2018版高考复习方案(数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 I单元 统计(理科)含答案
【最新】高中数学-2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 E单元
E 单元 不等式E1 不等式的概念与性质2．E1 设a ，b ，c∈R ，且a>b ，则( ) A ．ac>bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 32．D ∵函数y ＝x 3在R 上是增函数，a>b ， ∴a 3>b 3.8．B7，E1 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>a D ．c>a>b8．D a －b ＝log 32－log 52＝1log 23－1log 25＝log 25－log 23log 23log 25>0a>b ，c ＝log 23>1，a<1，b<1，所以c>a>b ，答案为D.15．C6、E1和E3 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x∈R 恒成立，则α的取值范围为________．15.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sinα≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.10．E1、H6和H8 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2 33，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2 33，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2 33，＋∞10．A 设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率b a 必须满足33<ba ≤3，所以13<⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤3，43<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤4，即有23 3<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤2.又双曲线的离心率为e＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以23 3<e ≤2.E2 绝对值不等式的解法4．E2 不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1，1) B ．(－2，2)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－2，0)∪(0，2)4．D |x 2－2|<2等价于－2<x 2－2<2，即0<x 2<4，即0<|x|<2，解得－2<x<0或者0<x<2，故所求的不等式的解集是(－2，0)∪(0，2)．E3 一元二次不等式的解法20．E3，B12 设函数f(x)＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a>0，区间I ＝{x|f(x)>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k 时，求I 长度的最小值． 20．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a>0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a 1＋a 2，故f(x)>0的解集为{x|x 1<x<x 2}， 因此区间I ＝0，a 1＋a 2，区间长度为a1＋a2.(2)设d(a)＝a 1＋a 2，则d′(a)＝1－a2（1＋a 2）2，令d′(a)＝0，得a ＝1，由于0<k<1，故当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增； 当1<a≤1＋k 时，d′(a)<0，d(a)单调递减；因此当1－k≤a≤1＋k 时，d(a)的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而d （1－k ）d （1＋k ）＝ 1－k 1＋（1－k ）2 1＋k 1＋（1＋k ）2＝2－k 2－k32－k 2＋k3<1，故d(1－k)<d(1＋k)． 因此当a ＝1－k 时，d(a)在区间上取得最小值1－k2－2k ＋k 2.11．B1，E3 函数y ＝ln1＋1x＋1－x 2的定义域为________．11．(0，1] 实数x 满足1＋1x >0且1－x 2≥0.不等式1＋1x >0，即x ＋1x >0，解得x>0或x<－1；不等式1－x 2≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．15．C6、E1和E3 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x∈R 恒成立，则α的取值范围为________．15.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sinα≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.7．E3 关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.1527．A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，由(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a)2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52(负值舍去)，故选A.E4 简单的一元高次不等式的解法13．E4 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则x ＋y 的最大值为________．13．6 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图， 可知在点B(4，2)处x ＋y 取最大值为6.6．E4 下列选项中，使不等式x<1x <x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞) 6．A x －1x <0x 2－1x<0x<－1或0<x<1，x 2－1x>0x<0或x>1，求交集得x<－1，故选A.14．E4 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤3，－1≤x－y≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．14．3 点(x ，y)是平面内平行线x ＝1，x ＝3与平行线x －y ＝－1，x －y ＝0围成的平行四边形区域，区域的四个顶点坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分别代入得z ＝0，1，2，3，所以z ＝2x －y 的最大值为3.E5 简单的线性规划问题2．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．22．A 可行域如图：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得A(5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.8．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤8，2y －x≤4，x≥0，y≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．168．C 画出约束条件表示的可行域，如图，由于目标函数z ＝5y －x 的斜率为15，可知在点A(8，0)处，z 取得最小值b ＝－8，在点B(4，4)处，z 取得最大值a ＝16.故a －b ＝24.7．E5 若点(x ，y)位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．27．A 结合题目可以作出y ＝∣x∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A(－2，2)时，z 取最小值，为2×(－2)－2＝－6.14．E5 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．14. 2 可行域如图，当OM 垂直于直线x ＋y －2＝0时，|OM|最小，故|OM|＝|0＋0－2|1＋1＝ 2.图1－53．E5 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－33．B 画出可行域如图△ABC，易得A(3，－2)，B(3，4)，C(0，1)，作出直线y ＝23x ，平移易知直线过B 点时直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小．故选B.图1－17．E5 执行右面的程序框图1－2，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( ) A ．1＋12＋13＋14B ．1＋12＋13×2＋14×3×2C ．1＋12＋13＋14＋15D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2图1－27．B k ＝1，T ＝1，S ＝1；k ＝2，T ＝12，S ＝1＋12；k ＝3，T ＝12×3，S ＝1＋12＋12×3；k＝4，T ＝12×3×4，S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，k ＝5>4成立，输出S ，答案为B.9．E5 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 由y ＝x 2得y′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜率k ＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 作直线l 0：x ＋2y ＝0.当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2(－1)＝－2； 当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝12.故x ＋2y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12. 9．E5 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元9．C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧36A ＋60B≥900，A ＋B≤21，B －A≤7，其可行域如图中阴影部分，令z ＝1 600A ＋2 400BB ＝－23A ＋z2 400，过点M(5，12)时，z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.13．E5 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，－1≤x≤1，y≥1，则z ＝x ＋y 的最大值是________．13．5 根据图知，线性目标函数z ＝x ＋y 在点C 处取得最大值，易求点C(1，4)，故z max ＝5.6．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，x≥1，y≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和06．B 可行域如图所示，直线z ＝2x ＋y 过点A(1，0)时，z min ＝2，过点B(2，0)时，z max＝4，故选B.12．E5 设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，2x －y≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．12.2 55在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D 内的点到点(1，0)的距离最小值为点(1，0)到直线2x －y ＝0的距离，即d ＝|2－0|5＝2 55.12．E5 若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1，x ＋2y≤4，则x ＋y 的最大值为________．12．4 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，设z ＝x ＋y ，则z 的几何意义是直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距，结合图形，可知当直线y ＝－x ＋z 通过点A(4，0)时z 最大，此时z ＝4.15．E5 设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k＝________．15．2 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC 及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(2，3)，要使z 的最大值为12，只能经过B 点，此时12＝4k ＋4，k ＝2.E6 基本不等式7．E6 若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ． B ． C ．7．D 1＝2x＋2y≥2 2x ＋y2x ＋y≤2－2x ＋y≤－2，当且仅当x ＝y ＝－1时，等号成立，故选D.14．E6 在如图1－3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为______(m)．图1－314．20 利用所给的图形关系，由图形关系可知三角形相似，设矩形的另一边长为y ，则x 40＝40－y 40，所以y ＝40－x ，又有xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400，当且仅当x ＝y 时等号成立，则x＝40－x ，即x ＝20，故矩形面积最大时x 的值为20.13．E6 已知函数f(x)＝4x ＋ax (x>0，a>0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.3．36 由基本不等式性质，f(x)＝4x ＋a x (x>0，a>0)在4x ＝a x ，即x 2＝a 4时取得最小值，由于x ＞0，a ＞0，再根据已知可得a 4＝32，故a ＝36.E7 不等式的证明方法E8 不等式的综合应用12．E8 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98C ．2 D.9412．C 由题意得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2 x y ·4y x－3＝1， 当且仅当x y ＝4y x，即x ＝2y 时，等号成立， ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －()4y 2－6y 2＋4y 2＝－2(y －1)2＋2≤2. 20．H4，E8，B1 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q(m ，n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n 表示为m 的函数． 20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k 2)×12>0，得k 2>3.所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则 |OM|2＝(1＋k 2)x 21，|ON|2＝(1＋k 2)x 22.又|OQ|2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2， 所以m 2＝365k 2－3. 因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36. 由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m 2<3，即m∈(－3，0)∪(0，3)． 根据题意，点Q 在圆C 内，则n>0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805. 于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m∈(－3，0)∪(0，3))． 15．H1，C8，E8 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．E9 单元综合19．D5，E9 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.19．解：。
【最新】高中数学-2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 K单元
K 概率 K1 随事件的概率12．K1 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________． 12.25 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机选取两点，共有10种取法，该两点间的距离为22的有4种，所求事件的概率为 P ＝410＝25.K2 古典概型15．K2 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．15.15 6节课共有A 66＝720种排法，相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课排法有A 33A 34＝144种排法，所以相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课的概率为144720＝15.18．K2 如图1－6，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0，0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．图1－618．解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种；所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这个6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P ＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P ＝1220＝35.10．K2 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.4510．B 用列举法可得：从袋中任取两球有15种取法，其中一白一黑共有6种取法，由等可能事件的概率公式可得p ＝615＝25.15．I1、K2 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．15．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P (B )＝315＝15.18．K2、B10、I2 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．18．解：(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85. 当日需求量n <17时，利润y ＝10n －85. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝．故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.17．I2、K2 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图1－4所示，其中成绩分组区间是：．图1－4(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在 在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2， 所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }，{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． 故所求的概率P ＝29.6．K2 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．6.35 本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解．解题突破口为等比数列通项公式的运用．由通项公式a n ＝1×(－3)n －1得，满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39，共6个，从而所求概率为P ＝35.19．I4、K2 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：图1－6将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷 合计 男 女 合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，P (χ2≥k )0.05 0.01 k3.8416.63519．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×30×10－45×15275×25×45×55＝10033≈3.030. 因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5个，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}．其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.18．K2 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．18．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ，E .从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )．共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F 为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为： (A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这此基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.19．I2、K2 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：图1－8(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 19．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529. K3 几何概型11．K3 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.4511．C 本小题主要考查几何概型．解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比．令AC ＝x ，CB ＝12－x ，这时的面积为S ＝x (12－x )，根据条件S ＝x (12－x )>20⇒x 2－12x ＋20<0⇒2<x <10，矩形面积大于20 cm 2的概率P ＝10－212＝23，故而答案为C.10．K3 如图1－3，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )图1－3A.12－1πB.1π C ．1－2π D.2π10．C 如下图所示，不妨设扇形的半径为2a ，记两块白色区域的面积分别为S 1，S 2，两块阴影部分的面积分别为S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝S 扇形OAB ＝14π(2a )2＝πa 2①，而S 1＋S 3与S 2＋S 3的和恰好为一个半径为a 的圆的面积，即S 1＋S 3＋S 2＋S 3＝πa 2②. 由①－②得S 3＝S 4；又由图可知S 3＝S 扇形EOD ＋S 扇形COD －S 正方形OEDC ＝12πa 2－a 2，所以S 阴影＝πa 2－2a 2.故由几何概型概率公式可得，所求概率P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝πa 2－2a 2πa 2＝1－2π.故选C. 3．E5、K3 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22 C.π6 D.4－π43．D 本题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识． 如图所示，P ＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π4.K4 互斥事件有一个发生的概率17．K4 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 17．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.18．K4、K5 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．18．解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123 ＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1 B 1 A 2 B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3)＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)·P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427. K5 相互对立事件同时发生的概率20．K5 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16， P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P (B 2)＝0.42＝0.16，P (A 2)＝0.62＝0.36.C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2)＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.307 2.18．K4、K5 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．18．解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123 ＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1 B 1 A 2 B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3)＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)·P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427. K6 离散型随机变量及其分布列22．K6 设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．22．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， 故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是因此E (x )K7 条件概率与事件的独立性 K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布17．K8、I1、I2 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．注：s 2＝1n，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200， 所以s 2＝13＝80 000.K9 单元综合17．K9 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率． 17．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110·p ＝4950. 解得p ＝15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ，那么P (D )＝C 23110·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103＝9721000＝243250. 答：系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.。
【最新】高中数学-2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 N单元
数 学N 单元 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲21．A.N1 选修41：几何证明选讲如图17，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD .图1721．A.证明：在△ADB 和△ABC 中， 因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角， 所以△ADB ∽△ABC ，于是∠ABD ＝∠C . 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点， 所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ， 所以∠EDC ＝∠ABD .22．N1 选修41：几何证明选讲如图16所示，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆．(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .图1622．证明：(1)设E 是AB 的中点，连接OE . 因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°， 所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O相切．(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D 四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.22．N1选修41：几何证明选讲如图16，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.图1622．解：(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠PCD＋∠EFD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.22．N1选修41：几何证明选讲如图15，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．图1522．解：(1)证明：因为DF ⊥EC ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DG CB， 所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF ，因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆． (2)由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB .由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.N2 选修4-2 矩阵21．B ．N2 选修42：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .21．B ．解：设B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则B －1B ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12.因此，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1.N3 选修4-4 参数与参数方程16．N3 下列极坐标方程中，对应的曲线为图13的是()图13A ．ρ＝6＋5cos θB ．ρ＝6＋5sin θC ．ρ＝6－5cos θD ．ρ＝6－5sin θ16．D 依次取θ＝0，π2，π，3π2，结合图形可知只有ρ＝6－5sin θ满足题意．11．N3 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________．11．2 将极坐标方程转化为直角坐标方程进行运算．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0，因为ρ＝2cos θ，ρ2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2ρcosθ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1，0)在直线上，因此AB 为圆的直径，所以|AB |＝2.21．C ．N3 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB的长．21．C ．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得1＋12t 2＋32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.23．N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .23．解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知得tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上， 所以a ＝1.23．N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 23．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(α＋π3)－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).23．N3 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．23．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入圆C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，则tan α＝±153，所以l 的斜率为153或－153.N4 选修4-5 不等式选讲 21．D ．N4 选修45：不等式选讲设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .21．D ．证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a .24．N4 选修45：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图17中画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图1724．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32， 则y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由f (x )的表达式及图像得，当f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5}.24．N4 选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是 选修45：不等式选讲已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0，因此|a ＋b |＜|1＋ab |.N5 选修4-7 优选法与试验设计。
【最新】高中数学-2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 E单元
数 学E 单元 不等式E1 不等式的概念与性质12．A2、E1 “对任意x ∈0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．E1，M2 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz6．B (ax ＋by ＋cz )－(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(a －c )(x －z )>0.故选项A 中的不是最低费用；(ay ＋bz ＋cx )－(az ＋by ＋cx )＝a (y －z )＋b (z －y )＝(a －b )(y －z )>0，故选项C 中的不是最低费用；(ay ＋bx ＋cz )－(az ＋by ＋cx )＝a (y －z )＋b (x －y )＋c (z －x )＝a (y －z )＋b (x －y )＋c (z －y ＋y －x )＝(a －c )(y －z )＋(b －c )(x －y )>0，选项D 中的不是最低费用．综上所述，选项B 中的为最低费用．E2 绝对值不等式的解法21．E2，B3，B12 设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．4．A2、E2 设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．A 由|x －2|<1，解得1<x <3.若1<x <2，则1<x <3，反之不成立，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”成立的充分不必要条件．E3 一元二次不等式的解法7．E3 不等式2x 2－x <4的解集为________．7．{x |－1<x <2}(或(－1，2)) 因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．15．K3、E3 在区间上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．15.23 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4（3p －2）≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或2≤p ≤5，所以所求概率P ＝1－23＋（5－2）5＝23.19．E3、B11、B12 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调性． 19．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x . 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′－43＝0，即3a ·169＋2×－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝32x 2＋2x e x＋12x 3＋x 2e x ＝12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数；当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数．11．E3 不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)11．(－4，1) 由－x 2－3x ＋4>0得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4，1)．E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题15．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．15．4 作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点A (1，1)时，目标函数z 取得最大值，故z max ＝3×1＋1＝4.5．E5 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．15．A 二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 内部及其边界，当直线y ＝2x ＋z 过A 点时z 最大，又A (1，1)，因此z 的最大值为－1，选A.4．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．2B ．5C ．8D ．104．B 作出约束条件表示的可行域如图所示，易知目标函数在点A 处取得最大值，A 点坐标为(4，－1)，此时z max ＝2×4＋3×(－1)＝5.12．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．12．10 作出约束条件表示的可行域如图所示，易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3，1)，(1，3)，(－1，－3)．将三个顶点的坐标依次代入3x ＋y ，求得的值分别为10，6，－6，比较可得3x ＋y 的最大值为10.15．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．15．4 作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点A (1，1)时，目标函数z 取得最大值，故z max ＝3×1＋1＝4.14．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．14．8 根据约束条件作出可行域如图所示，平移目标函数线，当它经过点A (3，2)时，目标函数取得最大值，z max ＝2×3＋2＝8.13．E5 如图13，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．图1313．7 根据题意，z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋13z ，直线AC 的斜率为k ＝2－10－2＝－12>－23，利用求目标函数最值的方法，当y ＝－23x ＋13z 过点A (2，1)时z 取得最大值z max ＝2×2＋3×1＝7.10．E5 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 10．C 由约束条件可知，①若m ∈ 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．A 画出可行域如图中阴影部分所示，平移直线2x －y ＝0，可知在直线x ＋y ＝1与y －x ＝1的交点A (0，1)处z 取最小值，z min ＝0－1＝－1，选A.12．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．12．7 作出可行域如图所示，当直线x ＋3y －z ＝0过可行域内的点A 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，故z max ＝1＋3×2＝7.11．E5 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元11．D 设该企业每天生产甲种产品x 吨、乙种产品y 吨，则x ，y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，可获利润z ＝3x ＋4y .约束条件表示的平面区域是以(0，0)，(4，0)，(2，3)，(0，4)为顶点的四边形及其内部，把各顶点坐标代入检验可知，目标函数在点(2，3)处取得最大值3×2＋4×3＝18，即该企业每天可获得最大利润为18万元．2．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．142．C 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，3)处取得最大值，且z max ＝9.14．H4，E5 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．14．15 方法一：当x ，y 满足x 2＋y 2≤1时，2x ＋y －4<0，6－x －3y >0，设z ＝|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |，则z ＝－2x －y ＋4＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10，即3x ＋4y ＋z －10＝0.由题意可知，|z －10|5≤1，即|z －10|≤5，所以5≤z ≤15，故所求最大值为15.方法二：坐标原点到直线2x ＋y －4＝0和6－x －3y ＝0的距离分别是45，610，均大于1，在x ，y 满足x 2＋y 2≤1的条件下，2x ＋y －4≤0，6－x －3y ≥0恒成立．故在x 2＋y 2≤1下，|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－(2x ＋y －4)＋(6－x －3y )＝－3x －4y ＋10，令m ＝－3x －4y ，则y ＝－34x －m 4，m 的几何意义是直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距的－4倍，若m 最大，则需要直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距最小．故只有当直线m ＝－3x －4y 与单位圆x 2＋y 2＝1相切于第三象限时，m 取得最大值．此时可求得切点坐标为－35，－45，故m max ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－3x －4y ＋10的最大值为15.10．E5 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3 10．B 作出不等式组满足的平面区域，如图中阴影部分所示．由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则有m >－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B 23－43m ，23＋23m .因为S △ABC＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－23＋2m 3＝13(m ＋1)2＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．故选B.E6 2a b+≤5．E6 若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．C 依题意有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·1a ＋1b ＝1＋a b ＋ba＋1≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．7．E6 若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．47．C 方法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，当且仅当b＝2a ＝254时，等号成立，所以ab ≥2 2.方法二：ab ＝1a ＋2b≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当b ＝2a ＝254时，等号成立，选C. 10．B7、E6 设f (x )＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f a ＋b2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．q ＝r >pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q10．C r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln(ab )＝ln ab ＝p .因为b >a >0，所以a ＋b2>ab ，又函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以q >p ＝r ，故选C.9．E5，E6 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252 B.492C ．12D ．16 9．A 画出可行域如图所示．可知当曲线z ＝xy 与线段AC 相切时xy 取得最大值．此时2x ＋y ＝10，故xy ＝12·2x ·y ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时取等号，对应点落在线段AC 上，故xy 的最大值为252，选A.14．E6 设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 14．32 (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2×（a ＋1）2＋（b ＋3）22＝9＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3≤3 2.E7 不等式的证明方法E8 不等式的综合应用 14．E8 定义运算“”：xy ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，xy ＋(2y )x 的最小值为________．14. 2 由题意得xy ＋(2y )x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝2y 2＋x 22xy ＝y x ＋x 2y ≥2y x ·x2y＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立 .E9 单元综合4． 设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．A 因为a ＋1a －b ＋1b ＝（a －b ）（ab －1）ab ，a >b >1，所以a ＋1a －b ＋1b＝（a －b ）（ab －1）ab >0，则充分性成立．当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．故选A.6． 设对任意实数x ∈，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >12C ．a >14D ．a >0或a <－12 6．B 设f (x )＝x 2＋ax －3a .∵对任意实数x ∈，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－a －3a <0，f （1）＝1＋a －3a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a <0，1－2a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >14，a >12，故a >12. 3． 若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( ) A ．16 B ．25C ．36D ．493．A 因为a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，则4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1）（b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1＝4b ＋16a －20. 又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )1a ＋1b ＝20＋4b a ＋4a b ≥20＋4×2×b a ·4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号，所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 6． 若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，且最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( ) A.256 B.94C ．1D ．4 6．B 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y －6＝0的交点(8，10)时，z 取得最大值40，即8a ＋10b ＝40，即4a ＋5b ＝20，所以5a ＋1b ＝5a ＋1b ×4a ＋5b 20＝54＋5b 4a ＋a 5b≥54＋1＝94，当且仅当a ＝103，b ＝43时取等号．。
2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编_i单元_统计(理科2013年)_word版有
I单元统计11 随机抽样3.11为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大•在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.简单随机抽样B .按性别分层抽样C.按学段分层抽样D .系统抽样3. C 因为总体中所要调查的因素受学段影响较大，而受性别影响不大，故按学段分层抽样.2.11某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A.抽签法B .随机数法C.系统抽样法D .分层抽样法2. D 根据抽样方法的特点可知，应选用分层抽样法.4.11总体由编号为01, 02,…，19, 20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个4. D 选出来的5个个体编号依次为：08, 02, 14, 07, 01.故选D.16 . I1 , K1, K2, K6下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.图1 — 6(1) 求此人到达当日空气重度污染的概率； (2) 设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；(3) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16.解：设A 表示事件"此人于 3月i 日到达该市” (i = 1, 2,…，13). 根据题意， P(A)=右，且人门A = (i 丰j).(1) 设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 B = AU A所以 P(B) = P(A s U A s ) = P(A s ) + P(A s ) = 2_. 13(2) 由题意可知，X 的所有可能取值为 0, 1, 2，且P(X = 1) = P(A 3U A 6U A 7U A 11)4=P(A 3) + P(A 6) + P(A 7)+ P(A 11) = 13， P(X = 2) = P(A 1U A 2U A 12U A 3)4=P(A 1) + P(A 2) + P(A 12) + P(A 13) = 13， 5P(X = 0) = 1 — P(X = 1) — P(X = 2) = 13. 所以X 的分布列为(3) 从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.X 的期望 E(X) = O X 伯+ 1X 伯 + 2X 13 = 13.4.11某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取 随机编号，则抽取的 42人中，编号落入区间的人数为( )A . 11B . 12C . 13D . 14体在区间的数目为 (720 — 480) - 20= 12.I2 用样本估计总体4. I2某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 6组：加以统计，得到如图1 — 1所示的频率分布直方图•已知高一年级共有学生 600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()图1 — 1A . 588B . 480C . 450D . 1204 . B 成绩在 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50至350度之间，频率分布直方图如图1 — 3所示.(1) 直方图中x 的值为 __________ ； (2) 在这些用户中，用电量落在区间 (1)(0.001 2+ 0.002 4 X 2+ 0.003 6 + x + 0.006 0) X 50= 1 x=0.004 4.(2) X 100= 70.5 . I2某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： .若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是()42人做问卷调查，将 840人按1，2，…，8404. B由系统抽样定义可知，所分组距为8404220,每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个图1 — 1A. 45 B . 50 C . 55 D . 605. B 由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频率为0.3，而低于60分的人数为15,所以该班的学生人数为03= 50.19. B1, I2 , K6经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1—4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t , 100< X W 150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1) 将T表示为X的函数；(2) 根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3) 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X€时，T= 500 X 130= 65 000.800X—39 000 , 100 < X<130,所以T=65 000 , 130W X< 150.(2) 由(1)知利润T不少于57 000元，当且仅当120W X W 150.由直方图知需求量乂€的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3) 依题意可得T的分布列为所以E(T) = 45 000 X 0.1 + 53 000 0.2 + 61 000 0.3 + 65 000 0.4 = 59 400.4. I2以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).图1 — 1已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8，则x , y 的值分别为()A . 2, 5B . 5, 5C . 5, 8D . 8, 9+15+( 10+ y )+ 18+ 24= 16.8，解得13 正态分布20. 13 , E5假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800 , 502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P o .(1) 求 P o 的值；(参考数据：若 X 〜N(u,b )，有 P(卩—b <X Wy+b ) = 0.682 6 , P(卩―2^ + 2 c ) = 0.954 4 , P(卩一3 c <XJ + 3 c ) = 0.997 4)(2) 某客运公司用 A , B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， A , B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600元/辆和2 400元/辆•公司拟组建一个不超过 21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆•若每天要以不小于P 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？20.解：(1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,50)，故有 卩=800, c= 50, P(700<X W 900) = 0.954 4. 由正态分布的对称性，可得P 0= p (x w 900) = P (x w 800) + P(800<x w 900) 1 1=2 + 2P(700<X W 900) = 0.977 2.4 . C 因为甲组数据的中位数为15，由茎叶图可得 x = 5.因乙组数据的平均数为 16.8，贝Uy = 8,故选C.⑵ 设A 型、B 型车辆的数量分别为 x , y 辆，则相应的营运成本为1 600x +2 400y ，依题意，x , y 还需满足:x + y w 21, y <x + 7, P(X W 36x + 60y) >P o .由(1)知，P o = P(X < 900)，故 P(X < 36x + 60y) >P o 等价于36x + 60y >900,于是问题等价于求满足约束 x + y < 21, x , y>0, x , y € N 且使目标函数z = 1 600x + 2 400y 达到最小的x , y 值. 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5 , 12) , Q(7, 14) , R(15 , 6).最小，即z 取得最小值，故应配备 A 型车5辆，B 型车12辆.I4 变量的相关性与统计案例15 单元综合条件y < x + 7,36x + 60y > 900, 由图可知，当直线z = 1 600x + 2 400y 经过可行域的点P 时，直线z = 1 600x + 2 400y 在y 轴上截距z2 400。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
I单元统计
I1随机抽样
3．I1为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
3．C 因为总体中所要调查的因素受学段影响较大，而受性别影响不大，故按学段分层抽样．
2．I1某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
2．D 根据抽样方法的特点可知，应选用分层抽样法．
4．I1总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
A.08 B．07
C.02 D．01
4．D 选出来的5个个体编号依次为：08，02，14，07，01.故选D.
16．I1，K1，K2，K6下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．。