江苏省南京市高三数学二轮复习 专题3 不等式问题导学案
高三数学第二轮复习专题3不等式
高三数学第二轮复习专题3不等式专题3 不等式江苏省震泽中学 王利平一、填空题例1 已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,1,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2,2a ,其中a ∈R.定义A ×B ={x |x =x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B },若集合A ×B 中的最大元素为2a +1,则a 的取值范围是________. 解析 A ×B ={a 2,2a ,a 2+1,2a +1}.由题意,得2a +1>a 2+1,解得0<a <2. 答案 (0,2)例2 .设123log2,ln 2,5a b c -===则c b a ,,三者的大小关系解析 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log3log 1e >>,所以a<b, c=125-=5,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.答案c a b <<例3 .对于问题:“已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为(-1,2),解关于x 的不等式ax 2-bx +c >0”.给出如下一种解法:解 由ax 2+bx +c >0的解集为(-1,2),得a (-x )2+b (-x )+c >0的解集为(-2,1), 即关于x 的不等式ax 2-bx +c >0的解集为(-2,1).参考上述解法,若关于x 的不等式kx +a+x +b x +c <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-1,-13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12,1,则关于x 的不等式kxax +1+bx +1cx +1<0的解集为________.解析 不等式kx ax +1+bx +1cx +1<0可化为k1x+a +1x +b 1x +c<0,所以有1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-1,-13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12,1, 即x ∈(-3,-1)∪(1,2),从而不等式kx ax +1+bx +1cx +1<0的解集为(-3,-1)∪(1,2). 答案 (-3,-1)∪(1,2) 例4 .设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于解析 由题意知,所求的||AB 的最小值,即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,可看出点(1,1)到直线3490x y --=的距离最小,故||AB 的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=。
高中数学《不等式的基本性质》导学案
1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据;2.理解并掌握不等式的性质;3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小;【重点、难点】教学重点:不等式的性质;教学难点:不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中,我们学习了不等式的基本性质,这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据;2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的?3.这些性质及原理是如何应用的?应用时应注意什么?【导入新课】1.不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
2. 实数的运算性质与大小顺序的关系: 数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数,可知: 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。
3. 不等式的基本性质:10. 对称性:b a >⇔ ;20. 传递性:⇒>>c b b a , ; 30. 同加性:⇒>b a ;推论:加法法则:⇒>>d c b a , ; 40. 同乘性:⇒>>0,c b a ,⇒<>0,c b a ; 推论1:乘法法则:⇒>>>>0,0d c b a ; 推论2:乘方性:⇒∈>>+N n b a ,0 ; 推论3:开方性:⇒∈>>+N n b a ,0 ;推论4:可倒性:⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法: 与 .三 、典例分析【例1】 判断下列各题的对错(1)c a <c b且c >0⇒a >b ( ). (2)a >b 且c >d ⇒ac >bd ( ).(3)a >b >0且c >d >0⇒a d >b c(4)a c 2>b c2⇒a >b ( ). 【例2】 比较下列各组中两个代数式的大小:(1)x 2+3与3x ;(2)已知a ,b 为正数,且a ≠b ,比较a 3+b 3与a 2b +ab 2的大小.分析:我们知道,a -b >0a >b ,a -b <0a <b ,因此,若要比较两式的大小,只需作差并与0作比较即可.【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。
高三数学高考专题复习系列导学案不等式-绝对值不等式的应用
第5课时 绝对值不等式的应用1、有关绝对值不等式的主要性质:① | x |= ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(x x x x x ② | x |≥0③ | |a|-|b||≤|a±b|≤| a |+| b |④| ab |= ,ba = (b≠0) 特别:ab≥0,|a +b|= ,|a -b|= .ab≤0,|a -b|= ,|a +b|= .2、最简绝对值不等式的解法.① | f(x) |≥a ⇔ ;② | f(x) |≤a ⇔ ;③ a≤| f(x) |≤b ⇔ .④ 对于类似a | f(x) |+b| g(x) | > c 的不等式,则应找出绝对值的零点,以此划分区间进行讨论求解.例1. 解不等式:| x 2-3x -4|> x +1解 :{x |x<-1或-1<x <3或x >5}变式训练1:若不等式|x -4|-|x -3|≤a 对一切实数x 都成立,则实 数a 的取值范围是( )A .a >1B .a <1C .a≤1D .a≥1解 :D例2. 设f(x)=x 2-x +b ,| x -a |<1,求证:| f(x) -f(a) |<2(| a |+1).解:∵|x -a |<1∴|f(x)-f(a)|=|(x 2-x +b)-(a 2-a +b)|=|x -a |⋅|x +a -1|<|x +a -1|=|(x -a)+2a -1|≤|x -a |+|2a |+1=2(| a |+1)变式训练2:若a 、b ∈R ,α, β是方程x 2+a x +b =0的两根,且|a|+| b |<1,求证:| α |<1且| β |<1.解 :由韦达定理和绝对值不等式的性质可证得例3. 已知f(x)=x ,g(x)=x +a(a>0),⑴ 当a =4时,求)()()(x f x g a x f -的最小值;⑵ 若不等式)()()(x f x g a x f ->1对x ∈[1, 4]恒成立,求a 的取值范围. 解 : (1)a =4时,最小值15; (2)1)()()(>-x f x ag x f ,x ∈[1,4]恒成立. 等价变形后,只要a(t +t a)>2,t ∈[1,2]恒成立(t =x )设h(t)=a(t +t a),h'=(t) a(1-2t a ) 当0<t <a 时,h'(t)<0,h(t)单调递减; 当t >a 时,h'(t)>0,h(t)单调递增; 当t =a 时,h'(t)=0,h(a )为极小值;这样对于t ∈[1,2]有① a >2时,h(t)min =h(2)=a(2+2a )>2 a >4② 1≤a ≤2时,h(t)min =h a =2a a >2∴ 1<a ≤4③ 0<a <1时,h(t)min =h(1)=a(a +1) ∴无解综上知:a >1变式训练3:已知适合不等式| x 2-4x +p|+| x -3 |≤5的x 的最大值是3,求p 的值. 解 :P =8例4. 设a 、b ∈R ,已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c ,g(x)=cx 2+bx +a ,当|x |≤1时,|f(x)|≤2⑴ 求证:|g(1)|≤2;⑵ 求证:当|x |≤1时,| g(x)|≤4.证明(1) ∵|x |≤1时,|f(x)|≤2|g(1)|=|c +b +a |=|f (x)|≤2(2) 当|x |≤1时,|g(x)|=|cx 2+bx +a |=|c(x 2-1)+bx +a +c |=|c(x 2-1)|+|bx +a +c |≤|c |+|a±b +c |≤2+2=4变式训练4:(1) 已知:| a |<1,| b |<1,求证:|b a ab --1|>1; (2)求实数λ的取值范围,使不等式|ba ab --λλ1|>1对满足| a |<1,| b |<1的一切实数a 、b 恒成立;(3) 已知| a |<1,若|ab b a ++1|<1,求b 的取值范围.(1)证明:|1-ab|2-|a -b|2=1+a 2b 2-a 2-b 2=(a 2-1)(b 2-1).∵| a |<1,| b |<1,∴a 2-1<0,b 2-1<0.∴|1-ab|2-|a -b|2>0. ∴|1-ab|>|a -b|,|||1|b a ab --=|||1|b a b a -⋅->1. (2)解:∵|ba ab --λλ1|>1⇔|1-abλ|2-|aλ-b|2=(a 2λ2-1)(b 2-1)>0.∵b 2<1,∴a 2λ2-1<0对于任意满足| a |<1的a 恒成立.当a =0时,a 2λ2-1<0成立;当a ≠0时,要使λ2<21a 对于任意满足| a |<1的a 恒成立,而21a>1, ∴ |λ|≤1. 故-1≤λ≤1. (3)|ab b a ++1|<1⇔(ab b a ++1)2<1 ⇔(a+b)2<(1+ab)2⇔a 2+b 2-1-a 2b 2<0⇔(a 2-1)(b 2-1)<0.∵|a|<1,∴a 2<1.∴1-b 2>0,即-1<b <1.1.利用性质||a|-|b||≤|a +b |≤|a|+|b|时,应注意等号成立的条件.2.解含绝对值的不等式的总体思想是:将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解.3.绝对值是历年高考的重点,而绝对值不等式更是常考常新,教学中,应注意绝对值与函数问题的结合.。
江苏省丹阳高级中学2017届高三数学第二轮复习:专题3-
专题三(1)-不等式解法与线性规划【教学目标】1.掌握常规不等式的解法2.理解三个二次之间的关系3.会解决简单的线性规划问题 【教学要点】重点:理解三个二次之间的关系 难点:不等式中参数的讨论 【考情分析】不等式在高考中很少单独成题,常常与其他知识点相互渗透在一起,是求解数学问题的重要工具.【例题分析及变式】类型1:不等式的解法例1.(1)(2016·江苏第5题)函数的定义域是 .【答案】[-3,1]【解析】由题意知3-2x-x 2≥0,解得-3≤x ≤1,所以原函数的定义域为[-3,1].(2).(2015·江苏第7题)不等式2-2xx<4的解集为 .【答案】(-1,2)【解析】由2-2x x <4,知x 2-x<2,解得-1<x<2,所以原不等式的解集为(-1,2). (3)(必修5 P73习题6改编)已知不等式ax 2+bx-1<0的解集为{x|x<3或x>4},则a= ,b= .【答案】-112 712【解析】由题意知3和4是方程ax 2+bx-1=0的两根,所以a (x-3)(x-4)=0,所以a=-112,b=712.例2(东莞市2017届高三上学期期末)已知函数 f (x ) =|x -1|+|x +3| (1)解不等式 f (x ) ≥8;(2)若不等式 f (x ) <2a -3a 的解集不是空集,求实数a 的取值范围.(1)22,3()|1||3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩, 当3x <-时,由228x --≥,解得5-≤x ;当31x -≤≤时,()4f x =,()8f x ∴≥无解;当1x >时,由228x +≥,解得3x ≥.(2()min 4f x = 又不等式a a x f 3)(-<的解集不是空集,所以432>-a a , 所以14-<>a a 或 即实数a 的取值范围是),4()1,(+∞--∞ 例3 解关于x 的一元二次不等式(x-2)(ax-2)>0.【解答】当a=0时,原不等式可化为x-2<0,所以x<2.当a ≠0时,原不等式化为a (x-2)x-2a>0,①当a>1时,2a <2,原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫⎪⎝⎭>0,所以x<2a 或x>2. ②当a=1时,2a=2,原不等式化为(x-2)2>0,所以x ∈R 且x ≠2. ③当0<a<1时,2a >2,原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫⎪⎝⎭>0,则x<2或x>2a . ④当a<0时,2a <2,原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫⎪⎝⎭<0,所以2a <x<2. 综上所述,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<2};当a>1时,原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或;当a=1时,原不等式的解集为{x|x ∈R 且x ≠2};当0<a<1时,原不等式的解集为22x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或;当a<0时,原不等式的解集为22x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.变式 解关于x 的一元二次不等式ax 2+(a-1)x-1>0.【解答】由ax 2+(a-1)x-1>0,得(ax-1)(x+1)>0.当a>0时,(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)>0⇔x<-1或x>1a ; 当-1<a<0时,(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)<0⇔1a <x<-1; 当a=-1时,(ax-1)(x+1)>0⇔-(x+1)2>0⇔(x+1)2<0⇔x ∈∅;当a<-1时,(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)<0⇔-1<x<1a . 综上所述,当a>0时,不等式的解集为1|-1xxx a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或;当-1<a<0时,不等式的解集为1|-1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭;当a=-1时,不等式的解集为∅;当a<-1时,不等式的解集为1|-1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.题组小结:.类型2:三个二次之间的关系例4(1).(2016·启东调研测试)已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且f (3)=0,则不等式f (x 2-2x )<0的解集为 .【答案】(-1,3)【解析】根据偶函数的性质,可得-3<x 2-2x<3,解得-1<x<3,从而不等式的解集为(-1,3). (2)(必修1 P32习题7改编)若定义在R 上的二次函数f (x )=ax 2-4ax+b 在区间[0,2]上是增函数,且f (m )≥f (0),则实数m 的取值范围是 .【答案】{m|0≤m ≤4}【解析】由函数的对称轴为x=2,且在[0,2]上为增函数,知a<0,根据函数图象可得实数m 的取值范围是{m|0≤m ≤4}.(3).(2014·江苏第10题)已知函数f (x )=x 2+mx-1,若对于任意的x ∈[m ,m+1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是 .【答案】-02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为二次函数开口向上,在区间[m ,m+1]上始终满足f (x )<0,所以只需()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩,即可,由222-10(1)(1)-10m m m m m ⎧+<⎨+++<⎩,,解得3-02m m ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩,故实数m的取值范围为02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 例5 (2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|,a ∈R ,g (x )=x 2-1.(1)当a=1时,解不等式f (x )≥g (x );(2)记函数f (x )在区间[0,2]上的最大值为F (a ),求F (a )的表达式.【解答】(1)由f (x )≥g (x ),当a=1时,即解不等式x|x-1|≥x 2-1. 当x ≥1时,不等式为x 2-x ≥x 2-1,解得x ≤1,所以x=1; 当x<1时,不等式为x-x 2≥x 2-1,解得-12≤x ≤1,所以-12≤x<1.综上,不等式f (x )≥g (x )的解集为1-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. (2)因为x ∈[0,2],当a ≤0时,f (x )=x 2-ax ,则f (x )在区间[0,2]上是增函数,所以F (a )=f (2)=4-2a.当0<a<2时,f (x )=22-0-2x ax x a x ax a x ⎧+≤<⎨≤≤⎩,,,,则f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是增函数,在区间2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是减函数,在区间[a ,2]上是增函数,所以F (a )=max (2)2a f f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭,, 而f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ,f (2)=4-2a ,令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<f (2),即24a <4-2a ,解得-4-<a<-4+4, 所以当0<a<4-4时,F (a )=4-2a ;令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥f (2),即24a ≥4-2a ,解得a ≤-4-4或a ≥-4+4,所以当4-4≤a<2时,F (a )=24a .当a ≥2时,f (x )=-x 2+ax ,当1≤2a <2,即2≤a<4时,f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是增函数,在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是减函数,则F (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ;当2a≥2,即a ≥4时,f (x )在区间[0,2]上是增函数,则F (a )=f (2)=2a-4; 综上,F (a )=24-2442-4 4.a a aa a a ⎧<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩,,,, 变式 (2016·苏锡常镇一调)已知函数f (x )=2x-1+a ,g (x )=bf (1-x ),其中a ,b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2,则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞,-2]∪1-4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭,【解析】因为g (x )=b (2-x +a ),所以f (x )≥g (x ),即2x-1+a ≥2x b +ab ,即(2x )2-2a (b-1)2x-2b ≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知,关于2x 的方程(2x )2-2a (b-1)2x -2b=0的2x的值分别为4,-2b .因为2x 取正值,要想2x 最小为4,所以-2b ≤0,即b ≥0.又因为4-2b=2a (b-1),所以b=4(2)41a a ++≥0,解得a ≤-2或a>-14.题组小结:.类型3:线性规划问题例6 (2016·全国卷)若实数x ,y 满足约束条件-10-202-20x y x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩,,,则z=x+y 的最大值为 .【答案】32【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立-202-20x y x y =⎧⎨+=⎩,,得A 112⎛⎫⎪⎝⎭,,当直线z=x+y 过点A 时,z 取得最大值,所以z max =1+12=32.变式1 (2016·山东卷)若变量x ,y 满足约束条件22-390x y x y x +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩,,,则x 2+y 2的最大值是.【答案】10【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,设z=x 2+y 2,联立22-39x y x y +=⎧⎨=⎩,,得3-1x y =⎧⎨=⎩,,由图可知,当x 2+y 2=z 过点(3,-1)时,z 取得最大值,即(x 2+y 2)max =32+(-1)2=10.变式2 (2016·苏州中学)若实数x ,y 满足约束条件-30--3001x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩,,,则z=2x y x y ++的最小值为.【答案】53【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,其中A (3,0),C (2,1),易知z=21y x y x ++=1+15231y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+,. 变式3 (2016·江苏第12题)已知实数x ,y 满足约束条件-2402-203--30x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,,,那么x 2+y 2的取值范围是.【答案】4135⎡⎤⎢⎥⎣⎦,【解析】作出实数x ,y 满足的可行域如图中阴影部分所示,则x 2+y 2即为可行域内的点(x ,y )到原点O 的距离的平方.由图可知点A 到原点O 的距离最近,点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x+y-2=0的距离=5,则(x 2+y 2)min =45;点B 为直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点,即点B 的坐标为(2,3),则(x 2+y 2)max =13.综上,x 2+y 2的取值范围是4135⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.变式4 (必修5 P77练习2改编)不等式组-2-1y xy xy≤+⎧⎪≤⎨⎪≥⎩,,所表示的平面区域的面积为. 【答案】14【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由题意知x B=1,x C=2.由-2-1y xy x=+⎧⎨=⎩,,解得y D=12,所以S△BCD=12×(x C-x B)×12=14.变式5 若变量x,y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤2,y≥x-2,y≥-12x+52,且目标函数z=-kx+y当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x=3,y=1时取得最小值,则实数k的取值范围是________.【答案】⎝⎛⎭⎫-12,114【解析】由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的△ABC及其内部,其中A(3,1),B(4,2),C(1,2).将目标函数变形得y=kx+z,当z取得最小值时,直线的纵截距最小.由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小,结合动直线y=kx+z绕定点A旋转进行分析,知-12<k<1,故所求实数k的取值范围是⎝⎛⎭⎫-12,1.题组小结:.【课堂总结】1.含参数的不等式的求解,要对参数进行分类讨论.2.解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.【巩固作业】 学案作业专题三(1)-不等式解法与线性规划 作业:一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)已知变量x ,y 满足约束条件2-203x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩,,,则目标函数z=2x-y 的最大值是 .【答案】7 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,可知当目标函数过点A (5,3)时,z 取得最大值,所以z max =2×5-3=7.2.若对任意实数x ∈[-1,1],不等式x 2+ax-3a<0恒成立,则实数a 的取值范围是 .【答案】12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 【解析】设f (x )=x 2+ax-3a.因为对任意实数x ∈[-1,1],不等式x 2+ax-3a<0恒成立,所以(-1)1--30(1)1-30f a a f a a =<⎧⎨=+<⎩,,解得a>12.3.(2015·山东卷)若变量x ,y 满足约束条件-131y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,,,则z=x+3y 的最大值为 .【答案】7 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A 时,z 取得最大值.联立-13y x x y =⎧⎨+=⎩,,解得12x y =⎧⎨=⎩,,即A (1,2),故z max =1+3×2=7.4.若关于x 的不等式ax 2+2x+a>0的解集为R ,则实数a 的取值范围是 .【答案】(1,+∞) 【解析】当a=0时,易知条件不成立;当a ≠0时,要使不等式ax 2+2x+a>0的解集为R ,必须满足204-40a a >⎧⎨∆=<⎩,,解得a>1. 5.(必修5 P90习题6改编)若x ,y 满足约束条件24-1-22x y x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,,,则z=x+y 的最小值是.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y ,得y=-x+z.令z=0,画出y=-x 的图象,当它的平行线经过点A (2,0)时,z 取得最小值,最小值为z=2.6.(2016·淮阴中学)已知x ,y ∈R ,且x 2+2xy+4y 2=6,则z=x 2+4y 2的取值范围是 .【答案】[4,12] 【解析】因为2xy=6-(x 2+4y 2),而2xy ≤2242x y +,所以6-(x 2+4y 2)≤2242x y +,所以x 2+4y 2≥4,当且仅当x=2y 时取等号.又因为(x+2y )2=6+2xy ≥0,即2xy ≥-6,所以z=x 2+4y 2=6-2xy ≤12.综上可得4≤x 2+4y 2≤12.7.(2016·苏大考前卷)已知不等式(ax+3)(x 2-b )≤0对任意x ∈(0,+∞)恒成立,其中a ,b 是整数,则a+b 的取值集合为 .【答案】{8,-2} 【解析】当b ≤0时,由(ax+3)(x 2-b )≤0得ax+3≤0在x ∈(0,+∞)上恒成立,则a<0,且a ·0+3≤0,矛盾,故b>0.当b>0时,由(ax+3)(x 2-b )≤0可设f (x )=ax+3,g (x )=x 2-b ,又g (x )的大致图象如图所示,那么由题意可知03-a a<⎧⎪⎨=⎪⎩,再由a ,b 是整数得到-19a b =⎧⎨=⎩,或-31a b =⎧⎨=⎩,,因此a+b=8或-2.8.(2016·启东中学)已知f (x )=x 2+2x+a ln x ,若f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数,则实数a 的取值范围为 .【答案】(-∞,-4]∪[0,+∞) 【解析】由题意知f'(x )=2x+2+a x =222x x a x++,因为f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数,所以f'(x )在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0,所以2x 2+2x+a ≥0或2x 2+2x+a ≤0在区间(0,1]上恒成立,即a ≥-(2x 2+2x )或a ≤-(2x 2+2x ),而函数y=-2x 2-2x在区间(0,1]上的值域为[-4,0),所以a ≥0或a ≤-4. 9.(2016·扬州中学)已知函数f (x )=13x 3+2x ,对任意的t ∈[-3,3],f (tx-2)+f (x )<0恒成立, 则实数x 的取值范围是 . 【答案】51--33⎛⎫⎪⎝⎭,【解析】函数f (x )=13x 3+2x 是R 上的奇函数且单调增,f (tx-2)+f (x )<0化为f (tx-2)<f (-x ),即tx-2<-x ,问题变为g (t )=(x+1)t-2<0在t ∈[-3,3]上恒成立,故有(-3)0(3)0g g <⎧⎨<⎩,,解得-53<x<-13. 10.(2015·宿迁一模)已知函数f (x )=x 2-2ax+a 2-1,若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集,则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞,-2]【解析】因为f (x )=[x-(a+1)][x-(a-1)],所以f (f (x ))<0等价于[f (x )-(a+1)][f (x )-(a-1)]<0,从而a-1<f (x )<a+1,要使f (f (x ))<0的解集为空集,根据函数的图象,则需y=a+1与y=f (x )至多有一个交点.又因为f (x )=(x-a )2-1≥-1,所以a+1≤-1,解得a ≤-2.二、 解答题11.(惠州市2017届高三第三次调研)已知函数f (x )=|x -a |.(Ⅰ)若不等式f (x )≤3的解集为{x |-1≤x ≤5},求实数a 的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若f (x )+f (x +5)≥m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围.解:(Ⅰ)由f (x )≤3,得|x -a |≤3.解得a -3≤x ≤a +3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |-1≤x ≤5}.所以⎩⎪⎨⎪⎧a -3=-1,a +3=5,解得a =2. (Ⅱ)当a =2时,f (x )=|x -2|.设g (x )=f (x )+f (x +5)=|x -2|+|x +3|.由|x -2|+|x +3|≥|(x -2)-(x +3)|=5(当且仅当-3≤x ≤2时等号成立),∴g (x )的最小值为5.因此,若g (x )=f (x )+f (x +5)≥m 对x ∈R 恒成立,知实数m 的取值范围是(-∞,5].12.(2016·江苏怀仁中学)设函数f (x )=ax 2+(b-2)x+3(a ≠0).(1)若不等式f (x )>0的解集为(-1,3),求a ,b 的值;(2)若f (1)=2,a>0,b>0,求1a +4b的最小值. 解:(1) 由题意得(-1)0(3)0f f =⎧⎨=⎩,,即-5093-30a b a b +=⎧⎨+=⎩,,解得-14.a b =⎧⎨=⎩, (2) 因为f (1)=2,所以a+b=1,所以1a +4b =(a+b )14a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5+b a +4a b ≥9, 当且仅当b=2a=12时取等号. 13.(2016·泰州中学)已知函数f (x )=ax 2+2x+c (a ,c ∈N *)满足①f (1)=5;②6<f (2)<11.(1)求函数f (x )的表达式;(2)若对任意的x ∈[1,2],都有f (x )-2mx ≥0恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1) 由题知5=a+c+2,即c=3-a.又6<4a+c+4<11,所以-13<a<43. 又a ∈N *,所以a=1,c=2.所以f (x )=x 2+2x+2. (2) 由已知得2(m-1)≤x+2x在x ∈[1,2]上恒成立. 因为当x ∈[1,2]时,x+2x∈⎡⎤⎣⎦,所以2(m-1)≤2,即m+1,所以实数m 的取值范围为(-∞+1].14.(2016·苏州一模)如图,某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树,已知角A 为120°,AB ,AC 的长度均大于200 m ,现在边界AP ,AQ 处建围墙,在PQ 处围竹篱笆.(1)若围墙AP ,AQ 总长度为200 m ,如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大?(2)已知AP 段围墙高1 m ,AQ 段围墙高1.5 m ,造价均为100元/m 2.若围围墙花费了20 000 元, 问如何围可使竹篱笆用料最省?解(1) 设AP=x m ,AQ=y m ,则x+y=200,△APQ 的面积S=12xy ·sin 120°=xy , 所以S≤242x y +⎫⎪⎝⎭=2 500,S max =当且仅当200x y x y =⎧⎨+=⎩,,即x=y=100时取“=”. (2) 设AP=x m ,AQ=y m ,由题意得100×(x+1.5y )=20 000,即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省,只需其长度PQ 最短,所以PQ 2=x 2+y 2-2xy cos 120°=x 2+y 2+xy=(200-1.5y )2+y 2+(200-1.5y )y=1.75y 2-400y+40000 =1.752800-7y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+120000740003y ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,当y=8007时,PQ有最小值7,此时x=2007. 15.(2016·启东中学)设x>0,y>0,a=x+y ,m ∈N *).求证:若对任意正数x ,y 可使a ,b ,c 为三角形三边,则m 的取值集合为{1,2,3}. 证明:①因为,c>0,故a+c>b 恒成立.②若a+b>c 恒成立,即.=2m<2.故当m<2+时,a+b>c 恒成立.③若b+c>a 恒成立,即=.令(t≥2),则,当t=2时,取得最大值,得m>2,故当m>2时,b+c>a恒成立.综上,2<m<2+.由m∈N*,得m的取值集合为{1,2,3},即得证.。
高中数学 第3章 不等式 3.2.1 一元二次不等式的解法学案 苏教版必修5(2021年整理)
2016-2017学年高中数学第3章不等式3.2.1 一元二次不等式的解法学案苏教版必修5编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2016-2017学年高中数学第3章不等式3.2.1 一元二次不等式的解法学案苏教版必修5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2016-2017学年高中数学第3章不等式3.2.1 一元二次不等式的解法学案苏教版必修5的全部内容。
第1课时一元二次不等式的解法1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式,掌握一元二次不等式的解法.(重点)2.掌握分式不等式的解法.(重点)3.能借助“三个二次"的关系解决与一元二次不等式有关的解集问题.(难点)[基础·初探]教材整理一元二次不等式阅读教材P75~P77练习以上的有关内容,完成下列问题.1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系Δ=b2-4acΔ〉0Δ=0Δ〈0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0 (a〉0)的根有两个不相等的实数根x1,x2且x1<x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x〉x2或x<x1}错误!Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1〈x<x2}∅∅1.下列不等式中是一元二次不等式的是________.(填序号)①(m+1)x2-3x+1〈0;②2x2-x>2;③-x2+5x+6≥0;④(x+a)(x+a+1)<0【解析】③④符合一元二次不等式的定义;对于①,当m+1=0时,不是一元二次不等式;②是指数不等式.【答案】③④2.不等式x2+x-2〈0的解集为________.【解析】令f(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),画出函数图象可知,当-2<x<1时,f(x)<0,从而不等式x2+x-2<0的解集为{x|-2〈x<1}.【答案】{x|-2<x<1}[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们"探讨交流:疑问1:_________________________________________________解惑:_________________________________________________疑问2:_________________________________________________解惑:_________________________________________________疑问3:_________________________________________________解惑:_________________________________________________[小组合作型]一元二次不等式的基本解法解下列不等式.(1)2x2+5x-3〈0;(2)-3x2+6x≤2;(3)-x2+6x-10〉0.【精彩点拨】移项,化一边为0―→二次项系数化为正数―→验根是否存在―→求根―→求不等式的解集【自主解答】(1)Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=12,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示.用阴影描出原不等式的解,由图可得原不等式的解集为错误!.(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0,Δ=12〉0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=错误!,x2=错误!,作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为错误!。
2019届高考数学二轮复习专题三不等式第1讲三个“二次”的问题学案
第1讲 三个“二次”的问题1. “三个二次”在历年高考中都有考查,体现出二次函数、二次方程和二次不等式之间有密不可分的联系,即函数的研究离不开方程和不等式;方程和不等式的解的讨论同样要结合函数的图象和性质.2. 主要涉及的题型有:一是求二次函数的解析式;二是求二次函数的值域或最值,考查二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用;三是考查一元二次不等式的解法及“三个二次”间的关系问题;四是从实际情景中抽象出一元二次不等式模型;五是以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题.1. 不等式(1+x)(1-x)>0的解集是________. 答案:{x|-1<x<1}解析:原式可化为(x +1)(x -1)<0,所以不等式的解集为-1<x<1.2. (2018·海安第一次学业质量测试)关于x 的不等式x +ax+b≤0(a,b ∈R )的解集为{x |3≤x ≤4},则a +b 的值为________.答案:5解析:由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3+a3+b =0,4+a 4+b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-7,所以a +b =5.3. (2018·镇江期末)已知函数f(x)=x 2-kx +4,对任意的x∈[1,3],不等式f(x)≥0恒成立,则实数k 的最大值为________.答案:4解析:由题意知x 2-kx +4≥0,x ∈[1,3],所以k≤x +4x对任意的x∈[1,3]恒成立.因为x +4x≥4(当且仅当x =2时取等号),所以k≤4,故实数k 的最大值为4.4. (2018·昆山中学月考)不等式x 2-2x +5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是________.答案:[-1,4]解析:x 2-2x +5=(x -1)2+4的最小值为4,所以x 2-2x +5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2-3a ≤4,解得-1≤a≤4., 一)一元二次不等式的求解, 1)已知f(x)=-3x 2+a(6-a)x +b.(1) 解关于a 的不等式f(1)>0;(2) 当不等式f(x)>0的解集为(-1,3)时,求实数a ,b 的值.解:(1) f(1)=-3+a(6-a)+b =-a 2+6a +b -3.因为f(1)>0,所以a 2-6a +3-b <0.Δ=24+4b ,当Δ≤0,即b≤-6时,f(1)>0的解集为∅;当Δ>0,即b >-6时,3-b +6<a <3+b +6,所以b >-6时,f(1)>0的解集为{a|3-b +6<a <3+b +6}.(2) 因为不等式-3x 2+a(6-a)x +b >0的解集为(-1,3),所以⎩⎪⎨⎪⎧2=a (6-a )3,-3=b -3,解得⎩⎨⎧a =3±3,b =9.(2018·苏北四市一模)已知函数f(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧2-|x +1|,x≤1,(x -1)2,x >1.若函数g(x)=f(x)+f(-x),则不等式g(x)≤2的解集为________.答案:[-2,2] 解析:f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧3+x ,x <-1,-x +1,-1≤x≤1,(x -1)2,x>1, 所以f(-x)=⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)2,x<-1,x +1,-1≤x≤1,-x +3,x >1,所以g(x)=f(x)+f(-x)=⎩⎪⎨⎪⎧x2+3x +4,x<-1 ①,2,-1≤x≤1 ②,x2-3x +4,x>1 ③.由不等式g(x)≤2,解得①⎩⎪⎨⎪⎧x<-1,x2+3x +4≤2⇒-2≤x<-1;②⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x≤1,2≤2⇒-1≤x≤1;③⎩⎪⎨⎪⎧x>1,x2-3x +4≤2⇒1<x ≤2.综上所述,不等式g(x)≤2的解集为[-2,2]., 二)二次函数与二次不等式, 2)(2018·北京朝阳统考)已知函数f(x)=x 2-2ax -1+a ,a ∈R .(1) 若a =2,试求函数y =f (x )x(x >0)的最小值;(2) 对于任意的x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 恒成立,试求a 的取值范围.解:(1) 依题意得y =f (x )x =x2-4x +1x =x +1x-4.因为x >0,所以x +1x ≥2.当且仅当x =1x,即x =1时,等号成立.所以y ≥-2. 所以当x =1时,y =f (x )x的最小值为-2.(2) 因为f (x )-a =x 2-2ax -1,所以要使得“∀x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 恒成立”,只要“x 2-2ax -1≤0在[0,2]上恒成立”. 不妨设g (x )=x 2-2ax -1,则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可.所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≤0,g (2)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧0-0-1≤0,4-4a -1≤0,解得a ≥34,则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞.已知函数g (x )=ax 2-2ax +1+b (a >0)在区间[2,3]上的最大值为4,最小值为1,记f (x )=g (|x |).(1) 求实数a ,b 的值;(2) 若不等式f (log 2k )>f (2)成立,求实数k 的取值范围;(3) 定义在[p ,q ]上的一个函数m (x ),用分法T :p =x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =q 将区间[p ,q ]任意划分成n 个小区间,如果存在一个常数M >0,使得和式错误!f(x i )=f(x 1)+f(x 2)+…+f(x n ))解:(1) g(x)=a(x -1)2+1+b -a ,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故⎩⎪⎨⎪⎧g (2)=1,g (3)=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0.(2) 由已知可得f(x)=g(|x|)=x 2-2|x|+1为偶函数,所以不等式f(log 2k )>f (2)可化为|log 2k |>2,解得k >4或0<k <14,故实数k 的取值范围是(0,14)∪(4,+∞).(3) 设函数f (x )为[1,3]上的有界变差函数.因为函数f (x )为[1,3]上的单调递增函数, 且对任意划分T :1=x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =3, 有f (1)=f (x 0)<f (x 1)<…<f (x n -1)<f (x n )=f (3),所以错误!|m(x i )-m(x i -1)|≤M 恒成立,所以M 的最小值为4., 三)二次方程与二次不等式, 3)对于函数f(x),若f(x 0)=x 0,则称x 0为函数f(x)的“不动点”;若f(f(x 0))=x 0,则称x 0为函数f(x)的“稳定点”.如果f(x)=x 2+a(a∈R )的“稳定点”恰是它的“不动点”,求实数a 的取值范围.解:(解法1)因为函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,由f (f (x ))=x ,可得(x 2+a )2+a =x .方程可化为(x 2-x +a )(x 2+x +a +1)=0,所以方程x 2-x +a =0有解,且方程x 2+x +a +1=0无解或其解都是x 2-x +a =0的解,由方程x 2-x +a =0有解,得Δ1=1-4a ≥0,解得a ≤14.由方程x 2+x +a +1=0无解,得Δ2=1-4(a +1)<0,解得a >-34.若方程x 2+x +a +1=0有解且都是x 2-x +a =0的解.因为方程x 2-x +a =0与方程x 2+x +a +1=0不可能同解, 所以方程x 2+x +a +1=0必有两个相等的实根且是方程x 2-x +a =0的解,此时,Δ2=1-4(a +1)=0,解得a =-34,经检验,符合题意.综上,a 的取值范围是[-34,14].(解法2)显然,函数的“不动点”一定是“稳定点”,而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”,即不存在非“不动点”的“稳定点”,所以f (x )=x 有解,但方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x1)=x2,f (x2)=x1(x 1≠x 2)无解.由f (x )=x ,得x 2-x +a =0有解,所以1-4a ≥0,解得a ≤14.由⎩⎪⎨⎪⎧f (x1)=x2,f (x2)=x1,得⎩⎪⎨⎪⎧x21+a =x 2,x 2+a =x 1,两式相减,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)=x 2-x 1.因为x 1≠x 2,所以x 2=-x 1-1,两式相减,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)=x 2-x 1.因为x 1≠x 2,所以x 2=-x 1-1, 代入消去x 2,得x 21+x 1+a +1=0.因为方程x 21+x 1+a +1=0无解或仅有两个相等的实根,所以1-4(a +1)≤0,解得a ≥-34,故a 的取值范围是[-34,14].定义:关于x 的两个不等式f (x )<0和g (x )<0的解集分别为(a ,b )和(1b ,1a),则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式x 2-43x cos θ+2<0与不等式x 2+2x sin θ+1<0为对偶不等式,且θ∈(π2,π),则θ=________.答案:2π3解析:由题意知不等式x 2-43x cos θ+2<0的解集为(a ,b ),所以a +b =43cos θ,ab =2.又不等式x 2+2x sin θ+1<0的解集为(1b ,1a),所以1b +1a=-2sin θ.又1b +1a =a +b ab =43cos θ2=-2sin θ,所以tan θ=-3. 又θ∈(π2,π),所以θ=2π3., 四)三个“二次”的综合问题, 4)设函数f(x)=ax 2+bx +c(a ,b ,c ∈R ),且f (1)=-a2,3a >2c >2b ,求证:(1) a >0且-3<b a <-34;(2) 函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点;(3) 若x 1,x 2是函数f (x )的两个零点,则2≤|x 1-x 2|<574.证明:(1) 因为f (1)=a +b +c =-a2,所以3a +2b +2c =0.又3a >2c >2b ,所以3a >0,2b <0,所以a >0,b <0. 又2c =-3a -2b ,3a >2c >2b ,所以3a >-3a -2b >2b .因为a >0,所以-3<b a <-34.(2) 因为f (0)=c ,f (2)=4a +2b +c =a -c ,①当c >0时,因为a >0,所以f (1)=-a2<0,且f (0)=c >0,所以函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点;②当c ≤0时,因为a >0,所以f (1)=-a2<0,且f (2)=a -c >0,所以函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点. 综合①②得函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点.(3) 因为x 1,x 2是函数f (x )的两个零点,则x 1,x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根.所以|x 1-x 2|=(x1+x2)2-4x1x2=(-b a )2-4(-32-ba)=(ba+2)2+2.因为-3<b a <-34,所以2≤|x 1-x 2|<574.已知函数f (x )=2x 2+ax -1,g (log 2x )=x 2-x2a -2.(1) 求函数g (x )的解析式,并写出当a =1时,不等式g (x )<8的解集;(2) 若f (x ),g (x )同时满足下列两个条件:①∃t ∈[1,4],使f (-t 2-3)=f (4t );②∀x ∈(-∞,a ],使g (x )<8.求实数a 的取值范围.解:(1) 令t =log 2x ,则x =2t,由g (log 2x )=x 2-x 2a -2,可得g (t )=22t -2t +2-a,即g (x )=22x -2x +2-a,当a =1时,不等式g (x )<8⇔22x-2x +1<8⇔(2x +2)(2x-4)<0,即2x<4,所以x <2,即不等式g (x )<8的解集为(-∞,2).(2) 因为f (x )=2x 2+ax -1,所以由①∃t ∈[1,4],使f (-t 2-3)=f (4t ),得∃t ∈[1,4],(-t 2-3)+4t =-a 2,即∃t ∈[1,4],a =2(t -2)2-2,所以a ∈[-2,6];由②∀x ∈(-∞,a ],使g (x )<8得∀x ∈(-∞,a ],42a >2x -82x,令μ=2x ,x ∈(-∞,a ],则y =2x-82x =μ-8μ,μ∈(0,2a],易知函数y =μ-8μ在(0,2a ]上是增函数,y max =2a-82a,所以42a>2a-82a,所以2a<23,所以a <1+12log 23.综上,实数a 的取值范围是[-2,1+12log 23).1. 函数y =3-2x -x2的定义域是 ________.答案:[-3,1]解析:要使函数有意义,必须有3-2x -x 2≥0,即x 2+2x -3≤0,所以-3≤x≤1.2. 设集合A ={x|x 2-4x +3<0},B ={x|2x -3>0},则A∩B=________.答案:(32,3)解析:集合A =(1,3),B =(32,+∞),所以A∩B=(32,3).3. (2017·山东卷)已知命题p :∃x ∈R ,x 2-x +1≥0;命题q :若a 2<b 2,则a <b .则命题p ∧綈q 的真假性为________.答案:真解析:易知命题p 为真命题,命题q 为假命题,所以綈q 为真命题,由复合命题真值表知,p ∧綈q 为真命题.4. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x2,x≤1,x +6x-6,x>1,则f (f (-2))=________,f (x )的最小值是________.答案:-1226-6解析:f (-2)=(-2)2=4,所以f (f (-2))=f (4)=4+64-6=-12.当x ≤1时,f (x )≥0;当x >1时,f (x )≥26-6,当x =6时取等号,所以函数f (x )的最小值为26-6.5. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a>0,c>0)的图象与x 轴有两个不同的公共点,且f(c)=0,当0<x<c 时,恒有f(x)>0. (1) 当a =13,c =2时,求不等式f(x)<0的解集;(2) 若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,且ac =12,求a 的值;(3) 若f(0)=1,且f(x)≤m 2-2m +1对所有x∈[0,c]恒成立,求正实数m 的最小值.解:(1) 当a =13,c =2时,f(x)=13x 2+bx +2,f(x)的图象与x 轴有两个不同交点.因为f(2)=0,设另一个根为x 1,则2x 1=6,x 1=3.则f(x)<0的解集为{x|2<x<3}.(2) 函数f(x)的图象与x 轴有两个交点,因为f(c)=0,设另一个根为x 2,则cx 2=c a ,于是x 2=1a.又当0<x<c 时,恒有f(x)>0,则1a >c ,则三交点分别为(c ,0),(1a,0),(0,c),以这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a -c)c =8,且ac =12,解得a =18,c =4.(3) 当0<x<c 时,恒有f(x)>0,则1a>c ,所以f(x)在[0,c]上是单调递减的,且在x =0处取到最大值1,要使f(x)≤m 2-2m +1对所有x∈[0,c]恒成立,必须f(x)max =1≤m 2-2m +1成立,即m 2-2m +1≥1,即m 2-2m ≥0,解得m ≥2或m ≤0,而m >0,所以m 的最小值为2.(本题模拟高考评分标准,满分16分)(2017·南通考前模拟)已知二次函数f (x )=x 2+ax +b (a ,b ∈R ).(1) 当a =-6时,函数f (x )的定义域和值域都是[1,b 2],求b 的值;(2) 若函数f (x )在区间(0,1)上有两个零点,求b 2+ab +b +1的取值范围.解:(1) 当a =-6时,f (x )=x 2-6x +b ,函数的对称轴为直线x =3, 故f (x )在区间[1,3]上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增.(2分)①当2<b ≤6时,f (x )在区间[1,b2]上单调递减;故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=b2,f (b2)=1,方程组无解;(4分)②当6<b ≤10时,f (x )在区间[1,3]上单调递减,在(3,b 2]上单调递增,且f (1)≥f (b 2),故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=b 2,f (3)=1,解得b =10;(6分)③当b >10时,f (x )在区间[1,3]上单调递减,在(3,b 2]上单调递增,且f (1)<f (b 2),故⎩⎪⎨⎪⎧f (b 2)=b 2,f (3)=1,方程组无解.所以b 的值为10.(8分)(2) 设函数f (x )=x 2+ax +b 的两个零点为x 1,x 2(0<x 1<x 2<1),则f (x )=(x -x 1)(x -x 2).又f (0)=b =x 1x 2>0,f (1)=1+a +b =(1-x 1)·(1-x 2)>0,(10分)所以b 2+ab +b +1=b (1+a +b )+1=f (0)f (1)+1,而0<f (0)f (1)=x 1x 2(1-x 1)(1-x 2)≤(x1+1-x12)2(x2+1-x22)2=116.(14分)由于x 1<x 2,故0<f (0)f (1)<116,则1<b 2+ab +b +1<1716,即b 2+ab +b +1的取值范围是(1,1716).(16分)1. 在R 上定义运算:⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd =ad -bc ,若不等式⎝⎛⎭⎪⎫x -1 a -2a +1 x ≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为________.答案:32解析:由定义知,不等式⎝⎛⎭⎪⎫x -1 a -2a +1 x ≥1等价于x 2-x -(a 2-a -2)≥1,∴x 2-x +1≥a 2-a 对任意实数x 恒成立.∵ x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34≥34,∴a 2-a ≤34,解得-12≤a ≤32,则实数a 的最大值为32.2. 已知f(x)=-3x 2+a(6-a)x +6.(1) 解关于a 的不等式f(1)>0;(2) 若不等式f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数a ,b 的值.解:(1) ∵ f(x)=-3x 2+a(6-a)x +6,∴ f(1)=-3+a(6-a)+6=-a 2+6a +3>0,即a 2-6a -3<0,解得3-23<a<3+23,∴不等式的解集为{a|3-23<a<3+23}.(2) ∵ f(x)>b 的解集为(-1,3), ∴方程-3x 2+a(6-a)x +6-b =0的两根为-1,3,∴⎩⎪⎨⎪⎧-1+3=a (6-a )3,-1×3=-6-b 3,解得⎩⎨⎧a =3±3,b =-3.故a 的值为3+3或3-3,b 的值为-3.3. 已知函数f(x)=x2+cax(x≠0,a >0,c <0),当x ∈[1,3]时,函数f(x)的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,56. (1) 求函数f(x)的解析式;(2) 若向量m =⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x ,12,n =(k 2+k +2,3k +1)(k >-1),解关于x 的不等式f (x )<m ·n .解:(1) 因为c <0,f (x )=1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +c x 在[1,3]上单调递增,所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=-32,f (3)=56,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =-4,故f (x )=x2-42x .(2) 由题意,得x2-42x <-k2+k +2x +3k +12,即x (x -2k )[x -(k +1)]<0.①当-1<k <0时,不等式的解集是(-∞,2k )∪(0,k +1); ②当0≤k <1时,不等式的解集是(-∞,0)∪(2k ,k +1);③当k =1时,不等式的解集是(-∞,0);④当k >1时,不等式的解集是(-∞,0)∪(k +1,2k ).。
二轮复习不等式教案
(2):今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论
(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);
(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;
(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法;
(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。
如(1)设 ,比较 的大小(答:当 时, ( 时取等号);当 时, ( 时取等号));
(2)设 , , ,试比较 的大小( );
解:(1)M [1,4]有两种情况:其一是M= ,此时Δ<0;其二是M≠ ,此时Δ=0或Δ>0,分三种情况计算a的取值范围。
设f(x)=x2-2ax+a+2,有Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2)
当Δ<0时,-1<a<2,M= [1,4];
当Δ=0时,a=-1或2;当a=-1时M={-1} [1,4];
教学重难点
1、教学重点:不等式,不等式的基本性质,不等式的证明,不等式的解法,含绝对值不等式
2、教学难点:能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题.
授课类型:复习课
教学时数:3课时.
教学步骤:
第一课时
1、不等式的性质:
(1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若 ,则 (若 ,则 ),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;
教案内容
集备记录
2021_2022学年新教材高中数学第3章不等式3.1不等式的基本性质学案苏教版必修第一册
3.1 不等式的基本性质学习任务核心素养1.结合已有的知识,理解不等式的6个基本性质.(重点)2.会用不等式的性质证明(解)不等式.(重点)3.会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围.(难点)1.通过大小比较,培养逻辑推理素养.2.通过不等式性质的应用,培养逻辑推理素养.3.借助不等式求实际问题,提升数学运算素养.和你的同桌做个游戏:假设有四只盛满水的圆柱形水桶A,B,C,D,桶A,B的底面半径均为a,高分别为a和b,桶C,D的底面半径为b,高分别为a和b(其中a≠b).你们各自从中取两只水桶,得水多者为胜.如果让你先取,你有必胜的把握吗?知识点1不等式(1)不等式的定义用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式,含有这些不等号的式子叫作不等式.(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a<b或a=b,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确.(3)不等式中常用符号语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤①如果a-b是正数,那么a>b;即a-b>0⇔a>b;②如果a-b等于0,那么a=b;即a-b=0⇔a=b;③如果a-b是负数,那么a<b;即a-b<0⇔a<b.任意两个实数都能比较大小吗?[提示]能.利用作差法比较.1.设a=2x2,b=x2-x-1,则a与b的大小关系为________.a>b[a-b=2x2-(x2-x-1)=x2+x+1=⎝⎛⎭⎫x+122+34>0,∴a>b.]知识点2不等式的基本性质性质1: 若a >b ,则b <a ;(自反性),a >b ⇔b <a . 性质2:若a >b ,b >c ,则a >c ;(传递性) 性质3:若a >b ,则a +c >b +c ;(加法保号性) 性质4:若a >b ,c >0,则ac >bc ;(乘正保号性) 若a >b ,c <0,则ac <bc ;(乘负改号性)性质5:若a >b ,c >d ,则a +c >b +d ;(同向可加性) 性质6:若a >b >0,c >d >0,则ac >bd ;(全正可乘性) 性质7:如果a >b >0,那么a n >b n (n ∈N *).(拓展)不等式的基本性质是不等式变形的依据,也是解不等式的根据,同时还是证明不等式的理论基础.(1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件. (2)要注意每条性质是否具有可逆性.2.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若ac >bc ,则a >b .( )(2)若a +c >b +d ,则a >b ,c >d .( ) (3)若a >b ,则1a <1b .( )[答案] (1)× (2)× (3)×类型1 利用不等式的性质判断和解不等式 【例1】 (1)对于实数a ,b ,c ,给出下列命题: ①若a >b ,则ac 2>bc 2; ②若a <b <0,则a 2>ab >b 2; ③若a >b ,则a 2>b 2; ④若a <b <0,则a b >ba.其中正确命题的序号是________.(2)求解关于x 的不等式ax +1>0(a ∈R ),并用不等式的性质说明理由. (1)②④ [对于①,∵c 2≥0,∴只有c ≠0时才成立,①不正确; 对于②,a <b <0⇒a 2>ab ;a <b <0⇒ab >b 2,∴②正确;对于③,若0>a >b ,则a 2<b 2,如-1>-2,但(-1)2<(-2)2,∴③不正确; 对于④,∵a <b <0,∴-a >-b >0,∴(-a )2>(-b )2,即a 2>b 2.又∵ab >0,∴1ab >0,∴a 2·1ab >b 2·1ab ,∴a b >ba ,④正确.所以正确答案的序号是②④.](2)[解] 不等式ax +1>0(a ∈R )两边同时加上-1得 ax >-1 (不等式性质3),当a =0时,不等式为0>-1恒成立,所以x ∈R , 当a >0时,不等式两边同时除以a 得 x >-1a(不等式性质4),当a <0时,不等式两边同时除以a 得 x <-1a(不等式性质4).综上:当a =0时,不等式的解集为R ,当a >0时,不等式的解集为⎝⎛⎭⎫-1a ,+∞,当a <0时,不等式的解集为⎝⎛⎭⎫-∞,-1a .1.利用不等式判断正误的2种方法①直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可.②特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.2.利用不等式的性质解不等式,要求步步有据,特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准.因为参数的范围不同,不等式的解集不同,所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的,不能求并集.[跟进训练]1.已知a <b <c 且a +b +c =0,则下列不等式恒成立的是( ) A .a 2<b 2<c 2 B .ab 2<cb 2 C .ac <bcD .ab <acC [∵a +b +c =0且a <b <c ,∴a <0,c >0,∴ac <bc ,故选C.]2.若关于x 的不等式ax +b >0的解集为{x |x <2},则不等式bx -a >0的解集为________.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >-12 [因为关于x 的不等式ax +b >0的解集为{x |x <2},所以a <0,且x =2是方程ax +b =0的实数根,所以2a +b =0,即b =-2a ,由bx -a >0得-2ax -a >0,因为a <0,所以x >-12,即不等式bx -a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >-12.] 类型2 利用不等式的性质比较代数式的大小 【例2】 已知x ≤1,比较3x 3与3x 2-x +1的大小. [解] 3x 3-(3x 2-x +1)=(3x 3-3x 2)+(x -1) =3x 2(x -1)+(x -1)=(3x 2+1)(x -1). ∵x ≤1,得x -1≤0.而3x 2+1>0, ∴(3x 2+1)(x -1)≤0. ∴3x 3≤3x 2-x +1.1.将本例中“x ≤1”改为“x ∈R ”,再比较3x 3与3x 2-x +1的大小. [解] 3x 3-(3x 2-x +1)=(3x 3-3x 2)+(x -1) =(3x 2+1)(x -1), ∵3x 2+1>0,当x >1时,x -1>0,∴3x 3>3x 2-x +1. 当x =1时,x -1=0,∴3x 3=3x 2-x +1. 当x <1时,x -1<0,∴3x 3<3x 2-x +1. 2.已知a >0, b >0, 比较1a +1b 与1a +b的大小.[解] 法一:(作差法)⎝⎛⎭⎫1a +1b -1a +b =(ab +b 2)+(a 2+ab )-ab ab (a +b )=a 2+ab +b 2ab (a +b ), 因为a >0, b >0,所以a 2+ab +b 2ab (a +b )>0,所以1a +1b >1a +b.法二:(作商法)因为a >0, b >0,所以1a +1b 与1a +b 同为正数,所以1a +1b 1a +b=(a +b )2ab ,所以(a +b )2ab -1=a 2+ab +b 2ab >0,即(a +b )2ab >1,因为1a +b>0,所以1a +1b >1a +b .法三:(综合法)因为a >0, b >0,所以a +b >0,所以⎝⎛⎭⎫1a +1b (a +b )=a +b a +a +b b =2+b a +a b >1,所以1a +1b >1a +b.1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤:作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式);⑤分类讨论.2.作商法比较大小的三个步骤 (1)作商变形; (2)与1比较大小; (3)得出结论.提醒:作商法比较大小仅适用同号的两个数.3.综合法需要结合具体的式子的特征实施,本题思路为:A >B >0⇔A ·1B>1.[跟进训练]3.已知实数a ,b ,c 满足b +c =6-4a +3a 2,c -b =4-4a +a 2,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .c ≥b >aB .a >c ≥bC .c >b >aD .a >c >bA [∵c -b =4-4a +a 2=(a -2)2≥0,∴c ≥b . 又b +c =6-4a +3a 2, ∴2b =2+2a 2,∴b =a 2+1,∴b -a =a 2-a +1=⎝⎛⎭⎫a -122+34>0,∴b >a ,∴c ≥b >a .故选A.] 4.已知a ,b ∈R ,试比较a 2-ab 与3ab -4b 2的大小.[解] 因为a ,b ∈R ,所以(a 2-ab )-(3ab -4b 2)=a 2-4ab +4b 2=(a -2b )2, 当a =2b 时,a 2-ab = 3ab -4b 2, 当a ≠2b 时,a 2-ab > 3ab -4b 2. 类型3 证明不等式【例3】 若a >b >0,c <d <0,e <0,求证:e (a -c )2>e(b -d )2. [思路点拨] 可结合不等式的基本性质,分析所证不等式的结构,有理有据地导出证明结果.[证明] ∵c <d <0,∴-c >-d >0. 又∵a >b >0,∴a -c >b -d >0. ∴(a -c )2>(b -d )2>0.两边同乘以1(a -c )2(b -d )2,得1(a -c )2<1(b -d )2. 又e <0,∴e (a -c )2>e(b -d )2.本例条件不变的情况下,求证: e a -c >e b -d. [证明] ∵c <d <0,∴-c >-d >0. ∵a >b >0,∴a -c >b -d >0, ∴0<1a -c <1b -d, 又∵e <0,∴e a -c >eb -d.利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.[跟进训练]5.已知c >a >b >0,求证:a c -a >bc -b .[证明] ∵c >a >b >0.∴c -a >0,c -b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b c >0 ⇒c a <c b ⇒c -a a <c -b b .又c -a >0,c -b >0,∴a c -a >bc -b .类型4 利用不等式求取值范围【例4】 已知1<a <4,2<b <8.试求2a +3b 与a -b 的取值范围.[思路点拨] 欲求a -b 的范围,应先求-b 的范围,再利用不等式的性质求解. [解] ∵1<a <4,2<b <8,∴2<2a <8,6<3b <24, ∴8<2a +3b <32.∵2<b <8,∴-8<-b <-2,又∵1<a <4,∴1+(-8)<a +(-b )<4+(-2), 即-7<a -b <2,故8<2a +3b <32,-7<a -b <2. 即2a +3b 的取值范围为(8,32), a -b 的取值范围为(-7,2).1.在本例条件下,求 ab 的取值范围.[解] ∵2<b <8,∴18<1b <12,又1<a <4,∴18<a b <2. 即ab的取值范围为⎝⎛⎭⎫18,2. 2.若本例改为:已知1≤a +b ≤5,-1≤a -b ≤3,求3a -2b 的范围. [解] 法一:设x =a +b ,y =a -b , 则a =x +y 2,b =x -y 2,∵1≤x ≤5,-1≤y ≤3,∴3a -2b =12x +52y .又12≤12x ≤52,-52≤52y ≤152, ∴-2≤12x +52y ≤10.即-2≤3a -2b ≤10.所以3a -2b 的范围是[-2,10].法二:设3a -2b =m (a +b )+n (a -b )=(m +n )a +(m -n )b =3a -2b ,所以⎩⎪⎨⎪⎧m +n =3,m -n =-2,解得⎩⎨⎧m =12,n =52,即3a -2b =12(a +b )+52(a -b ),因为1≤a +b ≤5,-1≤a -b ≤3, 所以12≤12(a +b )≤52,-52≤52(a -b )≤152,所以-2≤12(a +b )+52(a -b )≤10,即3a -2b 的范围是[-2,10].1.同向不等式具有可加性,同正具有可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性.2.已知两个二元一次代数式的范围,求第三个二元一次式的范围,可以用双换元的方法,也可以通过待定系数法,先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式.[跟进训练]6.已知-π2≤α<β≤π2,求α+β2,α-β2的取值范围.[解] ∵已知-π2≤α<β≤π2.∴-π4≤α2≤π4,-π4<β2≤π4,两式相加得-π2<α+β2<π2.∵-π4<β2≤π4,∴-π4≤-β2<π4.∴-π2≤α-β2<π2,又知α<β,∴α-β2<0,∴-π2≤α-β2<0.7.已知-4≤a -c ≤-1,-1≤4a -c ≤5,求9a -c 的取值范围.[解] 令⎩⎪⎨⎪⎧a -c =x ,4a -c =y ,得⎩⎨⎧a =13(y -x ),c =13(y -4x ),∴9a -c =83y -53x ,∵-4≤x ≤-1,∴53≤-53x ≤203,①∵-1≤y ≤5,∴-83≤83y ≤403,②①和②相加,得-1≤83y -53x ≤20,∴-1≤9a -c ≤20.1.已知a ,b ,c ,d ∈R ,则下列命题中必成立的是( ) A .若a >b ,c >b ,则a >c B .若a >-b ,则c -a <c +b C .若a >b ,c <d ,则a c >bdD .若a 2>b 2,则-a <-bB [选项A ,若a =4,b =2,c =5,显然不成立;选项C 不满足倒数不等式的条件,如a >b >0,c <0<d 时,不成立;选项D 只有a >b >0时才可以,否则如a =-1,b =0时不成立,故选B.]2.设a =3x 2-x +1,b =2x 2+x ,则( ) A .a >b B .a <b C .a ≥bD .a ≤bC [a -b =(3x 2-x +1)-(2x 2+x )=x 2-2x +1=(x -1)2≥0,∴a ≥b .] 3.若-1<α<β<1,则α-β的取值范围为________. (-2,0) [由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1. 所以-2<α-β<2,但α<β, 故知-2<α-β<0.]4.已知角α,β满足-π2<α-β<π2,0<α+β<π,则3α-β的取值范围是________.(-π,2π) [结合题意可知3α-β=2(α-β)+(α+β),且2(α-β)∈(-π,π),α+β∈(0,π),利用不等式的性质可知3α-β的取值范围是(-π,2π).]5.已知12<a <60,15<b <36.则a -b 的取值范围为________,ab 的取值范围为________.(-24,45) ⎝⎛⎭⎫13,4 [∵15<b <36, ∴-36<-b <-15,又12<a <60,∴12-36<a -b <60-15,即-24<a -b <45, ∵136<1b <115,∴1236<a b <6015.∴13<a b<4.]回顾本节知识,自我完成以下问题.1.两个代数式的大小关系有哪些?比较大小的方法有哪些? [提示] 大于、小于、等于.作差法、作商法. 2.作差法比较大小的具体步骤有哪些? [提示] 作差、变形、定号. 3.不等式的证明有哪些方法?[提示] 可以用比较法(作差或作商法),也可利用不等式的性质(综合法).。
高中数学 第三章 不等式疑难规律方法学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案
第三章 不等式1 比较实数大小的方法实数比较大小是一种常见题型,解题思路较多,广泛灵活多变,下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考. 1.利用作差法比较实数大小方法链接:作差比较法比较两个实数大小,步骤可按如下四步进行,作差——变形——判断差的符号——得出结论.比较法的关键在于变形,变形过程中,常用的方法为因式分解法和配方法.例1 已知a <b <c ,试比较a 2b +b 2c +c 2a 与ab 2+bc 2+ca 2的大小. 解 a 2b +b 2c +c 2a -(ab 2+bc 2+ca 2) =(a 2b -ab 2)+(b 2c -bc 2)+(c 2a -ca 2) =ab (a -b )+bc (b -c )+ca (c -a )=ab (a -b )+bc [(b -a )+(a -c )]+ca (c -a ) =ab (a -b )+bc (b -a )+bc (a -c )+ca (c -a ) =b (a -b )(a -c )+c (a -c )(b -a ) =(a -b )(a -c )(b -c ).∵a <b <c ,∴a -b <0,a -c <0,b -c <0, ∴(a -b )(a -c )(b -c )<0. ∴a 2b +b 2c +c 2a <ab 2+bc 2+ca 2. 2.利用作商法比较实数大小方法链接:作商比较法比较两个实数的大小,依据如下: (1)若a ,b 都是正数,则a >b ⇔a b>1;a <b ⇔a b <1;a =b ⇔ab=1.(2)若a ,b 都是负数,则a >b ⇔ab<1.a <b ⇔a b >1;a =b ⇔ab=1.作商比较法的基本步骤:①作商;②变形;③与1比较大小;④下结论. 例2 设a >0,b >0,且a ≠b ,试比较a a b b,a b b a,(ab )a +b2三者的大小.解a ab b aba +b 2=aa -a +b 2·bb -a +b 2=a a -b 2·b b -a 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a -b2. 当a >b >0时,a b>1,a -b >0,a -b2>0,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba -b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0=1,∴a a b b >(ab )a +b 2.当0<a <b 时,0<ab<1,a -b <0,a -b2<0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a -b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0=1,∴a a b b >(ab )a +b 2.∴不论a >b >0还是0<a <b ,总有a a b b>(ab )a +b2.同理:(ab )a +b2>a b b a.综上所述,a a b b>(ab )a +b2>a b b a.3.构造中间值比较实数大小方法链接:由传递性知a >b ,b >c ⇒a >c ,所以当两个数直接比较不容易时,我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较.例3 设a =log 3π,b =log 23,c =log 32,则a 、b 、c 的大小关系为________. 解析 a =log 3π>log 33=1,∴a >1,b =log 23=12log 23<12log 24=1,∴b <1,c =log 32=12log 32<12,∴a >b ,a >c .又b =log 23=12log 23>12,∴b >c ,∴a >b >c . 答案 a >b >c4.特殊值法比较实数大小方法链接:一些比较实数大小的客观性题目,先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例,从而确定出问题的答案.这种取特殊值法往往能避重就轻,避繁从简,快速获得问题的解.一些解答题,也可以先通过特例为解答论证提供方向.例4 若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2,且a 1+a 2=b 1+b 2=1,则下列代数式: ①a 1b 1+a 2b 2; ②a 1a 2+b 1b 2; ③a 1b 2+a 2b 1; ④12. 其中最大的值是________.(填序号) 解析 特殊值法.令a 1=14,a 2=34,b 1=14,b 2=34,则a 1b 1+a 2b 2=1016=58,a 1a 2+b 1b 2=616=38,a 1b 2+a 2b 1=616=38, ∵58>12>38,∴最大的数应是a 1b 1+a 2b 2. (注:本题还可以利用作差法比较大小,此答从略) 答案 ①5.利用函数单调性比较实数大小方法链接:有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成,可以考虑构建函数,借助函数的单调性加以判断.例5 当0<a <b <1时,下列不等式中正确的是________.(填序号) ①(1-a )1b>(1-a )b ;②(1+a )a >(1+b )b;③(1-a )b>(1-a )b2;④(1-a )a >(1-b )b.解析 对于①,∵0<a <b <1,∴函数y =(1-a )x为R 上的单调递减函数,∵1b >b ,∴(1-a )1b<(1-a )b,①错误;对于②,∵函数y =(1+a )x为R 上的单调递增函数, ∴(1+a )a<(1+a )b,又函数y =x b 在(0,+∞)上为单调递增函数, ∴(1+a )b<(1+b )b,从而(1+a )a<(1+b )b,②错误;对于③,∵函数y =(1-a )x为R 上的单调递减函数,且b >b2,∴(1-a )b<(1-a )b2,③错误;对于④,∵函数y =(1-a )x为R 上的单调递减函数,且a <b ,∴(1-a )a>(1-a )b,又函数y =x b为(0,+∞)上的单调递增函数,且1-a >1-b >0,从而(1-a )b>(1-b )b, ∴(1-a )a>(1-b )b,④正确. 答案 ④6.借助函数的图象比较实数大小方法链接:借助函数的图象比较实数大小,要从题目的条件与结论出发,着重分析其几何含义,善于构造函数图象,从图象上找出问题的结论.例6 设a 、b 、c 均为正数,且2a=log 12a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫12b =log 12b ,⎝ ⎛⎭⎪⎫12c =log 2c ,则a 、b 、c 的大小关系为________.解析 由函数y =2x,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,y =log 2x ,y =log 12x 的图象(如图所示)知0<a <b <1<c .答案 a <b <c2 解一元二次不等式需“三看”不少同学解一元二次不等式时常出错,感到无法可依.鉴于此,本文从教学过程中,总结了切实可行的“三看”法. 一看:二次项系数若二次项系数是实数时,对于二次项系数是负数的不等式,先将其化为正数.如解不等式-x 2-2x +8≥0时,可先将原不等式化为x 2+2x -8≤0,此时,要注意改变不等号的方向,若二次项系数是代数式f (m ),一般要分f (m )=0,f (m )≠0两种情况讨论. 二看:判别式Δ的符号将不等式视作一元二次方程,利用方程的判别式Δ判断方程根的情况.如上例中,Δ>0,方程x 2+2x -8=0有两个根x 1=2,x 2=-4.我们对此法熟练时,可将“二看”归纳为(x -2)(x +4)≤0.三看:口诀“大于取两边,小于取中间”“大于取两边”指“一看”中转化后的不等式符号为大于时,其解集取根的两边:①有两不等实根x 1,x 2(x 1>x 2),其解集为{x |x >x 1或x <x 2};②有两相等实根x 1=x 2,其解集为{x |x ≠x 1};③没有实根,其解集为R .“小于取中间”指“一看”中转化后的不等式符号为小于时,其解集取根的中间:①有两不等实根x 1,x 2(x 1>x 2),其解集为{x |x 2<x <x 1};②有两相等实根或没有实根,其解集为∅.如上例的解集为{x |-4≤x ≤2}. 例 解不等式-x 2-3x +2<-6x -2. 解 整理得x 2-3x -4>0,(一看) 所以(x -4)(x +1)>0,(二看)故不等式的解集是{x |x >4或x <-1}.(三看)点评 运用“三看”法的关键是“二看”,上例中能对其因式分解,说明有两个根,就不必考虑判别式了.3 解含参不等式的利器——分类讨论解含参数的一元二次不等式,要把握分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数与0的关系;其次根据根是否存在,即根据Δ的符号进行讨论;最后在根存在时,根据根的大小关系进行讨论.分类时要保证“不重不漏”,按同一标准进行划分后,不等式的解集的表达式是确定的. 1.对判别式“Δ”进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数,但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时,需要对判别式“Δ”进行讨论. 例1 解关于x 的不等式x 2+ax +1>0(a ∈R ). 解 对于方程x 2+ax +1=0,Δ=a 2-4.(1)当Δ>0,即a >2或a <-2时,方程x 2+ax +1=0有两个不等实根x 1=-a -a 2-42,x 2=-a +a 2-42,且x 1<x 2,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <-a -a 2-42或x >-a +a 2-42; (2)当Δ=0,即a =±2时,①若a =2,则原不等式的解集为{x |x ≠-1}; ②若a =-2,则原不等式的解集为{x |x ≠1};(3)当Δ<0,即-2<a <2时,方程x 2+ax +1=0没有实根,结合二次函数y =x 2+ax +1的图象,易知此时原不等式的解集为R . 2.对方程的解的大小进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数,且与之对应的一元二次方程一定有两解,但不知道两个解的大小时,需要对解的大小进行讨论.例2 解关于x 的不等式x 2-⎝⎛⎭⎪⎫a +1a x +1>0(a ∈R ,且a ≠0).解 原不等式可变形为(x -a )⎝⎛⎭⎪⎫x -1a >0,易求得方程(x -a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a =0的两个解分别为x 1=a和x 2=1a,所以(1)当a >1a ,即a ∈(-1,0)∪(1,+∞)时,原不等式的解集为{x |x <1a或x >a };(2)当a =1a,即a =±1时,①若a =1,则原不等式的解集为{x |x ≠1}; ②若a =-1,则原不等式的解集为{x |x ≠-1};(3)当a <1a ,即a ∈(-∞,-1)∪(0,1)时, 原不等式的解集为{x |x <a 或x >1a}.3.对二次项系数进行讨论当含参数的不等式的二次项系数含有参数时,首先要对二次项系数进行讨论;其次,有时要对判别式进行讨论,有时还要对方程的解的大小进行讨论. 例3 解关于x 的不等式ax 2-2≥2x -ax (a ∈R ). 解 原不等式可变形为ax 2+(a -2)x -2≥0. (1)当a =0时,原不等式的解集为{x |x ≤-1}; (2)当a ≠0时,原不等式可变形为(ax -2)(x +1)≥0,方程(ax -2)(x +1)=0的解为x 1=2a,x 2=-1.①当a >0时,2a>-1,所以原不等式的解集为{x |x ≥2a或x ≤-1};②当a <0时,a .当-2<a <0时,2a<-1,所以原不等式的解集为{x |2a≤x ≤-1};b .当a =-2时,原不等式的解集为{x |x =-1};c .当a <-2时,2a>-1,所以原不等式的解集为{x |-1≤x ≤2a}.综上:当a =0时,原不等式的解集为{x |x ≤-1}; 当a >0时,原不等式的解集为{x |x ≥2a或x ≤-1};当-2<a <0时,原不等式的解集为{x |2a≤x ≤-1};当a =-2时,原不等式的解集为{x |x =-1}; 当a <-2时,原不等式的解集为{x |-1≤x ≤2a}.4.对含参的分式不等式转化后再讨论对含有参数的分式不等式,利用不等式的同解原理等价转化为一元二次不等式的形式后,再按照上面的方法分类讨论,逐类求解. 例4 解不等式:x -k x +3x +2<x +1 (k ∈R ).解 原不等式⇔kx +3k +2x +2>0⇔(x +2)(kx +3k +2)>0,当k =0时,原不等式的解集为{x |x >-2}; 当k >0时,(kx +3k +2)(x +2)>0,变形为⎝⎛⎭⎪⎫x +3k +2k (x +2)>0, 因为3k +2k =3+2k>3>2,所以-3k +2k<-2.所以x <-3k +2k或x >-2.故不等式的解集为{x |x >-2或x <-3k +2k}.当k <0时,原不等式⇔(x +2)⎝⎛⎭⎪⎫x +3k +2k <0, 由于(-2)-⎝⎛⎭⎪⎫-3k +2k =k +2k. 所以当-2<k <0时,k +2k <0,-2<-3k +2k, 不等式的解集为{x |-2<x <-3k +2k};当k =-2时,-3k +2k=-2,原不等式⇔(x +2)2<0,不等式的解集为∅; 当k <-2时,k +2k >0,-2>-3k +2k. 不等式的解集为{x |-3k +2k<x <-2}.综上所述,当k =0时,不等式的解集为{x |x >-2}; 当k >0时,不等式的解集为{x |x <-3k +2k或x >-2};当-2<k <0时,不等式的解集为 {x |-2<x <-3k +2k};当k =-2时,不等式的解集为∅;当k <-2时,不等式的解集为{x |-3k +2k<x <-2}.回顾与提升 含有参数的一元二次不等式,问题看似简单,但因为含有参数,便大大增加了问题的复杂程度.分类讨论是解决这类问题的主要方法,确定分类讨论的标准时,要着重处理好以下三点:①讨论的“时刻”,即在什么时候才开始进行讨论.要求转化必到位,过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化.②讨论的“点”,即以哪个量为标准进行讨论.若把握不好这一类,问题就不能顺利解决. ③考虑要周到,即讨论对象的各种情况都要加以分析,给出结论.4 一元二次不等式恒成立问题的求解策略含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题,是研究恒成立问题的典型素材,也是近几年高考考查的热点之一.下面结合例子,介绍几种常用的求解策略:1.利用一元二次不等式的判别式求解 代数式ax 2+bx +c >0的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧a =b =0,c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=b 2-4ac <0.例1 已知不等式kx 2+kx +6x 2+x +2>2对任意x ∈R 恒成立,求k 的取值范围.解 ∵x 2+x +2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+74>0.∴原不等式等价于kx 2+kx +6>2x 2+2x +4, 即(k -2)x 2+(k -2)x +2>0. 当k =2时,2>0,结论显然成立; 当k ≠2时,k 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧k -2>0,Δ=k -22-4×2k -2<0,解得2<k <10.综上所述,k 的取值范围是2≤k <10.2.转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解一般地,f (x )≥a ,x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ,x ∈D 恒成立;f (x )≤a ,x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ,x ∈D 恒成立.例2 已知不等式sin 2x -2a sin x +a 2-2a +2>0对一切x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围. 解 设f (x )=sin 2x -2a sin x +a 2-2a +2, 则f (x )=(sin x -a )2+2-2a .当a <-1时,f (x )在sin x =-1时取到最小值,且f (x )min =a 2+3,a 2+3>0显然成立,∴a <-1.当-1≤a ≤1时,f (x )在sin x =a 时取到最小值,且f (x )min =2-2a ,由2-2a >0,解得a <1, ∵-1≤a ≤1,∴-1≤a <1.当a >1时,f (x )在sin x =1时取到最小值,且f (x )min =a 2-4a +3,由a 2-4a +3>0,解得a <1或a >3,∵a >1,∴a >3.综上所述,a 的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞). 3.利用直线型函数图象的保号性求解函数f (x )=kx +b ,x ∈[α,β]的图象是一条线段,此线段恒在x 轴上方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧f α>0fβ>0;此线段恒在x轴下方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧fα<0fβ<0;此线段与x 轴有交点的等价条件是f (α)·f (β)≤0.例3 已知当x ∈[0,1]时,不等式2m -1<x (m 2-1)恒成立,试求m 的取值范围. 解 设f (x )=(m 2-1)x +(1-2m ),则原不等式恒成立 ⇔f (x )>0,x ∈[0,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f0>0,f 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1-2m >0,m 2-2m >0⇔m <0.即m 的取值范围为(-∞,0). 4.分离参数后,利用基本不等式求解如果直接求参数的范围比较困难,而且参数容易从式子中分离出来,可以考虑分离参数后,再利用等价条件f (x )≥a ⇔a ≤f (x )min 或f (x )≤a ⇔a ≥f (x )max 求解.例4 已知函数f (x )=x 2+ax +3,当x ∈[-1,1]时,不等式f (x )>a 恒成立,求a 的取值范围.解 不等式f (x )>a ⇔x 2+ax +3>a ⇔x 2+3>a (1-x ),x ∈[-1,1].∵-1≤x ≤1,∴0≤1-x ≤2.当x =1时,1-x =0,x 2+3>a (1-x )对一切a ∈R 恒成立;当x ≠1时,0<1-x ≤2,则a <x 2+31-x .∵x 2+31-x=1-x 2-21-x +41-x=(1-x )+41-x -2≥2 1-x ·41-x-2=2.当且仅当1-x =41-x ,即x =-1时,取到等号.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+31-x min=2.从而a <2. 综上所述,a 的取值范围为(-∞,2).5 线性规划中的一题多变求解线性规划问题的一般步骤:先把线性目标函数z =ax +by 变形为ax +by -z =0,确定z 是直线ax +by -z =0在坐标轴上的截距或与截距相关的量,然后结合图形求出z 的最值.其中关键是确定z 的几何意义,在不同的问题中,z 呈现不同的几何意义,但都与斜率相关,下面就通过一个例题及其变式,给同学们展示一下z .例 设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,x +y -2≥0,3x -y -6≤0,则目标函数z =2x +y 的最小值为________.解析 作出可行域,如图中阴影部分所示.目标函数可化为2x +y -z =0,它表示斜率为-2的一族平行线,z 是直线在y 轴上的截距. 当直线过点M 时,z 取得最小值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2=0,x -y =0,得M (1,1),代入z =2x +y ,得z min =3. 答案 3点评 确定了z 的几何意义后,一般先作出一族平行线中过原点的直线,然后平移该直线,结合图象直观确定最优解.变式1 设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,x +y -2≥0,3x -y -6≤0,则目标函数z =x +2y 的最小值为________.解析 作出可行域,如图中阴影部分所示.目标函数可化为x +2y -z =0,它表示斜率为-12的一族平行线,z 是直线在x 轴上的截距.当直线过点N 时,z 取得最小值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2=0,3x -y -6=0,得N (2,0),代入z =x +2y ,得z min =2. 答案 2点评 确定z 的几何意义的原则:越简单越直接越好.变式2 设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,x +y -2≥0,3x -y -6≤0,则目标函数z =2x -y 的最小值为________.解析 作出可行域,如图中阴影部分所示.目标函数可化为2x -y -z =0,它表示斜率为2的一族平行线,-z 是直线在y 轴上的截距.当直线过点M 时,-z 取得最大值,此时z 的值最小. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -y =0,x +y -2=0,得M (1,1),代入z =2x -y ,得z min =1. 答案 1点评 当z 不是直线在坐标轴上的截距时,往往先求截距取得相应最值的最优解,再求目标函数的最值.变式3 设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,x +y -2≥0,3x -y -6≤0,则目标函数z =2x +3y 的最小值为________.解析 作出可行域,如图中阴影部分所示.目标函数可化为2x +3y -z =0,它表示斜率为-23的一族平行线,z3是直线在y 轴上的截距,当z3取得最小值时,此时z 的值最小.当直线过点N 时,z3取得最小值,此时z 的值也最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2=0,3x -y -6=0,得N (2,0),代入z =2x +3y ,得z min =4. 答案 4点评 求直线在坐标轴上的截距mz 的最值时,要注意m 的符号.6 求最优解为整点的方法处理实际问题中的最优解时,有时需满足x ,y ∈N ,这种最优解称为整点最优解,下面举例探讨整点最优解的方法. 1.平移法在可行域内找整点最优解,一般采用平移法,即打网格,描整点,平移直线,找出最优解.先按“平移法”求出非整点最优解及最值,再调整最值,最后筛选出整点最优解.例1 某中学准备组织学生去“鸟巢”参观.参观期间,校车每天至少要运送480名学生.该中学后勤有7辆小巴、4辆大巴,其中小巴能载16人、大巴能载32人.已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次,每次运输成本小巴为48元,大巴为60元.请问每天应派出小巴、大巴各多少辆,才能使总费用最少?分析 可以填表理解题意.这样便于列约束条件和目标函数.辆数 载人数 往返次数每次成本大巴 小巴解 设每天派出小巴x 辆、大巴y 辆,总运费为z 元, 则⎩⎪⎨⎪⎧5×16x +3×32y ≥480,0≤x ≤7,0≤y ≤4,x ,y ∈N ,目标函数z =240x +180y .作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图中阴影部分的整点.作出直线l :240x +180y =0,即4x +3y =0,把直线l 向右上方平移,使其经过可行域上的整点,且使其在y 轴上的截距最小.观察图象,可知当直线l 经过点B (2,4)时,满足上述要求.此时,z =240x +180y 取得最小值, 即当x =2,y =4时,z min =240×2+180×4=1 200(元).答 每天派2辆小巴、4辆大巴时总费用最少.点评 用平移法解线性规划题时,求整数最优解是个难点,对作图精度要求较高,平行直线系f (x ,y )=t 的斜率要画准,可行域内的整点要找准,最好使用“网格法”先作出可行域中的各整点. 2.检验法由于作图难免有误差,所以仅靠图象不一定能准确而迅速地找到最优解,此时可将若干个可能解逐一检验.例2 现有一根长4 000 mm 的条形高新材料,需要将其截成长分别为518 mm 与698 mm 的甲、乙两种零件毛坯,求高新材料的最大利用率.解 设甲种毛坯截x 根,乙种毛坯截y 根,高新材料的利用率为P ,则线性约束条件为518x +698y ≤4 000,其中x 、y ∈N ,目标函数为P =518x +698y4 000×100%,可行域是图中阴影部分的整点,目标函数表示与直线518x +698y =4 000平行的直线系.所以使P 取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x +698y =4 000的整点坐标.如图可得点(0,5),(1,4),(2,4),(3,3),(4,2),(5,2),(6,1),(7,0)都可能是最优解,逐一代入目标函数,可知当x =5,y =2时,P max =99.65%.答 当甲种毛坯截5根,乙种毛坯截2根时,高新材料的利用率最大,且最大为99.65%. 点评 解线性规划问题作图时应尽可能精确,但考虑到作图时必然会有误差,假如图上的最优解并不十分明显时,不妨将几个有可能是最优解的坐标都求出来,然后逐一进行检验,确定整点最优解. 基本不等式的推广“a 2+b 2≥±2ab ”是一个简单而公认的不等式,但是利用它,通过变形、引申可以方便地证明一些已有定理.如:定理1:若a 1,a 2,a 3,…,a n ∈R ,则有a 21+a 22+…+a 2nn ≥(a 1+a 2+…+a n n)2,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,式中等号成立, 由基本不等式a 2+b 2≥2ab 有2a 2+2b 2≥2ab +a 2+b 2a 2+b 22≥a +b24=(a +b2)2①我们猜想会不会有下式成立a 2+b 2+c 23≥(a +b +c3)2②∵(a +b +c )2+(a -b )2+(a -c )2+(b -c )2=3(a 2+b 2+c 2) ∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2∴a 2+b 2+c 23≥(a +b +c3)2③仿③式证明定理1证明 ∵(a 1+a 2+a 3+…+a n )2+(a 1-a 2)2+(a 1-a 3)2+…+(a 1-a n )2+(a 2-a 3)2+(a 2-a 4)2+…+(a 2-a n )2+(a 3-a 4)2+…+(a n -1-a n )2=n (a 21+a 22+a 23+a 2n ), ∴n (a 21+a 22+a 23+a 24…+a 2n )≥(a 1+a 2+a 3+a 4+…+a n )2,即a 21+a 22+…+a 2n n ≥(a 1+a 2+…+a n n)2,定理1成立,定理1的另一种形式是:|a 1+a 2+a 3+…+a nn |≤a 21+a 22+a 23+…+a 2nn.定理2:若a 1,a 2,a 3,…,a n ∈R ,则有a 1+a 2+a 3+…+a n ≥n na 1a 2a 3…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等式成立.设a ,b 是正实数,从最简不等式a 2+b 2≥2ab 降次,则有a +b ≥2ab ,设a ,b ,c 是正实数,则不等式a 3+b 3+c 3≥3abc 成立吗? 证明 ∵a ,b ,c 是正实数,∴(a 3+b 3)+(c 3+abc )≥2a 3b 3+2c 3abc ≥4a 3b 3c 3abc =4abc ,∴a 3+b 3+c 2≥3abc .上述不等式降次则有a ,b ,c 是正实数,a +b +c ≥33abc .实际上,基本不等式还有很多角度不同的推广,也有不少巧妙的应用,有兴趣的同学不妨搜一搜,或者自己做些尝试.7 例析以线性规划为载体的交汇问题1.线性规划与函数交汇例 1 设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -19≥0,x -y +8≥0,2x +y -14≤0所表示的平面区域为M ,则使函数y =a x(a >0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是________. 解析 作二元一次不等式组的可行域如图所示,由题意得A (1,9),C (3,8).当y =a x过A (1,9)时,a 取最大值,此时a =9; 当y =a x 过C (3,8)时,a 取最小值,此时a =2, ∴2≤a ≤9. 答案 [2,9]点评 准确作出可行域,熟知指数函数y =a x的图象特征是解决本题的关键. 2.线性规划与概率交汇例2 两人约定下午4点到5点在某一公园见面,他们事先约定先到者等候另一个人20分钟,过时就离去.请问这两个人能见面的概率有多大?解 用x 、y 分别表示两人到公园的时间,若两人能见面,则有|x -y |≤20,又0≤x ≤60,0≤y ≤60,即有⎩⎪⎨⎪⎧x -y -20≤0,x -y +20≥0,0≤x ≤60,0≤y ≤60,作出点(x ,y )的可行域如图中阴影部分,由图知,两人能见面的概率为阴影部分的面积与大正方形的面积之比,所以所求概率为P =602-40×40602=59. 点评 这是一道几何概型的题目,关键在于确定两人能见面的时间区域,利用线性规划的思想简洁、直观、明了.3.线性规划与一元二次方程交汇例3 已知方程x 2+(2+a )x +1+a +b =0的两根为x 1、x 2,且0<x 1<1<x 2,则ba的取值范围是__________.解析 令f (x )=x 2+(2+a )x +1+a +b ,并且0<x 1<1<x 2,则由题意知函数f (x )在(0,1)及(1,+∞)内各有一个零点,得⎩⎪⎨⎪⎧f0>0,f 1<0,即⎩⎪⎨⎪⎧a +b +1>0,2a +b +4<0.作出可行域,如图所示.而令k =ba,则表示可行域内的点与原点连线的斜率. 设M (x 0,y 0),则由⎩⎪⎨⎪⎧x 0+y 0+1=0,2x 0+y 0+4=0,得M (-3,2),k OM =-23,结合图可知-2<k <-23,故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,-23. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫-2,-23点评 本题以一元二次方程的根的范围为背景,并通过与二次函数的联系转化为关于a 、b 的线性约束条件来求解.其中理解ba表示可行域内的点与原点连线的斜率是解题的关键. 4.线性规划与圆交汇例4 若{(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y +5≥03-x ≥0x +y ≥0}⊆{(x ,y )|x 2+y 2≤m 2(m >0)},求实数m 的取值范围.解 设A ={(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +5≥03-x ≥0x +y ≥0},B ={(x ,y )|x 2+y 2≤m 2(m >0)},则集合A 表示的区域为图中阴影部分,集合B 表示以坐标原点为圆心,m 为半径的圆及其内部,由A ⊆B ,得m ≥PO ,由⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +5=03-x =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =4,即P (3,4),∴PO =5,即m ≥5.点评 集合{(x ,y )|x 2+y 2≤m 2(m >0)}的几何含义是以原点(0,0)为圆心,m 为半径的圆及其内部区域.5.线性规划与平面向量交汇例5 已知O 为坐标原点,定点A (3,4),动点P (x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y +1≥xx +y ≤3,则向量OP →在OA →上的投影的取值范围是________.解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y +1≥xx +y ≤3所表示的平面区域,如图所示,向量OP →在向量OA →上的投影为 |OP →|cos∠AOP =|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|=OP →·OA →|OA →|=3x +4y5,令z =3x +4y ,易知直线3x +4y =z 过点G (1,0)时,z min =3; 直线3x +4y =z 过点N (1,2)时,z max =11. ∴⎝⎛⎭⎪⎫3x +4y 5min =35,⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +4y 5max =115.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35,115点评 向量OP →在OA →上的投影:|OP →|·cos〈OP →,OA →〉=|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|=OP →·OA →|OA →|=3x +4y 5.清楚这一点对解答本题至关重要.8 a 2+b 2≥2ab 的四“变”如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时,等号成立).该结论利用作差法极易证明.下面给出其四个重要的变式及应用.变式1 如果a ,b 是正数,那么a +b2≥ab (当且仅当a =b 时,等号成立).证明 见教材证明.例1 若实数a ,b 满足a +b =2,则3a +3b的最小值是________. 解析 3a+3b≥23a×3b=23a +b=232=6.当且仅当a =b =1时,等号成立. 答案 6变式2 如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2|ab |(当且仅当|a |=|b |时,等号成立). 证明 因为a 2+b 2=|a |2+|b |2≥2|a |·|b |=2|ab |, 所以a 2+b 2≥2|ab |,当且仅当|a |=|b |时,等号成立. 例2 若实数x ,y 满足4x 2-5xy +4y 2=5,设S =x 2+y 2,则1S max +1S min=________.解析 由x 2+y 2≥2|xy |,得-x 2+y 22≤xy ≤x 2+y 22,则-5x 2+y 22≤-5xy ≤5x 2+y22,当且仅当|x |=|y |时,等号成立. 则3x 2+y 22≤4x 2-5xy +4y 2≤13x 2+y 22,即32S ≤5≤132S , 所以1013≤S ≤103,于是S max =103,S min =1013,故1S max +1S min =85.答案 85变式3 若a ,b ∈R ,那么(a +b )2≥4ab (当且仅当a =b 时,等号成立). 证明 因为a 2+b 2≥2ab ,所以a 2+b 2+2ab ≥4ab , 即(a +b )2≥4ab ,当且仅当a =b 时,等号成立.例3 若正数a ,b 满足ab -8=a +b ,则ab 的最小值为____________________________. 解析 由条件,得ab -8=a +b >0,则(ab )2-16ab +64=(a +b )2,又因为(a +b )2≥4ab ,则(ab )2-20ab +64≥0,又ab >8,解得ab ≥16,当且仅当a =b =4时,等号成立,所以ab 的最小值为16. 答案 16变式4 若a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥a +b22(当且仅当a =b 时,等号成立).证明 a 2+b 2-a +b22=a -b22≥0,当且仅当a =b 时,等号成立,所以a 2+b 2≥a +b22.例4 若a ,b ,c 是正实数,且a +b +c =1,则a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2的最小值是________. 解析 由变式4,得a 2+b 2≥22(a +b ), b 2+c 2≥22(b +c ),c 2+a 2≥22(c +a ), 所以a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2≥22(a +b +b +c +c +a )=22×2= 2.当且仅当a =b =c =13时,等号成立.故最小值为 2. 答案29 运用基本不等式求最值的7种常见技巧在利用基本不等式求最大值或最小值时,为满足“一正、二定、三相等”的条件,需要作一些适当的变形,用到一些变换的技巧,下面举例说明. 1.凑和为定值例1 若a 、b 、c >0,且2a +b +c =6,则a (a +b +c )+bc 的最大值为________. 分析 注意a (a +b +c )+bc =(a +b )(a +c ),而2a +b +c =(a +b )+(a +c ),从而沟通了问题与已知的联系,然后利用基本不等式求最值. 解析 ∵a (a +b +c )+bc =a 2+ab +ac +bc =(a 2+ac )+(ab +bc )=a (a +c )+b (a +c ) =(a +b )(a +c )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a +b +a +c 22=⎝⎛⎭⎪⎫2a +b +c 22=⎝ ⎛⎭⎪⎫622=32.当且仅当a +b =a +c =62时,取“=”, ∴a (a +b +c )+bc 的最大值为32.答案 322.凑积为定值例2 设a >b >c >0,则2a 2+1ab +1a a -b -10ac +25c 2的最小值是________.分析 注意到2a 2+1ab +1aa -b-10ac +25c 2=a 2-ab +1aa -b +ab +1ab+a 2-10ac +25c 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤aa -b +1a a -b +⎝ ⎛⎭⎪⎫ab +1ab +(a -5c )2然后分别利用基本不等式和平方数的性质求最值.由于代数式比较复杂,要注意等号取到的条件. 解析 ∵a >b >c >0,∴原式=a 2+1ab +1aa -b-10ac +25c 2+a 2=a 2-ab +1aa -b+ab+1ab+(a -5c )2≥2+2+0=4,当且仅当a (a -b )=1,ab =1,a -5c =0时取等号.即当a=2,b =22,c =25时,所求代数式的最小值为4. 答案 43.化负为正例3 已知x <54,求函数y =4x -2+14x -5的最大值.分析 因为4x -5<0,所以要先“调整”符号,又(4x -2)·14x -5不是常数,所以对4x -2要添项“配凑”. 解 ∵x <54,∴5-4x >0,∴y =4x -2+14x -5=-⎝ ⎛⎭⎪⎫5-4x +15-4x +3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时,上式等号成立,故当x =1时,y max =1. 4.和积互“化”例4 若正实数x ,y 满足2x +y +6=xy ,则2x +y 的最小值是________.分析 可以利用基本不等式的变形形式ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22进行和或积的代换,这种代换目的是消除等式两端的差异,属不等量代换,带有放缩的性质. 解析 方法一 ∵x >0,y >0, ∴xy =12·(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +y 22,∴2x +y +6=(2x +y )+6≤18(2x +y )2,∴(2x +y )2-8(2x +y )-48≥0, 令2x +y =t ,t >0, 则t 2-8t -48≥0, ∴(t -12)(t +4)≥0, ∴t ≥12,即2x +y ≥12.方法二 由x >0,y >0,2x +y +6=xy ,得xy ≥22xy +6(当且仅当2x =y 时,取“=”),即(xy )2-22xy -6≥0,∴(xy -32)·(xy +2)≥0.又∵xy >0,∴xy ≥32,即xy ≥18.∴xy 的最小值为18,∵2x +y =xy -6,∴2x +y 的最小值为12. 答案 12 5.消元法例5 若正实数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的最小值为________.分析 从ab =a +b +3中解出b ,即用a 的代数式表示b ,则ab 可以用a 来表示,再求关于a 的代数式的最值即可.解析 ∵ab =a +b +3,∴b (a -1)=a +3. ∵a >0,b >0,∴a -1>0,∴a >1.∴b =a +3a -1. ∴ab =a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a +3a -1=a 2+3a a -1=a -12+5a -1+4a -1=(a -1)+4a -1+5. ∵a >1,∴a -1+4a -1≥2 a -1·4a -1=4,当且仅当a -1=4a -1,即a =3时,取等号, 此时b =3,∴ab ≥9. ∴ab 的最小值为9. 答案 9 6.平方法例6 若x >0,y >0,且2x 2+y 23=8,求x 6+2y 2的最大值.分析 仔细观察题目已知式中x 与y 都是二次的,而所求式中x 是一次的,而且还带根号,初看让人感觉无处着手,但是如果把x 6+2y 2平方,则豁然开朗,思路就在眼前了.解 (x 6+2y 2)2=x 2(6+2y 2)=3·2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1+y 23 ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2+1+y 2322=3·⎝ ⎛⎭⎪⎫922.当2x 2=1+y 23,即x =32,y =422时,等号成立.故x 6+2y 2的最大值为932.7.换元法例7 某商品进货价每件50元,据市场调查,当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时,每天售出的件数为P =105x -402,若要使每天获得的利润最多,销售价格每件应定为多少元?解 设销售价格定为每件x 元(50<x ≤80),每天获得的利润为y 元,则y =(x -50)·P =105x -50x -402.令x -50=t ,∴y =105tt +102=105tt 2+20t +100=105t +100t+20≤10520+20=2 500.当且仅当t =10,即x =60时,y max =2 500. 答 销售价格每件应定为60元.10 不等式易错备忘录1.多次非同解变形,导致所求范围扩大而致错例1 已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a ≠0)满足1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的范围是________.[错解] 由于f (-2)=4a -2b ,要求f (-2)的范围,可先求a 与b 的范围.由f (-1)=a -b ,f (1)=a +b ,得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a -b ≤2, ①2≤a +b ≤4, ②两式相加得32≤a ≤3,又-2≤b -a ≤-1,③②式与③式相加得0≤b ≤32.∴6≤4a ≤12,-3≤-2b ≤0.∴3≤4a -2b ≤12. 即3≤f (-2)≤12.[点拨] 这种解法看似正确,实则使f (-2)的范围扩大了,事实上,这里f (-2)最小值不可能取到3,最大值也不可能是12.由上述解题过程可知,当a =32且b =32时才能使4a -2b =3,而此时a -b =0,不满足①式.同理可验证4a -2b 也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的,用它来作变形,是非同解变形.以上解法为了求a ,b 的范围,多次应用了这一性质,使所求范围扩大了.[正解] 方法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧f-1=a -b f 1=a +b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =12[f 1+f -1]b =12[f1-f -1],∴f (-2)=4a -2b=2[f (1)+f (-1)]-[f (1)-f (-1)] =3f (-1)+f (1).∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤f (-2)≤10. 方法二 数形结合法在坐标平面aOb 上,作出直线a +b =2,a +b =4,a -b =1,a -b =2,则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a +b ≤41≤a -b ≤2表示平面上的阴影部分(包括边界),如图所示. 令m =4a -2b , 则b =2a -m2.显然m 为直线系4a -2b =m 在b 轴上截距2倍的相反数.当直线b =2a -m 2过阴影部分中点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12时,m 取得最小值5;过点C (3,1)时,m 取得最大值10.∴f (-2)∈[5,10].温馨点评 利用不等式的变换求取值范围时,要使变换符合等价性.像此类题一般是运用待定系数法或线性规划中最优解方法求解.切勿像误区中解法那样先求a 、b 的范围,再求f -2的范围,这样求出的范围会扩大. 2.混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y =lg(ax 2-2x +a )的值域为R ,求a 的取值范围. [错解1] ∵函数y =lg(ax 2-2x +a )的值域为R . ∴ax 2-2x +a >0对x ∈R 恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0,即⎩⎪⎨⎪⎧a >04-4a 2<0,∴a >1.[错解2] ∵函数y =lg(ax 2-2x +a )的值域为R . ∴代数式ax 2-2x +a 能取遍一切正值. ∴Δ=4-4a 2≥0,∴-1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ;解法2虽然理解题意,解题方向正确,但是忽略了a <0时,代数式ax 2-2x +a 不可能取到所有正数,从而也是错误的. [正解] 当a =0时,y =lg(-2x )值域为R ,a =0适合.当a ≠0时,ax 2-2x +a =a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a -1a 为使y =lg(ax 2-2x +a )的值域为R ,则代数式ax 2-2x +a 应取到所有正数.所以a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0a -1a≤0,解得0<a ≤1. 综上所述,0≤a ≤1.温馨点评 函数的定义域为R 与函数的值域为R 是两个不同的问题,处理方法截然不同,在学习中要注意区分这类“貌似而实质迥异”的问题.3.忽略截距与目标函数值的关系而致错例3 设E 为平面上以A (4,1),B (-1,-6),C (-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),求z =4x -3y 的最大值与最小值. [错解]把目标函数z =4x -3y 化为y =43x -13z .根据条件画出图形如图所示,当动直线y =43x -13z 通过点C 时,z 取最大值;当动直线y =43x -13z 通过点B 时,z 取最小值.∴z min =4×(-1)-3×(-6)=14;z max =4×(-3)-3×2=-18.[点拨] 直线y =43x -13z 的截距是-13z ,当截距-13z 最大即过点C 时,目标函数值z 最小;。
高中数学 第三章不等式 §3.2.2一元二次不等式(二)导学案 苏教版必修5
§3.2一元二次不等式(二) 第 23 课时一、学习目标(1)经历从实际情景抽象出一元二次不等式模型的过程,从中体会由实际问题建立数学模型的方法;(2)利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式;(3)让学生充分体会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用,进一步提高学习数学的兴趣.二、学法指导解一元二次不等式的一般步骤:当0a >时,解形如20(0)ax bx c ++≥>或20(0)ax bx c ++≤<的一元二次不等式,一般可分为三步:(1)确定对应方程20ax bx c ++=的解;(2)画出对应函数2y ax bx c =++图象的简图;(3)由图象得出不等式的解集。
三、课前预习1.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系?2.解不等式: (1) 234x x ->; (2)0322>-+-x x ;(3) 2(1)(30)0x x x --->; (4)2212311x x x -≥+-. 3.归纳解一元二次不等式的步骤:四、课堂探究例1.用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗?当长、宽分别为多少米时,所围成的矩形的面积最大?解:例2.某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为1602p x =-,生产x 件所需成本为50030C x=+元,问:该厂日产量多大时,日获利不少于1300元?解:例3.汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ,乙车的刹车距离略超过10m ,又知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系:220.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲.问:甲、乙两车有无超速现象?分析:根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速.解:例4.解关于x 的不等式2(2)20x a x a -++<.例5.已知:{}{}22|320,|(1)0A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤, (1)若A B ⊂≠,求a 的取值范围; (2)若B A ⊆,求a 的取值范围;(3)若A B 为一元集,求a 的取值范围;(4)若A B B =,求a 的取值范围;解:五、巩固训练求下列不等式的解集:(1)22120x ax a --<; (2)2106511x x -≤+-≤.六、回顾小结:1.有关一元二次不等式的实际问题,在于理清各个量之间的关系,建立数学模型;2.利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式.七、课外作业:课本第71页 练习 第1题;习题3.2 第4题; 第94页 复习题 第1(3)、(4),2题.补充:1.求不等式24318x x ≤-<的整数解; 2.解不等式:(1)2223513134x x x x --≥-+; (2)223()0x a a x a -++>. 3.求不等式220x x a -+≤的解集.。
高中数学 第三章不等式 §3.2.3一元二次不等式(三)导学案 苏教版必修5
§3.2一元二次不等式(三) 第 24 课时一、学习目标(1)掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法;(2)从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题;(3)从二次函数或是一元二次方程的角度,来解决一元二次不等式的综合题.二、学法指导从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题,掌握一元二次不等式恒成立的解题思路.三、课前预习1.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系?2. 一元二次不等式恒成立情况小结:20ax bx c ++>(0a ≠)恒成立⇔ .20ax bx c ++<(0a ≠)恒成立⇔ .四、课堂探究例1.已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤,求实数,m n 之值.解:例2.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a -+>的解集.解:例3.已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ,求m 的取值范围.解:例4.若函数y =x 的取值范围是一切实数,求k 的取值范围.解:例5.若不等式2210mx x m -+-<对满足22m -≤≤的所有m都成立,求实数x 的取值范围.解:五、巩固训练关于x 的不等式223x x k k x x -+>-+对一切实数x 恒不成立,求k 的取值范围.六、回顾小结:1.从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题;2.一元二次不等式恒成立的问题.七、课外作业:课本第71页 第5、6题; 第94页 复习题 第4、11题. 补充:1.设12,x x 是关于x 的方程22210()x kx k k R -+-=∈的两个实根,求2212x x +的最小值; 2.不等式02x a x->-的解集为{|22}x x -<<,求不等式20x x a ++>的解集;3.已知不等式2222(1)0x ax a x x a +++>++对一切实数x 都成立,求a 的取值范围.。
江苏省南京市2014届高三数学二轮复习 专题3 不等式问题导学案
解:·a的取值范围为[-7,7].
【教学建议】
1.本题是线性规划问题.但目标函数不是常规的情形(线性目标函数,斜率与两点问题距离),需转化.
2.由于M,N是可行域中任意两点,所以可以利用=-,将问题求·a与·a的差的取值范围,从而转化为求线性目标函数z=x-y的最大值与最小值,这是一标准的线性规划问题.
其中,基本不等式及其变形:a,b∈R+,a+b≥2(或ab≤()2),当且仅当a=b时取等号,所以当和为定值时,可求积的最值;当积为定值是,可求和的最值.
4.f(x)=x+型函数
对于f(x)=x+,
当a≤0时,f(x)在(-∞,0),(0,+∞)为增函数;
当a>0时,f(x)在(-∞,),(,+∞)为增函数;在(-,0),(0,)为减函数.
(1)-3x2+4x+4>0(2)≤2 (3) 4x-3·2-8≤0(4)ax2-ax+1<0
答案:(1)(-,2);(2) (-∞,-4]∪(-1,+∞);(3)(-∞,];
(4)当0≤a≤4时,解集为;当a>4时,<x<;
当a<0时,x>或x<.
2.(1)若对任意x∈R,都有(m-2)x2-2(m-2)x-4<0恒成立,则实数m的取值范围是.
例3已知x,y满足条件,且M(2,1),P(x,y).求:
(1)的取值范围;(2)x2+y2的最大值与最小值;(3)·的最大值;(4)||cos∠MOP的最小值.
解:(1)的取值范围为[,9].
(2)x2+y2的最大值为37,最小值为.
(3)·的最大值为9.
(4) ||cos∠MOP的最小值为-.
【教学建议】
分式不等式
(1)>0等价于f(x)g(x)>0;<0等价于f(x)g(x)<0.
2020江苏省南京市东山外语国际学校高三数学二轮专题复习《不等式》导学案(无答案)
专题一 不等式【高考趋势】不等式既是高考数学中重要的基础知识,也是高中数学重要的工具之一,高考中既有单独对此知识点的考查,也有综合函数,数列,导数及解几等进行的考查.高考非常重视不等式的工具性作用.【考点展示】1.不等式31122x x -+≤的解集为 .2. 已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围 是___ __.3.设,x y 均为正实数,且331,22x y+=++则xy 的最小值为 .4. 将边长为1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记2(S =梯形的周长)梯形的面积,则S 的最小值是________.5.已知函数(),f x b=+若对任意1,33a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,总存在01,1,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0()3f x >,则b 的取值范围是 .【样题剖析】例1. 解关于x 的不等式()22120ax a x -++<.例2.已知函数432()2,(,,)f x x ax x b x R a b R =+++∈∈,(1) 若函数()f x 仅在0x =处有极值,求实数a 的取值范围;(2) 若对于任意的[]2,2a ∈-,不等式()1f x ≤在[]1,1x ∈-上恒成立,求实数b 的取值范围.例3.已知集合{}121212(,)|0,0,.D x x x x x x k =>>+=其中k 为正常数(1)设12u x x =,求u 的取值范围;(2)求证:当1k ≥时,不等式21212112()()()2k x x x x k--≤-对任意()12,x x D ∈恒成立; (3)求使不等式21212112()()()2k x x x x k --≤-对任意()12,x x D ∈恒成立的k 的范围.【总结提炼】【自我测试】1.已知椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>,当216()a b a b +-取最小值时,椭圆的离心率e = .2.已知函数()f x 的导函数()5cos ,(1,1),f x x x '=+∈-且(0)0f =,若2(1)(1)0,f x f x -+-<则实数x 的取值范围为 .3. 若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中整数恰好有3个,则实数a 的取值范围 是 .4.已知函数()()21,1f x x g x a x =-=-(1)若()()f x g x =只有两个不同的解,求a 的值;(2)若当x R ∈时,不等式()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围.。
高考数学 不等式 专题复习教案 苏教版
不等式专题一、知识回顾不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型,是解决许多实际问题的重要工具,在高考中属主体内容.以考查不等式的解法和最值方面的应用为重点,多数情况是在函数、数列、几何、实际应用题等综合型试题中考查,在考试说明中1.解某些不等式要与函数的定义域、值域、单调性联系起来,含参数的不等式可分类讨论.2.利用基本不等式时要注意不等式运用的条件.3.要强化不等式的应用意识,同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系,充分利用函数方程思想、数形结合的思想处理问题.4.利用线性规划解决问题时应力求画图准确. 二、例题精讲例1.设0,0.a b >>3a 与3b 的等比中项,则11a b+的最小值为__________.解析: 因为333=⋅b a ,所以1a b +=,1111()()2224b a b a b a b a b a ba +=++=+++=,当且仅当b a a b =即12a b ==时“=”成立,故最小值为4.练习 1.若直线10(0,0)ax by a b ++=>>经过圆228210x y x y ++++=的圆心,则11a b+的最小值为__________________. 例2.已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,则220cx x a -+->的解集为________________.解析:由220ax x c ++>的解集为11(,)32-知0a <,11,32-为方程220ax x c ++=的两个根,由韦达定理得11211,3232ca a-+=--⨯=,解得12,2a c =-=,∴220cx x a -+->即222120x x --<,其解集为(2,3)-.练习2.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}|0x x αβ<<<,试用,αβ表示不等式20cx bx a -+>的解集.例3.已知13a b -<+<且24a b <-<,则23a b +的取值范围为_________________.解析:设23()()()()a b x a b y a b x y a x y b +=++-=++-,∴23x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴55151(),2()12222a b a b -<+<-<--<-∴95113()()2222a b a b -<+--<, 即9132322a b -<+<.错解:解此题常见错误是:-1<a +b <3,① 2<a -b <4. ② ①+②得1<2a <7. ③ 由②得-4<b -a <-2. ④ ①+④得-5<2b <1,∴-215<3b <23.⑤③+⑤得-213<2a +3b <217. 另:本题也可用线性规划来解. 练习3. 函数2()f x ax bx =+满足:1(1)2,2(1)4f f -,求(2)f -的取值范围为____________________.例4.某种饮料分两次提价,提价方案有三种,方案甲是:第一次提价%p ,第二次提价%q ;方案乙是:第一次提价%q ,第二次提价%p ;方案丙是:每次提价%2p q+.如果0p q >>,那么提价最多的是方案 解析:设原价为1,两次提价后的价格为y 则:(1%)(1%)y p q =++甲2[1()%]2p qy +=+丙 易证:y y y >=乙丙甲,方案丙提价最多. 练习4.(1)甲、乙两人两次在同一个粮店购买粮食(设两次单价不同),甲每次购买粮食100kg, 乙每次用100元购买粮食.若规定,谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就合算,则两人购粮方式更合算的是__________________. (2)b 克盐水中,有a 克盐(0>>a b ),若再添加m 克盐(0m >)则盐水就变咸了,试根据这一事实提炼一个不等式 ___________.例5.(1)设,,x y z 为正实数,满足230x y z -+=,则2y xz的最小值是__________.(2)如果正数,a b 满足3ab a b =++,那么ab 的取值范围是____________. 解析:(1)230x y z -+=32x zy +⇒=22(3)(23)344y x z xz xz xzxz +∴==,即2y xz的最小值为3. (2)由题设,3011b a b b +=>⇒>-. 又23(1)5(1)44(1)5111b b b ab b b b b b +-+-+=⋅==-++--- 10b ->,4(1)2(1)41b b b ∴-+-=-9ab ⇒.或解::323ab a b ab =+++230⇒-3⇒练习5.(1) 已知,,,a b x y R +∈(,a b 为常数),10a b +=,1a bx y+=,若 x y+的最小值为18,求,a b 的值.(2)若,,,a b x y ∈R , 且222a b +=, 228x y +=, 则ax by +的最大值是_______.例6.解关于x 的不等式:04)1(22<++-x a ax 解析:0)2)(2(<--x ax 当0a =2x ⇒>当0<a 2()(2)0x x a ⇒-->⇒2|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或当0a >2()(2)0x x a ⇒--<当a a 2210<⇒<<∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 22|当1a x φ=⇒∈当⇒>⇒>a a 221⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<22|x a x 练习6. 解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++>.例7.已知函数2(),[1,)x ax af x x x-+=∈+∞, (1)当4a =时,求函数()f x 的最小值;(2)若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,求实数a 的取值范围.解析:(1)当4a =时,2444()4440x x f x x x x-+==+--=.(2)由题意,[1,)x ∈+∞时,()0f x >恒成立,即20x ax ax-+>恒成立, [1,)x ∈+∞,即240x ax -+>恒成立,若1x =4a ⇒<,若1x >,则21x a x <-恒成立,故2min ()1x a x <-, 而2112411x x x x =-++--,当且仅当2x =时取等号,故2min ()41x x =-,所以,4a <练习7. 三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-在[1,12] 上恒成立,求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说:“把不等式变形为左边含变量x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”. 丙说:“把不等式两边看成关于x 的函数,作出函数图像”.参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a 的取值范围 是 .例8.数列{}n x 由下列条件确定:*1110,(),()2n n nax a x x n N x +=>=+∈,当2n时,求证:(1)n x a ;(2)1n n x x +解析:(1)由1110,()2n n nax a x x x +=>=+,知*0,()n x n N >∈,当2n时,(2)112,,()2n n n nanx a x x x +=+当时, 211()022n n n n n n na x ax x x x x x +-∴-=+-=,所以,当2n时,1n n x x +练习8.已知数列{}n a 为等比数列,256,162a a ==,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,证明:2211n n n S S S ++⋅.例9.已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,且12012x x <<<<,若设2z a b =+,求实数z 的取值范围 解析:/2()22f x ax bx b =-+-,又1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值 故在12(,)x x 有/()0f x <,在12(,)(,)x x -∞+∞上有/()0f x >0,a ⇒>方程/()0f x =即2220ax bx b -+-=的两根12,x x 分布在(0,1),(1,2)内又2z a b =+,由线性规划知识易知,当过两点46(,),(2,2)77时z 取得最大和最小值,z ⇒的范围为16(,6)7.练习9. 已知关于x 的不等式222(37)(32)0x a x a a +-++-<的解集中的一个元素是0,求实数a 的取值范围,并用a 表示该不等式的解集. 例10.已知二次函数()f x 满足(0)1f =,(1)()2f x f x x +-=(1) 求二次函数()f x 的表达式;(2) 若不等式()2f x x m >+在[1,1]-上恒成立,求实数m 的取值范围。
江苏省南京市高三数学第二轮专题复习讲义二 教案
江苏省南京市高三数学第二轮专题复习讲义二填充题专项训练(1)1.已知()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x <3时,()f x 的图象如图所示,那么不等式()cos f x x >0 的解集为。
⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,12,3ππ 2.设不等式0122<+--m x mx 对于满足2||≤m 的一切m 的值都成立,x 的取值范围 。
()31,17+-3.已知集合A ={(x ,y )|13--x y =2,x 、y ∈R },B ={(x ,y )|4x +ay =16,x 、y ∈R }, 若A ∩B =φ,则实数a 的值为 4或-2 .4.关于函数3()2sin(3)4f x x π=-,有下列命题:①其最小正周期是23π;②其图象可由x y 3sin 2=的图象向左平移4π个单位得到;③其表达式可改写为)43cos(2π-=x y ;④在∈x [12π,125π]上为增函数.其中正确的命题的序号是: 1 ,4 .5.函数3)4cos(222sin )(+++=x x x f π的最小值是 222- 6.对于函数x x x f sin cos )(+=,给出下列四个命题:①存在∈α(0,2π),使34)(=αf ;②存在∈α(0,2π),使)3()(αα+=+x f x f 恒成立;③存在∈ϕR ,使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称;④函数)(x f 的图象关于(43π,0)对称.其中正确命题的序号是1,3,4 .7.点A 在以原点为圆心的圆周上依逆时针方向作匀速圆周运动。
已知点A 从x 轴正半轴出发一分钟转过θ(0<θ<π)角,2分钟到达第三象限,14分钟回到原来的位置,则θ=7574ππ或。
8.函数f (x )=3sin (x +20°)+5sin (x +80°)的最大值为___7_____。
9.已知的值为263512-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
专题3:不等式问题(两课时)班级 姓名 一、前测训练1. 解下列不等式:(1)-3x 2+4x +4>0 (2)-2+x x +1≤2 (3) 4x -3·2x +12-8≤0 (4)ax 2-ax +1<0答案:(1)(-23,2);(2) (-∞,-4]∪(-1,+∞); (3)(-∞,52];(4) 当0≤a ≤4时,解集为∅;当a >4时,a -a 2-4a 2a <x <a +a 2-4a 2a ;当a <0时,x >a -a 2-4a 2a 或x <a +a 2-4a2a.2.(1)若对任意x ∈R ,都有(m -2)x 2-2(m -2)x -4<0恒成立,则实数m 的取值范围是 .(2) 若对任意x >0,都有mx 2-2x -1<0恒成立,则实数m 的取值范围是 .(3) 若对任意-1≤m ≤1,都有mx 2-2x +1-m <0恒成立,则实数x 的取值范围是 . 答案:(1)(-2,2];(2)(-∞,0];(3)(3-1,2). 3.(1)函数y =1-4x +15-4x (x >54)的最大值为 .(2)已知x >0,y >0 ,且1x +9y=2,则x +y 的最小值为 .答案:(1)-6;(2)8. 4.求下列函数的值域:(1)y = x 2+5x 2+4; (2)f (x )=x +ax ,x ∈[1,2]答案:(1)52;(2)当a ≤1时,值域为[1+a ,2+a 2],当1<a <2时,值域为[2a ,2+a 2],当2≤a ≤4.值域为[2a ,1+a ],当a >4时,值域为[2+a 2,1+a ].5.求下列函数的值域:(1)y = x 2-2x +22x -1(x >12) (2)y = x -1x 2-x +2(x ≤-1)答案:(1)[5-12,+∞);(2)[-12,0). 6.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -4y ≤-33x +5y ≤25x ≥1 ,则(1) z =x +2y 的最小值为 ;(2)z =2x -y 的最大值为 ;(3) z =x 2+2x +y 2的最大值为 ;(4) z =yx +4的最大值为 .答案:(1)3;(2)8;(3)39;(4)2225.二、方法联想1.一元二次不等式从四个方面考虑:(1)二次项系数为0和正负情况;(2)二次方程根是否存在情况(优先用十字相乘法求根);(3)二次方程根的大小情况; (4)二次不等式的不等号方向. 分式不等式(1) f (x )g (x )>0等价于f (x )g (x )>0; f (x )g (x )<0等价于f (x )g (x )<0.(2)f (x )g (x )≥0等价于⎩⎨⎧f (x )g (x )≥0,g (x )≠0; f (x )g (x )≤0等价于⎩⎨⎧f (x )g (x )≤0,g (x )≠0.2.恒成立问题(1)二次不等式恒成立问题方法1 结合二次函数图象分析. 方法2 分离变量法 (2)一次不等式恒成立问题①若关于x 的不等式ax +b ≥0对任意x ∈ [m ,n ]上恒成立,则⎩⎨⎧f (m )≥0,f (n )≥0;②若关于x 的不等式ax +b ≤0 对任意x ∈[m ,n ]上恒成立,则⎩⎨⎧f (m )≤0,f (n )≤0.3.基本不等式求最值利用基本不等式求最值:一正、二定、三等号. 三个不等式关系:(1)a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时取等号. (2)a ,b ∈R +,a +b ≥2ab ,当且仅当a =b 时取等号. (3)a ,b ∈R ,a 2+b 22≤(a +b2)2,当且仅当a =b 时取等号.上述三个不等关系揭示了a 2+b 2,ab ,a +b 三者间的不等关系. 其中,基本不等式及其变形:a ,b ∈R +,a +b ≥2ab (或ab ≤(a +b2)2),当且仅当a =b 时取等号,所以当和为定值时,可求积的最值;当积为定值是,可求和的最值. 4.f (x )=x +a x型函数 对于f (x )=x +a x,当a ≤0时,f (x )在(-∞,0),(0,+∞)为增函数;当a >0时,f (x )在(-∞,a ),(a ,+∞)为增函数;在(-a ,0),(0,a )为减函数. 注意 在解答题中利用函数f (x )=x +a x的单调性时,需要利用导数进行证明.5.f (x )=ax 2+bx +c dx +e (或f (x )=dx +eax 2+bx +c)型令dx +e =t 进行换元,转化为f (x )=x +a x型函数问题. 6.利用线性规划区域求最值将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值.三、例题分析 第一层次学校例1 设函数f (x )=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围;(2)当x ∈[-2,2]时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围;(3)设不等式f (x )≥a 对于满足1≤a ≤3的一切a 的取值都成立,求x 的取值范围. 解:(1)-6≤a ≤2. (2) -7≤a ≤2.思路1:(利用二次函数的图象)注:此方法可改进,由f (2)≥a ,f (-2)≥a 得-7≤a ≤73.对称轴x =-a 2∈[-76,72],可少讨论一种情况.思路2:(求函数的最值)注:此方法可改进,由f (2)≥a ,f (-2)≥a 得-7≤a ≤73,再进行分类讨论.思路3:(变量分离后,再求函数的最值) (3) x ≤-3或x ≥0. 【教学建议】1.本题涉及到不等式恒成立问题,通常思路有3种,①f (x )≥0,∀x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥0转化为求函数f (x )的最小值(求最值时,可能要对参数进行讨论);②选进行变量分离,再求函数的最值;即f (x )≥a ,∀x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a . ③利用函数的图象和几何意义; 2.本题是二次不等式恒成立问题,第一问是二次不等式对任意实数恒成立,可由图象法及判别式处理. 第二问是二次不等式对x ∈[-2,2]恒成立,所以图象法,求最值,或变量分量后求最值均可,以方法二较优. 例2 在△ABC 中,AB =AC ,D 为AC 中点,且BD =3,求△ABC 的面积的最大值.解:S 取最大值2. 思路1:(代数方法)建立目标函数,求最值.思路2:(几何方法)【教学建议】1.本题是实际问题中的最值问题.这类问题通常有2种思路: ①根据图形的几何意义,确定取得最值的情形,再进行计算; ②建立目标函数,转化为求函数的最值.2.本题采用思路2,通过建立目标函数,再求函数的最值,再表示面积时,有两种方法,一是通过两边及夹角求面积,一是通过底边与高求面积,因而有方法一与方法二.3.方法一有纯代数的方法,转化为求双二次函数的最值,运算量较大;方法二结合图形的几何性质,由于BD 已知,因而要使面积最大,只需A 到BD 的距离最大,由于点A 要求满足AB =2AD ,因而它的轨迹是一个圆,问题就转化为求轨迹上的点到直线BD 距离的最大值问题,所以法二采用了建系求轨迹的方法,运算量小,比方法一简单,但思维的要求更高.例3 已知点M ,N 的坐标满足⎩⎨⎧x ≥0y ≥0x +2y ≤63x +y ≤12若a =(1,-1),求MN →·a 的取值范围.解:MN →·a 的取值范围为[-7,7].【教学建议】1.本题是线性规划问题.但目标函数不是常规的情形(线性目标函数,斜率与两点问题距离),需转化.2.由于M ,N 是可行域中任意两点,所以可以利用MN →=ON →-OM →,将问题求ON →·a 与OM →·a 的差的取值范围,从而转化为求线性目标函数z =x -y 的最大值与最小值,这是一标准的线性规划问题.第二层次学校例1 设函数f (x )=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围;(2)当x ∈[-2,2]时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围;(3)设不等式f (x )≥a 对于满足1≤a ≤3的一切a 的取值都成立,求x 的取值范围. 解:(1)-6≤a ≤2. (2) -7≤a ≤2.思路1:(利用二次函数的图象)注:此方法可改进,由f (2)≥a ,f (-2)≥a 得-7≤a ≤73.对称轴x =-a 2∈[-76,72],可少讨论一种情况.思路2:(求函数的最值)注:此方法可改进,由f (2)≥a ,f (-2)≥a 得-7≤a ≤73,再进行分类讨论.思路3:(变量分离后,再求函数的最值) (3) x ≤-3或x ≥0. 【教学建议】1.本题涉及到不等式恒成立问题,通常思路有3种,①f (x )≥0,∀x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥0转化为求函数f (x )的最小值(求最值时,可能要对参数进行讨论);②选进行变量分离,再求函数的最值;即f (x )≥a ,∀x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a . ③利用函数的图象和几何意义; 2.本题是二次不等式恒成立问题,第一问是二次不等式对任意实数恒成立,可由图象法及判别式处理. 第二问是二次不等式对x ∈[-2,2]恒成立,所以图象法,求最值,或变量分量后求最值均可,以方法二较优.例2 设m ,n ∈R ,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切,求m +n 的取值范围. 解 m +n ∈(-∞,2-2 2]∪[2+22,+∞).思路1:(基本不等式)思路2:(消元转化为求函数的值域) 思路3:(利用图形的几何意义)【教学建议】1.本题是求二元函数的值域问题.这类问题主要有3种解题思路: ①直接利用基本不等式,这种方法往往只有求最大值或最小值;②消元转化为一元函数,再求最值;③将两个变量看成一个有序实数对,当作平面内一个动点,从图形的几何意义方面,考虑求目标函数的值域.2.本题3种方法均可,方法一只适用于本题,方法二是一般方法,本题中方法三难度较大,对思维的要求很高,但比较直观,在小题中使用较好.例3 已知x ,y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x -5y -23≤0x +7y -11≤04x +y +10≥0,且M (2,1),P (x ,y ).求:(1)y +7x +4的取值范围;(2)x 2+y 2的最大值与最小值;(3)OM →·OP →的最大值;(4)|OP →|cos ∠MOP 的最小值. 解: (1)y +7x +4的取值范围为[13,9]. (2) x 2+y 2的最大值为37,最小值为12150.(3) OM →·OP →的最大值为9.(4) |OP →|cos ∠MOP 的最小值为-855.【教学建议】1.本题是线性规划问题,(1)(2)问是典型的问法,(3)(4)问是需要利用向量数量积的知识,才能得到线性目标函数.2.线性规划问题,有些比较直接,如(1)(2)问,主要考查线性目标函数、斜率与距离等三类问题,但近几年高考,出现了一些变式,可行域不是线性约束条件确定,可行域只是一个曲线,或目标函数是上述3种类型的变式等,对问题转化的要求比较高。