新，注重与函数、充分必要条件、实际应用等 交汇。在求函数的最值时，应特别注意等号成立的条件。
2．几个重要不等式 2ab a，b∈R)。 (1)a2＋b2≥⑤______( a＋b2 (2)ab≤⑥__________( a，b∈R)。 2 a＋b2 a2＋b2 ≤⑦__________(a，b∈R)。 (3) 2 2 b a 2 a· (4) ＋ ≥⑧______( b＞0)。 a b a＋b a2＋b2 2 (5) ≤ ab≤ ≤ (a＞0，b＞0)。 1 1 2 2 ＋ a b
[小题热身] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) 1 (1)函数 y＝x＋ 的最小值是 2。( × ) x π 4 (2)函数 f(x)＝cosx＋ ，x∈0，2的最小值等于 4。( × ) cosx x y (3)x＞0，y＞0 是 ＋ ≥2 的充要条件。( × ) y x 1 (4)若 a＞0，则 a3＋ 2的最小值为 2 a。( × ) a
2017届高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明课件
这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是
.
【解析】令 x 2, y 3, a 3, b 2 ， 符合题设条件 x y, a b ，
a x 3 (2) 5, b y 2 (3) 5 ，
a x b y.因此①不成立.
2.若 a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc ＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 方法一 ∵a＞0＞b，c＜d＜0， ∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)， a b ac＋bd ∴ac＋bd＜0，∴d＋c＝ cd ＜0，故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选 C. 方法二 取特殊值一一验证． 【答案】 C
【解析】方法一 设 f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则 4a－2b＝m (a－b)＋n(a＋b)，即 4a－2b＝(m ＋n)a＋(n－m )b. m ＋n＝4， 于是得 n－m ＝－2， m ＝3， 解得 n＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故 5≤f (－2)≤10.
2 2
∴ a b a b ，③成立； 若 a=3，b=2，则 a3 b3 35 , 2 a 2 b 36 ， a3 b3 2 a 2 b ，④不成立.故选 A. 【答案】A
2017高考文科数学(山东专用)一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明 第1讲
考点三 比较两个数(式)的大小 比较下列各组中两个代数式的大小． (1)3m2－m＋1 与 2m2＋m－3； (2)a2＋b2与 a＋b(a＞0，b＞0)． ba [解](1)因为(3m2－m＋1)－(2m2＋m－3) ＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3＞0， 所以 3m2－m＋1＞2m2＋m－3.
第一页，编辑于星期六：二十一点 五十五分。
第六章 不等式、推理与证明
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不等关系与不等 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不
式
等关系，了解不等式(组)的实际背景．
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式
二元一次不等式 组．
(组)与
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用
第九页，编辑于星期六：二十一点 五十五分。
2．不等式中的倒数 性质 (1)a>b， ab>0⇒1a<1b； (2)a<0<b⇒1<1；
ab (3)a>b>0， 0<c<d⇒ac >bd； (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
第十页，编辑于星期六：二十一点 五十五分。
1．设非零实数 a，b 满足 a<b，则下列不等式中一定成立的
(2)A 项，c≤0 时，由 a>b 不能得到 ac>bc，故不正确；
B
项，当
a>0，b<0(如
a＝1，b＝－2)时，由
a>b
不能得到1 a
<1b，故不正确；
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2017届高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明理新人教版
第六章⎪⎪⎪ 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a <b .2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b .答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h 3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c的大小关系为________． 答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b的大小关系是________．答案：1a <1b考点一 比较两个数 式 的大小 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0. ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .2．(易错题)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜3．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a的大小．解：a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1∴当a >1时，a ＋2>31－a ；当a <1时，a ＋2<31－a.[谨记通法]比较两个数(式)大小的2种方式如“题组练透”第2题易忽视作商法．考点二 不等式的性质 重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )²a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )²a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )²a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )²a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 法一(性质判断)：对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －aab>0，1a >1b，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>1b ＝－1，ab ＝2>b 2＝1，－ab ＝－2>－a 2＝－4，－1a ＝12<－1b＝1.故A 、B 、C 项错误，D 项正确．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A ．1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b .2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， 即a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确．考点三 不等式性质的应用 题点多变型考点——纵引横联[典型母题]已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2. 由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18. 答案：(－4,2) (1,18)[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[越变越明][变式1] 将母题条件改为“－1<x <y <3”，求x －y 的取值范围． 解：∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1， ∴－4<x －y <4.① 又∵x <y ， ∴x －y <0，② 由①②得－4<x －y <0.故x －y 的取值范围为(－4,0)．[变式2] 若将母题条件改为“－1<x ＋y <4,2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围． 解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12，即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232.故3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.[变式3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b . 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．[变式4] 若母题条件变为“已知1≤lg xy ≤4，－1≤lg x y ≤2”，求lg x 2y的取值范围．解：由1≤lg xy ≤4，－1≤lg xy≤2， 得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y≤5，[破译玄机]即lg x 2y的取值范围是[－1,5]．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 3．(2016²西安八校联考)“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.4．(2016²资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，A ，B ，C 均不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2. 5．(2016²贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；∵a c 2<b c2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．二保高考，全练题型做到高考达标1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 2．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.3．(2015²湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ab －1 ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016²重庆一中调研)设a >1>b >－1，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a >b 2B ．1a >1bC ．1a <1bD ．a 2>2b解析：选A 对于A ，∵－1<b <1，∴0≤b 2<1，又∵a >1，∴a >b 2，故A 正确；对于B ，若a ＝2，b ＝12，此时满足a >1>b >－1，但1a <1b ，故B 错误；对于C ，若a ＝2，b ＝－12，此时满足a >1>b >－1，但1a >1b ，故C 错误；对于D ，若a ＝98，b ＝34，此时满足a >1>b >－1，但a 2<2b ，故D 错误．5．(2016²江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( ) A ．mn ≥4且p ＋q ≤4 B ．m ＋n ≥4且pq ≤4 C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.6．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥2167．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ²2c >b ²2c.其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c ＝0，则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立． 答案：②③8．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )²⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝ a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴a ＋b a －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b.答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c >eb －d .证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1 a －c 2<1b －d 2.又∵e <0，∴e a －c 2>eb －d 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016²合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2³c a<4，∴c a的取值范围为(0,2)．2．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ²(n －1)＝14x ＋34xn ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节 一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C 由题意得T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅3．已知集合A ＝{}x |－5＜x ＜1，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案：－1 11．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏]1．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14解析：选D 由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则a ＝－12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－14.2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)考点一 一元二次不等式的解法 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0.综上所述，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－12 2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4 x －5 ≥0，x －5≠0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4.解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2 x ＋1 ＞0，x －3 x ＋2 ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如“题组练透”第3题中(1)题；(2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．考点二 含参数的一元二次不等式的解法 重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016²青岛模拟)求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞. [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94.2．解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解：原不等式可化为(x －1)(ax －1)<0， ∴①当a ＝0时，可解得x >1，②当a >0时，不等式可化为(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0，∴当a ＝1时，不等式可化为(x －1)2<0，解集为∅；当0<a <1时，1a>1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1<x <1a； 当a >1时，1a<1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1； ③当a <0时，不等可化为(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <1a . 综上可知，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <1a ； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1.考点三 一元二次不等式恒成立问题 常考常新型考点——多角探明[命题分析]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m 1－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立． 角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0， 所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0， 所以m ＜6，即m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，67.法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0， 所以m ＜6x －x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，67. 角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ＝ x －2 ³ －1 ＋x 2－4x ＋4>0，g 1 ＝ x －2 ＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[方法归纳]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝1x－1的定义域，则A∩B等于( )A．(1,2) B．[1,2]C．[1,2) D．(1,2]解析：选D A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．2．(2016²梧州模拟)不等式2x＋1<1的解集是( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1,1)解析：选A ∵2x＋1<1，∴2x＋1－1<0，即1－xx＋1<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，∴x<－1或x>1.3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是( ) A．(0,4) B．[0,4)C．(0,4] D．[0,4]解析：选D 由题意知a＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以实数a 的取值范围是[0,4]．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13³12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2， ∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0， 解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)． 答案：(－2,3)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3) C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3. 又∵2x 2－7x ＋6>0， ∴(x －2)(2x －3)>0， ∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)． 3．(2016²辽宁一模)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4³2k ³⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4³4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 8．(2016²西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1³3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2016²北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0 ≤0，g 2 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016²九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.2．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意， 200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x²100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9³104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9³104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C3．(教材习题改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1.则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．答案：31．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．(2015²福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，z min ＝2³(－1)－12＝－52.2．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°考点一 二元一次不等式 组 表示平面区域 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2016²忻州一模)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3解析：选 D 如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A (2,0)，B (4,4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝12(2³4－2³1)＝3.2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函数的最值 常考常新型考点——多角探明[命题分析]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2015²全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ，∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)，∴z max ＝3³1＋1＝4. 答案：42．(2016²吉林实验中学)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y －3的最大值是________．解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0的区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋4y －3在点(0,0)处取得最大值，则z max ＝－3.答案：－3角度二：求非线性目标的最值3．(2016²开封模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y2的取值范围为( )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，13 解析：选C 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z 的取值范围为[2,13]． 4．(2015²全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴yx的最大值为3. 答案：3角度三：线性规划中的参数问题5．(2015²山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：选B 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.[方法归纳]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．考点三 线性规划的实际应用 重点保分型考点——师生共研[典例引领](2015²陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3³2＋4³3＝18.[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用](2015²云南省第一次统一检测)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.答案：13一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )²(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32 B ．23 C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12³83³1＝43.3．(2015²广东高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4B ．235C ．6D ．315解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移直线l 0，当经过点A 时，z 取得最小值．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45，∴z min ＝3³1＋2³45＝235.4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.。
2017届高三数学(文)一轮复习第六章 不等式、推理与证明6-6
)
当且仅当 a＝b＝c 时取等号， 所以三个数中至少有一个不小于 2。 答案：D
5．下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0；b＞0；④a＜0，b＜0，其中能 b a 使 ＋ ≥2 成立的条件的个数是__________。 a b
b a b a 解析：要使 ＋ ≥2，只要 ＞0 且 ＞0，即 a，b 不为 0 且同号即可，故有 a b a b 3 个。 答案：3
第六章 不等式、推理与证明
第六节
直接证明与间接证明
微知识
微考点 微考场
小题练
大课堂 新提升
微知识
小题练
教材回扣 基础自测
一、知识清单 微知识❶ 直接证明 内容 综合法 分析法 利用已知条件和某 从要证明的 结论 出发， 逐步寻 些数学定义、公理、求使它成立的 充分条件 ，直 定义 定理等，经过一系 至最后， 把要证明的结论归结 列的 推理论证 ，最 为判定一个明显成立的条件 后推导出所要证明 ( 已知条件、定理、定义、公 的结论 成立 理等)为止
2π (2)若 C＝ 3 ，求证 5a＝3b。
2π 证明：(2)由 C＝ ，c＝2b－a 及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有 3 a 3 5ab－3b2＝0，所以 ＝ ，即 5a＝3b。 b 5
[规律方法] 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明 的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。其逻辑依 据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保 证结论的正确性。
微考点
大课堂
考点例析 对点微练
微考点
分析法
fx1＋fx2 【典例 1】 已知函数 f(x)＝3x－2x， 求证： 对于任意的 x1， x2∈R， 均有 2
2017届高三数学(文)一轮复习第六章 不等式、推理与证明6-5
第五节
合情推理与演绎推理
微知识
微考点 微考场
小题练
大课堂 新提升
微知识
小题练
教材回扣 基础自测
一、知识清单 微知识❶ 归纳推理 (1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的 全部 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 一般结论 的推理， 称为归纳推理(简称归纳)。 (2)特点：由 部分 到整体、由 个别 到一般的推理。 微知识❷ 类比推理 (1)定义：由两类对象具有某些 类似特征 和其中一类对象的某些已 知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理 (简称类 比)。 (2)特点：是由特殊到 特殊 的推理。
③ 。 【微练 1】(1)下面使用类比推理，得出正确结论的是________
①“若 a· 3＝b· 3，则 a＝b”类比出“若 a· 0＝b· 0，则 a＝b”； ②“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a· b)c＝ac· bc”； a＋b a b ③“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“ ＝ ＋ (c≠0)”； c c c ④“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”。 (2)设△ABC 的三边长分别为 a，b，c， △ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r， 2S 则 r＝ ；类比这个结论可知，四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1， a＋b＋c 3V
解析：(1)类比结论正确的有①②。
AE S△ACD (2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 ＝ 。 EB S△BCD
[规律方法] (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比， 提出猜想。其中找到合适的类比对象是解题的关键。 (2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维的类比；等差与 等比数列类比；运算类比(加与乘、乘与乘方，减与除，除与开方)。数的运算与 向量运算类比；圆锥曲线间的类比等。
2017届高考数学一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6-3
2．[教材改编]不等式组xx－－3yy＋＋26≥<00， 表示的平面区域是(
)
解析 x－3y＋6<0 表示 x－3y＋6＝0 的左上方的区域，x－y＋2≥0 表示 x－y＋2＝0 直线及右下方的 区域，取两个区域的公共部分，故选 C.
第八页，编辑于星期六：一点 二十一分。
3 ． [ 教 材 改 编 ] 不 等 式 x － 2y≥0 表 示 的 平 面 区 域 是 _____直__线__x_－__2_y_＝__0__及__右__下__方__的__区__域__________________________________________________.
第九页，编辑于星期六：一点 二十一分。
回扣教材 1.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法 (1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所 有点组成的平面区域(半平面) 不包括 边界直线，把边界直线画成虚线；不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平 面区域(半平面) 包括 边界直线，把边界直线画成实线． (2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C 的值符号相同，也就是位于同一 半平面的点，如果其坐标满足 Ax＋By＋C>0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足 Ax＋By＋C<0 . (3)可在直线 Ax＋By＋C＝0 的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0＋C 的 符号 就可 以判断 Ax＋By＋C>0(或 Ax＋By＋C<0)所表示的区域． (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分．
2017年高考数学(人教版文)一轮复习课件第6章 不等式、推理与证明6.3
解析：画出可行域如图，分Байду номын сангаас图可知当直线 u＝x＋2y 经过点 A、 C 时分别对应 u 的最大值和最小值。
答案：B
5．如图，点(x，y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动，那么 2x －y 的最小值为________。
解析：设目标函数为 z＝2x－y，借助平移，显然点(1,1)满足题意， 则 2x－y 的最小值为 1。 答案：1
解析：(1)错误。不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域不一定在直 线 Ax＋By＋C＝0 的上方，因为(Ax＋By＋C)· B＞0 不一定成立。 (2)错误，当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共 部分时，就无法表示平面上的一个区域。 (3)正确，当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时，最优 解无穷多。 z (4)错误，目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中， 是直线 ax＋by－z＝0 在 b y 轴上的截距。
二、必明 2●个易误点 1．画出平面区域。避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等 式化为 ax＋by＋c>0(a>0)。 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标 函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有。
考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域 【典例 1】(1)(2016· 北京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，不等式 1≤x＋y≤3， 组 表示图形的面积等于( B ) －1≤x－y≤1 A．1 B．2 C．3 D．4 x－y＋1≥0， (2)(2016· 扬州模拟)已知不等式组x＋y－1≥0， 表示的平面区 3x－y－3≤0 域为 D，若直线 y＝kx＋1 将区域 D 分成面积相等的两部分，则实数 k 1 的值是________ 。
2017版新课标全国卷地区专用一轮数学(文)复习第6单元-不等式、推理与证明 (共304张PPT)
不等式的性 解不等式、 不等式 质 的等价变形 不等式的应 应用不等式性质 用 解决实际问题
真题再现
——[2015－2011]课标全国真题在线 [2013· 新课标全国卷Ⅱ]设 a＝log32，b＝log52，c＝log23， 则( ) A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 1 1 [ 解 析 ] D a － b ＝ log32 － log52 ＝ log 3 － log 5 ＝ 2 2 log25－log23 >0⇒a>b，c＝log23>1，a<1，b<1，所以 c>a>b， log23log25 答案为 D.
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第32讲
课 前 双 基 巩 固
不等关系与不等式
2．[ 教材改编] 某高速公路要求行驶的车辆的速度 v(km/h)的最大值为 120km/h，同一车道上的车间距 d(m) 不得小于 10m，用不等式组表示为________．
[答案]
0<v≤120， d≥10
[解析] v(km/h)的最大值为 120km/h，即 v≤120，车 间距 d(m) 不得小 于 10m ，即 d≥10 ，可得 不 等式组
5x＋4y≤200， [答案] x≥0，x∈N， y≥0，y∈N
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第32讲
课 前 双 基 巩 固
不等关系与不等式
[解析] 依题意， 得 50x＋40y≤2000， 即 5x＋4y≤200， 5x＋4y≤200， 故所满足的不等式组为x≥0，x∈N， y≥0，y∈N.
第32讲
课 前 双 基 巩 固
不等关系与不等式
性质
2017高考文科数学一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明 第3讲
解析：设每小时的燃料费 y＝kv2，因为速度为 10 海里/小时
时，每小时的燃料费是
6
元，所以
k＝10×6
＝ 3 ，费用总 10 50
和
为1v0530v2＋
96
＝
10530v＋
96 v
≥
10×
2
当且仅当 3 v＝ 50
96，即 v
v＝40
时取等号．
3 ×96＝48， 50
第三十一页，编辑于星期六：二十一点 五十三 分。
[解析] 设该长方体容器的长为 x m，则宽为4x m．又设该
容器的造价为 y 元，则 y＝20×4＋2x＋4x×10，即 y＝80
＋ 20 x＋4x (x>0) ． 因 为
x
＋
4 x
≥
2
x·4x ＝
4 当且仅当x＝4x，即x＝2时取“＝” ， 所 以 ymin ＝ 80＋
20× 4＝ 160(元 )．
第三十二页，编辑于星期六：二十一点 五十三 分。
本题源于教材人教 A 版必修 5 P99 例 2“某 工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 4 800 m3， 深为 3 m．如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方 米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总 造价是多少？”只对题目数字作一变动，其解法完全相同．
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(文)大一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
解析：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y 辆，租金为z，则线性约束条件为
x＋y≤21， y－x≤7， 36x＋60y≥900， x，y∈N.
目标函数为z＝1 600x
＋2 400y．画出可行域如图中阴影部分所示， 可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．答案：C
[演练冲关]
x－y＋2≥0， 1．(2017·海口调研)已知实数x，y满足x＋y－4≥0，
4x－y－4≤0.
则z＝
3x－y的取值范围为
()
A．0，152 C．2，152
B．[0,2] D．2，83
解析：画出题中的不等式组表示的平面区域 (阴影部分)及直线3x－y＝0，平移该直线， 平移到经过该平面区域内的点A(1,3)(该点是 直线x－y＋2＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相 应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝3x－y取得最小值 3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B85，152(该点是直 线4x－y－4＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的 截距达到最大，此时z＝3x－y取得最大值3× 85 － 152 ＝ 152 ，因此 z的取值范围是0，152，选A．答案：A
2．(易错题)若满足条件 xx＋－yy－≥20≤，0， y≥a
的整点(x，y)恰有9个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为 ( )
A．－3
B．－2
C．－1
解析：不等式组所表示的平面区域如图中
D．0
阴影部分，当a＝0时，只有4个整点
(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，
数多个，也可能没有．
3．在通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值时，要注
2017届高三数学(文)一轮复习第六章 不等式、推理与证明6-1
【微练 1】已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2， 则 a，b，c 的大小关系是( A．c≥b＞a C．c＞b＞a ) B．a＞c≥b D．a＞c＞b
解析：因为 c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0， 所以 c≥b。将题中两式作差得 2b＝2＋2a2， 即 b＝1＋a2。
1 1 (9)倒数性质：设 ab＞0，则 a＜b⇔a＞b；(双向性) (10)有关分数的性质：若 a＞b＞0，m＞0，则 b b＋m b b－m ①a＜ ； ＞ (b－m＞0) a＋m a a－m a a＋m a a－m ②b＞ ； ＜ (b－m＞0)。 b＋m b b－m
二、小题查验 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个实数 a，b 之间，有且只有 a＞b，a＝b，a＜b 三种关系中的一 种。(√ )
)
C．①④ D．①③ 解析：利用不等式的同向可加性可知①正确；对②根据不等式的性质可知
1 ac＜bd，故②不正确；因为函数 y＝x 3 是单调递增的，所以③正确；对④由 a
1 1 ＞b＞0 可知 a ＞b ＞0，所以 2＜ 2，所以④不正确，故选 D。 a b
2 2
答案：D
3．若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( a b A. ＞ c d a b C. ＞ d c a b B. ＜ c d a b D. ＜ d c
12 3 因为 1＋a －a＝ a－2 ＋4＞0，
2
所以 1＋a2＞a， 所以 b＝1＋a2＞a，所以 c≥b＞a，故选 A。 答案：A
微考点
不等式的性质及其应用
【典例 2】(1)设 a，b∈R，则“(a－b)· a2＜0”是“a＜b”的( A ) A．充分而不必要条件 C．充要条件 A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 a b B．若 ＞ ，则 a＞b c c 1 1 C．若 a3＞b3 且 ab＜0，则a＞b 1 1 D．若 a2＞b2 且 ab＞0，则a＜b B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2017届高考数学(文)一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6-4
第十页，编辑于星期六：二点 二十九分。
典例1
(1)已知 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为3_＋__2___2__；
(2)当 x>0 时，f(x)＝x22＋x 1的最大值为___1_____．
解析 (1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1， ∴1x＋1y＝2x＋x y＋2x＋y y＝3＋yx＋2yx≥3＋2 2，当且仅当yx＝2yx时，取等号． (2)∵x>0， ∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号．
且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生
产产品( )
A．60 件
B．80 件
C．100 件 D．120 件 解析 每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是8x00元，仓储费用是x8元，每件产品的总的费
用 y＝8x00＋x8≥2 8x00·8x＝20，当且仅当8x00＝x8时取等号，得 x＝80.故选 B.
第十四页，编辑于星期六：二点 二十九分。
考点多维探究
第十五页，编辑于星期六：二点 二十九分。
考点 2 基本不等式在实际中的应用 回扣教材 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅 读，从中提炼出有用信息，建立__数__学__模__型__，转化为数学问题求解； (2)经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 y＝ax＋bx(a>0，b>0) 等．解函数应用题中的_最__值____问题一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．
值问题.
2017届高考数学(文)一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6-6
2．分析法 (1)定义：从___要__证__明__的__结__论___出发，逐步寻求使它成立的__充__分__条__件_，直到最后，把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)框图表示： Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 得到一个明显成立的条件 (其中Q表示要证明的结 论)． (3)思维过程：执果索因．
第二十一页，编辑于星期六：二点 二十九分。
用反证法证明不等式要把握的三点 (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面． (2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据 这一条件进行推证. (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有 的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的.
第十页，编辑于星期六：二点 二十九分。
典例2
命题角度2 分析法的应用 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c. 证明 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1， 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三内角A，B，C成等差数列， 故B＝60°，由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．
第十九页，编辑于星期六：二点 二十九分。
典例3 设{an}是公比为 q 的等比数列． (1)推导{an}的前 n 项和公式； (2)设 q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列． 解 (1)设{an}的前 n 项和为 Sn， 当 q＝1 时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当 q≠1 时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
2017届高考数学(文)一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6-5
第十三页，编辑于星期六：二点 二十九分。
常见的类比、归纳推理及求解策略 (1)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比， 且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥， 圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直 线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等． (2)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的 结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广 的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.
2．“因为指数函数 y＝ax 是增函数(大前提)，而 y＝13x 是指数函数(小前提)，所以 y＝13x 是增函数(结 论)”上面推理错误的是( )
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 解析 当 a>1 时，y＝ax 是增函数，当 0<a<1 时，y＝ax 是减函数，故大前提错误．
A．an＝3n－1 B．an＝4n－3
C．an＝n2
D．an＝3n－1
解析 a1＝1，an＝an－1＋2n－1 a2＝1＋4－1＝4 a3＝4＋2×3－1＝9 a4＝9＋2×4－1＝16 …
an＝n2，故选 C.
第九页，编辑于星期六：二点 二十九分。
3．[2014·课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为____A____． 解析 乙说没去过 C，甲说没去 B，甲去过 A、C，由丙说三人去过同一城市得 A.
第十六页，编辑于星期六：二点 二十九分。
2017届高考数学一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6-1
第二十页，编辑于星期六：一点 二十一分。
2．若 a>b，c>d，则下列不等式成立的是( )
A．a＋d>b＋c
B．ac>bd
C.ac>db
D．d－a<c－b
解析 不妨设 a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，则 a＋d＝b＋c＝0，故 A 错；ac＝－6，bd＝－6，故 B 错；ac＝－32，bd＝－23，故 C 错；a>b，c>d，据同向不等式的可知性有 a＋c>b＋d，即 c－b>d－a，即 d－a<c －b.
命题角度 2 不等式的性质及应用
典例2
(1)若1a<1b<0，给出下列不等式：
①a＋1 b<a1b；②|a|＋b>0；③a－1a>b－b1；④ln a2>ln b2.
其中正确的不等式是( )
A．①④
B．②③
C．①③D．②④来自(2)若 a>0>b>－a，c<d<0，则下列命题：①ad>bc；②ad＋bc<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中正确 的命题为_②__③__④___．
A．c≥b>a
B．a>c≥b
C．c>b>a
D．a>c>b
(2)[2015·洛阳期末]已知 a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M<N
B．M>N
C．M＝N
D．不确定
第十二页，编辑于星期六：一点 二十一分。
解析 (1)由 b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，两式相减得：b＝a2＋1；两式相加得：2c＝10－8a ＋4a2，c＝2a2－4a＋5＝a2＋1＋a2－4a＋4＝a2＋1＋(a－2)2，可知 c≥b>a，故选 A.
2017届高考数学一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6-7
当 n＝3 时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝74.
当 n＝4 时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝185.(2 分)
由此猜想 an＝22n－n－11(n∈N*)．(4 分)
第二十一页，编辑于星期六：一点 二十一分。
猜想 Sn＝n＋n 1(n∈N*)． 下面用数学归纳法证明这个结论． ①当 n＝1 时，结论成立． ②假设 n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即 Sk＝k＋k 1， 当 n＝k＋1 时，Sk＋1＝2－1 Sk＝2－1k＋k 1＝kk＋ ＋12＝k＋k＋11＋1. 即当 n＝k＋1 时结论成立． 由①②知 Sn＝n＋n 1对任意的正整数 n 都成立．
第十二页，编辑于星期六：一点 二十一分。
命题角度 2 用数学归纳法证明不等式
典例2
等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知对任意的 n∈N*，点(n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b>0，且 b≠1，
b，r 均为常数)的图象上．
(1)求 r 的值；
(2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)． 证明：对任意的 n∈N*，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1成立． 解 (1)由题意，Sn＝bn＋r， 当 n≥2 时，Sn－1＝bn－1＋r，所以 an＝Sn－Sn－1＝bn－1·(b－1)，
第十六页，编辑于星期六：一点 二十一分。
(2)证明：①由(1)知，当 n＝1,2,3 时，通项公式成立． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立， 即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1. 由于 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak2＋1＋ak1＋1－a2k－a1k， 将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式，整理得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1， 即 n＝k＋1 时通项公式成立． 由①②可知对所有 n∈N*，an＝ 2n＋1－ 2n－1都成立．
2017届高考数学一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6-2
考点多维探究
第十六页，编辑于星期六：一点 二十一分。
考点 2 一元二次不等式恒成立问题
回扣教材 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0 且 b2－4ac<0(x∈R) ． (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是： a<0 且 b2－4ac<0(x∈R) ．
第二十三页，编辑于星期六：一点 二十一分。
【跟踪训练】
3．若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0 对一切 x∈(0,2]恒成立，则 a 的取值范围是( )
A.－∞，1－2
3
1＋
B.
2
3，＋∞
C.－∞，1－2
3∪1＋2
3，＋∞
1－
D.
2
3，2＋2
3
第二十四页，编辑于星期六：一点 二十一分。
解析 ∵x∈(0,2]，∴a2－a≥x2＋x 1＝x＋1 1x.
第六章 不等式、推理与证明
第一页，编辑于星期六：一点 二十一分。
第2讲 一元二次不等式及其解法
第二页，编辑于星期六：一点 二十一分。
考纲展示
三年高考总结
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，
模型．
尤其是解一元二次不等式、分式不等式及绝对值不
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相 等式．考查比较频繁，经常与函数方程结合起来，
mx－122＋43m－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立． 令 g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]． 当 m>0 时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以 g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0， 所以 m<67，所以 0<m<76； 当 m＝0 时，－6<0 恒成立； 当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数，
2017年高考数学一轮复习课件：第6章 不等式、推理与证明6.6
x1＋2 x2
，
即
证
明
1 2
(tanx1
＋
tanx2)>tanx1＋2 x2，只需证明12csoinsxx11＋csoinsxx22>tanx1＋2 x2， 只需证明2scinosxx11＋coxs2x2>1＋sincoxs1＋x1＋x2x2。
由于 x1，x2∈0，π2，故 x1＋x2∈(0，π)。 ∴cosx1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0，1＋cos(x1＋x2)>0，
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．综合法 一般地，利用①_已_知__条__件_和__某__些_数__学__定_义__、__公_理__、__定_理_，等经过一系列的 ②___推__理__论__证_，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做 综合法。 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证 明的结论，则综合法可用框图表示为： P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
，因此只要证明
由于 x1，x2∈R 时，3 x1 >0,3 x2 >0， 由基本不等式知
－(x1＋x2)， ，
显然成立， 故原结论成立。
第二十页，编辑于星期六：二点 四十三分。
考点三 反证法 【典例 3】设{an}是公比为 q 的等比数列。 (1)推导{an}的前 n 项和公式。 (2)设 q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列。
第十二页，编辑于星期六：二点 四十三分。
考点一 综合法
【典例 1】设{an}是首项为 a，公差为 d 的等差数列(d≠0)，Sn 是
其前 n 项的和。记 bn＝nn2＋Snc，n∈N*，其中 c 为实数，若 c＝0，且 b1， b2，b4 成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)。
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小题快做 1.思考辨析 (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × ) (2)分析法是要从证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √ )
2．[教材改编]已知
A、B
都是锐角，且
A＋B≠π2，(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，则
π A＋B＝__4______.
解析 由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2 展开 1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2， tanA＋tanB＝1－tanAtanB， 1t－antAa＋nAttaannBB＝1＝tan(A＋B)， 0<A<π2，0<B<π2，所以 A＋B＝π4.
直接证明问题是高考常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题，且主要有以下两种角度.
(2)试判断函数 f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝ x(x∈[0,1])是不是理想函数． 解 (1)证明：取 x1＝x2＝0， 则 x1＋x2＝0≤1， ∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f()≥0，
证明 因为a，b∈(0，＋∞)，所以要证原不等式成立，
1
1
只需证[(a3＋b3) 3 ]6<[(a2＋b2) 2 ]6，
即证(a3＋b3)2<(a2＋b2)3，
即证a6＋2a3b3＋b6<a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，
只需证2a3b3<3a4b2＋3a2b4.
因为a，b∈(0，＋∞)，
所以即证2ab<3(a2＋b2)．
命题角度 1 综合法的应用
典例1
对于定义域为[0,1]的函数 f(x)，如果同时满足：
①对任意的 x∈[0,1]，总有 f(x)≥0；
②f(1)＝1；
③若 x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有 f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数 f(x)为理想函数． (1)若函数 f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；
命题角度2 分析法的应用
典例2
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c. 证明 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，
故B＝60°，由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，
故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．
利用综合法、分析法证明问题的策略 (1)综合法 ①综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到 结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题) 出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性． ②综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理. (2)分析法 ①逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成 立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键． ②证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某 个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结 论，从而使原命题得证.
而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab>2ab成立，
以上步骤步步可逆，
所以(a3＋b3)13<(a2＋b2)
1
2.
考点多维探究
考点2 间接证明
回扣教材 1.反证法：假设原命题_不__成__立_ (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 矛__盾____，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法． 2．必记结论 反证法中的矛盾主要是指以下几方面： (1)与已知条件矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与定义、公理、定理矛盾； (4)与公认的简单事实矛盾； (5)自相矛盾．
【跟踪训练】 1．求证：a－4 3＋a≥7(a>3)．
证明 因为 a>3，所以a－4 3＋a＝a－4 3＋(a－3)＋3≥2 当且仅当a－4 3＝a－3，即 a＝5 时，等号成立．
a－4 3×a－3＋3＝2× 4＋3＝7.
1
1
2．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3) 3 <(a2＋b2) 2 .
∴f(0)≥0.于是 f(0)＝0.
(2)对于 f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2 不满足新定义中的条件②， ∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数． 对于 f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然 f(x)≥0，且 f(1)＝1. 任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0， 即 f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)． ∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数． 对于 f(x)＝ x，x∈[0,1]，显然满足条件①②. 对任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， 有 f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2 x1x2＋x2)＝－2 x1x2≤0， 即 f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③. ∴f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数， f(x)＝2x(x∈[0,1])与 f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．
2017届高考数学（文）一轮复 习 （课件 练习）第六章 不
等式、推理与证明-6-6(02)
第6讲 直接证明与间接证明
考纲展示
三年高考总结
1.了解直接证明的两种基本方法——分析 法和综合法；了解分析法和综合法的思考 过程和特点． 2．了解反证法的思考过程和特点.
从近三年高考情况来看，直接证明与间接证明一般 不会直接命题，常与函数、数列、圆锥曲线相结合， 对导数及其应用、不等式的证明、数列的知识命题 机会较大，题型多为解答题，解题中要求学生具备 较强的逻辑思维能力以及转化与化归的思想.