广东省深圳市高级中学2014—2015学年度高二上学期期中考试数学(理)
2014-2015年广东省深圳市南山区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2B．C．D．22．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，则公比q等于（）A．2B．3C．D．﹣4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1B．2C．4D．4.55．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．RC．[0，2）D．（﹣∞，0）6．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．27．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，x3＜0B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C．∀x∈R，2x＞0D．“x＜2”是“|x|＜2”的充分非必要条件8．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（）小时．A．B．C．D．1二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是．10．（5分）焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为．11．（5分）函数y=的最大值为．12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a14=1，则S17=．13．（5分）已知三角形的三边长分别为5，7，8，则该三角形最大角与最小角之和为．14．（5分）记max{a，b}=，f（x）=max{|x﹣m|，|x+1|}，若存在实数x，使得f（x）≤1成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（本题共6小题，共80分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣ac=b2．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，设数列{b n}前n项和为G n，求证：G n．17．（14分）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．18．（14分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*）（1）当a=1时，求a2，a3并猜想a2n的值；（2）若数列{a n}是等比数列，求a的值及a n；（3）在（2）的条件下，设b n=na n．求数列{b n}的前n项和S n．19．（14分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．20．（14分）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．2014-2015学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2B．C．D．2【解答】解：∵在△ABC中，a=6，A=60°，C=45°，∴由正弦定理=得：c===2，故选：D．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．故选：C．3．（5分）等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，则公比q等于（）A．2B．3C．D．﹣+a n=3n+1，【解答】解：∵等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1∴a2+a1=32，a3+a2=qa2+qa1=33，两个式子相除可得，公比q=3，故选：B．4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1B．2C．4D．4.5【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，∴+=（+）（a+b）=（2++）≥（2+2）=2当且仅当=即a=b=1时取等号，故选：B．5．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．RC．[0，2）D．（﹣∞，0）【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2＜x2，即（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2，x＜﹣1，所以原不等式的解集为（2，+∞）；当x≤0时，f（x）=x﹣2，代入不等式得：x﹣2＜x2，解得x∈R，所以原不等式的解集为（﹣∞，0]，综上原不等式的解集为（2，+∞）∪（﹣∞，0]．故选：A．6．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，其中A（，），B（3，），C（3，4），D（0，3）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值=F（3，）=2×3﹣=∴z最大值故选：B．7．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，x3＜0B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C．∀x∈R，2x＞0D．“x＜2”是“|x|＜2”的充分非必要条件【解答】解：对于A，显然x为负数时，恒成立，故A为真命题；对于B，a＞0时，|a|＞0，反之，a可以是负数，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件，故B为真命题；对于C，利用指数函数的性质，可知∀x∈R，2x＞0，故C为真命题；对于D，x＜2时，|x|＜2不一定成立，反之，|x|＜2时，x＜2成立，“x＜2”是“|x|＜2”的必要非充分条件，故D为假命题故选：D．8．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（）小时．A．B．C．D．1【解答】解：设两船在B点碰头，由题设作出图形，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，整理，得36x2﹣9x﹣10=0，解得x=，或x=﹣（舍）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是∀x∈R，x2+2x≠3．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x=3是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：∀x∈R，x2+2x≠3．故答案为：∀x∈R，x2+2x≠3．10．（5分）焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为．【解答】解：焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线，可得c=10，a=8，b=6，焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为：．故答案为：．11．（5分）函数y=的最大值为．【解答】解：函数y=≤=，当且仅当2x2=1﹣2x2，即x2=时，取等号，故函数y=的最大值为，故答案为：．12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a14=1，则S17=．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a17=a4+a14=1，∴由求和公式可得S17==故答案为：13．（5分）已知三角形的三边长分别为5，7，8，则该三角形最大角与最小角之和为120°．【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，7，8，且7所对的角为α，∴cosα==，∴α=60°，则该三角形最大角与最小角之和为120°．故答案为：120°14．（5分）记max{a，b}=，f（x）=max{|x﹣m|，|x+1|}，若存在实数x，使得f（x）≤1成立，则实数m的取值范围是[﹣3，1] ．【解答】解：存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；当x＞0或x＜﹣2时，|x+1|＞1，故f（x）＞1成立；当﹣2≤x≤0时，|x+1|≤1，故|x+m|＞1在[﹣2，0]上恒成立，故m＜﹣3或m＞1；故存在实数x，使得f（x）≤1成立时，实数m的取值范围是[﹣3，1]．故答案为：[﹣3，1]．三、解答题（本题共6小题，共80分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣ac=b2．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，a2+c2﹣ac=b2，即a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，则B=；（2）把sinA=2sinC，利用正弦定理化简得：a=2c，∵b=3，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=4c2+c2﹣2c2，解得：c=，a=2，=acsinB=．则S△ABC16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，设数列{b n}前n项和为G n，求证：G n．【解答】（1）解：∵数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．∴a1=S1==1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=3n﹣2，当n=1时上式也成立，∴a n=3n﹣2．（2）证明：b n===，∴设数列{b n}前n项和为G n=+…+=＜，∴G n．17．（14分）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：过点（0，4），离心率为，∴，解得a=5，b=4，c=3，∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆16x2+25y2=400，得①﹣②，得16（x 1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴32x（x1﹣x2）+50y（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率k==﹣，∵直线AB过点（3，0），M（x，y），∴直线AB的斜率k=，∴﹣=，整理，得16x2+25y2﹣48x=0．当k不存在时，16x2+25y2﹣48x=0也成立．故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x2+25y2﹣48x=0．18．（14分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*）（1）当a=1时，求a2，a3并猜想a2n的值；（2）若数列{a n}是等比数列，求a的值及a n；（3）在（2）的条件下，设b n=na n．求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*），∴当a=1时，a1•a2=1×a2=4，解得a2=4，由a2a3=42，解得a3=4．∵==4，∴a n=4a n，可得a2n=4n．+2（2）∵数列{a n}是等比数列，设公比为q，则a•aq=4，aq•aq2=42，a＞0，解得q=2，a=．∴a n=．（3）在（2）的条件下，b n=na n=，∴数列{b n}的前n项和S n=[1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1]，2S n=…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n]，∴﹣S n=（1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n）==，∴S n=．19．（14分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．【解答】解：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F（0，4，4），∴=（﹣1，0，1），又∵=，设G（0，0，z），∴（﹣1，0，z）=（﹣1，0，1），解得z=1，∴G（0，0，1）．（2）∵=（﹣1，0，0），，∴cos＜＞==，∴异面直线EF与AD所成的角为45°．（3）设平面AEFG的法向量，∵=（﹣1，0，1），=（0，4，3），∴，取z=4，得=（4，﹣3，4），∵C（0，4，0），，∴点C到截面AEFG的距离d===．20．（14分）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．【解答】解：（1）设N（x，y），则由中点坐标公式得P（x，2y），因为P是圆x2+y2=4上任意一点，所以x2+4y2=4，整理得，．（2）将（0，1）代入x2=8（y﹣m），可得m=1，所以曲线C1的方程为x2=8（y﹣1）；（3）在（2）的条件下，设与曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程为y=kx+m；分别与C的方程：以及曲线C1的方程x2=8（y﹣1）联立，得到：2k 2+m ﹣1=0和4k 2﹣m 2+1=0； 解得m=1或﹣3； 当m=1时，k=0， 当m=﹣3时，k=±；所以：与曲线C 和曲线C 1都只有一个交点的直线l 方程为：y=1或y=±x ﹣3．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．yxo（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
广东省深圳市高级中学—学年度高二数学上学期期中试题
高级中学2014-2015学年第一学期期中测试高二数学（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共50分，第Ⅱ卷为11-20题，共100分，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共50分)一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 命题p ：3是奇数，q ：5是偶数，则下列说法中正确的是( ) A ．p 或q 为真 B ．p 且q 为真 C ．非p 为真 D ．非q 为假2. “02=-x x ”是“1=x ”的( )A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 圆心在直线270x y --=上，且与y 轴交于点(0,4)A -,(0,2)B -的圆的标准方程为 （ ）A. 22(3)(2)5x y -+-= B. 22(2)(3)5x y +++= C. 22(2)(3)5x y -++= D. 22(2)(3)5x y -+-= 4. 若直线0x y a ++=与圆22()2x a y -+=相切，则a =（ ）A ．1B ．－1CD ．1或－15. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. y x =D. 12y x =±6. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极大值点（ ） A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个7. 过点P （－1，4）作圆0126422=+--+y x y x 的切线，则切线长为（ ） A ．3B ．5C ．10D ．58. 与直线430x y -+=平行的抛物线22y x =的切线方程是( ) A ．410x y -+= B.410x y --= C ．420x y --=D.420x y -+=9. O 为坐标原点，F 为抛物线C :2y = 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4 10. 已知()x f x x e =⋅，方程()()()210f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为（ ）A. 21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B. 21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ C. 21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ D. 212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知x x x f cos ln )(+=，则'()2f π= .12. 2,10x R x ax ∃∈-+≤为假命题，则实数a 的取值范围为 . 13. 若椭圆2215x y m+=的离心率为105，则实数m 的值为 .14. 设F 1, F 2是双曲线C: 22221a x y b-= (a>0, b>0)的两个焦点，若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则双曲线C 的离心率为 .三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分12分）已知函数()sin(),(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω和()12f π的值；（2）求函数()f x 的最大值及相应x 的集合.16. （本小题满分12分）设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B.（1）求弦AB 的垂直平分线方程； （2）求弦AB 的长.17. （本小题满分14分）设函数x e x x f 221)(=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]2,2[-∈x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分14分）设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，椭圆C 上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的动点，1(0,)2Q ，求PQ 的最大值.19. （本小题满分14分） 如图所示，抛物线E 关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.（1）求抛物线E 的标准方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及 直线AB 的斜率．20. （本小题满分14分）已知函数()axf x a x =++21，()ln g x a x x =-（a >0）. （1）当a =1时，求函数()f x 的极值；（2）求证：对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <成立.高级中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学（文科）答题卷一、选择题（每题5分，10题共50分）二、填空题（每题5分，4题共20分）11. 12.13. 14.三、解答题：(本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)15. （本小题满分12分）16. （本小题满分12分）17. （本小题满分14分）18. （本小题满分14分）19. （本小题满分14分）20.（本小题满分14分）高级中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学（文科）答题卷解：（1）∵函数()sin()6f x x πω=+的周期是π且0ω>T ππω∴==2，解得2ω= … ……………………………………………………3分∴()sin(2)6f x x π=+…………………………4分∴3()sin(2)sin 121263f ππππ=⨯+==………………………………………6分（2）∵1sin(2)16x π-≤+≤ ………………………………………….8分∴当22()62x k k Z πππ+=+∈即()6x k k Z ππ=+∈时()f x 取得最大值1 (10)分此时x 的集合为{,}6x x k k Z ππ=+∈…………………………………….12分16. （本小题满分12分）解：（1）圆方程可整理为：4)1(22=+-y x ，圆心坐标为（1，0），半径r=2 ............2分 易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而23,321=∴-=k k AB ………….4分 所以，由点斜式方程可得：),1(230-=-x y整理得：0323=--y x ………………….6分（2）圆心（1，0）到直线,13323|12|013222=++==++d y x 的距离为……….8分故.135592)133(22||22=-⨯=AB ………………12分 17. （本小题满分14分） 解:（1）)2(2121)(2+=+='x x e e x xe x f xx x..............................2分令0)2(>+x x e x，得20-<>x x 或，∴)(x f 的增区间为)2,(-∞-和),0(∞+ ...............................4分令0)2(<+x x e x ，得02<<-x ，∴)(x f 的减区间为)0,2(- ..................................6分 （2）因为当]2,2[-∈x 时，不等式恒m x f <)(成立等价于max ()f x m < ………………………...8分因为]2,2[-∈x ，令0)(='x f ，得2-=x ，或0=x ，∴2max ()2f x e = ………………………….12分 ∴22e m > ……………………………………….14分 18. （本小题满分14分）解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12,F F 两点的距离之和是4，得24a =即2a =，又3(1,)2A 在椭圆上，223()1212b∴+=，解得23b =，于是21c =所以椭圆C 的方程是22143x y += ………………………6分(2).设(,)P x y ，则22143x y +=，22443x y ∴=- …………………….8分 222222214111713()4()52343432PQ x y y y y y y y =+-=-+-+=--+=-++…10分又y ≤≤Q .....................................12分∴当32y =-时，max PQ = ………………………14分 19. （本小题满分14分）解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．.......................................1分∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. ………………………...3分 故所求抛物线的方程是y 2＝4x …………………………….4分 准线方程是x ＝－1. …………………………….6分 (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . ……………………….8分 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1 ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4. …………………………12分 由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k AB＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－ 1(x 1≠x 2)． ...........................................14分 20.（本小题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111…………….1分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,)-∞-1(,)-11(,)+∞1………5分∴当x =-1时，()f x 有极小值，极小值为12当x =1时，()f x 有极大值，极大值为32…………………………7分 （2）()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111. 当a >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在(,)01上单调递增，在(,e]1上单调递减，且2e (e)(0)e 1a f a a f =+>=+. 所以(0,e]x ∈时，min ()f x a = ……………………..9分因为()ln g x a x x =-，所以()1a g x x '=-，令()0g x '=，得x a =①当0e a <<时，由()0g x >'，得0x a <<；由()0g x <'，得x a >，所以函数()g x 在(0,)a 上单调递增，在(,e]a 上单调递减.所以max ()()ln g x g a a a a ==-. 因(ln )(2ln )(2ln e)0a a a a a a a a --=->-=>，对任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x < ………………………………12分②当e a ≥时，()0g x '≥在(0,e]上恒成立，所以函数()g x 在(0,e]上单调递增，max ()(e)e <g x g a a ==-.()f x '-+-()f x↘↗↘x(,)-∞-1(,)-11(,)+∞1()f x ' -0 +0-()f x↘↗↘所以对于任意(]12,0,e x x ∈，仍有12()()g x f x <.综上所述，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <. …………………14分。
广东省深圳市明珠学校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题(有答案)AwHnwn
明珠学校2014--2015第一学期期中考试数学试卷年级： 高二 学科： 理科数学 （满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分）1．若0<<b a ，则下列不等式①a b ab +<, ②33b a >,③011<<ab , ④b a < 中，正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 2. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 3．已知p ：|x |<3；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点(,)A x y 在第一象限且在直线22=+y x 上移动，则y x 22log log +（ ） A.最大值为1 B.最小值为1 C.最大值为2 D.没有最大、小值 5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若1595,,a a a 成等比数列,那么公比为 ( ) A ．B ．C ．．D.6．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋12-n ，…的前n 项和为（ ） A.2n －n －1B.2n +1－n －2C.2nD.2n +1－n8、如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x x ≤M 恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②()2f x x =；③()21xf x x x =++．其中属于有界泛函的是（ ）A ．①③B ．②C ．③D ．①② 二、填空题（共30分，每小题5分）9.写出命题P ：01),0,(2≤++-∞∈∃x x x 的否定_______________________:P ⌝； 10．不等式034≤+-x x 的解集为 ； 11. 已知等比数列{a n }的前n 项和121+⋅=-n n t s ，则实数 t 的值为 ________.12．已知两个正实数y x ,满足1=+y x ,则使不等式x1+y4≥m 恒成立的实数m 的取值范围是__________.13．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若am 2＜bm 2, 则a ＜b ;③若三个实数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则 a b c == ；④若不等式220ax bx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a b -=-10.其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)14.在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈. 则1a ＝ ，经猜想可得到n a ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为2n S n = ，数列{}n b 为等比数列，且81,22111==b b b a ． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．16．(本小题满分12分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1=0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．17．(本小题满分14分）已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞ (Ⅰ)当12a =时,求函数()f x 的最小值;(Ⅱ)若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的首项11=a ，*∈∀N n ，nnn a a a +=+221． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n S ；(3)求证：*∈∀N n ，3 (2)232221<++++n a a a a ．19. (本小题满分12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.如何合理安排生产计划 ,使公司可获得最大利润？最大利润为多少？20．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，已知123,5a a ==，其前n 项和nS 满足).3(22112≥+=+---n s s s n n n n.(1) 求43,a a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式n a ；(3)令11+=n n n a a b ,试求一个函数()f x ,使得对于任意正整数n 有61)(...)2()1(21<+++=n f b f b f b T n n ，且对于任意的1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，m T n > .2014--2015第一学期期中考试参考答案年级：高二 学科： 理科数学（满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分）1---8: BCBAD, BBC8. ①对于()1f x =，当0x =时，有()100f x M =>⨯=，()1f x =不属有界泛函; 对于②()2f x x =，当0x ≠时，有()f x x x=无最大值，()2f x x =不属于有界泛函；对于③()21xf x x x =++，当0x ≠时，有()22114131324f x xx x x ==≤++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()21x f x x x =++ 二、填空题（共30分，每小题5分）9. 01),0,(2>++-∞∈∀x x x 10. (]4,3- 11. -2 12. (]9,∞- 13. ①②④ 14.6, 6n三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （12分） 解：（1）;nn n b n a 21,12=-= ……6分 (2) ;62)32(1+-=+n n x n T ……12分 16. （12分）解：命题p ： 1≤a ， 命题q ：130-≤≥≥∆a a 或即： ……………6分因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以P 、Q 一真一假……………8分 即：① ⎩⎨⎧<<-≤311a a 或 ②⎩⎨⎧≥-≤>311a a a 或 ………………………10分解得; 311≥≤<-a a 或……………12分 17. （15分）⑴由n n n a a a +=+221，得21111+=+n n a a ，21111=-+n n a a ………………2分 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=n a ，公差21=d 的等差数列………………3分 212111+=-+=n n a n ……4分，所以*∈∀N n ，12+=n a n ………………5分 (2)12+=n nS n ………………9分 (3) )1(4)1(422+<+=n n n a n 244+-=n n ……11分2>n 时，由以上不等式得)144()4434()3424(112212+-++-+-+<+=∑∑==n n a a ni ini i Λ……13分 14241+-+=n 3<……14分 因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=n i i a 12是递增数列，所以*∈∀N n ，312<∑=ni n a ……15分．18. （14分） 解(Ⅰ) 12a =时,2221121()2'()10222x f x x f x x x x -=++⇒=-=>(因为1x ≥) 所以,()f x 在[1,)+∞上单调递增,故1x =时,()f x 取得最小值72.………………6分(Ⅱ) 因为对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,即220x x a ++>恒成立,只需22a x x >--恒成立，只需2max (2)a x x >--,因为21(2)3x x x ≥⇒--≤-,所以,实数a 的取值范围是(3,)-+∞.………………14分19．（12分）[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y ………………2分且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X ………………6分画可行域如图所示, ………………8分 目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400zx 43+-这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z ………………12分20. （15分）解：（1）17,943==a a .………………4分（2）由题设知21122(3)n n n n n S S S S n -----=-+≥，即112(3)n n n a a n ---=≥.由累加法可得：21n n a =+.………………8分 （3）11111111()(21)(21)22121n n n nn n n n b a a +++===-++++. ..................10分 则2223111111()(1)()(2)2212122121n T f f =-⋅+-+++++ (1111)()()22121n n n f n ++-++. 令1()2n f n -=， 则22311111[()()221212121n T =-+-+++++ (11)111111()]()2216212121n n n +++-=-<++++. …12分 若n T m >，则有1111(),22121n m +->++ 化简得：1321,16n m +>--即解不等式23log (1)116n m>---. 当23log (1)1116m --<-，即1015m <<时，取01n =即可. 当23log (1)1116m --≥-，即11156m ≤<时，则记3(1)116m---的整数部分为s ，取01n s =+即可. ………………14分综上可知，对任意1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，n T m >，即1()2x f x -=为所求函数. ……15分。
2015-2016年广东省深圳中学高二上学期期中数学试卷及解析
2015-2016学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（）A．B．C．D．12．（4分）下列结论不正确的是（）A．若ab＞bc，则a＞c B．若a3＞b3，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则ac＜bc D．若＜，则a＞b3．（4分）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．275．（4分）数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2015=（）A．B．C．D．6．（4分）已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）A．a，b，c成等差数列 B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列7．（4分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（，2）B．（，2）C．（，3）D．（，3）8．（4分）在平面直角坐标系中，定义到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么S10的值为（）A．B．C．D．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．10．（4分）已知等比数列{a n}的公比，则的值为．11．（4分）有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为．12．（4分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．13．（4分）已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．三、解答题（4大题，共44分）15．（10分）△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．16．（10分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+2（n≥1，n∈N*），数。
广东省深圳市高级中学2014—2015学年度高二上学期期中考试化学(理)
高级中学2014-2015学年第一学期期中测试高二化学命题人：刘建英审题人：王文超第Ⅰ卷（本卷共计52分）一、单选题：（每小题2分，共计36分。
选对得2分，选错或不答得0分）1．未来新能源的特点是资源丰富，在使用时对环境无污染或污染很小，且可以再生。
下列属于未来新能源标准的是①天然气②太阳能③风能④石油⑤煤⑥生物质能⑦氢能A．①②③④B．②③⑥⑦C．①②⑤⑥⑦D．③④⑤⑥⑦2．下列变化过程，属于放热反应的是：①液态水变水蒸气②酸碱中和反应③浓硫酸稀释④固体NaOH溶于水⑤H2在Cl2中燃烧⑥弱酸电离A．②③④⑤B．②③④C．②⑤D．①③⑤3．强酸与强碱的稀溶液发生中和反应的热效应：H＋(aq)＋OH－(aq)===H2O(l) ΔH＝－57.3 kJ/mol。
向1 L 0.5 mol/L的NaOH溶液中加入下列物质：①稀醋酸；②浓硫酸；③稀硝酸，恰好完全反应时的热效应ΔH1、ΔH2、ΔH3的关系正确的是（）A．ΔH1 > ΔH2 > ΔH3B．ΔH1 < ΔH3 < ΔH2C．ΔH1 < ΔH2 < ΔH3D．ΔH1 > ΔH3 > ΔH24．加热升高温度时，化学反应速率加快，最主要．．．原因是（）A．分子运动速率加快，使该反应物分子的碰撞机会增多B．反应物分子的能量增加，活化分子浓度增大，有效碰撞次数增多C．该化学反应的过程是吸热造成的D．该化学反应的过程是放热造成的5．对可逆反应4NH3（g）+ 5O2（g）4NO（g）+ 6H2O（g），下列叙述正确的是（）A. 达到化学平衡时，4υ正(O2)= 5υ逆(NO)B. 若单位时间内生成x mol NO的同时，消耗x mol NH3 ，则反应达到平衡状态C. 达到化学平衡时，若其他条件不变只增加容器体积，则该时刻正反应速率减少，逆反应速率增大D. 化学反应速率关系是：2υ正(NH3) = 3υ正(H2O)6．在一定条件下，在2L的密闭容器中充入2molSO2和一定量的O2，发生反应2SO2+O22SO3，进行到4min时，测得n(SO2)=0.4mol，若反应进行到2min时，容器中n(SO2)为A．1.6mol B.1.2mol C.大于1.6mol D.小于1.2mol7．某化学科研小组研究在其他条件不变时，改变某一条件对A2(g)＋3B2(g) 2AB3(g)化学平衡状态的影响，得到如下图所示的变化规律（图中T表示温度，n表示物质的量），根据如图可得出的判断结论正确的是A ．反应速率a ＞b ＞cB ．达平衡时，AB 3物质的量大小为：b > c > aC ．若T 2＞T 1，则正反应一定是吸热反应D ．达到平衡时A 2的转化率大小为：b ＞a ＞c8．在密闭容器中，一定条件下，进行如下反应：NO(g)+CO(g)1/2N 2(g)+CO 2(g) ΔH ＝－373.2 kJ/mol ，达到平衡后，为提高该反应的速率和NO 的转化率，采取的正确措施是： A. 加催化剂同时升高温度 B. 加催化剂同时增大压强 C. 升高温度同时充入N 2 D. 降低温度9．某温度时，一定压强下的密闭容器中发生反应：a X(g)+b Y(g)c Z(g)+d W(g)，平衡后，保持温度不变压强增大至原来的2倍，当再达到平衡时，W 的浓度为原平衡状态的1.8倍，下列叙述正确得是：A. 平衡正移B. a+b>c+dC. Z 的体积分数变小D. X 的转化率变大 10．下列有关化学反应速率的说法中，正确的是A ．100 mL 2 mol/L 的盐酸与锌反应时，加入适量的氯化钠溶液，生成氢气的速率不变B ．用铁片和稀硫酸反应制取氢气，改用铁片和浓硫酸可以加快产生氢气的速率C ．在做草酸与高锰酸钾的反应时，加入少量硫酸锰固体可加快溶液褪色速率D ．汽车尾气中的CO 和NO 可以缓慢反应生成N 2和CO 2，为了加快反应速率，实际生活中使用了增大压强或升高温度的方法。
2014-2015第2学期深高级高二期中考(理科)数学试卷
2014-2015学年深圳市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，）1．（5分）从一副扑克牌（54张）中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是（）A．B．C．D．2．（5分）设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）A．B．1﹣p C．1﹣2p D．3．（5分）如图所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应分别填写（）A．i＜5？，B．i≤5？，C．i＜5？，D．i≤5？，4．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，95．（5分）如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（5分）学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出4颗发放给高一4个班，每班1颗，则不同的发放方法共（）A．4种B．20种C．18种D．10种8．（5分）容量100的样本数据，按从小到大的顺序分8组，如表：第三组的频数和频率分别是（）A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和9．（5分）“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2．则含有数字0，1，2，且有两个相同数字的四位数的个数为（）A．18 B．24 C．27 D．3610．（5分）一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（）A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.411．（5分）相关变量x、y的样本数据如下表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为=1.1x+a，则a=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.412．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为．14．（5分）若（x2﹣）6的二项展开式中x3项的系数为，则实数a=．15．（5分）某数学老师身高175cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是172cm、169cm、和181cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．16．（5分）如图所示的程序框图，若输入n=2015，则输出的s值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17．（10分）将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望．18．（12分）已知二项展开式中第三项的系数为180，求：（Ⅰ）含x3的项；（Ⅱ）二项式系数最大的项．19．（12分）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：（Ⅰ）求a的值和ξ的数学期望；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．20．（12分）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．21．（12分）某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员土的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为‘满意’，否则为“不满意”，请完成下列表格：〔3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：22．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？2014-2015学年深圳市高级中学高二（下）期中数学试卷（理）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015春•深圳校级期中）从一副扑克牌（54张）中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是（）A．B．C．D．【分析】用K的扑克张数除以一副扑克的总张数即可求得概率．【解答】解：∵一副扑克共54张，有4张K，∴正好为K的概率为=，故选D．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．2．（5分）（2012•历下区校级模拟）设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）A．B．1﹣p C．1﹣2p D．【分析】随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），知正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ＞1）=p，得到P（1＞ξ＞0）=﹣p，再根据对称性写出要求概率．【解答】解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ＞1）=p，∴P（1＞ξ＞0）=﹣p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故选D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题的主要依据是曲线的对称性，这种问题可以出现在选择或填空中．3．（5分）（2015•深圳二模）如图所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应分别填写（）A．i＜5？，B．i≤5？，C．i＜5？，D．i≤5？，【分析】根据流程图所表示的算法功能可知求的值，从而应该利用来累加，根据循环的次数，可得处理框应填结果．【解答】解：程序框图是计算的值，则可利用循环结构累加，共循环4次，则第一个处理框应为i＜5，然后计算，第二空应填写．故选：C．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，本题属于基础题．4．（5分）（2010•湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B【点评】本题主要考查系统抽样方法．5．（5分）（2015•湖北模拟）如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由8部分组成，每一部分是由边长为的正方形面积减去半径为的四分之一圆的面积得到．【解答】解：如图，由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，∵试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2×2=4，空白区域的面积是2（4﹣π）=8﹣2π，∴阴影区域的面积为4﹣（8﹣2π）=2π﹣4∴由几何概型公式得到P==﹣1，故选B．【点评】本题考查几何概型、等可能事件的概率，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答．6．（5分）（2010•江西）展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C8820（﹣1）8=1即为所求【解答】解：中，令x=1得展开式的各项系数和为1的展开式的通项为=令得含x4项的系数为C8820（﹣1）8=1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故选项为B【点评】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．7．（5分）（2015春•深圳校级期中）学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出4颗发放给高一4个班，每班1颗，则不同的发放方法共（）A．4种B．20种C．18种D．10种【分析】根据题意，分2种情况讨论，①、将3个排球、1个篮球分给4个班，②、将2个排球、2个篮球分给4个班，分别求出每种情况的发放方法数目，由分类计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，①、将3个排球、1个篮球分给4个班，在4个班中取出3个，分得排球剩余1个班分得篮球即可，则有C43=4种情况，②、将2个排球、2个篮球分给4个班，在4个班中取出2个，分得排球剩余2个班分得篮球即可，则有C42=6种情况，则共有6+4=10种发放方法，故选D．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意篮球、排球之间是相同的．8．（5分）（2010•云南模拟）容量100的样本数据，按从小到大的顺序分8组，如表：第三组的频数和频率分别是（）A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和【分析】由容量100的样本数据知有100个数字，而其他组的数字个数都是已知，得到要求的结果，根据样本容量和本组数据的个数得到本组数据的频率．【解答】解：∵由容量100的样本数据知有100个数字，而其他组的数字个数都是已知，∴频数为100﹣（10+13+14+14+13+12+90）=14频率为．故选A．【点评】本题考查频率分布，这种问题通常以选择和填空的形式出现，是能得分的题目．9．（5分）（2012•深圳一模）“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2．则含有数字0，1，2，且有两个相同数字的四位数的个数为（）A．18 B．24 C．27 D．36【分析】分一下几类：①四位数中含有2个0②四位数中含有2个1③四位数中含有2个2，根据分类计数原理，结合排列组合的知识可求【解答】解：根据题意分以下几类①四位数中含有2个0：先从1，2中选出1个放在首位，有种选法，然后再把余下的1个数与2个0一起排列，有种，共有=6个②四位数中含有2个1：先让4个数全排，去掉0排在首位的，然后再除以两个1的重复1情况，共有=9③四位数中含有2个2：共有9个根据分类计数原理可知，共有6+9+9=24故选B【点评】本题主要考查了分类计数原理及排列组合知识在求解实际问题中的应用，属于基础试题10．（5分）（2015春•深圳校级期中）一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（）A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4【分析】由题意知ξ=0，1，2，3，当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中，当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中，当ξ=3时，表示第一次射中，算出概率和期望．【解答】解：由题意知ξ=0，1，2，3，∵当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，∴P（ξ=0）=0.43，∵当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中∴P（ξ=1）=0.6×0.42，∵当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中∴P（ξ=2）=0.6×0.4，∵当ξ=3时，表示第一次射中，∴P（ξ=3）=0.6，∴Eξ=2.376．故选C．【点评】本题在解题过程中当随机变量为0时，题目容易出错同学们可以想一想，模拟一下当时的情况，四颗子弹都用上说明前三次都没有射中，而第四次无论是否射中，子弹都为0．11．（5分）（2014•深圳一模）相关变量x、y的样本数据如下表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为=1.1x+a，则a=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【分析】由样本数据可得，=3，=3.6，代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：由题意，==3，==3.6，∵回归直线方程为=1.1x+a，∴3.6=1.1×3+a，∴a=0.3．故选：C．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．12．（5分）（2012•铁东区校级模拟）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P （η≥2）的值为（）A．B．C．D．【分析】根据随机变量ξ～B（2，p），，写出概率的表示式，求出其中P的值，把求得的P的值代入η～B（4，p），求出概率．【解答】解：∵随机变量ξ～B（2，p），，∴1﹣p0•（1﹣p）2=，∴P=，∴η～B（4，），∴P（η≥2）=+=，故选B．【点评】本题考查二项分布及独立重复试验的模型，本题解题的关键是首先根据条件求出题目中要用的P 的值，在根据二项分布的概率公式得到结果．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2015春•深圳校级期中）甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 1.2．【分析】由题意知，在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，得到本题是一个独立重复试验，试验的次数是3，事件发生的概率已知，根据独立重复试验的期望公式得到结果．【解答】解：设甲在途中遇红灯次数为ξ，∵在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是∴ξ～B（3，），∴Eξ=3×=1.2．故答案为：1.2【点评】本题是一个独立重复试验，在近几年的高考中这种题目越来越重要，是一种经常出现的选择或填空题，是一个基础题．14．（5分）（2013•莱城区校级模拟）若（x 2﹣）6的二项展开式中x 3项的系数为，则实数a= ﹣2 ．【分析】由二项式定理可得（x 2﹣）6的二项展开式的通项，令x 的指数为3，可得r 的值为3，代入通项可得含x 3项，结合题意，可得（﹣）3×C 63=，解可得答案．【解答】解：（x 2﹣）6的二项展开式的通项为T r +1=C 6r×（x 2）6﹣r×（﹣）r=（﹣）r ×C 6r ×x12﹣3r，令12﹣3r=3，可得r=3， 此时T 4=（﹣）3×C 63×x 3，又由题意，其二项展开式中x 3项的系数为，即（﹣）3×C 63=，解可得a=﹣2； 故答案为﹣2．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是正确写出该二项式展开式的通项．15．（5分）（2015春•深圳校级期中）某数学老师身高175cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是172cm 、169cm 、和181cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 184 cm ．【分析】利用最小二乘法求回归系数，得回归直线方程，代入儿子的身高可得即可预测变量孙子的身高． 【解答】解：根据题意可得：∴==172， ==175，直接计算得：===1，=﹣=175﹣1×172=3，∴预测该教师孙子的身高y=x+=1×181+3=184cm，故答案为：184．【点评】本题考查线性回归方程，列出表格是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（5分）（2015•固原校级二模）如图所示的程序框图，若输入n=2015，则输出的s值为．【分析】模拟执行程序框图可得程序框图的功能是求s=sin+sin+…+sin的值，观察规律可得sin的取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，从而可得s=sin+sin+sinπ+sin=．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求s=sin+sin+…+sin的值，∵因为sin取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，∴2014=335*6+4，所以s=sin+sin+…+sin=sin+sin+sinπ+sin=．故答案为：．【点评】本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17．（10分）（2015春•深圳校级期中）将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望．【分析】由题意知巧合数ξ的可能取值是0、1、2、3、4，当ξ=0时表示没有巧合数，试验包含的所有事件是四个数在四个位置排列，而满足条件的事件是没有巧合数，共有3×3种结果，类似的可以做出其他的概率，得到期望．【解答】解：设ξ为巧合数，则ξ的可能取值是0、1、2、3、4，当ξ=0时表示没有巧合数，试验包含的所有事件是四个数在四个位置排列，共有A44种结果，而满足条件的事件是没有巧合数，共有3×3种结果，类似的可以做出其他的概率，则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=0，P（ξ=4）==，∴Eξ=0×+1×+2×+3×0+4×=1．∴巧合数的期望为1．【点评】让学生进一步理解期望是反映随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．区别随即机变量的期望与相应数值的算术平均数．18．（12分）（2015春•深圳校级期中）已知二项展开式中第三项的系数为180，求：（Ⅰ）含x3的项；（Ⅱ）二项式系数最大的项．【分析】（Ⅰ）根据第三项的系数为180求得n=10，再求出通项公式，在通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得含x3的项．（Ⅱ）二项式系数最大的项为中间项，再利用通项公式求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：第三项的系数为，=45，求得n=10，可得通项公式为，令，得r=6，∴含x3的项为．（Ⅱ）二项式系数最大的项为中间项，即．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．19．（12分）（2009•陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：（Ⅰ）求a的值和ξ的数学期望；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【分析】（1）对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和都是1，即P1+P2+…=1．借此，我们可以求出a值，再利用数学期望的定义求解．（2）由题意得，该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的事件分解成两个互斥事件之和，分别求出这两个事件的概率后相加即可．【解答】解：（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解得a=0.2，ξ的概率分布为∴（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每月均被投诉1次”则由事件的独立性得P（A1）=C21P（ξ=2）P（ξ=0）=2*0.4*0.1=0.08P（A2）=[P（ξ=1）]2=0.32=0.09∴P（A）=P（A1）+P（A2）=0.08+0.09=0.17故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，通常情况下，都是先求出随机变量取每个值时的概率、再得其分布列、最后用数学期望与方差的定义求解；求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率．20．（12分）（2015•惠州模拟）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式求解即可．（2）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，由题意知抽取的次数可能的取值是1、2、3、4，求出概率的分布列，然后求解期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）记事件A为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”，…（1分）因为奇数加偶数可得奇数，所以所以所得新数是奇数的概率等于．…（4分）（2）ξ所有可能的取值为1，2，3，4，…（5分）根据题意得P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=…（9分）故t=3的分布列为…（10分）E（ξ）=．…（12分）【点评】本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力．21．（12分）（2014•深圳二模）某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员土的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为‘满意’，否则为“不满意”，请完成下列表格：〔3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：【分析】（1）求出任选一名员工，它的得分大于45分的概率，即可估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）根据所给数据，可得2×2列联表；（3）求出k，与临界值比较，即可得出能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关．【解答】解：（1）从表中可知，30名员工中有8名得分大于45分，所以任选一名员工，它的得分大于45分的概率是=，所以估计该企业得分大于45分的员工人数为900×=240；（2）表格：〔3）k=≈8.571＞6.635．因为P（K2＞6.635）=0.010，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关．【点评】本题考查了古典概型，列联表，独立性检验的方法等知识，考查了学生处理数据和运算求解的能力．22．（12分）（2015•深圳二模）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？【分析】（1）利用描点法可得数据的散点图；（2）根据公式求出b，a，可写出线性回归方程；（3）根据（2）的性回归方程，代入x=25求出PM2.5的浓度．【解答】解：（1）散点图如图所示．…（2分）（2）∵，，…（6分），，，，…（9分）故y关于x的线性回归方程是：．…（10分）（3）当x=25时，y=1.28×25+4.88=36.88≈37所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37．…（12分）【点评】本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力．。
广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=2．（5分）不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=6，前7项和S7=84，则a6等于（）A．18 B．20 C．24 D．325．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件6．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定8．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8二、填空题：本大题共6小题．每小题5分，满分30分9．（5分）命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=．11．（5分）若椭圆+=1过点（﹣2，），则其焦距为．12．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=．13．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知锐角△ABC的面积等于3，且AB=3，AC=4．（1）求sin（+A）的值；（2）求cos（A﹣B）的值．16．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=（）2，n∈N+，求{a n}的前n项和．17．（14分）已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．18．（14分）设f（x）=ax2+bx，1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（﹣2）的取值范围．19．（14分）已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．20．（14分）已知等比数列{a n}满足：a2=4公比q=2，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=b n﹣a n+（n∈N*）．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项a n和b n；（2）设c n=（n∈n*），证明：++…+＜．广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．解答：解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．2．（5分）不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）考点：绝对值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：首先题目求不等式||＞的解集，考虑到分析不等式||＞含义，即的绝对值大于其本身，故可以得到的值必为负数．解得即可得到答案．解答：解：分析不等式||＞，故的值必为负数．即，解得0＜x＜2．故选A．点评：此题主要考查绝对值不等式的化简问题，分析不等式||＞的含义是解题的关键，题目计算量小，属于基础题型．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y 过可行域内的点B时，从而得到m值即可．解答：解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z max=3．故选C．点评：本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=6，前7项和S7=84，则a6等于（）A．18 B．20 C．24 D．32考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由S7=84结合等差数列的性质求得a4=12，再由等差中项的概念列式求解a6的值．解答：解：在等差数列{a n}中，由S7=84，得：，即a4=12，又a2=6，∴a6=2a4﹣a2=2×12﹣6=18．故选：A．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，关键是由S7=84求得a4，是基础题．5．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．解答：解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B点评：本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．6．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．解答：解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．故选C点评：本题主要考查余弦定理的应用．注意与正弦定理的巧妙结合．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定考点：余弦定理；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b=，根据＞0判断出a＞b．解答：解：∵∠C=120°，c=a，∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2﹣b2=ab，a﹣b=，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b=，∴a＞b故选A点评：本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．8．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8考点：带绝对值的函数；函数最值的应用．专题：选作题；不等式．分析：分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．解答：解：＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3，∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．点评：本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题．每小题5分，满分30分9．（5分）命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是∀x∈R，e x≤x．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：本题要求出命题的否定，由于命题是一个特称命题，故其否定是不念旧恶全称命题，特称命题的否定的书写格式书写即可解答：解：∵p：“∃x∈R，e x＞x∴￢p：∀x∈R，e x≤x故答案为∀x∈R，e x≤x点评：本题考点是命题的否定，考查命题否定的定义及命题否定的书写格式，属于基本题，在书写命题的否定时要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的书写形式是全称命题，解答此类题时要正确书写．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．解答：解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11．（5分）若椭圆+=1过点（﹣2，），则其焦距为4．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数m，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的a，b，c之间的关系即可求出焦距2c．解答：解：由题意知，把点（﹣2，）代入椭圆的方程可求得b2=4，故椭圆的方程为，∴a=4，b=2，c==2，则其焦距为4．故答案为4，点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及椭圆方程中a、b、c之间的关系．12．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=4．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由于{a n} 为等比数列，由可求得q．解答：解：∵{a n} 为等比数列，S n为其前n项和，公比为q，又∴①﹣②得：3a3=a4﹣a3=a3（q﹣1），∵a3≠0，∴q﹣1=3，q=4．故答案为：4．点评：本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，着重考查公式的应用与解方程的能力，属于基础题．13．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是4．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：把式子变形=，使用基本不等式求出其最小值．解答：解：==≥2+2=4，当且仅当ab=1，a（a﹣b）=1即a=，b=时等号成立，故答案为4．点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．解答：解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）已知锐角△ABC的面积等于3，且AB=3，AC=4．（1）求sin（+A）的值；（2）求cos（A﹣B）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用三角形的面积公式列出关系式，将AB，AC的值代入求出sinA的值，根据A为锐角，求出cosA的值，原式利用诱导公式化简后将cosA的值代入计算即可求出值；（2）利用余弦定理列出关系式，将AB，AC，以及cosA的值代入求出BC的长，再由AC，BC，sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，确定出cosB的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵AB=3，AC=4，S△ABC=AB•AC•sinA=×3×4×sinA=3，∴sinA=，又△ABC是锐角三角形，∴cosA==，∴sin（+A）=cosA=；（2）∵AB=3，AC=4，cosA=，∴由余弦定理BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=9+16﹣12=13，即BC=，由正弦定理=得：sinB==，又B为锐角，∴cosB==，则cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．16．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=（）2，n∈N+，求{a n}的前n项和．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意分别求得a1与a2，即得公差，进而可求出数列的和．解答：解：∵S n=（）2≥0，∴等差数列{a n}是递增数列d＞0．∴a1=，即=0，∴a1=1，∴a1+a2=，即（a2+1）（a2﹣3）=0，∴a2=3，∴d=3﹣1=2．∴s n=n+=n2．点评：本题考查等差数列的性质及求和公式的运用，考查学生的计算能力．17．（14分）已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题；规律型．分析：根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q 为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．解答：解：∵若命题p：函数y=c x为减函数为真命题则0＜c＜1当x∈时，函数f（x）=x+≥2，（当且仅当x=1时取等）若命题q为真命题，则＜2，结合c＞0可得c＞∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；当p真q假时，0＜c≤当p假q真时，c≥1故c的范围为（0，1，+∞）点评：本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握．18．（14分）设f（x）=ax2+bx，1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（﹣2）的取值范围．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合；转化思想．分析：要求f（﹣2）的取值范围，解题的思路为：由f（x）关系式推出f（﹣2）与f（1）和f（﹣1）的关系，再利用f（1）和f（﹣1）的范围，即可得f（﹣2）的范围．解答：解：法一：设f（﹣2）=mf（﹣1）+nf（1）（m、n为待定系数），则4a﹣2b=m（a﹣b）+n（a+b）．即4a﹣2b=（m+n）a+（n﹣m）b．于是得，解得，∴f（﹣2）=3f（﹣1）+f（1）．又∵1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，∴5≤3f（﹣1）+f（1）≤10，故5≤f（﹣2）≤10．点评：由a＜f1（x1，y1）＜b，c＜f2（x1，y1）＜d，求g（x1，y1）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g（x1，y1）=pf1（x1，y1）+qf2（x1，y1），用恒等变形求得p，q，再利用不等式的性质求得g（x1，y1）取值范围．19．（14分）已知椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求△PF1F2的面积．解答：解：（1）依题意得|F1F2|=2，又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=4=2a，∴a=2，∵c=1，∴b2=3．∴所求椭圆的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）设P点坐标为（x，y），∵∠F2F1P=120°，∴PF1所在直线的方程为y=（x+1）•tan 120°，即y=﹣（x+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解方程组并注意到x＜0，y＞0，可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴S△PF1F2=|F1F2|•=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．20．（14分）已知等比数列{a n}满足：a2=4公比q=2，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=b n﹣a n+（n∈N*）．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项a n和b n；（2）设c n=（n∈n*），证明：++…+＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件得，所以S n=b n﹣（2n﹣1），由此能推导出数列{}是首项为b1+2=4，公比为4的等比数列，从而得到．（2）由，得，所以=，由此能证明．解答：（1）解：由a2=4，q=2得，，（2分）∵S n=b n﹣a n+（n∈N*），∴S n=b n﹣（2n﹣1），（n∈N*），则当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=，（4分）∴，（5分）∴，（7分）∵，∴b1=2，（8分）∴数列{}是首项为b1+2=4，公比为4的等比数列，（9分）∴=4n，∴．（10分）（2）证明：由，得，（11分）∵==，k=1，2，3，…，n．（13分）∴．（14分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．。
广东省深圳中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷
2015-2016学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C=，a=2，b=1，则c 等于（ ）A ．B ．C ．D ．1 2．下列结论不正确的是（ ）A ．若ab ＞bc ，则a ＞cB ．若a 3＞b 3，则a ＞bC ．若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bcD ．若＜，则a ＞b3．在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则此三角形必是 （ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．275．数列{a n }满足a n +1=，若a 1=，则a 2015=（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cosBsinAsinC=sin 2B ，则（ ）A ．a ，b ，c 成等差数列B ．，，成等比数列C ．a 2，b 2，c 2成等差数列D ．a 2，b 2，c 2成等比数列7．已知函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣1|，则不等式f （x ）＞1的解集为（ ）A ．（，2）B ．（，2）C ．（，3）D ．（，3）8．在平面直角坐标系中，定义到点P n +1（x n +1，y n +1）的一个变换为“γ变换”，已知P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…，P n （x n ，y n ），P n +1（x n +1，y n +1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n =|P n P n +1|，数列{a n }的前n项和为S n，那么S10的值为（）A．B．C．D．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．10．已知等比数列{a n}的公比，则的值为．11．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为．12．已知数列{a n}满足a1=3，a n=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．+113．已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是．14．以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．﹣1三、解答题（4大题，共44分）15．△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．16．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+2（n≥1，n∈N*），数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）若数列{c n}满足c n=，且{c n}的前n项和为K n，求证：K n＜3．18．设二次函数f（x）=（k﹣4）x2+kx（k∈R），对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；正项数列{a n}满足a n+1=f（a n）．数列{b n}，{c n}分别满足|b n+1﹣b n|=2，c n+12=4cn2．（1）若数列{b n}，{c n}为递增数列，且b1=1，c1=﹣1，求{b n}，{c n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若g（n）=（n≥1，n∈N*），求g（n）的最小值；（3）已知a1=，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3（）+log3（）+…+log3（）＞﹣1+（﹣1）n﹣12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．2015-2016学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（）A．B．C．D．1【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosC，a与b的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．【解答】解：∵C=，a=2，b=1，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3，又c为三角形的边长，则c=．故选B2．下列结论不正确的是（）A．若ab＞bc，则a＞c B．若a3＞b3，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则ac＜bc D．若＜，则a＞b【考点】不等式比较大小．【分析】A．C．D．利用不等式的基本性质即可判断出正误．B．利用数f（x）=x3在R上单调递增即可判断出正误．【解答】解：A．ab＞bc，b＜0，则a＜c，因此不成立．B．由函数f（x）=x3在R上单调递增，则a3＞b3⇔a＞b，正确．C．a＞b，c＜0，则ac＜bc，正确．D．∵＜，则a＜b，正确．故选：A．3．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知的等式中，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到sin（A﹣B）=0，由A和B都为三角形的内角，得到A﹣B 的范围，利用特殊角的三角函数值得到A﹣B=0，即A=B，从而得到三角形必是等腰三角形．【解答】解：由A+B+C=π，得到C=π﹣（A+B），∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），又sinC=2cosAsinB，∴sin（A+B）=2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，整理得sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，又A和B都为三角形的内角，∴﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，即A=B，则此三角形必是等腰三角形．故选A4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．27【考点】等差数列的性质．【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B．=，若a1=，则a2015=（）5．数列{a n}满足a n+1A．B．C．D．【考点】数列递推式．【分析】求出数列的前几项，推出数列是周期数列，然后化简求解即可．【解答】解：a1=，代入到递推式中得a2=，同理可得a3=，a4=，a5=；因此{a n}为一个周期为4的一个数列．∴a2015=a4×503+3=a3=．故选：B．6．已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）A．a，b，c成等差数列 B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinC=sin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案．【解答】解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B，根据正弦、余弦定理得，2••a•c=b2，化简可得，a2+c2﹣b2=b2，即a2+c2=2b2，所以a2、b2、c2成等差数列，故选：C．7．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（，2）B．（，2）C．（，3）D．（，3）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围，得到关于x的不等式，解出取并集即可．【解答】解：当x≥1时，f（x）＞1⇒（x+1）﹣2（x﹣1）=﹣x+3＞1，解得：x ＜2，∴1≤x ＜2①，当﹣1≤x ＜1时，f （x ）＞1⇒（x +1）﹣2（1﹣x ）＞1，解得：x ＞，∴＜x ＜1②，当x ＜﹣1时，f （x ）＞1⇒﹣（x +1）+2（x ﹣1）＞1，解得：x ＞4无解③综上，不等式的解集为（，2），故选：A ．8．在平面直角坐标系中，定义到点P n +1（x n +1，y n +1）的一个变换为“γ变换”，已知P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…，P n （x n ，y n ），P n +1（x n +1，y n +1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n =|P n P n +1|，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】由题设可求p 1（0，1），P 2（1，1），由已知，可寻求a n 与a n ﹣1的关系，来研究数列{a n }的性质．再结合得出的性质求和计算．【解答】解：由题设知p 1（0，1），P 2（1，1），a 1=|P 1P 2|=1，且当n ≥2时，a n 2=|P n P n +1|2=（x n +1﹣x n ）2﹣（y n +1﹣y n ）2=[（y n ﹣x n ）﹣x n ]2+[（y n +x n ）﹣y n ]2=5x n 2﹣4x n y n +y n 2a n ﹣12=|P n ﹣1P n |2=（x n ﹣x n ﹣1）2﹣（y n ﹣y n ﹣1）2①由得 有代入①计算化简得a n ﹣12=|P n ﹣1P n |2=+=（5x n 2﹣4x n y n +y n 2）=a n 2．∴=，（n≥2），∴数列{a n}是以为公比的等比数列，且首项a1=1，∴a n=n﹣1，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=，∴S10==故选C二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．【考点】正弦定理．【分析】首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．【解答】解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°在△ABC中有正弦定理有：故答案为：．10．已知等比数列{a n}的公比，则的值为﹣3．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的通项公式可得a n=a n﹣1q，故分母的值分别为分子的对应值乘以q，整体代入可得答案．【解答】解：由等比数列的定义可得：=====﹣3，故答案为：﹣311．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为560．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}与数列{b n}首项a1=b1=2，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{c n}，首项c1=2，公差为4与6的最小公倍数，d=12，由此能求出这个新数列的前10项之和．【解答】解：等差数列2，6，10，…，190的通项为a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2，等差数列2，8，10，14，…，200的通项为b n=2+（n﹣1）•6=6n﹣4，数列{a n}与数列{b n}首项a1=b1=2，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{c n}，首项c1=2，公差为4与6的最小公倍数，d=12，∴c n=2+（n﹣1）•12=12n﹣10，S n==，∴=560．故答案为：560．12．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=2n+1﹣1．【考点】等比关系的确定；数列的概念及简单表示法．【分析】将数列递推式两边同时加上1，化简后再作商可得数列{a n+1}是等比数列，代入通项公式化简，再求出a n．【解答】解：由题意知a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n﹣1=2n+1，∴a n=2n+1﹣1．13．已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是14．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将直线l：t=3x+4y﹣7对应的直线进行平移，观察截距的变化可得t的范围，由此可得|3x+4y﹣7|的最大值．【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（0，1），C（1，0）设t=F（x，y）=3x+4y﹣7，将直线l：t=3x+4y﹣7进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值；当l经过点B时，目标函数z达到最大值0，1）=﹣3，t最小值=F（﹣1，﹣1）=﹣14∴t最大值=F（∴|3x+4y﹣7|∈[3，14]，故Z=|3x+4y﹣7|的最大值是14．故答案为：14．14．以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．﹣1【考点】数列的应用；元素与集合关系的判断；进行简单的合情推理．【分析】由题意，可根据所给的规则进行归纳，探究出规律，再利用数列的有关知识化简即可得出结论【解答】解：由题意a1=a2==﹣（）=﹣a1，a3=﹣a2﹣a1，…a n=﹣a n﹣…﹣a2﹣a1，﹣1由上推理可得a1+a2+…+a n==由等差数列的求和公式得a1+a2+…+a n==故答案为三、解答题（4大题，共44分）15．△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理即可计算求值得解．（2）由余弦定理可求cosA，结合A的范围，由特殊角的三角函数值即可得解．（3）利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理所得==，可得：AC=AB×=3×=5．（2）由余弦定理所得cosA===﹣，又∵A∈（0，π），∴A=．=AB•AC•sinA==．（3）S△ABC16．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件求出池底面积，然后求解池壁面积S的表达式．（2）设水池总造价为y，推出y=（6x+）×120+1600×150，利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）由题意得水池底面积为：=1600（平方米）池壁面积S=2（3x+3）=6x+（平方米）（2）设水池总造价为y，所以y=（6x+）×120+1600×150≥2．当且仅当6x=，即x=40米时，总造价最低为297600元．17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，a n +1=S n +2（n ≥1，n ∈N *），数列{b n }满足b n =．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）若数列{c n }满足c n =，且{c n }的前n 项和为K n ，求证：K n ＜3．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得b n ==，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得所求和；（3）求得c n ==＜=2（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，注意从第四项放缩，化简整理即可得证．【解答】解：（1）∵a n +1=S n +2①∴a n =S n ﹣1+2②当n ≥2时①﹣②a n +1﹣a n =S n ﹣S n ﹣1=a n ，即a n +1=2a n ，数列{a n }为公比q=2的等比数列．当n=1时，a 2=a 1+2=4，a 2=2a 1=4也满足a n +1=2a n ．∴a n =a 1q n ﹣1=2n ；（2）b n ==，前n 项和T n =1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n ﹣1）•（）n ，③T n =1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n ﹣1）•（）n +1，④③﹣④： T n =+2[（）2+（）3+…+（）n ]﹣（2n ﹣1）•（）n +1=+2•﹣（2n ﹣1）•（）n +1，化简可得T n =3﹣（2n +3）•（）n ；（3）证明：由（2）可得c n ==＜=2（﹣），前n 项和为K n =+++…+＜2+++2（﹣+﹣+…+﹣）=2++﹣，∵＜，﹣＜∴K n ＜2++=3，即K n ＜3．18．设二次函数f （x ）=（k ﹣4）x 2+kx （k ∈R ），对任意实数x ，有f （x ）≤6x +2恒成立；正项数列{a n }满足a n +1=f （a n ）．数列{b n }，{c n }分别满足|b n +1﹣b n |=2，c n +12=4c n 2．（1）若数列{b n }，{c n }为递增数列，且b 1=1，c 1=﹣1，求{b n }，{c n }的通项公式；（2）在（1）的条件下，若g （n ）=（n ≥1，n ∈N *），求g （n ）的最小值；（3）已知a 1=，是否存在非零整数λ，使得对任意n ∈N *，都有log 3（）+log 3（）+…+log 3（）＞﹣1+（﹣1）n ﹣12λ+nlog 32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）由题意，数列{b n }，{c n }为递增数列，即可求出{b n }，{c n }的通项公式（2）由题意可得，k﹣4＜0，且判别式（k﹣6）2+8（k﹣4）≤0，解不等式可得k=2，可得f（x）的解析式，可得f（n）=﹣2n2+2n，代值计算即可求出g（n）的表达式，根据g（n）=为关于n的单调递增函数，即可求出最小值．（3）假设存在非零整数λ．运用构造数列，结合等比数列的定义和通项公式和求和公式，化简所求不等式，即为2n﹣1＞（﹣1）n﹣1λ恒成立，讨论n为奇数和偶数，即可得到所求．【解答】解：（1）数列{b n}为递增数列，则|b n+1﹣b n|=b n+1﹣b n=2，∴{b n}为公差d=2的等差数列b1=1．∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1（n∈N*）由c n+12=4cn2，∴=4又∵数列{c n}为递增数列，∴=2，∴数列{c n}公比q=2的等比数列，首先c1=﹣1，∴c n=（﹣1）•2n﹣1=﹣2n﹣1，（n∈N*）（2）对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立，即为（k﹣4）x2+（k﹣6）x﹣2≤0，k﹣4＜0，且判别式（k﹣6）2+8（k﹣4）≤0，即为k2﹣4k+4≤0，即（k﹣2）2≤0，解得k=2，即有f（x）=﹣2x2+2x，∴f（n）=﹣2n2+2n，∴g（n）====2•=∴g（n）=为关于n的单调递增函数，又∵n≥1．∴g（n）min=g（1）==﹣2（3）由（2）得f（x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+∵a n +1=f （a n ），又∵f （x ）≤，∴正项数列{a n }满足a n ∈（0，]令b n =﹣a n ，则b n +1=﹣a n +1=﹣（﹣2a n 2+2a n ）=2（﹣a n ）2，∴lgb n +1=lg2（﹣a n ）2=lg2+2lg （﹣a n ）=lg2+2lgb n ，∴lgb n +1+lg2=2（lg2+lgb n ），∵lg2+lgb 1=lg （﹣）+lg2=lg∴lg2+lgb n =（lg ）•2n ﹣1，∴lg2b n =lg （），∴b n =•（），∴log 3（）+log 3（）+…+log 3（）=log 32•+log 32•3+…+log 32•3=nlog 32+=nlog 32+2n ﹣1，要证2n +nlog 32﹣1＞﹣1+（﹣1）n ﹣1•2+nlog 32恒成立即证2n ＞（﹣1）n ﹣12λ恒成立∴2n ＞（﹣1）n ﹣12λ恒成立①当n 为奇数时，即λ＜2n ﹣1恒成立，当且仅当n=1时，2n ﹣1有最小值1为．∴λ＜1；②当n 为偶数时，即λ＞﹣2n ﹣1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值﹣2为．∴λ＞﹣2，所以，对任意n ∈N *，有﹣2＜λ＜1．又λ为非零整数，∴λ=﹣1．2017年3月23日。
广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷
广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列说法命题正确的是（）13．若()()1,0,1,0,2,2a b ==r r ，则14．圆224x y +=与圆22+4x y -方程为 .四、解答题15．在平面直角坐标系中，直线l 的方程为()140,a x y a a +-+=ÎR .(1)若1a =，求过点()1,0且与直线l 平行的直线方程；(2)若直线l 与圆22:(2)(2)8C x y -++=相切，求a 的值.16．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，1190,60,BAD DAA BAA M Ð=°Ð=Ð=°为11A C 与11B D 的交点.设1,,AB a AD b AA c===uuu r uuu r uuur r r r .则1A P PB +的最小值为212+对于B ，当1m =时，BP BC l =uuu r uuu r 11//C 面1A BC ,故P 到平面1A BC 对于C ，当1l =时，1BP BC =uuu r uuu10,,2BP m æö=-ç÷èøuuu r ，1A P BP ×uuur uuu 对于D ，当12m =时，BP uuu r 所以P点轨迹为线段MN．设明；（2）先分别求解出平面AEC 和平面ABC 的一个法向量，然后根据法向量夹角的余弦值确定出法向量的夹角，再结合图形求解出二面角的大小.【详解】（1）法一：PA ^平面ABCD 且AC Ì平面,ABCD PA AC \^，又因为AB AC ^且,,PA AB A PA AB Ç=Ì平面P AB ，AC \^平面PAB ，PB ÌQ 平面,PAB AC PB \^.法二：由题意可知,AB AC PA ^^平面ABCD ，以A 为坐标原点，以AC 方向为x 轴，AB 方向为y 轴，AP 方向为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，因为1P A AB AC ===，所以()()()()0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1A B C P ，所以()()1,0,0,0,1,1AC PB ==-uuu r uuu r，即()1010010AC PB ×=´+´+´-=uuu r uuu r，因此AC PB ^uuu r uuu r，故可知AC PB ^.（2）因为底面ABCD 为平行四边形，所以,AB CD AC CD =^，故()1,1,0D -，设平面1A BD的法向量为n=令1x=，则2,1y z==-，所以设直线1AC和平面1A BD所成的角为。
2015-2016年广东省深圳中学高二上学期数学期中试卷及参考答案
【解答】解：∵C=
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3， 又 c 为三角形的边长， 则 c= ．
故选：B．
2． （4 分）下列结论不正确的是（
）
A．若 ab＞bc，则 a＞c B．若 a3＞b3，则 a＞b C．若 a＞b，c＜0，则 ac＜bc D．若 ＜ ，则 a＞b
【解答】解：A．ab＞bc，b＜0，则 a＜c，因此不成立． B．由函数 f（x）=x3 在 R 上单调递增，则 a3＞b3⇔a＞b，正确． C．a＞b，c＜0，则 ac＜bc，正确． D．∵ ＜ ，则 a＜b，正确．
12． （4 分） 已知数列{an}满足 a1=3， an+1=2an+1， 则数列{an}的通项公式 an= 13． （4 分）已知实数 x，y 满足 ，则|3x+4y﹣7|的最大值是
．
14． （4 分）以（0，m）间的整数（m＞1） ，m∈N）为分子，以 m 为分母组成 分数集合 A1，其所有元素和为 a1；以（0，m2）间的整数（m＞1） ，m∈N）为 分子，以 m2 为分母组成不属于集合 A1 的分数集合 A2，其所有元素和为 a2；…， 依此类推以（0，mn）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以 mn 为分母组成不属 于 A1，A2，…，An﹣1 的分数集合 An，其所有元素和为 an；则 a1+a2+…+an= ．
故选：A．
3． （4 分）在△ABC 中，若 sinC=2cosAsinB，则此三角形必是 （ A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：由 A+B+C=π，得到 C=π﹣（A+B） ， ∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B） ，又 sinC=2cosAsinB， ∴sin（A+B）=2cosAsinB，
广东省深圳市高级中学2014—2015学年高二上学期期中考试数学(理)试卷
1.若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2. 抛物线的焦点为（）A.（0，2）B.（4，0）C.D. 3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( ) A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b 4．若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在的直线方程为 ( ) A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 5.命题p：不等式的解集为{x|0＜x＜1}，命题q：“A＝B”是“sinA＝sinB”成立的必要非充分条件，则 ( ) A．p真q假B．p且q为真 C．p或q为假 D．p假q真 6. 若向量a＝(1，λ，1)，b＝(2，－1,1)且a与b的夹角的余弦值为，则λ等于 ( ) A．2 B．－2 C．－2或 D．2或 7.若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（） A B C D 8．已知圆O：x2＋y2＝r2，点P(a，b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax＋by＋r2＝0，那么( ) A．l1∥l2，且l2与圆O相离 B．l1⊥l2，且l2与圆O相切 C．l1∥l2，且l2与圆O相交 D．l1⊥l2，且l2与圆O相离 第Ⅱ卷 (非选择题共110分) 二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 9.已知下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则AB”的逆否命题.其中真命题的是_________(填写对应序号即可). 14. 已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为____________. 三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 17.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆M上． (1)求圆M的方程； (2)若圆M与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值． 18.已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值. （1）试求动点P的轨迹方程C. （2）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程. 19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝. (1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； (2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值； 20．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，)，且长轴长与短轴长的比是：1. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值； (3)在(2)的条件下，求△PAB面积的最大值． 高级中学2014-2015学年第一学期期中考试 高二数学（理科）答题卷 一、选择题（每题5分，8题共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题（每题5分，6题共30分） 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题：(本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. （本小题满分12分） 16. （本小题满分12分） 17. （本小题满分14分） 18. （本小题满分14分） 19. （本小题满分14分） 20.（本小题满分14分） 高级中学2014-2015学年第一学期期中考试 高二数学（理科）答题卷 16 .（本小题满分12分） 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.又因为AB?平面PDE，所以AB∥平面PDE. 因为AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG， 所以AB∥FG………………………5分 (2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE. 如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，＝(1,1,0)…………7分 设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令z＝1，则y＝－1，所以n＝(0，－1,1)．……………………….9分 设直线BC与平面ABF所成角为α，则 sinα＝|cos〈n，〉|＝||＝…………………………………11分 因此直线BC与平面ABF所成角的大小为. ……………………..12分 17. （本小题满分14分） 解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2 ，0)，(3－2 ，0) 故可设M的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2 )2＋t2，解得t＝1.∴圆M的半径为＝3. ∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9…………………………………..6分 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组： 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0. 因此x1＋x2＝4－a，x1x2＝. ① 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，∴2x1x2＋a(x2＋x2)＋a2＝0. ② 由①②，得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1……………………………………14分 18. （本小题满分14分） （1）解：设点，则依题意有，…………………3分 整理得由于，所以求得的曲线C的方程为………………………………………6分 （Ⅱ）由 解得x1=0, x2=分别为M，N的横坐标）.………………………10分 由 ……………………………………………………………………12分 所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，，)． (1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，于是cos〈，〉＝＝＝. 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为. ………………………………………6分 (2)易知＝(0,2，0)，＝(－，－，)． 设平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，则即 不妨令x＝，可得m＝(，0，)． 同样的，设平面A1B1C1的法向量n＝(x，y，z)，则 即 不妨令y＝，可得n＝(0，，)．………………………………………10分 于是cos〈m，n〉＝＝＝， 从而sin〈m，n〉＝. 所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.………………………………………14分 20．（本小题满分14分） 解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)． 由题意，得 解得a2＝4，b2＝2. 所以椭圆C的方程为＋＝1. ………………………………………4分 (2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k.又由(1)知，P(1，)， 则直线PB的方程为y－＝k(x－1)． 由 得(2＋k2)x2＋2k(－k)x＋(－k)2－4＝0. ……6分 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 xB＝1·xB＝， 同理可得xA＝. 则xA－xB＝，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝. 所以kAB＝＝为定值．………………………………………9分 (3)由(2)，设直线AB的方程为y＝x＋m. 由得4x2＋2mx＋m2－4＝0. 由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得m2<8. 此时xA＋xB＝－，xA·xB＝. 点P到直线AB的距离d＝， |AB|＝ ＝ . ∴S△PAB＝d·|AB|＝·＝ 当且仅当m2＝8－m2即m2＝4时，Smax＝.…………………………………14分 。
2014年 深圳 高二上学期期中考试数学理科卷
高二期中考试数学理科试卷命题人：甘超（考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）A．138 B．135 C．95 D．232．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）A．B．C．D．3．先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是（）A．B．C．D．4．设,则下列不等式中恒成立的是( )A．B．C．D．5. 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为和，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（）．A．和必定平行B．与必定重合C．和有交点（s，t）D．与相交，但交点不一定是（s，t）6.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.7．某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。
为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为A.9B.18C.27D.368.(2009某某卷理)设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为( ).A. B. C. D. 4二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．9. 不等式的解集是．10在区间中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是______________。
11．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：序号（i）分组睡眠时间组中值（G i）频数（人数）频率（F i）1 [4，5） 4.5 6 0.122 [5，6） 5.5 10 0.203 [6，7） 6.5 20 0.404 [7，8）7.5 10 0.205 [8，9] 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为．12.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，12.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是; 13. 在等差数列｛a n｝中，a1＞0，a5=3a7，前n项和为S n，若S n取得最大值，则n =.14．若<0,已知下列不等式：①a+b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④>2,其中正确的不等式的序号为 .三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明以及演算步骤）15．（本小题满分12分）二次方程,有一个根比大,另一个根比小,求的取值X围16．（本小题满分12分）已知等比数列的前项和为，若成等差数列，试判断是否成等差数列，并证明你的结论。
【精选】深圳市高级中学高二下期中数学(理)试卷及答案
高级中学2014—2015学年第二学期期中测试高二理科数学命题人：程正科 审题人：黄元华本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．注意事项： 1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试室号、座位号，填写在答题卡上，用2B 铅笔涂写在答题卡相应位置上． 2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求做大的答案无效． 4、 考生必须保持答题卡得整洁．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+$$$的系数公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$，a y bx =-$$，其中x ，y 是数据的平均数．第Ⅰ卷（本卷共60分）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是 ( )A. 154B. 127C. 118D. 2272．设随机变量~(0,1)N ξ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<= ( ) A. 2pB. 1p -C. 12p -D. 12p -3．如图1所示的程序框图的功能是求则框图中的①、②两处应分写( )A ．5?i <，S S =B ．5?i ≤，S S =图2C ．5?i <，2S = D ．5?i ≤，2S =4．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为 ( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9 5．如图2，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( ) A.24π- B.22-π C.44π- D.42-π6.(82展开式中不含．．4x项的系数的和为( )A ．-1B ．1C ．0D ．27．学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出4颗发放给高一4个班，每班1颗，则不同的发放方法共 ( )A ．4种B ．20种C ．18种D ．10种8( )A ．14和0.14B ．0.14和14C ． 141和0.14D ． 31和141 9．“2012”含有数字0, 1, 2，且恰有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且恰有两个相同数字的四位数的个数为( )A ．18B ．24C ．27D ．3610.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为 ( )A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4 ˆ 1.1y x a =+，则a ＝ ( )A 、0.1B 、0.2C 、0.3D 、0.412.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若95)1(=≥ξp ，则)2(≥ηp 的值为 ( ) (A) 8132 (B) 2711 (C) 8165 (D) 8116第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 。
深圳市高级中学高二下期中数学(理)试卷及答案-精品
高级中学2014—2015学年第二学期期中测试高二理科数学命题人：程正科 审题人：黄元华本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．注意事项： 1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试室号、座位号，填写在答题卡上，用2B 铅笔涂写在答题卡相应位置上． 2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求做大的答案无效． 4、 考生必须保持答题卡得整洁．考试结束后，将答题卡交回．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+$$$的系数公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$，a y bx =-$$，其中x ，y 是数据的平均数．第Ⅰ卷（本卷共60分）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是 ( )A. 154B. 127C. 118D. 2272．设随机变量~(0,1)N ξ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<= ( ) A. 2pB. 1p -C. 12p -D. 12p -3．如图1所示的程序框图的功能是求应分写( )图2A ．5?i <，S S = B ．5?i ≤，S S =C ．5?i <，2S = D ．5?i ≤，2S =4．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为 ( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,95．如图2，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( ) A.24π- B.22-π C.44π- D.42-π6.(82展开式中不含．．4x 项的系数的和为 ( )A ．-1B ．1C ．0D ．27．学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出4颗发放给高一4个班，每班1颗，则不同的发放方法共 ( ) A ．4种 B ．20种 C ．18种 D ．10种8．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第三组的频数和频率分别是( )A ．14和0.14B ．0.14和14C ．141和0.14 D ． 31和141 9．“2012”含有数字0, 1, 2，且恰有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且恰有两个相同数字的四位数的个数为 ( )A ．18B ．24C ．27D ．3610.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为 ( )A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4 11.相关变量x 、y 的样本数据如下表：经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为ˆ 1.1y x a =+，则a ＝ ( )A 、0.1B 、0.2C 、0.3D 、0.4 12.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若95)1(=≥ξp ，则)2(≥ηp 的值为 ( ) (A) 8132 (B) 2711 (C) 8165 (D) 8116第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 。
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高级中学2014-2015学年第一学期期中测试高二数学（理科）命题人：聂玉芬 审题人：孙东波本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分，满分150分．考试用时l20分钟．第Ⅰ卷 (选择题共40分)一．选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件2. 抛物线216y x =的焦点为 （ ）A.（0，2）B.（4，0）C.)D.()3．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －b D ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b4．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在的直线方程为 ( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝05.命题p ：不等式(1)0x x -<的解集为{x |0＜x ＜1}，命题q ：“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”成立的必要非充分条件，则 ( ) A ．p 真q 假B ．p 且q 为真C ．p 或q 为假D ．p 假q 真6. 若向量a ＝(1，λ，1)，b ＝(2，－1,1)且a 与b 的夹角的余弦值为16，则λ等于 ( ) A ．2 B ．－2 C ．－2或265 D ．2或2657.若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ()0,0B ⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ()2,1 D ()2,28．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2，点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为l 1，直线l 2的方程为ax ＋by ＋r 2＝0，那么( )A ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相离B ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相切第Ⅱ卷 (非选择题共110分)二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9.已知下列四个命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则方程x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题.其中真命题的是_________(填写对应序号即可).10.命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_________________________.11.若直线y ＝x －m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是____________． 12. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ，∠EAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝AE ＝EF ＝1，平面ABFE ⊥平面ABCD .则点D 到平面BCF 的距离为_____________13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得213PF PF =，则双曲线的离心率e 的取值范围为 ______ ．14. 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为____________.三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．如图，正方形AMDE 的边长为2，B 、C 分别为AM 、MD 的中点．在五棱锥P －ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD 、PC 分别交于点G 、H . (1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．17.在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆M 上． (1)求圆M 的方程；(2)若圆M 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．18.已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-. （1）试求动点P 的轨迹方程C.（2）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程.19．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；20．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，2)，且长轴长与短轴长的比是2：1.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线P A，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△P AB面积的最大值．高级中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学（理科）答题卷一、选择题（每题5分，8题共40分）二、填空题（每题5分，6题共30分）9. 10.11. 12.13. 14.三、解答题：(本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)15. （本小题满分12分）16. （本小题满分12分）17. （本小题满分14分）D18. （本小题满分14分）19. （本小题满分14分）20.（本小题满分14分）高级中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学（理科）答题卷16 .（本小题满分12分）(1)在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG ………………………5分(2)因为P A ⊥底面ABCDE ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，BC →＝(1,1,0) (7)设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1，所以n ＝(0，－1,1)．……………………….9分 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝|n ·BC →|n ||BC →||＝12…………………………………11分因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. ……………………..12分17. （本小题满分14分）解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋2 2，0)，(3－2 2，0)故可设M 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(2 2)2＋t 2，解得t ＝1.∴圆M 的半径为32＋(t －1)2＝3. ∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9…………………………………..6分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，∴2x 1x 2＋a (x 2＋x 2)＋a 2＝0. ②由①②，得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1……………………………………14分 18. （本小题满分14分）（1）解：设点(,)P x y12=-，…………………3分整理得.1222=+y x 由于x ≠，所以求得的曲线C的方程为221(2x y x +=≠………………………………………6分 （Ⅱ）由.04)21(:.1,122222=++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去 解得x 1=0, x 2=212,(214x x kk+-分别为M ，N 的横坐标）.………………………10分 由,234|214|1||1||22212=++=-+=kk k x x k MN .1:±=k 解得 ……………………………………………………………………12分所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0.………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 意得A (22，如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．依题2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝23. 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. ………………………………………6分(2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m 、AA 1→＝0.即⎩⎨⎧－2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0.不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．同样的，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎨⎧－2x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)．………………………………………10分于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝27·7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357.所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.………………………………………14分20．（本小题满分14分）解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a :b ＝2:1，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1. ………………………………………4分(2)由题意知，两直线P A ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知，P (1，2)， 则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎨⎧ y－2＝k (x －)，y 24＋x 22＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. ……6分设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x B ＝1·x B ＝k 2－22k －22＋k 2， 同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k 2. 则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k 2. 所以k AB ＝y A －y B x A －x B＝2为定值．………………………………………9分 (3)由(2)，设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋m ，y 24＋x 22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得m 2<8.此时x A ＋x B ＝－2m 2，x A ·x B ＝m 2－44.点P 到直线AB 的距离d ＝|m |3， |AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝ －32m 2＋12.∴S △P AB ＝12d ·|AB |＝12|m |3·24－3m 22＝12 m 2(8－m)22 当且仅当m 2＝8－m 2即m 2＝4时，S max ＝ 2.…………………………………14分。