线性代数 复习5

１２ 二次型
定义 含有 n个变量 x 1 , x 2 , , x n 的二次齐次函数
2 f ( x 1 , x 2 , , x n ) = a 11 x 1 + a 22 x 2 + 2
+ a nn x 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + 2 a 13 x 1 x 3 + n + 2 a n 1, n x n 1 x n 称为二次型 .
２ 向量的长度
定义 令
x = [ x, x] =
+ x2 + + x2, x 2 n
2 1
x 称为n维向量 x的长度(或范数 ).
向量的长度具有下列性质： 向量的长度具有下列性质：
(1)非负性 当x ≠ 0时, x > 0;当x = 0时, x = 0; ( 2)齐次性
λx = λ x ;
x+ y ≤ x + y.
[b1 , a r ] [b 2 , a r ] [b r 1 , a r ] br = a r b1 b2 b r 1 . [ b 1 , b 1] [b 2 , b 2] [ b r 1 , b r 1] 则 b1 , b 2 , , b r 两两正交, 且与 a 1 , a 2 , , a r 等价.
１０ 有关相似矩阵的性质
(1)若 A 与 B 相似，则 A 与 B的特征多项式 相似， 相同，从而 A 与 B 的特征值亦相同． 相同， 的特征值亦相同．
( 2)若A与对角矩阵 λ1 λ2 Λ= λ n 相似, 则 λ 1 , λ 2 , , λ n 是A的n个特征值 .
当[ x , y ] = 0时, 称向量 x与y正交. 若x = 0, 则x与任何向量都正交 .
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组， 所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 向量．向量空间的基若是正交向量组， 交基． 交基． 定理 若n维向量 a 1 , a 2 , , a r 是一组两两正交的非
( 3)若A = PB P 1 , 则 Ak = P B k P 1 ,
( A) = P ( B ) P 1 .
特别地 , 若有可逆阵 P , 使 P 1 AP = Λ为对角阵 , 则有 Ak = P Λ k P 1 , ( A) = P ( Λ ) P 1 .
(4) A 能对角化的充分必要条件是 A有 n 个线 性无关的特征向量． 性无关的特征向量． 个互异的特征值， 与对角阵相似． (5) A 有 n个互异的特征值，则 A 与对角阵相似．
第五章 相似矩阵及其二次 型
１ 向量内积的定义及运算规律
定义 设有 n维向量
y1 x1 x 2 , y y 2 , x= = y xn n 令[ x , y ] = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n , [ x , y ]称为向量 x与 y的内积 .
( A)的特征值 .其中 (λ ) = a 0 + a 1 λ + + a m λ m , ( A) = a 0 E + a 1 A + + a m A m .
( 3)当A可逆时, 是 A 的特征值; A 是 A 的 1
λ
1
1
λ
特征值 .
８ 有关特征向量的一些结论
定理 设 λ 1 , λ 2 , , λ m 是方阵 A的 m 个特征值 ,
零向量 , 则 a 1 , a 2 , , a r 线性无关 .
定义 设n维向量 e 1 , e 2 , , e r 是向量空间 V (V R n )
的一个基 , 如果 e 1 , e 2 , , e r 两两正交 , 则称 e 1 , e 2 , , e r 是 V的一个规范正交基 .
若 e 1 , e 2 , , e r 是 V的一个规范正交基 , 那么 V 中任一向量 a都可表为 a = λ 1 e1 + λ 2 e 2 + + λ r e r , 其中
对称矩阵 A为负定的充分必要条件 是 : 奇数阶主子 式为负, 而偶数阶主子式为正 , 即 a 11 a 1r r > 0, ( r = 1,2, , n). ( 1) a r 1 a rr
典 型
例 题
一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正 交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法 的特征值， 四、已知 A的特征值，求与 A 相关矩阵的特征值
五、求方阵 A 的特征多项式 六、关于特征值的其它问题 七、判断方阵 A 可否对角化 八、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵 九、化二次型为标准形
( 3)三角不等式
当 x = 1时 , 称 x为单位向量 .
向量的内积满足施瓦茨 不等式 [ x , y ] ≤ [ x , x ][ y , y ],
2
从而有
[ x, y] ≤ 1, (当 x y ≠ 0时 ). x y
３ 向量的夹角
定义 当 x ≠ 0, y ≠ 0时 ,
[ x, y] θ = arccos x y 称为 n维向量 x与 y的夹角 .
１６ 惯性定理
设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩为 r , 有两个 实的可逆变换 x = Cy 使 及
2
及
2
x = Pz
2
f = k 1 y1 + k 2 y 2 + + k r y r
2 2 f = λ 1 z1 + λ 2 z 2 + + λ r z r 2
( k i ≠ 0 ), ( λ i ≠ 0 ),
９ 相似矩阵
定义 设A, B都是 n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使
1 P AP = B ,
则称 B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似 . 对A进行运算 P 1 AP称为对 A进行相似变换 , 可逆矩阵 P称为把 A变成 B的相似变换矩阵 .
矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； 矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (1)自反性 对称性 (3)传递性 传递性． (3)传递性．
１７ 正定二次型的判定
(1)实二次型 f = x T Ax 为正定的充分必要条件 是 : 它的标准形的 n个系数全为正 , 即正惯性指数 p = n;
( 2)对称矩阵 A为正定的充分必要条件 是 : A的 特征值全为正 ;
( 3)(霍尔维茨定理 )对称矩阵 A为正定的充分必 要条件是 : A的各阶主子式都为正 , 即 a 11 > 0; a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 1n > 0; > 0; , a n1 a nn
λ i = e T a = [a , e i ], ( i = 1,2, , r ). i
施密特正交化方法
设 a 1 , a 2 , , a r 是向量空间 V的一个基 , 要求 V 的一个规范正交基 , 只需把 a 1 , a 2 , , a r 这个基规 范正交化 .
第一步 正交化
取
b1 = a 1 ; [b1 , a 2 ] b2 = a 2 b1 ; [ b 1 , b 1]
内积的矩阵表示 [ x, y] = xT y, 其中x , y都是列向量 .
内积满足下列运算规律 (其中 x , y , z为 n 维向 量 , λ 为实数 ) : (1)[ x , y ] = [ y , x ]; ( 2 )[ λ x , y ] = λ [ x , y ]; ( 3 )[ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ].
T
x P px =
T T
x x= x.
T
６ 方阵的特征值和特征向量
定义 设A是n阶矩阵, 如果数 λ和n维非零列向量 x
使关系式 Ax = λx 成立, 那么, 这样的数 λ称为方阵 A的特征值 , 非零向 量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量 .
A λE = 0称为方阵 A的特征方程 . f (λ ) = A λE 称为方阵 A的特征多项式 .
１１ 实对称矩阵的相似矩阵
(1)实对称矩阵的特征值为 实数 .
( 2 )实对称矩阵的属于不同 特征值的特征向 量必正交 . ( 3)若 λ是实对称矩阵 A的 r重特征值 , 则对应 λ
的必有 r个线性无关的特征向量 . ( 4)实对称矩阵必可对角化 .即若 A为 n阶实对
称阵 , 则必有正交阵 P , 使得 P 1 AP = Λ , 其中 Λ 是 以 A的 n个特征值为对角元素的 对角阵 .
１３ 二次型的标准形
y + k2 y + + k n y
2 1 2 2
2 n
称为二次型的标准形 (或法式 ). 或法式
１４ 化二次型为标准形
(1)任给可逆矩阵 C , 令B = C T AC , 如果A为对称 阵, 则B亦为对称阵 , 且R( B ) = R( A)..
正交矩阵 A的 n个列 (行 )向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基 .
为正交矩阵， 定义 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px称为 正交变换． 正交变换． 正交变换的特性在于保持线段的长度不变． 正交变换的特性在于保持线段的长度不变．
设 y = Px 为正交变换 , 则有 y = y y=
p 1 , p 2 , , p m 依次是与之对应的特征 向量 , 如果
λ 1 , λ 2 , , λ m 各不相等 , 则 p1 , p 2 , , p m 线性无关 .
即属于不同特征值的特 征向量是线性无关的 .
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． 组合仍是属于这个特征值的特征向量．