条件分布

定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度 为 f (x,y),(X,Y)关于 Y 的边缘概率密度 为 f Y ( y ). 若对于固定的 y, f Y ( y ) 0, 则 f ( x, y) 称 为在 Y=y 的条件下X 的条件概 f Y( y ) 率密度, 记为: f ( x, y) . f X|Y ( x | y ) f Y ( y)
f ( x, y) f Y |X ( y | x ) f X ( x ) 1 , 0 x y 1, 1 x 0, 0thers.
1 , 0 x y 1, f ( x , y ) 1 x 0, 0thers.
于是得关于Y的边缘概率密度为:
f ( x, y) d y. f X ( x)
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例3 设G是平面上的有界区域, 其面积为A , 若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度:
1 , f ( x, y) A 0, ( x, y) G, others.
则称 ( X , Y ) 在 G 上服从均匀分布 , 现设二维随机
P{ X x i , Y y j } P { X xi } pi j pi . , j 1, 2,...
为在X ＝ x i 条件下，随机变量Y的条件分布律.
简言之：条件分布等于联合分布与边缘 分布之商
例1 在一汽车工厂中, 一辆汽车有两道 工序是由机器人完成的. 其一是紧固 3 只螺栓,其二是焊接2处焊点. 以X表示由 机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目 , 以Y表示由机器人焊接 的不良焊点的数 目 ,据积累的资料知 ( X , Y ) 具有分布 律:
f Y ( y)



f ( x, y )dx
y 1 dx ln(1 y ), 0 y 1, 0 1 x 0thers . 0,
的概率 .
i 1, 2, ...; j 1, 2, ...;
P { X xi , Y y j } P{Y y j } pij p. j , i 1, 2, ...
P{ X xi | Y y j }＝
称上述分布律为在条件
Y y j ; j 1,2,
下，随机变量x的条件分布律，同理可求得 另一条件分布律。
或写成
Y=k P{ Y=k | X=1}
0 6/9
1 2/9
2 1/9
同样可得在 Y = 0 的条件下 X 的条件分布律
X=k P{X =k | Y =0} 0 84 / 90 1 3 / 90 2 2 / 90 3 1 / 90
二、连续型随机变量的条件概率密度
现设(X,Y)是二维连续型随机 变量,这时由于对任意 x , y 有: P{ X = x }= 0, P{ Y= y}= 0 因此就不能直接应用条件概率公式 引入“条件分布函数”
当 Y = 0 和 Y = 1 / 2 时, f X | Y ( x | y ) 的 图形如下:
0.5
0.577
-1
0
1
x
-0.866
0
0.866
x
例4 设数 X 在区间 ( 0 , 1 )上随机均匀地取 值 ,当观察到X = x ( 0 < x < 1 ) 时, 数 Y 在 在区间 ( x , 1 ) 上随机均匀地取值 . 求Y的 概率密度 f Y ( y ) . 解: 按题意 X 具有概率密度:
… ) ，
X 和 Y 的边缘分布律分别为:
P{X x i } p i
P{Y y j } p j
p
j 1
ij
,
,
i 1,2,...
j 1,2,...
p
i 1
ij
求事件:
{ X x i | Y y j }, { Y y j | X x i },
条件分布
条件概率：
p( AB) p( B A) p( A)
Def：对于二维随机变量（x，y），将一 个随机变量取固定值，则另一个随机变量 的分布称条件分布
一、离散型随机变量分布律
设随机变量X与Y的联合分布律为
P{ X ＝ x i, Y ＝ y j } ＝ p ij
，
( i , j ＝ 1, 2 ,
解 边缘分布律已经求出列在上表中. 在 X=1 的条件下, Y 的条件分布律为:
P{ X 1, Y 0} 0.030 P{Y 0 | X 1} , P{ X 1} 0.045 P{ X 1, Y 1} 0.010 P{Y 1 | X 1} , P{ X 1} 0.045 P{ X 1, Y 2} 0.005 P{Y 2 | X 1} , P{ X 1} 0.045
条件分布律具有分布律的性质:
1

P{ X x i | Y y j } 0;
2

P{ X x
i 1

i
| Y y j} pj pj 1.

i 1
pi j
1 pj pj
p
i 1

ij
定义 设 ( X , Y ) 是二维离散型随机变量,
若对固定的 j , P{Y = y j } > 0 , 则称
称
-

x
f X|Y ( x | y )dx =
x
-
f ( x, y) dx f Y( y )
为在 Y = y 的条件下 X的条件分 布函数, 记为 P{X x|Y= y } 或 F X|Y ( x | y ), 即: F X|Y (x | y) P { X x | Y y }
X
0
1
2 0.020 0.008
3 0.010 0.002
P{ Y=j } 0.900 0.080
Y
0 1 0.840 0.030 0.060 0.010
2
0.010 0.005
0.004
0.032
0.001
0.013
0.020
1.000
P{ X=i } 0.910 0.045
(1) 求在 X=1 的条件下, Y 的条件分布律 ; (2) 求在 Y=0 的条件下, X 的条件分布律 ;


x
f ( x, y) dx . f Y ( y)
在 X= x 的条件下 Y的条件概率密度为 f ( x, y) f Y|X( y | x ) f X ( x) 在 X = x 的条件下 Y 的条件分布函数为 F Y|X( y | x) P{ Y y | X x }


y
变量 ( X , Y ) 在圆域
x2 y2 1
上服从均匀
分布 , 求条件概率密度
f
X |Y
(x|y) .
1 2 2 , x y 1, f ( x, y) 0, others.
且有边缘概率密度:
f Y ( y)


f ( x, y )dx
1

1 y 2
2
1 y
dx 0,
2

1 y , 1 y 1,
2
others.
于是当 -1 < y < 1 时有: f X|Y( x | y ) 1 (2 ) 1 y
2

2
1 2 1 y
2
,
2
1 y x 1 y , 0, others .
1, 0 x 1, f X ( x) 0, 0thers.
对于任一给定的值
x
(0<x<1), 在X=x
的条件下, Y 的条件概率密度为 :
1 , f Y |X ( y | x) 1 x 0,
x y 1, 0thers.
f ( x, y ) 由 f Y |X ( y | x) 得X 和 Y 的 联 合概率密度 f X ( x)
P{ X xi | Y y j }＝
P { X xi , Y y j } P{Y y j } , i 1, 2, ...
pi j p. j
为在Y = y j 条件下 , 随机变量X 的条件分布律
同理，对固定的 i , 若 P{X= X i } > 0 ,
称
P{Y y j | X xi }＝