常数项级数的概念和性质(课堂PPT)

lim
n
sn
lim
n
1 (1 2
1 2n
) 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
11
例4. 判别级数 解:
的敛散性 .
故原级数收敛 , 其和为
12
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s un , vn ,
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
8
例 2 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un
22n31n
4
4
n1
,
3
已知级数为等比级数，公比 q 4 , 3
| q | 1, 原级数发散.
9
例 3 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
10
1 (1 1 ), 2 2n 1
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
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一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{sn }为单调增加数列. 定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 n1 n 2 n3
1 2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
21
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五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
7
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
如果 q 1时
发散
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
n1
n1
则级数 (un vn )收敛,其和为s .
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
13
例 5
求级数
n1
5 n(n
1)
1 2n
的和.
解
n1
5 n(n
1)
1 2n
n1
5 n(n
1)
n1
1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令gn
5 n k1
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
16
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性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
23
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1, 2, ),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn un vn ,
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
18
四、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
20
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的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
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注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
1 k
k
1
1
5(1
1 n
), 1
14
lim n
gn
5 lim(1 n
1) n1
5,
n1
21n是等比级数,
公比q
1 2
1,
首项是
1， 2
1
n1
1 2n
lim
n
hn
2 1 1
1,
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
故
n1
n(
5 n
1)
1 2n
5
1
6.
15
性质3. 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会
影响级数的敛散性.
n1
n1
写成s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
5
即
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
即 sn s
误差为rn
(lim n
rn
0)
6
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , ,
sn u1 u2 un ,
4
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛,这时极限s 叫做级数 un 的和.并
正3 2n形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an
2.
1 3
3 3 3 10 100 1000
3 10n
3
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
un u1 u2 u3 un
n1
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
第九章
无穷级数
数项级数 无穷级数
幂级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
1
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件
2
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a1
正十二边形的面积 a1 a2