2020年天津市塘沽一中高考数学(文科)模拟测试试卷 解析版)

2020年高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题1．已知集合A＝{y|y＝2x+1，x∈R}，B＝{x|≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．[2，+∞）B．[1，2]C．（1，2]D．（﹣∞，1] 2．函数的大致图象为（）A．B．C．D．3．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“S1+S5＜2S3”是“d＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2+y2＝a2相切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足＝（+），||＝，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝15．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，设a＝ln，b＝，c＝（）﹣0.1，则（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（c）＜f（b）＜f（a）6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增7．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于（）A．4B．4.5C．4.75D．58．已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则•的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣，﹣]D．[﹣，﹣] 9．已知函数f（x）＝x3﹣3x2+2，函数g（x）＝，则关于x的方程g[f（x）]﹣a＝0（a＞0）的实根个数取得最大值时，实数a的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．[1，]D．[0，]二、填空题10．i是虚数单位，则＝．11．已知（﹣）9的展开式中，x3的系数为，则常数a的值为．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝﹣，点M在抛物线C上点A在准线l上，若MA⊥l，直线AF的倾斜角为，则|MF|＝．13．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个球的半径是，三棱柱的体积是．14．已知正实数x，y满足4x2+y2＝1+2xy，则当x＝时，的最小值是．15．定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x），且f（0）＝0，当x∈（0，e]时，f（x）＝lnx．已知方程在区间[﹣e，3e]上所有的实数根之和为3ea．将函数的图象向右平移a个单位长度，得到函数h（x）的图象，则a＝，h（8）＝．三、解答题（共5个大题，共75分，将每道大题的解题过程按规定顺序拍图片分别上传）16．已知函数f（x）＝（4cos2x﹣2）sin2x+cos4x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调区间，并求当x∈[0，]时，函数f（x）的最大值和最小值：（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝，f（）＝﹣1，且角A为钝角，求cos C的值．17．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝CD＝1，点M在线段EC上．（Ⅰ）若点M为EC的中点，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）当平面BDM与平面ABF所成二面角的余弦值为时，求AM的长．18．已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，且4S n＝a n•a n+1，数列{b n}中，b1＝，且b n+1＝，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝（n∈N*），求{c n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）＝（x2﹣a+1）e x．（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调的单调性；（3）已知x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，x1＜x2，且|x1+x2|≥|x1x2|﹣1，若g（x1）＝f（x1）+（x12﹣2）e，证明：g（x1）≤．20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（将每道小题的答案选项直接上传）1．已知集合A＝{y|y＝2x+1，x∈R}，B＝{x|≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．[2，+∞）B．[1，2]C．（1，2]D．（﹣∞，1]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{y|y＞1}，B＝{x|x≤﹣1或x＞2}，∴∁R B＝{x|﹣1＜x≤2}，A∩（∁R B）＝（1，2]．故选：C．2．函数的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的对应性以及，函数极限思想进行判断即可．解：因为f（﹣x）＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，排除A；因为f（0）＝﹣＜0，所以排除B；因为x→+∞，f（x）→0，所以排除D．故选：C．3．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“S1+S5＜2S3”是“d＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】化简条件：由S1+S5＜2S3，得a1+5a1+10d＜2（3a1+3d），即d＜0，即可判断出结论．解：化简条件：由S1+S5＜2S3，得a1+5a1+10d＜2（3a1+3d），即d＜0，所以“S1+S5＜2S3”是“d＜0”的充要条件．故选：C．4．设F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2+y2＝a2相切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足＝（+），||＝，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【分析】根据圆的半径得出a，根据中位线定理和勾股定理计算c，从而得出b，即可得出双曲线的方程．解：∵E为圆x2+y2＝a2上的点，∴OE＝a＝，∵＝（+），∴E是PF1的中点，又O是F1F2的中点，∴PF2＝2OE＝2a＝2，且PF2∥OE，又PF1﹣PF2＝2a＝2，∴PF1＝4a＝4，∵PF1是圆的切线，∴OE⊥PF1，∴PF2⊥PF1，又F1F2＝2c，∴4c2＝PF12+PF22＝60，∴c2＝15，∴b2＝c2﹣a2＝12．∴双曲线方程为：﹣＝1．故选：D．5．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，设a＝ln，b＝，c＝（）﹣0.1，则（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（c）＜f（b）＜f（a）【分析】根据f（x）的对称性和单调性进行判断．解：当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在[0，1]上是增函数，且当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1，∵f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称．∴f（a）＝f（﹣lnπ）＝﹣f（lnπ）＝﹣f（2﹣lnπ）＜0，f（b）＝f（）＝f（﹣）＝﹣f（）＜0，f（c）＝f（30.1）＝f（2﹣30.1）＞0，∵0＜＜2﹣lnπ＜1，∴0＜f（）＜f（2﹣lnπ）＜1∴﹣f（2﹣lnπ）＜﹣f（）＜0，即f（a）＜f（b）＜0，∴f（a）＜f（b）＜f（c）．故选：A．6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数是奇函数以及条件求出ω和φ的值，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），∵f（x）是奇函数，，∴φ+＝0，得φ＝﹣，则f（x）＝sinωx，由sinωx＝得sinωx＝1，∵直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T＝，0即＝，得ω＝4，即f（x）＝sin4x，由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递增区间为[﹣，]，k＝1时，递增区间为[，]由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递减区间为[，]，当k＝1时，函数的递减区间为[，]，故选：A．7．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于（）A．4B．4.5C．4.75D．5【分析】由题意ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．解：∵袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，∴ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴Eξ＝＝4.5．故选：B．8．已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则•的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，﹣]C．[﹣，﹣]D．[﹣，﹣]【分析】可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设M（x，0），，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围．解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，∴，∴＝，且，∴时，取最小值；时，取最大值，∴的取值范围是．故选：A．9．已知函数f（x）＝x3﹣3x2+2，函数g（x）＝，则关于x的方程g[f（x）]﹣a＝0（a＞0）的实根个数取得最大值时，实数a的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．[1，]D．[0，]【分析】利用换元法设t＝f（x），则g（t）＝a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：由g[f（x）]﹣a＝0（a＞0）得g[f（x）]＝a，（a＞0）设t＝f（x），则g（t）＝a，（a＞0）由y＝g（t）的图象知，①当0＜a＜1时，方程g（t）＝a有两个根﹣4＜t1＜﹣3，或﹣4＜t2＜﹣2，由t＝f（x）的图象知，当﹣4＜t1＜﹣3时，t＝f（x）有0个根，当﹣4＜t2＜﹣2时，t＝f（x）有0个根，此时方程g[f（x）]﹣a＝0（a＞0）有0个根，②当a＝1时，方程g（t）＝a有两个根t1＝﹣3，或t2＝，由t＝f（x）的图象知，当t1＝﹣3时，t＝f（x）有0个根，当t2＝时，t＝f（x）有3个根，此时方程g[f（x）]﹣a＝0（a＞0）有3个根，③当1＜a＜时，方程g（t）＝a有两个根0＜t1＜，或＜t2＜1，由t＝f（x）的图象知，当0＜t1＜时，t＝f（x）有3个根，当＜t2＜1时，t＝f（x）有3个根，此时方程g[f（x）]﹣a＝0（a＞0）有3+3＝6个根，④当a＝时，方程g（t）＝a有两个根t1＝0，或t2＝1，由t＝f（x）的图象知，当t1＝0时，t＝f（x）有3个根，当t2＝1时，t＝f（x）有3个根，此时方程g[f（x）]﹣a＝0（a＞0）有3+3＝6个根⑤当a＞时，方程g（t）＝a有1个根t1＞1，由t＝f（x）的图象知，当t1＞1时，t＝f（x）有3或2个或1个根，此时方程g[f（x）]﹣a＝0（a＞0）有3或2个或1个根，综上方程g[f（x）]﹣a＝0（a＞0）的实根最多有6个根，当方程的实根为6个时，对应的1＜a≤，即实数a的取值范围是（1，]故选：A．二、填空题（每小题5分，共30分，将前三道题的结果直接上传，后三道结果标清题号按顺序分别拍图片上传）10．i是虚数单位，则＝5．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可解：∵＝，＝4﹣3i，而|4﹣3i|＝5．故答案为：511．已知（﹣）9的展开式中，x3的系数为，则常数a的值为4．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0＝3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数，再由x3的系数为，求得a的值．解：（﹣）9的展开式中，通项公式为T r+1＝••（﹣1）r•a9﹣r•，令﹣9＝3，求得r＝8，故x3的系数为•a＝，∴a＝4，故答案为：4．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝﹣，点M在抛物线C上点A在准线l上，若MA⊥l，直线AF的倾斜角为，则|MF|＝10．【分析】画出图形，抛物线的性质和正三角形的性质计算出A，M的坐标，计算|MF|即可．解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝﹣，抛物线C：y2＝10x，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的倾斜角为，直线AF 的斜率k AF＝，准线与x轴的交点为N，则AN＝5tan＝5，A（﹣，﹣5），|MF|＝＝10．故答案为：10．13．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个球的半径是2，三棱柱的体积是48．【分析】由球的体积公式算出半径R＝2，结合题意得出正三棱柱的高h＝2R＝4．由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和底面正三角形边长的关系，算出出边长a＝4，进而可得该三棱柱的体积．解：设球半径为R，则由球的体积公式，得πR3＝，解之得R＝2．∵球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，∴正三棱柱的高h＝2R＝4．设正三棱柱的底面边长为a，可得其内切圆的半径为r＝×a＝2，解之得a＝4．从而得出该正三棱柱的体积为V＝S底•h＝×a×a sin60°×h＝•（4）2×4＝48故答案为：2，4814．已知正实数x，y满足4x2+y2＝1+2xy，则当x＝时，的最小值是6．【分析】利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号，而运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解．解：依题意，1+2xy＝4x2+y2≥4xy，即，当且仅当“”时取等号，∴＝，当且仅当“”时取等号，故答案为：，6．15．定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x），且f（0）＝0，当x∈（0，e]时，f（x）＝lnx．已知方程在区间[﹣e，3e]上所有的实数根之和为3ea．将函数的图象向右平移a个单位长度，得到函数h（x）的图象，则a＝2，h（8）＝4．【分析】根据条件求出函数是周期为2e的周期函数，作出函数的图象，求出两个图象的交点个数，利用对称性求出a的值，利用三角函数平移关系求出h（x）的解析式，进行求解即可．解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x），∴f（e+x）＝f（e﹣x）关于x＝e对称，且f（e+x）＝f（e﹣x）＝f（x﹣e），即f（2e+x）＝f（x），即函数f（x）是周期为2e的周期函数，作出函数f（x）在[﹣e，3e]的图象如图：同时作出y＝sin（x）的图象，由图象知，两个函数共有6个交点，他们彼此关于x＝e对称，则设对称的两个零点为x1，x2，则＝e，则x1+x2＝2e，则所有实根之和为6e＝3ea，则a＝2，将函数的图象向右平移a＝2个单位长度，得到h（x）＝3sin2[（x﹣2）]+1＝3sin2[x﹣）]+1＝3cos2x+1，则h（8）＝3cos2（×8）+1＝3cos2（2π）+1＝3+1＝4，故答案为：2，4三、解答题（共5个大题，共75分，将每道大题的解题过程按规定顺序拍图片分别上传）16．已知函数f（x）＝（4cos2x﹣2）sin2x+cos4x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调区间，并求当x∈[0，]时，函数f（x）的最大值和最小值：（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝，f（）＝﹣1，且角A为钝角，求cos C的值．【分析】（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数，通过三角函数的单调性来求解最值；（2）根据，代入cos C，通过两角差的余弦公式求值．解：f（x）＝（4cos2x﹣2）sin2x+cos4x＝2cos2x•sin x+cos4x＝sin4x+cos4x＝．（1）．∵，∴．；．答：．（2），∴．，由题意可得，角A是钝角，∴．cos C＝cos（π﹣A﹣B）＝＝．答：．17．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝CD＝1，点M在线段EC上．（Ⅰ）若点M为EC的中点，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）当平面BDM与平面ABF所成二面角的余弦值为时，求AM的长．【分析】（Ⅰ）如图建系D﹣xyz，求出平面ADEF的法向量，通过，，然后说明BM∥平面ADEF．（Ⅱ）求出平面BDE的法向量，平面BEC的法向量，通过．说明平面BDE⊥平面BEC．（Ⅲ）设，得M（0，2λ，1﹣λ），求出平面BDM的法向量，平面ABF的法向量利用向量的数量积求出M坐标，然后求解AM的长．【解答】（本题13分）（Ⅰ）证明：∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD为交线，∴ED⊥平面ABCD，由已知得DA，DE，DC两两垂直，如图建系D﹣xyz，可得D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，1），F（1，0，1）．…（1分）由M为EC的中点，知取得．………易知平面ADEF的法向量为.........∵∴ (4)分）∵BM⊄平面ADEF∴BM∥平面ADEF………（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，设平面BDE的法向量为，平面BEC的法向量为由得…由得…∵．∴平面BDE⊥平面BEC．…………（8 分）（Ⅲ）解：设，设M（x，y，z），计算得M（0，2λ，1﹣λ），………（9 分）则，设平面BDM的法向量为，由得………（10 分）易知平面ABF的法向量为，………（11 分）由已知得解得，此时……（12 分）∴，则，即AM的长为．…（13 分）18．已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，且4S n＝a n•a n+1，数列{b n}中，b1＝，且b n+1＝，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝（n∈N*），求{c n}的前n项和T n．【分析】（1）由a1＝2，且4S n＝a n•a n+1，可得4a1＝a1•a2，解得a2．当n≥2时，4a n ＝4（S n﹣S n﹣1），a n≠0，可得a n+1﹣a n﹣1＝4，可得数列{a n}的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为4，即可得出．（2）b1＝，且b n+1＝，n∈N*．两边取倒数可得：＝﹣，化为﹣＝，利用“裂项求和”可得b n+1，可得b n．c n＝，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解：（1）∵a1＝2，且4S n＝a n•a n+1，∴4a1＝a1•a2，解得a2＝4．当n≥2时，4a n＝4（S n﹣S n﹣1）＝a n•a n+1﹣a n﹣1a n，a n≠0，可得a n+1﹣a n﹣1＝4，∴数列{a n}的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为4，∴a n＝a2k﹣1＝2+4（k﹣1）＝4k﹣2＝2n，a2k＝4+4（k﹣1）＝4k＝2n，∴a n＝2n．（2）b1＝，且b n+1＝，n∈N*．两边取倒数可得：＝﹣，化为﹣＝，∴﹣＝++…++＝++…++4＝+3，∴b n+1＝，可得b n＝．当n＝1时也成立．∴c n＝＝＝，∴{c n}的前n项和T n＝+…+，＝+…++，∴＝+…+﹣＝﹣＝1﹣﹣＝1﹣，∴T n＝2﹣．19．已知函数f（x）＝（x2﹣a+1）e x．（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调的单调性；（3）已知x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，x1＜x2，且|x1+x2|≥|x1x2|﹣1，若g（x1）＝f（x1）+（x12﹣2）e，证明：g（x1）≤．【分析】（1）确定切点，求导函数，确定切线斜率，即可得到切线方程；（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）先确定0＜a≤4，再求得g（x1）＝（x12﹣2x1﹣2）e，利用导数确定g（x1）的单调性求得最大值，即可证得结论．解：（1）当a＝2时，f（x）＝（x2﹣1）e x．∴f′（x）＝e x（x2+2x﹣1），∴f′（1）＝2e，∵f（1）＝0，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2ex﹣2e；（2）∵f（x）＝（x2﹣a+1）e x，∴f′（x）＝e x（x2+2x+1﹣a）＝e x[（x+1）2﹣a]，当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，则当x∈（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1﹣，﹣1+）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上单调递增，在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递减；证明（3）由（2）可知当a＞0时，f（x）的有两个不同极值点，∵x1，x2为f（x）的两个不同极值点∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣a+1∵|x1+x2|≥|x1x2|﹣1，∴2≥|﹣a+1|﹣1，∴0＜a≤4．由（2）可得又由f′（x）＝（x2+2x﹣a+1）e x＝0，x1＜x2，解得x1＝﹣1﹣，∵0＜a≤4，所以x1＝﹣1﹣∈[﹣3，﹣1）g（x1）＝f（x1）+（x12﹣2）＝（2x12﹣a﹣1）e，又∵x1＝﹣1﹣，∴a＝x12+2x1+1，∴g（x1）＝（x12﹣2x1﹣2），∴g′（x1）＝（x12﹣4），令g′（x1）＝0得x1＝﹣2或2，在区间[﹣3，﹣1）上，g（x1），g′（x1）变化状态如下表：x1﹣3（﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，﹣1）g（x1）+0﹣g′（x1）增极大值减所以当x1＝﹣2时，g（x1）取得最大值，所以g（x1）≤．20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意知a＝2，b＝c，b2＝2，由此可知椭圆方程为．（2）设M（2，y0），P（x1，y1），，直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2＝4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件．解：（1）a＝2，b＝c，a2＝b2+c2，∴b2＝2；∴椭圆方程为（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2＝4，得∵x1＝﹣，∴，∴，∴∴（定值）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP则由，从而得m＝0∴存在Q（0，0）满足条件。