解非对称块三对角线性方程组的并行算法
三对角方程组行处理法并行解法
过 程 （） ５ 表示 对增 广 矩 阵 ［ 作 矩 阵乘 法运 算 Ａ Ｉ ］ ｂ ［ ， ］ 将 结果 存入 增 广矩 阵原 有存 区 中 ． ＦＡ Ｉ ｂ 并 Ｆ
Ｘ“。＝ Ｘ ＋ （ 。一 （ ， ） （ ） ｂ 口。 Ｘ ） 口。 ，
“ 行 解 法 ＋并 行 计 算 机 ＝并 行 算 法 ” 模 式 安 排 并 的
本文内容 ．
ｉ ＝ ｋ ｍｏ ｄ（ｎ）＋ １ ．
ｋ ＝ ０， ２， ． ． １， ・ －
三 次样 条 插值 函数 的计 算 ， 微 分 方 程 两 点 边 常
收 稿 日期 ： ０ １ １ — ３ ２０ — １ ２
基 金 项 目 ： 国 工 程 物 理 研 究 院 科 学 技 术 基 金 资 助 项 目 （０ ２ ６６ 中 ２０ ０ ５ ） 作 者 简 介 ： 宪 雯 （９ ４ ） 女 ， 师 曾 １６ 一 ， 讲
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值 问题 的 有 限 差 分 方 法 ， 微 分 方 程 隐 式 差 分 方 法 偏 等 若 干 基本 数 值 计 算 问题 需 要 求 解 三 对 角 方 程 组 ．
如 果 过 程 收敛 于 （ ） （ 的解 １ 和 １）
ＩＲ Ａ ＝ ｂ， ） ＝ Ｉ（ Ｘ Ｘ。
， 记 为 则
． （） ２
代 算 法 的设 计 法 则 ． 照 并 行 解 法 ＋并 行 计 算 机 ＝并 行 算 法 的 模 式 ， 用 给 出 的 并 行 解 法 ， 以 给 出 一 些 求 按 使 可
解 三 对 角 方 程 组 的 新 的 Ｍ ＭＤ并 行 迭 代 算 法 ． Ｉ 关 键 词 ： 对 角 方 程 组 ； 处 理 法 ；分 治 策 略 ；分 布 式 算 法 三 行
（ ）（ ） 成 立 的必 要 充 分 条 件 是 １ ２式
非对称三对角线性方程组的解法
生 了 变化 ， 以（ ） 然是 对 角 占优矩 阵 。 所 ３仍 特别 地 ， 的主子 矩 阵 Ｄ。 Ａ 也是 对 角 占优 矩 阵 ， Ｄ 可 逆 。 证毕 。 由于 Ｄ。 的可 逆 ， 去 （ ） 向量 得 ： 消 ３ 中
ｌ 一Ｄ 。Ｂ ［ Ｊ ㈣Ｊ Ｈ Ｊ ｄ ｄ ＝。 Ｄ ｌ ｌ Ｂ Ｘ 一
即得（ ） １ 的奇下标未知量 。 由此可见 ， 通过对（ ） １ 奇偶划分确实可 以达到缩减方程组规模的 目的， 并且如 何求解（） ４ 是关 键 。 面 我们 给 出方程 组 （ ）系 数矩 阵 的几个 性质 。 下 ４
定 理 ２ 假 设 Ａ 是 （）的系数 矩 阵 。 １ 则 ① 若 Ａ 是 分块 三对 角 矩 阵 ， （ ）的系数 矩 阵 Ｄ 一Ｈ 则 ４ Ｄ Ｈ 是分 块 三 对 角矩 阵 ； 也 ② 若 Ａ 是 对角 占优矩 阵 ， Ｄ 一Ｈ 也 是对 角 占优 矩 阵 ； 则 Ｄ１Ｈ ③ 若 Ａ 是 非奇 异 Ｍ 矩 阵 ， Ｄ：一Ｈ 也 是 非奇 异 Ｍ 矩 阵 。 则 Ｄ１Ｈ
了利用矩阵 Ｆ范数极小化构 造预处理矩阵 的方 法。
关键 词 ： 线性 方程组 ； 半径 ； 谱 预处理
中 图 分 类 号 ： ４ ． ０２ １ ６ 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言
考 虑 求解 大 型稀 疏 分块 三对 角 线性 方程 组 Ａ ＝ ｂ： ｘ
Ａ１ Ｂ１
Hale Waihona Puke ｂ１ ｂ ２组通 常可以子空间迭代法求解 ， Ｇ Ｅ 、 Ｃ 如 ＭＲ Ｓ Ｇ Ｒ等迭代法 。 当阶数 ，十分 巨大时 ， ｌ 迭代法 的收敛速度有 时会 比较慢 ， 同时出于计算机储存量考虑 ， 需要对 （） １ 降阶。 正如文献 ［ ～ ３ 所述 ， １ ］ 如果 （） １ 的系数矩阵 是对 称 正定 矩 阵 ， 则将 未 知量 置 （ １２ … ， 按 下标 是 奇偶 数重 新排 列 （ ｉ＝ ， ， ） 即奇偶 划 分 ）可 以将 （） ， １ 转
三对角线性方程组的求解
一、概述三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。
在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。
很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。
由于在理论和实际应用上的重要性，近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。
大规模科学计算需要高性能的并行计算机。
随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。
现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。
高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。
如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。
另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。
二、问题的提出设三对角线性方程组为AX=Y（1）式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。
X=(x1，x2，…xn) T Y=(y1，y2，…yn）T。
此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。
三、并行求解三对角系统的直接解法关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。
它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。
近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。
一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。
块三对角矩阵的并行局部块分解预条件
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摘 ! 要 ! 该文首先分析了并行局部块分解预条件的特征分布 % 分析表明其与串行局 部 块 分 解 预 条 件 的 特 征 分 布 基 本相当 % 从而从理论上保证了利用该预条件进行并行 计 算 时 的 高 效 性 9 其次分析了利用该预条件进行并行计算时 影响加速比的因素 % 由此说明了当问题规模不大而处理机 台 数 增 加 时 % 计 算 效 率 必 然 逐 渐 下 降 的 原 因9 最后在由? 台微机连成的机群系统上将该预条件与利用多分裂技术构造的多种预条件进行了 比 较 % 实验结果说明该预条件效 率高于其它预条件方法 9 同时在某巨型机上进行的实验表明对处理机台数比较多时 % 该预条件也仍然很有效 9 关键词 ! 局部块分解 $ 预条件 $ 并行算法 $ 多分裂技术 中图法分类号 5 4 # $ <
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三对角线性方程组的解法ppt课件
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大 •安 一 中运行结果：（点击查看源程序）
a=-1*ones(1,4); c=a; b=2*ones(1,5); f=[1 0 1 0 0]; [x]=ZhuiGan(a,b,c,f)‘ n =5 x=
1.33333333333333 1.66666666666667 2.00000000000000 1.33333333333333 0.66666666666667 注：其中a为对角下向量，b为对角向量，c为对角上向量，f为方程常 系数。x为方程组的解。
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大安一中
Gauss迭代法
1.迭代过程：
Gauss迭代法的迭代过程与Jacobi迭代法的迭
代过程相似，其迭代格式为 其 x(k1) BG x(k) fG
中， , BG (D L)1U
fG (D。 L)1b
算法设计同Jacobi迭代法，只是用库函数计 算时的迭代矩阵B和f不同。
8
大安一中
（二）迭代法
• 对于 Ax b, A Rnn,b， RAn 为非奇异矩阵，除了可
用追赶法计算之外，也可建立迭代法求解 。迭代法的一般格式为： ，其中B x(k1) Bx(k) f 为迭代矩阵，对由迭代格式产生迭代序列
，若x(k)
，li则m x(k) x* 即 x为* B方x*程 f
• 综上，我们可以得到：当使用w=1.4的SOR迭代法 时，迭代次数最小，收敛速度最快。
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大安一中
六、程序源代码
1.追赶法程序代码：
• function [x]=ZhuiGan(a,b,c,f) • %a为对角下向量；b为对角向量；c为对角上向量；f为方程常系数 • format long • r=size(a); • m=r(2); • r=size(b); • n=r(2); • if size(a)~=size(b)|m~=n-1|size(b)~=size(f) • error('变量不匹配，检查变量匹配情况'); • end • p=ones(1,m); • Y=ones(1,n); • x=Y; • p(1)=a(1)/b(1); % c1/b1 • Y(1)=f(1)/b(1); % f1/b1 • t=0;
求解三对角方程组的两种并行方法比较
到开发周期长 ， 难度大的 问题。介绍的可移植可扩 展科 学计算工具箱 Ｐ Ｔ ｅ Ｐ ｒ ｂｅ Ｅｔｎｉ ｅＴｏｋｔｏ ｃｅｔ ｃＣ ｍ ｕａ ｏ ） Ｅ Ｓ （ ｏ ａｌ， ｘ ｓ ｌ ｏｌｉｆｒ ｉｎ ｆ ｏ ｐ ｔｉｎ 突 ｔ ｅ ｂ Ｓ ｉ ｉ ｔ
破 性地 解 决 了这 一 问题 ， 能 够 实 现 自动 并 行 处 理 。 通 过 求 解 三 对 角 方 程 问题 实例 ， 和 基 于 Ｍ Ｉｍｅｓｇ ａｓ ｇｉ ｅ ａｅ 方 法手 它 并 Ｐ （ ｓ ｅ ｓｉ ｔ ｆｃ） ａ ｐ ｎ ｎｒ Ｘ 编 写 的并 行 代 码 作 了 比较 ， 出 了并 行 性 能 的 分 析 结 果 。 － 给
物 、 用 物 理 、 学 、 气 预 报 等 许 多 方 面 都 有 广 泛 的 应 用 。 求 应 化 天
过 一个并行求解 三对 角系 统 的具 体 实例来 说 明基于 Ｐ Ｔ ｃ编 ＥＳ 写代码 较之基 于 Ｍ Ｉ Ｐ 编程方法编写的代码的优越性 。
关键词
Ｐ Ｔ ｅ 并行 计算 并行算法 ＥＳ
ＭＰ 编程 Ｉ
ＣｏＭ ＰＡＩ ｏＮ ＵＳ ＢＥＴＷ ＥＥＮ ＴＷ ｏ ＰＡＲＡＬＬＥＬ ＥＴＨ ｏＤＳ Ｉ ＳｏＬＶＩ Ｍ Ｎ ＮＧ
Ｔ Ｄ ＡＧｏＮ ＱＵ Ｉ ＲＩ Ｉ ＡＬ Ｅ ＡＴ ｏＮＳ
Ｃ ｅ ｇ Ｈａｙｎ Ｘｉ ｉｎ Ｓ ａ ａ ａ ｇ ｈ ｎ ｉｉｇ ｅＪａ ｇ ｈ ｏ Ｈｕ ｇ ｎ 。
随着科学技术 的进 步 ， 行计算 的研究 已经成为 现代计算 并 科学的主攻方 向之 一。核模 拟 、 数值 天气预 报 、 源勘探 、 能 工业 设计 和 自动化 、 因工程 、 基 生态环境等科学 与工 程问题都对计算 提出了巨大的挑战 ， 同时也 正是这些 重大挑 战问题 推动 了高 性 能计算技术的迅 速发 展。偏微 分方 程及 相关 问题 的求 解在 生
块三对角线性方程组的一种有效并行算法
（ ｅａｔ ｅｔｊＡｐｉ ｔｅ ｔｓＮ ｒ ｗ ｓ ｒ ｏ ｔｈ ｉ ｌＵ ｉ ｒｔ， ｉ ￣Ｓ ａ ｎｉ １０ ２ Ｃ ｉａ Ｄｐ ｒ ｎ ｐｌｄＭａｈｍａｉ ，ｏｔ ｅｔｎＰ ｌ ｅ ｎ ａ ｎｖ ｓｙ Ｘ ＇ ｈ ａ ｘ ７ ０ ７ ， ｈｎ ） ｍ ｏ ｅ ｃ ｈ ｅ ｙｃ ｃ ｅｉ ａ
１ 引 言
Ｄ２
在科学与工程 问题 中经常 遇到 的许 多微分 方程 ， 经过适 当 差分或有限元离散 而形 成系数矩 阵是块 三对 角的线性 方程组 ，
Ｏ
Ｄ ｕ
Ｏ
Ｏ
Ｈ
（） ２
ＧＩ ｉ ．Ｉ ．Ｉ ｐ
它们的求解是高性 能并行计算 的重要课题 之一。 目前针对求解 块三对角的线性方程组 的并行算 法 的研 究 已经 有了一些 成果 ， 如骆志刚等 将 串行计算方法通过调用 Ｂ Ａ Ｌ Ｓ子程序达 到处理 机问负载平衡 ， 文献 ［ ］ 通过适 当分裂 系数矩 阵从 而使算 法 ２则
Ａ
Ｔ ｅ ａｇ ｒｔｍ ｓｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ａ ｔｒ ａｉｎ ｏ ｅ ｃ ｅｆ ｉｎ ｔ ｘ ａ ｄ ｍａ ｅ ｕ ｌｕ ｅ ｏ ｈ ｐ ｃａ ｔ ｔ ｒ ｆｔｅ ｃ ｅｆ ｉｎ ｔ ｘ Ｔｈ ｈ ｌｏ ｉ ｈ ｉ ａ ｅ ｎ ｔ ｅｆ ｃｏ ｉ ｔ ｆｔ ｏ ｆ ｃｅ ｔｍａｒ ｎ ｋ ｓ ｆ ｌ ｓ ｆ ｔ ｅ ｓ ｅ ｉｌｓｍｅ ｕ ｅ ｏ ｈ ｏ ｆ ｃｅ ｔｍａ ｒ ． ｅ ｚ ｏ ｈ ｉ ｉ ｉ ｉ
＾一Ｏ
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ｃｅ ｃ ｆｔｉ ｍｅｈ ｄ ｉ ｐ ｔ ０ ． ｉｎ ｙ ｏ ｓ ｔ ｏ ｓｕ ｏ９ ％ ｈ
Ｋｅ ｗｏ ｄ ｙ ｒｓ
Ｂ ｏ ｋ ｔｉ ｉｇ ｎ ｌｌ ｅ ｒ ｅ ｕ ｔ ｎ Ｐ ｒ ｌｌａｇ ｒ ｈ ｌｃ — ｄ ａ ｏ ａ ｉ ａ ｑ ａ ｉ ｓ ｒ ｎ ｏ ａ ａ ｅ ｌ ｏ ｉ ｍ ＨＰ ｒ２ ０ ｌ ｓｅ ｌ ｔ ｘ ６ ０ ｃ ｕ ｔｒ
求解三对角方程组的并行追赶算法
（ ，， ｎ一 ） ＝１ …， １ ２
（ 。一 ０ ＝ １ ２ ・ ， ） “ ， ， ，一 ｎ
收 稿 日期 ：２Ｘ ） ｑ （） ７ １ ６（
基 金 项 目 ：７ 比肯 自然 科 学 基金 资 助 项 （ ０ Ｅ ０ ０ ４ ） 口 Ｉ ０ ４ ２ ０２ ５ ，校科 学 研 究 项 ｆ （｛ ６ ８ Ｉ ２） ２ ） ０
方程组的并行和向量解法是数值并行计算研究首先遇到的重要 的课题之一。而追赶算法就是求解三对角方 程组最 富有 吸引力 的算法 之一 ，本 文首 先 回顾 串行 的追 赶算法 ，然 后 给 出求解 三对 角方 程组 的并 向追赶 算
法 ，并 最后 给 出了测试 结果 。
ｌ 传 统 追赶 算 法
Ｖ１ ０ ｏ １ ｏ ３ Ｎ ． ． Ｆ ｂ２０ ｅ ．０ ８
文 章 编 号 ：１７ ０ ６ （０ ８ １ ０ ０ ｏ ６ ４— ２ ２ ２０ ）Ｏ — １７一 ３
求解 三对 角 方 程 组 的并 行 追 赶 算 法
杨爱 民 ，阎少宏 ，夏 国坤。 ，彭亚绵
（． １ 河北理工大学 理学 院 ， 河北 唐 山 ０ ３０ ； ．天津科技 大学 理学院 ，天津 ３ ０ ２ ） ６００ ２ ０ ２２
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第３卷 第 ｌ ０ 期 河北理工大学学报 （ 自然科学版 ） ２０ ０ ８年 ２月 Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｂ ｉ ｏｙｅｈ ｉ ｉｅｓ ｙ（ ａ ｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｅ Ｐ ｌｔ ｎｃＵｎｖ ｒｉ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ Ｈｅ ｃ ｔ ｕ ｅ ｉ
法 ，对 并行 算法 的加速 比 和效 率与 原 串行 算 法进行 了比较 ，结 果表 明此 算 法有较 高的计 算效
周期块三对角线性方程组的一种并行算法
．
ｃｅｉｉ ｔ ｍａ ｘＴ ｅ ｃｍｍ ｎｃｔｎ ｏｌ ｎｅ ｓ ｔｉｅ ｅ ｅｎ ｔｅ ｄａｅ ｔ ｒｃｓｏ ． ｅｒ ， ｉ ａ ｅ ｉ ｓ ｎ ｎｕ ｈ ｏｆｃ ｎ ｔ ． ｏ ｕ ｉａ ｏ ｎｙ ｅｄ ｗｃ ｂｔ ｅ ａｊｃ ｎ ｏｅｓｒ Ｉ ｔ ｏ ｔ ｓ ｐ ｒ ｇ ｅ ａ ｅｏ ｇ ｆｅ ｉ ｒ ｈ ｉ ｗ ｈ ｐ ｓ ｎ ｈ ｙ ｈ ｐ ｖ
１ 引言
在 高 性 能 并行 计算 高 速 发展 的 今 天 。 向并 行 计算 环 境 研 面 究 大 型 稀 疏 线 性方 程组 的高 效 并 行 算 法 显 得 尤 为重 要 。 在 科 而 学 与 工 程 问题 中经 常遇 到 的许 多微 分 方 程 ， 过 适 当差 分 或 有 经 限元 离 散 而 形 成 系 数矩 阵是 周期 块 三对 角 的线 性 方 程 组 ， 们 它 的 求解 是 高性 能并 行 计 算 的重 要 课 题 之 一 。 目前针 对求 解 大 型 （ 期 ）块 三 对 角 线 性 方 程 组 的 并 行 算 法 的 研 究 已经 有 了 一 周 些 可 行 且 有 效 的 方 法 ， 骆 志 刚 等 ［ 串 行 计 算 方 法 通 过 调 用 如 １ 】 将 ＢＡ Ｌ Ｓ子 程 序 达 到 处 理 机 间 负 载 平 衡 ， 献 【，】 通 过 分 裂 矩 文 ２ ３则 阵 ， 算 法 具 有 很 好 的并 行 性 ， 献 【，】 从 两 个 不 同 的角 度 使 文 ４ ５则 提 出 了在 满 足 精 度 要 求 的情 况 下 求 解 系 数 矩 阵 为 三对 角 的 线 性方 程 组 的 一 种 近 似 求 解 算 法 ， 鉴 文 献 【】 近 似 求 解 思 想 ， 借 ４的 通 过 巧妙 分 解 系数 矩 阵 。 出 了 一 种 求解 周期 块 三 对 角 线 性 方 提 程组 的并 行 迭 代 算 法 ， 且 具 有 良好 并行 性 。 并
分块三对角方程组求解
分块三对角方程组求解分块三对角方程组是一种特殊的线性方程组，其系数矩阵形式为三对角矩阵。
在科学计算和工程领域中，分块三对角方程组的求解是一个常见且重要的问题。
本文将介绍分块三对角方程组的定义、求解方法以及相关应用。
一、分块三对角方程组的定义分块三对角方程组是一种特殊的线性方程组，它的系数矩阵是一个分块三对角矩阵。
分块三对角矩阵可以表示为以下形式：A = [A₁ B₁ ][C₁ A₂ B₂ ][ C₂ A₃ B₃ ][ ... ][ ... Cₙ-₁ Aₙ],其中A₁, A₂, ..., Aₙ是n×n的方阵，B₁, B₂, ..., Bₙ-₁是n×m 的矩阵，C₂, C₃, ..., Cₙ是m×n的矩阵。
二、分块三对角方程组的求解方法求解分块三对角方程组的一种常用方法是分块LU分解。
分块LU分解将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即 A = LU。
然后通过前代和回代的方法求解两个三角方程组，即LY = b和UX = Y，其中Y和X分别是未知向量。
具体求解步骤如下：1. 对系数矩阵A进行分块LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
2. 解Ly = b，得到向量y。
3. 解Ux = y，得到向量x，即为所求解。
三、分块三对角方程组的应用分块三对角方程组在科学计算和工程领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 有限差分方法：在数值计算中，分块三对角方程组常常出现在有限差分法求解偏微分方程的过程中。
通过将偏微分方程离散化为差分方程，可以得到一个分块三对角方程组，进而用分块三对角方程组的求解方法求解得到数值解。
2. 光传输模拟：在光传输模拟中，分块三对角方程组可以用于求解光传输方程。
通过将光传输方程离散化为差分方程，可以得到一个分块三对角方程组，进而用分块三对角方程组的求解方法求解得到光强分布。
3. 信号处理：在信号处理中，分块三对角方程组可以用于求解离散信号的滤波问题。
一种新的三对角线性方程组分布式并行算法
一种新的三对角线性方程组分布式并行算法
盛跃宾;宋晓秋
【期刊名称】《系统工程与电子技术》
【年(卷),期】2004(026)002
【摘要】根据分而治之的思想提出了一种求解严格对角占优的三对角线性方程组的分布式并行算法(new distributed parallel algorithm,NDPA).当方程组的系数矩阵满足对角占优时,该算法是数值稳定的.新算法的算法复杂性和最优串行追赶法差不多,算法总通信建立次数为2,仅在相邻处理器间进行通信,且每次通信传送2个数据元素分析了算法的加速比、效率以及算法的可扩展性,给出了基于局域网的MPI异构环境下数值实验结果.数值实验结果表示,该算法是高效的.
【总页数】3页(P258-260)
【作者】盛跃宾;宋晓秋
【作者单位】中国航天科工集团第二研究院204所,北京,100854;中国航天科工集团第二研究院204所,北京,100854
【正文语种】中文
【中图分类】O246
【相关文献】
1.基于递归耦合方法的三对角线性方程组分布式并行算法 [J], 方蓉;赵瑛
2.块三对角线性方程组的一种分布式并行算法 [J], 骆志刚;李晓梅
3.三对角线性方程组的一种有效分布式并行算法 [J], 骆志刚;李晓梅;王正华
4.循环块三对角线性方程组的一种分布式并行算法 [J], 骆志刚;李晓梅;王正华
5.周期三对角线性方程组的分布式并行算法 [J], 迟利华;刘杰;李晓梅
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块三对角阵的一类预条件子及其并行
块三对角阵的一类预条件子及其并行块三对角阵是一种特殊的矩阵结构，它的非零元素只存在于主对角线和两条相邻的副对角线上。
块三对角阵在科学计算中广泛应用于求解线性方程组和数值优化问题。
当我们面临一个大规模的线性方程组时，求解该方程组的直接方法，如高斯消元法，往往计算量巨大，效率很低。
为了提高求解效率，我们通常会使用预条件子来加速迭代法的收敛速度。
预条件子是用于加速迭代法求解线性方程组的技术。
它通过改变原问题的矩阵，将其转化为一个更易求解的等价问题。
对于块三对角阵，存在一类特殊的预条件子，即块三对角预条件子。
块三对角预条件子的构造依赖于块三对角阵的特殊结构。
块三对角预条件子的构造可以通过分块技术进行。
我们可以将块三对角阵分割为若干个子块，然后对每个子块应用适当的预条件子。
构造好的块三对角预条件子可以改善原始问题的谱条件数，使得迭代法更快地收敛。
块三对角预条件子的并行性是它的一个重要特点。
由于块三对角阵的特殊结构，预条件子的构造可以并行进行。
我们可以将矩阵的不同块分配给多个处理器，每个处理器都可以独立地计算自己所负责的块的预条件子。
这样就可以充分利用多个处理器的计算能力，加快预条件子的构造速度。
并行构造块三对角预条件子存在一些挑战。
首先，块三对角预条件子的构造依赖于子块之间的依赖关系。
在并行计算中，处理器之间的通信和同步可能带来额外的开销。
其次，由于处理器的数量有限，可能存在一些子块没有被分配到处理器上，从而导致一些计算资源的浪费。
为了解决这些问题，可以采用一些优化策略。
例如，可以使用数据划分技术将矩阵的不同块均匀地分配给处理器，以减少通信和同步的开销。
同时，可以使用动态负载平衡技术，根据实际计算情况动态调整处理器的负载，以充分利用计算资源。
除了预条件子的构造，求解线性方程组的并行迭代方法也可以应用于块三对角预条件子。
并行迭代方法将矩阵向量乘法和求解线性方程组的迭代过程并行化，以提高求解效率。
在块三对角预条件子的并行计算中，我们可以使用多个处理器并行地执行矩阵向量乘法和求解线性方程组的迭代过程，从而加快计算速度。
求解三对角线性方程组两类并行算法的特点
求解三对角线性方程组两类并行算法的特点/h1 ----本站首页免费课件免费试题整册教案教育资讯计划总结英语角幼儿教育文书写作海量教案免费论文网站地图设为首页收藏本站语文科数学科英语科政治科物理科化学科地理科历史科生物科中考备战高考备战高考试题中考试题教学论文作文园地教学论文经济论文理工论文管理论文法律论文行政论文艺术论文医学论文文史论文农科论文英语论文课程改革教育法规教育管理家长频道您现在的位置：3edu教育网免费论文教学论文数学论文正文3edu教育网,百万资源,完全免费,无需注册,天天更新！求解三对角线性方程组两类并行算法的特点一、概述三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。
在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。
很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。
由于在理论和实际应用上的重要性,近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。
大规模科学计算需要高性能的并行计算机。
随着软硬件技术的发展,高性能的并行计算机日新月异。
现今,SMP可构成每秒几十亿次运算的系统,PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统,而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。
高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。
如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解,其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。
另外,对处理机个数较多的并行计算系统,在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性,并对可扩展性进行研究和分析。
二、问题的提出设三对角线性方程组为AX=Y (1) 式中:A∈Rn×n非奇异,αij=0, 。
X=(x1,x2,…xn)T Y=(y1,y2,…yn)T。
此系统在许多算法中被提出,因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。
三对角方程组的并行解法
本算法中设有 p 台并行机,把 A 分裂为 p p 块三对角形式,其中每一主对角块是 k k 的三对角阵,即 n pk 因此每一台处理机主要处理一个k 阶的三对角块,其分解形式为:
A0 BT 0 A
其中:
B0 A1
B1 BT p 3
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三对角方程组的并行算法设所要求解的对称正定三对角线方程组成为ax称正定三对角矩阵且非奇异具体形式为n2n2xn2yn2n2n1xn1yn1本算法中设有台并行机把分裂为块三对角形式其中每一主对角块是的三对角阵即npk因此每一台处理机主要处理一个k阶的三对角块其分解形式a0b0m2m2bim2m1m2m2m2m1m1p2b0b1bm2bm1则此时l1alt有如下形式
T T T T
x1 xmp 1 ] 中的 x j 均可直接得到,
,
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(三) 数值结果分析
解三对角方程的并行追赶法
解三对角方程的并行追赶法
赵自春
【期刊名称】《计算机工程与科学》
【年(卷),期】1989(000)002
【摘要】针对科学计算和工程中常见的三对角方程组,本文提出了一种有效的并行解法,如果假定一次乘法或加法的时间为1个单位时间,一次除法的时间为3个单位时间,则该方法的时间复杂性为:20[N/P]+0（log<sub>2</sub>P）,其中P为并行处理机台数,N为方程组的阶数。
在文献[1]中的各种并行算法,以循环奇偶约化法效率最高,在上述同样的假定下,其时间复杂性为:28[N/P]+O
（log<sub>2</sub>P）,本方法比循环奇偶约化法提高效率约40％。
文献[2]中提出的并行算法,在相同的假定下,其时间复杂性为:42[N/P]+0
（log<sub>2</sub>P）,本方法提高效率一倍以上。
【总页数】6页(P30-35)
【作者】赵自春
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.解非对称块三对角线性方程组的并行算法 [J], 曹芳芳;吕全义
2.解循环三对角线性方程组的追赶法 [J], 李青;王能超
3.解三对角线性代数方程组的并行算法 [J], 张素
4.《化工数学》一堂课——解三对角型方程组的追赶法及其BASIC程序 [J], 金海林
5.追赶法并行求解循环三对角方程组 [J], 李文强;刘晓
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收稿 日期 ：０００ －１ ２ １－４０
（） ４
由此得到的并行 预条件子 ， 可得本文 Ｐ Ｇ算 法 Ｃ 如下 ：
基 金项 目： 陕西省 自然科 学基金（ ０ ９Ｍ１０ ） ２ ０ Ｊ ０ ８ 资助
●
矩阵 的构造 方式 如下
０ ０ ０
‘ ．
Ｃ２ ０
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Ａ ‘ ，叭
，
对 ｋ＝１２ ， ，… 计算 ：
， ”
④ 在 Ｐ 中计算 ” ：
＋ ｏ ｔ
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¨， ＝ ，
（ ）Ｏ １ ｔ （．一 ｒ 一 ） （ ‘ Ｐ‘ ） ＝ ， ，‘ ‘ ／ ｐ ， ； ‘ ’
０ ［
具体 并 行 实 现 在 第 ２小 节 给 出 ， 简 单 说 明 先 Ａ 和 （ Ａ）， ｐ ’的计 算 过 程．首 先 看 一 Ａ ｐ‘ ’的计 算 ， 计算 Ａ ‘ 这 只 是简 单 的 先 ｐ ， Ａ ‘ 的计 算 ｐ ’
１２ ． 迭代 实现 过 程
，
ｒ ， 行求 解 线性方 程 组 ｚ ＝， ’ ）并 ‘ ；
⑦ 在 Ｐ ｆ中计 算 ＋ ： （‘ ， ／ ， ， １ ， ‘ （‘ ． ） ¨，
， Ｊ）ｐ “” ：Ａ ｚ” ＋ ＋ ， ’ ， ｌ ｐ ｋ＝ｋ＋１ 返 回到 ，
Ｍ ＝Ｄ ＋ （） ２
可行 方法 ， 当系数矩 阵 的条件数 较大 时 ， 采用 预处 可 理共轭 梯度 法 （ 简记为 Ｐ Ｇ方 法 ） 考文 献 ［ ， ］ Ｃ 参 １２ 。
在文献 ［ ］ ２ 中把传统 的 Ｐ Ｇ法进行 了并行化 ， Ｃ 但没
有 给 出并行 预条件 子 的构造 。
作者简介 ： 曹芳芳 （ ９４ ） 女 ， １８ 一 ， 西北 工业 大学硕 士研究生 ， 事信 息处理 中的快 速与并行算 法研究 。 从
第 ２期
曹芳芳 等 ： 解非对称块 三对角线性方程组 的并行算法
给定初始迭代值 Ｘ叭， ‘ 计算， ’ — ｘ们，‘ ． ＝ｂ Ａ ‘ Ｐ ‘ 。
＝
ｋｉ ０ Ｉ ； Ｙ及 ｒ Ｉ
（ ） Ｘ ＝ Ｘ ’ ＋ ２ ‘ ‘ ’ ～
一
‘ ｒ ’ ： ‘ ，‘ ， 一’
⑤ 全归约求 『 似 Ｉ ， Ｉ ’Ｉ 判断 Ｉ． Ｉ ＜ 是 ｒ Ｉ¨ ， 『
否成 立 ， 若成 立停 机 ， 否则 继续 ；
理共轭梯 度 法的充分条件。最后 ， Ｈ ２ ０ 在 Ｐｒ ６０集群上 ， 行 了数值试验 ， ｘ 进 结果表 明实算 与理论是 一致
的， 并行性 好 ， 迭代次数也 明显降低 。 且 关 键 词 ： 对称块 三对 角线性 方程 组 ， 轭梯度 法 ， 非 共 并行 算法 ， 并行 效 率 ， Ｐｒ ６ ０集群 Ｈ ２０ ｘ
本文借鉴文献 ［ ］ ３ 中预条件子的构造方法 ， 构 造 出 了一 种并 行效率 更 高的预 处理共 轭梯 度法 。
１ 解 非对 称 块 三 对 角 线 性 方程 组 的并 行 算 法
考虑 非对称 块 三对 角线性 方程组 Ａｘ ＝ｆ， 即 Ａ Ｂ。
Ｃ２ Ａ２ Ｂ２
曹芳 芳 ，吕全 义
（ 西北工业大学 应用数学系 ， 陕西 西安 ７０７ ） １０ ２
摘
要 ： 出了一种并行求 解非对称块三对 角线性 方程组 的方 法。该 方法通 过对传 统 的预 处理 共轭 提
梯 度 法的预 条件 子进行重新构造 ， 适合并行计 算。该算法 只需相邻 两 台机 子 间通 信 ， 使之 降低 了通信 次数 易于求解 。并从理 论上分析文 中算 法的收敛性 ， 出了该 算法的 收敛性优 于 Ｇ ｕｓｓｉｅ 的预 处 给 ａｓ ｅｄｌ ．
文献标 识码 ： Ａ 文章编 号 ：０ ０２ ５ （ ０ １ ０ －３ ８０ １ ０ － ８ ２ １ ） ２０ １ －５ ７
中图分 类号 ：Ｐ ０ Ｔ ３１
共 轭梯度 法是 求解块 三对 角线性 方程 组 的一种
别为 Ａ 的 严 格 下 三 角 和严 格 上 三 角 部 分， ＝ Ｄ ｄａ （ Ａ ， ， 则 预条 件 子为 ｉ Ａ ， … Ａ ）， ｇ
因为 Ａ 是块 三对 角矩 阵 ， 则 为 Ａ 的下 三角部
分 ， 以矩 阵 为块下 三角 矩阵 ， 了在并行 机上实 所 为 现求解 线性 方 程组 的 并行 计算 ， 现在 对矩 阵 Ｌ做改 造， 构造 新 的矩 阵 ， 此 时 的预条件 子 肘 变为 则
～ Ｍ ＝Ｄ ＋ （） ３
（） １
Ｃ（ １ｋ ２ ０ ｐ ）＋
式 中 Ａｉ ｎ阶方 阵 ， 和 ｃ 分别 是 ｎ ×ｎ 和 ／ × 是 ｉ ｉ 川 ／ ， ｆ
Ｃ
０
／ 矩阵， 和 ｃ 分别是 ／ ×Ｚ和 Ｊ ０ ７ ， 曰 １ ７ ／ ， １ ×ｎ 阶 矩 阵， 均 为 维列 向量 。
Ｏ（ ｔ
Ａ） ¨ ； Ｐ
（） ＋ ３ ｌ＝ （ ‘ ，Ｄ） （ ‘ ， ’ ； ，¨，‘ ／ ｒ ｒ ）
⑥ Ｐ 与 Ｐ 通讯一次， ） 得到． ， ；
…
（ Ｊ＝１ ， ， ２
（ Ｐ ’＝ （ 一 ． ＋ ＋ ‘ ４） ‘ ， Ａ） ‘ ｌ 。 Ｐ
２１ ０ １年 ４月 第２ ９卷第 ２期
西 北 工 业 大 学 学 报
Ｊｕ ａ ｆＮ ｒｈ ｅ ｔｒ ｏｙｅｈ ｉａ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ｏｔｗ ｓｅ Ｐ ｌｔｃ ｎｃ ｌＵｎｖ ｒｉ ｎ ｎ ｙ
Ａｐ 。 ２ ｒ ０１１
Ｖ０． ９ １ ２ Ｎｏ ２ ．
解 非对 称 块 三对 角线 性 方 程 组 的并 行 算 法